电自线代：第3章(空间解析几何)

b
表示向量
AB
,
BC
,
CD
,
DA
.
D b
a
M
A
B
MD BM 1 BD 1 b22AM MC 1 AC 1 a
2
2
C
解 由于平行四边形两条对 角线互相平分，所以
AB AM MB 1 a 1 b 1 (a b) 22 2
BC BM MC 1 b 1 a 1 (a b) 22 2
作M(x,y,z) ．
第三章第四空章间n解维析向几量何
5、向量的分解与向量的坐标
（1）、向量 OM 的坐标
过点M (x,y,z) ，分别作平 行于三个坐标平面的平面，交 三个坐标轴于P、 Q、 R三点。
设i、j、k分别表示沿x
z R(0,0,z)
M
O
Q(0,y,0)
轴、y轴、z轴正方向的单位向
y
量. 则 OM ?
第三章第四空章间n解维析向几量何
3、向量与数的乘法
实数k与向量 的乘积是一个向量，记作k . (1) |k|=|k| || (2) k>0时，它与方向相同； (3) k<0时，它与方向相反； (4) k=0时， k =0, 方向任意.
1 , .
第三章第四空章间n解维析向几量何
平行向量：方向相同或相反的向量.
向量. 零向量 O:模等于零的向量，方向任意
(6)负向量：与 大小相等方向相反的向量
称为 的负向量，记为 .
a
-a
第三章第四空章间n解维析向几量何
2、向量的加减法
三角形法则（两向量的和）：设有向量α与β，作有
向线段 AB , BC ，以向量α的起点 A 为起点，
以β的终点C为终点的向量 AC称为向量α与β的和，
a∥b
a
b
a∥c c
规定：零向量平行于任意向量. 共线向量：平行于同一直线的向量. 共面向量：平行于同一平面的向量.
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定理1 设向量≠0，那么向量平行于 的 充分必要条件是存在唯一的实数k，使=k.
第三章第四空章间n解维析向几量何
向量的加法数乘统称为向量的线性运算. 向量的加法数乘满足下列运算规律：
记作 γ= α +β. B
α
β
A
γ
C
第三章第四空章间n解维析向几量何
平行四边形法则：两向量 OA与OB的和是以这两个向 量为邻边的平行四边形的对角线向量 OC 。
B
C
O
A
向量的减法 : α–β=α + (–β)
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多边形法则(n(n≥3) 个向量的和) ：以任何 次序相继作向量，使这 些向量首尾相连，而第 一个向量的起点到最后 一个向量的终点的向量 即为n个向量的和．
(1) 1α=α; (2) k (lα) = (kl)α; (3) k(α+β) = kα+ kβ; (4) (k +l)α = kα+lα. 其中k , l是任意实数，α,β,γ是任意向量．
第三章第四空章间n解维析向几量何
例3.1 在平行四边形中ABCD，设 AC a , BD b，
试用
a
,
（2）向量的表示：以A为起点，B为终点的有向线
段 AB或 , a.
A
B
（3）自由向量: 不考虑起点位置的向量。
（4）相等向量:大小相等，方向相同的向量.
a
a=b
b
第三章第四空章间n解维析向几量何
（5）向量的模:向量的大小（或长度）.
记作 AB 或 . 单位向量:模等于1的向量. 0 与 同向的单位
CD AB 1 (a b) 2
DA BC 1 (a b) 2
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例3.2 用向量法证明：三角形两边中点的连线平行于
第三边，且为第三边长的一半。
A
证
D B
DE DA AE 1 BA 1 AC
E
22
1 (BA AC) 1 BC.
2
2
C
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纵轴： y轴 竖轴： z轴
O
y
三条坐标轴相互垂直，
x
其正方向符合右手规则。
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每两条坐标轴确定的平面称成为坐标平面。
z z
xoy平面
O
x
y zz
y
O
x yoz平面
xoz平面
OO xx
yy
第三章第四空章间n解维析向几量何
三个坐标平面把空间分为八个部分，每一部分称为
一个卦限。
注 设点O及单位向量i确定了数轴Ox，数轴Ox上的 点P对应一个向量OP ，那么OP// i，于是存在唯
一实数x,使得OP xi.
x>0 i P
O P x<0
x i
O
从而数轴上的点P与实数x一一对应，据此定义 x为轴上P点的坐标。
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4、空间直角坐标系
z
坐标原点：O
横轴： x轴
第三章第四空章间n解维析向几量何
第三章 空间解析几何与向量运算
Part 1 向量及其线性运算 Part 2 向量的乘积 Part 3 平面 Part 4 空间直线 Part 5 曲面与空间曲线
第三章第四空章间n解维析向几量何
第一节 向量及其线性运算
1、向量的概念
（1）向量:具有一定大小和方向的量。
P(x,0,0) M x
OP xi , OQ yj , OR zk .
OM OP PM ' M 'M OP OQ OR
xi yj zk
第三章第四空章间n解维析向几量何
对于任一向量α，将α平移使起点落在原点O，终点 则是点M .于是
OM
因此：向量α关于单位坐标向量的分解式
d c
b a
第三章第四空章间n解维析向几量何
向量的加法满足下列运算规律： (1) α+β=β+α; (2) (α+β) +γ=α+ (β+γ) (3) α+ 0 =α;
(4) α+(-α) = 0 ;
(5) |α+β |≤|α|+|β|; |α－β| ≤|α|+|β|; 当α与β同向或者反向时等号成立.
OM xi yj zk
向量在 x 轴、y 轴、z 轴上的分向量
OP xi 、OQ yj、OR zk.
向量a的坐标 x, y, z
起点在原点的向量的坐标就是它的终点的坐标 .
第三章第四空章间n解维析向几量何
Ⅲ
z
Ⅱ
Ⅳ
Ⅶ xⅧ
Ⅰ
y O
Ⅵ
Ⅴ
第三章第四空章间n解维析向几量何
点的坐标 过空间中点M， 分别作平行于三个坐 标平面的平面，交三 个坐标轴于P(x,0,0) , Q(0,y,0), R(0,0,z)三点，
z
R(0,0,z)
·M (x,y,z)
O
P(x,0,0)
x
Q(0,y,0) y
称序数组(x,y,z)为点M的坐标 ,记