线性代数第三章习题与答案(东大绝版)

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线性代数课本第三章习题详细答案

(2) 利用反证法可证得，即假设1,2 ,, s 线性无关，再由（1）得 1, 2 ,, s 线性无关，与 1, 2 ,, s 线性相关矛盾.
9. 证明：1 2 ,2 3,3 1 线性无关的充分必要条件是1,2 ,3 线性无关.
1 0 1 证：方法 1，（1 2 ,2 3,3 1 ）=（1,2 ,3 ） 1 1 0
(k1 k3 )1 (k1 k2 ) 2 (k2 k3 ) 3 0
因为1,2 ,3 线性无关，所以
kk11
k3 k2
0 0
，可解得 k1
k2
k3
0 ，所以1
2 , 2
3 ,3
1 线性无关.
k2 k3 0
必要性，（方法 1）设1 2 ,2 3,3 1 线性无关，证明1,2 ,3 线性无关，
所以
5 4
1
1 4
2
1 4
3
1 44Βιβλιοθήκη .设存在 k1, k2 , k3 , k4 使得 k11 k2 2 k3 3 k4 4 ，整理得
k1 2k2 k3 0 ， k1 k2 k3 k4 0 ，
3k2 k4 0 ， k1 k2 k4 1 .
解得 k1 1, k2 0, k3 1, k4 0. 所以 1 3 .
0 1 1 101 因为 1,2,3 线性无关，且 1 1 0 2 0 ，可得 1 2,2 3,3 1的秩为 3 011 所以1 2 ,2 3,3 1 线性无关.线性无关；反之也成立.
方法 2，充分性，设1,2 ,3 线性无关，证明1 2 ,2 3,3 1 线性无关.
设存在 k1, k2 , k3 使得 k1 (1 2 ) k2 ( 2 3 ) k3 ( 3 1 ) 0 ，整理得，

线性代数第三章习题及答案

习题 3-11．设)1,0,2(-=α，)4,2,1(-=β，求32-αβ．解：)11,4,8()8,4,2()3,0,6()4,2,1(2)1,0,2(323--=---=---=-βα 2．设)4,3,2,1(=α，)3,4,1,2(=β，且324+=αγβ，求γ．解：由324+=αγβ得αβγ232-= 所以)0,27,1,25()6,29,3,23()6,8,2,4()4,3,2,1(23)3,4,1,2(2-=-=-=γ。

3．试问下列向量β能否由其余向量线性表示，若能，写出线性表示式：（1）)1,2(-=β，)1,1(1=α，)4,2(2-=α；（2）)1,1(-=β，)1,1(1=α，)1,0(2=α，)0,1(3=α；（3）)1,1,1(=β，)1,1,0(1-=α，)2,0,1(2=α，)0,1,1(3=α；（4）)1,2,1(-=β，)2,0,1(1=α，)0,8,2(2-=α，0α（5）),,,(4321k k k k =β，)0,0,0,1(1=e ，)0,0,1,0(2=e ，)0,1,0,0(3=e ，)1,0,0,0(4=e ．解：（1）设2211ααβx x +=，即)4,2()4,2()1,1()1,2(212121x x x x x x -+=-+=-从而⎩⎨⎧-=-=+14222121x x x x ，解得⎪⎩⎪⎨⎧==21121x x所以β能由21,αα线性表示，表示式为2121ααβ+=。

（2）设332211αααβx x x ++=，即),()0,1()1,0()1,1()1,1(2131321x x x x x x x ++=++=-从而⎩⎨⎧-=+=+112131x x x x ，有无穷解⎪⎩⎪⎨⎧-=--==cx c x cx 11321所以β能由321,,ααα线性表示，表示式不唯一，为321)1()1(αααβc c c -+--+= （c 为任意常数）（3）设332211αααβx x x ++=即)2,,()0,1,1()2,0,1()1,1,0()1,1,1(213132321x x x x x x x x x +-++=++-=从而⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+=+1211213132x x x x x x ，因为010********≠=-，所以有唯一解，解为⎪⎩⎪⎨⎧===011321x x x所以β能由321,,ααα线性表示，且表示式为3210αααβ⋅++=（4）设2211ααβx x +=，即)2,8,2()0,8,2()2,0,1()1,2,1(222121x x x x x x -+=-+=-从而⎪⎩⎪⎨⎧-==-=+1228121221x x x x ，由②，③式得211-=x ，412-=x 代入①式11)41(221≠-=-⋅+-所以该方程组无解，即β不能由21,αα线性表示。

线性代数课后习题解答第三章习题解答

第三章矩阵的初等变换与线性方程组1．把下列矩阵化为行最简形矩阵：(1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--340313021201; (2) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----174034301320; (3) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------12433023221453334311; (4) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------34732038234202173132.解 (1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--340313*********2)3()2(~r r r r -+-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---020********* )2()1(32~-÷-÷r r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--01003100120123~r r -⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--300031001201 33~÷r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--100031001201323~r r +⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1000010012013121)2(~r r r r +-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100001000001(2) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----1740343013201312)2()3(2~r r r r -+-+⨯⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---31003100132021233~r r r r ++⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000031001002021~÷r ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛000031005010 (3) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------12433023221453334311141312323~rr r r rr ---⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------1010500663008840034311)5()3()4(432~-÷-÷-÷r r r ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----22100221002210034311 2423213~r r r r r r ---⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---000000000022********(4) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------34732038234202173132 242321232~r r r r rr ---⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----1187701298804202111110141312782~rr r r rr --+⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--410004100020201111134221)1(~r r r r r --⨯↔⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----0000041000111102020132~rr +⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--000004100030110202012.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛987654321100010101100001010A ，求A 。

线代第3章习题答案

第3章1. 34(30,10,20,16)γαβ=-=---.2. (1) 能，唯一一种表示：12323βααα=--. (2) 不能.(3) 能，很多种表示：123(21)(35)c c c βααα=-+-++，c 为任意常数. 3. 证明略，唯一表达式为：12123234344()()()b b b b b b b βαααα=-+-+-+. 4. (1) 线性无关. (2) 线性相关.(3) 线性相关，因为4个向量，每个向量维数3维. (4) 若a ,b ,c 均不相等，线性无关，否则线性相关. 5. (1) 线性无关 (2) 线性无关 (3) 线性相关.6. 解：设112223334441()()()()0k k k k αααααααα+++++++=，整理可得141122233344()()()()0k k k k k k k k αααα+++++++=，因为已知1234,,,αααα是线性无关的，故有 141223340,0,0,0,k k k k k k k k +=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩系数矩阵1001100111000101011000110011000A ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，则()3r A =. 故12233441,,,αααααααα++++是线性相关的.7. 证：因为任意1n +个n 维向量必线性相关，故12,,,,n αααβ 线性相关，存在不全为零的1n +个数121,,,n k k k + ，使得112210n n n k k k k αααβ+++++= . 若10n k +=，12,,,n ααα 线性相关，矛盾.所以10n k +≠，β可由12,,,n ααα 线性表出.下证表达式唯一，类似于定理3.5的证明.8. 证：（反证法即得）.假设1234,,,k k k k 不全为零，其中某个为零，其他的不为零.不妨假设10k =，则2233440k k k ααα++=，其中234,,k k k 均不为零，则可推出 234,,ααα是线性相关的，这与已知任意三个向量都线性无关矛盾,故假设不成立.由假设的任意性可知112233440k k k k αααα+++=，其中1234,,,k k k k 全不为零.9. 证：设前一向量组的秩为r ，则显然r s ≤，又后一组的秩也为r ，则有1r s s ≤<+，故后一向量组是线性相关的.若r s =,则前一组是线性无关的，后一组是线性相关的，则由定理3.5知，β可由1α,2α, ,s α线性表出，且表达式唯一.若r s <，则两组均是线性相关的，且两个向量组的秩是相等的，也可推出β可由1α,2α, ,s α线性表出. 10. 证：因为12,,n εεε 能由12,,n a a a 线性表示, 所以 1212(,,,)(,,,)n n r r a a a εεε≤ ，而12(,,,)n r n εεε= ，12(,,,)n r a a a n ≤ ，所以12(,,,)n r a a a n = ，从而 12,,n a a a 线性无关.11. 证：因为任一向量β可由12,,,s ααα 线性表出，故n 维基本向量组12,,s εεε能由12,,,s ααα 线性表出，又知12,,,s ααα 可由基本向量组12,,s εεε 表出，故12,,,s ααα 与12,,s εεε 等价，所以12,,,s ααα 的秩为s ，即 12,,,s ααα 线性无关.12. 证：由于123,,ααα线性无关，而1234,,,αααα线性相关，故一定存在123,,k k k , 使得4112233k k k αααα=++.若其中某个i k 不为零，假定10k ≠，则1422331()/k k k αααα=--，知423,,ααα也是极大线性无关组，唯一性矛盾. 故一定有1230k k k ===，即40α=.13. 证：必要性.若12,,,s βββ 线性无关，则12,(,,)s r s βββ= ，又因为 12,12(,,)min{(),(,,,)}s s r r A r βββααα≤ ，而12(,,,)s r s ααα= ，故12,(,,)()s r s r A βββ=≤ ，又因为()r A s ≤，则一定有()r A s =，即矩阵A 可逆.充分性,若矩阵A 可逆，则在等式两边左乘1A -，然后根据矩阵秩的不等式可得11212,(,,,)min{(),(,,)}s s r r A r αααβββ-≤ ，显然有112(,,,)()s r s r A s ααα-=≤= ，可推出1212,(,,,)(,,)s s r s r αααβββ=≤ ，又12,(,,)s r s βββ≤ ，故只能12,(,,)s r s βββ= ，即12,,,s βββ 线性无关. 14. 证：因为向量组12,,,s ααα 的秩为1r ，则其中有1r 个线性无关的向量，设为 112,,,r c c c .向量组12,,,t βββ 的秩为2r ，则其中有2r 个线性无关的向量，设为212,,,r d d d .则向量组1212,,,,,,s t αααβββ 中线性无关的向量一定在 121212,,,,,,r r c c c d d d 中选取，所以312r r r ≤+. 15. 定义即得.16. （例题）12(,,,)s r r ααα= ，且12,,,r i i i ααα 为其中r 个线性无关的向量.设 k α是向量组中任意一个向量，则12,,,,r i i i k αααα 线性相关，否则向量组的秩会大于r .所以，由定理3.5，k α可由12,,,r i i i ααα 线性表出，故 12,,,r i i i ααα 为向量组的一个极大线性无关组.17. (1) 11311322601003000004000A ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,故123()(,,)2r A r ααα==, 1α 2α 3α故一个极大线性无关组是1α，2α.(2) 24611231123100013691000012310000A ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=→⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，1234()(,,,)2r A r αααα==, 故一个极大线性无关组是1α，4α.(3) 12341234234501233456000045670000A ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，1234()(,,,)2r A r αααα==, 故一个极大线性无关组是1α，2α.18. (1) 11511151112302743181000013970000A ----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥=→⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦,于是得阶梯形方程组 123423450,2740,x x x x x x x ⎧-+-=⎨-+=⎩方程组的一般解为:34343432722x x x x X x x ⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 可得方程组的一个基础解系为：137,,1,022Tη⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，[]21,2,0,1T η=--.通解为1122X k k ηη=+，1k ，2k 为常数.(3) 212112133112054736290010A ---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=--→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦，于是得阶梯形方程组12342343230,5470,0,x x x x x x x x ---=⎧⎪++=⎨⎪-=⎩方程组的一般解为44417,,0,55TX x x x ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，可得方程组的一个基础解系：117,,0,155Tη⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，通解为11X k η=.(4) 方程组本身即为一个阶梯形方程组，其一般解为:()23423413,,,4TX x x x x x x ⎡⎤=-+-⎢⎥⎣⎦,可得方程组的一个基础解系：11,1,0,04Tη⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，23,0,1,04Tη⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，31,0,0,14Tη⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦.通解为112233X k k k ηηη=++，1k ，2k ，3k 为常数.19. 证:首先由定理3.9知AX O =的基础解系含有n r -个线性无关的解向量.设 12,,,r ηηη 是AX O =的任意n r -个线性无关的解向量，要证12,,,r ηηη 是 AX O =的基础解系，只需证AX O =的任一解向量β都可由12,,,r ηηη 线性表出.事实上，12,,,,r ηηηβ 必线性相关（否则AX O =的基础解系至少含有 1n r -+个线性无关的解向量，与已知矛盾），所以β都可由12,,,r ηηη 线性表出，故12,,,r ηηη 是AX O =的基础解系.20. 证:假定一个基础解系为12,,s ηηη ,向量组12,,,s βββ 与其等价，故也含有s 个向量.已知向量组12,,,s βββ 满足线性无关性，又因为每一个解向量都可以由12,,s ηηη 线性表出，而12,,s ηηη 和12,,,s βββ 是等价向量组，根据线性表出的传递性，每个解向量都可以由12,,,s βββ 线性表出，故 12,,,s βββ 也是一个基础解系.21. 证：先证122331,,ηηηηηη+++线性无关.设存在123,,k k k ,使得 112223331()()()0k k k ηηηηηη+++++=，即131122233()()()0k k k k k k ηηη+++++=，又因为123,,ηηη线性无关，则1312230,0,0,k k k k k k +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩ 可得只能1230k k k ===，即122331,,ηηηηηη+++线性无关.由于112223331()()()X k k k ηηηηηη=+++++ 131122233()()()k k k k k k ηηη=+++++，可知任意一个向量都可由122331,,ηηηηηη+++线性表出，即122331,,ηηηηηη+++也是AX O =的一个基础解系.22. 证:（1）反证法，若12,γγ线性相关，则12,γγ一定成倍数关系，不妨令12k γγ=. 又因为12γγ≠,故1k ≠.由于12γγ-为齐次线性方程组AX O =的解，并且 122(1)k γγγ-=-，所以有22(1)(1)A k k A O γγ-=-=，而1k ≠，则有2A O γ=，这与2A γβ=矛盾，所以假设不成立，即12,γγ线性无关.（2）若()1r A n =-，则齐次线性方程组AX O =的基础解系中只有一个解向量，又12()A O γγββ-=-=，故112()k γγ-即为基础解系，其中1k 为某个非零常数，又已知η是齐次线性方程组AX O =的解，则一定有2112()k k ηγγ=-，即说明12,,ηγγ是线性相关的.23. (1)[]27316121123522401151109417200000A β---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,于是得阶梯形方程组：123423422,11510,x x x x x x x --+=-⎧⎨+-=⎩取3x ，4x 为自由变量，则方程组一般解为：()()3434341129,105,,1111TX x x x x x x ⎡⎤=-+--+⎢⎥⎣⎦，可得一个特解为：0210,,0,01111Tη⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，一个基础解系为：115,,1,01111Tη⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，291,,0,11111Tη⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦.则方程组的通解为：01122122191111111051111111010001X k k k k ηηη⎡⎤⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=++=++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，其中1k ，2k 为常数. (2) []15231115231131425021131901170091475361100000A β----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-----⎢⎥⎢⎥=→⎢⎥⎢⎥----⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦, 于是得阶梯形方程组：12342343452311,23,9147,x x x x x x x x x -+-=⎧⎪--+=⎨⎪-=⎩取4x 为自由变量，可得方程组一般解为：()444431751,,714,29189TX x x x x ⎡⎤=---+⎢⎥⎣⎦，可得一个特解为：01770,,,099Tη⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，一个基础解系为：13514,,,12189T η⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦.则方程组的通解为：011X k ηη=+，其中1k 为常数.(3) []211331321451010407551132121000152A β---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=--→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦,于是得阶梯形方程组：12342344324,75511,152,x x x x x x x x -+-+=⎧⎪-+=⎨⎪-=⎩取3x 为自由变量，可得方程组一般解为：333131552,,,1573715TX x x x ⎡⎤=++-⎢⎥⎣⎦，可得一个特解为：01352,,0,15315Tη⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，一个基础解系为：115,,1,077Tη⎡⎤=⎢⎥⎣⎦.则方程组的通解为：011X k ηη=+，其中1k 为常数. (4) 方程组本身即为一个阶梯形方程组，其一般解为: []2345234544236,,,,TX x x x x x x x x =+-+-, 可得一个特解为：[]04,0,0,0,0Tη=，一个基础解系：[]14,1,0,0,0Tη=，[]22,0,1,0,0Tη=-，[]33,0,0,1,0Tη=,[]46,0,0,0,1Tη=- 通解为011223344X k k k k ηηηηη=++++，1k ，2k ，3k ,4k 为常数.24. 解:[]2211230112302325012112020000A βλλλλλ--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦, 当20λλ-=，即0λ=或1λ=时有解. 当20λλ-≠，即0λ≠且1λ≠时无解.若有解，得阶梯形方程组：1234234230,2,x x x x x x x λ+-+=⎧⎨+-=⎩取3x ，4x 为自由变量，则方程组一般解为： []34343444,2,,TX x x x x x x λλ=-+--+，可得一个特解为：[]0,,0,0Tηλλ=-，一个基础解系为：[]14,2,1,0Tη=-，[]24,1,0,1Tη=-. 则方程组的通解为：01122X k k ηηη=++，其中1k ，2k 为常数，0λ=或1λ=.25. 解:[]11321113211316301121151010001053115230002226A b b a a b β⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=→⎢⎥⎢⎥--+⎢⎥⎢⎥---+--⎣⎦⎣⎦，若220a -+=且260b --≠时，即1a =且3b ≠-时，无解. 若1a ≠时，有唯一解为：263420,6,5,11Tb b X b b b a a ++⎡⎤=--+-+⎢⎥--⎣⎦. 若1a =且3b =-时，有无穷多解.此时阶梯形方程组为：12342343321,21,2,x x x x x x x x +++=⎧⎪-+=⎨⎪=⎩取4x 为自由变量，可得方程组一般解为： []448,32,2,TX x x =--，可得一个特解为：[]08,3,2,0Tη=-，一个基础解系为：[]10,2,0,1T η=-.则方程组的通解为：011X k ηη=+，其中1k 为常数 26. 证法1：单位矩阵E 的每一列都是AX O =的解，故A AE O ==. 证法2：假设A O ≠，则()0r A r =≠，所以AX O =只有n r -个线性无关的解，显然矛盾.27.证:已知齐次线性方程组AX O =的系数矩阵的秩为()r r n <，则AX O =的基础解系中含有n r -个线性无关的解向量.反证法假设12(,,,)t r n r ααα>- ，则其中有大于n r -个线性无关的解向量，并且其中每个解向量都可由这 12(,,,)t r ααα 个解向量线性表出，这说明AX O =的基础解系中含有大于 n r -个线性无关的解向量，这与已知矛盾，故假设不成立.则 12(,,,)t r n r ααα≤-28.证:(1)AX O =的基础解系中含有()n r A -个线性无关的解向量，BX O =的基础解系中含有()n r B -个线性无关的解向量.若AX O =的解均为BX O =的解，即有()()n r A n r B -≤-，故()()r A r B ≥.(2)若AX O =与BX O =同解，通过(1)的结论，基础解系中含有相同个数的线性无关的解向量，则()()n r A n r B -=-，故()()r A r B =. (3)略.(4)不能.只能说基础解系中含有相同个数的线性无关的解向量，但这些解向量不一定相等.。

线性代数第三四章答案

解：由3(α1 − α) + 2(α2 + α) = 5(α3 + α) 可得6α = −5α3 + 2α2 + 3α1, 即α = (−5α3 + 2α2 + 3α1)/6 = (1, 2, 3, 4).
3-4. 设β1 = α1 + α2, β2 = α2 + α3, β3 = α3 + α4, β4 = α4 + α1, 证明向量组β1, β2, β3, β4线性相关.
3v1 + 2v2 − v3 = 3(1, 1, 0) + 2(0, 1, 1) − (3, 4, 0) = (3, 3, 0) + (0, 2, 2) − (3, 4, 0) = (0, 1, 2).
3-2. 设3(α1 − α) + 2(α2 + α) = 5(α3 + α), 其中，α1 = (2, 5, 1, 3), α2 = (10, 1, 5, 10), α3 = (4, 1, −1, 1)，求α.
证明：因为β1−β2 = α1−α3, β4−β3 = α1−α3. 所以β1−β2 = β4−β3, 即β1−β2+β3−β4 = 0，向量组β1, β2, β3, β4线性相关。
3-5. 设β1 = α1, β2 = α1 + α2, · · · , βr = α1 + α2 + · · · αr, 且向量组α1, α2, · · · , αr线性无
4-11.
若方程组
x1 + 2x2 + x3 = 0 2x1 + x2 + λx3 = 0
存在基础解系，则λ等于【5】
4-12. 设A为m × n矩阵，则齐次线性方程组AX = 0有结论【若A有n阶子式不为0，则

《线性代数》第3章习题解答(rr)

1．已知向量：112[5,1,3,2,4],34[3,7,17,2,8],T T ααα=--=-- 求1223αα+ 解:∵ 21{[3,7,17,2,8][15,3,9,6,12]}4T T α=----- 1[12,4,8,8,4][3,1,2,2,1]4T T=-----=-∴ 1223[10,2,6,4,8][9,3,6,6,3][19,1,0,10,11]TTTαα+=-+-=2.设 12[2,5,1,3],[10,1,5,10],T T αα==3123[4,1,1,1],3()2()5()0T ααααααα=--++-+=并且求 α解:∵ 1236325αααα=+-[6,15,3,9][20,2,10,20][20,5,5,5][6,12,18,24],T T TT=+--=∴ [1,2,3,4].T α=3.判断下列命题是否正确，为什么？ (1)如果当 120m k k k ==== 时， 11220m m k k k ααα+++= 成立，则向量组12,,m ααα 线性相关解：不正确.如：[][]121,2,3,4T Tαα==，虽然 12000,αα+=但12,αα线性无关。

(2) 如果存在m 个不全为零的数12,,,,m k k k 使11220,m m k k k ααα+++≠ 则向量组12,,,m ααα 线性无关。

解：不正确. 如[][]11121,2,2,4,1,2,TTk αα====存在k 使121220,,.αααα+≠但显然线性相关(3) 如果向量组12,,,m ααα 线性无关,则其中任何一个向量都不能由其余向量线性表出. 解：正确。

（反证）如果组中有一个向量可由其余向量线性表示，则向量组 12,,,m ααα 线性相关，与题没矛盾。

(4) 如果向量组123,,ααα线性相关，则3α一定可由12,αα线性表示。

解：不正确。

例如：[][][]1230,0,0,0,1,0,0,0,1,TTTααα===向量组123,,ααα线性相关，但3α不能由12,αα线性表示。

线性代数课后习题答案第三章矩阵的初等变换与线性方程组

第三章矩阵的初等变换与线性方程组1. 把下列矩阵化为行最简形矩阵:(1)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--340313021201;解⎪⎪⎭⎫⎝⎛--340313021201(下一步: r 2+(-2)r 1, r 3+(-3)r 1. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛---020*********(下一步: r 2÷(-1), r 3÷(-2). )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛--010*********(下一步: r 3-r 2. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛--300031001201(下一步: r 3÷3. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛--100031001201(下一步: r 2+3r 3. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛-100001001201(下一步: r 1+(-2)r 2, r 1+r 3. ) ~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100001000001.(2)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----174034301320;解⎪⎪⎭⎫⎝⎛----174034301320(下一步: r 2⨯2+(-3)r 1, r 3+(-2)r 1. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛---310031001320(下一步: r 3+r 2, r 1+3r 2. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛0000310010020(下一步: r 1÷2. ) ~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000031005010.(3)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------12433023221453334311;解⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------12433023221453334311(下一步: r 2-3r 1, r 3-2r 1, r 4-3r 1. )~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------1010500663008840034311(下一步: r 2÷(-4), r 3÷(-3) , r 4÷(-5). )~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----22100221002210034311(下一步: r 1-3r 2, r 3-r 2, r 4-r 2. )~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---00000000002210032011.(4)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------34732038234202173132.解⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------34732038234202173132(下一步: r 1-2r 2, r 3-3r 2, r 4-2r 2. )~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----1187701298804202111110(下一步: r 2+2r 1, r 3-8r 1, r 4-7r 1. )~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--41000410002020111110(下一步: r 1↔r 2, r 2⨯(-1), r 4-r 3. )~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----00000410001111020201(下一步: r 2+r 3. )~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--00000410003011020201. 2.设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛987654321100010101100001010A , 求A .解⎪⎪⎭⎫⎝⎛100001010是初等矩阵E (1, 2), 其逆矩阵就是其本身.⎪⎪⎭⎫⎝⎛100010101是初等矩阵E (1, 2(1)), 其逆矩阵是E (1, 2(-1))⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=100010101.⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100010101987654321100001010A ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=287221254100010101987321654.3. 试利用矩阵的初等变换, 求下列方阵的逆矩阵:(1)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛323513123;解⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100010001323513123~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---101011001200410123~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----1012002110102/102/3023~⎪⎪⎭⎫⎝⎛----2/102/11002110102/922/7003~⎪⎪⎭⎫⎝⎛----2/102/11002110102/33/26/7001 故逆矩阵为⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----21021211233267.(2)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----1210232112201023.解⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----10000100001000011210232112201023~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----00100301100001001220594012102321~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--------20104301100001001200110012102321~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------106124301100001001000110012102321~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----------10612631110`1022111000010000100021~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------106126311101042111000010********* 故逆矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------10612631110104211.4. (1)设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=113122214A , ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=132231B ,求X 使AX =B ;解因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=132231 113122214) ,(B A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--412315210 100010001 ~r ,所以⎪⎪⎭⎫⎝⎛--==-4123152101B A X .(2)设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=433312120A , ⎪⎭⎫⎝⎛-=132321B , 求X 使XA =B .解考虑A T X T =B T . 因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=134313*********) ,(T T B A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---411007101042001 ~r ,所以⎪⎪⎭⎫⎝⎛---==-417142)(1T T T B A X ,从而 ⎪⎭⎫⎝⎛---==-4741121BA X .5. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=101110011A , AX =2X +A ,求X .解原方程化为(A -2E )X =A . 因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------=-101101110110011011) ,2(A E A⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---011100101010110001~,所以⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=-=-011101110)2(1A E A X .6. 在秩是r 的矩阵中,有没有等于0的r -1阶子式? 有没有等于0的r 阶子式?解在秩是r 的矩阵中, 可能存在等于0的r -1阶子式, 也可能存在等于0的r 阶子式. 例如,⎪⎪⎭⎫⎝⎛=010*********A , R (A )=3.000是等于0的2阶子式, 010001000是等于0的3阶子式.7. 从矩阵A 中划去一行得到矩阵B , 问A , B 的秩的关系怎样?解 R (A )≥R (B ).这是因为B 的非零子式必是A 的非零子式, 故A 的秩不会小于B 的秩.8. 求作一个秩是4的方阵, 它的两个行向量是(1, 0, 1, 0, 0), (1, -1, 0, 0, 0).解用已知向量容易构成一个有4个非零行的5阶下三角矩阵:⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0000001000001010001100001, 此矩阵的秩为4, 其第2行和第3行是已知向量.9. 求下列矩阵的秩, 并求一个最高阶非零子式:(1)⎪⎪⎭⎫⎝⎛---443112112013; 解⎪⎪⎭⎫⎝⎛---443112112013(下一步: r 1↔r 2. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛---443120131211(下一步: r 2-3r 1, r 3-r 1. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛----564056401211(下一步: r 3-r 2. ) ~⎪⎭⎫ ⎝⎛---000056401211,矩阵的2秩为, 41113-=-是一个最高阶非零子式.(2)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------815073*********;解⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------815073*********(下一步: r 1-r 2, r 2-2r 1, r 3-7r 1. ) ~⎪⎭⎫ ⎝⎛------15273321059117014431(下一步: r 3-3r 2. )~⎪⎭⎫ ⎝⎛----0000059117014431,矩阵的秩是2, 71223-=-是一个最高阶非零子式.(3)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---02301085235703273812. 解⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---02301085235703273812(下一步: r 1-2r 4, r 2-2r 4, r 3-3r 4. )~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------02301024205363071210(下一步: r 2+3r 1, r 3+2r 1. )~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0230114000016000071210(下一步: r 2÷16r 4, r 3-16r 2. )~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-02301000001000071210~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-00000100007121002301,矩阵的秩为3,070023085570≠=-是一个最高阶非零子式.10. 设A 、B 都是m ⨯n 矩阵, 证明A ~B 的充分必要条件是R (A )=R (B ).证明根据定理3, 必要性是成立的.充分性. 设R (A )=R (B ), 则A 与B 的标准形是相同的. 设A 与B 的标准形为D , 则有A ~D , D ~B .由等价关系的传递性, 有A ~B . 11.设⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=32321321k k k A ,问k 为何值, 可使(1)R (A )=1; (2)R (A )=2; (3)R (A )=3. 解⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=32321321k k k A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-----)2)(1(0011011 ~k k k k k r .(1)当k =1时, R (A )=1; (2)当k =-2且k ≠1时, R (A )=2; (3)当k ≠1且k ≠-2时, R (A )=3.12. 求解下列齐次线性方程组:(1)⎪⎩⎪⎨⎧=+++=-++=-++02220202432143214321x x x x x x x x x x x x ;解对系数矩阵A 进行初等行变换, 有A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--212211121211~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---3/410013100101,于是 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-==4443424134334x x x x x x x x ,故方程组的解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1343344321k x x x x (k 为任意常数).(2)⎪⎩⎪⎨⎧=-++=--+=-++05105036302432143214321x x x x x x x x x x x x ;解对系数矩阵A 进行初等行变换, 有A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----5110531631121~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-000001001021,于是 ⎪⎩⎪⎨⎧===+-=4432242102x x x x x x x x ,故方程组的解为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10010012214321k k x xx x (k 1, k 2为任意常数).(3)⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=+-+=-++=+-+07420634072305324321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x ;解对系数矩阵A 进行初等行变换, 有A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----7421631472135132~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1000010000100001,于是 ⎪⎩⎪⎨⎧====0004321x x x x ,故方程组的解为⎪⎩⎪⎨⎧====00004321x x x x .(4)⎪⎩⎪⎨⎧=++-=+-+=-+-=+-+03270161311402332075434321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x .解对系数矩阵A 进行初等行变换, 有A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----3127161311423327543~⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--000000001720171910171317301,于是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=-=4433432431172017191713173x x xx x x x x x x , 故方程组的解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1017201713011719173214321k k x x x x (k 1, k 2为任意常数).13. 求解下列非齐次线性方程组:(1)⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-=-+83111021322421321321x x x x x x x x ;解对增广矩阵B 进行初等行变换, 有B =⎪⎪⎭⎫⎝⎛--80311102132124~⎪⎭⎫ ⎝⎛----600034111008331,于是R (A )=2, 而R (B )=3, 故方程组无解.(2)⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=-+-=+-=++69413283542432z y x z y x z y x z y x ;解对增广矩阵B 进行初等行变换, 有B =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----69141328354214132~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--0000000021101201,于是 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=--=zz z y z x 212,即⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛021112k z y x (k为任意常数).(3)⎪⎩⎪⎨⎧=--+=+-+=+-+12222412w z y x w z y x w z y x ;解对增广矩阵B 进行初等行变换, 有B =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----111122122411112~⎪⎪⎭⎫⎝⎛-00000010002/102/12/11,于是 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===++-=0212121w z z y y z y x ,即⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00021010210012121k k w z y x (k 1, k 2为任意常数). (4)⎪⎩⎪⎨⎧-=+-+=-+-=+-+2534432312w z y x w z y x w z y x .解对增广矩阵B 进行初等行变换, 有B =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----253414312311112~⎪⎭⎫ ⎝⎛----000007/57/97/5107/67/17/101,于是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==--=++=ww z z w z y w z x 757975767171,即⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00757610797101757121k k w z y x (k 1, k 2为任意常数). 14. 写出一个以⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1042013221c c x为通解的齐次线性方程组. 解根据已知, 可得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10420132214321c c x xx x ,与此等价地可以写成⎪⎩⎪⎨⎧==+-=-=2413212211432c x cx c c x c c x ,或 ⎩⎨⎧+-=-=432431432x x x x x x ,或 ⎩⎨⎧=-+=+-04302432431x x x x x x , 这就是一个满足题目要求的齐次线性方程组.15. λ取何值时, 非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++23213213211λλλλλx x x x x x x x x .(1)有唯一解; (2)无解; (3)有无穷多个解? 解⎪⎪⎭⎫⎝⎛=21111111λλλλλB ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+----22)1)(1()2)(1(00)1(11011 ~λλλλλλλλλλr. (1)要使方程组有唯一解, 必须R (A )=3. 因此当λ≠1且λ≠-2时方程组有唯一解.(2)要使方程组无解, 必须R (A )<R (B ), 故 (1-λ)(2+λ)=0, (1-λ)(λ+1)2≠0. 因此λ=-2时, 方程组无解.(3)要使方程组有有无穷多个解, 必须R (A )=R (B )<3, 故 (1-λ)(2+λ)=0, (1-λ)(λ+1)2=0. 因此当λ=1时, 方程组有无穷多个解.16. 非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+--=++-23213213212222λλx x x x x x x x x 当λ取何值时有解？并求出它的解. 解⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=22111212112λλB ~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-----)2)(1(000)1(32110121λλλλ.要使方程组有解, 必须(1-λ)(λ+2)=0, 即λ=1, λ=-2. 当λ=1时,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=121111212112B ~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--000001101101,方程组解为⎩⎨⎧=+=32311xx x x 或⎪⎩⎪⎨⎧==+=3332311x x x x x x , 即⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001111321k x x x (k 为任意常数).当λ=-2时,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=421121212112B ~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--000021102101,方程组解为⎩⎨⎧+=+=223231x x x x 或⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=33323122x x x x x x ,即 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛022111321k x x x (k 为任意常数).17. 设⎪⎩⎪⎨⎧--=-+--=--+=-+-1)5(4224)5(2122)2(321321321λλλλx x x x x x x x x .问λ为何值时, 此方程组有唯一解、无解或有无穷多解? 并在有无穷多解时求解. 解B =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------154224521222λλλλ~⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------)4)(1()10)(1(0011102452λλλλλλλλ.要使方程组有唯一解, 必须R (A )=R (B )=3, 即必须 (1-λ)(10-λ)≠0,所以当λ≠1且λ≠10时, 方程组有唯一解. 要使方程组无解, 必须R (A )<R (B ), 即必须 (1-λ)(10-λ)=0且(1-λ)(4-λ)≠0, 所以当λ=10时, 方程组无解.要使方程组有无穷多解, 必须R (A )=R (B )<3, 即必须 (1-λ)(10-λ)=0且(1-λ)(4-λ)=0,所以当λ=1时, 方程组有无穷多解.此时，增广矩阵为B ~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-000000001221, 方程组的解为⎪⎩⎪⎨⎧==++-=33223211x x x x x x x , 或⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00110201221321k k x x x (k 1, k 2为任意常数). 18. 证明R (A )=1的充分必要条件是存在非零列向量a 及非零行向量b T , 使A =ab T .证明必要性. 由R (A )=1知A 的标准形为)0 , ,0 ,1(001000000001⋅⋅⋅⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅,即存在可逆矩阵P 和Q , 使)0 , ,0 ,1(001⋅⋅⋅⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅=PAQ , 或11)0 , ,0 ,1(001--⋅⋅⋅⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅⋅=Q P A .令⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅=-0011P a , b T =(1, 0, ⋅⋅⋅, 0)Q -1, 则a 是非零列向量, b T 是非零行向量, 且A =ab T .充分性. 因为a 与b T 是都是非零向量, 所以A 是非零矩阵, 从而R (A )≥1. 因为1≤R (A )=R (ab T )≤min{R (a ), R (b T )}=min{1, 1}=1, 所以R (A )=1.19. 设A 为m ⨯n 矩阵, 证明(1)方程AX =E m 有解的充分必要条件是R (A )=m ; 证明由定理7, 方程AX =E m 有解的充分必要条件是R(A)=R(A,E m),而| E m|是矩阵(A,E m)的最高阶非零子式,故R(A)=R(A,E m)=m.因此,方程AX=E m有解的充分必要条件是R(A)=m.(2)方程YA=E n有解的充分必要条件是R(A)=n.证明注意,方程YA=E n有解的充分必要条件是A T Y T=E n有解.由(1)A T Y T=E n有解的充分必要条件是R(A T)=n.因此，方程YA=E n有解的充分必要条件是R(A)=R(A T)=n.20.设A为m⨯n矩阵,证明:若AX=AY,且R(A)=n,则X=Y.证明由AX=AY,得A(X-Y)=O.因为R(A)=n,由定理9,方程A(X-Y)=O只有零解,即X-Y=O,也就是X=Y.。

线性代数第三章习题及解答

解：取 α1 = (1, 0, 0)T , α2 = (0, 1, 0)T , β1 = (−1, 0, 0)T , β2 =
(0, −1, 0) α1 + α2 + β1 + β2 = 0, 但 α1 , α2 线性无关，且 β1 , β2 也线性无关 (3) 若只有当 λ1 , . . . , λm 全为 0 时，等式 λ1 α1 + · · · + λm αm + λ1 β1 +· · ·+λm βm = 0 才能成立，则 α1 , α2 , . . . , αm 线性无关， β1 , β2 , . . . , βm
证明：因为 n = R(e1 , . . . , en ) ≤ R(α1 , . . . , αn ) ≤ n 于是 R(α1 , . . . , αn ) = n，则 α1 , α2 , . . . , αn 线性无关
7. 设向量组 α1 , α2 , . . . , αm 线性相关，且 α1 ̸= 0, 证明：存在某
2
(0, 0, 0)T , β3 = (−1, −1, 1)T 5. 利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大线性无关
组，并把其余列向量用最大线性无关组线性表示 . 25 31 17 43 75 94 53 132 (1) 75 94 54 134 25 32 20 48 25 31 17 43 25 31 17 75 94 53 132 0 1 2 解： 75 94 54 134 −→ 1 3 0 25 32 20 48 0 1 3 α1 α2 α3 α4 25 31 17 43 1 0 0 8 5 0 1 2 3 0 1 0 −1 −→ 0 0 1 2 −→ 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 于是最大线性无关向量组之一为 α1 , α2 , α3

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第三章习题与答案习题 A1.求向量123(4,1,3,2),(1,2,3,2),(16,9,1,3)T T T=--=-=-ααα的线性组合12335.+-ααα 解 12341161293535331223⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-=+- ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭ααα1251613109491512561037⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪=+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 2.从以下方程中求向量α1233()2()5()-++=+αααααα，其中123(2,5,1,3),(10,1,5,10),(4,1,1,1).TT T ===-ααα 解由方程得1233322550-++--=αααααα，1232104651112632532515118310124⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+-=+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭αααα故1234⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭α,即(1,2,3,4)T =α.3.求证:向量组12i s α,α,,α,α 中的任一向量i α可以由这个向量组线性表出. 证 120010(1,2,,)i i s i s =+++++= ααααα4.证明: 包含零向量的向量组线性相关.证设向量组为1211α,α,,α,0,α,,αi i s -+ ,则有12110α0αα00α0α0,0i i s k k -++++++++=≠而0,0,,0,,0,,0k 不全为0,故向量组线性相关.5.设有m 个向量12α,α,,αm ,证明: 若αα()i j i j =≠,则向量组12α,α,,αm 线性相关. 证显然有1210α0αα0α()α0α0,0i i j m k k k +++++++-++=≠ , 而0,,0,,0,,0,,0,,0k k - 不全为0.故向量组线性相关.6.判断下列向量组的线性相关性(1) (1,1,0),(0,1,1,),(3,0,0,); (2) (2,0),(0,-1);(3) (-4,-5,2,6),(2,-2,1,3),(6,-3,3,9),(4,-1,5,6);(4) (1,0,0,2,5),(0,1,0,3,4),(0,0,1,4,7),(2,-3,4,11,12).解 (1)设有三个数123,,k k k ,使123(1,1,0)(0,1,1,) (3,0,0,)=(0,0,0)k k k ++则有方程组131223000k k k k k +=⎧⎪+=⎨⎪=⎩,因为系数行列式10311030010D =≠.方程组仅有零解,所以三个向量线性无关. (2)设有两个数12,k k 使12(2,0)(0,-1)=(0,0)k k + 则有方程组12200k k =⎧⎨-=⎩,由此解得120k k ==,所以两个向量线性无关.另外,也可由其分量不成比例看出两个向量线性无关. (3)设有四个数1234,,,k k k k ,使1234(-4,-5,2,6)(2,-2,1,3)(6,-3,3,9)(4,-1,5,6)=(0,0,0,0)k k k k +++,则有方程组1234123412341234426405230235063960k k k k k k k k k k k k k k k k +++=⎧⎪----=⎪⎨+++=⎪⎪+++=⎩,其系数行列式42645231021356396D ----==,所以方程组有非零解,向量组线性相关.(4) 设有四个数1234,,,k k k k ,使1234(1,0,0,2,5)(0,1,0,3,4)(0,0,1,4,7)(2,-3,4,11,12)=(0,0,0,0)k k k k +++则有方程组14243412341234203040234110547120k k k k k k k k k k k k k k +=⎧⎪-=⎪⎪+=⎨⎪+++=⎪⎪+++=⎩由前三个方程得1424342,3,4k k k k k k =-==-,代入第五个方程得4140k -=, 即40k =,从而1230k k k ===,所以向量组线性无关.7.设123α,α,α线性无关,证明:122331αα,αα,αα+++也线性无关. 证设有三个数123,,k k k ,使()()()112223331αααααα0k k k +++++=, 则()()()131122233ααα0k k k k k k +++++=,因123α,α,α线性无关,故13122300k k k k k k +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩,因系数行列式10111020011D ==≠,所以只有1230k k k ===, 由此知122331αα,αα,αα+++线性无关.8.设12α,α,,αn 线性无关,问向量组122311αα,αα,,αα,ααn n n -++++ 是线性相关,还是线性无关?并给出证明. 解设有n 个数12,,,,n k k k 使()()()()112223111αααααααα0n n n n n k k k k --++++++++= ,则得方程组1122310000n n n k k k k k k k k -+=⎧⎪+=⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩ 其系数行列式11000011100000110001(1),000110000011n n D +==+-可见,当n 为奇数时,20n D =≠,方程组仅有零解,向量组线性无关, 当n 为偶数时,0n D =,方程组有非零解,向量组线性相关.9.设12α(,,,)(1,2,,)i i i in a a a i n == ,证明:向量组12α,α,,αn 线性相关的充分必要条件是det()0ij a =.证必要性:设12α,α,,αn 线性相关,则存在不全为0的n 个数12,,,,n k k k 使1122ααα0n n k k k +++= ,即有方程组()11121211212222112200*0n n n nn n nn n a k a k a k a k a k a k a k a k a k +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ 该方程组有非零解,故系数行列式0n D =,即det()0ij a =,充分性: 对于方程组(*)当det()0ij a =时,系数行列式0n D =,所以有非零解,即存在不全为0的12,,,,n k k k 使1122ααα0n n k k k +++= 成立,故12α,α,,αn 线性相关.10.设12α,α,,αn 是一组n 维向量.已知n 维标准单位向量组12e ,e ,,e n 能由它们线性表出,证明: 12α,α,,αn 线性无关.证设12α(,,,)(1,2,,)i i i in a a a i n == ,则有1122αe e e ,i i i in n a a a =+++可见12α,α,,αn 也能由12e ,e ,,e n 线性表出,从而两个向量组等价. 因为12e ,e ,,e n 线性无关,所以12α,α,,αn 也线性无关.11.设12α,α,,αn 是一组n 维向量.证明:它们线性无关的充分必要条件是:任一n 维向量都可由它们线性表出.证必要性:设12α,α,,αn 线性无关,β为任一n 维向量,则12α,α,,αn ,β必线性相关.(个数大于维数),因此β可由12α,α,,αn 线性表出.充分性:设任一n 维向量β都可由12α,α,,αn 线性表出.因此12α,α,,αn 与12e ,e ,,e n 等价,从而12α,α,,αn 线性无关.12.判断下列向量是否线性相关,并求出一个极大线性无关组.(1)123α(1,2,1,4),α(9,100,10,4),α(2,4,2,8);T T T =-==--- (2) 123α(1,1,0),α(0,2,0),α(0,0,3);T T T ===(3) 1234α(1,2,1,3),α(4,1,5,6),α(1,3,4,7),α(2,1,1,0);T T T T ==---=---=- 解 (1)19221004A 1102448-⎛⎫ ⎪-⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭ 192082001900320-⎛⎫ ⎪ ⎪→ ⎪ ⎪-⎝⎭192010000000-⎛⎫ ⎪ ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭102010000000-⎛⎫⎪ ⎪→⎪ ⎪⎝⎭, 向量组的秩为2, 12α,α为一个极大线性无关组.(2) 100A 120003⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭100020003⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭向量组的秩为3, 123α,α,α为一个极大线性无关组.(3) 14122131A 15413670⎛⎫ ⎪--⎪= ⎪--- ⎪--⎝⎭141209530953018106⎛⎫ ⎪--- ⎪→ ⎪--- ⎪---⎝⎭1412095300000000⎛⎫ ⎪--- ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭向量组的秩为2, 12α,α为一个极大线性无关组.13.求一个秩是4的方阵,它的两个行向量是(1,0,3,0,0),(1,1,0,0,0)--. 解所求方阵可写成1030011000A 001000001000000⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,则1030001300A 00100000100000⎛⎫⎪- ⎪⎪→⎪⎪ ⎪⎝⎭显然(A)4R =.14.已知12α,α,,αs 的秩为r ,证明: 12α,α,,αs 中任意r 个线性无关的向量都构成它的一个极大线性无关组.证设12α,α,,α,r i i i 为12α,α,,αs 中任意r 个线性无关的向量,因为向量组的秩为r ,故1212α,α,,α,α,(,,)r i i i i r i i i i ≠ 线性相关.可见12α,α,,αs 中的每个向量都可由12α,α,,α,r i i i 线性表出.因此, 12α,α,,α,r i i i 是12α,α,,αs 的一个极大线性无关组.15.用初等变换化下列矩阵为阶梯形,并判断其秩.(1)001010100⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭; (2)1234110215610-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭;(3)023*********-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭;(4)1725314353759413254759413420253248⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎝⎭.解 (1) 001010100⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭131********r r ↔⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭,秩为3.(2) 1234110215610-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭2131123403360336r r r r+-⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭32123403360000r r -⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭,秩为2.(3)023*********-⎛⎫ ⎪- ⎪⎪--⎝⎭12011203430471r r ---⎛⎫⎪→- ⎪ ⎪--⎝⎭213134011200130039r r r r ++--⎛⎫ ⎪→-- ⎪ ⎪--⎝⎭323011*********r r ---⎛⎫⎪→-- ⎪ ⎪⎝⎭, 秩为2.(4)1725314353759413254759413420253248⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭213143317253143201330153015r r r r r r ---⎛⎫ ⎪ ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭433217253143201310020000r r r r --⎛⎫⎪⎪→⎪ ⎪⎝⎭1310022013172531430000r r ↔⎛⎫ ⎪⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭2131217100200110253190000r r r r --⎛⎫ ⎪- ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭23100202531900110000r r ↔⎛⎫⎪ ⎪→ ⎪- ⎪⎝⎭,秩为3. 16.证明: 两个矩阵和的秩不超过这两个矩阵秩的和,即 (A B)(A)(B)R R R +≤+.证设1A (α,,α),(A),n R r == 1α,,αr 为一个极大线性无关组,1B (β,,β),(B),n R s == 1β,,βs 为一个极大线性无关组, 1A B (r ,,r )n += .因为1r ,,r n 可由1α,,αn ,1β,,βn 线性表出,从而也可由1α,,αr ,1β,,βs 线性表出.故()1A B (r ,,r )n R R +=≤ ()11α,,α,β,,βr s R r s =+=(A)(B)R R +.17.设A 与B 可乘,且AB 0=,证明: (A)(B)A R R +≤的列数. 证法一设A 为m n ⨯矩阵,B 为n l ⨯矩阵由AB 0=,有11111111n l m mn n nl m n n l a a b b a a b b ⨯⨯⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 0000m l⨯⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 比较等式两边对应元素,有111111111100n n m mn n a b a b a b a b ++=⎧⎪⎨⎪++=⎩,11121211220,0n n m mn n a b a b a b a b ++=⎧⎪⎨⎪++=⎩ ,11111100l n nl m lmn nl a b a b a b a b ++=⎧⎪⎨⎪++=⎩ . 可见B 的列向量组为上述l 个齐次线性方程组的解向量,因此有 (B)(A)R n R ≤-, 移项得(A)(B)R R n +≤(A 的列数).证法二设A 为m n ⨯矩阵,B 为n l ⨯矩阵, 12(A),(B)R r R r ==,因为1(A)R r =,则A 的标准形可写成1E 000r ⎛⎫⎪⎝⎭,即存在可逆阵P,Q 使得 PAQ 1E 000r ⎛⎫=⎪⎝⎭.又设()111B Q B B r m n r m ⨯--⨯⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭, 则10(AB)(PAB)(PAQQ B)R R R -===,但()111111B E 0B PAQQ B Q B B 000r m r r m n r m ⨯⨯---⨯⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 可见11(B )(PAQQ B)0r m R R -⨯==,又因为12(Q B)(B)R R r -==,所以()12(B )n r m R r -⨯=,而()1B n r m -⨯共1n r -行,因此12n r r -≥,即12r r n +≤或(A)(B)R R n +≤.习题 B1.证明: 12α,α,,αs (其中1α0≠)线性相关的充要条件是至少有一个α(1)i i s <≤可被121α,α,,αi - 线性表出.证必要性:设12α,α,,αs 线性相关(1α0≠),则存在不全为0的s 个数12,,,s k k k 使1122ααα0s s k k k +++= ,设i k 是12,,,s k k k 中最后一个不为零的数,即0i k ≠,而10i s k k +=== ,则1122ααα0i i k k k +++= ,因为1α0≠,所以1i >,即1i s <≤,(否则120,0s k k k ≠=== 则1α0k =不能成立),于是1111αααi i i i ik k k k --=--- ,即αi 可由121α,α,,αi - 线性表出.充分性:如果1111αααi i i k k --=++ ,则11111ααα0αα0i i i i s k k --+++-+++= ,而11,,,1,0,,0i k k -- 不全为0,所以12α,α,,αs 线性相关.2.证明:一个向量组的任一线性无关组都可扩充为一个极大线性无关组. 证设有向量组12α,α,,αn 秩为s ,12α,α,,αr i i i 是它的任意一个线性无关组,如果r s =,则它就是12α,α,,αn 的一个极大线性无关组.如果r s <,则12α,α,,αn 的其余向量中一定可以选出向量1αr i +,使12α,α,,αr i i i ,1αr i +线性无关(否则与12α,α,,αn 秩s r >矛盾),只要1r s +<,重复上述过程,直到r i s +=时为止.这样121α,α,,α,α,,αr r s i i i i i + 就是由12α,α,,αr i i i 扩充成的一个极大线性无关组.3.已知两向量组有相同的秩,且其中之一可被另一个线性表出,证明:这两个向量组等价. 证设12A :α,α,,α;s 12B:β,β,,βt 为两个秩为r 的向量组, 1212α,α,,α;β,β,,βr r 分别为A,B 极大线性无关组,设B 可由A 线性表出,则有()()1212β,β,,βα,α,,αTr r K = ,其中K 为组合系数构成的r 阶方阵,因为1212α,α,,α;β,β,,βr r 线性无关,所以K 可逆,()()11212α,α,,αβ,β,,βr r K -= ,从而12α,α,,αr 可由12β,β,,βr 线性表出,从而可由12β,β,,βt 线性表出,又12α,α,,αs 可由12α,α,,αr 线性表出,所以12α,α,,αs 可由12β,β,,βt 线性表出,即A 可由B 线性表出,因此向量组A ,B 等价.4.设向量组12α,α,,αs 的秩为r ,在其中任取m 个向量12α,α,,αm i i i ,证明:{}12α,α,,αm i i i R r m s ≥+- .证设12α,α,,αm i i i 的秩为t ,从它的一个极大线性无关组(含t 个向量)可扩充为12α,α,,αs 的一个极大线性无关组(含r 个向量),所扩充向量的个数为r t -个.但12α,α,,αs 中除了12α,α,,αm i i i 外,还有s m -个向量,故r t s m -≤-,即t r m s ≥+-.5.设n m ⨯阶矩阵A 的秩为r ,证明:存在秩为r 的n r ⨯阶矩阵P 及秩为r 的r m ⨯阶矩阵Q ,使A PQ =.证因(A)R r =,故可经有限次初等行变换和初等列变换化为标准形,即存在m 阶可逆阵F 和n 阶可逆阵G ,使得 E 0GAF 00r ⎛⎫=⎪⎝⎭,即11E 0A GF ,00r--⎛⎫= ⎪⎝⎭记111212122G G G ,G G -⎛⎫= ⎪⎝⎭111212122F F F F F -⎛⎫= ⎪⎝⎭,其中1111G ,F 均为r 阶方阵,则111211121121222122G G F F E0E 0A G F GG F F 0000rr--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭111112212122G 0F F G 0F F ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=1111111221212122G F G F G F G F ⎛⎫ ⎪⎝⎭()11112121G F F G ⎛⎫= ⎪⎝⎭, 记1121G P G ⎛⎫=⎪⎝⎭,则P 为n r ⨯矩阵且(P )R r =(因1G -可逆,故其前r 列线性无关), ()1121Q F F =,则Q 为r m ⨯矩阵且(Q)R r =(因1F -可逆,故其前r 列线性无关),而A PQ =.。