同济大学高等数学第六版第五章课后习题答案(包括5.1,5.2,5.3,5.4,总习题五)

习题5-11. 利用定积分定义计算由抛物线y =x 2+1, 两直线x =a 、x =b (b >a )及横轴所围成的图形的面积.解 第一步: 在区间[a , b ]内插入n -1个分点i n a b a x i -+=(i =1,2, ⋅⋅⋅, n -1), 把区间[a , b ]分成n 个长度相等的小区间, 各个小区间的长度为: na b x i -=∆(i =1, 2, ⋅⋅⋅, n ).第二步: 在第i 个小区间[x i -1, x i ] (i =1, 2, ⋅⋅⋅, n )上取右端点i n a b a x i i -+==ξ, 作和n a b i n a b a x f S ni i i n i n -⋅+-+=∆=∑∑==]1)[()(211ξ∑=+-+-+-=ni i na b i n a b a a n a b 12222]1)()(2[ ]6)12)(1()(2)1()(2[)(222n n n n n a b n n n a b a na n a b +++⋅-++⋅-+-= ]16)12)(1()()1)(()[(222+++-++-+-=nn n a b n n a b a a a b . 第三步: 令λ=max{∆x 1, ∆x 2, ⋅⋅⋅, ∆x n }na b -=, 取极限得所求面积∑⎰=→∆==ni i i ba x f dx x f S 1)(lim )(ξλ]16)12)(1()()1)(()[(lim 222+++-++-+-=∞→nn n a b n n a b a a a b n a b a b a b a b a a a b -+-=+-+-+-=)(31]1)(31)()[(3322.2. 利用定积分定义计算下列积分:(1)xdx ba⎰(a <b );解 取分点为i na b a x i -+=(i =1, 2, ⋅⋅⋅, n -1), 则n a b x i -=∆(i =1, 2,⋅⋅⋅, n ). 在第i 个小区间上取右端点i na b a x i i -+==ξ(i =1, 2, ⋅⋅⋅, n ). 于是∑∑⎰=∞→=∞→-⋅-+=∆=ni n n i i i n ba n ab i n a b a x xdx 11)(lim lim ξ )(21]2)1()()([lim )(22222a b n n n a b a b a a b n -=+-+--=∞→. (2)dx e x ⎰10.解 取分点为n i x i =(i =1, 2, ⋅⋅⋅, n -1), 则nx i 1=∆(i =1, 2, ⋅⋅⋅, n ). 在第i 个小区间上取右端点ni x i i ==ξ(i =1, 2, ⋅⋅⋅, n ). 于是) (1lim 1lim 21110n n n n n n i n i n xe e e n n e dx e +⋅⋅⋅++==∞→=∞→∑⎰1)1(]1[lim1])(1[1lim 11111-=--=--⋅=∞→∞→e e n e e ee e nnnn nnn n n .3. 利用定积分的几何意义, 说明下列等式: (1)1210=⎰xdx ;解⎰12xdx 表示由直线y =2x 、x 轴及直线x =1所围成的面积,显然面积为1. (2)41102π=-⎰dx x ;解⎰-121dx x 表示由曲线21x y -=、x 轴及y 轴所围成的四分之一圆的面积, 即圆x 2+y 2=1的面积的41:414112102ππ=⋅⋅=-⎰dx x .(3)⎰-=ππ0sin xdx ;解 由于y =sin x 为奇函数, 在关于原点的对称区间[-π, π]上与x 轴所夹的面积的代数和为零, 即⎰-=ππ0sin xdx .(4)⎰⎰=-2022cos 2cos πππxdx xdx .解⎰-22cos ππxdx 表示由曲线y =cos x 与x 轴上]2,2[ππ-一段所围成的图形的面积. 因为cos x 为偶函数, 所以此图形关于y 轴对称. 因此图形面积的一半为⎰20cos πxdx , 即⎰⎰=-2022cos 2cos πππxdx xdx .4. 水利工程中要计算拦水闸门所受的水压力, 已知闸门上水的压强p (单位面积上的压力大小)是水深h 的函数, 且有p =9⋅8h (kN/m 2). 若闸门高H =3m , 宽L =2m , 求水面与闸门顶相齐时闸门所受的水压力P .解 建立坐标系如图. 用分点i nH x i =(i =1, 2, ⋅⋅⋅, n -1)将区间[0,H ]分为n 分个小区间, 各小区间的长为n H x i =∆(i =1, 2, ⋅⋅⋅, n ).在第i 个小区间[x i -1, x i ]上, 闸门相应部分所受的水压力近似为∆P i =9.8x i L ⋅∆x i . 闸门所受的水压力为∑∑=∞→=∞→⋅=∆⋅⋅=ni n ni i i n n H i n H L x L x P 11lim 8.98.9lim 228.42)1(lim 8.9H L nn n H L n ⋅=+⋅=∞→.将L =2, H =3代入上式得P =88.2(千牛). 5. 证明定积分性质: (1)⎰⎰=babadx x f k dx x kf )()(;证明∑⎰=→∆=n i iibax kf dx x kf 1)(lim )(ξλ⎰∑=∆==→bani iidx x f k x f k )()(lim 1ξλ.(2)a b dx dx baba-==⋅⎰⎰1.证明a b a b x x dx ni in i iba-=-=∆=∆⋅=⋅→=→=→∑∑⎰)(lim lim 1lim 1011λλλ. 6. 估计下列各积分的值: (1)⎰+412)1(dx x ;解 因为当1≤x ≤4时, 2≤x 2+1≤17, 所以 )14(17)1()14(2412-⋅≤+≤-⋅⎰dx x ,即 51)1(6412≤+≤⎰dx x .(2)⎰+ππ4542)sin 1(dx x ;解 因为当ππ454≤≤x 时, 1≤1+sin 2x ≤2, 所以)445(2)sin 1()445(14542ππππππ-⋅≤+≤-⋅⎰dx x , 即 ππππ2)sin 1(4542≤+≤⎰dx x .(3)⎰331arctan xdx x ;解 先求函数f (x )=x arctan x 在区间]3 ,31[上的最大值M 与最小值m .21arctan )(x x x x f ++='. 因为当331≤≤x 时, f '(x )>0, 所以函数f (x )=x arctan x 在区间]3 ,31[上单调增加. 于是3631arctan 31)31(π===f m ,33arctan 3)3(π===f M .因此 )313(3arctan )313(36331-≤≤-⎰ππxdx x ,即 32arctan 9331ππ≤≤⎰xdx x .(4)⎰-022dx e xx.解 先求函数xxe xf -=2)(在区间[0, 2]上的最大值M 与最小值m . )12()(2-='-x e x f xx, 驻点为21=x .比较f (0)=1, f (2)=e 2, 41)21(-=e f , 得41-=e m , M =e 2. 于是)02()02(22412-⋅≤≤-⎰--e dx e e xx,即 41022222---≤≤-⎰e dx dx ee xx .7. 设f (x )及g (x )在[a , b ]上连续, 证明:(1)若在[a , b ]上, f (x )≥0, 且0)(=⎰ba dx x f , 则在[a ,b ]上f (x )≡0;证明 假如0/)(≡x f , 则必有f (x )>0. 根据f (x )在[a , b ]上的连续性, 在[a , b ]上存在一点x 0, 使f (x 0)>0, 且f (x 0)为f (x )在[a , b ]上的最大值.再由连续性, 存在[c , d ]⊂[a , b ], 且x 0∈[c , d ], 使当x ∈[c , d ]时,2)()(0x f x f >. 于是⎰⎰⎰⎰++=bdd cc abadx x f dx x f dx x f dx x f )()()()(0)(2)()(0>-≥≥⎰c d x f dx x f dc. 这与条件0)(=⎰badx x f 相矛盾. 因此在[a , b ]上f (x )≡0.(2)若在[a , b ]上, f (x )≥0, 且0/)(≡x f , 则0)(>⎰badx x f ;证明 证法一 因为f (x )在[a , b ]上连续, 所以在[a , b ]上存在一点x 0, 使f (x 0)>0, 且f (x 0)为f (x )在[a , b ]上的最大值.再由连续性, 存在[c , d ]⊂[a , b ], 且x 0∈[c , d ], 使当x ∈[c , d ]时,2)()(0x f x f >. 于是 ⎰⎰>-≥≥b a d c c d x f dx x f dx x f 0)(2)()()(0.证法二 因为f (x )≥0, 所以0)(≥⎰badx x f . 假如0)(>⎰badx x f 不成立. 则只有0)(=⎰badx x f ,根据结论(1), f (x )≡0, 矛盾. 因此0)(>⎰badx x f .(3)若在[a , b ]上, f (x )≤g (x ), 且⎰⎰=bab adx x g dx x f )()(, 则在[a , b ]上f (x )≡g (x ).证明 令F (x )=g (x )-f (x ), 则在[a , b ]上F (x )≥0且0)()()]()([)(=-=-=⎰⎰⎰⎰bab ab ab adx x f dx x g dx x f x g dx x F ,由结论(1), 在[a , b ]上F (x )≡0, 即f (x )≡g (x ).4. 根据定积分的性质及第7题的结论, 说明下列积分哪一个的值较大:(1)⎰12dx x 还是⎰13dx x ？解 因为当0≤x ≤1时, x 2≥x 3, 所以⎰⎰≥13102dx x dx x .又当0<x <1时, x 2>x 3, 所以⎰⎰>13102dx x dx x .(2)⎰212dx x 还是⎰213dx x ？解 因为当1≤x ≤2时, x 2≤x 3, 所以⎰⎰≤213212dx x dx x .又因为当1<x ≤2时, x 2<x 3, 所以⎰⎰<213212dx x dx x .(3)⎰21ln xdx 还是⎰212)(ln dx x ？解 因为当1≤x ≤2时, 0≤ln x <1, ln x ≥(ln x )2, 所以⎰⎰≥21221)(ln ln dx x xdx .又因为当1<x ≤2时, 0<ln x <1, ln x >(ln x )2, 所以⎰⎰>21221)(ln ln dx x xdx .(4)⎰1xdx 还是⎰+1)1ln(dx x ？解 因为当0≤x ≤1时, x ≥ln(1+x ), 所以⎰⎰+≥11)1ln(dx x xdx .又因为当0<x ≤1时, x >ln(1+x ), 所以⎰⎰+>110)1ln(dx x xdx .(5)⎰10dx e x 还是⎰+1)1(dx x ？解 设f (x )=e x -1-x , 则当0≤x ≤1时f '(x ) =e x -1>0, f (x )=e x -1-x 是单调增加的. 因此当0≤x ≤1时, f (x )≥f (0)=0, 即e x ≥1+x , 所以⎰⎰+≥110)1(dx x dx e x .又因为当0<x ≤1时, e x>1+x , 所以⎰⎰+>110)1(dx x dx e x .习题5-21. 试求函数⎰=xtdt y 0sin 当x =0及4π=x 时的导数.解 x tdt dx dy x sin sin 0=='⎰, 当x =0时, y '=sin0=0;当4π=x 时, 224sin =='πy . 2. 求由参数表示式⎰=t udu x 0sin , ⎰=tudu y 0cos 所给定的函数y对x 的导数.解 x '(t )=sin t , y '(t )=cos t , t t x t y dx dy cos )()(=''=.3. 求由⎰⎰=+xyt tdt dt e 00cos 所决定的隐函数y 对x 的导数dxdy. 解 方程两对x 求导得 0cos =+'x y e y ,于是 y ex dx dy cos -=. 4. 当x 为何值时, 函数⎰-=xt dt te x I 02)(有极值？解 2)(x xe x I -=', 令I '(x )=0, 得x =0.因为当x <0时, I '(x )<0; 当x >0时, I '(x )>0, 所以x =0是函数I (x )的极小值点. 5. 计算下列各导数: (1)⎰+2021x dtt dxd ;解 dx du dt t du d dt t dx d u ux x ⋅+====+⎰⎰=02021122令421221x x x u +=⋅+=.(2)⎰+32411x x dt tdx d ; 解 ⎰⎰⎰+++=+323204044111111x x x x dt t dx d dt t dx d dt t dx d ⎰⎰+++-=3204041111x x dt t dx d dt t dx d )()(11)()(11343242'⋅++'⋅+-=x x x x 12281312x x x x +++-=. (3)⎰x xdt t dx d cos sin 2)cos(π. 解⎰⎰⎰+-=x x x x dt t dx d dt t dx d dt t dx d cos 02sin 02cos sin 2)cos()cos()cos(πππ))(cos cos cos())(sin sin cos(22'+'-=x x x x ππ )cos cos(sin )sin cos(cos 22x x x x ππ⋅-⋅-= )sin cos(sin )sin cos(cos 22x x x x πππ-⋅-⋅-= )sin cos(sin )sin cos(cos 22x x x x ππ⋅+⋅-= )sin cos()cos (sin 2x x x π-=6. 计算下列各定积分: (1)⎰+-adx x x 02)13(;解a a a x x x dx x x a a+-=+-=+-⎰230230221|)21()13(. (2)⎰+2142)1(dx x x ;解 852)11(31)22(31|)3131()1(333321332142=---=-=+---⎰x x dx x x . (3)⎰+94)1(dx x x ;解 94223942194|)2132()()1(x x dx x x dx x x +=+=+⎰⎰ 6145)421432()921932(223223=+-+=.(4)⎰+33121x dx; 解 66331arctan 3arctan arctan 13313312πππ=-=-==+⎰x x dx . (5)⎰--212121x dx ; 解3)6(6)21arcsin(21arcsin arcsin 1212121212πππ=--=--==---⎰x x dx .(6)⎰+ax a dx3022; 解 aa a axa x a dx a a 30arctan 13arctan 1arctan 1303022π=-==+⎰.(7)⎰-1024x dx ; 解 60arcsin 21arcsin 2arcsin 410102π=-==-⎰x x dx . (8)dx x x x ⎰-+++012241133; 解 013012201224|)arctan ()113(1133---+=++=+++⎰⎰x x dx x x dx x x x 41)1arctan()1(3π+=----=.(9)⎰---+211e x dx;解 1ln 1ln ||1|ln 12121-=-=+=+------⎰e x x dx e e . (10)⎰402tan πθθd ;解4144tan )(tan )1(sec tan 4040242πππθθθθθθπππ-=-=-=-=⎰⎰d d .(11)dx x ⎰π20|sin |;解⎰⎰⎰-=ππππ2020sin sin |sin |xdx xdx dx xπππ20cos cos x x +-==-cos π +cos0+cos2π-cos π=4.(12)⎰2)(dx x f , 其中⎩⎨⎧>≤+=12111)(2x x x x x f .解 38|)61(|)21(21)1()(2131022121020=++=++=⎰⎰⎰x x x dx x dx x dx x f . 7. 设k 为正整数. 试证下列各题: (1)⎰-=ππ0cos kxdx ;证明⎰--=--==ππππππ0)(sin 1sin 1|sin 1cos k kk k kx k kxdx . (2)⎰-=ππ0sin kxdx ;证明 )(cos 1cos 1cos 1sin ππππππ-+-=-=--⎰k kk k x k k kxdx0cos 1cos 1=+-=ππk k k k .(3)⎰-=πππkxdx 2cos ;证明 πππππππ=+=+=---⎰⎰|)2sin 21(21)2cos 1(21cos 2kx kx dx kx kxdx . (4)⎰-=πππkxdx 2sin .证明 πππππππ=-=-=---⎰⎰|)2sin 21(21)2cos 1(21sin 2kx kx dx kx kxdx . 8. 设k 及l 为正整数, 且k ≠l . 试证下列各题: (1)⎰-=ππ0sin cos lxdx kx ;证明 ⎰⎰----+=ππππdx x l k x l k lxdx kx ])sin()[sin(21sin cos0])cos()(21[])cos()(21[=----++-=--ππππx l k l k x l k l k . (2)⎰-=ππ0cos cos lxdx kx ;证明 ⎰⎰---++=ππππdx x l k x l k lxdx kx ])cos()[cos(21cos cos 0])sin()(21[])sin()(21[=--+++=--ππππx l k l k x l k l k . (3)⎰-=ππ0sin sin lxdx kx .证明 ⎰⎰----+-=ππππdx x l k x l k lxdx kx ])cos()[cos(21sin sin . 0])sin()(21[])sin()(21[=--+++-=--ππππx l k l k x l k l k . 9. 求下列极限: (1)xdt t xx ⎰→020cos lim ;解 11cos lim cos lim20020==→→⎰x xdt t x xx .(2)⎰⎰→xt xt x dttedt e 0220022)(lim.解 22222202200)(2lim )(limx xt x t x xt xt x xedt e dt e dtte dt e '⋅=⎰⎰⎰⎰→→222220202lim 2lim x x t x x x x t x xe dte xe edt e ⎰⎰→→=⋅=2212lim 22lim 2020222=+=+=→→xe x e e x x x x x .10. 设⎩⎨⎧∈∈=]2 ,1[]1 ,0[)(2x x x x x f . 求⎰=x dt t f x 0)()(ϕ在[0, 2]上的表达式, 并讨论ϕ(x )在(0, 2)内的连续性.解 当0≤x ≤1时, 302031)()(x dt t dt t f x xx ===⎰⎰ϕ;当1<x ≤2时,6121212131)()(2211020-=-+=+==⎰⎰⎰x x tdt dt t dt t f x xxϕ.因此 ⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤≤=21 612110 31)(23x x x x x ϕ.因为31)1(=ϕ, 3131lim )(lim 30101==-→-→x x x x ϕ, 316121)6121(lim )(lim 20101=-=-=+→+→x x x x ϕ, 所以ϕ(x )在x =1处连续, 从而在(0, 2)内连续.11. 设⎩⎨⎧><≤≤=ππx x x x x f 或000sin 21)(. 求⎰=xdt t f x 0)()(ϕ在(-∞, +∞)内的表达式. 解 当x <0时,00)()(0===⎰⎰xxdt dt t f x ϕ;当0≤x ≤π时,21cos 21|cos 21sin 21)()(000+-=-===⎰⎰x t tdt dt t f x xxxϕ;当x >π时, πππϕ000|cos 210sin 21)()(t dt tdt dt t f x x x-=+==⎰⎰⎰10cos 21cos 21=+-=π.因此 ⎪⎩⎪⎨⎧≥≤≤-<=ππϕx x x x x 10)cos 1(2100)(.12. 设f (x )在[a , b ]上连续, 在(a , b )内可导且f '(x )≤0,⎰-=x a dt t f ax x F )(1)(. 证明在(a , b )内有F '(x )≤0.证明 根据积分中值定理, 存在∈[a , x ], 使))(()(a x f dt t f xa-=⎰ξ.于是有)(1)()(1)(2x f ax dt t f a x x F x a -+--='⎰ ))(()(1)(12a x f a x x f a x ----=ξ )]()([1ξf x f ax --=. 由f '(x )≤0可知f (x )在[a , b ]上是单调减少的, 而a ≤ξ≤x , 所以f (x )-f (ξ)≤0. 又在(a , b )内, x -a >0, 所以在(a , b )内 0)]()([1)(≤--='ξf x f ax x F .习题5-31. 计算下列定积分: (1)⎰+πππ2)3sin(dx x ;解0212132cos 34cos )3cos()3sin(22=-=+-=+-=+⎰ππππππππx dx x . (2)⎰-+123)511(x dx ;解51251110116101)511(2151)511(22122123=⋅+⋅-=+-⋅=+-----⎰x x dx . (3)⎰203cos sin πϕϕϕd ;解⎰⎰-=20323sin cos cos sin ππϕϕϕϕϕd s d410cos 412cos 41cos 4144204=+-=-=πϕπ. (4)⎰-πθθ03)sin 1(d ;解⎰⎰⎰+=-πππθθθθθ0203cos sin )sin 1(d d d⎰-+=ππθθθ020cos )cos 1(d34)cos 31(cos 03-=-+=πθθππ.(5)⎰262cos ππudu ;解 22262622sin 4121)2cos 1(21cos ππππππππu u du u udu +=+=⎰⎰ 836)3sin (sin 41)62(21-=-+-=πππππ.(6)dx x ⎰-2022;解tdt t dx x t x cos 2cos 2 220sin 222⎰⎰⋅======-=π令dt t ⎰+=2)2cos 1(π2)2sin 21(20ππ=+=t t . (7)dy y ⎰--22228;解dy y dy y ⎰⎰---=-2222224228⎰-=⋅=====44sin 2cos 2cos 22ππxdx x x y 令⎰-+=44)2cos 1(22ππdx x)2(2)2sin 21(224+=+=-πππy x . (8)⎰-121221dx x x ; 解⎰⎰⋅=====-=242sin 12122cos sin cos 1ππtdt tt dx x x tx 令 41)cot ()1sin 1(2422πππππ-=--=-=⎰t t dt t. (9)⎰-adx x a x 0222;解⎰⎰⋅⋅=====-=2022sin 0222cos cos sin πtdt a t a t a dx x a x t a x a令⎰=20242sin 4πtdt a 164sin 328)4cos 1(84204204204ππππa t a t a dt t a =-=-=⎰. (10)⎰+31221xx dx ;解⎰⎰⋅⋅=====+=3422tan 3122sec sec tan 11ππtdt t t x x dx tx 令 3322sin 1sin cos 3432-=-==⎰ππππt dt t t .(11)⎰--1145xxdx ; 解 61)315(81)5(81451313324511=--=-======-⎰⎰=--u u du u x xdx u x 令. (12) ⎰+411xdx;解 221112141=⋅+=====+⎰⎰=udu u x dx u x 令 )32ln 1(2)|1|ln (2)111(2121+=+-=+-⎰u u du u .(13)⎰--14311x dx ; 解du u u x dx u x )2(11110211143-⋅-======--⎰⎰=-令 2ln 21)|1|ln (2)111(221021-=-+=-+=⎰u u du u . (14)⎰-a x a xdx 20223; 解 ⎰⎰---=-a a x a d xa x a xdx 2022222022)3(31213 )13(32022-=--=a x a a .(15)dt te t ⎰-1022;解 2110102221021)2(222-----=-=--=⎰⎰e e t d e dt te t tt .(16)⎰+21ln 1e x x dx ; 解 )13(2ln 12ln ln 11ln 1222111-=+=+=+⎰⎰e e e x x d x x x dx . (17)⎰-++02222x x dx ;解 ⎰⎰--++=++022022)1(1122dx x x x dx 2)1arctan(1arctan )1arctan(02π=--=+=-x .(18)⎰-222cos cos ππxdx x ;解 32)sin 32(sin sin )sin 21(2cos cos 2322222=-=-=---⎰⎰ππππππx x x d x xdx x . (19)⎰--223cos cos ππdx x x ;解⎰⎰---=-222223cos 1cos cos cos ππππdx x x dx x x⎰⎰+-=-202sin cos )sin (cos ππxdx x dx x x34cos 32cos 3220230223=-=-ππx x . (20)⎰+π2cos 1dx x .解22cos 2sin 22cos 100=-==+⎰⎰πππx xdx dx x .2. 利用函数的奇偶性计算下列积分: (1)⎰-ππxdx x sin 4;解 因为x 4sin x 在区间[-π, π]上是奇函数, 所以0sin 4=⎰-ππxdx x .(2)⎰-224cos 4ππθθd ;解⎰⎰⎰+==-202204224)22cos 1(8cos 42cos 4ππππθθθθθd x d d ⎰++=202)2cos 2cos 21(2πθd x x⎰++=20)4cos 212cos 223(2πθd x x 23)4sin 412sin 23(20πθπ=++=x x . (3)⎰--2121221)(arcsin dx x x ; 解⎰⎰-=--210222121221)(arcsin 21)(arcsin dx xx dx x x ⎰=2102)(arcsin )(arcsin 2x d x324)(arcsin 3232103π==x .(4)⎰-++55242312sin dx x x xx .解 因为函数12sin 2423++x x x x 是奇函数, 所以012sin 552423=++⎰-dx x x x x . 3. 证明:⎰⎰-=aaadx x dx x 022)(2)(ϕϕ, 其中ϕ(u )为连续函数.证明 因为被积函数ϕ(x 2)是x 的偶函数, 且积分区间[-a , a ]关于原点对称, 所以有⎰⎰-=aaadx x dx x 022)(2)(ϕϕ.4. 设f (x )在[-b , b ]上连续, 证明⎰⎰---=bbbbdx x f dx x f )()(. 证明 令x =-t , 则dx =-dt , 当x =-b 时t =b , 当x =b 时t =-b , 于是 ⎰⎰⎰----=--=bb bbb bdt t f dt t f dx x f )()1)(()(,而 ⎰⎰---=-bbbb dx x f dt t f )()(,所以⎰⎰---=bbbbdx x f dx x f )()(.5. 设f (x )在[a , b ]上连续., 证明⎰⎰-+=babadx x b a f dx x f )()(. 证明 令x =a +b -t , 则dx =d t , 当x =a 时t =b , 当x =b 时t =a , 于是 ⎰⎰⎰-+=--+=ba baa bdt t b a f dt t b a f dx x f )()1)(()(,而 ⎰⎰-+=-+baba dx xb a f dt t b a f )()(,所以⎰⎰-+=babadx x b a f dx x f )()(.6. 证明: ⎰⎰>+=+11122)0(11x x x x dx x dx . 证明 令t x 1=, 则dt t dx 21-=, 当x =x 时xt 1=, 当x =1时t =1, 于是⎰⎰⎰+=-⋅+=+11121122211)1(1111x x x dt t dt t t x dx ,而 ⎰⎰+=+x xdx x dt t 1121121111, 所以 ⎰⎰+=+1112211x x x dx x dx .7. 证明:⎰⎰-=-110)1()1(dx x x dx x x m n nm.证明 令1-x =t , 则 ⎰⎰⎰⎰-=-=--=-11110)1()1()1()1(dx x x dt t t dt t t dx x x m n nm nm nm,即⎰⎰-=-11)1()1(dx x x dx x x m n nm.8. 证明: ⎰⎰=ππ020sin 2sin xdx xdx n n .证明 ⎰⎰⎰+=ππππ22sin sin sin xdx xdx xdx n nn,而 ⎰⎰⎰⎰==--=====-=202022sin sin ))((sin sin πππππππxdx tdt dt t xdx nn n tx n 令,所以⎰⎰=ππ20sin 2sin xdx xdx n n.9. 设f (x )是以l 为周期的连续函数, 证明⎰+1)(a adx x f 的值与a无关.证明 已知f (x +l )=f (x ).⎰⎰⎰⎰++++=la ll aa a dx x f dx x f dx x f dx x f )()()()(001⎰⎰⎰-+=+ala lldx x f dx x f dx x f 00)()()(,而 ⎰⎰⎰⎰=+=+=====+=+aaalt x la l dx x f dx l x f dt l t f dx x f 0)()()()(令, 所以 ⎰⎰=+la adx x f dx x f 01)()(.因此⎰+1)(a adx x f 的值与a 无关.10. 若f (t )是连续函数且为奇函数, 证明⎰xdt t f 0)(是偶函数;若f (t )是连续函数且为偶函数, 证明⎰xdt t f 0)(是奇函数.证明 设⎰=xdt t f x F 0)()(.若f (t )是连续函数且为奇函数, 则f (-t )=-f (t ), 从而 ⎰⎰--======--=-xut xdu u f dt t f x F 0)1)(()()(令)()()(0x F dx x f dx u f xx ===⎰⎰,即⎰=xdt t f x F 0)()(是偶函数.若f (t )是连续函数且为偶函数, 则f (-t )=f (t ), 从而 ⎰⎰--======--=-xut xdu u f dt t f x F 0)1)(()()(令)()()(0x F dx x f dx u f xx -=-=-=⎰⎰,即⎰=xdt t f x F 0)()(是奇函数.11. 计算下列定积分: (1)⎰-10dx xe x ;解11011101121--------=--=+-=-=⎰⎰⎰e ee dx e xexde dx xe x xx xx.(2)⎰e xdx x 1ln ;解 ⎰⎰⎰⋅-==e e e edx xx x x xdx xdx x 0212121121ln 21ln 21ln)1(4141212122+=-=e x e e.(3)⎰ωπω20sin tdt t (ω为常数);解⎰⎰-=ωπωπωωω2020cos 1sin t td tdt t⎰+-=ωπωπωωωω2020cos 1cos 1tdt t t220222sin 12ωπωωωπωπ-=+-=t . (4)⎰342sin ππdx xx ; 解 ⎰⎰⎰+-=-=34334342cot cot cot sin ππππππππxdx x x x xd dx x x 34sin ln 4313ππππx ++⋅-=23ln 21)9341(+-=π. (5)⎰41ln dx x x;解 ⎰⎰⎰⋅-==4141414112ln 2ln 2ln dx x x x x x xd dx xx)12ln 2(442ln 8122ln 84141-=-=-=⎰x dx x.(6)⎰1arctan xdx x ;解 ⎰⎰=1021arctan 21arctan xdx xdx x x d xx x x ⎰+⋅-=10221021121arctan 21 10102)arctan (218)111(218x x x d x --=+--=⎰ππ214)41(218-=--=πππ. (7)⎰202cos πxdx e x ;解⎰⎰⎰-==202202202202sin 2sin sin cos ππππxdx e x e x d e xdx e x xxx⎰⎰-+=+=202202202cos 4cos 2cos 2πππππxdx e x e e x d e e x x x ⎰-+=202cos 42ππxdx e e x所以)2(51cos 202-=⎰ππe xdx e x.(8)⎰212log xdx x ;解 ⎰⎰=2122212log 21log xdx xdx x⎰⋅-=21221222ln 121log 21dx x x x x2ln 432212ln 212212-=⋅-=x . (9)⎰π2)sin (dx x x ;解 ⎰⎰⎰-=-=ππππ20302022sin 4161)2cos 1(21)sin (x d x x dx x x dx x x ⎰⎰-=⋅+-=πππππππ03000332cos 41622sin 412sin 416x xd x xd x x x 462sin 81462cos 412cos 416303003ππππππππ-=+-=+-=⎰x xdx x x . (10)⎰edx x 1)sin(ln ;解法一 ⎰⎰⋅======1ln 1sin )sin(ln dt e t dx x t tx e令.因为⎰⎰⎰-==⋅11011cos sin sin sin tdt e t e tde dt e t t ttt⎰⎰--⋅=-⋅=1101sin cos 1sin cos 1sin tdt e t e e tde e t tt⎰-+⋅-⋅=10sin 11cos 1sin tdt e e e t ,所以)11cos 1sin (21sin 1+⋅-⋅=⎰e e tdt e t . 因此 )11cos 1sin (21)sin(ln 1+⋅-⋅=⎰e e dx x e.解法二⎰⎰⋅⋅-⋅=eeedx xx x x x dx x 1111)cos(ln )sin(ln )sin(ln ⎰-⋅=edx x e 1)cos(ln 1sin⎰⋅⋅-⋅-⋅=eedx xx x x x e 111)sin(ln )cos(ln 1sin⎰-+⋅-⋅=edx x e e 0)sin(ln 11cos 1sin ,故)11cos 1sin (21)sin(ln 1+⋅-⋅=⎰e e dx x e. (11)dx x ee⎰1|ln |;解dx x dx x dx x eee e⎰⎰⎰+-=1111ln ln |ln |⎰⎰-++-=eeeedx dx x x x x 111111ln ln )11(2)1()11(1e e e e e -=---++-=.(12)⎰-1022)1(dx x m(m 为自然数);解⎰⎰+======-201sin 122cos )1(πtdt dx x m t x m令. 根据递推公式⎰⎰--=20220cos 1cos ππxdx n n xdx n n,⎪⎩⎪⎨⎧⋅⋅⋅⋅⋅--⋅--⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅--⋅--⋅+=-⎰. ,325476 34121, ,2214365 34121)1(1022为偶数为奇数m m m m m m m m m m m m m m dx x m π(13)⎰=πsin xdx x J m m (m 为自然数).解 因为⎰⎰---=====-=0)1)((sin )(sin πππππdt t t xdx x m tx m令⎰⎰-=πππ0sin sin tdt t tdt m m,所以 ⎰⎰==πππ0sin 2sin xdx xdx x J m mm⎰⎰=⋅=2020sin sin 22ππππxdx xdx m m (用第8题结果).根据递推公式⎰⎰--=20220sin 1sin ππxdx n n xdx n n ,⎪⎩⎪⎨⎧⋅⋅⋅⋅⋅--⋅--⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅--⋅--⋅-=. ,325476 45231, ,2214365 452312为奇数为偶数m m m m m m m m m m m m m m J m ππ习题5-41. 判别下列各反常积分的收敛性, 如果收敛, 计算反常积分的值: (1)⎰∞+14x dx ; 解 因为3131)31(lim 3131314=+-=-=-+∞→∞+-∞+⎰x x x dx x , 所以反常积分⎰∞+14x dx 收敛, 且3114=⎰∞+x dx . (2)⎰∞+1xdx;解 因为+∞=-==+∞→∞+∞+⎰22lim 211x x x dx x , 所以反常积分⎰∞+1x dx发散.(3)dx e ax ⎰∞+-0(a >0);解 因为aa e a e a dx e ax x ax ax11)1(lim 100=+-=-=-+∞→∞+-∞+-⎰, 所以反常积分dx e ax⎰∞+-0收敛, 且adx e ax 10=⎰∞+-.(4)⎰∞+-0ch tdt e pt (p >1);解 因为⎰⎰∞++--∞+-+=0)1()1(0][21ch dt e e tdt e t p t p pt1]1111[2120)1()1(-=+--=∞++--p pe p e p t p t p ,所以反常积分⎰∞+-0ch tdt e pt收敛, 且1ch 20-=⎰∞+-p ptdt e pt .(5)⎰∞+-0sin tdt e pt ω(p >0, ω>0);解 ⎰⎰∞+-∞+--=0cos 1sin t d e tdt ept ptωωω⎰∞+-∞+--⋅+-=00)(cos 1cos 1dt pe t t e pt ptωωωω ⎰∞+--=02sin 1t d e p pt ωωω ⎰∞+-∞+--⋅+-=0202)(sin sin 1dt pe t p t e p pt pt ωωωωω⎰∞+--=022sin 1tdt e p pt ωωω, 所以220sin w p tdt e pt +=⎰∞+-ωω. (6)⎰+∞∞-++222x x dx ;解 πππ=--=+=++=++⎰⎰∞+∞-∞+∞-+∞∞-)2(2)1arctan()1(12222x x dx x x dx . (7)dx x x ⎰-121; 解 这是无界函数的反常积分, x =1是被积函数的瑕点.11)1(lim 1121102102=+--=--=--→⎰x x dx x x x . (8)⎰-202)1(x dx;解 这是无界函数的反常积分, x =1是被积函数的瑕点. 因为⎰⎰⎰-+-=-212102202)1()1()1(x dx x dx x dx , 而+∞=--=-=--→⎰111lim 11)1(110102xx x dx x ,所以反常积分⎰-202)1(x dx 发散. (9)⎰-211x xdx ; 解 这是无界函数的反常积分, x =1是被积函数的瑕点.21232121]12)1(32[)111(1-+-=-+-=-⎰⎰x x dx x x x xdx 322]12)1(32[lim 38231=-+--=+→x x x . (10)⎰-e x x dx 12)(ln 1. 解 这是无界函数的反常积分, x =e 是被积函数的瑕点.x d x x x dx e eln )(ln 11)(ln 11212⎰⎰-=- 2)arcsin(ln lim )arcsin(ln 1π===-→x x e x e. 2. 当k 为何值时, 反常积分⎰∞+0)(ln kx x dx 收敛? 当k 为何值时, 这反常积分发散? 又当k 为何值时, 这反常积分取得最小值?解 当k <1时,+∞=-==∞++-∞+∞+⎰⎰2122)(ln 11ln )(ln 1)(ln k k k x kx d x x x dx ;当k =1时,+∞===∞+∞+∞+⎰⎰222)ln(ln ln ln 1)(ln x x d xx x dx k ;当k >1时,k k k k k x k x d x x x dx -∞++-∞+∞+-=-==⎰⎰12122)2(ln 11)(ln 11ln )(ln 1)(ln .因此当k >1时, 反常积分⎰∞+0)(ln kx x dx 收敛; 当k ≤1时, 反常积分⎰∞+0)(ln kx x dx 发散.当k >1时, 令k k k x x dx k f -∞+-==⎰10)2(ln 11)(ln )(, 则 2ln ln )2(ln 11)2(ln )1(1)(112k k k k k f ------=' )2ln ln 11()1(2ln ln )2(ln 21+---=-k k k . 令f '(k )=0得唯一驻点2ln ln 11-=k .因为当2ln ln 111-<<k 时f '(k )<0, 当2ln ln 11->k 时f '(k )>0, 所以2ln ln 11-=k 为极小值点, 同时也是最小值点, 即当2ln ln 11-=k 时, 这反常积分取得最小值3. 利用递推公式计算反常积分⎰∞+-=0dx e x I x n n .解 因为⎰⎰∞+-∞+--==0x n x n n de x dx e x I1010-∞+--∞+-=+-=⎰n x n x n nI dx e x n ex ,所以 I n = n ⋅(n -1)⋅(n -2)⋅⋅⋅2⋅I 1. 又因为 1001=-=+-=-==∞+-∞+-∞+-∞+-∞+-⎰⎰⎰x x x xxe dx e xexde dx xe I ,所以 I n = n ⋅(n -1)⋅(n -2)⋅ ⋅ ⋅2⋅I 1=n !.总习题五1. 填空:(1)函数f (x )在[a , b ]上(常义)有界是f (x )在[a , b ]上可积的______条件, 而f (x )在[a , b ]上连续是f (x )在[a , b ]上可积______的条件;解 函数f (x )在[a , b ]上(常义)有界是f (x )在[a , b ]上可积的___必要___条件, 而f (x )在[a , b ]上连续是f (x )在[a , b ]上可积___充分___的条件;(2)对[a , +∞)上非负、连续的函数f (x ), 它的变上限积分⎰xa dx x f )(在[a , +∞)上有界是反常积分⎰+∞a dx x f )(收敛的______条件;解 对[a , +∞)上非负、连续的函数f (x ), 它的变上限积分⎰xa dx x f )(在[a , +∞)上有界是反常积分⎰+∞a dx x f )(收敛的___充分___条件;(3)绝对收敛的反常积分⎰+∞a dx x f )(一定______; 解 绝对收敛的反常积分⎰+∞a dx x f )(一定___收敛___;(4)函数f (x )在[a , b ]上有定义且|f (x )|在[a , b ]上可积, 此时积分⎰ba dx x f )(______存在. 解 函数f (x )在[a ,b ]上有定义且|f (x )|在[a , b ]上可积, 此时积分⎰ba dx x f )(___不一定___存在.2. 计算下列极限: (1)∑=∞→+n i n nin 111lim ;解 )122(32)1(32111lim 103101-=+=+=+⎰∑=∞→x dx x n i n n i n . (2)121lim+∞→+⋅⋅⋅++p pp p n nn (p >0);解 11111])( )2()1[(lim 21lim101101+=+==⋅⋅⋅⋅++=+⋅⋅⋅+++∞→+∞→⎰p x p dx x n n n n n nn p p p p p n p p p p n . (3)nn nn !lnlim ∞→; 解 ]ln 1)ln 2ln 1(ln 1[lim !lnlim n n nn n n n n nn ⋅-+⋅⋅⋅++=∞→∞→nn n n n n 1)]ln (ln )ln 2(ln )ln 1[(ln lim ⋅-+⋅⋅⋅+-+-=∞→⎰=⋅+⋅⋅⋅++=∞→10ln 1)ln 2ln 1(ln lim xdx n n n n n n1)ln ()ln (10101010-=-=-=⎰xx x dx x x .(4)⎰-→xaa x dt t f a x x )(lim, 其中f (x )连续; 解法一 )()(lim )(lima af xf dt t f a x x a xa a x ==-→→⎰ξξ (用的是积分中值定理). 解法二 )(1)()(lim)(lim )(lim a af x xf dt t f ax dt t f x dt t f a x x xa ax xa ax xa a x =+=-=-⎰⎰⎰→→→ (用的是洛必达法则). (5)1)(arctan lim202+⎰+∞→x dtt xx .解 4)(arctan 1lim 1)(arctan lim 1)(arctan lim22222202π=+=+=+∞→+∞→+∞→⎰x x x x x x x dtt x x xx . 3. 下列计算是否正确, 试说明理由: (1)⎰⎰----=-=+-=+111111222)1arctan ()1(1)1(1πx xx d x dx ;解 计算不正确, 因为x 1在[-1, 1]上不连续. (2)因为⎰⎰--++-=++111122111t t dt tx x x dx , 所以⎰-=++11201x x dx .解 计算不正确, 因为t1在[-1, 1]上不连续.(3)01lim 122=+=+⎰⎰-∞→+∞∞-A A A dx x xdx x x . 解 不正确, 因为⎰⎰⎰⎰-+∞→+∞→+∞∞--∞→+≠+++=+A A A b b a a dx x xdx x x dx x x dx x x 2020221lim 1lim 1lim 1. 4. 设p >0, 证明⎰<+<+10111px dx p p. 证明 p pp pp p px xx x x x x->+-=+-+=+>11111111. 因为⎰⎰⎰<+<-1010101)1(dx x dxdx x pp,而 110=⎰dx , pp p x x dx x p p+=+-=-+⎰1)1()1(10110, 所以⎰<+<+10111p xdx p p. 5. 设f (x )、g (x )在区间[a , b ]上均连续, 证明: (1)⎰⎰⎰⋅≤ba ba ba dx x g dx x f dx x g x f )()(])()([222;证明 因为[f (x )-λg (x )]2≥0, 所以λ2g 2(x )-2λ f (x )g (x )+f 2(x )≥0, 从而 0)()()(2)(222≥+-⎰⎰⎰ba ba ba dx x f dx x g x f dx x g λλ.上式的左端可视为关于λ的二次三项式, 因为此二次三项式大于等于0, 所以其判别式小于等于0, 即0)()(4])()([4222≤⋅-⎰⎰⎰ba b a b a dx x g dx x f dx x g x f ,亦即 ⎰⎰⎰⋅≤ba ba ba dx x g dx x f dx x g x f )()(])()([222. (2)()()()212212212)()()]()([⎰⎰⎰+≤+b ab a b a dx x g dx x f dx x g x f , 证明⎰⎰⎰⎰++=+ba b a b a b a dx x g x f dx x g dx x f dx x g x f )()(2)()()]()([222 212222])()([2)()(⎰⎰⎰⎰⋅++≤ba ba ba ba dx x g dx x f dx x g dx x f ,又()2212212212222])([])([])()([2)()(⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=⋅++ba ba ba ba ba ba dx x gdx x fdx x gdx x f dx x g dx x f,所以()()()212212212)()()]()([⎰⎰⎰+≤+b ab a b a dx x g dx x f dx x g x f . 6. 设f (x )在区间[a , b ]上连续, 且f (x )>0. 证明⎰⎰-≥⋅b a baa b x f dxdx x f 2)()()(. 证明 已知有不等式⎰⎰⎰⋅≤ba ba ba dx x g dx x f dx x g x f )()(])()([222, 在此不等式中, 取)(1)(x f x f =, )()(x f x g =, 则有⎰⎰⎰⋅≥⋅⋅ba ba ba dx x f x f dx x f dx x f 222])(1)([])(1[])([,即⎰⎰-≥⋅ba baa b x f dxdx x f 2)()()(. 7. 计算下列积分: (1)⎰++2cos 1sin πdx xxx ;解 20202020220)cos 1ln()2(tan cos 1)cos 1(2cos2cos 1sin πππππ⎰⎰⎰⎰+-=++-=++x xxd x x d dx x x dx xxx⎰=++=+-=2022022ln 2cos ln 222ln 2tan )2tan (πππππx dx x xx .(2)⎰+40)tan 1ln(πdx x ;解 ⎰⎰+=+4040cos )4sin(2ln)tan 1ln(πππdx xx dx x ⎰⎰⎰-++=404040cos ln )4sin(ln 2ln ππππxdx dx x dx .令,4u x =-π则。