华南理工大学线代微积分答案课后题第一章(1)

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华南理工大学基础部
关于 10 级《微积分》（经管类）第二学期期末统考的通知
通知要点
★考试的重点内容与要求★考试的形式与试卷结构★题型示例与答案
一、考试的重点内容与要求
考试的范围是《微积分》（第三版·赵树嫄主编）第六、七、八、九章，
以下按各章顺序分四个部分明确考试的重点与要求：
1、定积分及其应用
b
理解定积分的定义（含两点补充规定：当 a b 时， a f (x)dx 0 ；当
解：由 Z ' x 2 yx 1
1 x y
4、

幂级数 n1
xn n3n
x2
0
再次微分得
的收敛半径 R
解：由 R= lim an = lim n 3n = lim 3n 1
n
an1
n
1
1
n 1 3n1
f
t dt
Z
'
'

xy
x

______________.
三、题型示例与答案
第一部分：题型示例

（一）填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分。把答案写在横
1、
解：原式=
线上。）
定积分
e Inx2
1
e
1
ln x2
x
d Inx=
dx

1 3
_____________.
Inx3
e 1
=
1 3
Ine3
第3页共9页
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电，力根通保据过护生管高产线中工敷资艺设料高技试中术卷资，配料不置试仅技卷可术要以是求解指，决机对吊组电顶在气层进设配行备置继进不电行规保空范护载高与中带资负料荷试下卷高问总中题体资，配料而置试且时卷可，调保需控障要试各在验类最；管大对路限设习度备题内进到来行位确调。保整在机使管组其路高在敷中正设资常过料工程试况中卷下，安与要全过加，度强并工看且作护尽下关可都于能可管地以路缩正高小常中故工资障作料高；试中对卷资于连料继接试电管卷保口破护处坏进理范行高围整中，核资或对料者定试对值卷某，弯些审扁异核度常与固高校定中对盒资图位料纸置试，.卷保编工护写况层复进防杂行腐设自跨备动接与处地装理线置，弯高尤曲中其半资要径料避标试免高卷错等调误，试高要方中求案资技，料术编试交写5、卷底重电保。要气护管设设装线备备置敷4高、调动设中电试作技资气高，术料课中并3中试、件资且包卷管中料拒含试路调试绝线验敷试卷动槽方设技作、案技术，管以术来架及避等系免多统不项启必方动要式方高，案中为；资解对料决整试高套卷中启突语动然文过停电程机气中。课高因件中此中资，管料电壁试力薄卷高、电中接气资口设料不备试严进卷等行保问调护题试装，工置合作调理并试利且技用进术管行，线过要敷关求设运电技行力术高保。中护线资装缆料置敷试做设卷到原技准则术确：指灵在导活分。。线对对盒于于处调差，试动当过保不程护同中装电高置压中高回资中路料资交试料叉卷试时技卷，术调应问试采题技用，术金作是属为指隔调发板试电进人机行员一隔，变开需压处要器理在组；事在同前发一掌生线握内槽图部内纸故，资障强料时电、，回设需路备要须制进同造行时厂外切家部断出电习具源题高高电中中源资资，料料线试试缆卷卷敷试切设验除完报从毕告而，与采要相用进关高行技中检术资查资料和料试检，卷测并主处且要理了保。解护现装场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。

华南理工2018年经济数学随堂练习题参考答案(最新)

一元微积分第一章函数·第一节函数概念1.下面那一句话是错误的？（）A．两个奇函数的和是奇函数B．两个偶函数的和是偶函数C．两个奇函数的积是奇函数D．两个偶函数的积是偶函数C答题：A. B. C. D. （已提交）参考答案：C2.函数与是相等的。

（）F对 .错.（已提交）参考答案：×答题：3.函数与是相等的。

（）F对 .错.（已提交）参考答案：×答题：1.某厂为了生产某种产品，需一次性投入1000 元生产准备费，另外每生产一件产品需要支付 3 元，共生产了 100 件产品，则每一件产品的成本是？（）A．11 元B．12 元 C．13 元 D．14 元C答题：A. B. C. D. （已提交）参考答案：C2.某产品每日的产量是件，产品的总售价是元，每一件的成本为元，则每天的利润为多少？（）A．元 B．元 C．元．元A答题：A. B. C. D. （已提交）参考答案：A1/43----3. 某产品当售价为每件元时，每天可卖出（即需求量）1000 件.如果每件售价每降低或提高a 元，则可多卖出或少卖出b 件，试求卖出件数与售价之间的函数关系？（）.A．B．C．D．答题：CA. B. C. D. （已提交）参考答案：C1.的反函数是？（）A．B．C．D．CA. B. C. D. （已提交）参考答案：答题：C2.的反函数是？（）A ．B ．C ．D．AA. B. C. D. （已提交）参考答案：答题：B3. 下面关于函数哪种说法是正确的？（）A．它是多值、单调减函数B．它是多值、单调增函数C．它是单值、单调减函数D．它是单值、单调增函数DA. B. C. D. （已提交）参考答案：答题：2/43----D4. 反余弦函数的值域为。

（）T对 .错. （已提交）参考答案：√答题：1. 已知的定义域是，求+，的定义域是？（）A．B．C．D．答题：CA. B. C. D. （已提交）参考答案：C2. 设，则 x的定义域为？（）A．B．C．D．答题：CA. B. C. D. （已提交）参考答案：C3.可以看做是哪些基本初等函数的复合或有限次四则运算步骤组成？（）A．B．C．D．4aa663673d3f25答题：ABCDA. B.C. D. （已提交）参考答案：ABCD第二章极限与连续·第一节极限概念1.求？（）3/43----A ．B ．C ．D4aa663673d3f25．答题：DA. B. C.D. （已提交）2. 当时，函数的极限不存在。

华工版高等数学教材答案

华工版高等数学教材答案1. 本篇文章为华工版高等数学教材答案，将为您提供对该教材中一些题目的解答和解题思路。

以下将按照教材章节的顺序，逐一给出答案和详细的解析。

2. 第一章：数学基础知识2.1 常用函数的性质和图形- 例题1：已知函数f(x) = x^2 - 2x -3，求其零点及对称轴。

解答：首先，令f(x) = 0，解方程可得x = -1，x = 3为f(x)的零点。

其次，计算函数f(x)的一阶导数f'(x) = 2x - 2，再求f'(x) = 0的解，得x = 1，该直线为对称轴。

- 例题2：已知函数f(x) = (x - 1)(x + 2)，求其极限lim(x→∞) f(x)。

解答：将f(x)展开得f(x) = x^2 + x - 2，当x趋向于无穷大时，x^2项的值远大于x和常数项-2。

因此，lim(x→∞) f(x) = ∞。

3. 第二章：一元函数微分学3.1 导数的概念和基本性质- 例题1：已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x，求f(x)的导函数f'(x)。

解答：对函数f(x)进行求导，得到f'(x) = 3x^2 - 6x + 2。

- 例题2：已知函数f(x) = √(2x + 1)，求f'(x)。

解答：利用链式法则，即f'(x) = (1/2)(2x + 1)^(-1/2) * 2，化简得f'(x) = 1 / √(2x + 1)。

4. 第三章：一元函数微分学应用4.1 微分中值定理和导数的应用- 例题1：已知函数f(x) = ln(x)，讨论f(x)在(0, +∞)上的单调性和极值。

解答：对函数f(x)求导得到f'(x) = 1 / x。

当x > 0时，f'(x) > 0，说明f(x)在(0, +∞)上是递增的。

同时，由于f'(x)不存在极值点，所以f(x)在(0, +∞)上没有极值。

微积分第一章课外习题参考答案

存在 (a,b),使得F ( ) 0, 即f ( ) g( ).
p14. 三.1.证明 : 令f ( x) x3 3x 1, 则f ( x)在[1,2]上连续,且
f (1) 3 0, f (2) 1 0, 由闭区间上连续函数的零点定理,
存在 (1,2),使得f ( ) 0,即 3 3 1.
1,
n2
lim
n
n2
1,
n2
1
n
)
1
lim
n
n(
n2
n2
1
2
n2
1
n
)
1.
p8. 2.证明 : (1) x1 2 0, x2 2 x1 x1 0,设xn xn1 0,则
xn1 2 xn 2 xn1 xn 0, 根据数学归纳法原理,{ xn }为单调增加序列, (2) x1 2 2,设xn 2,则
xn1 2 xn 2 2 2, 根据数学归纳法原理,xn 2, n 1,2, ,
(接上页p8.)
{ xn }为单调增加有界序列.
lim
n
xn存在
.
设
lim
n
xn
A,由xn
2 xn1 ,得
lim
n
xn
lim
n
2 xn1 ,
A 2 A, A 2, A 1(舍去),
lim
n
lim n k 1, lim n kAn 1
n
n
lim
n
xn
A
max(a1,a2 ,
ak ).
例如: lim n 1n 2n 8n 8. n
p15. 三.由导数定义知 :
1.
e xh lim
ex.

微积分第一章详细答案

第一章习题1-11.用区间表示下列不等式的解2(1)9;(2)1;1(3)(1)(2)0;(4)00.011 x x x x x ≤>--+<<<+解 (1)原不等式可化为(3)(3)0x x -+≤,其解为33x -≤≤,用区间表示是[-3,3].(2)原不等式可化为11x ->或11x -<-,其解为2x >或0x <,用区间表示是(-∞,0)∪(2,+ ∞).(3)原不等式的解为21x -<<,用区间表示是(-2,1). (4)原不等式可化为0.0110.0110x x -<+<⎧⎨+≠⎩即 1.010.991x x -<<-⎧⎨≠⎩用区间表示是(-1.01,-1)∪(-1,-0.99). 2.用区间表示下列函数的定义域: 1(1)(2)arcsin(1)lg(lg );1(3).ln(2)y y x x xy x =-=-+=-解 (1)要使函数有意义,必须2010x x ≠⎧⎨-≥⎩即011x x ≠⎧⎨-≤≤⎩所以函数的定义域为[-1,0)∪(0,1].(2)要使函数有意义,必须111lg 00x x x -≤-≤⎧⎪>⎨⎪>⎩即0210x x x ≤≤⎧⎪>⎨⎪>⎩所以函数的定义域是12x <≤,用区间表示就是(1,2].(3)要使函数有意义,必须2650ln(2)020x x x x ⎧--≥⎪-≠⎨⎪->⎩即6112x x x -≤≤⎧⎪≠⎨⎪<⎩所以函数的定义域是-6≤x <1,用区间表示就是[-6,1).3.确定下列函数的定义域及求函数值f (0),ff (a )(a 为实数),并作出图形(1)1,0,2,011,12x x y x x x ⎧<⎪⎪=⎨≤<⎪⎪<≤⎩； (2)y＝211,12x x x ⎧≤⎪⎨-<<⎪⎩解 (1)函数的定义域(){|0}{|01}{|12}{|112}(,1)(1,2]或D f x x x x x x x x x =<≤<<≤=<<≤=-∞10(0)200,1,()201112a a f ff a aa a ⎧<⎪⎪=⨯===⎨≤<⎪⎪<≤⎩,图1-1 图1-2(2)函数的定义域(){|1}{|12}{|2}(2,2)D f x x x x x x =≤<<=<=-221(0)1,11,()112a f ff a a a ≤===-==-<<⎪⎩4.设1,1()1,1x f x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩,求f (f (x )).解当|x |≤1时, f (x )=1, f (f (x ))= f (1)=1;当|x |>1时, f (x )=-1, f (f (x ))= f (-1)=1, 综上所述f (f (x ))=1(x ∈R ).5.判定下列函数的奇偶性： (1) f (x )＝21cos xx-； (2)f (x )＝(x 2＋x )sin x ；(3)f (x )＝1e ,0e 1,0x x x x -⎧-≤⎨->⎩解 (1) ∵221()1()()cos()cos x xf x f x x x----===-∴f (x )是偶函数.(2)∵222()[()()]sin()()(sin )()sin ()f x x x x x x x x x x f x -=-+--=--=--≠ 且()()f x f x -≠-, ∴f (x )是非奇非偶函数.(3)当x <0时,-x >0, ()1(1)()e e x x f x f x ---=-=--=-; 当x ≥0时,-x ≤0, ()()11(1)()e e e x x x f x f x ---=-=-=--=-,综上所述, x ∀∈R ,有f (-x )=-f (x ),所以f (x )是奇函数.6.设f (x )在区间(-l ,l )内有定义,试证明：(1) f (-x )+f (x )为偶函数； (2) f (-x ) -f (x )为奇函数. 证 (1)令()()()F x f x f x =-+(,)x l l ∀∈-有()[()]()()()()F x f x f x f x f x F x -=--+-=+-=所以()()()F x f x f x =-+是偶函数;(2)令()()()F x f x f x =--,(,)x l l ∀∈-有()[()]()()()[()()]()F x f x f x f x f x f x f x F x -=----=--=---=-所以()()()F x f x f x =--是奇函数.7. 试证：(1) 两个偶函数的代数和仍为偶函数； (2) 奇函数与偶函数的积是奇函数. 证 (1)设f (x ),g (x )均为偶函数,令()()()F x f x g x =± 则 ()()()()()(F x f x g x f x g x F x-=-±-=±=, 所以()()f x g x ±是偶函数,即两个偶函数的代数和仍为偶函数.(2)设f (x )为奇函数,g (x )为偶函数,令()()()F x f x g x =⋅, 则 ()()()()()(F x f x g x f x g x F x -=-⋅-=-=-, 所以()()f x g x ⋅是奇函数,即奇函数与偶函数之积是奇函数. 8. 求下列函数的反函数:22(1)2sin 3;(2);212101,(3)()2(2)1 2. xxy x y x x f x x x ==+-≤≤⎧=⎨--<≤⎩解 (1)由2sin 3y x =得1arcsin 32y x =所以函数2sin 3y x =的反函数为1arcsin(22)32x y x =-≤≤.(2)由221xxy =+得21x y y=-,即2log 1y x y=-.所以函数221xx y =+的反函数为2log (01)1x y x x =<<-.(3)当01x ≤≤时,由21y x =-得1,112y x y +=-≤≤;当12x <≤时,由22(2)y x =--得22x y =-<≤;于是有1112212y y x y +⎧-≤≤⎪=⎨⎪-<≤⎩,所以函数22101()2(2)12x x f x x x -≤≤⎧=⎨--<≤⎩的反函数是1112()212x x f x x +⎧-≤≤⎪=⎨⎪-<≤⎩.9. 将y 表示成x 的函数,并求定义域:222(1)10,1;(2)ln ,2,sin ;(3)arctan ,().为实数u vy u x y u u v x y u u v a x a ==+======+解 (1)211010u x y +==,定义域为(-∞,+∞);(2) sin ln ln 2ln 2sin ln 2vxy u x ====⋅定义域为(-∞,+∞);(3) arctan arctan arctan y u ===(a 为实数),定义域为(-∞,+∞).习题1-21.下列初等函数是由哪些基本初等函数复合而成的? (1) y=(2) y =sin 3ln x ;(3) y = tan 2xa； (4) y =ln ［ln 2(ln 3x )］.解 (1)令arcsin x u a =,则y =再令xv a =,则arcsin u v =,因此y =是由基本初等函数arcsin ,xy u v v a ===复合而成的.(2)令sin ln u x =,则3y u =,再令ln v x =,则sin u v =.因此3sin ln y x =是由基本初等函数3,sin ,ln y u u v v x ===复合而成.(3)令2tan u x =,则u y a =,再令2v x =,则tan u v =,因此2t a n x y a =是由基本初等函数2,tan ,uy a u v v x ===复合而成.(4)令23ln (ln )u x =,则ln y u =,再令3ln(ln )v x =则2u v =,再令3ln w x =,则ln v w =,再令ln t x =,则3w t =,因此23ln[ln (ln )]y x =是由基本初等函数2ln ,,ln ,y u u v v w ===3,ln w t t x ==复合而成.2.设f (x )的定义域为［0,1］,分别求下列函数的定义域： (1) f (x 2)； (2) f (sin x ); (3) f (x +a ),(a ＞0)； (4) f (e x +1).解 (1)由f (x )的定义域为[0,1]得0≤x 2≤1,于是-1≤x ≤1,所以f (x 2)的定义域为[-1,1].(2)由f (x )的定义域为[0,1]得0≤sin x ≤1,于是2k π≤x ≤(2k +1)π,k ∈z ,所以f (sin x )的定义域为[2k π,(2k +1) π], k ∈Z .(3)由f (x )的定义域为[0,1]得0≤x+a ≤1即-a ≤x ≤1-a 所以f (x+a )的定义域为[-a ,1-a ]. (4)由f (x )的定义域为[0,1]得0≤e x +1≤1,解此不等式得x ≤-1,所以f (e x +1)的定义域为(-∞,-1]. 3. 求下列函数的表达式：(1) 设ϕ(sin x )=cos 2x +sin x +5,求ϕ(x ); (2) 设g (x -1)=x 2+x +1,求g (x ); (3) 设1()f x x +=x 2+21x,求f (x ).解 (1)法一:令sin t x =,则222cos 1sin 1x x t =-=-,代入函数式,得:22()156t t t t t ϕ=-++=+-,即 2()6x x x ϕ=++.法二:将函数的表达式变形得:22(sin )(1sin )sin 56sin sin x x x x x ϕ=-++=+-令sin t x =,得 2()6t t t ϕ=+-,即 2()6x x x ϕ=+-.(2)法一:令1t x =-,则1x t =+,将其代入函数式,得22()(1)(1)133g t t t t t =++++=++即 2()33g x x x =++.法二:将函数表达式变形,得22(1)(21)(33)3(1)3(1)3g x x x x x x -=-++-+=-+-+令1x t -=,得 2()33g t t t =++, 即 2()33g x x x =++.(3)法一:令1x t x+=,两边平方得22212x t x++=即22212x t x+=-,将其代入函数式,得2()2f t t =-,即2()2f x x =-.法二:将函数表达式变形,得222111222f x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭令1x t x+=,得2()2f t t =-,即2()2f x x =-.4.设f (x )为奇函数,证明：若f (x )在x =0有定义,则f (0)=0.证 ∵f (x )为奇函数,且f (x )在x =0处有定义,∴ (0)(0)f f -=-又(0)(0)f f -=于是(0)(0)f f =- 即2(0)0,(0)0f f =∴=.5.证明：狄利克雷函数是周期函数,任何一个正有理数均是它的周期,但无最小正周期. 证狄利克雷函数1,,()0,当为有理数时当为无理数时.x D x x ⎧=⎨⎩设T 是任一正有理数, x ∀∈R ,当x 为有理数时,x+T 为有理数,于是()1D x T +=,又()1D x =,所以()()D x T D x +=; 当x 为无理数时,x+T 为无理数,于是()0D x T +=,又()0D x =,所以()()D x T D x +=. 综上所述, x ∀∈R 有()()D x T D x +=,所以()D x 是周期函数,任何一个正有理数均是它的周期,又设P 是任一无理数, x P ∃=-∈R ,使()(0)1D x P P +==,而()0D x =,故()()D x P D x +≠,即无理数不是()D x 的周期;因为不存在最小的正有理数,所以()D x 无最小正周期.习题1-31.设销售商品的总收入是销售量x 的二次函数,已知x =0,2,4时,总收入分别是0,6,8,试确定总收入函数TR(x ).解设2()TR x ax bx c =++,由已知(0)0,(2)6,(4)8TR TR TR === 即 04261648c a b c a b c =⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ 解得 1240a b c ⎧=-⎪⎪⎨=⎪⎪=⎩所以总收入函数21()42TR x x x =-+.2.设某厂生产某种产品1000吨,定价为130元/吨,当一次售出700吨以内时,按原价出售；若一次成交超过700吨时,超过700吨的部分按原价的9折出售,试将总收入表示成销售量的函数.解设销售量为x ,实际每吨售价为P 元,由题设可得P 与x 间函数关系为1307001177001000x P x ≤⎧=⎨<≤⎩,总收入 130700()130700(700)1177001000TR x x x x x ≤⎧=⎨⨯+-⨯<≤⎩,即 130700()91001177001000TR x x x xx ≤⎧=⎨+<≤⎩.3. 已知需求函数为105Q P =-,成本函数为C =50+2Q ,P 、Q 分别表示价格和销售量.写出利润L 与销售量Q 的关系,并求平均利润.解由题设知总收入2()105QR Q PQ Q ==-,则总利润 ()221()()()8505021055Q L Q R Q C Q Q Q Q Q ⎛⎫=-=-=--+- ⎪⎝⎭, 平均利润 ()150()85L Q AL Q Q QQ==--.4. 已知需求函数Q d 和供给函数Q s ,分别为Q d =100233P -,Q s =-20+10P ,求相应的市场均衡价格.解当d s Q Q =时供需平衡,由d s Q Q =得1002201033P P -=-+,解得5P =所以市场均衡价格5P =.。

2018华工经济数学随堂练习答案

2018华工经济数学随堂练习答案一元微积分·第一章函数·第一节函数概念1.(单选题) 下面那一句话是错误的（）A．两个奇函数的和是奇函数B．两个偶函数的和是偶函数C．两个奇函数的积是奇函数D．两个偶函数的积是偶函数参考答案：C2.(判断题) 函数与是相等的。

（）答题：对. 错. （已提交）参考答案：×3.(判断题) 函数与是相等的。

（）答题：对. 错. （已提交）参考答案：×一元微积分·第一章函数·第二节经济中常用的函数当前页有3题，你已做3题，已提交3题，其中答对3题。

1.(单选题) 某厂为了生产某种产品，需一次性投入1000元生产准备费，另外每生产一件产品需要支付3元，共生产了100件产品，则每一件产品的成本是（）A．11元B．12元C．13元D．14元参考答案：C2.(单选题) 某产品每日的产量是件，产品的总售价是元，每一件的成本为元，则每天的利润为多少（）A．元B．元C．元D．元参考答案：A3.(单选题) 某产品当售价为每件元时，每天可卖出（即需求量）1000件.如果每件售价每降低或提高a元，则可多卖出或少卖出b件，试求卖出件数与售价之间的函数关系（）. A．B．C．D．参考答案：C一元微积分·第一章函数·第三节基本初等函数1.(单选题) 的反函数是（）A．B．C．D．参考答案：C2.(单选题) 的反函数是（）A．B．C．D．参考答案：B3.(单选题) 下面关于函数哪种说法是正确的（）A．它是多值、单调减函数B．它是多值、单调增函数C．它是单值、单调减函数D．它是单值、单调增函数参考答案：D4.(判断题) 反余弦函数的值域为。

（）答题：对. 错. （已提交）参考答案：√一元微积分·第一章函数·第四节复合函数和初等函数1.(单选题) 已知的定义域是，求+ ，的定义域是（）参考答案：C2.(单选题) 设，则x的定义域为（）参考答案：C3.(多选题) 可以看做是哪些基本初等函数的复合或有限次四则运算步骤组成（）参考答案：ABCD一元微积分·第二章极限与连续·第一节极限概念1.(单选题) 求（）参考答案：D2.(判断题) 当时，函数的极限不存在。

华南理工大学网络教育学院：《工程数学》作业之01(答案)

工程数学作业之一解答作业一：线性代数一．问答题1．叙述三阶行列式的定义。

答：定义1：用23个数组成的记号111213212223313233a a a a a a a a a 表示数值： 222321232122111213323331333132a a a a a a a a a a a a a a a -+称为三阶行列式，即：111213212223313233a a a a a a a a a ＝222321232122111213323331333132aa a a a a a a a a a a a a a -+定义2：用2n 个数组成的记号D ＝1111n n nn a a a a ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭表示数值： 2223232333111123(1)n n n n nn a a a a a a a a a a +-＋2123231333121213(1)n n n n nna a a a a a a a a a +-＋＋21222,131323,11112,1(1)n n n nn n n n a a a a a a a a a a --+--称为n 阶行列式。

2．叙述n 阶行列式的余子式和代数余子式的定义，并写出二者之间的关系。

答：定义：在n 阶行列式D 中划去ij a 所在的第i 行和第j 列的元素后，剩下的元素按原来相对位置所组成的（n －1）阶行列式，称为ij a 的余子式，记为ij M ，即ij M ＝111,11,111,11,11,11,1,11,11,11,1,1,1j j n i i j i j i n i i j i j i n n n j n j nna a a a a a a a a a a a a a a a -+----+-++-+++-+(1)i j ij M +-⨯称为ij a 的代数余子式，记为ij A ，即ij A ＝(1)i j ij M +-⨯3．叙述矩阵的秩的定义。

华南理工大学高数上册答案

A 第一章函数与极限作业1 函数1．填空题（1）函数31arcsin11)(2+−−=x x x f 的定义域为]2,1()1,4[∪−−；（2）没x x x x f ln ln 1ln 1=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−，则=)(x f t te t t +−+−1111；（3）设2()e x f x =，x x f 31)]([−=ϕ，且0)(≥x ϕ，则=)(x ϕ()x 31ln −，（4）函数3sin 22cos xx y+=的周期为π12；（5）函数)2ln(1++=x y的反函数=y 21−−x e ；（6）将函数|2|2x x y −+=用分段函数表示为=y ⎩⎨⎧<+≥−2,22,23x x x x ． 2．设函数)(x f y=的定义域为［0,2］,求下列函数的定义域：（1）)(2x f y=；解：由202≤≤x ，知该函数的定义域为]2,2[− （2）)()(a x f a x f y−++=，（0>a ）；解：由⎩⎨⎧≤−≤≤+≤2020a x a x ，知⎩⎨⎧+≤≤−≤≤−ax a ax a 22，从而该函数的定义域：当10≤<a 时为]2,[a a −，否则为空集（3）)(sgn x f y =, 其中⎪⎩⎪⎨⎧<−=>=0,10,00,1sgn x x x x ．解：由2sgn 0≤≤x ，知该函数的定义域为),0[+∞ 3．判定下列函数的奇偶性：（1）)(log )(22a x x x f a ++=；解：由()()()x f ax x a a x x x f a a −=++=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−+−=−2log log 22222，知该函数非奇非偶（2）3cos ()|sin |e x f x x x =．解：由()()()()x f e x x e x x x f x x ==−−=−−cos 3cos 3sin sin ，知该函数为偶4．设⎩⎨⎧>++≤−=0),1ln(20,sin 2)(x x x x x f , ⎩⎨⎧≥−<=0,0,)(2x x x x x ϕ, 求)]([x f ϕ．解：()⎩⎨⎧<++≥+=⎩⎨⎧>++≤−=0,1ln 20,sin 20)]([)]},([1ln{20)]([)],(sin[2)]([2x x x x x x x x x f ϕϕϕϕϕ5．没⎪⎩⎪⎨⎧>−≤≤−−<−=2,121021,1,21)(32x x x x x x x f ，求)(x f 的反函数．解：因为，当1−<x 时21,12,12122yx y x x y −−=−=−<−= 当21≤≤−x 时33],8,1[y x x y =−∈=；当2>x 时1012,81210+=>−=y x x y 故反函数为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>+≤≤−−<−−==8,101281,1,213x x x x x xy6．证明函数x x f 31)(−=在其定义域内无界．证明：由无界的定义，D x M ∈∃>∀0,0，使()M x x f >−=0031 因为133113000+≤−≤−x x x ，只要M x >−130，即310+>M x 因而只要取320+=M x 即有()M M x f =−+>13130 从而x x f 31)(−=在其定义域R 内无界作业2 数列的极限1．用数列极限的“N −ε”定义证明下列极限：（1）nn n n −→∞224lim =4；证明：因为n n n n n x n 81444422<−=−−=−0>∀ε，要ε<−4n x ，只要εε8,8><n n取⎦⎤⎢⎣⎡+=ε82N ，则当N n >时81n N ε≥+>从而ε<−4n x ，由定义nn n n −→∞224lim（2）()n n n −+→∞1lim=0；证明：因为0n x −==<0>∀ε，要0n x ε−<取211N ε⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦，则当N n >时211n N ε≥+>从而0n x ε−<，由定义lim0n →∞−=（3）nn n 3lim 2→∞=0．证明：因为，当6n >时，()()()()3231121212222!3!2nn n n n n n n −−−+=+⋅+++>L 2203n n n x n−=<0>∀ε，要0n x ε−<，只要22,n n εε<>，取26N ε⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦，则当N n >时21n N ε≥+>，从而0n x ε−<，由定义2lim 03n n n →∞=2．证明：若A u n n =→∞lim ，则||||lim A u n n =→∞，并举例说明其逆命题不成立．证明：由A u n n =→∞lim知0>∀ε，存在0N >，当N n >时n u A ε−<，而n n u A u A −≤−，从而n u A ε−<，由定义||||lim A u n n =→∞逆命题不成立，例如：()1nn u =−，虽然lim ||1n n u →∞=，但lim n n u →∞不存在3．设数列}{n u 有界，而0lim =∞→n n v ，求证：0lim =→∞n n n v u ．证：{}n u Q 有界，所以存在0,n M u M >≤, 又0lim=∞→n n v ，0>∀ε，对于1Mεε=存在0N >，当N n >时1n v ε<，从而n n n n u v u v MMεε=<=，由定义0lim =→∞n n n v u4．设数列}{n u ，}{n v 有相同的极限为A ，求证：若． n n n v u x −=，则0lim=→∞n n x ．证：由已知0>∀ε，对于12εε=存在10N >，当1n N >时2n u ε<，存在20N >，当2n N >时2n v ε<，取12max{,}N N N =，则当N n >时，()0n n n n n x u A v A u A v A ε−=−−−≤−+−<，由定义0lim =→∞n n x5．若0lim>=∞→A u n n ，（1）证明存在0>N ，当N n >时，有02>>Au n ；（2）用数列定义证明1lim1=+∞→nn n u u ．证：（1）由已知，对于02Aε=>存在0N >，当n N >时2n A u A −<即3,2222n n A A A Au A u −<−<<<，从而当N n >时，有02>>A u n（2）由（1）10N ∃>，当1n N >时，有120,02n n A u u A>><<，从而()111121n n n n n n n n n n u u u A u A u u A u A u u u A++++−−+−−=≤<−+−又0ε∀>，对于14A εε=存在20N >，当2n N >时4n A u A ε−< 因此12124n n u A u A εε+−<⋅⋅=，由定义1lim 1=+∞→nn n u u作业3 函数的极限1．根据函数极限定义证明：（1）2)54(lim 2=−+++∞→x x x x ；证：不妨设0x >=0ε∀>，要ε<，只要11,x xεε<>取10X ε=>，当x X >ε<由定义2)54(lim 2=−+++∞→x x x x（2）111lim2=−→x x ．证：不妨设11312,1,22221x x x −<<−<<−，这时1212111x x x x −−=<−−− 0ε∀>，要111x ε−<−，只要12x ε−<，取1min{,}022εδ=>，当01x δ<−<时一定有111x ε−<−，由定义111lim2=−→x x 2．已知1)(lim =→x f ax ，证明（1）存在01>δ，使得当1||0δ<−<a x 时，65)(>x f ；（2）对任意取定的)1,0(∈K，存在2δ，使得当2||0δ<−<a x 时，K x f >)(．证：由1)(lim =→x f ax ，（1）对16ε=存在01>δ，使得当1||0δ<−<a x 时，()1151,()1666f x f x −<>−= (2)()0,1,10,K K ∀∈−>对10K ε=−>存在20δ>，使得当20||x a δ<−<时，()()11,()11fx K f x K K −<−>−−=3．（1）设⎪⎩⎪⎨⎧>−=<+=2,132,02,12)(x x x x x x f ，研究)(x f 在2=x 处的左极限、右极限及当2→x 时的极限；（2）设⎪⎩⎪⎨⎧≥−<<≤−+=2,2221,1,32)(2x x x x x x x x f ，研究极限)(lim 1x f x →，)(lim 2x f x →，)(lim 3x f x →是否存在，若存在将它求出来．解：（1）()()()()20202020lim lim 215,lim lim 315x x x x f x x f x x →−→−→+→+=+==−=从而()2lim 5x f x →=（2）()()()21010lim 1,101230x f f x f →++==−=+−=，故()1lim x f x →不存在，()()()2202,202222,lim 2x f f f x →−=+=⋅−==，()3lim 2324x f x →=⋅−=4．设A x f ax =→)(lim，证明存在a 的去心邻域o0U (,)a δ，使得)(x f 在该邻域内是有界的．证：lim ()x af x A →=Q，由定义对01,0εδ=∃>，当o0U (,)x a δ∈时，()()()1,1f x A f x A f x A −≤−<<+，从而)(x f 在该邻域内是有界的．5．如果当0x x →时，)(x f 的极限存在．证明此极限值唯一．证：假设极限不惟一，则至少存在两个数A B ≠，使()()0lim ,lim x x x x f x A f x B →→==同时成立，由定义10,0εδ∀>∃>，当o01U (,)x x δ∈时()f x A ε−<，且20δ∃>，当o02U (,)x x δ∈时()f x B ε−<。

线性代数习题解答

11第一章no1.用对角线法则计算下列三阶行列式：（1）381141102---；（2）baca c bc b a （3）222111c b a c b a ；（4）yxyx x y x y y x yx +++.解（1）=---381141102811)1()1(03)4(2⨯⨯+-⨯-⨯+⨯-⨯)1()4(18)1(2310-⨯-⨯-⨯-⨯-⨯⨯- =416824-++- =4-（2）=baca cb cb accc aaa bbb cba bac acb ---++ 3333c b a abc ---=希望以上对你有帮助（3）=222111c b a c b a 222222cb ba ac ab ca bc ---++ ))()((a c c b b a ---=（4）yxyx x y x y y x y x+++yx y x y x yx y y x x )()()(+++++=333)(x y x y -+-- 33322333)(3x y x x y y x y y x xy ------+= )(233y x +-=2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数：（1）1 2 3 4；（2）4 1 3 2；（3）3 4 2 1；（4）2 4 1 3；（5）1 3 … )12(-n 2 4 … )2(n ；（6）1 3 … )12(-n )2(n )22(-n … 2.解（1）逆序数为0（2）逆序数为4：4 1，4 3，4 2，3 2（3）逆序数为5：3 2，3 1，4 2，4 1,2 1 （4）逆序数为3：2 1，4 1，4 3（5）逆序数为2)1(-n n ：3 2 1个 5 2，54 2个227 2，7 4，7 6 3个 ……………… … )12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n)1(-n 个（6）逆序数为)1(-n n3 2 1个 5 2，54 2个 ……………… … )12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n)1(-n 个4 2 1个 6 2，6 4 2个 ……………… …)2(n 2，)2(n 4，)2(n 6，…，)2(n )22(-n )1(-n 个3.写出四阶行列式中含有因子2311a a 的项. 解由定义知，四阶行列式的一般项为43214321)1(p p p p ta a a a -，其中t 为4321p p p p 的逆序数．由于3,121==p p已固定，4321p p p p 只能形如13□□，即1324或1342.对应的t 分别为10100=+++或22000=+++∴44322311a a a a -和42342311a a a a 为所求.4.计算下列各行列式：（1）⎥⎥⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎢⎢⎣⎢71100251020214214；（2）⎥⎥⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎢⎢⎣⎢-260523********12；（3）⎥⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎢⎣⎢---ef cf bf de cd bd ae ac ab ；（4）⎥⎥⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎢⎢⎣⎢---d c ba100110011001 解(1)7110025102021421434327c c c c --010142310202110214---=34)1(143102211014+-⨯--- =143102211014--321132c c c c ++141717201099-=033(2)2605232112131412-24c c -2605032122130412-24r r -0412032122130412- 14r r -0000032122130412-=0(3)ef cf bfde cd bd ae ac ab---=ecbe c b e c b adf---=111111111---adfbce =abcdef 4(4)d cb a10110011001---21ar r +dcb a ab 10110011010---+=12)1)(1(+--dca ab101101--+23dc c +01111-+-+cd c ad a ab=23)1)(1(+--cdad ab +-+111=1++++ad cd ab abcd5.证明:(1)1112222b b a a b ab a +=3)(b a -; (2)bzay byax bx az by ax bx az bz ay bx az bz ay byax +++++++++=yxzx z yz y x b a )(33+;(3)0)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(2222222222222222=++++++++++++d d d d c c c cb b b b a a a a ;44(4)444422221111d c b a dcbad c b a))()()()((d b c b d a c a b a -----=))((d c b a d c +++-⋅;(5)122110000010001a x a a a a xx x n n n+-----n n n n a x a x a x ++++=--111 .证明(1)0122222221312ab a b a a b a ab ac c c c ------=左边ab ab ab a ab 22)1(22213-----=+21))((ab a a b a b +--=右边=-=3)(b a (2)bzay byax zby ax bxaz y bx az bz ay x a ++++++分开按第一列左边bz ay by ax x by ax bxaz zbx az bz ay y b +++++++++++++002ybyax zx bxaz y z bz ay x a 分别再分bzay yxbyax x z bxaz z y b +++zyx y x zx z y b y xz x z y z y x a 33+分别再分右边=-+=233)1(y xzx z y zy x b yx zx z yz y x a (3) 2222222222222222)3()2()12()3()2()12()3()2()12()3()2()12(++++++++++++++++=d d d d d c c c c cb b b b b a a a a a 左边559644129644129644129644122222141312++++++++++++---d d d d c c c c b b b b a a a a c c c c c c964496449644964422222++++++++d d dd c c c cb b b b a a a a 分成二项按第二列964419644196441964412222+++++++++d d d c c cb b b a a a949494949464222224232423dd c cb b a ac c c c c c c c ----第二项第一项06416416416412222=+ddd c c cb b b a a a(4) 444444422222220001a d a c ab a ad ac ab aa d a c ab a ---------=左边=)()()(222222222222222a d d a c c a b b a d a c a b a d a c ab ---------=)()()(111))()((222a d d a c c a b b ad ac ab a d ac a b ++++++---=⨯---))()((a d a c a b)()()()()(00122222a b b a d d a b b a c c a b b bd b c a b +-++-++--+ =⨯-----))()()()((b d b c a d a c a b)()()()(112222b d a b bd d b c a b bc c ++++++++=))()()()((d b c b d a c a b a -----))((d c b a d c +++-(5) 用数学归纳法证明.,1,2212122命题成立时当a x a x a x a x D n ++=+-==假设对于)1(-n 阶行列式命题成立，即,122111-----++++=n n n n n a x a x a x D:1列展开按第则n D661110010001)1(11----+=+-xx a xD D n n n n右边=+=-n n a xD 1所以，对于n 阶行列式命题成立.6.设n 阶行列式)det(ij a D=,把D 上下翻转、或逆时针旋转90、或依副对角线翻转，依次得nnnn a a a a D 11111=， 11112n nn n a a a a D= ，11113a a a a D n n nn=，证明D D D D D n n =-==-32)1(21,)1(.证明)det(ij a D =nnn n nn nnnn a a a a a a a a a a D 2211111111111)1(--==∴=--=--nnn n nnn n a a a a a a a a 331122111121)1()1( nnn nn n a a a a111121)1()1()1(---=--D D n n n n 2)1()1()2(21)1()1(--+-+++-=-=同理可证nnn n n n a a a a D11112)1(2)1(--=D D n n Tn n 2)1(2)1()1()1(---=-=D D D D D n n n n n n n n =-=--=-=----)1(2)1(2)1(22)1(3)1()1()1()1(7.计算下列各行列式（阶行列式为k D k ）：(1)aaD n11=,其中对角线上元素都是a ，未写出的元素都是0；77(2)xaaa x a a a xD n=;(3) 1111)()1()()1(1111n a a a n a a a n a a a D n n n nnnn ------=---+;提示：利用范德蒙德行列式的结果．(4) nnnnnd c d c b a b a D00011112=;(5)ji a a D ij ij n -==其中),det(;(6)nna a a D +++=11111111121,021≠na a a 其中.解(1) aa aa a D n 010000000000001000=按最后一行展开)1()1(100000000000010000)1(-⨯-+-n n n aa a)1)(1(2)1(--⋅-+n n n a aa88(再按第一行展开)n n n nn a a a+-⋅-=--+)2)(2(1)1()1(2--=n n a a )1(22-=-a a n(2)将第一行乘)1(-分别加到其余各行，得ax xa a x xa a x x a a a a x D n ------=0000000再将各列都加到第一列上，得ax a x a x a a a an x D n ----+=000000)1()(])1([1a x a n x n --+=-(3)从第1+n 行开始，第1+n 行经过n 次相邻对换，换到第1行，第n行经)1(-n 次对换换到第2行…，经2)1(1)1(+=++-+n n n n 次行交换，得nn nn n n n n n n a a a n a a a n a a a D )()1()()1(1111)1(1112)1(1-------=---++此行列式为范德蒙德行列式∏≥>≥++++--+--=112)1(1)]1()1[()1(j i n n n n j a i a D∏∏≥>≥+++-++≥>≥++-∙-∙-=---=1121)1(2)1(112)1()][()1()1()]([)1(j i n n n n n j i n n n j i j i∏≥>≥+-=11)(j i n j i99(4) nnnnn d c d c b a b a D 011112=n n n n n nd d c d c b a b a a 0000000011111111----展开按第一行000)1(1111111112c d c d c b a b a b nn n n n nn ----+-+2222---n n n n n n D c b D d a 都按最后一行展开由此得递推公式： 222)(--=n n n n n n D c b d a D 即 ∏=-=ni i i i i nD c b d a D 222)(而 111111112c bd a d c b a D -==得 ∏=-=ni i i i i n c b d a D 12)((5)ji a ij-=432140123310122210113210)det(--------==n n n n n n n n a D ij n1010,3221r r r r --0432111111111111111111111--------------n n n n ,,141312c c c c c c +++1524232102221002210002100001---------------n n n n n =212)1()1(----n n n(6)nn a a a D +++=11111111121 ,,433221c c c c c c ---nnn n a a a a a a a a a a +-------1000010010000100010001000011433221展开（由下往上）按最后一列))(1(121-+n n a a a a nn n a a a a a a a a a --------00000000000000000000000000224332211111n n n a a a a a a a a ----+--000000000000000001133221++nn n a a a a a a a a -------0000000000000001143322n n n n n n a a a a a a a a a a a a 322321121))(1(++++=---)11)((121∑+==n i in a a a a8.用克莱姆法则解下列方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++-=----=+-+=+++;01123,2532,242,5)1(4321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=++=++=++=+.15,065,065,065,165)2(5454343232121x x x x x x x x x x x x x解 (1)11213513241211111----=D812073503211111------=14508130032101111---=14214205410032101111-=---=121211215132412211151------=D 1121513290501115----=1121023313090509151------=23313095112109151------=1202300461000112109151-----=14200038100112109151----=142-=11235122412111512-----=D 81150731203271151-------=3139011230023101151-=2842841910023101151-=----=426110135232422115113-=----=D14202132132212151114=-----=D 1,3,2,144332211-========∴DD x DD x DD x DD x(2)5100065100065100065100065=D 展开按最后一行61000510065100655-'D1313D D ''-'=65D D D ''-'''-''=6)65(5D D '''-''=3019D D ''''-'''=1146566551141965=⨯-⨯=(,11的余子式中为行列式a D D ',11的余子式中为a D D ''''类推D D ''''''',)51001651000651000650000611=D 展开按第一列6510065100650006+'D46+'=D 460319+''''-'''=D 1507=51010651000650000601000152=D 展开按第二列5100651006500061-6510065000610005-365510651065⨯-=1145108065-=--= 51100650000601000051001653=D 展开按第三列51006500061000516500061000510065+ 6100510656510650061+=703114619=⨯+=51000601000051000651010654=D 展开按第四列61000510065100655000610005100651--51065106565--=395-=141411000051000651000651100655=D 展开按最后一列D '+10005100651006512122111=+=665212;665395;665703;6651145;665150744321=-==-==∴x x x x x ．9.齐次线性方程组取何值时问,,μλ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++0200321321321x x x x x x x x x μμλ有非零解？解 μλμμμλ-==12111113D ，齐次线性方程组有非零解，则03=D即 0=-μλμ得 10==λμ或不难验证，当,10时或==λμ该齐次线性方程组确有非零解.10.齐次线性方程组取何值时问,λ⎪⎩⎪⎨⎧=-++=+-+=+--0)1(0)3(2042)1(321321321x x x x x x x x x λλλ有非零解？解 λλλ----=111132421D λλλλ--+--=101112431)3)(1(2)1(4)3()1(3λλλλλ-------+-= 3)1(2)1(23-+-+-=λλλ齐次线性方程组有非零解，则0=D得 32,0===λλλ或不难验证，当32,0===λλλ或时，该齐次线性方程组确有非零解.第二章矩阵及其运算1．已知线性变换：1515⎪⎩⎪⎨⎧++=++=++=,323,53,22321332123211y y y x y y y x y y y x 求从变量321,,x x x 到变量321,,y y y 的线性变换．解由已知：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221321323513122y y y x x x故 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3211221323513122x x x y y y ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=321423736947y y y⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=+--=321332123211423736947xx x y x x x y x x x y2．已知两个线性变换⎪⎩⎪⎨⎧++=++-=+=,54,232,232133212311y y y x y y y x y y x ⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=+-=,3,2,3323312211z z y z z y z z y 求从321,,z z z 到321,,x x x 的线性变换．解由已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221321514232102y y y x x x ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=321310102013514232102z z z⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=321161109412316z z z所以有 ⎪⎩⎪⎨⎧+--=+-=++-=3213321232111610941236zz z x z z z x z z z x3．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111111111A , ,150421321⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=B求.23B A A ABT 及-解A AB 23-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=1504213211111111113⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---1111111112 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0926508503⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---1111111112⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=229420172221321616⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=150421321111111111B A T⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0926508504．计算下列乘积：(1)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-127075321134; (2)()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1233,2,1; (3)()2,1312-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛; (4)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-20413121013143110412; (5)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332313232212131211321),,(x x x a a a a a a a a a x x x ;(6)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛30003200121013013000120010100121. 解(1)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-127075321134⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯+⨯⨯+⨯-+⨯⨯+⨯+⨯=102775132)2(71112374⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=49635 (2)()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛123321)10()132231(=⨯+⨯+⨯=(3)()21312-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯=23)1(321)1(122)1(2⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=632142 (4)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-20413121013143110412⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=6520876 (5)()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332313232212131211321x x x a a a a a a a a a x x x(333223113323222112313212111x a x a x a x a x a x a x a x a x a ++++++=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯321x x x 322331132112233322222111222x x a x x a x x a x a x a x a +++++=1717(6)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛30003200121013013000120010100121⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=90003400421025215．设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3121A , ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2101B ，问：(1)BA AB =吗?(2)2222)(B AB A B A ++=+吗?(3)22))((B A B A B A -=-+吗?解(1)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3121A , ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2101B则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=6443AB ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=8321BA BA AB ≠∴(2) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+52225222)(2B A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2914148但=++222B AB A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛43011288611483⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=27151610故2222)(B AB A B A ++≠+(3) =-+))((B A B A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10205222⎪⎪⎭⎫⎝⎛9060而 =-22B A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛430111483⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛7182故 22))((B A B A B A -≠-+6．举反列说明下列命题是错误的: （１）若02=A,则0=A ; （２）若A A =2,则0=A 或E A =; （３）若AY AX =,且0≠A ,则Y X =.解 (1) 取⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0010A 02=A ,但0≠A (2) 取⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0011A A A =2,但0≠A 且E A ≠ (3) 取⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0001A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1111X ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1011Y AY AX =且0≠A 但Y X ≠7．设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101λA ,求kA A A ,,,32 . 解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=12011011012λλλA1818⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==130********23λλλA A A 利用数学归纳法证明: ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101λk A k当1=k 时,显然成立,假设k 时成立,则1+k 时⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==1)1(01101101λλλk k A A A kk 由数学归纳法原理知:⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101λk A k8．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=λλλ001001A ,求kA .解首先观察⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=λλλλλλ0010010010012A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=222002012λλλλλ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⋅=323232303033λλλλλλA A A由此推测⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=---kk kk k kkk k k k A λλλλλλ0002)1(121)2(≥k用数学归纳法证明:当2=k 时,显然成立.假设k 时成立，则1+k 时，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⋅=---+λλλλλλλλλ0010010002)1(1211k k k k k kkk k k k k A A A⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=+-+--+11111100)1(02)1()1(k k k k k k k k k k λλλλλλ由数学归纳法原理知: ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=---k k k k k k k k k k k A λλλλλλ0002)1(1219．设B A ,为n 阶矩阵，且A 为对称矩阵，证明AB BT也是对称矩阵.1919证明已知：A AT= 则 AB B B A B A B B AB B TT T T T T T T ===)()(从而 AB B T也是对称矩阵.10．设B A ,都是n 阶对称矩阵，证明AB 是对称矩阵的充分必要条件是BA AB =.证明由已知：A A T= B B T =充分性：BA AB =⇒A B AB TT =⇒)(AB AB T = 即AB 是对称矩阵.必要性：AB AB T =)(⇒AB A B TT =⇒AB BA =.11．求下列矩阵的逆矩阵： (1)⎪⎪⎭⎫⎝⎛5221； (2)⎪⎪⎭⎫⎝⎛-θθθθcos sin sin cos ； (3)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---145243121; (4)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛4121031200210001; (5)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛2500380000120025; (6)⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n a a a 0021)0(21≠a a a n解(1)⎪⎪⎭⎫⎝⎛=5221A 1=A1),1(2),1(2,522122111=-⨯=-⨯==A A A A⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=*122522122111A A A A A *-=A A A 11 故 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-12251A(2)01≠=A 故1-A 存在θθθθcos sin sin cos 22122111=-===A A A A从而 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-θθθθcos sin sin cos 1A(3) 2=A , 故1-A 存在024312111==-=A A A 而 1613322212-==-=A A A 21432332313-==-=A A A 故*-=A A A 11⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=17162132130122020(4)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=4121031200210001A24=A 0434232413121======A A A A A A 68122444332211====A A A A12411032001)1(312-=-=A 12421012021)1(413-=-=A3121312021)1(514=-=A 4421012001)1(523-=-=A5121312001)1(624-=-=A 2121021001)1(734-=-=A*-=A AA 11 故⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=-4112124581031612100212100011A (5)01≠=A 故1-A 存在而002141312111==-==A A A A005242322212===-=A A A A320043332313-====A A A A850044342414=-===A A A A 从而⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=-85003200005200211A(6)⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n a a a A 00212121由对角矩阵的性质知⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-n a a a A 1001121112．解下列矩阵方程：(1) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛12643152X ; (2)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--234311*********X ;(3) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-101311022141X ;(4) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛021102341010100001100001010X . 解 (1)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-126431521X ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=12642153⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=80232 (2)1111012112234311-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=X⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=03323210123431131 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=32538122(3)11110210132141--⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=X ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=210110131142121 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21010366121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=04111 (4) 11010100001021102341100001010--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=X2222⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010100001021102341100001010⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=20143101213．利用逆矩阵解下列线性方程组:(1) ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++;353,2522,132321321321x x x x x x x x x (2) ⎪⎩⎪⎨⎧=-+=--=--.0523,132,2321321321x x x x x x x x x解 (1) 方程组可表示为 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321153522321321x x x故 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0013211535223211321x x x从而有⎪⎩⎪⎨⎧===001321x x x (2) 方程组可表示为 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----012523312111321x x x故 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3050125233121111321x x x 故有 ⎪⎩⎪⎨⎧===305321x x x14．设O Ak=(k 为正整数),证明121)(--++++=-k A A A E A E .证明一方面， )()(1A E A E E --=-另一方面，由O A k=有)()()(1122k k k A A A A A A A E E -+--+-+-=-- ))((12A E A A A E k -++++=-故 )()(1A E A E ---))((12A E AA A E k -++++=- 两端同时右乘1)(--A E就有121)(--++++=-k A A A E A E15．设方阵A 满足O E A A=--22,证明A 及E A 2+都可逆,并求1-A 及1)2(-+E A .证明由O E A A =--22得E A A 22=-两端同时取行列式: 22=-A A即2=-E A A ,故 0≠A2323所以A 可逆,而22A E A =+0222≠==+A A E A 故E A 2+也可逆.由O E A A=--22E E A A 2)(=-⇒E A E A A A 112)(--=-⇒)(211E A A -=⇒-又由O E A A =--22E E A A E A 4)2(3)2(-=+-+⇒ E E A E A 4)3)(2(-=-+⇒11)2(4)3)(2()2(--+-=-++∴E A E A E A E A)3(41)2(1A E E A -=+∴-16．设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=321011330A ,B A AB 2+=,求B .解由B A AB 2+=可得A B E A =-)2(故A E AB 1)2(--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-3210113301210113321⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=01132133017．设Λ=-AP P 1,其中⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1141P ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ2001,求11A . 解 Λ=-AP P 1故1-Λ=P P A 所以11111-Λ=P P A3=P ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=*1141P ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1141311P 而 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ11111120012001故⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=31313431200111411111A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=6846832732273118．设m 次多项式m m x a x a x a a x f ++++= 2210)(,记m m A a A a A a E a A f ++++= 2210)()(A f 称为方阵A 的m 次多项式.(1)设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=Λ2100λλ,证明:⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=Λk kk2100λλ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=Λ)(00)()(21λλf f f ; (2)设1-Λ=P P A ,证明: 1-Λ=P P A k k ,1)()(-Λ=P Pf A f .证明(1) i)利用数学归纳法.当2=k时⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=Λ212120000λλλλ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=222100λλ2424命题成立,假设k 时成立,则1+k 时⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ΛΛ=Λ+212110000λλλλk k k k ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=++121100k k λλ 故命题成立. ii)左边m m a a a E a f Λ++Λ+Λ+=Λ=2210)(⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=m mm a a a 21211000001001λλλλ ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++++=m m mm a a a a a a a a 2222210121211000λλλλλλ ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=)(00)(21λλf f =右边 (2) i) 利用数学归纳法.当2=k 时12112---Λ=ΛΛ=P P P P P P A 成立假设k 时成立,则1+k 时 11111-+--+Λ=ΛΛ=⋅=P P P P P P A A A k k k k 成立,故命题成立,即 1-Λ=P P A k kii) 证明右边1)(-Λ=P Pf12210)(-Λ++Λ+Λ+=P a a a E a P m m11221110----Λ++Λ+Λ+=P P a P P a P P a PEP a m m m m A a A a A a E a ++++= 2210)(A f ==左边19．设n 阶矩阵A 的伴随矩阵为*A ，证明： (1) 若0=A ,则0=*A ;(2) 1-*=n AA .证明(1) 用反证法证明．假设0≠*A 则有E A A =-**1)(由此得O A E A A AA A ===-*-**11)()(O A =∴* 这与0≠*A 矛盾，故当0=A 时有0=*A(2) 由于*-=A A A 11, 则E A AA =*取行列式得到: n A A A =*若0≠A 则1-*=n A A 若0=A 由(1)知0=*A 此时命题也成立故有1-*=n A A20．取⎪⎪⎭⎫⎝⎛==-==1001D C B A ,验证DCB A DC B A ≠检验:2525=DCB A =--101010110100101101010100200002--410012002==而01111==D C B A故 DCB A DCB A ≠21．设⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=22023443O O A ,求8A 及4A解 ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=22023443O O A ，令⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=34431A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=22022A 则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21A O O A A故8218⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=A OO A A ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=8281A OO A 1682818281810===A A A A A⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=464444241422025005O O A OO A A22．设n 阶矩阵A 及s 阶矩阵B 都可逆,求1-⎪⎪⎭⎫⎝⎛O B A O ．解将1-⎪⎪⎭⎫⎝⎛O B A O 分块为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4321C C C C其中 1C 为n s ⨯矩阵, 2C 为s s ⨯矩阵3C 为n n ⨯矩阵, 4C 为s n ⨯矩阵则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯O B A O s s n n ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4321C C C C ==E ⎪⎪⎭⎫⎝⎛s n E O O E 由此得到⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⇒==⇒==⇒==⇒=----122111144133)()(B C E BC B O C O BC A O C O AC A C E AC s n 存在存在故 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛---O A B O O B A O 111．2626第三章矩阵的初等变换与线性方程组1．把下列矩阵化为行最简形矩阵：(1)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--340313021201; (2) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----174034301320; (3)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------12433023221453334311; (4) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------34732038234202173132.解(1) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--3403130212011312)3()2(~r r r r -+-+⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---020********* )2()1(32~-÷-÷r r ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--01003100120123~r r -⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--30003100120133~÷r ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--100031001201323~r r +⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1000010012013121)2(~r r r r +-+⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100001000001(2) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----174034301320 1312)2()3(2~r r r r -+-+⨯⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---31003100132021233~r r r r ++⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000031001002021~÷r ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛000031005010 (3)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------12433023221453334311 141312323~r r r r r r ---⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--------1010500663008840034311 )5()3()4(432~-÷-÷-÷r r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----221002210022100343112423213~r r r r r r ---⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---0000000000221003211希望以上对你有帮助2727(4)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------34732038234202173132 242321232~r r r r r r ---⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----1187701298804202111110 141312782~r r r r r r --+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--4100041000202011111034221)1(~r r r r r --⨯↔⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----0000041000111102021 32~r r +⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--00000410003011020212．在秩是r 的矩阵中,有没有等于0的1-r 阶子式?有没有等于0的r 阶子式?解在秩是r 的矩阵中,可能存在等于0的1-r 阶子式,也可能存在等于0的r 阶子式.例如，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=00000000010000100001α3)(=αR 同时存在等于0的3阶子式和2阶子式.3．从矩阵A 中划去一行得到矩阵B ,问B A ,的秩的关系怎样?解)(A R ≥)(B R设r B R =)(，且B 的某个r 阶子式0≠D r .矩阵B 是由矩阵A 划去一行得到的，所以在A 中能找到与D r 相同的r 阶子式D r ，由于0≠=D D r r，故而)()(B R A R ≥.4．求作一个秩是4的方阵,它的两个行向量是)0,0,1,0,1(,)0,0,0,1,1(- 解设54321,,,,ααααα为五维向量,且)0,0,1,0,1(1=α,)0,0,0,1,1(2-=α,则所求方阵可为,54321⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=αααααA 秩为4,不妨设⎪⎩⎪⎨⎧===)0,0,0,0,0(),0,0,0,0()0,,0,0,0(55443αααx x 取154==x x2828故满足条件的一个方阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-00000100000100000011001015．求下列矩阵的秩,并求一个最高阶非零子式：(1)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---443112112013; (2) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------815073131213123； (3)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---02301085235703273812.解 (1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---443112112013r r 21~↔⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---443120131211 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------564056401211~12133r r r r 2000056401211~23秩为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----r r 二阶子式41113-=-．(2) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------815073*********⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------152********117014431~27122113r r r r r r 200000591170144313~23秩为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----r r .二阶子式71223-=-． (3)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---02301085235703273812434241322~r r r r r r ---⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------023010********071210 131223~r r r r ++⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0230114000016000071210344314211614~r r r r r r r r -÷÷↔↔⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-00000100007121002301秩为32929三阶子式07023855023085570≠=-=-．6．求解下列齐次线性方程组:(1)⎪⎩⎪⎨⎧=+++=-++=-++;0222,02,02432143214321x x x x x x x x x x x x (2)⎪⎩⎪⎨⎧=-++=--+=-++;05105,0363,02432143214321x x x x x x x x x x x x (3)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-=+-+=-++=+-+;0742,0634,0723,05324321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x(4)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=+-+=-+-=+-+.0327,01613114,02332,075434321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x解 (1) 对系数矩阵实施行变换:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--212211121211⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---3410013100101~即得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-==4443424134334x x x xx x x x故方程组的解为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1343344321k x x x x(2) 对系数矩阵实施行变换:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----5110531631121⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-000001001021~ 即得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===+-=4432242102x x x x x x x x故方程组的解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10010012214321k k x x x x3030(3) 对系数矩阵实施行变换:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----7421631472135132⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1000010*********~即得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====00004321x x x x故方程组的解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====00004321x x x x(4) 对系数矩阵实施行变换:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----3127161311423327543⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--0000001720171910171317301~即得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=-=4433432431172017191713173x x x x x x x x x x 故方程组的解为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1017201713011719173214321k k x x x x7．求解下列非齐次线性方程组:(1)⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-=-+;8311,10213,22421321321x x x x x x x x (2) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-=-+-=+-=++;694,13283,542,432z y x z y x z y x z y x (3)⎪⎩⎪⎨⎧=--+=+-+=+-+;12,2224,12w z y x w z y x w z y x (4) ⎪⎩⎪⎨⎧-=+-+=-+-=+-+;2534,4323,12w z y x w z y x w z y x解 (1) 对系数的增广矩阵施行行变换,有3131⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--60003411100833180311102132124~2)(=A R 而3)(=B R ,故方程组无解．(2) 对系数的增广矩阵施行行变换:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----69141328354214132⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--0000000021101201~即得⎪⎩⎪⎨⎧=+=--=zz z y z x 212亦即⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛021112k z y x(3) 对系数的增广矩阵施行行变换:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----111122122411112⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-000000100011112~ 即得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===++-=0212121w z z y y z y x即⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00021010210012121k k w z y x(4) 对系数的增广矩阵施行行变换:⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----000007579751025341253414312311112~⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----000007579751076717101~ 即得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==--=++=w w z z w z y w z x 757975767171 即⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00757610797101757121k k w z y x32328．λ取何值时,非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++2321321321,,1λλλλλx x x x x x x x x (1)有唯一解；(2)无解；(3)有无穷多个解?解 (1)0111111≠λλλ,即2,1-≠λ时方程组有唯一解.(2))()(B R A R < ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21111111λλλλλB ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+----22)1)(1()2)(1(00)1(11011~λλλλλλλλλλ 由0)1)(1(,0)2)(1(2≠+-=+-λλλλ得2-=λ时,方程组无解.(3)3)()(<=B R A R ,由0)1)(1()2)(1(2=+-=+-λλλλ,得1=λ时,方程组有无穷多个解.9．非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+--=++-23213213212,2,22λλx x x x x x x x x 当λ取何值时有解？并求出它的解．解 ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-----⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=)2)(1(000)1(321101212111212112~2λλλλλλB 方程组有解，须0)2)(1(=+-λλ得2,1-==λλ当1=λ时,方程组解为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001111321k x x x当2-=λ时,方程组解为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛022111321k x x x10．设⎪⎩⎪⎨⎧--=-+--=--+=-+-,1)5(42,24)5(2,122)2(321321321λλλλx x x x x x x x x问λ为何值时,此方程组有唯一解、无解或有无穷多解？并在有无穷多解时求解．。

华理线性代数答案

+
am−1
⎡⎢⎣λ10m−1
0 λ m−1
2
⎤ ⎥ ⎦
+
+
a1
⎡λ1
⎢ ⎣
0
0 λ2
⎤ ⎥ ⎦
+
a0
⎡1 ⎢⎣0
0⎤ 1⎥⎦
=
⎡⎢amλ1m ⎣
+
λ a m−1 m−1 1 0
+
=
⎡ ⎢ ⎣
f
(λ1 0
)
0⎤ f (λ2 )⎥⎦
+ a1λ1 + a0
0
amλ2m
+
λ a m−1 m−1 2
+
⎤
+
a1λ2
1⎤ −2⎥⎦
−
⎡3 ⎢⎣−6
−1⎤ ⎡ 3 2 ⎥⎦ ⎢⎣−6
−1⎤ 2 ⎥⎦
=
⎡0 ⎢⎣0
0⎤ 0⎥⎦
−
⎡ 15 ⎢⎣−30
−5⎤ 10 ⎥⎦
=
⎡−15 ⎢⎣ 30
5⎤ −10⎥⎦
.
9. 设 A 是对称矩阵， B是反对称矩阵，则（）是反对称矩阵.
（A） AB − BA ; （B） AB + BA ; （C） ( AB)2 ; （D） BAB .
⎢ ⎢−
3
3
⎥ 3⎥
⎢ ⎢−
1
1
⎥ 0⎥
⎢⎣ 2 2 ⎥⎦ ⎢⎣ 2 2
⎥⎦
11. 设 A 是反对称矩阵，B 是对称矩阵，试证： AB 是反对称矩阵的充分必要条件为 AB = BA . 证：必要性:
由 (AB)Τ = − AB 及 ( AB)Τ = BΤ AΤ = B(− A) = −BA 即得 AB = BA .

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