线代第一章

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线性代数课件第一章

0 0 0 0 0 0 ≠ ( 0 0 0 0) . 0 0 0
1 0 (5)单位矩阵单位矩阵 0 1 E = En = L L O 0 0
称为单位矩阵（单位阵）称为单位矩阵（或单位阵）. 单位矩阵
L 0 O L 0 L L L 1
a11 a 21 A= L a m1
简记为
a12 a 22 L am1
L a1 n L a2n L L L a mn
矩阵A的 (m, n)元
A = Am×n = (aij )m×n = (aij ).
这m × n个数称为 A的元素 ,简称为元 . 简称为元
a11 x1 + a12 x2 + L + a1n xn = b1 a x + a x +L + a x = b 21 1 22 2 2n n 2 LLLLLLLLLLLL am1 x1 + am 2 x2 + L + amn xn = bm
, , 系数 aij ( i =1,2,L m, j =1,2,L n) , 常数项 bi (i = 1,2,L,n)
全为1 全为
(6)方阵方阵主对角线
a11 a12 a21 a22 A= L L 副对角线 an1 an1
简记为
L a1n L a2 n L L L ann
n× n
矩 A 阵的
( n, n) 元
A = An× n = ( aij )
.
矩阵的转置
a11 a 21 A= L a m1
定义3 如果矩阵A经过有限次的初等变换变成B 定义3 如果矩阵A经过有限次的初等变换变成B，就称矩阵A与矩阵B等价，就称矩阵A与矩阵B等价，记作 A ~ B ．矩阵之间的等价具有自反性、对称性和传递性．矩阵之间的等价具有自反性、对称性和传递性．例如用矩阵的初等行变换解线性方程组

线性代数课件第一章行列式

an1 an2
ann
0
0
(1) a a ( j1 j2 jn ) 1 j1 2 j2
j1 j2 jn
ann
(1) (1 j2
a a jn ) 11 2 j2
1 j2 jn
(1) (123 n) a11a22 ann
a11a22 ann
anjn anjn
a11 0
0
计算主对角线行列式 0 a22
a13 a23 a33
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a11a23a32 a12a21a33
说明（1）三阶行列式共有 6 项，即 3! 项．
（2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积．
23
（3）每项的正负号都取决于位于不同行不同列的三个元素的下标排列．
= 1 + 4 + 0 + 0 + 1+ 0 = 6 14
τ(314625)=5，314625是奇排列。 τ(314652)=6，314652是偶排列。
逆序数的性质
(12n) 0，
(n(n 1)321) n(n 1)
2
0 (i1i2
in )
n(n 1) 2
15
定义2.3 把一个排列中两个数i , j的位置互换而保持其余数字的位置不动，则称对这个排列施行了一个对换，记作(i , j). 两个相邻位置数字的对换称为相邻对换，否则称为一般对换。
数的排列称为奇排列。逆序数为偶数的排列称为偶排列。
如：314652中， 31是逆序，65是逆序，32是逆序，42是逆序 62是逆序，52是逆序数。逆序数τ(314652)=6
记τk = 排列j1j2…jn中数字k前面比k大的数的个数。则 τ(314652)= τ1 + τ2 + τ3 + τ4 + τ5 + τ6

线性代数第一章课件,数学

n(n − 1) = 2
新的排列，这种变换称为排列的一个对换. 如果将排列32514中的2与4对调，则得到的新排列34512，它的逆序数 τ( 34512 )=2+2+2+0=6，为偶排列.这说明，奇排列32514经过一次对换得到偶排列 34512。一般地，有以下定理。定理1.1.1 一次对换改变排列奇偶性. 证分两种情况考虑.
定义1.1.2 在一个排列中，若一个较大的数排在一个较小的数的前面，则称这两个数构成一个逆序. 一个排列中所有逆序的总数称为这个排列的逆序数.用
τ(j1,j2,…,jn)表示排列j1,j2,…,jn的逆序数.
逆序数是偶数的排列称为偶排列，逆序数是奇数的排列称为奇排列. 对一个n阶排列 j1,j2,…,jn ，如何求它的逆序数呢？
τ (n(n − 1) L321)
= ( n − 1) + ( n − 2) + L + 2 + 1 + 0
排列32514为奇排列;排列n(n-1) …321, 当n=4k,4k+1时为偶排列;当n=4k+2,4k+3时为奇排列. 定义1.1.3 把一个排列中某两个数的位置互换，而其余的数不动，就得到一个
1.1.2 二阶与三阶行列式本段的目的是叙述行列式这个概念的形成，这需要从解线性方程组谈起. 设二元一次线性方程组 a11 x1 + a12 x 2 = b1 , a 21 x1 + a 22 x 2 = b2 .
（1.1.6）
用消元法去解此方程组.先分别用a22和-a12 去乘（1.1.6）式的一式和二式的两端，然后再将得到的两式相加，得
D2 =
a11

线性代数第一章

第一章行列式(determinant)
一、二阶、三阶行列式的定义
a11 x1 a12 x2 b1 a21 x1 a22 x2 b2
由四个数排成二行二列（横排称行、竖排称列）的数表
a11 a12
a 21 a 22
表达式 a11a 22 a12 a 21称为数表所确定的二阶行列式，并记作 a11 a 21 a12 a 22
该式称为数表所确定的三阶行列式.
a13
三阶行列式的计算：
对角线法则 a11 a12
a21 a31 a22 a32 a13 a23 a33
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 行标按照从小 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32 . 到大排列注意红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素的乘积冠以负号．
线性代数的第个问题是关于解线性方程组的问题。历史上线性方程组理论的发展促成了作为工具的矩阵论和行列式理论的创立与发展，这些内容已成为我们线性代数教材的主要部分。行列式出现于线性方程组的求解，它最早是一种速记的表达式，现在已经是数学中一种非常有用的工具。行列式是由莱布尼茨和日本数学家关孝和发明的。
逆序 0 1 0 3 1 于是排列 32514 的逆序数为讨论其奇偶性
t
t 01 0 31 5 .
t
i 1
n
i
标准排列：无逆序的排列。如：1234是4级标准排列
对换：在一个排列中，对调了两个数码，其他数码不变，这种变换称为一个对换。对23154 施以（1，4）对换得到23451。两个结论： 1）对一个排列，经过一个对换，奇偶性改变。

线性代数第一章行列式课件

a11
a12
a1n
a11 a12
a1n a11 a12
a1n
ai1 bi1 ai2 bi2
ain bin ai1 ai2
ain bi1 bi2
bin
an1
an2
ann
an1 an2
ann an1 an2
ann
性质5 将行列式的某一行（列）的所有元素同乘以一个数 k 加到另外一行（列）上，行列式不变，即
a1,n1 a2,n1
a1n a2n
a11 a21
a12 a22
a1,n1 a2,n1
an1,1 0
an1,2 0
an1,n1 0
an1,n 1
a a n1,1
n1,2
an1,n1
其中等号左端的行列式是一个 n 阶行列式；等号右端
的行列式是左端 n 阶行列式的前 n-1 行前 n-1 列的元
素所组成的 n-1 阶行列式，即左端行列式第 n 行第 n
j 1, 2, , n
ann
a1n
(1)i j aij
ai 1,1 ai1,1
ai1, j1 ai1, j1
ai1, j1 ai1, j1
ai1,n ai1,n
an1
an, j1
an, j1
ann
定理4 设
a11 a12
a1n
D a21 a22
a2n
an1 an2
ann
是一个 n 阶行列式， Aij 为 D 的第 i 行第 j 列元素 aij 的代数余子式，则有
1
2
n ( n 1)
(1) 2 12 n
n
二、行列式的基本性质
定义6 设

线性代数第一章ppt

线性代数第一章
目录
CONTENTS
• 绪论 • 线性方程组 • 向量与向量空间 • 矩阵 • 特征值与特征向量
01
绪论
线性代数的定义与重要性
线性代数是数学的一个重要分支，主要研究线性方程组、向量空间、矩阵等线性结构。它在科学、工程、技术等领域有着广泛的应用。
线性代数的重要性在于其提供了一种有效的数学工具，用于解决各种实际问题中的线性关系问题，如物理、化学、生物、经济等。
向量空间中的零向量是唯一确定的，且对于任意向量a，存在唯一的负向量-a。
向量空间的运算与性质
向量空间中的加法满足交换律和结合律，即对于任意向量a和b，存在唯一的和向量a+b；且对于任意三个向量a、 b和c，(a+b)+c=a+(b+c)。
向量空间中的数乘满足结合律和分配律，即对于任意标量k和l，任意向量a 和b，存在唯一的结果k*(l*a)=(kl)*a 和(k+l)*a=k*a+l*a。
圆等。
经济学问题
线性方程组可以用来描述经济现象和规律，例如供需关系、生产成本、利
润最大化等。
物理问题
线性方程组可以用来描述物理现象和规律，例如力学、电磁学、热力学等。
计算机科学
线性方程组在计算机科学中有广泛的应用，例如机器学习、图像处理、数据挖掘等。
03
向量与向量空间
向量的定义与性质
01 向量是具有大小和方向的量，通常用有向线段表示。 02 向量具有模长，即从起点到终点的距离。
特征值与特征向量的计算方法
定义法
幂法
谱分解法
根据特征值和特征向量的定义，通过解方程组Ax=λx来计算特征值和特征向量。这种方法适用于较小的矩阵，但对于大规模矩阵来说效率较低。

大一线性代数第一章知识点

大一线性代数第一章知识点线性代数是现代数学的一个重要分支，它研究向量空间和线性映射之间的关系。

在大一的线性代数课程中，第一章是介绍向量和矩阵的基本概念。

以下将对第一章的几个知识点进行论述。

一、向量的定义和性质在线性代数中，向量是一个有大小和方向的量。

它可以用一个有序的数组表示，每个数组元素代表向量在某个坐标轴上的分量。

向量有很多基本性质，包括加法、数乘、模长等。

其中，向量的加法和数乘是线性代数中最基本的运算。

向量的加法满足交换律和结合律，数乘满足结合律和分配律。

二、向量空间的定义和性质向量空间是指具有加法和数乘运算的集合，满足一定的公理。

在线性代数中，向量空间是向量运算的集合，它具有许多基本性质。

向量空间中的向量可以进行加法和数乘运算，并且满足一些规律，如交换律、结合律和分配律等。

三、矩阵的定义和性质矩阵是线性代数中另一个重要的概念。

它由若干行和列组成的矩形阵列。

矩阵可以表示为一个矩阵元素的矩阵，每个矩阵元素代表矩阵在某个位置上的值。

矩阵有许多基本性质，包括加法、数乘、乘法等。

矩阵的加法和数乘满足一些基本规律，如交换律和结合律。

矩阵的乘法是线性代数中比较复杂的运算，它是指将两个矩阵相乘得到一个新的矩阵，满足一定的规律。

四、矩阵的行列式和逆矩阵行列式是一个与矩阵相关的数值，它可以用来判断一个矩阵的特征。

对于一个n阶矩阵，它的行列式是一个数值，代表了矩阵的一些性质。

行列式有一些基本性质，如反演性、行列式的性质和行列式的计算方法等。

逆矩阵是指一个矩阵与其逆矩阵相乘得到单位矩阵。

只有非奇异矩阵才有逆矩阵，奇异矩阵没有逆矩阵。

矩阵的逆矩阵具有一些基本性质，如逆矩阵的性质和逆矩阵的计算方法等。

五、线性方程组的解法线性方程组是线性代数中的一个重要概念，它由一系列线性方程组成。

线性方程组的解是指使得方程组成立的未知数的值。

线性方程组的解法有很多种，包括高斯消元法、矩阵求逆法和向量法等。

高斯消元法是一种常用的解线性方程组的方法，它通过一系列消元和代入操作，将方程组转化为简化的阶梯形矩阵，进而求得方程组的解。

线代第一章

如：31245 就是一个 5 级排列。例1 写出所有的 3 级排列： 123 132 213 231 312 321
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可见，第一个位置有 3 种选择，第二个位置有 2 种选择，第三个位置有 1 种选择，所以所有的 3 级排列一共有
3 2 1 3! 6
个。显然，所有的 5 级排列一共有 5！= 120 个。容易得出，n 级排列一共有 n! 个。而在 n
第一章
行列式
第一节二阶与三阶行列式第二节 n 阶行列式
第三节行列式的性质
第四节行列式的按行（列）展开第五节克莱姆法则
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第一节二阶与三阶行列式

一、二阶行列式
二、三阶行列式三、小结
一、二阶行列式
用消元法解二元线性方程组
a11 x1 a12 x2 b1 , a21 x1 a22 x2 b2 .
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a11 a12 a13 D a21 a22 a23 列标 a31 a32 a33 行标三阶行列式的计算 a11 a12 a13 a11 a12 (1)沙路法 D a21 a22 a23 a21 a22 a31 a32 a33 a31 a32
D a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31 .
记 a11
a31
a21 a31
a12 a13 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 (6) a a a a a a a a a 11 23 32 12 21 33 13 22 31, a32 a33
（6）式称为数表（5）所确定的三阶行列式.

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aa1211xx11
a12 x2 a22 x2
b1 , b2 .
D1
b1 b2
a12 , a22
aa1211xx11
a12 x2 a22 x2
b1 , b2 .
D2
a11 a21
b1 . b2
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则二元线性方程组的解为
b1
x1
D1 D
b2 a11
a21
a12 a22 , a12 a22
如：2 4 3 1（逆序数为 4，偶排列） 2 1 3 4（逆序数为 1，奇排列）
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定理 2 全部 n 级排列中，偶排列与奇排列各
占一半，都是 n!（n ≥ 2）个。 2
如果全部 n 级排列中奇排列有 p 个，偶排列有 q 个，所有的排列都经过一次同样的对换（对换相同的两个数），则奇排列变成了偶排列（即 p ≥ q ），偶排列变成了奇排列（即 q ≥ p ），所以 p = q。
a11 a21
a12 a22
a11a22 a12a21.
还有其他阶的行列式吗
a11 a12 a13
a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
a31 a32 a33
a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31,
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第二节行列式的一般规律是什么构成项数
t 23218
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定义 4 把一个排列中的某两个元素位置对调，而其它的元素不动，就得到了另一个排列，这种变换就称为一个对换。
如：排列 3 5 4 2 1 中的 5 与 2 对换，就得到新排列 3 2 4 5 1。定理 1 任何一个排列经过一次对换，排列改变奇偶性。即奇排列经过一次对换变成偶排列，偶排列经过一次对换变成奇排列。
11 1 例3 求解方程 2 3 x 0.
4 9 x2 解方程左端
D 3x2 4x 18 9x 2x2 12 x2 5x 6,
由x2 5x 6 0 解得 x 2 或 x 3.
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三、小结
二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方程组引入的.
二阶与三阶行列式的计算对角线法则
线性代数
教材:徐爱华(同济大学出版社) 参考书:同济大学数学系(高等教育出版社)
线性代数学习辅导与习题祥解(同上) 戴斌祥(北京邮电大学出版社)
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线性方程组的概念
a11x1 a12 x2
a21x1
a22 x2
am1x1 am2 x2
a1n xn b1 a2n xn b2 称为线性方程组
找个记公式的好办法
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定义1 由四个数排成二行二列（横排称行、竖排称列）的数表
a11 a12
a21 a22
(4)
表达式 a11a22 a12a21称为数表（4）所确定的二阶
行列式，并记作 a11 a12
(5)
a21 a22
即
D a11 a21
a12 a22
a11a22 a12a21.
例如 a a a 13 21 32 列标排列 3 1 2 的逆序数为
t312 1 1 2, 偶排列正号
a a a 11 23 32
列标排列 1 3 2 的逆序数为
t132 1 0 1, 奇排列负号,
a11 a12 a13
a21 a22 a23
(1)t ( p1 p2 p3 ) a1p1 a2 p2 a3 p3 .
记作
D
a21
a22
a2n
an1 an2 ann
简记作 det(aij ). 数 aij 称为行列式 det(aij ) 的元素．
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其中 p1 p2 pn 为自然数 1，2，，n 的一个排列， t 为这个排列的逆序数．
a11 a12
a1n
D a21 a22
a2n
an1 an2
aa1211xx11
a12 x2 a22 x2
b1 , b2 .
1 2
1 a22 : a11a22 x1 a12a22 x2 b1a22,
2 a12 : a12a21x1 a12a22 x2 b2a12,
两式相减消去 x2，得
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（a11a22 a12a21）x1 b1a22 a12b2;
4、 a1 p1a2 p2 anpn 的符号为 1 ; t( p1, p2 ,pn )
5、一阶行列式 | a | = a 不要与绝对值相混淆。
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三、计算几个特殊的行列式
例3 计算对角行列式
1
（1） D
2
12 n
（2） D
n
1
2
?
n
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解
设
a i
i ,ni 1
a31 a32 a33 a31 a32 D a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31.
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(2)对角线法则 a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32 . 注意红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素的乘积冠以负号．说明：对角线法则只适用于二阶与三阶行列式。
amn xn bm
若常数项b1,b2, ,bm不全为零, 称此方程组为非
齐次线性方程组; 若常数项 b1, b2, ,bm 全为零,
称方程组为齐次线性方程组.
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第一章行列式第二章矩阵第三章向量与线性方程组第四章矩阵的特征值与特征向量第五章二次型第六章用软件解线性代数问题
ann
1 a a t p1 p2 pn 1 p1 2 p2
anpn
( p1 p2 pn )
表示对所有的 n 级排列求和。
( p1 p2 pn )
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说明 1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的； 2、n 阶行列式是 n! 项的代数和； 3、n 阶行列式的每项都是位于不同行、不同列 n 个元素的乘积；
如：排列 2 4 3 1 中，21，41，31，43 均为逆序，则排列的逆序数为4。（依次与其他数比大小）
定义 3 逆序数是奇数的排列称为奇排列；逆序数是偶数或 0 的排列称为偶排列。
如：2 4 3 1 是偶排列；3 1 4 2 5 中有 3 个逆序，是奇排列。
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逆序数的求法为：
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1 2 -4 例２计算三阶行列式 D - 2 2 1
-3 4 -2 解按对角线法则，有
D 1 2 (2) 2 1 (3) (4) (2) 4 11 4 2 (2) (2) (4) 2 (3)
4 6 32 4 8 24 14.
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二阶行列式的计算对角线法则
主对角线 a11 副对角线 a21
a12 a11a22 a12a21.
a22
对于二元线性方程组
a11x1 a12 x2 b1, a21x1 a22 x2 b2 .
若记
D a11 a12 ,
系数行列式
a21 a22
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aa1211xx11
类似地，消去 x1，得（a11a22 a12a21）x2 a11b2 b1a21,
当 a11a22 a12a21 0 时，方程组的解为
这个解能当公式用吗
x1
b1a22 a11a22
a12b2 ， a12a21
x2
a11b2 a11a22
b1a21 . a12a21
（3）
由方程组的四个系数确定.
a12 x2 a22 x2
b1 , b2 .
D a11 a12 , a21 a22
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aa1211xx11
a12 x2 a22 x2
b1 , b2 .
D1
b1 b2
a12 , a22
aa1211xx11
a12 x2 a22 x2
b1 , b2 .
D a11 a12 , a21 a22
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第一章
解决代数问题的一种工具
行列式
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
第一节二阶与三阶行列式
第二节 n 阶行列式
第三节行列式的性质
第四节行列式的按行(列)展开
第五节克莱姆法则
用行列式表达的求解公式
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第一节二阶与三阶行列式
一、二阶行列式二、三阶行列式三、小结
一、二阶行列式
用消元法解二元线性方程组
a a a 31
32
33
a a a 13 22 31 a a a 11 23 32 a a a 12 21 33
说明
（1）三阶行列式共有 6 项，即 3! 项。
（2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积（每行出一个、每列出一个）。
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（3）每项的正负号都取决于位于不同行不同列的三个元素的下标排列。
，则
1
2
a1n a2,n1
n
an1
(1)t a1na2,n1 an1 (1)t 12 n
a31 a32 a33
( p1 p2 p3 )
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由此，我们可以推广到 n 阶行列式情形。
定义5 由 n2 个数组成的 n 阶行列式等于所有取自不同行不同列的n 个元素的乘积

线代第一章

线性代数课件 第一章

线性代数课件第一章 行列式

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