相似多边形讲义

平行线分线段成比例及相似多边形讲义【知识点拨】例1、下列命题正确的是（）A、相似多边形是全等多边形B、不全等的多边形不是相似多边形C、全等多边形是相似多边形D、不相似的多边形可能是全等多边形（变式）1、下列说法中正确的是（）A、两个三角形不全等，那么它们也不相似B、两个三角形不相似，那么它们也不全等C、两个相似三角形一定不全等D、两个全等三角形一定不相似例2、观察下面的图形，如图形状相同的有。

知识点一：图形的相似形状相同的图形叫做相似图形。

（1）两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到；（2）全等的图形可以看成是一种特殊的相似，即不仅形状相同，大小也相同；（3）判断两个图形是否相似，就是看两个图形是不是形状相同，与其他因素无关。

2、视力表对我们来说并不陌生．如图是视力表的一部分，其中开口向上的两个“E”之间的变换是（）A、平移B、旋转C、对称D、相似知识点二、相似多边形1、相似多边形的定义：对应角相等、对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边的比叫做它们的相似比．2、相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边成比例．性质：相似多边形的周长之比等于相似比；相似多边形的面积之比等于相似比的平方．考点：相似多边形1、一个多边形的边长分别是2、3、4、5、6，另一个和它相似的多边形的最短边长为6，则这个多边形的最长边为。

2、两个相似六边形的周长分别是l1，l2，面积分别是S1，S2，若 l1：l2=2︰3，S 2-S1=30，则S1= ______，S2=_____.3.如图中的两个梯形相似，求出未知边x、y、z的长度和α、β的大小．4、△ABC 的三边长分别为2、10、2，△DEF 的两边长分别为1和5，如果△ABC ∽△DEF ，那么△DEF 的第三边长为（ ）A 、22B 、2C 、2D 、225、一个多边形的边长分别是4 cm 、5 cm 、6 cm 、4 cm 、5cm ，和它相似的一个多边形最长边为8 cm ，那么这个多边形的周长是（ ）A 、12 cmB 、18 cmC 、32 cmD 、48 cm6、Rt △ABC 的两条直角边分别为3 cm 、4 cm ，与它相似的Rt △A'B'C'的斜边为20 cm ，那么Rt △A'B'C'的周长为（ ）A 、48 cmB 、28 cmC 、12 cmD 、10 cm7、如果一个矩形对折后和原来的矩形相似，则此矩形的长边与短边之比为（ ）A 、2：1B 、4：11C 、2：1D 、1.5：18、两个相似三角形的对应高的比为1：2，其中小三角形的最长边为10 cm ，那么另一个三角形的最长边为________。

9、如图所示，已知矩形ABCD ，AB=6 cm ，BC=8 cm ，E 、F 分别是AB 、CD 上的点，且AE=DF=4 cm ，两动点M 、N 分别从C 、F 两点同时出发沿CB 、FE 均以2 cm/s 的速度分别向B 、E 运动。

猜测当M 、N 运动多长时间时，矩形CFNM 与矩形AEFD 相似？10、如图，△ABC与△DEF 是相似图形，且AB=1.7cm,BC=2.9cm,AC=3.7cm,DE=3.4cm, 050A ∠=,070B ∠= 求 DF,EF,∠C, ∠D, ∠E, ∠F 。

11、已知四边形ABCD ∽四边形1111D C B A ，且11B A AB =23，如果两个四边形的面积差为252cm ,求这两个四边形的面积.12、已知两个相似四边形,其中一个四边形的四边长分别为2,3,4,5,另一个四边形对应的边长分别为,,,,d c b a 求d c b a dc b a -+++++的值.知识点三：判断两个多边形相似 判断两个多边形相似，必须同时具备：（1）边数相同；（2）对应角相等；（3）对应边的比相等。

1、下列各组图形：① 两个平行四边形；② 两个圆；③ 两个矩形；④ 有一个内角都是80°的两个等腰三角形；⑤ 两个正五边形；⑥ 有一个内角是100°的两个等腰三角形。

其中一定是相似形的是 （填序号）。

2、下列多边形中，一定相似的是（ ） A 、两个矩形 B 、两个菱形C 、两个正方形D 、两个平行四边形3、下列说法正确的是（ ） A 、两个等腰三角形相似 B 、所有的等腰梯形相似C 、两个等腰直角三角形相似D 、所有的正多边形相似4、下列说法正确的是（ ） A 、两个等腰三角形相似 B 、所有的等腰梯形相似C 、两个等腰直角三角形相似D 、所有的正多边形相似5、下列说法中，错误的是（ ） A 、所有的等边三角形都相似 B 、和同一图形相似的两图形也相似C 、所有的等腰直角三角形都相似D 、所有的矩形都相似知识点四、平行线分线段成比例 1、平行线分线段成比例定理： （1）如图,设三条平行线123l l l ∥∥,则AB DEBC EF.此定理称为平行线分线段成比例定理,它的逆定理仍然成立.l 3l 2l 1FE D CB A（2）平行线分线段成比例定理的推论：如图，在三角形中，如果DE BC ∥，则AD AE DEAB AC BC==（3） 平行的判定定理：如上图，如果有BCDEAC AE AB AD ==，那么DE ∥ BC 。

考点：平行线分线段成比例定理1、如图，DE BC ∥，且DB AE =,若510AB AC ==，，求AE 的长。

2、如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，AD a BC b E F ==，，，分别是AD BC ， 的中点，AF 交BE 于P ，CE 交DF 于Q ，求PQ 的长。

EDCBAQPFED CBA ABCDEEDC BA3.如图，在ABC ∆中，M 是AC 的中点，E 是AB 上一点，且14AE AB =，连接EM 并延长，交BC 的延长线于D ，则BCCD=_______.4、如图，△ABC 中，CD 平分∠ACB 交AB 于D ，DE ∥BC 交AC 于E 点，若AD ︰DB ＝2︰3，AC ＝15，求DE 的长5、已知：如图，在ABC ∆中，12=AB ，6=AE ，4=EC ，且AD AE DBEC=（1）求AD 的长；（2）求证：ACEC ABDB =。

MEDCBA【课堂练习】1、如图1－4－11，有三个矩形，其中是相似形的是（ ） A ．甲和乙 B ．甲和丙C ．乙和丙D ．甲、乙和丙2、如图，求作线段x ，使abcx 2=，下面各种作法中正确的是（ ）3、已知如图，D 是△ABC 的边BC 的中点，且31=BE AE ，求FCAF的值。

4、如图，BD ∶DC ＝5∶3，E 为AD 的中点，求BE ∶EF 的值。

【知识综合练习】 一、选择题：1、如图3，在△ABC 中，DE ∥BC 交AB 于D ，交AC 于E ，下列 不能成立的比例式一定是（ ） A ．EC AE DB AD = B ．AE ACAD AB =C ．DB EC AB AC = D ．BCDEDB AD =2、如图4，E 是□ABCD 的边CD 上一点，CD CE 31=，AD ＝12，那么CF 的长为（ ）A ．4B ．6C ．3D ．123如图5，□ABCD ，E 在CD 延长线上，AB ＝10，DE ＝5，EF ＝6，则BF 的长为（ ）A ．3B ．6C ．12D ．164、如图6，在ABC 中，AB=3AD, DE//BC, EF//AB, 若AB=9, DE=2, 则线段FC 的长度是（ ） A. 6 B. 5C. 4D. 35、.△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比是2∶3，那么△A ′B ′C ′与△ABC 面积的比是 ( )A.4∶9B.9∶4C.2∶3D.3∶26、.将一个五边形改成与它相似的五边形，如果面积扩大为原来的9倍，那么周长扩大为原来的 ( )A.9倍B.3倍C.81倍D.18倍7、ABCD 中，AE ∶ED =1∶2，S △AEF =6 cm 2，则S △CBF 等于( )A.12 cm 2B.24 cm 2C.54 cm 2D.15 cm 28、如图4—8—2，把一个矩形纸片ABCD 沿AD 和BC 的中点连线EF 对折，要使矩形AEFB 与原矩形相似，则原矩形长与宽的比为（ ） A.2∶1B.3∶1C.2∶1D.4∶1二、填空题1、如图，321////l l l ，AM ＝2，MB ＝3，CD ＝4.5，则ND ＝________，CN ＝________；2、如图，D 、E 分别为AB 的三等分点，DF ∥EG ∥BC ，若BC ＝12，则DF ＝_____ ，EG ＝________；3、如图△ABC 中，DE ∥BC ，若AE ∶EC ＝2∶3，DB -AD ＝3，则AD ＝________，4、.△ABC∽△A′B′C′，相似比是3∶4，△ABC的周长是27 cm，则△A′B′C′的周长为________.5、.两个相似多边形对应边的比为3∶2，小多边形的面积为32 cm2，那么大多边形的面积为________.6、若两个三角形相似，且它们的最大边分别为6 cm和8 cm，它们的周长之和为35 cm，则较小的三角形的周长为________1AB，延长CD到F，使DF=DC，EF7、如图，在ABCD中，延长AB到E，使BE=2交BC于G交AD于H，则△BEG与△CFG的面积之比是________.8、如图，在Rt△ABC中，AD为斜边BC上的高，若S△CAD=3S△ABD，则AB∶AC等于________.三、解答题1、如图，已知△ABC中AB=AC，AD⊥BC，M是AD的中点，CM交AB于P，DN∥CP交AB于N，若AB=6cm，求AP的值.2、如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝15，CD＝30，点E、F分别为AD，BC 上一点，且EF∥AB，若梯形AEFB∽梯形EDCF，试求线段EF的长。

3、如图，△ABC中，AF∶FD＝1∶5，BD＝DC，求：AE∶EC．4、△ABC∽△A′B′C′，12ABA B='',边上的中线CD＝4cm，△ABC的周长为20cm，△A′B′C′的面积是64 cm2，求：（1）A′B′边上的中线C′D′的长；（2）△A′B′C′的周长（3）△ABC的面积。