线性代数第一章第一节
线性代数第一章 行列式(2014版)
主要内容
1. 行列式的概念与计算； 2. 矩阵; 3. 线性方程组解的结构与向量空间Rn; 4. 方阵的特征值与特征向量; 5. 二次型及其标准形.
教 材： “线性代数” 居余马等 编 参考书:
1、《线性代数》 同济大学编 2、《线性代数习题与解析》 湛少锋编
教学安排： 共54学时
学习方法：
因今后的工作中用到更多的知识不可能在大学 中都学习到，因此在学习过程中不但要学会应学的 知识外，还必须培养自己的读书能力。
21 3. 7
二、三阶行列式
对三元线性方程组
aa2111xx11
a12 x2 a22 x2
a13 x3 a23 x3
b1 , b2 ,
a31x1 a32 x2 a33 x3 b3;
将方程组的第一、第二、第三个方程分别乘：
a22a33 a23a32 ; a13a32 a12a33 ; a12a23 a13a22
学习“线性代数”时请注意：
• 你可以完成学习任务，但需要努力！ • 本课程与“高等数学”不同，它更注重
演绎推理； • 在学习第三章时，你可能会遇到困难； • 必须按时完成作业，这对你能否最终完
成学习任务很重要。
二（三）阶行列式 排列与逆序
行列式概念的形成 （定义）
n 阶行列式的定义
行列式的性质
行列式的基本性质及计算方法
a31x1 a32 x2 a33 x3 b3;
a11 b1 a13
得
D2 a21 b2 a23 ,
a31 b3 a33
aa2111xx11
a12 x2 a22 x2
a13 x3 a23 x3
b1 , b2 ,
a31x1 a32 x2 a33 x3 b3;
线性代数知识点总结第一章
a ii a i2、a ii 把表达式 a ii 822 - a i2 a 2i 称为a 2ia i2 所确定的二阶行列式，并记作 a 22对二元方程组ai1ai2D ib i b 2ai2aii Da2iab i3l 2aii bi D i _ b 2a22 … D 2 a 2i b 2Da ii a i2，X ^ D -a ii a i2a2ia22a2ia22对三元方程组线性代数知识点总结第一章 行列式第一节：二阶与三阶行列式二三阶行列式的计算：对角线法则注意：对角线法则只适用于二阶及三阶行列式的计算。
利用行列式计算二元方程组和三元方程组： a 11x a 2x 2= b 1a ?i X| ' a 22 X 2 =b j即D =aii a 2iai2a22=6£22 — a^a zi .结果为一个数。
冋理，把表达式Ci a 22a 33+ a i2a 23a 3i +a i3a 2〔a 32 — a ii a 23a 32 — a i2a 2〔a 33 — 3i3a 22a 3i,称为由数aii a i2 a i3 aiiai2ai3表a ?ia 22 a 23 所确定的三阶行列式，记作a 2ia 22 a 23 。
a3ia32a33a3ia32a33a ii a i2 a i3即a 2ia 22 a 23 = a ii a 22a 33*a i2a 23a 3i +a i3a 2i a 32 —aii a 23a 32 — ai2a 2i a 33 — ai3a 22a 3i.a3ia32a33a21 ai2a22a22a21'a i3X 3则x 口=bia ii X i Q2X 2 a 2ia ii ai2ai3a2i a22a 23a 3i a32a33设D二a11a i2定义：n 阶行列式D 工a21 a22IIIIIIa 1 na2n等于所有取自不同行、 不同列的n 个元素的乘积an1an2ann逆序数决定。
线性代数课件第一章 行列式
an1 an2
ann
0
0
(1) a a ( j1 j2 jn ) 1 j1 2 j2
j1 j2 jn
ann
(1) (1 j2
a a jn ) 11 2 j2
1 j2 jn
(1) (123 n) a11a22 ann
a11a22 ann
anjn anjn
a11 0
0
计算主对角线行列式 0 a22
a13 a23 a33
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a11a23a32 a12a21a33
说明 （1）三阶行列式共有 6 项，即 3! 项．
（2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的 乘积．
23
（3）每项的正负号都取决于位于不同行不同列 的三个元素的下标排列．
= 1 + 4 + 0 + 0 + 1+ 0 = 6 14
τ(314625)=5，314625是奇排列。 τ(314652)=6，314652是偶排列。
逆序数的性质
(12n) 0，
(n(n 1)321) n(n 1)
2
0 (i1i2
in )
n(n 1) 2
15
定义2.3 把一个排列中两个数i , j的位置互换而保持 其余数字的位置不动，则称对这个排列施 行了一个对换，记作(i , j). 两个相邻位置 数字的对换称为相邻对换，否则称为一般 对换。
数的排列称为奇排列。逆序数为偶数的排列称为偶排列。
如：314652中， 31是逆序，65是逆序，32是逆序，42是逆序 62是逆序，52是逆序数。逆序数τ(314652)=6
记τk = 排列j1j2…jn中数字k前面比k大的数的个数。则 τ(314652)= τ1 + τ2 + τ3 + τ4 + τ5 + τ6
线性代数 同济大学第七版 ppt课件
7 6 2 1 4 2
D 0 3 5 0 3 5
1 4 2
7 6 2
特别地，当行列式中有两行（列）对应元素都相同时，行列式的值
··
为零。
因假设D中的第i 行和第j 行对应元素相同，交换第i 行和第j 行元 素（仍为D），即得DD，移项得 2D 0 ，于是 D 0 。
23
第二节 行列式的性质
在本书研究多元线性方程组的解，以及研究矩阵性质时也要用到行列 式，为此首先引入行列式的概念。
6
第一章 行列式
第一节 行列式的概念
主
第二节 行列式的性质
要 内
第三节 行列式按行（列）展开
容
第四节 行列式的计算举例
第五节 克莱姆法则
7
第一节 行列式的概念
一、行列式的概念 为了更好掌握行列式的定义，我们采用数学归纳法的方法讲解行列
a11 a12 a13 D a 21 a 22 a 23 表示，且规定： D a 1 1 A 1 1 a 1 2A 1 2 a 1 3 A 1 3
a31 a32 a33
其中：
A11111M11111a a3 22 2
a23 a33
A12112M12112
a21 a31
a23 a33
7 6 2
7 6 2
这相当于行列式中某一行（列）所有元素的公因子可以提到行列式 符号的外面。这一性质可以由行列式的定义和性质2得到。
25
第二节 行列式的性质
性质4 行列式中两行（列）对应元素都成比例，行列式值为零。
设第 j 行为第i 行的k 倍，由性质3，将 j 行提出公因子k ，即得第i 行 与第 j 行相同，于是行列式的值为零。
A13113M13113
《线代》第1章1
m n
mn
.
证 设A=[
a ij ]
m s
,B=[ bij ]
s t
,C=[
cij ]
t n , 则依矩阵乘法的
定义知， AB是 mt 矩阵，进而，(AB)C是 mn 矩阵. 同理，A(BC)是 mn 矩阵. 注意到，AB的第i行元素为
i=1,2,„,m; j=1,2,„,n.
t s
A9 .
=
28 28 3 28 2 28 8 8 8 8 2 2 2 2 6 2 4 2 8 8 8 8 3 2 3 2 9 2 62 8 8 8 8 5 2 5 2 15 2 10 2
.
当A为n阶矩阵时，A的幂运算定义为：Ak 1 = A k A,
这里k是正整数; 并规定：A 0 =E.
2 m 进而，设ψ(x)= a0 a1 x a2 x am x (
am 0 )是x的m次多项式，
A为n阶矩阵，则矩阵 ψ(A)= a0 E a1 A a2 A 2 am A m 称为矩阵A的m次多项式.
第一章 矩阵
§1.1 基本概念
一．数域(对数的减法与除法封闭的含非零数的集合)
例1.1.1 全体有理数的集合Q，全体实数R的集合，及全体 复数的集合C均为数域，但全体整数的集合Z不是数域. 思考：任何数域都是无穷集合？ 二．连和号与连积号 思考：连和号具有哪些性质 ？
三．矩阵的概念
1. 矩阵的定义 (m行n列的“矩形数表” ) :
.
*例1.3.6
证明：m×n实矩阵A=O的充分必要条件是 A T A=O.
作业：*练习1.3之A2,A3,B1,B3,B4. 练习1.3之A1,A2,A4.
线性代数第一章ppt
目录
CONTENTS
• 绪论 • 线性方程组 • 向量与向量空间 • 矩阵 • 特征值与特征向量
01
绪论
线性代数的定义与重要性
线性代数是数学的一个重要分支，主要研究线性方程组、向量空间、矩阵 等线性结构。它在科学、工程、技术等领域有着广泛的应用。
线性代数的重要性在于其提供了一种有效的数学工具，用于解决各种实际 问题中的线性关系问题，如物理、化学、生物、经济等。
向量空间中的零向量是唯一确定的，且对于任意 向量a，存在唯一的负向量-a。
向量空间的运算与性质
向量空间中的加法满足交换律和结合 律，即对于任意向量a和b，存在唯一 的和向量a+b；且对于任意三个向量a、 b和c，(a+b)+c=a+(b+c)。
向量空间中的数乘满足结合律和分配 律，即对于任意标量k和l，任意向量a 和b，存在唯一的结果k*(l*a)=(kl)*a 和(k+l)*a=k*a+l*a。
圆等。
经济学问题
线性方程组可以用来描述经济现象和 规律，例如供需关系、生产成本、利
润最大化等。
物理问题
线性方程组可以用来描述物理现象和 规律，例如力学、电磁学、热力学等。
计算机科学
线性方程组在计算机科学中有广泛的 应用，例如机器学习、图像处理、数 据挖掘等。
03
向量与向量空间
向量的定义与性质
01 向量是具有大小和方向的量，通常用有向线 段表示。 02 向量具有模长，即从起点到终点的距离。
特征值与特征向量的计算方法
定义法
幂法
谱分解法
根据特征值和特征向量的定义， 通过解方程组Ax=λx来计算特征 值和特征向量。这种方法适用于 较小的矩阵，但对于大规模矩阵 来说效率较低。
线性代数教案-第一章 线性空间
第一章线性空间一、教学目标与基本要求数学的特点之一是抽象.从实数、复数、实值函数、无穷级数、向量等数学对象中,可以抽象出它们的共同特点:同一集合中的元素彼此可以相加,可与数相乘,这些运算还遵从一些共同规律.本章讨论的线性空间,就是针对上述特点建立的一种一般性的数学概念.它包括了所有前面提到的实例,另有许多数学对象也可归属其中.数学中所谓空间,就是具有某些特性的集合.所谓线性空间,概言之就是这样一个集合:在其上定义了称为加法和数乘的两种运算,并可在该集合上实施(准确的定义见后详述).在此,既不强调集合元素的本来属性,又不规定这两种运算是如何实施的,只规定运算具有称为公理的某些性质.1 线性空间的定义及例定义1.1.1设V是一个非空集合,其元素用x、y、z等表示.V被称为一个线性空间,如果它满足以下被分为三组由10条公理构成的公理体系:1.1.1封闭公理公理1(加法封闭公理)在V中定义了加法运算:对于V中任意两个元素x和y,有唯一的V中的元素与之对应并被称为x与y的和,记为x＋y.公理2(数乘封闭公理)在V中定义了实数乘法(简称数乘)运算:对于V中任意元素x和任意实数a,有唯一的V中的元素与之对应并被称为a与x的积,记为a x.加法运算和数乘运算合称线性运算.1.1.2加法公理公理3 (交换律)对于任意x,y∈V,有x++.=xyy公理4(结合律) 对于任意x,y,z∈V,有+x+=+.+y))z(z(yx公理5 (零元素存在性)V中存在一个记为θ的零元素,对于任意x∈V,有+.x=xθ-的x的负元素,使公理6 (负元素存在性)对于任意x∈V,V中存在记为x+)-(.θx=x1.1.3数乘公理公理7(结合律)对于任意x∈V,任意实数a和b,有b(aba=.x)x()公理8 (加法分配律)对于任意x ,y ∈V 及任意实数a ,有y x y x a a a +=+)(.公理9(实数相加分配律)对于任意x ∈V ,任意实数a 和b ,有x x x b a b a +=+)(.公理10(单位元素存在性)对于任意 x ∈V ,有x x =1.以上定义的线性空间,有时被称为实线性空间,以强调数乘运算是实数相乘.数乘运算也可以是复数相乘,此时的线性空间被称为复线性空间.线性空间又被称为向量空间,其元素可被称为向量.实数和复数被统称为数.本书主要讨论实线性空间,但所得结果在复线性空间中也成立.从线性空间的公理体系容易推得以下结论:(1)零元素是唯一的.(2)任意元素的负元素是唯一的.将差y x -定义为)(y x -+.(3)如果θx =a ,则0=a 或θx =.(4)θx =0；θθ=a ；)()()(x x x -=-=-a a a(5)若a x =a y 且0≠a ,则x =y .(6)若a x =b x 且θx ≠,则a =b .(7)y x y x y x --=-+-=+-)()()(.(8)x x x 2=+,x x x x 3=++,一般地有:n 个x 相加等于n x .定义1.1.2设V 是一个线性空间,S 是V 的一个非空子集.如果S 对于V 中定义的加法和数乘也构成一个线性空间,则称S 为V 的子空间.推论:线性空间V 的非空子集S 成为V 的子空间的充分必要条件是:S 中加法和数乘两种运算满足封闭公理.定义1.1.3设S 是线性空间V 的一个非空子集.集合{x ＝∑=k i i a1x i ︱k x x ,, 1∈S ；k a a ,, 1∈R ；k 是任意正整数}被称为S 中元素的有限线性组合.由于这是V 的一个子空间,故又被称为S 生成的子空间,记为L (S )2 线性空间中的相关集和独立集定义1.2.1设S 是线性空间V 的一个子集合.如果S 中存在由不同元素构成的有限集}{1k x x ,, ,以及不全为零的一组数k a a ,,1,使 ∑=k i i a1x i θ=(1.2.1)则S 称是相关集(又称线性相关集).当k a a ,, 1不全为零时,(1.2.1)式被称为零元素θ的一种非平凡表示.若S 不是相关集,则被称为独立集(又称线性无关集).等价说法是:对于S 中任意选定的不同元素k x x ,, 1,等式∑=k i i a1x i θ=蕴涵了01===k a a ,则S 是独立集.定理1.2.1 设S =}{1k x x ,, 是线性空间V 中k 个元素构成的独立集,L (S )是S 生成的子空间.则L (S )中任何k ＋1个元素构成的集合是相关的.3 基 维数与坐标定义1.3.1 设S 是线性空间V 中的一个有限集.若S 是独立集且V 由S 生成,则称S 是V 的一组有限基.若V 有一组有限基或V 只含零元素,则称V 为有限维空间；否则称为无限维空间.定理1.3.1 设V 是有限维线性空间,则V 的任何一组有限基与别的有限基所含元素个数相同.定义1.3.2 若线性空间V 有一组由n 个元素组成的基,则称整数n 为V 的维数,记为dim V n =.若}{θ=V ,则规定dim V 0=.R n 的维数是n (这是称R n 为n 维向量空间的缘由),}{1n e e ,, 是其一组基,被称为R n 的常用基.定理1.3.2设V 是n 维线性空间,则(a )V 中任何独立集必是V 的某组基的子集；(b )V 中任何由n 个元素组成的独立集必是V 的一组基.定义1.3.3在n 维线性空间V 中,给定确定了元素顺序的一组基}{1n e e ,, ,则对任意x ∈V ,有x ini i c e ∑==1. (称x 可表为这组基的线性组合,或称x 可被这组基线性表示)其中系数n c c ,, 2是由元素x 及这组基唯一确定的.这组系数就被称为x 在基}{1n e e ,, 下的坐标,记为)(1n c c ,,.4 内积 欧氏空间 范数定义1.4.1 设V 是实线性空间.如果对于V 中任意元素x 和y ,对应着唯一的实数,记为(x ,y ),满足以下4条公理:公理1(对称性) )()(x y y x ,,=,公理2(加性) )()()(z y y x z y x ,,,+=+,任意z ∈V ,公理3(齐性) )()(y x y x ,,c c =,任意c ∈R ,公理4(正定性) )(x x ,≥0,当且仅当x =θ时,0)(=x x ,,则称)(y x ,是x ,y 的内积.并称V 是一个欧几里德(Euclid )空间,简称欧氏空间.定义1.4.2在欧氏空间中,非负实数)(x x ,被称为元素x 的范数,记为||||x .为了在欧氏空间中引入两向量间夹角的概念,需要下面的定理.定理1.4.1(柯西—许瓦兹(Cauchy —Schwarz )不等式) 在欧氏空间中,有|)(|y x ,≤||||x ||||y .这里x ,y 是该空间中任意元素.当且仅当x 与y 相关时,上式取等号.定义1.4.3在欧氏空间中,任意两非零元素x 和y 之间的夹角ϕ(0≤ϕ≤π)按下式定义|||| |||| )(cos y x y x ,=ϕ. 注意:正是柯西—许瓦兹不等式保证了这个定义的准确性.关于范数,本书将作较深入的讨论.定理1.4.2在欧氏空间中,范数具有以下性质:(1) ||||x ≥0,当且仅当θx =,0||||=x (正定性)；(2) ||||||c c =x ||||x (正齐性)；(3) ||||y x +≤||||x +||||y (三角不等式).这里, x ,y 是该空间任意元素,c 是任意实数.5 欧氏空间中的正交性定义1.5.1 设是V 一个欧氏空间.对于任意x ,y ∈V ,如果0),(=y x ,则称x 与y 正交.又:设S 是V 的一个子集,若对于任意相异的x ,y ∈S 有0),(=y x ,则称是S 一个正交集.若一个正交集中任何元素的范数均为1,则称它是一个标准正交集.显然,零元素与V 中任何元素正交；零元素是唯一的与自己正交的元素.下面的定理表明了正交和独立之间的关系.定理1.5.1 在欧氏空间V 中,一个不含零元素的正交集是独立集.若dim V =n ，则任何一个包含n 个非零元素的正交集是V 的一组基.定理1.5.2设V 是有限维欧氏空间, dim V =n ，}{1n S e e ,, =是V 的一组正交基.对于任意x ∈V ,若x 关于基S 的坐标是)(1n c c ,, ,则)()(j j j j c e e e x ,,=,n j ,, 1=.若进一步假设S 是一组标准正交基,则j c =)(j e x ,,n j ,,1=. 定理1.5.3设V 是一个维欧氏空间,}{1n e e ,, 是V 的一组标准正交基.对于任意x ,y ∈V ,若设x ,y 在这组基下的坐标分别是)(1n a a ,, ,)(1n b b ,, ,则有)()()(1i n i i e y e x y x ,,,∑==∑==ni i i b a 1 (1.5.1)∑∑====n i ni i i a 11222|)(|||||e x x ,. (1.5.2) 定理1.5.4 设}{21 ,,x x 是欧氏空间V 中的一个有限或无限序列,)(1k L x x ,, 表示由该序列前k 个元素生成的子空间.那么,V 中存在序列}{21 ,,y y ,对于可能取到正整数k ,具有以下性质:(1) 元素k y 与)(11-y y k L ,， 中任意元素正交；(2) )()(11k k L L x x y y ,，,， =；(3)除去数量因子,序列}{21 ,,y y 是唯一的(即若另有序列}{21 ,,y y ''满足性质(1)和(2),则有实数k c 使k y 'k k c y =, ,,21=k ). 1y =1x ,∑=+++-=r i i i i i r r r 1111)()(y y y y x x y ,,,11-=k r ,, . 这里给出的由一组独立集}{1k x x ,， 来构造由非零元素组成的正交集}{1k y y ,， 的过程,称为施密特(Schmidt )正交化过程.而且,}{1k y y ,， 生成的子空间与}{1k x x ,， 生成的子空间完全相同.而当}{1k x x ,， 是有限维欧氏空间的一组基时,}{1k y y ,， 就是一组正交基.而且,每一个i y 除以它的范数,就得到一组标准正交基.定理1.5.5任何有限维欧氏空间均存在标准正交基.它可由任何一组基经施密特正交化过程然后单位化而得到.6 同 构定义1.6.1设V ,W 是两个非空集合.若给定一个法则T ,使V 中任何元素x 都有W 中唯一确定的元素y 与之对应,则称T 是V 至W 的一个映射,记为T :V →W . y 被称为x 在T 下的像,记为)(x T y =.x 被称为y 在T 下的原像.称V 为T 的定义域.称V 中全体元素在T 下的像集合为T 的值域,记为T (V ).据此定义知,V 中元素x 在T 下的像是唯一的,但W 中元素y 在T 下未必有原像,若有也未必唯一.定义1.6.2设T 是V 至W 的映射.若T (V )=W ,则称为满射.据此定义知,T 为满射的充分必要条件是:对任意y ∈W ,存在x ∈V ,使y =T (x ).但这样的x 未必唯一.定义1.6.3设T 是V 至W 的映射.若V 中相异的元素在映射T 下的像也相异,即若有21x x ≠,则必有)()(21x T x T ≠,则称T 为单射.据此定义知,若)()(21x T x T =蕴涵21x x =,则T 为单射.定义1.6.4若V 至W 的映射T 既是满射又是单射,则称T 为双射,又称为1-1映射. 下面给出两个线性空间同构的定义.定义1.6.5设V ,V '均是线性空间.如果存在一个V 至V '的1-1映射T ,对任意x ,y ∈V 及任意实数c ,满足性质:(1))()()(y x y x T T T +=+,(2))()(x x T c c T =.则V 和V '是同构的.这样的映射T 被称为V 至V '的同构映射.通常把满足上述性质(1)和(2)的任何映射称为线性映射.所谓同构映射,就是一个线性1-1映射.定理1.6.1任何n 维线性空间与nR 是同构的.定义1.6.6设V ,V '均是欧氏空间,如果存在V 至V '的线性1-1映射T , 对任意x ,y ∈V ,满足性质 )())()((y x y x ,,=T T , (1.6.1)则称V 和V '是同构的.这样的映射T 被称为V 至V '的同构映射.由(1.6.1)式可以推得:对任何x ∈V ,有||||||)(||x x =T .故具有(1.6.1)式性质的映射又称为保范映射.因此,欧氏空间间的同构映射,必是一个保范的线性1-1映射.由于内积可用坐标表达(见定理1.5.3),故任何n 维欧氏空间与nR 是同构的.二、 教学内容及学时分配：第一节线性空间的定义2课时第二节线性空间中的相关集和独立集 2课时第三节基 维数与坐标 2课时第四节内积 欧氏空间 范数 2课时第五节欧氏空间中的正交性2课时三、教学内容的重点及难点：1．线性空间的概念2．判定相关集和独立集；3．判定线性空间的基及维数；4．了解内积. 欧氏空间. 范数. 及欧氏空间中的正交性。
线性代数知识点总结
线性代数知识点总结第一章 行列式第一节：二阶与三阶行列式把表达式11221221a a a a -称为11122122a a a a 所确定的二阶行列式，并记作11122112a a a a ，即1112112212212122.a a D a a a a a a ==-结果为一个数。
（课本P1） 同理，把表达式112233122331132132112332122133132231,a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++---称为由数表111213212223313233a a a a a a a a a 所确定的三阶行列式，记作111213212223313233a a a a a a a a a 。
即111213212223313233a a a a a a a a a =112233122331132132112332122133132231,a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++--- 二三阶行列式的计算：对角线法则（课本P2，P3） 注意：对角线法则只适用于二阶及三阶行列式的计算。
利用行列式计算二元方程组和三元方程组：对二元方程组11112212112222a x a xb a x a x b +=⎧⎨+=⎩设11122122a a D a a =≠1121222b a D b a =1112212.a b D a b =则1122221111122122b a b a Dx a a D a a ==，1112122211122122.a b a b Dx a a Da a ==（课本P2）对三元方程组111122133121122223323113223333a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，设1112132122233132330a a a D a a a a a a =≠，1121312222333233b a a D b a a b a a =，1111322122331333a b a D a b a a b a =，1112132122231323a ab D a a b a a b =， 则11D x D =，22Dx D =，33D x D=。
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主要内容
1、矩阵 2、行列式 3、几何空间 4、n维向量空间 5、特征值与特征向量 6、二次型与二次曲面
第一章
矩阵及其初等变换
在自然科学和工程技术中有大量的问题与矩阵 这一数学概念有关,并且这些问题的研究常常反映 为对矩阵的研究. 甚至有些性质完全不同的,表面 上完全没有联系的问题,归结成矩阵问题以后却是 相同的.这就使矩阵成为数学中的一个及其重要应 用广泛的工具,因而也成为代数,特别是线性代数的 一个主要研究对象,尤其是随着计算机的广泛应用, 矩阵知识已成为现代科技人员的必备的数学基础.
例 设
1 2 3 A , 3 1 2
1 B y
x 3 , 1 z
已知 A B, 求 x, y, z.
解 A B,
x 2, y 3, z 2.
加法： A 与 B 同型,定义 A B (aij bij ).
a11 b11 a12 b12 a21 b21 a22 b22 即 A B am1 bm1 am 2 bm 2 a1n b1n a2 n b2 n amn bmn
其主要信息都 包括在数表中
2 3 A 4 5 2 B 4 3 5 1 0
例 某航空公司在A,B,C,D四城市之间开辟了若 干航线 ,如图所示表示了四城市间的航班图,如果 从A到B有航班,则用带箭头的线连接 A 与B. B 四城市间的航班图情 况常用表格来表示: A C 到站
对角矩阵
a11 a22 A
一般不全为0 diag(a , a ,..., a ) 11 22 nn ann aii 称为主对角元.
2 0 如 A 0 1 diag( 2,1)
Байду номын сангаас
单位矩阵 方阵，主对角元素全为1，其余元素都为零. 记作 I n 或 I . 1 1 diag( 1,1,...,1) In 1 nn 数量矩阵 k k 全相等 kIn k n n
(i , j 1,2)
2. 矩阵的乘法 Amt Bt n C mn (cij )mn 其中 cij ai1b1 j ai 2b2 j
ait btj aik bkj
k 1
t
i 1,2,m; j 1,2,, n,
A 第i 行 …….. B
a11b11 a12 b21 a13 b31 a b a b a b 21 11 22 21 23 31
其中
a11b12 a12 b22 a13 b32 a21b12 a22 b22 a23 b32
cij ai1b1 j ai 2b2 j ai 3b3 j
2011 -2012年第一学期
《几何与代数》
教师: 周进鑫
Email: jxzhou@
教材及主要参考资料： 黄廷祝、成孝予，《线性代数与空间 解析几何》，电子科技大学应用数学 学院，高等教育出版社。
简
介
几何与代数是我校工科各专业必修的重要基 础理论课，在一般工科专业的教学中占有极重要 的地位，在工程技术、科学研究和各行各业中有 广泛的应用. 本课程的特点是将线性代数与空间解析几何 融为了一门课程 . 代数中的许多概念非常抽象， 几何为抽象的代数提供了直观想象的空间，代数 为几何提供了便利的研究工具 .代数与几何的融合 能加强学生对数与形内在联系的理解，学会用代 数的方法处理几何问题.
单位矩阵在矩阵乘法中的作用与数“1”在数的乘 法中的作用一样.
I m Amn Amn ,
Amn I n Amn
定义 上三角矩阵
对于A (aij )nn ,当i j时, aij 0( j 1,2,, n 1)
下三角矩阵
对于A (aij )nn ,当i j时, aij 0( j 2,3,, n)
例
计算下列矩阵的乘积
2 1 4 1 2 1 4 1 1 5 8 0 2 1 5 8 0 2 10 1 3 7 3 4 1 33 10 1 3 7 34
1 2 1 4 1 2 1 4 1 1 5 8 0 2 5 8 0 2 10 1 10 1 3 7 3 4 1 3 7 3 4 1 4 4
称为一个m行n列的矩阵，简称为m n矩阵，其中aij 表第i行第j列元素 .
常记为Am×n 或A=(aij)m ×n.
实矩阵 元素是实数.
复矩阵 元素是复数. 例如
1 0 3 5 是一个 2 4 实矩阵, 9 6 4 3
13 6 2i 2 2 2 2 2 2
注意
只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行 数时，两个矩阵才能相乘.
a1 a2 例 设A , B (b1 , b2 ,..., bn ). 求AB, BA. a n a1 a1b1 a1b2 a1bn a2 a2 b1 a2 b2 a2 bn 解 AB ( b1 , b2 ,..., bn ) an anb1 anb2 anbn a1 a2 BA ( b1 , b2 ,..., bn ) b1a1 b2a2 bnan an
三、矩阵的乘法
1.引例 某地有 1 , 2两个工厂生产甲,乙,丙三种产品.矩阵 A 表示一年中各工厂生产每种产品的数量, 矩阵 B 表示每种产品的单位价格及单位利润, 矩阵 C 表示各工厂的总收入和总利润.
a11 A a 21
甲
c11 C c 21
a12 a22
注意： 对于同型矩阵加法才有意义.
1 0 1 1 1 0 2 1 1 例如 1 1 2 0 1 0 1 2 2
a11 a 21 负矩阵 A a m1
a12 a 22 am1
矩阵数乘满足的运算规律 设 A、B为 m n矩阵， , 为数
(1)1 A A
(2) A A;
结合律
(3) A A A; 分配律 (4) A B A B;
矩阵加法与数乘运算合起来, 统称为矩阵的 线性运算.
第
j
cij =
C
.
列
例
4 2 4 2 C 1 2 22 3 6 22
16 32 ? 16 22 8
1 2 3 1 6 8 不存在. 3 2 1 5 8 9 6 0 1
如
O22
0 0 0 , O21 . 0 0 0
二、矩阵的线性运算
同型矩阵： Amn , Bmn
14 3 1 2 8 4 例如 5 6 与 为同型矩阵. 3 9 3 7
A与B相等： A (aij ) 与 B (bij ) 同型,且 aij bij , i 1,..., m; j 1,..., n 记为 A = B. 想一想: 是否所有的零矩阵都相等?
上三角矩阵
a11 形如 0 0
a12 a1n a 22 a 2 n 的方阵. 0 a nn 0 a 22 an2 0 0 的方阵. a nn
下三角矩阵
a11 a 21 形如 a n1
减法
称为矩阵A 的负矩阵. A B A ( B) (对应元素相减) A B A B O
a1n a2n a mn
aij
矩阵加法满足的运算规律 (1)交换律: A B B A. (2)结合律: ( A B) C A(B C). (3) AO A, 其中是A与O是同型矩阵. (4) A( A) O.
是一个 3 3 复矩阵,
1 2 4
是一个 3 1 矩阵,
2 3 5 9 是一个 1 4 矩阵, 4 是一个 1 1 矩阵.
1 3 A 5 7 0 2 4 6 1 1 3 5 2 0 2 4 3 1 1 3
数乘 kA ( kaij )
ka11 ka12 ka21 ka22 即 kA (kaij ) kam1 kam1
ka1n ka2 n . kamn
1 2 2 4 例 A (1) A (aij ), 2 0 1 0 2
§1. 1 矩阵及其运算 §1. 2 高斯消元法与矩阵的初等变换 §1. 3 逆矩阵 §1. 4 分块矩阵
§1.1
矩阵及其运算
一、 矩阵的概念 二、 矩阵的线性运算 三、 矩阵的乘法 四、 矩阵的转置
一、矩阵的概念
2 x1 3 x2 1
4 x1 5 x2 0
考虑方程组
2x 3 y 1 4x 5 y 0
乙
a13 1 a23 2
丙
1 2
b11 B b21 b 31
b12 甲 b22 乙 b32 丙
c12 c 22
单位 单位 价格 利润
收入=单位价格*数量 利润=单位利润*数量
总收入 总利润
c11 c12 c 21 c22
线性方程组的系数矩阵和增广矩阵
2x 3 y 1 4x 5 y 0
2 3 A 4 5
称为方程组的 系数矩阵；