线性代数第三章
合集下载
线性代数第三章总结
第三章 几何空间一、 向量的运算1. 向量的数量积（1） 在仿射坐标系123{;,,}O e e e 中给定两个向量123(,,)x x x α=，123(y ,,)y y β=，则112323(,,)y x x x A y y αβ⎛⎫ ⎪⋅= ⎪ ⎪⎝⎭，其中111213212223313233e e e e e e A e e e e e e e e e e e e ⋅⋅⋅⎛⎫ ⎪=⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⋅⋅⋅⎝⎭. （2） 在直角坐标系{;,,}O i j k 中给定两个向量123(,,)x x x α=，123(y ,,)y y β=，则131233213(,,)i i i y x x x I y x y y αβ=⎛⎫ ⎪⋅== ⎪ ⎪⎝⎭∑ ∙ =0αβαβ⊥⇔⋅2. 向量的向量积在直角坐标系{;,,}O i j k 中给定两个向量123(,,)x x x α=，123(y ,,)y y β=，则123123i jk x x x y y y αβ⨯=. ∙ //=0αβαβ⇔⨯3. 向量的混合积在直角坐标系{;,,}O i j k 中给定两个向量123(,,)x x x α=，123(y ,,)y y β=，123(,,)z z z γ=则123123123(,,)x x x y y y z z z αβγ=. ∙ (,,)0αβγαβγ⇔=，，共面例：（1）设=αβγδ⨯⨯， =αγβδ⨯⨯，证明αδ-，βγ-共线.（2）设0αββγγα⨯+⨯+⨯=，证明αβγ，，共面.（3）证明()()βγααγβγ⋅-⋅⊥.证明：（1）因为()()αδβγ-⨯-=αβαγδβδγ⨯-⨯-⨯+⨯=αβγδαγ⨯-⨯-⨯+0βδ⨯=，所以αδ-，βγ-共线.(2)因为()αβγ=，，()αβγ⨯⋅=()βγγ-⨯⋅()γαγ-⨯⋅=()βγγ-，，()γαγ-，，0=，所以αβγ，，共面.（3） 因为(()βγα⋅())αγβγ-⋅⋅=()βγ⋅()αγ⋅()αγ-⋅()βγ⋅0=，所以()βγα⋅()αγβ-⋅γ⊥.二、 位置关系的判断1. 两个向量的共线；三个向量的共面.2. 两条直线异面，共面（相交、平行、重合）3. 两个平面相交、平行、重合4. 直线与平面相交、平行、直线在平面上.三、距离和垂线（在右手直角坐标系中讨论）1. 点到直线的距离，垂线方程垂线方程：设直线过已知点0000,,)P x y z （方向向量为0()X Y Z υ=，，，求过111(,,)P x y z 点直线的垂线方程。
线性代数课件 第三章——向量 3 向量组的秩、向量空间简介
, m
, m 线性无关； , m 线性表示.
ii) V中任意向量都可由 1 , 2 ,
§3 向量组的秩、向量空间简介
注.向量空间V的维数实际上就是向量组的秩.
dim L(1 , 2 , , m ) R{1 , 2 , , m }.
定理5：设V是向量空间，若dimV=r，则V中任意r+1
, m 线性
, s )是 L(1 , 2 ,
, m ) 的子空间.
பைடு நூலகம்
§3 向量组的秩、向量空间简介
2.基变换与坐标变换
定义4. 向量空间V的一个极大线性无关组称为V的一 个基，基所含向量的个数称为V的维数，记作dimV. 规定：零向量空间没有基，维数定义为0. 判别.设 1 , 2 , , m是V中m个向量,则 1 , 2 , 是V的一个基的充要条件是 i) 1 , 2 ,
向量都线性相关.
推论：设V是向量空间，若dimV=r，则V中任意r个
线性无关的向量组都是V的一个基.
§3 向量组的秩、向量空间简介
定义5. 若 1 , 2 , , m是向量空间V的一个基,则
V中任意向量 可唯一表示为
k1 k2 , m ) k m
k11 k2 2
第三章 向量
§1 n维向量的线性相关性 §2 线性相关性的结论、极大线性无关组 §3 向量组的秩、向量空间简介 §4 向量的内积
一、向量组的秩 二、向量空间简介
一、向量组的秩
定义1 向量组 1 , 2 , , m 的极大无关组所含向量
的个数，称为该向量组的秩，记作 R{1 , 2 , 规定：零向量组的秩为0.
4 (1,2, k ,6)T , 5 (1,1,2,4)T ， 求向量组1 , 2 , 3 , 4 , 5
线性代数 第三章 线性方程组与向量的线性相关性
例1 判断下列线性方程组是否有解,若有解,求
出全部解.
x1 3 x 2 3 x 3 2 （） 3 x1 x 2 2 x 3 3 1 4x 2x x 2 2 3 1 x1 x 2 x 3 3 x 4 2 （ ） x1 x 2 x 3 5 x4 4 2 4 x 4 x x 1 1 2 3
（c1 、c 2 为 任 意 常 数 ）
例2 解线性方程组
解：
1 1 3 2 1 2 1 2 1 1 6 3 1 2 3 0 1 0 0 0 1 1 2 0 1 2 3 1 1 1 0 2
x1 x2 x3 1 x1 2 x2 x3 2 3 x1 x2 6 x3 3 2 x 2 x 3x 0 1 2 3
行 有解 B ( A b ) 行 阶 梯 形 矩 阵 行 最 简 形 矩 阵 行
行最简形矩阵非零行（r 行）的第一非零元取为固定未知量，剩余的未知量 取为自由未知量，令为 c1 , c 2 , c n r ，代回行最简形矩阵所表示的方程组 求出固定未知量，从而得到通解）
R ( 1 , 2 , n ) ( ) R ( 1 , 2 , n , )
例7
判 断 能 否 由 余 下 向 量 线 性 表 ？ 若 能 ， 给 出 表 示 式 出 .
T T T T
(1) (1,1,1) , 1 (0,1,1) , 2 (1,1,0) , 3 (1,0,2) ( 2) ( 2,2,0) , 1 ( 1,1,1) , 2 (1,1,2)
x1 1 1 x2 1 0 c1 c2 c11 c2 2 x 0 4 3 0 1 x 4 （c1 、c2为任意常数）
线性代数第3章向量空间
1 1 22 2 31 42 则 1 , 2 , 3 必相关 3 51 62 如果 B : 1, 2 ,, m 可由 A : 1,2 ,,n
表示, 又 m>n, 由表示不等式
r(Blm ) r( Aln ) n m 从而 B 必相关.
-26-
(6) “短的无关, 则长的也无关.等价地… ” P101推论3
无穷多种表示, 并求所有表示方法.
解 记 A [1,2 ,3 ] 只需讨论 Ax 解的情况.
具体解方程组过程略。
0 时,方程组无解, 不能由 A 表示. 0 且 3时, 方程组有唯一解, 可由 A 唯一表示.
-12-
3 时, 方程组有无穷多解, 可由 A 无穷多种表示.
1
1 2
,
2
3 4
是无关的.
1
3
n r( Amn ) r(Bln ) n
1 , 2 也是无关的.
2
4
r(Bln ) n
1
再如：1
2 0 0
,
0
2
101,
0
3
9 0 1
.
-27-
(7)含有n个向量的n元向量组线性相关（无关）
由它构成的n阶矩阵的行列式 | A | 0 (| A | 0) 例4 t 取何值时,下列向量组线性相关 ? P101推论2
(用矩阵的秩) r( A) n
把向量组排成矩阵，如果矩阵的秩等于向量的个数就线性 无关，否则如果矩还阵是的转秩换小！于转向换量线的性个无数关就…线性相关。
-18-
例1
1
0
2
1 1,2 2,3 4,
1
5
7
问向量组 {1,2 ,3 } 和 {1,2 }的线性相关性?
表示, 又 m>n, 由表示不等式
r(Blm ) r( Aln ) n m 从而 B 必相关.
-26-
(6) “短的无关, 则长的也无关.等价地… ” P101推论3
无穷多种表示, 并求所有表示方法.
解 记 A [1,2 ,3 ] 只需讨论 Ax 解的情况.
具体解方程组过程略。
0 时,方程组无解, 不能由 A 表示. 0 且 3时, 方程组有唯一解, 可由 A 唯一表示.
-12-
3 时, 方程组有无穷多解, 可由 A 无穷多种表示.
1
1 2
,
2
3 4
是无关的.
1
3
n r( Amn ) r(Bln ) n
1 , 2 也是无关的.
2
4
r(Bln ) n
1
再如：1
2 0 0
,
0
2
101,
0
3
9 0 1
.
-27-
(7)含有n个向量的n元向量组线性相关（无关）
由它构成的n阶矩阵的行列式 | A | 0 (| A | 0) 例4 t 取何值时,下列向量组线性相关 ? P101推论2
(用矩阵的秩) r( A) n
把向量组排成矩阵，如果矩阵的秩等于向量的个数就线性 无关，否则如果矩还阵是的转秩换小！于转向换量线的性个无数关就…线性相关。
-18-
例1
1
0
2
1 1,2 2,3 4,
1
5
7
问向量组 {1,2 ,3 } 和 {1,2 }的线性相关性?
线性代数第三章
Am n 的各阶子式的总数:
min( m , n )
k 1
k k CmCn .
任意非零矩阵都至少有一个1阶非零子式(其每个非零元都可构成一个
1阶非零子式), 更高阶子式(如有)中还可能有非零的.
一个矩阵所具有的非零子式的最高阶数这一 数字与该矩阵的多方面性质有关, 将这一数字定
1 A 0 0 2 2 0 1 8 0 0 8 0
0
由此知A可逆, 故系数 行列式非零,于是克莱 默法则也适用本题.
3
行最简形矩阵
2
(29,16, 3)
1
x1 2 x2 x3 0 x2 4 x3 4 . 例3.4.2 求解线性方程组 4 x 5 x 8 x 9 1 2 3
由性质 5
ci c n i i 1, 2,, n
~
( A, B )
R ( A) R ( B ).
证毕.
例3.3.4 设A为n阶方阵,证明: R( A E) R( A E) n. 证明:
A E
ri ( 1) i 1, 2, , n
~
EA
练习 设A2=E,证明: R(A+E)+R(A-E)=n.
B的各非零行的首个非零元处在第1,2,3行、第1,2,4列, 分别对应于A 的第4,2,3行、第1,2,4列, 其交叉点处的元素构成的行列式
3 2 D 2 1 0 6
6 5 1
A的第2,3,4行、第1,3,4 列交叉点处的元素也可构成A 的最高阶非零子式.想想为什 么？还可以怎么取?
就是A的一个最高阶非零子式.
R( A) R( B) 3 .
例3.3.2 解:(2)求A的一个最高阶非零子式.事实上
线性代数 第三章
( b1 , b2 ,, bm 为不全为零的常数) （3-1-1）
在上一章知道，它的矩阵表达式为 常数项与未知阵。
a11 a 21 A , B 将系数矩阵与常数项矩阵放在一起构成的矩阵 ~ 称为方程组（3-1-1）的增广矩阵（也可记作 A ）。 a m1
第三章 向量组与线性方程组
• 3.1 线性方程组及其矩阵表示
设非齐次线性方程组的一般形式为
a11 x1 a12 x 2 a1n x n b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 a m1 x1 a m 2 x 2 a mn x n bm
Ax B与 Sx T 同解。（证）
证明 由于对矩阵作一次初等行变换等价于矩阵左乘一个初等矩阵，因此存在初等矩 阵 P 记 Pk Pk 1 P1 P 显然 P 可逆。 1, P 2 ,, P k 使得 P kP k 1 P 1 ( A, B) ( S , T )
x x1 为 Ax B 的解，即 Ax1 B Sx1 T 于是 x x1 为 Sx T 的解。
21 1
22
2
2n
n
x1 2 x 2 2 x3 x 4 1 【例1】把线性方程组 2 x1 x 2 2 x 2 5 x 4 2 表示为矩阵方程的形式。 x 3 x 7 x 4 x 0 2 3 4 1 x1 1 2 2 1 1 解 设 A x2 B 2 1 2 5 2 则原方程组可表示为 Ax B x 1 3 7 4 0 x3 x 4
Ax B 其中 A, B, x 分别是系数阵、
线性代数第三章
线性代数第三章1.【线性无关与线性相关】要点重点记住线性相关与线性无关的定义式，其他种种皆可由此推导引申出来。
这节希望大家能理解向量从二三维扩展到n维的思路过程，当对于空间的理解不能再用几何意义来描述时，代数的表示就扩展了向量的深度与广度，从而可以满足工程和经济模型分析的需要。
从几何到代数，就是从低维到高维抽象的线性代数方法论。
本节需要大家掌握的要点是：2.【向量组的秩】要点我们说过，如果一个向量组中向量的个数非常多时，要去研究这个庞大的向量组是很困难的。
此时，如果有一个向量个数较少的向量组同样能反映这个大向量组的性质，那么我们在实际工程计算中就可以大大简化计算量和工作量了。
极大无关组就是属于向量组中与其等价的无关向量组中向量最少的一个，我们可以通过研究该向量组的极大无关组来研究这个大向量组。
而我们在这节课学的一系列定理和证明，其实就是证明以上的思路是可行的，且还推导得出一个求极大无关组和秩比较简便的算法。
看了基的定义，是不是非常眼熟啊？？对了，就是跟极大无关组相同哦，不过一个是以空间阐述，一个是代数上的阐述。
此处，注意把单个向量分量的维度与空间的维度区分开。
比如，u=(2,1),v=(4,2)都是2维向量，可是因为他俩线性相关，张成的空间降维了，构成的却是一维空间。
以上基与维数的定义就解答了以下几个问题：空间的维度是几维？空间又是由什么生成的呢？可以生成空间的基不唯一，而每一组基一旦确定，其余向量在这组基中的坐标也就唯一确定了。
那么，既然基不唯一，如果我换一组基，某向量原来在这组基的坐标是不是也就转换了呢？基与坐标的含义呢，其实就可以理解为，如果我们在一个空间中找的参照物不同，那么对应该参照物角度的坐标就会不同的意思。
线性代数第三章向量组
4 5
是3个四维的列向量组.
4
5
6
1 T ( 1 , 2 , 3 ) , 2 T ( 2 , 3 , 4 ) , 3 T ( 3 , 4 , 5 ) , 4 T ( 4 , 5 , 6 )
是4个三维的行向量组。
4．向量组和矩阵的关系
对于列向量组
1 2 3
1
2 3
,2
3 4
,3
4 5
4
5
6
1
1,2,3
2 3
4
2 3 4 5
3
4
5
6
对于行向量组
T 1
(1,2 ,3 )
T 2
(2,3,4)
T 1 T 2
1
2
2 3
3
4
T 3
(3 ,4 ,5 )
T 4
(4 ,5 ,6 )
T 3 T 4
3 4 5
4
5
6
反过来看： 即矩阵的 特殊分块
1 k111 k212
2
k121
k22 2
l k1l1 k2l2
km1m , km2m ,
kmlm ,
即存在m l 矩阵 K ，使得
k11 k12
(1 , 2 ,
, l ) (1,2 ,
,m
)
k21
k22
km1
km2
k1l
k2l
kml
B AK
（ K 称为系数矩阵）
齐次线性方程组的向量表示
a11 a12
a21
a22
am1 am2
a1n x1 0
a2n
x2
0
amn
xn
0
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
性质 : (1) 反身性 A ~ A;
(2) 对称性 A ~ B B ~ A;
(3) 传递性 A ~ B, B ~ C A ~ C .
c r
三、行阶梯形矩阵、行最简形矩阵、矩阵的标准形 定义 在对矩阵进行初等行变换后，满足下面(1)和(2) 的矩阵称为行阶梯形矩阵，而满足(1)、(2)、(3)和(4) 的矩阵称为行最简形矩阵。 （1）如果有零行，则位于最下方； （2）非零行的第一个非零元素的列标随行标递增 （即每个阶梯只有一行）； （3）非零行的第一个非零元素为1； （4）非零行的第一个非零元素所在的列的其余元 素为零。
初等列变换
初等变换
定义 若矩阵A经过有 限次初等 行变换 变成矩 阵 B， 就称 矩阵A与B行等价， 记作A ~ B ; 如果矩 阵 A经过有 限次初等 列变换 变成矩阵 B， 就称矩 阵 A与B列等价， 记作A ~ B ; 如 果矩阵A经过有 限次初等 变换变 成矩阵B， 就称矩 阵 A与 B 等价， 记作A ~ B .
推论 若可逆矩阵 P，Q使PAQ B， 则R( A) R( B).
1 2 1 2 2 4 例 求矩阵A 2 1 0 3 3 3 个最高阶非零子式 .
2 6 6 的秩， 并求出它的一 2 3 3 4 0
1 0 3 例 设A为4 3矩阵， 且R( A) 2, 而B 0 2 0 ， 求R( AB). 1 0 3
A ~ B的充要条件是存在 m阶可逆矩阵 P及n阶可逆矩
r
பைடு நூலகம்
c
阵Q， 使PAQ B.
推 论 方 阵A可 逆 的 充 要 条 件 是 A ~ E.
五、初等行变换的应用
1. 求可逆矩阵 P , 使PA为行最简形矩阵 (即把A化成行最简 形矩阵)
1 0 2 1 例 设A 2 0 3 1 的 行 最 简 形 矩 阵 为 F， 求 F， 并 求 3 0 4 3 一个可逆阵 P， 使PA F .
4 2 4 2 2 4 1 1 5 2 1 2 2 1 4
x1 2 x 2 2 x 3 x 4 4 2 x1 4 x 2 x 3 x 4 5 2x 4x 2x 4x 2 2 3 4 1
证 : 设R( A) r
不妨设增广矩阵 B ( A, b)的行最简形为
1 0 ~ 0 B 0 0 0 0 0 b11 b1,n r 1 0 b21 b2 ,n r 0 0 0 0 0 0 0 1 br 1 br ,n r 0 0 0 0 0 0 d1 d2 dr d r 1 0 0
Er 矩阵的标准形: O O O
四、初等变换的性质 1．初等矩阵的概念 定义2 对单位矩阵进行一次初等变换得到的矩阵称 为初等矩阵。三种初等变换对应三种初等矩阵.
(1) 对调两行或两列
1 E (i , j ) 1 0 1 1 1 0 1 1 第i行 第j行 1
定义4 设在矩阵 A中有一个不等于 0的r阶子式D， 且所有 r 1阶子(如果存在的话 )全等于0， 那么D称为矩阵 A的最 高阶非零子式 ， 数r称为矩阵 A的秩， 记作R( A).
注 (1) 若A为零矩阵 ， 规定R( A) 0;
k k ( 2) m n矩阵A的k阶子式共有 Cm Cn 个.
x1 2 x 2 2 x 3 x 4 4 2 x1 4 x 2 x 3 x 4 5 2x 4x 2x 4x 2 2 3 4 1
x1 2 x 2 2 x 3 x4 4 x 3 x4 1 00
1 0 0 1 0 0
2 2 1 4 0 1 1 1 0 0 0 0
2 0 1 1 1 0 0 0 0 2 0 1
令x2 c1，x
2
c2 , 则方程组的解为
x1 2 2 1 x2 0 1 0 c c x 1 1 0 2 1 3 0 1 x 0 4
2．初等矩阵的性质 (1) 初等矩阵都是可逆的
1 E ( i , j )1 E ( i , j ) , E ( i ( k )) 1 E ( i ( )) , E ( ij( k )) 1 E ( ij( k )) . k
( 2) 一 个 矩 阵 A左( 右 ) E ( i , j )， 相 当 于 交 换 A的i , j行 (列); 一个矩阵 A左( 右 )乘E ( i ( k )) , 相 当 于A的 第i行 (第j列)乘 以 数k ; 一 个 矩 阵 A左( 右 )乘E ( ij( k )) , 相 当 于A的 第j行 (第i列) 的 k倍 加 到 第 i行 (第j列)上 去.
x1 2 2 x 2 x4 x 3 1 x4
令x2 c1，x4 c2 , 则方程组的解为
x1 2 2 1 x2 0 1 0 c c x 1 1 0 2 1 3 0 1 x 0 4
2. 求可逆矩阵 A的逆阵
1 0 1 例 求 矩阵A 2 1 0 的 逆矩 阵 A 1 . 3 2 5
3. 利用初等行变换求矩阵 方程
(1) AX B , 其中A为可逆方阵
2 1 1 1 4 例 设A 2 1 0 ，B 1 3 ，求矩 阵方 程 AX B 1 1 1 3 2 的 解.
(2) 以数k 0乘以某行或某列
1 E ( i ( k )) k 第i行 1
(3) 以数k乘某行(列)加到另一行 (列)上去
1 第i行 1 k E ( ij( k )) 第j行 1 1
1 2 2 1 4 2 4 1 1 5 2 4 2 4 2
x1 2 x 2 2 x 3 x4 4 x 3 x4 1 00
x1 2 2 x 2 x4 x 3 1 x4
( 3) 方阵可逆的充要条件是 存在有限个初等矩阵 P1 , P2 , , Pl , 使A P1 P2 Pl .
定理1 设A与B为m n矩阵， 那末 (1) A ~ B的充要条件是存在 m阶可逆矩阵 P， 使PA B;
r
( 2)
( 3)
A ~ B的 充 要 条 件 是 存 在 n阶 可 逆 矩 阵 Q， 使AQ B;
例( P 70例9) 证明 : 若Amn Bnl C， 且R( A) n， 则 R( B ) R(C ).
由此例可得列满秩阵的 一个重要性质 : 设AB O , 若A为列 满秩矩阵 ， 则B O .
§3线性方程组的解
定 理3 n元 非 齐 次 线 性 方 程 组 Amn x b (1) 无 解 的 充 要 条 件 是 R( A) R( A, b ); ( 2) 有 唯 一 解 的 充 要 条 件 是 R( A) R( A, b ) n; ( 3) 有 无 穷 多 解 的 充 要 条 件 是R( A) R( A, b ) n.
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
§1 矩阵的初等变换 一、引例
2 x1 4 x 2 2 x 3 4 x 4 2 例 解 方 程 组 2 x1 4 x 2 x 3 x4 5 x 2 x 2 x x 4 2 3 4 1
2 x1 4 x 2 2 x 3 4 x 4 2 2 x1 4 x 2 x 3 x 4 5 x 2 x 2 x x 4 2 3 4 1
三、矩阵秩的其它性质
1. max{ R( A), R( B )} R( A, B ) R( A) R( B )， 特别地， 当 B b为列向量时 ， 有R( A) R( A, b) R( A) 1.
2. R( A B) R( A) R( B).
例( P 70例8） 设A为n阶矩阵 , 证明 R( A E ) R( A E ) n.
3. R( AB) min{ R( A), R( B)}.
a1 a2 例 设a1b1 0, 求矩阵 A b1 b2 bn 的秩 . a n
4. 设A为m n矩阵，B为n l矩阵， 若AB O， 则 R( A) R( B ) n.
2 1 1 例 求矩阵X， 使XA B， 其中A 2 1 0 ， 1 1 1 1 1 3 B 4 3 2 .
(2) XA B , 其中A为可逆矩阵
§2 矩阵的秩
一、矩阵秩的定义
定义3 在m n矩阵A中， 任取k行k列( k min{ m .n})， 位于 这些行列交叉处的 k 2 个元素， 不改变它们在 A中所处的位置 次序而得的 k阶行列式 ， 称为矩阵 A的k阶子式.
( 3) R( A) R( AT )
(4) 最高阶非零子式不唯一 ; (5) 若A为m n矩阵， 则0 R( A) min{ m, n};
(6) 设A1为A的任一个子矩阵 ， 则R( A1 ) R( A).
(7) 满秩矩阵 ， 降秩矩阵
二、矩阵秩的求法
定理2 若A ~ B， 则R( A) R( B).
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
§1 矩阵的初等变换 一、引例
(2) 对称性 A ~ B B ~ A;
(3) 传递性 A ~ B, B ~ C A ~ C .
c r
三、行阶梯形矩阵、行最简形矩阵、矩阵的标准形 定义 在对矩阵进行初等行变换后，满足下面(1)和(2) 的矩阵称为行阶梯形矩阵，而满足(1)、(2)、(3)和(4) 的矩阵称为行最简形矩阵。 （1）如果有零行，则位于最下方； （2）非零行的第一个非零元素的列标随行标递增 （即每个阶梯只有一行）； （3）非零行的第一个非零元素为1； （4）非零行的第一个非零元素所在的列的其余元 素为零。
初等列变换
初等变换
定义 若矩阵A经过有 限次初等 行变换 变成矩 阵 B， 就称 矩阵A与B行等价， 记作A ~ B ; 如果矩 阵 A经过有 限次初等 列变换 变成矩阵 B， 就称矩 阵 A与B列等价， 记作A ~ B ; 如 果矩阵A经过有 限次初等 变换变 成矩阵B， 就称矩 阵 A与 B 等价， 记作A ~ B .
推论 若可逆矩阵 P，Q使PAQ B， 则R( A) R( B).
1 2 1 2 2 4 例 求矩阵A 2 1 0 3 3 3 个最高阶非零子式 .
2 6 6 的秩， 并求出它的一 2 3 3 4 0
1 0 3 例 设A为4 3矩阵， 且R( A) 2, 而B 0 2 0 ， 求R( AB). 1 0 3
A ~ B的充要条件是存在 m阶可逆矩阵 P及n阶可逆矩
r
பைடு நூலகம்
c
阵Q， 使PAQ B.
推 论 方 阵A可 逆 的 充 要 条 件 是 A ~ E.
五、初等行变换的应用
1. 求可逆矩阵 P , 使PA为行最简形矩阵 (即把A化成行最简 形矩阵)
1 0 2 1 例 设A 2 0 3 1 的 行 最 简 形 矩 阵 为 F， 求 F， 并 求 3 0 4 3 一个可逆阵 P， 使PA F .
4 2 4 2 2 4 1 1 5 2 1 2 2 1 4
x1 2 x 2 2 x 3 x 4 4 2 x1 4 x 2 x 3 x 4 5 2x 4x 2x 4x 2 2 3 4 1
证 : 设R( A) r
不妨设增广矩阵 B ( A, b)的行最简形为
1 0 ~ 0 B 0 0 0 0 0 b11 b1,n r 1 0 b21 b2 ,n r 0 0 0 0 0 0 0 1 br 1 br ,n r 0 0 0 0 0 0 d1 d2 dr d r 1 0 0
Er 矩阵的标准形: O O O
四、初等变换的性质 1．初等矩阵的概念 定义2 对单位矩阵进行一次初等变换得到的矩阵称 为初等矩阵。三种初等变换对应三种初等矩阵.
(1) 对调两行或两列
1 E (i , j ) 1 0 1 1 1 0 1 1 第i行 第j行 1
定义4 设在矩阵 A中有一个不等于 0的r阶子式D， 且所有 r 1阶子(如果存在的话 )全等于0， 那么D称为矩阵 A的最 高阶非零子式 ， 数r称为矩阵 A的秩， 记作R( A).
注 (1) 若A为零矩阵 ， 规定R( A) 0;
k k ( 2) m n矩阵A的k阶子式共有 Cm Cn 个.
x1 2 x 2 2 x 3 x 4 4 2 x1 4 x 2 x 3 x 4 5 2x 4x 2x 4x 2 2 3 4 1
x1 2 x 2 2 x 3 x4 4 x 3 x4 1 00
1 0 0 1 0 0
2 2 1 4 0 1 1 1 0 0 0 0
2 0 1 1 1 0 0 0 0 2 0 1
令x2 c1，x
2
c2 , 则方程组的解为
x1 2 2 1 x2 0 1 0 c c x 1 1 0 2 1 3 0 1 x 0 4
2．初等矩阵的性质 (1) 初等矩阵都是可逆的
1 E ( i , j )1 E ( i , j ) , E ( i ( k )) 1 E ( i ( )) , E ( ij( k )) 1 E ( ij( k )) . k
( 2) 一 个 矩 阵 A左( 右 ) E ( i , j )， 相 当 于 交 换 A的i , j行 (列); 一个矩阵 A左( 右 )乘E ( i ( k )) , 相 当 于A的 第i行 (第j列)乘 以 数k ; 一 个 矩 阵 A左( 右 )乘E ( ij( k )) , 相 当 于A的 第j行 (第i列) 的 k倍 加 到 第 i行 (第j列)上 去.
x1 2 2 x 2 x4 x 3 1 x4
令x2 c1，x4 c2 , 则方程组的解为
x1 2 2 1 x2 0 1 0 c c x 1 1 0 2 1 3 0 1 x 0 4
2. 求可逆矩阵 A的逆阵
1 0 1 例 求 矩阵A 2 1 0 的 逆矩 阵 A 1 . 3 2 5
3. 利用初等行变换求矩阵 方程
(1) AX B , 其中A为可逆方阵
2 1 1 1 4 例 设A 2 1 0 ，B 1 3 ，求矩 阵方 程 AX B 1 1 1 3 2 的 解.
(2) 以数k 0乘以某行或某列
1 E ( i ( k )) k 第i行 1
(3) 以数k乘某行(列)加到另一行 (列)上去
1 第i行 1 k E ( ij( k )) 第j行 1 1
1 2 2 1 4 2 4 1 1 5 2 4 2 4 2
x1 2 x 2 2 x 3 x4 4 x 3 x4 1 00
x1 2 2 x 2 x4 x 3 1 x4
( 3) 方阵可逆的充要条件是 存在有限个初等矩阵 P1 , P2 , , Pl , 使A P1 P2 Pl .
定理1 设A与B为m n矩阵， 那末 (1) A ~ B的充要条件是存在 m阶可逆矩阵 P， 使PA B;
r
( 2)
( 3)
A ~ B的 充 要 条 件 是 存 在 n阶 可 逆 矩 阵 Q， 使AQ B;
例( P 70例9) 证明 : 若Amn Bnl C， 且R( A) n， 则 R( B ) R(C ).
由此例可得列满秩阵的 一个重要性质 : 设AB O , 若A为列 满秩矩阵 ， 则B O .
§3线性方程组的解
定 理3 n元 非 齐 次 线 性 方 程 组 Amn x b (1) 无 解 的 充 要 条 件 是 R( A) R( A, b ); ( 2) 有 唯 一 解 的 充 要 条 件 是 R( A) R( A, b ) n; ( 3) 有 无 穷 多 解 的 充 要 条 件 是R( A) R( A, b ) n.
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
§1 矩阵的初等变换 一、引例
2 x1 4 x 2 2 x 3 4 x 4 2 例 解 方 程 组 2 x1 4 x 2 x 3 x4 5 x 2 x 2 x x 4 2 3 4 1
2 x1 4 x 2 2 x 3 4 x 4 2 2 x1 4 x 2 x 3 x 4 5 x 2 x 2 x x 4 2 3 4 1
三、矩阵秩的其它性质
1. max{ R( A), R( B )} R( A, B ) R( A) R( B )， 特别地， 当 B b为列向量时 ， 有R( A) R( A, b) R( A) 1.
2. R( A B) R( A) R( B).
例( P 70例8） 设A为n阶矩阵 , 证明 R( A E ) R( A E ) n.
3. R( AB) min{ R( A), R( B)}.
a1 a2 例 设a1b1 0, 求矩阵 A b1 b2 bn 的秩 . a n
4. 设A为m n矩阵，B为n l矩阵， 若AB O， 则 R( A) R( B ) n.
2 1 1 例 求矩阵X， 使XA B， 其中A 2 1 0 ， 1 1 1 1 1 3 B 4 3 2 .
(2) XA B , 其中A为可逆矩阵
§2 矩阵的秩
一、矩阵秩的定义
定义3 在m n矩阵A中， 任取k行k列( k min{ m .n})， 位于 这些行列交叉处的 k 2 个元素， 不改变它们在 A中所处的位置 次序而得的 k阶行列式 ， 称为矩阵 A的k阶子式.
( 3) R( A) R( AT )
(4) 最高阶非零子式不唯一 ; (5) 若A为m n矩阵， 则0 R( A) min{ m, n};
(6) 设A1为A的任一个子矩阵 ， 则R( A1 ) R( A).
(7) 满秩矩阵 ， 降秩矩阵
二、矩阵秩的求法
定理2 若A ~ B， 则R( A) R( B).
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
§1 矩阵的初等变换 一、引例