线代第一章
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线性代数课件 第一章
0 0 0 0 0 0 ≠ ( 0 0 0 0) . 0 0 0
1 0 (5)单位矩阵 单位矩阵 0 1 E = En = L L O 0 0
称为单位矩阵（ 单位阵） 称为单位矩阵（或单位阵）. 单位矩阵
L 0 O L 0 L L L 1
a11 a 21 A= L a m1
简记为
a12 a 22 L am1
L a1 n L a2n L L L a mn
矩阵A的 (m, n)元
A = Am×n = (aij )m×n = (aij ).
这m × n个数称为 A的元素 ,简称为元 . 简称为元
a11 x1 + a12 x2 + L + a1n xn = b1 a x + a x +L + a x = b 21 1 22 2 2n n 2 LLLLLLLLLLLL am1 x1 + am 2 x2 + L + amn xn = bm
, , 系数 aij ( i =1,2,L m, j =1,2,L n) , 常数项 bi (i = 1,2,L,n)
全为1 全为
(6)方阵 方阵 主对角线
a11 a12 a21 a22 A= L L 副对角线 an1 an1
简记为
L a1n L a2 n L L L ann
n× n
矩 A 阵 的
( n, n) 元
A = An× n = ( aij )
.
矩阵的转置
a11 a 21 A= L a m1
定义3 如果矩阵A经过有限次的初等变换变成B 定义3 如果矩阵A经过有限次的初等变换变成B， 就称矩阵A与矩阵B等价， 就称矩阵A与矩阵B等价，记作 A ~ B ． 矩阵之间的等价具有自反性、对称性和传递性． 矩阵之间的等价具有自反性、对称性和传递性． 例如 用矩阵的初等行变换 解线性方程组
1 0 (5)单位矩阵 单位矩阵 0 1 E = En = L L O 0 0
称为单位矩阵（ 单位阵） 称为单位矩阵（或单位阵）. 单位矩阵
L 0 O L 0 L L L 1
a11 a 21 A= L a m1
简记为
a12 a 22 L am1
L a1 n L a2n L L L a mn
矩阵A的 (m, n)元
A = Am×n = (aij )m×n = (aij ).
这m × n个数称为 A的元素 ,简称为元 . 简称为元
a11 x1 + a12 x2 + L + a1n xn = b1 a x + a x +L + a x = b 21 1 22 2 2n n 2 LLLLLLLLLLLL am1 x1 + am 2 x2 + L + amn xn = bm
, , 系数 aij ( i =1,2,L m, j =1,2,L n) , 常数项 bi (i = 1,2,L,n)
全为1 全为
(6)方阵 方阵 主对角线
a11 a12 a21 a22 A= L L 副对角线 an1 an1
简记为
L a1n L a2 n L L L ann
n× n
矩 A 阵 的
( n, n) 元
A = An× n = ( aij )
.
矩阵的转置
a11 a 21 A= L a m1
定义3 如果矩阵A经过有限次的初等变换变成B 定义3 如果矩阵A经过有限次的初等变换变成B， 就称矩阵A与矩阵B等价， 就称矩阵A与矩阵B等价，记作 A ~ B ． 矩阵之间的等价具有自反性、对称性和传递性． 矩阵之间的等价具有自反性、对称性和传递性． 例如 用矩阵的初等行变换 解线性方程组
线性代数课件第一章 行列式
an1 an2
ann
0
0
(1) a a ( j1 j2 jn ) 1 j1 2 j2
j1 j2 jn
ann
(1) (1 j2
a a jn ) 11 2 j2
1 j2 jn
(1) (123 n) a11a22 ann
a11a22 ann
anjn anjn
a11 0
0
计算主对角线行列式 0 a22
a13 a23 a33
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a11a23a32 a12a21a33
说明 （1）三阶行列式共有 6 项，即 3! 项．
（2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的 乘积．
23
（3）每项的正负号都取决于位于不同行不同列 的三个元素的下标排列．
= 1 + 4 + 0 + 0 + 1+ 0 = 6 14
τ(314625)=5，314625是奇排列。 τ(314652)=6，314652是偶排列。
逆序数的性质
(12n) 0，
(n(n 1)321) n(n 1)
2
0 (i1i2
in )
n(n 1) 2
15
定义2.3 把一个排列中两个数i , j的位置互换而保持 其余数字的位置不动，则称对这个排列施 行了一个对换，记作(i , j). 两个相邻位置 数字的对换称为相邻对换，否则称为一般 对换。
数的排列称为奇排列。逆序数为偶数的排列称为偶排列。
如：314652中， 31是逆序，65是逆序，32是逆序，42是逆序 62是逆序，52是逆序数。逆序数τ(314652)=6
记τk = 排列j1j2…jn中数字k前面比k大的数的个数。则 τ(314652)= τ1 + τ2 + τ3 + τ4 + τ5 + τ6
线性代数第一章课件,数学
n(n − 1) = 2
新的排列，这种变换称为排列的一个对换. 如果将排列32514中的2与4对调，则 得到的新排列34512，它的逆序数 τ( 34512 )=2+2+2+0=6，为偶排列.这说明， 奇排列32514经过一次对换得到偶排列 34512。一般地，有以下定理。 定理1.1.1 一次对换改变排列奇偶性. 证 分两种情况考虑.
定义1.1.2 在一个排列中，若一个较 大的数排在一个较小的数的前面，则称这 两个数构成一个逆序. 一个排列中所有逆 序的总数称为这个排列的逆序数.用
τ(j1,j2,…,jn)表示排列j1,j2,…,jn的逆序数.
逆序数是偶数的排列称为偶排列，逆序数 是奇数的排列称为奇排列. 对一个n阶排列 j1,j2,…,jn ，如何求它 的逆序数呢？
τ (n(n − 1) L321)
= ( n − 1) + ( n − 2) + L + 2 + 1 + 0
排列32514为奇排列;排列n(n-1) …321, 当n=4k,4k+1时为偶排列;当n=4k+2,4k+3时 为奇排列. 定义1.1.3 把一个排列中某两个数的 位置互换，而其余的数不动，就得到一个
1.1.2 二阶与三阶行列式 本段的目的是叙述行列式这个概念的 形成，这需要从解线性方程组谈起. 设二元一次线性方程组 a11 x1 + a12 x 2 = b1 , a 21 x1 + a 22 x 2 = b2 .
（1.1.6）
用消元法去解此方程组.先分别用a22和-a12 去乘（1.1.6）式的一式和二式的两端，然 后再将得到的两式相加，得
D2 =
a11
线代1-1
D a11 a21 an1 0 0 a22 a2 n a a a ; 11 22 nn 0 0 ann
例8 证明
a21 a22 0 D
an1 an 2 ann
下三角行列式
a11
上三角行列式
N ( j1 j2 jn )
证
a21 D
0 a22
a11
a12 a1n
1 2 n 1 2 n
N( j j j ) a21 a22 a2 n a1 j a2 j anj 1 D
an1 an 2 ann
11
线性代数 第一章 行列式
主对角线下（上）方元素都为0 的行列式叫做上（下）三角行列式
a11 0 0 0 0 a a a ; 11 22 nn
第一章 行列式
§1.1 n 阶行列式的定义
§1.2 行列式的性质 §1.3 行列式按行（列）展开 §1.4 克莱姆法则
线性代数 第一章 行列式
1
§1.1
一．二阶和三阶行列式 1．二阶行列式 记号
n阶行列式的定义
a11 a21
a12 为二阶行列式，表示代数和 a11a22 a12a21 a22 a12 a11a22 a12 a21 a22
1
N ( n( n 1 )21 )
a1n a2 ,n1 an1
n
1
12 n
证毕
线性代数 第一章 行列式
13
进一步的结论 : 1）行列式的某行（或某列）元素全为0，则此行列式的值为0。
a11 a12 a1n a21 a22 a2 n
2）
D
解 P3 3 2 1 6
例8 证明
a21 a22 0 D
an1 an 2 ann
下三角行列式
a11
上三角行列式
N ( j1 j2 jn )
证
a21 D
0 a22
a11
a12 a1n
1 2 n 1 2 n
N( j j j ) a21 a22 a2 n a1 j a2 j anj 1 D
an1 an 2 ann
11
线性代数 第一章 行列式
主对角线下（上）方元素都为0 的行列式叫做上（下）三角行列式
a11 0 0 0 0 a a a ; 11 22 nn
第一章 行列式
§1.1 n 阶行列式的定义
§1.2 行列式的性质 §1.3 行列式按行（列）展开 §1.4 克莱姆法则
线性代数 第一章 行列式
1
§1.1
一．二阶和三阶行列式 1．二阶行列式 记号
n阶行列式的定义
a11 a21
a12 为二阶行列式，表示代数和 a11a22 a12a21 a22 a12 a11a22 a12 a21 a22
1
N ( n( n 1 )21 )
a1n a2 ,n1 an1
n
1
12 n
证毕
线性代数 第一章 行列式
13
进一步的结论 : 1）行列式的某行（或某列）元素全为0，则此行列式的值为0。
a11 a12 a1n a21 a22 a2 n
2）
D
解 P3 3 2 1 6
线性代数第一章ppt
线性代数第一章
目录
CONTENTS
• 绪论 • 线性方程组 • 向量与向量空间 • 矩阵 • 特征值与特征向量
01
绪论
线性代数的定义与重要性
线性代数是数学的一个重要分支，主要研究线性方程组、向量空间、矩阵 等线性结构。它在科学、工程、技术等领域有着广泛的应用。
线性代数的重要性在于其提供了一种有效的数学工具，用于解决各种实际 问题中的线性关系问题，如物理、化学、生物、经济等。
向量空间中的零向量是唯一确定的，且对于任意 向量a，存在唯一的负向量-a。
向量空间的运算与性质
向量空间中的加法满足交换律和结合 律，即对于任意向量a和b，存在唯一 的和向量a+b；且对于任意三个向量a、 b和c，(a+b)+c=a+(b+c)。
向量空间中的数乘满足结合律和分配 律，即对于任意标量k和l，任意向量a 和b，存在唯一的结果k*(l*a)=(kl)*a 和(k+l)*a=k*a+l*a。
圆等。
经济学问题
线性方程组可以用来描述经济现象和 规律，例如供需关系、生产成本、利
润最大化等。
物理问题
线性方程组可以用来描述物理现象和 规律，例如力学、电磁学、热力学等。
计算机科学
线性方程组在计算机科学中有广泛的 应用，例如机器学习、图像处理、数 据挖掘等。
03
向量与向量空间
向量的定义与性质
01 向量是具有大小和方向的量，通常用有向线 段表示。 02 向量具有模长，即从起点到终点的距离。
特征值与特征向量的计算方法
定义法
幂法
谱分解法
根据特征值和特征向量的定义， 通过解方程组Ax=λx来计算特征 值和特征向量。这种方法适用于 较小的矩阵，但对于大规模矩阵 来说效率较低。
目录
CONTENTS
• 绪论 • 线性方程组 • 向量与向量空间 • 矩阵 • 特征值与特征向量
01
绪论
线性代数的定义与重要性
线性代数是数学的一个重要分支，主要研究线性方程组、向量空间、矩阵 等线性结构。它在科学、工程、技术等领域有着广泛的应用。
线性代数的重要性在于其提供了一种有效的数学工具，用于解决各种实际 问题中的线性关系问题，如物理、化学、生物、经济等。
向量空间中的零向量是唯一确定的，且对于任意 向量a，存在唯一的负向量-a。
向量空间的运算与性质
向量空间中的加法满足交换律和结合 律，即对于任意向量a和b，存在唯一 的和向量a+b；且对于任意三个向量a、 b和c，(a+b)+c=a+(b+c)。
向量空间中的数乘满足结合律和分配 律，即对于任意标量k和l，任意向量a 和b，存在唯一的结果k*(l*a)=(kl)*a 和(k+l)*a=k*a+l*a。
圆等。
经济学问题
线性方程组可以用来描述经济现象和 规律，例如供需关系、生产成本、利
润最大化等。
物理问题
线性方程组可以用来描述物理现象和 规律，例如力学、电磁学、热力学等。
计算机科学
线性方程组在计算机科学中有广泛的 应用，例如机器学习、图像处理、数 据挖掘等。
03
向量与向量空间
向量的定义与性质
01 向量是具有大小和方向的量，通常用有向线 段表示。 02 向量具有模长，即从起点到终点的距离。
特征值与特征向量的计算方法
定义法
幂法
谱分解法
根据特征值和特征向量的定义， 通过解方程组Ax=λx来计算特征 值和特征向量。这种方法适用于 较小的矩阵，但对于大规模矩阵 来说效率较低。
大一线性代数第一章知识点
大一线性代数第一章知识点线性代数是现代数学的一个重要分支，它研究向量空间和线性映射之间的关系。
在大一的线性代数课程中，第一章是介绍向量和矩阵的基本概念。
以下将对第一章的几个知识点进行论述。
一、向量的定义和性质在线性代数中，向量是一个有大小和方向的量。
它可以用一个有序的数组表示，每个数组元素代表向量在某个坐标轴上的分量。
向量有很多基本性质，包括加法、数乘、模长等。
其中，向量的加法和数乘是线性代数中最基本的运算。
向量的加法满足交换律和结合律，数乘满足结合律和分配律。
二、向量空间的定义和性质向量空间是指具有加法和数乘运算的集合，满足一定的公理。
在线性代数中，向量空间是向量运算的集合，它具有许多基本性质。
向量空间中的向量可以进行加法和数乘运算，并且满足一些规律，如交换律、结合律和分配律等。
三、矩阵的定义和性质矩阵是线性代数中另一个重要的概念。
它由若干行和列组成的矩形阵列。
矩阵可以表示为一个矩阵元素的矩阵，每个矩阵元素代表矩阵在某个位置上的值。
矩阵有许多基本性质，包括加法、数乘、乘法等。
矩阵的加法和数乘满足一些基本规律，如交换律和结合律。
矩阵的乘法是线性代数中比较复杂的运算，它是指将两个矩阵相乘得到一个新的矩阵，满足一定的规律。
四、矩阵的行列式和逆矩阵行列式是一个与矩阵相关的数值，它可以用来判断一个矩阵的特征。
对于一个n阶矩阵，它的行列式是一个数值，代表了矩阵的一些性质。
行列式有一些基本性质，如反演性、行列式的性质和行列式的计算方法等。
逆矩阵是指一个矩阵与其逆矩阵相乘得到单位矩阵。
只有非奇异矩阵才有逆矩阵，奇异矩阵没有逆矩阵。
矩阵的逆矩阵具有一些基本性质，如逆矩阵的性质和逆矩阵的计算方法等。
五、线性方程组的解法线性方程组是线性代数中的一个重要概念，它由一系列线性方程组成。
线性方程组的解是指使得方程组成立的未知数的值。
线性方程组的解法有很多种，包括高斯消元法、矩阵求逆法和向量法等。
高斯消元法是一种常用的解线性方程组的方法，它通过一系列消元和代入操作，将方程组转化为简化的阶梯形矩阵，进而求得方程组的解。
线代第一章
如：31245 就是一个 5 级排列。 例1 写出所有的 3 级排列： 123 132 213 231 312 321
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可见，第一个位置有 3 种选择，第二个位置 有 2 种选择，第三个位置有 1 种选择，所以所有 的 3 级排列一共有
3 2 1 3! 6
个。显然，所有的 5 级排列一共有 5！= 120 个。 容易得出，n 级排列一共有 n! 个。而在 n
第一章
行列式
第一节 二阶与三阶行列式 第二节 n 阶行列式
第三节 行列式的性质
第四节 行列式的按行（列）展开 第五节 克莱姆法则
上一页 下一页
第一节 二阶与三阶行列式
一、二阶行列式
二、三阶行列式 三、小结
一、二阶行列式
用消元法解二元线性方程组
a11 x1 a12 x2 b1 , a21 x1 a22 x2 b2 .
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a11 a12 a13 D a21 a22 a23 列标 a31 a32 a33 行标 三阶行列式的计算 a11 a12 a13 a11 a12 (1)沙路法 D a21 a22 a23 a21 a22 a31 a32 a33 a31 a32
D a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31 .
记 a11
a31
a21 a31
a12 a13 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 (6) a a a a a a a a a 11 23 32 12 21 33 13 22 31, a32 a33
（6）式称为数表（5）所确定的三阶行列式.
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可见，第一个位置有 3 种选择，第二个位置 有 2 种选择，第三个位置有 1 种选择，所以所有 的 3 级排列一共有
3 2 1 3! 6
个。显然，所有的 5 级排列一共有 5！= 120 个。 容易得出，n 级排列一共有 n! 个。而在 n
第一章
行列式
第一节 二阶与三阶行列式 第二节 n 阶行列式
第三节 行列式的性质
第四节 行列式的按行（列）展开 第五节 克莱姆法则
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第一节 二阶与三阶行列式
一、二阶行列式
二、三阶行列式 三、小结
一、二阶行列式
用消元法解二元线性方程组
a11 x1 a12 x2 b1 , a21 x1 a22 x2 b2 .
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a11 a12 a13 D a21 a22 a23 列标 a31 a32 a33 行标 三阶行列式的计算 a11 a12 a13 a11 a12 (1)沙路法 D a21 a22 a23 a21 a22 a31 a32 a33 a31 a32
D a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31 .
记 a11
a31
a21 a31
a12 a13 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 (6) a a a a a a a a a 11 23 32 12 21 33 13 22 31, a32 a33
（6）式称为数表（5）所确定的三阶行列式.
《线代》第1章1
T
例1.2.8
1 2 3 令A= 0 5 6 ，B=
T
T T
0 1 1 5
，C=
1 2
2 3
,
求矩阵A ,B ,C .
矩阵的转置可视为一种矩阵运算，它满足下列算律
(假设运算都是可行的)：
(1) 二次互反性：(A ) = A ； (2) 可加性：(A+B) = A +B ；
析的一种技巧，故分块矩阵的运算规则与(数字) 矩阵的运算规则相类似，并在运算可行时有相 同的运算性质. 例1.3.4 设A =[ a ij ] m n ,B为m阶对角矩阵,C为n阶
对角矩阵. 试求矩阵AC和BA.
*例1.3.5 解 令
设 A=
8 因 T =2，故 A 9 =( T )9 = ( T ) T= 2 8 T
1 2 3 5
，则 A =[ ,- ,3 ,-2 ]= [1,-1,3,-2]= T,
1 1 3 2 2 2 6 4 3 3 9 6 ，求矩阵 5 5 15 10
二．矩阵的乘法
定义1.2.3 设A =[ a ij ] ms与B =[
bij ] s n
，则规定
c ij
矩阵A与B 的乘积是一个m×n矩阵C = [
其中 cij = ai1b1 j ai 2 b2 j ais bsj
s k 1
] mn ,
j 1,2,, n)
(i 1,2,, m ; = a ik bkj ，
定义 1.2.5 设A是m×n矩阵，若 A =A，则称A 为对称矩阵；
若A =-A，则称A为反称矩阵. 易见，对称矩阵与反称矩阵均为n阶方阵. *例1.2.10 设列矩阵A =[ A=1, E为n阶单位矩阵, ] 满足 A
例1.2.8
1 2 3 令A= 0 5 6 ，B=
T
T T
0 1 1 5
，C=
1 2
2 3
,
求矩阵A ,B ,C .
矩阵的转置可视为一种矩阵运算，它满足下列算律
(假设运算都是可行的)：
(1) 二次互反性：(A ) = A ； (2) 可加性：(A+B) = A +B ；
析的一种技巧，故分块矩阵的运算规则与(数字) 矩阵的运算规则相类似，并在运算可行时有相 同的运算性质. 例1.3.4 设A =[ a ij ] m n ,B为m阶对角矩阵,C为n阶
对角矩阵. 试求矩阵AC和BA.
*例1.3.5 解 令
设 A=
8 因 T =2，故 A 9 =( T )9 = ( T ) T= 2 8 T
1 2 3 5
，则 A =[ ,- ,3 ,-2 ]= [1,-1,3,-2]= T,
1 1 3 2 2 2 6 4 3 3 9 6 ，求矩阵 5 5 15 10
二．矩阵的乘法
定义1.2.3 设A =[ a ij ] ms与B =[
bij ] s n
，则规定
c ij
矩阵A与B 的乘积是一个m×n矩阵C = [
其中 cij = ai1b1 j ai 2 b2 j ais bsj
s k 1
] mn ,
j 1,2,, n)
(i 1,2,, m ; = a ik bkj ，
定义 1.2.5 设A是m×n矩阵，若 A =A，则称A 为对称矩阵；
若A =-A，则称A为反称矩阵. 易见，对称矩阵与反称矩阵均为n阶方阵. *例1.2.10 设列矩阵A =[ A=1, E为n阶单位矩阵, ] 满足 A
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b2 bn 0 0 0 , ai 0, i 1,2,...n. a2 0 an
上面的行列式称为“三线型”行列式，指的是行列式 出了某行，某列和对角线元素或次对角线元素非零 外，其余元素均为零。 计算方法：变为上三角行列式或下三角行列式
bi d i 答案： a1a2 an (a0 ) i 1 ai
课后习题8(6)，2010年期末考题 计算行列式
1 a1 1 1 1 a2 1 1
1 1
，其中 a1a2 an 0.
1 an
课后习题 11 问 , 取何值时，齐次线性方程组
x1 x2 x3 0, x1 x2 x3 0, x1 2 x2 x3 0
典
型
例
题
a b b b b a b b 例2: 计算 n 阶行列式 D b b a b . b b b a
可以按上例计算的行列式的共同特点：
1. 行列式每行元素的和相同。故，可把其他列元素 加到第一列，然后提取第一列的公因子，把第一列 元素变为1. 2. 行列式不同行元素只有两个或三个元素不同，其 余全相同。故，可用第一行元素去减其他行元素， 把行列式变为(上、下)三角行列式。
0 0 0 2 cos 1
0 0 0 1 2 cos
cos n .
―三线型”行列式，主对角线及两个次对角线之外全为零元素
评注: 为了将Dn展开成用与Dn同形的行列式Dn–1, Dn–2表示, 本例必须按第n行(或第n列)展开, 不能用第1 行(或第1列)展开, 否则所得的低阶行列式不是与Dn同 形的行列式, 从而无法进行下一步证明. 本题使用的是数学归纳法.
小结: 计算行列式的方法比较灵活, 同一行列式可 以有多种计算方法: 有的行列式计算需要几种方法综 合应用. 在计算时, 首先要仔细考察行列式在构造上的 特点, 利用行列式的性质对它进行变换后, 再考察它是 否能用常用的几种方法.
例：计算n+1阶行列式
x a1 Dn1 a1 a1 a1
a1 x a2 a2 a2
a2 an1 1 a2 an1 1 x an1 1 x an 1 1 a3 a3
答案 ( x a1 )( x a2 )( x an )
课后习题 6(5) 证明
x 1 0 0 x 1 0 a0 0 a1 0 a2
0 0
0
2
0 0
3
0
0 0 ______ . 0
4
2009年期末考题 计算行列式
a1 0 0 0 1
a1 a2 0 0 1
0 a2
0 0 0 1
0 0 0 an2008年期末考题 计算行列式
1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 2
评注: 本题所给行列式各行(列)都是某元素的不 同方幂, 而其方幂次数或其排列与范德蒙行列式不完 全相同, 需要利用行列式的性质(如提取公因子, 调换 各行(列)的次序等)将此行列式化成范德蒙行列式.
例6: 证明 cos 1 1 2 cos 0 1 Dn 0 0 0 0
0 1 2 cos 0 0
第一章
习题课
二阶行列式的计算——对角线法则
主对角线 副对角线
a11 a12 = a11a22 – a12a21 a21 a22
三阶行列式的计算——对角线法则
a11 a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 a33
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32 .
0 0
0 0 1 an
x a n 1
an x n an1 x n1 a1 x a0
课后习题8（1）计算n阶行列式
a 1
1
其中对角线上元素都是a, 未写出元素都是0.
a
n n 2
答案： a a
课后习题8（3）计算行列式
Dn1
an (a 1)n (a n)n a n1 (a 1)n1 (a n)n1 a 1 a 1 1 an 1
(2005年数学一考研真题) 例 计算n+1阶行列式
a1n Dn1 a n a n 1
n 2
a1n1b1 a
n1 2 2
a1n 2 b12 a
n 2 2 2 2
a1 b1n1
n1 2 2
b1n b n bn1
n 2
b
b
n1 an1 bn1
n 2 2 an1 bn1
n
例: 计算行列式(和课后题6(5)类似)
Dn1
a0 a1 an1 1 x 0 0 0 x 0 0 1
an 0 0 x
上面的行列式称为“爪形三线型”行列式
答案： a0 x n a1 x n1 an1 x an
例1: 计算行列式
0
a 21 D a 31
0 0
a12 a 22 a 32 a42 a52
a13 0 0 a 23 a 24 a 25 a 33 a 34 a 35 . a43 0 0 a53 0 0
例2: 计算
1 2 Dn 3 n
1 2 2 2 3 2 n
1 n 2 n 3 . n n
答案： n!(n 1)!(n 2)!2! 1!.
行列式按行(列)展开
在 n 阶行列式D中, 把元素 aij 所在的第 i 行和第 j 列元素划去后, 留下来的 n–1 阶行列式叫做(行列式D 的关于)元素aij 的余子式, 记作 Mij . 即 记 Aij = (–1)i+j Mij, 称 Aij 为元素 aij 的代数余子式. n n D 当i j aki Akj aik A jk D ij 0 当i j k 1 k 1 1 当 i j ij 0 当 i j
答案：
n1 i j 1
(i j )
课后习题8（4）计算行列式
an D2 n cn
n
bn a1 c1 b1 d1 dn
答案： D2 n (ai d i bi ci )
i 1
课后习题8（5）计算行列式
Dn det(aij ), 其中aij | i j | .
0 1 1 1 1 1 D 4 2 1 20 0 ; D1 3 2 1 40 ; 9 3 1 28 3 1 1 0 1 D2 4 3 1 60 ; 9 28 1 1 1 0 D 4 2 3 20 ; 9 3 28
由克莱姆法则, 得 D1 2, b D2 3, c D3 1. a D D D 于是, 所求的多项式为: f(x) = 2x2 – 3x + 1,
例3: 计算
x a1 Dn1 a1 a1
a1 x a2 a2
a2 a2 x a3
n
a3 a3 a3 a4
n
an an an . x
答 案 ： ( x ai ) ( x ai )
i 1 i 1
例: 计算行列式 a0 b1 d1 a1 Dn1 d 2 0 dn 0
逆序数
在一个排列( i1 i2 · is · it · in )中, 若数 is>it , 则称 · · · · · · 这两个数组成一个逆序. 一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序 数．
n 阶行列式的定义
D a11 a21 a n1 a12 a1n a22 a2 n an 2 ann
ab n1 an1bn1
例7: 求一个二次多项式f(x)=ax2+bx+c, 使得 f(1)=0, f(2)=3, f(–3)=28.
解: 由题意得 f(1) = a + b + c = 0, f(2) = 4a + 2b + c = 3, f(–3) = 9a – 3x + c = 28. 这是一个关于三个未知数a, b, c的线性方程组.
p1 p2 pn
( 1) t a1 p1 a 2 p2 a npn
或
D
p1 p2 pn
( 1) t a p1 1a p2 2 a pnn
a11
a12 a1n a 22 a 2 n 0
0 a 22
上三角行列式
0 0
a11 a 21 a n11 a n1
n
例: 计算行列式
a1 0 Dn1 0 b1 0 0 an b2 bn 0 0 d1 d2 dn a0 , ai 0, i 1,2,...n. a2
上面的行列式是另一种“三线型”行列式
bi d i 答案： a1a2 an (a0 ) i 1 ai
a nn
0 0 0 0 0 a nn
下三角行列式
a n12 a n1n1 an2 a nn 1
1
对角行列式
2
,
2
1
n
n
n 阶行列式的性质
性质1: 行列式与它的转置行列式相等, 即DT = D. 性质2: 互换行列式的两行(列), 行列式变号. 推论: 如果行列式有两行(列)完全相同, 则此行列 式为零. 性质3: 行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以 同一数k, 等于用数k乘此行列式. 推论: 行列式的某一行(列)中所有元素的公因子 可以提到行列式符号的外面. 性质4: 行列式中如果有两行(列)元素成比例, 则 此行列式为零． 性质5: 若行列式的某一列(行)的元素都是两数之 和, 则该行列式等于两个行列式之和. 性质6: 把行列式的某一列(行)的各元素乘以同一 数然后加到另一列(行)对应的元素上去, 行列式不变.