线代第三章
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线性代数第三章
11 + 22 + …+ ss = 0
与 1 ， 2 ，…， s 线性无关矛盾,故
1 s1
1
s
2
1
2 s s 1 s
即 β 可以由1 ， 2 ，…， s的线性表示. 若存在1，2，… ，s和 t1，t2，… ，ts
使得 β = 11 + 22 + …+ ss
= t11 + t22 + …+ tss 则11 + 22 + …+ ss ＝ t11 + t22 + …+ tss
(1) , V， 有 + V (2) V ，k R， 有 k V
则称 V 是一个向量空间.
例1 (1) 全体 n 维向量构成一个向量空间，称 为 n维向量空间：记作 Rn ;
(2) V = {0}，由于 0 + 0 = 0，k·0 = 0， V = {0} 构成一个向量空间，称为零空间.
3. 线性方程组Ax=0的解集合S构成一个向量空
p73li7
间,其中A为已知m×n矩阵,x为n维未知列向量.
首先S非空,由于齐次线性方程组总有0解.
另外, x,yS,kR,由Ax=0,Ay=0,有
A(x+y)=Ax+Ay=0, A(kx)=0 从而S关于加法和数乘封闭,故S构成一个向量空间.
解空间
11 + 22 + …+ mm = 0
不妨设 m 0，则
m m1
1
2 m
2 mm 1 m 1
即: m是1 ， 2 ，…， m－1的线性组合.
充分性：
设 m 是其余向量的线性组合，即存在 数1，2，… ，m－1 ，使得
线性代数第三章总结
第三章 几何空间一、 向量的运算1. 向量的数量积（1） 在仿射坐标系123{;,,}O e e e 中给定两个向量123(,,)x x x α=，123(y ,,)y y β=，则112323(,,)y x x x A y y αβ⎛⎫ ⎪⋅= ⎪ ⎪⎝⎭，其中111213212223313233e e e e e e A e e e e e e e e e e e e ⋅⋅⋅⎛⎫ ⎪=⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⋅⋅⋅⎝⎭. （2） 在直角坐标系{;,,}O i j k 中给定两个向量123(,,)x x x α=，123(y ,,)y y β=，则131233213(,,)i i i y x x x I y x y y αβ=⎛⎫ ⎪⋅== ⎪ ⎪⎝⎭∑ ∙ =0αβαβ⊥⇔⋅2. 向量的向量积在直角坐标系{;,,}O i j k 中给定两个向量123(,,)x x x α=，123(y ,,)y y β=，则123123i jk x x x y y y αβ⨯=. ∙ //=0αβαβ⇔⨯3. 向量的混合积在直角坐标系{;,,}O i j k 中给定两个向量123(,,)x x x α=，123(y ,,)y y β=，123(,,)z z z γ=则123123123(,,)x x x y y y z z z αβγ=. ∙ (,,)0αβγαβγ⇔=，，共面例：（1）设=αβγδ⨯⨯， =αγβδ⨯⨯，证明αδ-，βγ-共线.（2）设0αββγγα⨯+⨯+⨯=，证明αβγ，，共面.（3）证明()()βγααγβγ⋅-⋅⊥.证明：（1）因为()()αδβγ-⨯-=αβαγδβδγ⨯-⨯-⨯+⨯=αβγδαγ⨯-⨯-⨯+0βδ⨯=，所以αδ-，βγ-共线.(2)因为()αβγ=，，()αβγ⨯⋅=()βγγ-⨯⋅()γαγ-⨯⋅=()βγγ-，，()γαγ-，，0=，所以αβγ，，共面.（3） 因为(()βγα⋅())αγβγ-⋅⋅=()βγ⋅()αγ⋅()αγ-⋅()βγ⋅0=，所以()βγα⋅()αγβ-⋅γ⊥.二、 位置关系的判断1. 两个向量的共线；三个向量的共面.2. 两条直线异面，共面（相交、平行、重合）3. 两个平面相交、平行、重合4. 直线与平面相交、平行、直线在平面上.三、距离和垂线（在右手直角坐标系中讨论）1. 点到直线的距离，垂线方程垂线方程：设直线过已知点0000,,)P x y z （方向向量为0()X Y Z υ=，，，求过111(,,)P x y z 点直线的垂线方程。
线性代数第三章
Am n 的各阶子式的总数:
min( m , n )
k 1
k k CmCn .
任意非零矩阵都至少有一个1阶非零子式(其每个非零元都可构成一个
1阶非零子式), 更高阶子式(如有)中还可能有非零的.
一个矩阵所具有的非零子式的最高阶数这一 数字与该矩阵的多方面性质有关, 将这一数字定
1 A 0 0 2 2 0 1 8 0 0 8 0
0
由此知A可逆, 故系数 行列式非零,于是克莱 默法则也适用本题.
3
行最简形矩阵
2
(29,16, 3)
1
x1 2 x2 x3 0 x2 4 x3 4 . 例3.4.2 求解线性方程组 4 x 5 x 8 x 9 1 2 3
由性质 5
ci c n i i 1, 2,, n
~
( A, B )
R ( A) R ( B ).
证毕.
例3.3.4 设A为n阶方阵,证明: R( A E) R( A E) n. 证明:
A E
ri ( 1) i 1, 2, , n
~
EA
练习 设A2=E,证明: R(A+E)+R(A-E)=n.
B的各非零行的首个非零元处在第1,2,3行、第1,2,4列, 分别对应于A 的第4,2,3行、第1,2,4列, 其交叉点处的元素构成的行列式
3 2 D 2 1 0 6
6 5 1
A的第2,3,4行、第1,3,4 列交叉点处的元素也可构成A 的最高阶非零子式.想想为什 么？还可以怎么取?
就是A的一个最高阶非零子式.
R( A) R( B) 3 .
例3.3.2 解:(2)求A的一个最高阶非零子式.事实上
线代第三章
n 阶行列式. 阶行列式.
定义
对(3-1) 的 n 阶矩阵 A，把删去第 i (3-
行及第 j 列后所得的 ( n – 1 ) 阶子矩阵称为对应 于元 aij 的余子矩阵， 并以 Sij 记之. 记之.
定义
一阶矩阵 [aij ]的行列式之值定义为数a11 的行列式之值定义为数a det [ a11 ] def a11
定理 数α乘行列式 detA，等于用α乘它的某 detA 等于用α
一列(或行)的所有元： 一列(或行)的所有元：
α det[a1 Lai Lan ] = det[a1 Lαai Lan ]
上式同时指出行列式某列(行 元的公因子可提出 上式同时指出行列式某列 行)元的公因子可提出
定理
对换两列 ( 或行 )的位置，行列式值反号: 的位置，行列式值反号:
（3 - 5 ）
阶行列式值的计算公式. 并可以下表的形式记 3 阶行列式值的计算公式
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
— —
—
+
+
+
其中每一条实线上的三个元素的乘积带正号, 其中每一条实线上的三个元素的乘积带正号 每一 条虚线上的三个元素的乘积带负号, 条虚线上的三个元素的乘积带负号 所得六项的代 数和就是三阶行列式的展开式. 数和就是三阶行列式的展开式.
值为零. 值为零.
推论 定理
对 n 阶 矩阵 A 有 detαA = (α )n det A 若将 detA的某一列 (或行) ai 写成两个向 detA 或行)
detA等于两个行列式之和， 量之和，ai = ci + di , 则 detA等于两个行列式之和， 量之和， 这两个行列式分别是在detA 这两个行列式分别是在detA中用 ci 及 di 代替ai的 代替a 结果， 结果，
线性代数 第三章
( b1 , b2 ,, bm 为不全为零的常数) （3-1-1）
在上一章知道，它的矩阵表达式为 常数项与未知阵。
a11 a 21 A , B 将系数矩阵与常数项矩阵放在一起构成的矩阵 ~ 称为方程组（3-1-1）的增广矩阵（也可记作 A ）。 a m1
第三章 向量组与线性方程组
• 3.1 线性方程组及其矩阵表示
设非齐次线性方程组的一般形式为
a11 x1 a12 x 2 a1n x n b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 a m1 x1 a m 2 x 2 a mn x n bm
Ax B与 Sx T 同解。（证）
证明 由于对矩阵作一次初等行变换等价于矩阵左乘一个初等矩阵，因此存在初等矩 阵 P 记 Pk Pk 1 P1 P 显然 P 可逆。 1, P 2 ,, P k 使得 P kP k 1 P 1 ( A, B) ( S , T )
x x1 为 Ax B 的解，即 Ax1 B Sx1 T 于是 x x1 为 Sx T 的解。
21 1
22
2
2n
n
x1 2 x 2 2 x3 x 4 1 【例1】把线性方程组 2 x1 x 2 2 x 2 5 x 4 2 表示为矩阵方程的形式。 x 3 x 7 x 4 x 0 2 3 4 1 x1 1 2 2 1 1 解 设 A x2 B 2 1 2 5 2 则原方程组可表示为 Ax B x 1 3 7 4 0 x3 x 4
Ax B 其中 A, B, x 分别是系数阵、
线性代数第三章
线性代数第三章1.【线性无关与线性相关】要点重点记住线性相关与线性无关的定义式，其他种种皆可由此推导引申出来。
这节希望大家能理解向量从二三维扩展到n维的思路过程，当对于空间的理解不能再用几何意义来描述时，代数的表示就扩展了向量的深度与广度，从而可以满足工程和经济模型分析的需要。
从几何到代数，就是从低维到高维抽象的线性代数方法论。
本节需要大家掌握的要点是：2.【向量组的秩】要点我们说过，如果一个向量组中向量的个数非常多时，要去研究这个庞大的向量组是很困难的。
此时，如果有一个向量个数较少的向量组同样能反映这个大向量组的性质，那么我们在实际工程计算中就可以大大简化计算量和工作量了。
极大无关组就是属于向量组中与其等价的无关向量组中向量最少的一个，我们可以通过研究该向量组的极大无关组来研究这个大向量组。
而我们在这节课学的一系列定理和证明，其实就是证明以上的思路是可行的，且还推导得出一个求极大无关组和秩比较简便的算法。
看了基的定义，是不是非常眼熟啊？？对了，就是跟极大无关组相同哦，不过一个是以空间阐述，一个是代数上的阐述。
此处，注意把单个向量分量的维度与空间的维度区分开。
比如，u=(2,1),v=(4,2)都是2维向量，可是因为他俩线性相关，张成的空间降维了，构成的却是一维空间。
以上基与维数的定义就解答了以下几个问题：空间的维度是几维？空间又是由什么生成的呢？可以生成空间的基不唯一，而每一组基一旦确定，其余向量在这组基中的坐标也就唯一确定了。
那么，既然基不唯一，如果我换一组基，某向量原来在这组基的坐标是不是也就转换了呢？基与坐标的含义呢，其实就可以理解为，如果我们在一个空间中找的参照物不同，那么对应该参照物角度的坐标就会不同的意思。
线性代数_第三章
lts ks 0
这与1,2, . . .,s与线性无关矛盾.
推论1 两个等价的且线性无关的向量组，含有相 同个数的向量。
推论2 等价的向量组有相同的秩。
推论3 向量组(I)的秩为r1，向量组(II)的秩为r2，且
组(I)可由组(II)线性表出，则r1≤r2。
lts ks 0
于是
1 , 2 ,
k1 k2 b1 , b 2 , , s ks
l11 l12 l21 l22 , bt lt1 lt 2
l1s k1 0 l2 s k 2 0
第三章 向量组与线性方程组
§3.1 向量组的线性相关性
2 x1 3 x2 3 x3 5 x1 2 x2 x3 2 7 x2 x3 1
2 3 3 5 1 2 1 2 0 7 1 1
显然第三行是前两行的代数和； 也就是说，第三个方程能由前两 个方程“表示”；
4, (III) 1, 2, 3, 5, 且向量组的秩分别
为R(I)=R(II)=3, R(III)=4. 证明:向量组1, 2, 3, 5-4的秩为4.
证明: 由R(I)=R(II)=3得知向量组(I)线性无关,向
量组(II)线性相关,且4可由1, 2, 3,线性表出,
lm m 0
定理3 设m≤n，则m个n维向量1 ,2 ,
,m 线性无关的充
分必要条件是，其组成的矩阵的秩R(A)=m.即A为列满秩。
证：必要性. 因为Q可逆，必有l1,l2,…,lm不全为零， 这与1,2,…,m线性无关矛盾。 因此，R(A)=m。
这与1,2, . . .,s与线性无关矛盾.
推论1 两个等价的且线性无关的向量组，含有相 同个数的向量。
推论2 等价的向量组有相同的秩。
推论3 向量组(I)的秩为r1，向量组(II)的秩为r2，且
组(I)可由组(II)线性表出，则r1≤r2。
lts ks 0
于是
1 , 2 ,
k1 k2 b1 , b 2 , , s ks
l11 l12 l21 l22 , bt lt1 lt 2
l1s k1 0 l2 s k 2 0
第三章 向量组与线性方程组
§3.1 向量组的线性相关性
2 x1 3 x2 3 x3 5 x1 2 x2 x3 2 7 x2 x3 1
2 3 3 5 1 2 1 2 0 7 1 1
显然第三行是前两行的代数和； 也就是说，第三个方程能由前两 个方程“表示”；
4, (III) 1, 2, 3, 5, 且向量组的秩分别
为R(I)=R(II)=3, R(III)=4. 证明:向量组1, 2, 3, 5-4的秩为4.
证明: 由R(I)=R(II)=3得知向量组(I)线性无关,向
量组(II)线性相关,且4可由1, 2, 3,线性表出,
lm m 0
定理3 设m≤n，则m个n维向量1 ,2 ,
,m 线性无关的充
分必要条件是，其组成的矩阵的秩R(A)=m.即A为列满秩。
证：必要性. 因为Q可逆，必有l1,l2,…,lm不全为零， 这与1,2,…,m线性无关矛盾。 因此，R(A)=m。
线代第三章
母, , , 等(或带小标).
只讨论与起点无关的向量.
当建立了平面坐标系以后，该平面内的 向量的起点可以认为均在平面坐标原点， 于是可以用该向量的终点坐标表示该向 量，见图3.1. 在空间坐标系中有类似处 理，见图3.2.
a (x, y)
a (x, y, z)
在空间向量(x, y, z)中，它是x, y, z按一定 顺序的一个排列，分别表示该向量终点 的横坐标、纵坐标和竖坐标. 实际上， 对于含n个未知量x1, x2, …, xn的n元线性 方程组, 其一个解可以按x1, x2, …, xn的 顺序依次表示出来.
,
α3
1
11
计算3α1 2α2 5α3. Solution
2 10 4
3α1
2α2
5α3
3
5 13
21150
5
1 11
6 20 20 6
15
3 9
2 1200
5 55
12
8 24
.
由于 + = + 及 + (- ) = 0，所以
(3) + 0 = . (加法单位元)
(4) + (- ) = 0 .(加法逆元)
为了方便，将 + (-) 记为 - ，称为 向量和的差(subtraction of and )，
它是向量的减法运算. 两个向量相减就 是对应的分量分别相减.
a1 b1
a1 b1
α
a2
,
β
b2
α
β
a2
b2
am
bm
am bm
2、向量的数乘运算
向量和数的数乘是一个向量，其大小 为| |与向量的大小乘积，其方向当 > 0 时与相同，当 < 0 时与相反，当 = 0 时是零向量，这时其方向可以是
只讨论与起点无关的向量.
当建立了平面坐标系以后，该平面内的 向量的起点可以认为均在平面坐标原点， 于是可以用该向量的终点坐标表示该向 量，见图3.1. 在空间坐标系中有类似处 理，见图3.2.
a (x, y)
a (x, y, z)
在空间向量(x, y, z)中，它是x, y, z按一定 顺序的一个排列，分别表示该向量终点 的横坐标、纵坐标和竖坐标. 实际上， 对于含n个未知量x1, x2, …, xn的n元线性 方程组, 其一个解可以按x1, x2, …, xn的 顺序依次表示出来.
,
α3
1
11
计算3α1 2α2 5α3. Solution
2 10 4
3α1
2α2
5α3
3
5 13
21150
5
1 11
6 20 20 6
15
3 9
2 1200
5 55
12
8 24
.
由于 + = + 及 + (- ) = 0，所以
(3) + 0 = . (加法单位元)
(4) + (- ) = 0 .(加法逆元)
为了方便，将 + (-) 记为 - ，称为 向量和的差(subtraction of and )，
它是向量的减法运算. 两个向量相减就 是对应的分量分别相减.
a1 b1
a1 b1
α
a2
,
β
b2
α
β
a2
b2
am
bm
am bm
2、向量的数乘运算
向量和数的数乘是一个向量，其大小 为| |与向量的大小乘积，其方向当 > 0 时与相同，当 < 0 时与相反，当 = 0 时是零向量，这时其方向可以是
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方程组向量形式 x11+x22+…+xnn =0 令 Amn =(1,2,…,n) ，x=(x1,x2,…,xn)T
方程组矩阵形式 Amn x = 0
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… amn
a1n a2n
=0
(2)
(3)
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第三章 线性方程组
§3.2 齐次线性方程组
一. 齐次线性方程组有非零解的条件
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第三章 线性方程组
§3.2 齐次线性方程组
小练习 设A为sn矩阵,则齐次线性方程组Ax = 0有非
零解的充分必要条件是
(
D
)
(A) A的行向量组线性无关;(B) A的列向量组线性无关; (C) A的行向量组线性相关;(D) A的列向量组线性相关; 齐次线性方程组Amn x = 0有非零解的判定过程 行 初等 阶 A 行变换 梯 形
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第三章 线性方程组
§3.2 齐次线性方程组
思考本节开始时提出的第二个问题
若齐次方程组有解, 则解是否唯一？ 分析：若Ax = 0有非零解, 则对任意数k, k 都是 Ax = 0的解, 即此时方程组的解是不唯一的. 若Ax = 0的解是唯一的, 则此时方程组只有零解.
非齐次线性方程组(nonhomogeneous ~) 解(to solve, solution) 解集(solution set),
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解向量(solution vector), 相容(consistent)
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a11 a12 … a1n a21 a22 … a2n 设A = … … … … , x = am1 am2 … amn
定理3.1. Amn x = 0有非零解 1,2,…,n 线性相关 r(A) < n. 推论3.1. m < n Amn x = 0有非零解. 推论3.2. Ann x = 0有非零解|A| = 0. 问：定理3.1的逆否命题形式如何？ Amn x = 0只有零解 1,2,…,n 线性无关 r(A) = n.
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第三章 线性方程组 §3.1 线性方程组和Gauss消元法
3. 阶梯阵的形状与线性方程组的解. ~ ~ Ax = b Ax = b 解的数目 [A, b]
~ ~ [A, b ]
2 3 4 1 2x1+3x2 x3 = 1 0 2 1 2 2x2+x3 = 2 无解 0 0 0 1 0 = 1此时，虽然系数矩阵和增广矩 r2 = r1+1
通解：线性方程组全部解的表达式
同解方程组(having the same set of solutions)；
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第三章 线性方程组 §3.1 线性方程组和Gauss消元法
a11 a12 … a1n a21 a22 … a2n 称A = … … … … 为(3.1)的系数矩阵 am1 am2 … amn (coefficient matrix),
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第三章 线性方程组
§3.2 齐次线性方程组
定理3.2. 设ARmn, 秩(A) = r. (1) 若r = n, 则Ax = 0没有基础解系; (2) 若r < n, 则Ax = 0确有基础解系, 且任 一基础解系中均含有nr个解向量. x1 c1,r+1 c1,r+2 c1n x2 c2,r+1 c2,r+2 c2n … … … … xr cr,r+1 cr,r+2 crn xr+1 = xr+1 1 + xr+2 0 + … + xn 0 xr+2 0 1 0 … … … … xn 0 0 1
a11 a12 … a1n a21 a22 … a2n [A, b] = … … … … am1 am2 … amn
(augmented matrix).
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b1 b2 为(3.1)的增广矩阵 … bm
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第三章 线性方程组 §3.1 线性方程组和Gauss消元法
二. Gauss消元法(Gauss’ method) 2x13x2+4x3 = 4 对换变换(swapping) x1+2x2 x3 = 3 2x1+2x2 6x3 = 2 1/2 倍乘变换(rescaling) 倍加变换(pivoting) x1+2x2 x3 = 3 2 (1) 2x13x2+4x3 = 4 阶梯形方程组 x1 + x2 3x3 = 1 (echelon form) x1+2x2 x3 = 3 x2+2x3 = 2 x22x3 = 2
(2)
最简形 (reduced echelon form)
x1
5x3 = 1 x2+2x3 = 2 0=0
由此可得原方程组的通解(general solution)
5c+1 或写成向量形式 x = 2c2 , c
自由未知量
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其中c为任意数.
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第三章 线性方程组 §3.1 线性方程组和Gauss消元法
(1)
3. 若方程组有解且不唯一, 则通解表达式如何？
一定有解
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零（平凡解）
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第三章 线性方程组
§3.2 齐次线性方程组
齐次方程组何时有 非零/非平凡解(nontrivial solution)？ a11x1+a12x2+… +a1nxn = 0 a21x1+a22x2+… +a2nxn = 0 (1) … … … … … … … am1x1+am2x2+…+amnxn = 0 a11 x1 a21 + x2 … am1 a12 a22 +… + x n … am2
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1
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x1+2x2 x3 = 3 x2+2x3 = 2 0=0
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第三章 线性方程组 §3.1 线性方程组和Gauss消元法
阶梯形
(echelon form) x1+2x2 x3 = 3 x2+2x3 = 2 0=0
x1 = 5x3+1 x2 = 2x32 x3 = x3(任意)
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第三章 线性方程组
§3.2 齐次线性方程组
定理3.2. 设ARmn, 秩(A) = r. (1) 若r = n, 则Ax = 0没有基础解系; (2) 若r < n, 则Ax = 0确有基础解系, 且任 一基础解系中均含有nr个解向量.
2. 阶梯形线性方程组的有三种基本类型.
例如:
2x1+3x2 x3 = 1 2x2+x3 = 2 0=1
x1x2+2x3 = 8 2x2 +x3 = 1 x3 = 5 x1+2x2+x3 + x4 = 2 x3+4x4 = 3
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leading variables
free variables
其中k1, k2, …, ks为常数.
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第三章 线性方程组
§3.2 齐次线性方程组
定理3.2. 设ARmn, 秩(A) = r, 对Ax = 0， (1) 若r = n, 则Ax = 0没有基础解系;
(2) 若r < n, 则Ax = 0有基础解系, 且任一基础解系中均含有nr个解向量. x1 = c1,r+1xr+1 + c1,r+2xr+2 + … + c1nxn x2 = c2,r+1xr+1 + c2,r+2xr+2 + … + c2nxn … … … … … … … … … xr = cr,r+1xr+1 + cr,r+2xr+2 + … + crnxn xr+1 = xr+1 xr+2 = xr+2 … … … … … … … … … xn = xn
第三章 线性方程组
教学内容和基本要求
教 学 内 容 §3.1 线性方程组和高斯消元法
§3.2 齐次线性方程组 §3.3 非齐次线性方程组
难度
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§3.1 线性方程组和高斯消元法 本节内容 一. 线性方程组的概念
二. 高斯消元法
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第三章 线性方程组 §3.1 线性方程组和Gauss消元法
提示 (1) r(A),更方便 λ 1 1
A = 1 λ 1 =(+2)(-1)2 1 1 λ
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第三章 线性方程组
§3.2 齐次线性方程组
二. 齐次线性方程组的解的性质
性质1. 若, 都是Ax = 0的解向量, 则 +也 是Ax = 0的解向量.
第三章 线性方程组 §3.1 线性方程组和Gauss消元法
x1 x2 , b= … xn
b1 b2 , … bm
vector of unknowns
vector of constants
则
a11x1+a12x2+…+a1nxn = b1 a21x1+a22x2+… a2nxn = b2 Ax = b. … … … … … … … am1x1+am2x2+…+amnxn = bm