线代第三章1

∵ P ( A , E ) = ( PA, PE ) = ( B , P ) ∴ ( A, 源自 ) ~( B , P )r
r
r
利用初等行变换求逆阵的方法，还可用于求矩阵A−1 Bm×n . 利用初等行变换求逆阵的方法，
∵ A ( A, B ) = ( E , A 1 2 例１ 设 A = 2 2 3 4 解 1 2 3 A, E ) = 2 2 1 ( 3 4 3
A ( 1) 构造矩阵 ( A, E ) 或 ; E ( 2 ) 对 ( A, E ) 施行初等行变换, 将A化为单位矩阵E
A 后, 右边E 对应部分即为A (或对 施行初等列 E 变换, 将A化为单位阵E 后, E 对应部分即为A−1 .
−1
§2.矩阵的秩 2.矩阵的秩
x1 − x3 = 4 B 5 对应的方程组为 x2 − x3 = 3 特点 x = −3 4 令 x 3 = c , 方程组的解可记作 x1 c + 4 1 4 x2 c + 3 1 3 x= = = c 1 + 0 其中 c为任意常数 . x3 c 0 − 3 x −3 4
矩阵 B4 和 B5 都称为行阶梯形矩阵 行阶梯形矩阵 B5 还称为行最简形矩阵
结论1 结论 对于任何矩阵Am×n ,总可经过有限次初等行变换把他
变为行阶梯形和行最简形. 行最简形矩阵是由A唯一确定的 注1:行最简形矩阵是由 唯一确定的，行阶梯形矩阵的 行最简形矩阵是由 唯一确定的， 行数也是由A唯一确定的 唯一确定的． 行数也是由 唯一确定的． 2:行最简形矩阵再经过初等列变换 可化成标准形． 行最简形矩阵再经过初等列变换， 注2:行最简形矩阵再经过初等列变换，可化成标准形． − 44 1 0 0 0 1 0 c3 ↔c4 1 0 −1 0 4 例如 − 33 0 1 0 0 1 0 0 1 −1 0 3 c4 + c1 + c2 F B5 = 0 0 1 0 0 0 = 3 −− 3 0 0 0 1 − 3 0 0 0 0 0 c − 4c − 3c + 3c 0 0 0 0 0 0 00 1 2 3 5
r2 ÷ − 2） （
2 0 1 0 − 2 − 3 ， ∴ r3 ÷ − 1） （ 0 0 1 1 3 1 0 0 3
2 3 −1 X = A B = −2 −3 . 1 3
问题 若已知An可逆, C m×n ,如何求CA−1 ?
A 解答 1. 可对矩阵 作初等列变换， 作初等列变换， C E −1 , CA
A C
c
即可得 CA−1 .
作初等行变换， 2.可改为对 2.可改为对 ( AT , C T ) 作初等行变换，
（A , C )
T
T
r
( E , ( AT )−1 C T ),
而( AT )−1CT = ( A−1 )TCT = (CA−1 )T ∴ 可得CA−1
小结
1. 单位矩阵
2.定理 2.定理
一次初等变换
初等矩阵. 初等矩阵.
m× n 矩阵 A ~ B 的充分必要条件是存在m 阶
r
可逆方阵 P 及 n 阶可逆方阵 Q, 使 PAQ = B.
*方阵可逆的充要条件是 A ~ E 3. 利用初等变换求逆阵的方法是 利用初等变换求逆阵的方法是:
使A = P1 P2 ⋯ Pl .
1 定理 m× n 矩阵 A ~ B 的充分必要条件是存在m 阶 可逆方阵 P 及 n 阶可逆方阵 Q, 使 PAQ = B.
推论 方阵可逆的充要条件是 A ~ E r 问题若Am×n ~ Bm×n , 则存在可逆阵P , 使PA = B .如何求P ?
利用初等变换求逆阵的方法： 利用初等变换求逆阵的方法：( A , E ) ~( E , A−1 )
同学们好！ 同学们好！
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
§1.矩阵的初等变换 1.矩阵的初等变换 §2.矩阵的秩 2.矩阵的秩 §3.线性方程组的解 3.线性方程组的解
§1.矩阵的初等变换 1.矩阵的初等变换
一、矩阵的初等变换
定义1 定义 下面三种变换称为矩阵的初等行变换: 下面三种变换称为矩阵的初等行变换
−1
−1
( 1B B ) ∴ ( A, B ) ~( E , A−A ) E ) 3 − 2 1 3 3 初等行变换 5 −1 −1 −) 1 ,求 A . ∴ A = − ( A B3 2 . 2 A −1 E1 1 − 1 3 初等行变换 − 2 1 0 0r rr +2rr1 100 2−2 3 1 113 0 −0 0 0 0 1 1 3 0−2 r1−−） 1 2 1 r23 1 ÷ 12 2 （ 5 2 13 −− 2 − 1 1 0 0 1 0 −2 − 0 00 0−2 0 A−5B − 6 0− 5 0 1 − 2 5− 23 2 3 2 r23 −−5r3r E 3 1 r （ 1r2 r3 ÷r3 −）0 0 0 − 2−1 −−1 −1 10 1 − 6 0 0 1 − 0 1 0 00 1 1−1 1 − 31 1 −
3 2 5 2 5 r2 − 2r1 1 2 3 1 0 − 2 − 5 −1 − 9 r − 3r1 3 0 − 2 − 6 − 2 − 12 4 3 1 − 4 0 0 3 2 r1 − 2r3 1 − 1 − 9 4 6 0 − 2 0 r2 − 5r3 − 1 − 3 0 0 − 1 − 1 − 3
矩阵 F 称为矩阵 B 的标准形 .
结论2 结论 m × n 矩阵 A 总可经过初等变换化为 标准形
三个数唯一确定， E r O (由 m , n , r 三个数唯一确定，其中 r F = 就是行阶梯形矩阵中非零行的行数) 行阶梯形矩阵中非零行的行数 O O m×n 就是行阶梯形矩阵中非零行的行数 3:所有与矩阵 等价的矩阵组成的一个集合 等价的矩阵组成的一个集合， 注3:所有与矩阵 A等价的矩阵组成的一个集合，称为一个 等价类，标准形F 是这个等价类中最简单的矩阵. 等价类，标准形 是这个等价类中最简单的矩阵
解方程组（ ）： 用矩阵的初等行变换 解方程组（1）： 1 0 − 2 2 14 4 11 111 − 2 − 1 1 444 11 0 1 −2 1 1 2 − 2 −1 −1 r − r ÷2 r r1 ↔ r2 0 2 1 − − 1 − 0 132 r 2r1 2 r2 3 −r 12 1 0 0 1 − 1 1 2 00 3 ↔5r2r1 1 −2 1 − 4 1 0 2 − r3 −3 −42 = 3B =B ==B=24B1 r B= 0 r3 ÷ 20 2 0 − 3 0 − 3 −−32 B r5 r r−− 3r 1 0 1 −63 1 1 r3 0 − 5 5 2 −− 6 4 −42r3 1 4 −6 2 −2 4 2 r4 − 3r2 3 3 00 0 6 0 − 1 4 −−09 9 7 0 0 0 6 −9 7 9 0 3 − 3 0 33
一、矩阵秩的概念
任何矩阵 Am × n , 总可经过有限次初等行 数是唯一确定的 .
定义1
变换
梯形， 把它变为行阶 梯形，行阶 梯形矩阵中非零行的行
矩阵的秩
2. En ( i ( k )) 3. En ( ij ( k ))
定义2 由单位矩阵E经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵 经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵. 定义2 由单位矩阵 经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵.
1 En ( i ( k ))−1 = E ( i ( )), En ( ij ( k ))−1 = E ( ij ( − k )) En ( i , j ) = En ( i , j ), k 施行一次初等行变换， 性质1 性质 设 A是一个 m×n矩阵，对 A施行一次初等行变换，相当 × 矩阵， 阶初等矩阵； A 于在 A的左边乘以相应的 m 阶初等矩阵；对 施行一次初等列 变换， 阶初等矩阵. 变换，相当于在 A的右边乘以相应的 n 阶初等矩阵. 性质2 方阵A可逆的充要条件是存在有限个初等方阵 性质 方阵 可逆的充要条件是存在有限个初等方阵 P1 , P2 ,⋯ , Pl ,
r
(3)传递性 .
0 . 0
Er 4.任何矩阵 4.任何矩阵 A ~ 行最简矩阵 ~ F = 0
§1.矩阵的初等变换 1.矩阵的初等变换
一、矩阵的初等变换
三种初等变换
二、初等矩阵的概念
三种初等阵: 1. En ( i , j ) 三种初等阵: 初等阵可逆: 初等阵可逆:
−1
(1)ri ↔ r j (ci ↔ c j ); (2 )ri × k (ci × k ); ( ) 3 ri + krj (ci + kc j ).
小结
1.初等行( 1.初等行(列)变换 初等行
(1)ri ↔ rj (ci ↔ c j ); (2)ri × k (ci × k ); (3 )ri + krj (ci + kc j ).
初等变换可逆,其逆变换仍为初等变换 且变换类型相同． 初等变换可逆 其逆变换仍为初等变换, 且变换类型相同． 其逆变换仍为初等变换 2.矩阵的等价 2.矩阵的等价 A 初等变换 B ⇒ A ~ B . 3.矩阵等价具有的性质 3.矩阵等价具有的性质 (1)反身性; (2) 对称性;
(1) 对调两行（对调 i , j 两行 , 记作 ri ↔ r j）； 对调两行（ (2 ) 以数 k ≠ 0 乘以某一行的所有元素 （第 i 行乘 k , 记作 ri × k） ; (3 ) 把某一行所有元素的 k 倍加到另一行 对应的元素上去. 对应的元素上去.