第15章 复数 变式题答案

第十五章 复数
【例 15.1 变式 1】
解析 ,0,00,=≠=+-=+
ab b a i
b a bi a i b a 故且为纯虚数，则必有若因为 即的首要条件；为纯虚数是"""0"i b a ab += 反之，为实数，时，当或则若bi a a b b a ab -≠====0,0,00,0
为纯虚数””是“不是纯虚数，故“即i
b a ab i b a +=+0的不充分条件，故选B. 【例15.1 变式2】
解析 依题意，是纯虚数，)1cos 2(12sin ++-θθi
则 012sin =-θ 12sin =θ
01cos 2≠+θ 2
2cos -≠θ )(4),(222,12sin Z k k Z k k ∈+=∈+=
=ππ得ππθθθ. )(4
2,22cos Z k k ∈+=-≠ππ所以又θθ,故选B. 【例 15.1 变式3】 解析 i i i z z z z Z -=--=-+-=--=--⋅111)1(2112_
，故选B 。

【例15.2 变式 1】
解析 由21)11(1)1(2,1222-=---=--=--=i z z z i z 得，i z -=-1，故 i i
z z z 22122-=--=--，故选B. 【例 15.2 变式 2】
解析i i
i i i i =++=+-21)21(212，故选A 。

【例 15.3 变式1 】
解析 因为4,31312)2)(1(=++=+-=++b a i i i i 所以，故填4.
【例 15.3 变式 2】
解析 因为1,1,1)(-==+=+-=+b a i b ai i i a 所以，故选D 。

【例 15.4 变式1】
解析 因为0)222(1,0)21()21(2=++++-=++++i b c b c i b i 所以，
即 01=-+c b
0222=+b ，解得 3,2=-=c b ，故选B.
【例 15.5 变式 1】
解析 解法一：赋值法。

在）π，π（
4543∈θ取特殊值i z +-=⎩
⎨⎧=-=⇒=1,0sin 1cos 则πθθθ在复平面上的对应点在第二象限。

解法二：图解法 ,1tan ,0sin cos -==+θθθ把复平面分成两块，一块,0sin cos >+θθ另一块 1tan ,0cos sin ;0sin cos ==-<+θθθθθ，把复平面分成两块。

一块
0cos sin ,0cos sin <->-θθθθ另一块，如图15-1所示，,0sin cos <+θθ的实部z 虚部0cos sin >-θθ，则复数z 在复平面上对应点在第二象限。

解法三：，π）π（π）π（π，π，π，π2
4,234)4543(
∈-∈+∈θθθ， 则0)4sin(2sin cos <+=+πθθθ，0)4sin(2cos sin >-=-πθθθ，故 )cos (sin )sin (cos θθθθ-++=i z 在复平面上对应的点在第二象限，故选B 。

【例 15.5 变式 2】
解析 解法一：代数法.)2,0(12∈+=a a z 在上单调递增，得)5,1(∈z 。

故选B 。

解法二：几何法。

如图15-2所示。

Z 对应点组成线段.).5,1()2,0(1B x a y x 故选=⎩
⎨⎧∈==
546
()
()
.
.3
1
4
1
2
2
1
2,2
,1
2
2
,2
2
,2
2
,
3-
15
3
5.
15
2
1
1
1
2
1
B
Z
Z
i
z
Z
Z
Z
Z
i
z
i
z
i
z
Z
z
故选
的最小值
为半径的圆上的动点，
为圆心，
是以
则
取
对应点仍为
所示，设
解析如图
变式
例
=
-
=
-
=
-
+
=
=
-
-
+
-
=
+
=
()1
6.
15变式
例
解析设z=a＋bi()R
b
a∈
,,,0〉
=r
z
Z()b a,是角θ终边上一点⇒z=r()θ
θsin
cos i+
w=z+z
1=r ()θθsin cos i ++()()θθθθθθsin cos sin cos sin cos i i r i -+- ()()θθθθsin cos 1sin cos i r
i r -++=⇒ =R r r i r r ∈⎪⎭⎫ ⎝
⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+θθsin 1cos 1 故⎪⎭⎫ ⎝⎛
-r r 1sin θ=0,得sin θ=0或r-r
1=0⇒r=1. ()1当sin 0=θ时，得cos θ=,1±w =±⎪⎭⎫ ⎝⎛+r r 1, 21≥+=r
r w 22-≤≥⇒w w 或,与-12〈〈w 矛盾，故sin 0≠θ.
故必有r=z =1{⇒θ
θθsin cos cos 2i z w +==
-1〈w 2〈1cos 212cos 21〈〈-
⇒〈〈-⇒θθ. 故⎪⎭
⎫ ⎝⎛-∈=1,21cos ,1θ的实部z z ().
2u =()[]()[]()()0cos 1sin ,cos 1sin sin cos 1sin cos 1sin cos 1sin cos 1sin cos 1sin cos -1≠+-+-=-+++-+--=++-θθθθθθθθθθθθθ
θθθi i i i i i i i 故u 为纯数。

（3）.
()().cos 1cos 1cos 2cos 1cos 1cos 2cos 1sin cos 2cos 1sin cos 2-w 2
2222
2θθθθθθθθθθθ+-+=+-+=++=⎪⎭
⎫ ⎝⎛+--=i u ().1)2,2
1(1,22,132223*********,1cos ),2,2
1(cos 122的最小值为时取等号，故即当且仅当则则令u w t t t t t t
t t t t t t u w t t -∈===-⋅≥-+=-+-=-+-=--=∈+=θθ。