线性代数知识点总结第一章
考研数学《线性代数》考点知识点总结
4．两行(列)元素成比例的行列式为零．记作： rj ri k （ cj ci k ） D 0 ．
a11 a12 (a1i a1i ) a1n
a11 a12 a1i a1n a11 a12 a1i a1n
5． D
a21
a22
(a2i
a2i )a2n
D
a21
a22
a2i a2n
矩阵转置： 若 Α (aij ) ，则 ΑT (a ji ) (A B)T AT BT ，(AB)T BTAT 若 A AT ， A 为对称阵
方阵的行列式： n 阶方阵 A 元素构成的行列式，记 A 或 det A ．
伴随矩阵：
A11
A*
A12
A1n
A21 A22
二元线性 方程组：
aa1211xx
a12 y a22 y
b1 b2
第一章 行列式
D a11 a21
a12 a22
， D1
b1 b2
a12 a22
， D2
a11 a21
b1 b2
x D1 ， y D2
D
D
排列的逆 序数：
n
t ti （ ti 为排列 p1 p2 pn 中大于 pi 且排于 pi 前的元素个数）
D1 D
, x2
D2 D
,, xn
Dn D
，其中 D j
a11
an1
a1, j1 b1 a1, j1
an, j1 bn an, j1
a1n
ann
( j 1,2,, n) ．
定理 4： 若上线性方程组的系数行列式 D 0 ，则方程组一定有惟一解；若无解或有两个不同解，则 D 0 ．
线性代数重要知识点及典型例题答案
线性代数知识点总结第一章行列式二三阶行列式N阶行列式：行列式中所有不同行、不同列的n个元素的乘积的和a j n=迟（-1）"" "a ij i a2j2...a nj n j l j2 j n（奇偶）排列、逆序数、对换行列式的性质：①行列式行列互换，其值不变。
（转置行列式D=D T）②行列式中某两行（列）互换，行列式变号。
推论：若行列式中某两行（列）对应元素相等，则行列式等于零。
③常数k乘以行列式的某一行（列），等于k乘以此行列式。
推论：若行列式中两行（列）成比例，则行列式值为零；推论：行列式中某一行（列）元素全为零，行列式为零。
④行列式具有分行（列）可加性⑤将行列式某一行（列）的 k倍加到另一行（列）上，值不变行列式依行（列）展开：余子式皿厂代数余子式A j =（-1）厲皿耳定理：行列式中某一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零。
克莱姆法则：D j非齐次线性方程组：当系数行列式D式0时，有唯一解：X j =—=1、2……n）D齐次线性方程组：当系数行列式D=1^0时，则只有零解逆否：若方程组存在非零解，则D等于零特殊行列式:a ii a i2 a i3 a ii a2i a3i①转置行列式：a2i a 22 a23 T a i2 a22 a32a3i a 32 a 33 a i3 a23 a33②对称行列式：a j = a j i③反对称行列式：a j = -a ji奇数阶的反对称行列式值为零⑤上（下）三角形行列式： 行列式运算常用方法（主要）行列式定义法（二三阶或零元素多的） 化零法（比例）化三角形行列式法、降阶法、升阶法、归纳法、lA* B = ( a ik )m*l * (b kj )l*n 二(•— a ik b kj ) m*n乘法1注意什么时候有意义般AB=BA ，不满足消去律；由 AB=0，不能得 A=0或B=0方幕：A kl A k ^ A k1 k2(A kl )k2 = A kl k2对角矩阵:若 AB 都是 N 阶对角阵，k 是数，则 kA 、A+B 、数量矩阵：相当于一个数（若……） 单位矩阵、上 （下）三角形矩阵（若……） 对称矩阵 反对称矩阵阶梯型矩阵：每一非零行左数第一个非零元素所在列的下方是0a 11 a 12 a 13④三线性行列式：a 21 a 22a 31a 33方法：用k022把a 2i 化为零，。
线性代数知识点总结(第1、2章)
线性代数知识点总结（第1、2章）（一）行列式概念和性质1、逆序数：所有的逆序的总数2、行列式定义：不同行不同列元素乘积代数和3、行列式性质：（用于化简行列式）（1）行列互换（转置），行列式的值不变（2）两行（列）互换，行列式变号（3）提公因式：行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一数k，等于用数k 乘此行列式（4）拆列分配：行列式中如果某一行（列）的元素都是两组数之和，那么这个行列式就等于两个行列式之和。
（5）一行（列）乘k加到另一行（列），行列式的值不变。
（6）两行成比例，行列式的值为0。
（二）重要行列式4、上（下）三角（主对角线）行列式的值等于主对角线元素的乘积5、副对角线行列式的值等于副对角线元素的乘积乘6、Laplace展开式：（A是m阶矩阵，B是n阶矩阵），则7、n阶（n≥2）范德蒙德行列式数学归纳法证明★8、对角线的元素为a，其余元素为b的行列式的值：（三）按行（列）展开9、按行展开定理：（1）任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值（2）行列式中某一行（列）各个元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于0（四）行列式公式10、行列式七大公式：（1）|kA|=k n|A|（2）|AB|=|A|·|B|（3）|A T|=|A|（4）|A-1|=|A|-1（5）|A*|=|A|n-1（6）若A的特征值λ1、λ2、……λn，则（7）若A与B相似，则|A|=|B|（五）克莱姆法则11、克莱姆法则：（1）非齐次线性方程组的系数行列式不为0，那么方程为唯一解（2）如果非齐次线性方程组无解或有两个不同解，则它的系数行列式必为0（3）若齐次线性方程组的系数行列式不为0，则齐次线性方程组只有0解；如果方程组有非零解，那么必有D=0。
（六）矩阵的运算12、矩阵乘法注意事项：（1）矩阵乘法要求前列后行一致；（2）矩阵乘法不满足交换律；（因式分解的公式对矩阵不适用，但若B=E,O,A-1，A*,f(A)时，可以用交换律）（3）AB=O不能推出A=O或B=O。
线性代数详细知识点
线性代数 第一章 行列式§1 二阶和三阶行列式一、二元一次线性方程组与二阶行列式结论：如果112212210a a a a -≠，如此二元线性方程组11112212112222a x a xb a x a x b +=⎧⎨+=⎩ 的解为122122*********b a a b x a a a a -=-，1121212112121a b b a x a b b a -=-。
定义：设11122122,,,a a a a ，记11221221a a a a -为11122122a a a a 。
称11122122a a a a 为二阶行列式 有了行列式的符号，二元线性方程组的求解公式可以改写为112222*********b a b a x a a a a =，111122211122122a b a b x a a a a =二、三阶行列式与三元一次线性方程组定义：111213212223313233a a a a a a a a a 112233122331132132132231122133112332a a a a a a a a a a a a a a a a a a =++---定理：如果1112132122233132330a a a D a a a a a a =≠，如此***123(,,)x x x 是下面的三元线性方程组的解111122133121122223323113223333a x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ 当且仅当*1x =112132222333233/b a a b a a D b a a ,*2x =111132122331333/a b a a b a D a b a ,*3x =111212122231323/a a b a a b D a a b 其中111213212223313233a a a a a a a a a 为系数行列式。
大学线性代数最全知识点公开课一等奖优质课大赛微课获奖课件
a12 a11a22 a12a21 .
a22
对于二元线性方程组
aa1211
x1 x1
a12 x2 a22 x2
b1 , b2 .
若记
D a11 a12 ,
系数行列式
a21 a22
第6页
aa1211
x1 x1
a12 x2 a22 x2
b1 , b2 .
D a11 a12 , a21 a22
定义: 一个排列中所有逆序总数称为此排列逆序 数.
第31页
比如: 排列32514 中, 0 01
32514
1 逆序数为3
故此排列逆序数为: 3+1+0+1+0 = 0+1+0+3+1 = 5. 逆序数为奇数排列称为奇排列; 逆序数为偶数排列称为偶排列. 计算排列逆序数办法 办法1: 分别计算出排在1,2, ···, n 前面比它大数码
b1 b2
a12 , a22
aa1211
x1 x1
a12 x2 a22 x2
b1 , b2 .
D2
a11 a21
b1 . b2
第9页
则二元线性方程组解为
b1
x1
D1 D
b2 a11
a21
a12 a22 , a12 a22
a11
x2
D2 D
a21 a11
a21
b1 b2 . a12 a22
第10页
a31 a32 a33
第18页
aa2111
x1 x1a12 x2 a22 源自2a13 x3 a23 x3
b1 , b2 ,
a31 x1 a32 x2 a33 x3 b3;
线性代数知识点归纳,超详细
线性代数复习要点第一部分行列式1. 排列的逆序数2. 行列式按行（列）展开法则3. 行列式的性质及行列式的计算行列式的定义1.行列式的计算：①(定义法)②（降阶法）行列式按行（列）展开定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和.推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.③(化为三角型行列式)上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积.④若都是方阵（不必同阶）,则⑤关于副对角线：⑥范德蒙德行列式：证明用从第n行开始，自下而上依次的由下一行减去它上一行的倍，按第一列展开，重复上述操作即可。
⑦型公式：⑧(升阶法)在原行列式中增加一行一列，保持原行列式不变的方法.⑨(递推公式法) 对阶行列式找出与或,之间的一种关系——称为递推公式，其中,,等结构相同，再由递推公式求出的方法称为递推公式法.(拆分法) 把某一行（或列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和，使问题简化以例计算.⑩(数学归纳法)2. 对于阶行列式，恒有：，其中为阶主子式；3. 证明的方法：①、；②、反证法；③、构造齐次方程组，证明其有非零解；④、利用秩，证明；⑤、证明0是其特征值.4. 代数余子式和余子式的关系：第二部分矩阵1.矩阵的运算性质2.矩阵求逆3.矩阵的秩的性质4.矩阵方程的求解1.矩阵的定义由个数排成的行列的表称为矩阵.记作：或①同型矩阵：两个矩阵的行数相等、列数也相等.②矩阵相等: 两个矩阵同型，且对应元素相等.③矩阵运算a. 矩阵加（减）法：两个同型矩阵，对应元素相加（减）.b. 数与矩阵相乘：数与矩阵的乘积记作或，规定为.c. 矩阵与矩阵相乘：设, ,则，其中注：矩阵乘法不满足：交换律、消去律, 即公式不成立.a. 分块对角阵相乘：,b. 用对角矩阵○左乘一个矩阵,相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的○行向量；c. 用对角矩阵○右乘一个矩阵,相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的○列向量.d. 两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘.④方阵的幂的性质：，⑤矩阵的转置：把矩阵的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做的转置矩阵，记作.a. 对称矩阵和反对称矩阵:是对称矩阵.是反对称矩阵.b. 分块矩阵的转置矩阵：⑥伴随矩阵：，为中各个元素的代数余子式.,, .分块对角阵的伴随矩阵：，矩阵转置的性质：矩阵可逆的性质：伴随矩阵的性质：（无条件恒成立）r(A)与r(A*)的关系若r（A）=n，则不等于0，A*=可逆，推出r（A*）=n。
考研线性代数知识点全面总结
《线性代数》复习提纲第一章、行列式1．行列式的定义：用2n 个元素ij a 组成的记号称为n 阶行列式。
（1）它表示所有可能的取自不同行不同列的n 个元素乘积的代数和； （2）展开式共有n!项，其中符号正负各半；<2．行列式的计算一阶|α|=α行列式，二、三阶行列式有对角线法则； N 阶（n ≥3）行列式的计算：降阶法定理：n 阶行列式的值等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积的和。
方法：选取比较简单的一行（列），保保留一个非零元素，其余元素化为0，利用定理展开降阶。
~特殊情况：上、下三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积；◊行列式值为0的几种情况：Ⅰ 行列式某行（列）元素全为0； Ⅱ 行列式某行（列）的对应元素相同；Ⅲ 行列式某行（列）的元素对应成比例； Ⅳ 奇数阶的反对称行列式。
3.概念：全排列、排列的逆序数、奇排列、偶排列、余子式ij M 、代数余子式ij j i ij M A +-=)1(。
定理：一个排列中任意两个元素对换，改变排列的奇偶性。
奇排列变为标准排列的对换次数为基数，偶排列为偶数。
n 阶行列式也可定义：n q q q na a a ⋯=∑21t211-D ）（，t 为n q q q ⋯21的逆序数4.行列式性质：1、行列式与其转置行列式相等。
%2、互换行列式两行或两列，行列式变号。
若有两行(列)相等或成比例，则为行列式0。
3、行列式某行（列）乘数k,等于k 乘此行列式。
行列式某行（列）的公因子可提到外面。
4、行列式某行（列）的元素都是两数之和，则此行列式等于两个行列式之和。
5、行列式某行（列）乘一个数加到另一行（列）上，行列式不变。
6、行列式等于他的任一行（列）的各元素与其对应代数余子式的乘积之和。
（按行、列展开法则）}7、行列式某一行（列）与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和为0.5.克拉默法则：：若线性方程组的系数行列式0D ≠，则方程有且仅有唯一解DD D Dx D D n =⋯==n 2211x ,x ，，。
大一线性代数总结知识点
大一线性代数总结知识点线性代数是大一学生学习的一门重要的数学课程，它是现代数学的基础，也是许多学科领域的基础。
在学习线性代数的过程中，我们需要掌握一些重要的知识点。
下面是我对大一线性代数的知识点进行的总结。
1. 向量与矩阵1.1 向量的定义与表示在线性代数中，我们首先学习向量的定义与表示。
向量可以看作是一个有序的数列或者几何上的箭头。
在二维空间中，一个向量通常用坐标表示，如(1, 2)；在三维空间中，一个向量用三个坐标表示，如(1, 2, 3)。
向量还可以用加法、减法和数乘等运算进行操作。
1.2 矩阵的定义与表示矩阵是线性代数中的另一个重要概念，它是由数排列成的矩形阵列。
矩阵有行和列组成，如下所示：\[\begin{bmatrix}1 &2 &3 \\4 &5 &6 \\7 & 8 & 9 \\\end{bmatrix}\]我们可以用矩阵表示线性方程组，进行线性方程组的求解等操作。
2. 向量空间与子空间2.1 向量空间的定义在线性代数中，向量空间是由一组向量和定义在这组向量上的向量加法和标量乘法组成的集合。
向量空间需要满足一些特定的性质，如封闭性、加法结合律、加法交换律、加法单位元、加法逆元等。
2.2 子空间的定义与判定子空间是向量空间的一个子集，并且子空间也要满足向量空间的性质。
我们可以通过判断子空间是否满足封闭性、加法单位元、加法逆元等性质来确定一个集合是否是子空间。
3. 线性相关性与线性无关性3.1 线性相关性的定义与判断在线性代数中，我们需要研究向量之间的线性相关性。
如果存在不全为零的系数使得向量的线性组合等于零向量，则称这组向量线性相关；否则，称这组向量线性无关。
3.2 线性无关性的性质与应用线性无关性是许多线性代数中的重要概念。
线性无关的向量组可以用来表示向量空间中的基，从而可以简化向量空间的研究和计算。
线性无关的向量组还可以用来求解线性方程组，求解特殊的方程组等。
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线性代数知识点总结
第一章 行列式
第一节：二阶与三阶行列式
把表达式11221221aaaa称为11122122aaaa所确定的二阶行列式，并记作11122112aaaa，
即1112112212212122.aaDaaaaaa结果为一个数。
同理，把表达式112233122331132132112332122133132231,aaaaaaaaaaaaaaaaaa称为由数
表111213212223313233aaaaaaaaa所确定的三阶行列式，记作111213212223313233aaaaaaaaa。
即111213212223313233aaaaaaaaa=112233122331132132112332122133132231,aaaaaaaaaaaaaaaaaa
二三阶行列式的计算：对角线法则
注意：对角线法则只适用于二阶及三阶行列式的计算。
利用行列式计算二元方程组和三元方程组：
对二元方程组11112212112222axaxbaxaxb
设111221220aaDaa1121222baDba1112212.abDab
则1122221111122122babaDxaaDaa，1112122211122122.ababDxaaDaa
对三元方程组111122133121122223323113223333axaxaxbaxaxaxbaxaxaxb，
设1112132122233132330aaaDaaaaaa，
11213
122223
33233
baaDbaabaa，1111322122331333abaDabaaba，1112132122231323aab
Daabaab
，
则11DxD，22DxD，33DxD。（课本上没有）
注意：以上规律还能推广到n元线性方程组的求解上。
第二节：全排列及其逆序数
全排列：把n个不同的元素排成一列，叫做这n个元素的全排列（或排列）。
n个不同的元素的所有排列的总数，通常用Pn (或A
n
)表示。（课本P5）
逆序及逆序数：在一个排列中，如果两个数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后
面的数，那么称它们构成一个逆序，一个排列中，逆序的总数称为这个排列的逆序数。
排列的奇偶性：逆序数为奇数的排列称为奇排列；逆序数为偶数的排列称为偶排列。（课本
P5）
计算排列逆序数的方法：
方法一：分别计算出排在1,2,,1,nnL 前面比它大的数码之和即分别算出
1,2,,1,nnL
这n个元素的逆序数，这个元素的逆序数的总和即为所求排列的逆序数。
方法二：分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码个数之和，即算出排列中每个元素的
逆序数，这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数。（课本上没有）
第三节：n阶行列式的定义
定义：n阶行列式111212122212LLMMOMLnnnnnnaaaaaaDaaa等于所有取自不同行、不同列的n个元素的乘积
1212n
ppnp
aaaL
的代数和，其中p1 p2 … pn是1， 2， … ，n的一个排列，每一项的符号由
其逆序数决定。1112112222112211220100ntnnnnnnnnaaaaaDaaaaaaaLLLLLMMOML也可简记为
detija
，其中ija为行列式D的（i，j元）。
根据定义，有121212111212122212121LLLLLMMOMLnnnntpppnppnppppnnnnaaaaaaDaaaaaa
说明：
1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程
组的需要而定义的;
2、n阶行列式是!n项的代数和;
3、n阶行列式的每项都是位于不同行、不同列n个元素的乘积;
4、1212nppnpaaaL的符号为1t，t的符号等于排列12,,...nppp的逆序数
5、一阶行列式aa不要与绝对值记号相混淆。
推论1：上，下三角行列式的值均等于其主对角线上各元素的乘积 。
即1112112222112211220100ntnnnnnnnnaaaaaDaaaaaaaLLLLLMMOML
推论2：主对角行列式的值等于其对角线上各元的乘积，副对角行列式的值等于121nn乘
以其副对角线上各元的乘积。
即1212nnLO，1122121nnnnLN
第四节：行列式的性质
定义 记111212122212nnnnnnaaaaaaDaaaLLMMOM，112111222212nnTnnnnaaaaaaDaaaLLMMOML，行列式TD称为行列式
D
的转置行列式。
性质1 行列式与它的转置行列式相等。
说明 行列式中行与列具有同等地位，因此凡是对行成立的行列式的性质的对列也成立。
性质2 互换行列式的两行 ijrr或列ijcc，行列式变号。
推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零。
性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数()jkrk，等于用数k乘此行列
式；
推论1 D的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到D的外面;
推论2 D中某一行（列）所有元素为零，则=0D。
性质4 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零．
性质5 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和，则
1112111212222212()()()iin
iin
nnnininn
aaaaaaaaaaDaaaaa
LL
LL
MMMM
LL
1112111112112122222122221212inin
inin
nnninnnnninn
aaaaaaaa
aaaaaaaa
aaaaaaaa
LLLL
LLLL
LLLLLLLLLL
LLLL
性质6 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，
行列式的值不变。
计算行列式常用方法：①利用定义；②利用运算 ijrkr把行列式化为上三角形行列式，从
而算得行列式的值。
说明 行列式中行与列具有同等的地位，行列式的6个性质凡是对行成立的对列也同样成
立。
第五节 行列式按行（列）展开
余子式 在n阶行列式中，把元素ija所在的第i行和第j列划去后，留下来的1n阶行列
式叫做元素ija的余子式，记作ijM。
代数余子式 1ijijijAM记，叫做元素ija的代数余子式。
引理 一个n阶行列式，如果其中第i行所有元素除（i，j）(,)ij元外ija都为零，那么
这行列式等于ija与它的代数余子式的乘积，即ijijDaA。
定理 n阶行列式 111212122212LLMMOMLnnnnnnaaaaaaDaaa等于它的任意一行（列）的各元素与其对应
的代数余子式的乘积之和，即1122iiiiininDaAaAaAL，
(1,2,,)inL1122jjjjnjnjDaAaAaAL或，(1,2,,)jnL
。
扩展 范德蒙德(Vandermonde)行列式1222212111112111()LLLMMOMLnnnijnijnnnnxxxDxxxxxxxx
展开定理推论 n阶行列式 111212122212LLMMOMLnnnnnnaaaaaaDaaa的任意一行（列）的各元素与另一
行（列）对应的代数余子式的乘积之和为零，即
11220()isisinsn
aAaAaAisL
11220()jtjtnjnt
aAaAaAjtL或