线性代数第三章练习题
线性代数习题答案第三章
所以当1时 方程组有无穷多解此时，增广矩阵为
B~ 方程组的解为
或 (k1 k2为任意常数) 18 证明R(A)1的充分必要条件是存在非零列向量a及非零行向量bT
使T 证明 必要性 由R(A)1知A的标准形为
3 试利用矩阵的初等变换 求下列方阵的逆矩阵
(1) 解~ ~~ ~ 故逆矩阵为 (2)
解 ~ ~ ~ ~ ~
故逆矩阵为 4 (1)设 求X使AXB 解 因为
所以 (2)设 求X使XAB 解 考虑ATXTBT 因为
所以 从而
5 设 AX 2XA 求X 解 原方程化为(A2E)X A 因为
所以 6 在秩是r 的矩阵中,有没有等于0的r1阶子式? 有没有等于0的r阶子式? 解 在秩是r的矩阵中 可能存在等于0的r1阶子式 也可能存在等于0的r
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
1 把下列矩阵化为行最简形矩阵 (1) 解 (下一步 r2(2)r1 r3(3)r1 )
~(下一步 r2(1) r3(2) ) ~(下一步 r3r2 ) ~(下一步 r33 ) ~(下一步 r23r3 ) ~(下一步 r1(2)r2 r1r3 ) ~ (2) 解 (下一步 r22(3)r1 r3(2)r1 ) ~(下一步 r3r2 r13r2 ) ~(下一步 r12 ) ~ (3) 解 (下一步 r23r1 r32r1 r43r1 ) ~(下一步 r2(4) r3(3) r4(5) ) ~(下一步 r13r2 r3r2 r4r2 ) ~ (4) 解 (下一步 r12r2 r33r2 r42r2 ) ~(下一步 r22r1 r38r1 r47r1 ) ~(下一步 r1r2 r2(1) r4r3 ) ~(下一步 r2r3 ) ~ 2 设 求A 解 是初等矩阵E(1 2) 其逆矩阵就是其本身 是初等矩阵E(1 2(1)) 其逆矩阵是 E(1 2(1))
线性代数练习册第三章部分答案（本）
线性代数练习册第三章部分答案（本）第三章⾏列式及其应⽤§3-1 ⾏列式的定义⼀、填空题。
1、⾏列式a bc d=__ad bc -___;112213141---=____-24____. 2、⾏列式111112121200000a a a ab bc cd d =______0_____. 3、已知⾏列式1111111111111111D -=-----,则32M =___4__;32A =___-4__. 4、已知排列2145697m n 为奇排列，则m =__8_;n =__3_. 5、4阶⾏列式中含1331a a 且符号为负的项是____13223144a a a a -____.⼆、选择题。
1、⽅程0110001x x x=的实根为__C___. （A ）0; （B ）1; （C ）-1; （D ）2.（A ）18; （B ）19; （C ）20; （D ）21 4、n 阶⾏列式00102000D n = 的值为__D ___.（A ）!n ; （B ）!n -; （C ）(1)!nn -; （D ）(1)2(1)!n n n --.5、⾏列式312111321111x x x x x--中4x 的系数为__A____.(A ）-1; （B ）1; （C ）2; （D ）3.三、计算下列⾏列式1、12110001- 解：3331212110(1)(1)111001r +--=-按展开2、1010120012301234解：44432101010112004(1)120123012312341014120243、1132101123011002-- 解：414113211310111013223012303100210001300133033c c --------=--按r 展开四、设排列12n a a a 的逆序数为k ，证明排列11n n a a a - 的逆序数为(1)2n n k --. 证明：设i a 在排列12n a a a 的逆序数为i k ，则12n k k k k +++= ，且i a 在排列11n n a a a - 的逆序数为i t ，则i i i k t n a +=-，所以，i i i t n a k =--，所以，排列11n n a a a - 的逆序数为12112122122(1)()()2n n n n n n a k n n n t t t n a k n a k a a k k a k k ---=--+++=--+--++++++++=-（另解：因为12n a a a 中的任两个不同的元素,i j a a 必在排列12n a a a或排列11n n a a a - 中构成逆序且只能在其中⼀个中构成逆序，所以排列12n a a a 和11n n a a a - 的逆序数之和等于从n 个元素中任取两个不同数的组合数kn C ，即11n n a a a - 的逆序数为(1)§3-2 ⾏列式的性质与计算⼀、填空题。
线性代数第三章习题及答案
习 题 3-11．设)1,0,2(-=α，)4,2,1(-=β，求32-αβ．解：)11,4,8()8,4,2()3,0,6()4,2,1(2)1,0,2(323--=---=---=-βα 2．设)4,3,2,1(=α，)3,4,1,2(=β，且324+=αγβ，求γ． 解：由324+=αγβ得αβγ232-= 所以)0,27,1,25()6,29,3,23()6,8,2,4()4,3,2,1(23)3,4,1,2(2-=-=-=γ。
3．试问下列向量β能否由其余向量线性表示，若能，写出线性表示式：（1）)1,2(-=β，)1,1(1=α，)4,2(2-=α；（2）)1,1(-=β，)1,1(1=α，)1,0(2=α，)0,1(3=α； （3）)1,1,1(=β，)1,1,0(1-=α，)2,0,1(2=α，)0,1,1(3=α；（4）)1,2,1(-=β，)2,0,1(1=α，)0,8,2(2-=α，0α（5）),,,(4321k k k k =β，)0,0,0,1(1=e ，)0,0,1,0(2=e ，)0,1,0,0(3=e ，)1,0,0,0(4=e ． 解：（1）设2211ααβx x +=，即)4,2()4,2()1,1()1,2(212121x x x x x x -+=-+=-从而⎩⎨⎧-=-=+14222121x x x x ，解得⎪⎩⎪⎨⎧==21121x x所以β能由21,αα线性表示，表示式为2121ααβ+=。
（2）设332211αααβx x x ++=，即),()0,1()1,0()1,1()1,1(2131321x x x x x x x ++=++=-从而⎩⎨⎧-=+=+112131x x x x ，有无穷解⎪⎩⎪⎨⎧-=--==cx c x cx 11321所以β能由321,,ααα线性表示，表示式不唯一，为321)1()1(αααβc c c -+--+= （c 为任意常数）（3）设332211αααβx x x ++=即)2,,()0,1,1()2,0,1()1,1,0()1,1,1(213132321x x x x x x x x x +-++=++-=从而⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+=+1211213132x x x x x x ，因为010********≠=-，所以有唯一解，解为⎪⎩⎪⎨⎧===011321x x x所以β能由321,,ααα线性表示，且表示式为3210αααβ⋅++=（4）设2211ααβx x +=，即)2,8,2()0,8,2()2,0,1()1,2,1(222121x x x x x x -+=-+=-从而⎪⎩⎪⎨⎧-==-=+1228121221x x x x ，由②，③式得211-=x ，412-=x 代入①式11)41(221≠-=-⋅+-所以该方程组无解， 即β不能由21,αα线性表示。
线性代数同步练习册第三章(20题,15页)
第三章向量组及其相关性1、求下列方程组的一般解.(1)1341234123420320 2530 x x xx x x xx x x x+-=⎧⎪-+-+=⎨⎪-+-=⎩(2)123123123252323214612x x xx x xx x x-+=-⎧⎪+-=⎨⎪-+-=⎩2、试将(4,11,3)Tβ=表示为12(1,3,2),(3,2,1),T Tαα==3(2,5,1)Tα=--的线性组合.3、试将(1,2,1,1)Tβ=表示为12(1,1,1,1),(1,1,1,1),T Tαα==--34(1,1,1,1),(1,1,1,1)T Tαα=--=--的线性组合.4、已知123(1,1,0),(2,0,1),(2,5,),T T T t ααα===试问t 为何值时3α可由12,αα线性表示.5、选择题(1) 已知向量组1234,,,αααα线性无关，则下列向量组中线性无关的是（C ）（A ）12233441,,,αααααααα++++; （B ）12233441,,,αααααααα----; （C ）12233441,,,αααααααα+++-; （D ）12233441,,,αααααααα++--.(2) 若,,αβγ线性无关，,,αβδ线性相关，则（D ）（A ）α必可由,,βγδ线性表示; （B ）β必不可由,,αγδ线性表示; （C ）δ必不可由,,αβγ线性表示; （D ）δ必可由,,αβγ线性表示.(3) n 维向量组12,,,(3)m m n ααα≤≤线性无关的充分必要条件是（D ）（A ）存在一组不全为零的数12,,,m k k k ，使11220m m k k k ααα+++≠;（B ）12,,,m ααα中任意两个向量线性无关;（C ）12,,,m ααα中存在一个向量，它不能由其余向量线性表示; （D ）12,,,m ααα中任意一个向量都不能由其余向量线性表示.(4)向量组123,,ααα线性无关，112223,,βααβαα=-=-331t βλαα=-也线性无关，则,t λ满足（B ）();();()1;()2A t B t C t D t λλλλ=≠==≠.6、求下列向量组的一个极大线性无关组，并将其余向量用此极大线性无关组线性表示.(1)12(1,2,3,0),(1,2,0,3),T T αα==--3(2,4,6,0),T α=45(1,2,1,0),(0,0,1,1)T T αα=--=.(2)123(1,1,2,4),(0,3,1,2),(1,1,2,0),T T T ααα=-==-45(3,0,7,14),(2,1,5,6)T T αα==.(3) 123(1,4,2),(1,2,4),(2,5,1),T T T ααα=-=-=-45(4,5,2),(5,4,4)T T αα=-=-.(4)12(1,3,5,1),(2,1,3,4),T T αα=-=--3(5,1,1,7),T α=-4(3,3,1,1)T α=--.(5)12(1,0,2,3,4),(7,1,0,1,3),T T αα=-=-3(1,4,9,6,22),T α=-- 4(6,4,1,9,2)T α=.7、已知向量组123,,ααα线性无关，试证向量组1223,αα+23134,5αααα++亦线性无关.8、向量组12,,,s ααα线性无关,112,βαα=+223,,βαα=+1s s βαα=+，试讨论向量组12,,,s βββ的线性相关性.9、设n 维向量123,,ααα线性相关，且满足123230ααα-+=. 试说明对于任意的n 维向量β，参数123,,λλλ满足什么条件时，向量组112233,,αλβαλβαλβ+++线性相关.10、已知向量组12,,,s ααα线性无关，矩阵A 可逆.求证向量组12,,,s A A A ααα线性无关.11、已知向量组123(1,3,0,5),(1,2,1,4),(1,1,2,3),T T T ααα===4(1,3,6,1)T α=--5(1,,3,)T a b α=的秩为2. 试求b a ,的值，并求向量组的一个极大线性无关组，且将其余向量用该极大线性无关组线性表示.12、已知矩阵11313134,1598A --⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭求()r A .13、矩阵21837230753258010320A ⎛⎫⎪--⎪= ⎪-⎪⎝⎭,求矩阵A 的秩并写出A 的一个最高阶非零子式.14、a 取何值时，矩阵23653014114589A a --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭的秩是2.15、已知4R 的两组基123{,,}ααα与123{,,}βββ，且123{,,}ααα到123{,,}βββ的过渡矩阵为211112113⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭，向量α在基123{,,}ααα下的坐标为(1,1,3)T. 试求α在基123{,,}βββ下的坐标.16、已知向量空间4R 的两组基： ( I ) 1234(1,1,0,0),(1,2,0,0),(0,0,1,1),(0,0,1,2)αααα==== ( II )1234(2,1,0,0),(3,1,0,0),(0,0,2,3),(0,0,1,2)ββββ====(1) 求由基( I )到基( II )的过渡矩阵;(2) 求向量12342αββββ=++-在基( I )下的坐标.17、已知向量组123(1,1,0,0),(0,0,1,1),(1,0,0,4),T T T ααα===4(0,0,0,2)T α=是R 4的一组基, 设12(1,0,0,0),(0,1,0,0),T T εε==34(0,0,1,0),(0,0,0,1)T T εε==为自然基. 试求由基1234,,,αααα到基1234,,,εεεε的过渡矩阵，并求3ε在基1234,,,αααα下的坐标.18、设123,,ααα是3R 的一组标准正交基，且112321233123122212221,,333333333βαααβαααβααα=+-=++=--(1)证明123,,βββ也是3R 的一组标准正交基;(2)证明基123,,ααα到基123,,βββ的过渡矩阵为正交矩阵; (3)求向量1232αααα=+-在基123,,βββ下的坐标.19、设(1,1,1)T α=，(1,2,2)T β= (1) 求一个与,αβ都正交的非零向量γ；(2) 利用施密特正交化方法，把向量组{},,αβγ化为标准正交基20、设βααα,,,321均为n 维非零列向量，且321,,ααα线性无关，β与321,,ααα分别正交，试问321,,ααα，β是否线性无关？并给出证明.第三章 向量组及其相关性 自测题一、判断题：( ) 1、如果两个向量组的秩相等，那么它们必然是等价向量组. ( ) 2、若向量组123,,ααα线性无关，124,,ααα线性相关，则4α必可由123,,ααα线性表示. ( ) 3、设12,,,n ααα是一组n 维向量且n 维单位向量12,,,n εεε可被它们线性表出，那么12,,,n ααα线性无关.( ) 4、设123...,r βααα=+++ 213...,,r βααα=+++⋅⋅⋅ 121...r r βααα-=+++，那么1212{,,}{,,}r r r r βββααα⋅⋅⋅≤⋅⋅⋅.( ) 5、设1123(,,),T a a a α=2123(,,),T b b b α=3123(,,),T c c c α=则三条直线0i i i a x b y c ++=，22(0,1,2,3)i i a b i +≠=交于一点的充要条件是123,,ααα线性相关且12,αα线性无关.( ) 6、如果一个向量组线性无关，那么它的任何一个非空的部分组也线性无关.( ) 7、m n >是n 维向量组12m ,,ααα线性相关的必要条件.( ) 8、若123,,ααα线性无关，则122331,,αααααα+++线性无关. ( ) 9、正交的向量组必定不含零向量.( ) 10、如果A 是n 阶矩阵且0A =，则A 的每一个行向量都是其余各行向量的线性组合. 二、填空题1、设(2,1,5)Tα=-，(1,1,1)Tβ=-，则αβ+＝ ，32αβ-＝ .2、设1(1,1,1)Tα=，2(1,2,3)Tα=，3(1,3,)Tt α=，则当=t 时它们线性相关.3、设123(,1,1),(0,2,3),(1,2,1)T T T k ααα===, 则当k 时，123,,ααα线性无关.4、已知向量组123(1,2,3,4),(2,3,4,5),(3,4,5,6),T T T ααα===4(4,5,6,7)T α=，则该向量组的秩是 .5、若⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=t A 31322101,且()3r A =,则 .6、设13014221x A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，()2r A =，则x = . 7、设三阶方阵 ()()1212,,,,2,3A B αγγβγγ==- , 其中αβγγ,,,12 均是三维列向量且1,33A B =-=, 则A B += .8、设12312,,,,αααββ均为4维列向量, 且矩阵1231(,,,)A αααβ=,1223(,,,)B ααβα=, 32112(,,,)C αααββ=+,如果||,||A a B b ==，则行列式||C = .9、已知矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=11334221t A 的列向量线性相关，则=t .10、设矩阵0100001000010000⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，则3A 的秩为 11、若A 为n 阶可逆矩阵，则()r A *= .12、设123,,a a a 是3维向量空间3R 的一组基，则由基12311,,23a a a 到基122331,,+++a a a a a a 的过渡矩阵为13、在3R 中，向量(1,2,2),(1,0,1)T T αβ==-的夹角是 ，αβ-= .14、设向量4(1,1,0,1),(1,2,2,0),TTR αβ=--=-∈那么向量,αβ的夹角为 .15、已知(1,2,3),(5,1,),T Tk αβ=--= 那么k = 时,向量α与β正交.16、从2R 的基12(1,0),(1,1),T Tαα==-到基12(1,1),(1,2)T T ββ==的过渡矩阵为 .17、(2,0,0)T β=在基1(1,1,0)T α=，2(1,0,1)T α=，3(0,1,1)T α=下的坐标是 .18、设向量(1,,)Ta b α=与向量12(2,2,2),(3,1,3)T T αα==都正交,则a =_ _，b = .19、设a b A c d ⎛⎫= ⎪⎝⎭是正交阵，则=+bd ac .20、设A 是正交矩阵，j α是A 的第j 列，则j α与j α的内积等于 .三、求向量组1234(2,1,3,1),(3,1,2,0),(1,3,4,2),(4,3,1,1)T T T Tαααα=-=-=-=-的一个极大无关组，并将其余向量用此极大无关组线性表示.四、求矩阵11221511061λλ-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A 的秩.五、已知向量组123(1,1,1,3),(1,3,5,1),(2,6,10,)T T T a ααα==--=-- ,4(4,1,6,10)T a α=+ 线性相关. 试求a 的值并确定该向量组的一个极大线性无关组.六、已知123(1,2,1),(,1,10),(1,,6),(2,5,1)T T T T ααλαλβ==-=--= ,试分析λ的取值情况使得(1)β可由123,,ααα线性表出，表示方式唯一； (2)β可由123,,ααα线性表出，表示方式不唯一； (3)β不能由123,,ααα线性表出.七、试利用施密特正交化方法，把向量组()10,1,1T α=,()21,0,1Tα=,()31,1,0Tα=化为标准正交基.八、设11232123,2,βαααβααα=++=++312323,βααα=++如果321,,ααα线性无关，证明：321,,βββ也线性无关.。
线性代数 第三章自测题参考答案
自测题（三）参考答案与提示一、(1) ；2−n (2) 方程组的未知量个数为3，由基础解系所含向量个数与系数矩阵的秩的关系，可知1，不妨设所求方程组为()R =A 1230ax bx cx ++=，并将代入，得，故方程组的系数矩阵为． 12,ηη1,1a b c =−==(1,1,1)=−A 二、（1）（D ）；（2）（D ）．三、123412341311~014537570000−−⎛⎞⎛⎜⎟⎜=−⎜⎟⎜⎜⎟⎜−⎝⎠⎝A ⎞⎟−⎟⎟⎠⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠ 得基础解系 ． 1234111445,1001x x x x −⎛⎞⎛⎞⎛⎜⎟⎜⎟⎜−⎜⎟⎜⎟⎜=⎜⎟⎜⎟⎜⎜⎟⎜⎟⎜⎜⎟⎜⎜⎟⎝⎠⎝⎝⎠四、1111011011211131~00121211231200000−−−−⎛⎞⎛⎜⎟⎜=−−−⎜⎟⎜⎜⎟⎜−−−⎝⎠⎝A ⎞⎟⎟⎟⎠可见()()R R =A A ，方程组有解，并有1243412212x x x x x =++⎧⎨=+⎩ 取，则 240x x ==1312x x ==，即得原方程组的一个特解T*(12,0,12,0)=η． 对应齐次线性方程组的基础解系 ， T 1(1,1,0,0)=ηT 2(1,0,2,1)=η原方程组的通解为 ．112212*,(k k k k R =++∈ηηηη、)五、考虑向量方程1122330k k k ααα++=⎪⎩⎪⎨⎧=++=+−=+030422032132131ak k k k k k k k 013422101=−a，即 02)3(2=−−−a ，即2=a ．六、当()R n =A 时，12,,,n αα"α0线性无关，设1122231()()()n n k k k αααααα++++++="，于是有 ，12310,0,,0n n k k k k k k −+=+=+="n 可见当为偶数时，有非零解，当n 为奇数时，n =Bx 0=Bx 0无非零解．七、由的每一列均为的解，那么矩阵中列向量组的秩必小于等于的解向量组的秩，即有R () = R (B =A x 0B =A x 0B s βββ,,,"21)()n R ≤−A所以 ()()R R n +≤A B ．八、（1）由已知，得矩阵的秩小于3，又()1223123123101(,,),,11011a a αααααααααα−⎛⎞⎜⎟−+−++=−⎜⎟⎜⎟⎝⎠123,,ααα线性无关，所以矩阵10111011a −⎛⎞⎜⎟−⎜⎜⎟⎝⎠⎟4一定不可逆，推出．2a =（2）方程组1223123(,,)a αααααααα−+−++=x 可化为()()1231231011,,11,,10112a αααααα−⎛⎞⎜⎟−=⎜⎟⎜⎟⎝⎠x ⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠ 因为123,,ααα线性无关，所以原方程组与方程组同解．10111110112a −⎛⎞⎜⎟−=⎜⎟⎜⎟⎝⎠x ⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎞⎟⎟⎟⎠由此求出通解 ．111210k ⎛⎞⎛⎜⎟⎜=−+⎜⎟⎜⎜⎟⎜⎝⎠⎝η九、方程组的系数行列式3[3]()a b b b ba b ba b a b b b a b bb ba==+A −b（1）当且时，方程组仅有零解．a b ≠3a ≠−（2）当时，对系数矩阵作行初等变换得原方程组的同解方程组，其基础解系为a b =A 12340x x x x +++=T 1(1,1,0,0),=−ηT 2(1,0,1,0),=−ηT 3(1,0,0,1)=−η于是方程组的通解为112233k k k =++x ηηηb 4 其中为任意常数．123,,k k k （3）当时，对系数矩阵作初等行变换，得原方程组的同解方程组为3a =−A 14234x x x x x x=⎧⎪=⎨⎪=⎩，由此得基础解系为 ， T(1,1,1,1)=η于是方程组的通解为，其中k 为任意常数．k =x η十、2113112112~0113(111200(1)(2)3(1)a a a a a a a a a −−⎛⎞⎛⎜⎟⎜=−−−⎜⎟⎜⎜⎟⎜−−+⎝⎠⎝A )a a ⎞⎟−⎟⎟−⎠ 于是可知当a 1且a =－2时，方程组有唯一解． ≠≠ 当a =－2时，方程组无解． 当a =1时，方程组有无穷多解．通解为x = （k 1 ，k 2为任意常数）．⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−+⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−+⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛11010120021321k k x x x 十一、必要性 由及知，=AB O ≠B O =A x 0有非零解，所以0=A ．充分性 若0=A ，则=A x 0有非零解，记为．令0x ()0,,,,=≠B x O 000"，满足．=AB O 十二、因为方程组的增广矩阵A 的行向量组是的行向量组的部分组，所以C A 的行向量组可由的行向量组线性表示，于是C A 的行向量组的秩小于或等于的行向量组的秩，因此有C ()()()R R R ≤=A C A ，又的列向量组可由A A 的列向量组线性表示，有()()R R ≤A A ， 所以()()R R =A A ，故方程组有解．。
线性代数第三章习题
矩阵的加法满足交换律和结合 律，即A + B = B + A，(A + B) + C = A + (B + C)。
数与矩阵的乘法
数与矩阵的乘法定义为该数与矩阵中每一个元素相乘，即kA = [kaij]m×n，其中k 是一个数，A是一个m×n的矩阵。
数与矩阵的乘法满足分配律和结合律，即k(A + B) = kA + kB，(k + l)A = kA + lA， k(lA) = (kl)A。
03
逆矩阵与矩阵的秩
逆矩阵的定义和性质
定义：设A为n阶方阵，若存在n阶方阵B， 使得AB=BA=I（I为单位矩阵），则称B 为A的逆矩阵，记为A^(-1)。
若A、B均可逆，则AB也可逆，且 (AB)^(-1)=B^(-1)A^(-1)。
若A可逆，则A的逆矩阵也可逆，且 (A^(-1))^(-1)=A。
应用实例
1
2
图像处理中的PCA（主成分分析）方法就利用了 特征值和特征向量的概念来进行数据降维和特征 提取。
3
在推荐系统中，可以利用特征值和特征向量的概 念来进行用户和物品的相似度计算，从而提高推 荐算法的准确性。
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线性代数第三章习
目录
CONTENTS
• 矩阵的基本概念和性质 • 行列式及其性质 • 逆矩阵与矩阵的秩 • 线性方程组与矩阵的应用 • 特征值与特征向量
01
矩阵的基本概念和
性质
矩阵的定义和表示
矩阵是一个由数值组成的矩形阵 列，其大小由行数和列数确定。
矩阵通常用大写字母表示，如A、 B、C等，而行列数通常用小写 字母m和n表示，其中m表示行
线性代数第三章课后习题
习题三（A ）1. 用矩阵的初等变换把下列矩阵A 化为行阶梯形矩阵、行最简形矩阵及标准形矩阵：(1) 112332141022-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（2）1111131320461135-⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（3）24512122111212136363--⎛⎫⎪-- ⎪=⎪-- ⎪---⎝⎭2.设A 123012425⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，010(1,2)100001⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭E ，100(3,2(5))010051⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭E .试求(1,2)E A ；(1,2)AE ；(3,2(5))E A .3.用初等变换求下列方阵的逆矩阵：(1) A 101110012⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭ （2）A 211124347--⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭（3）A1111022200330004⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭4.用初等变换解下列矩阵方程：(1) 设A 101110120⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，102102-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭B ，且AX =B ，求X .（2）设A 220213010⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，且+AX =A X ，求X .5.设矩阵A 122324111222-⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭，计算A 的全部三阶子式，并求()R A .6.在秩为r 的矩阵中，有没有等于0的1r -阶子式？有没有等于0的r 阶子式？请举例说明.7.从矩阵A 中划掉一行得到矩阵B ，问A ，B 的秩的大小关系怎样? 请举例说明.8.求下列矩阵A 的秩：(1) 310211311344⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭（2）1121224230610304-⎛⎫ ⎪- ⎪=⎪- ⎪-⎝⎭（3）12211248022423336064--⎛⎫⎪-⎪= ⎪-- ⎪--⎝⎭(4) 112205123λλλ-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭ (5)111111λλλ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭9. 设有矩阵A101110112111022264μμ-⎛⎫⎪⎪=⎪⎪⎝⎭，若()3R=A，求μ的值.10.判断下列命题是否正确．(1) 如果线性方程组AX=0只有零解，那么线性方程组AX=B有唯一解；(2) 如果线性方程组AX=B有唯一解，那么线性方程组AX=0只有零解．11. 解下列齐次线性方程组：（1）12312312325502303570x x xx x xx x x+-=⎧⎪+-=⎨⎪+-=⎩（2）1234123412342202220430x x x xx x x xx x x x+++=⎧⎪+--=⎨⎪---=⎩（3）31243124312431242530420476023950xx x xxx x xxx x xxx x x-+-=⎧⎪-+-=⎪⎨-+-+=⎪⎪-+-=⎩（4）3124312412431242350240347045530xx x xxx x xx x xxx x x-+-+=⎧⎪-+-=⎪⎨--=⎪⎪-+-=⎩12. 解下列非齐次线性方程组：（1）123123123343322323x x xx x xx x x-+=⎧⎪+-=-⎨⎪-+-=-⎩（2）12341234123443222333244x x x xx x x xx x x x+-+=⎧⎪++-=-⎨⎪---+=⎩（3）3124312431243124235324434733749xx x xxx x xxx x xxx x x+++=⎧⎪++-=⎪⎨+++=⎪⎪++-=⎩（4）31231231231224523438214496xx xxx xxx xxx x-+=-⎧⎪++=⎪⎨+-=⎪⎪-+=-⎩13. 确定λ的值，使下列齐次线性方程组有非零解，并求其一般解．（1）123123123x x xx x xx x xλλλ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩（2）123123123240356020x x xx x xx x x-+=⎧⎪-+=⎨⎪-+=⎩λ14.讨论下列非齐次线性方程组，当λ取何值时，方程组无解、有唯一解、有无穷多解？并在有无穷多解时求出一般解:（1）12312321231x x xx x xx x xλλλλλ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩（2）212312312313422321x x xx x xx x x++=⎧⎪++=⎨⎪+-=⎩λλ15. 设有方程组112223334445551x axx axx axx axx ax-=⎧⎪-=⎪⎪-=⎨⎪-=⎪-=⎪⎩，证明方程组有解的充分必要条件是51iia==∑.（B ）1.设A 是n 阶可逆阵，互换A 的第i 行与第j 行（i j ≠）得到矩阵B ，求1-AB .2. （研2007数一、二、三）设矩阵0100001000010000⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，则3A 的秩为___ ____. 3. （研2010数一）设A 为m n ⨯型矩阵，B 为n m ⨯型矩阵，若AB =E ，则正确的是（ ）(A) ()R m =A ，()R m =B (B) ()R m =A ，()R n =B(C) ()R n =A ，()R m =B (D) ()R n =A ，()R n =B4. （研2015数一、二、三）设矩阵A 21111214a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，21d d ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭b .若集合={1,2}Ω，则线性方程组Ax =b 有无穷多解的充分必要条件是（ ）(A) a ∉Ω，d ∉Ω (B) a ∉Ω，d ∈Ω (C) a ∈Ω，d ∉Ω (D) a ∈Ω，d ∈Ω5. （研2016数二、三）设矩阵111111a a a --⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭与110011101⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭等价，则a =____ ____.6.证明：()()R R R ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭A O AB O B . 7.设A ，B 是n 阶非零矩阵，证明：若=AB O ，则()R n <A 及()R n <B .8.设A 是m n ⨯矩阵，B 是n m ⨯矩阵，且n m <.证明：||0=AB .。
线性代数习题册(第三章 矩阵的初等变换与线性方程组参考答案)
(B) 若 A B ，则 R( A) = R(B) ；
(C ) 若 P,Q 可逆，则 R(PAQ) = R( A) ； (D) R( A + B) ≥ R( A) + R(B) .
分析：本题是考察矩阵秩的性质。（A）、（B）、（C）都是正确的。如
R(= PAQ) R= ( AQ) R( A) ，所以（C）是正确的。（D）不正确。因为
（ X） （X）
3. 若矩阵 A 所有的 k 阶子式全为 0 ，则 R( A) < k .
（ √）
4. 初等变换不改变矩阵的秩.
（√）
5. 设矩阵 A, B 分别为线性方程组相应的系数矩阵和增广矩阵，则线性方程组 Ax = b 有唯
一解当且仅当 R( A) = R(B).
（X）
6. 若 A 是 m × n 矩阵，且 m ≠ n ，则当 R( A) = n 时，齐次线性方程组 Ax = 0 只有零解.
( x j − xi ) ≠ 0
1≤i< j≤n
1
xn
x n−1 n
故齐次线性方程组只有唯一的零解，即 a=1 a=2 = a=n 0 。
13. 设 A 为 m × n 矩阵，且 R( A=) m < n ，则（
）.
( A) 若 AB = O ，则 B = 0 ；
(B) 若 BA = O ，则 B = 0 ；
1
1 0
0
0
a11 a21
a12 a22
a13 a23
=
a21 a11
a22 a12
a23 a13
0 0 1 a31 a32 a33 a31 a32 a33
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一、单项选择题
1．若四阶方阵A 的秩为3，则（ ） A ．A 为可逆阵
B ．齐次方程组Ax =0有非零解
C ．齐次方程组Ax =0只有零解
D ．非齐次方程组Ax =b 必有解
2．若线性方程组⎩⎨⎧=λ+-=+-21
2321
321x x x x x x 无解，则λ等于（ ）
3.设3阶方阵A 的秩为2，则与A 等价的矩阵为（ ） A.⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛000000111 B. ⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛300110111
C. ⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛000432111 D. ⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛333022001 4．设A 为m ×n 矩阵，且非齐次线性方程组AX=b 有唯一解，则必有（ ） A ．m=n B ．R(A)=m C ．R(A)=n
D ．R(A)<n
二、填空题
1．三元方程x 1+x 2+x 3=0的通解是________. 2．矩阵⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡111[1 -1 1]的秩为_________.
3.已知3元非齐次线性方程组的增广矩阵为⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛++-0100101
0121
1a a ，若该方程组无解，则a 的取值为_________.
4.设线性方程组⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡211111111321x x x a a a 有无穷多个解，则a =_________.
三、计算题
1．设矩阵A =⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛-b a 1401321a 21的秩为2，求a ，b.
2．求齐次线性方程组⎪⎩⎪
⎨⎧=+++=+++=--+0
23203220
4321
43214321x x x x x x x x x x x x 的通解.
3．求线性方程组⎪⎩
⎪
⎨⎧=++=+++=+++3220231
43243214321x x x x x x x x x x x 的通解.
4. 判断线性方程组123412341
34x x 3x x 12x x x 4x 2x 4x 5x 1-+-=⎧⎪
--+=⎨⎪-+=-⎩是否有解，有解时求出它的解.
5．给定线性方程组
⎪⎩⎪
⎨⎧-=++-=++-=++2
23
321
321321ax x x x ax x a x x x
（1）问a 为何值时，方程组有无穷多个解； （2）当方程组有无穷多个解时，求出其通解.
6．当a 为值何时，方程组⎪⎩⎪
⎨⎧=+++=+++=+++a
x x x x x x x x x x x x 43214321432132322221
有解在有解时，求出它的通解.。