材料力学(I)第五章ppt课件
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材料力学课件第5章
M
zM
x
等截面梁
y
注意 当梁为变截面梁时, max 并不一定
发生在|M|max 所在面上.
22
5.3 横力弯曲时梁横截面上的正应力 弯曲正应力强度条件
h
常用图y形Wz
c b
Wz =Iz /ymax
z
Wz
Iz h
bh3 2 12 h
bh2 6
2
h2
h1
y
c
z
Wz
Iz h1
1 ( b1h13 h1 6
z
于是
M
E
Iz
M
得
1 M
EIz
y
x
代入
E
y得
My
Iz
15
5.2 纯弯曲时梁横截面上的正应力
常用图形y、Iz
h
y
1.矩形
dy
c
y z
Iz
Ay2 d A
h 2
y2b d y bh3
h 2
12
b
y
同理：
Iy
hb3 12
z
Iz
b1h13 12
b2h23 12
c
b2 b1
同理： I y
h1b13 12
y
12 rp
mn
x2
x
x1
12
dx
'=
x2 FN1
FN2
'=
38
5.4 横力弯曲时梁横截面上的切应力 弯曲切应力强度条件
F
Fx 0
FN 2 FN1 dx b
x1
y
12 rp mn
x2
x
12
dx
孙训方第五版材料力学(I)第五章
3
五邑大学土木建筑系：材料力学
第五章 梁弯曲时的位移
(a)
(b)
直梁弯曲时的挠度和转角这两个位移不但与梁的弯曲 变形程度(挠曲线曲率的大小)有关，也与支座约束的条件 有关。图a和图b所示两根梁，如果它们的材料和尺寸相同，
所受的外力偶之矩Me也相等，显然它们的变形程度(也就
是挠曲线的曲率大小)相同，但两根梁相应截面的挠度和 转角则明显不同。
q w
q l 3 6lx2 4 x 3 24 EI
qx 3 l 2lx2 x 3 挠曲线方程 w 24 EI
23
五邑大学土木建筑系：材料力学
第五章 梁弯曲时的位移
根据对称性可知，两支座处的转角qA及qB的绝对值相
等，且均为最大值，故
q max
ql 3 q A qB 24 EI
以x为自变量进行积分得 x2 EIw F lx C1 2
lx 2 x 3 EIw F 2 6 C1 x C2
该梁的边界条件为：在 x=0 处 w 0，w =0
于是得
15
C1 0，C2 0
五邑大学土木建筑系：材料力学
§5-1 梁的位移——挠度和转角
直梁在对称平面xy内弯曲时其原来的轴线AB将弯曲成 平面曲线AC1B。梁的横截面形心(即轴线AB上的点)在垂直 于x轴方向的线位移w称为挠度(deflection)，横截面对其原 来位置的角位移q 称为横截面的转角(angle of rotation)。
2
五邑大学土木建筑系：材料力学
挠曲线近似微分方程
b EIw1 M 1 x F x l 积分得
五邑大学土木建筑系：材料力学
第五章 梁弯曲时的位移
(a)
(b)
直梁弯曲时的挠度和转角这两个位移不但与梁的弯曲 变形程度(挠曲线曲率的大小)有关，也与支座约束的条件 有关。图a和图b所示两根梁，如果它们的材料和尺寸相同，
所受的外力偶之矩Me也相等，显然它们的变形程度(也就
是挠曲线的曲率大小)相同，但两根梁相应截面的挠度和 转角则明显不同。
q w
q l 3 6lx2 4 x 3 24 EI
qx 3 l 2lx2 x 3 挠曲线方程 w 24 EI
23
五邑大学土木建筑系：材料力学
第五章 梁弯曲时的位移
根据对称性可知，两支座处的转角qA及qB的绝对值相
等，且均为最大值，故
q max
ql 3 q A qB 24 EI
以x为自变量进行积分得 x2 EIw F lx C1 2
lx 2 x 3 EIw F 2 6 C1 x C2
该梁的边界条件为：在 x=0 处 w 0，w =0
于是得
15
C1 0，C2 0
五邑大学土木建筑系：材料力学
§5-1 梁的位移——挠度和转角
直梁在对称平面xy内弯曲时其原来的轴线AB将弯曲成 平面曲线AC1B。梁的横截面形心(即轴线AB上的点)在垂直 于x轴方向的线位移w称为挠度(deflection)，横截面对其原 来位置的角位移q 称为横截面的转角(angle of rotation)。
2
五邑大学土木建筑系：材料力学
挠曲线近似微分方程
b EIw1 M 1 x F x l 积分得
材料力学第五章
M O0:M dM d( x x() x )d M FQ ( (x x) - ) M M ( x 2) - M F 1 Q ( x x x ) 1 2 d F x Q - (1 2 x q )d ( x x) d x 2 0
d2d M x(2x)dF d Q x (x)q(x)
精品PPT
§5-5 剪力、弯矩和分布载荷集度间的微分关系
M图 Mmax位置
q>0 q q<0
M">0 M"<0
FQ=0
CF
+ _
FC
FQ>0 FQ<0
FQ变号处
Me C
C
Me C
紧靠C的 某一侧面
精品PPT
§5-5 剪力、弯矩和分布载荷集度间的微分关系 三、利用微分关系作剪力弯矩图
1．用微分关系判断分段点间FQ、M图形态； 2．用计算法则(或积分关系)计算分段点FQ、M值； 3．分段点间连线；
一、梁的载荷(zài hè)及支座反力
1．载荷(zà集i h中è载)：荷(集中力、集中力偶)， 分布载荷(均布载荷、分布载荷)。
名称
图示法
符号(单位)
(a)集中力 (b)分布载荷
F1 Fy2 F2 Fx2
q(x)
x
F(N)
x q(x)(N/m)
(c)均布载荷
q x q(N/m)
(d)集中力偶
Me Me
(向上的横向力、截面左侧顺时针力矩和截面右侧逆 时针力矩对该截面产生正的弯矩)
精品PPT
§5-3 剪力与弯矩
三、弯曲(wānqū)内力的计算法则
*3．判断外力产生(chǎnshēng)剪力、弯矩正负的
图例：
第5章 材料力学基本知识 课件
平面面平行行力力系（如均布荷载）可合成为一一个合力力，
平面面任意力力系向平面面内任一一点简化可以得到一一个力力和 一一个力力偶，最终简化为一一个合力力。
基本形式
平 面面 任 意 力力 二二矩式 系 平 衡 方方 程 三矩式
A、B、C不共线
第5章 材料力力学基本知识
5.1 材料力力学概述 5.2 外力力、内力力、截面面法和应力力的概念 5.3 变形和应变
5.2外力力、内力力、截面面法和应力力的概念
1.外力力和内力力
外力力
其他物体作用用在研究对象上的作用用力力统称为外力力， 如支支座反力力、荷载等
内力力
物体在外力力作用用下，内部各质点的相对位置将发生生 改变，其质点的相互作用用力力也会发生生改变。这种由于 物体受到外力力作用用而而引起的内力力的改变量，称为“附加 内力力”，简称为内力力。
荷载未作用用时
荷载作用用下
③ 具有足足够的稳定性——某些细⻓长杆 F
件（或薄壁构件）在轴向压力力达到 一一定的数值时，会失去原来的平衡 状态而而丧失工工作能力力，这种现象称 为失稳。
所谓稳定性，是指构件维持原有平衡状 态的能力力。
材料力力学的研究任务：在保证构件满
足足强度、刚度和稳定性要求的前提下，以 最经济的代价为构件选择适合的材料，确 定合量的截面面形状及尺寸寸，提供必要的理 论基础、计算方方法和实验方方法。
综上所述
材料力力学研究的是连续均匀的、各向同性 的理想弹性体，且限于小小变形范围内。
2.材料力力学的任务
各种工工程结构都是由若干个构件组成的，这些构件 工工作时都要承受力力的作用用。为确保构件在规定的工工作 条件和使用用寿命期间能正常工工作，须满足足以下要求：
① 具有足足够的强度——构件在外力力作用用下不发生生
平面面任意力力系向平面面内任一一点简化可以得到一一个力力和 一一个力力偶，最终简化为一一个合力力。
基本形式
平 面面 任 意 力力 二二矩式 系 平 衡 方方 程 三矩式
A、B、C不共线
第5章 材料力力学基本知识
5.1 材料力力学概述 5.2 外力力、内力力、截面面法和应力力的概念 5.3 变形和应变
5.2外力力、内力力、截面面法和应力力的概念
1.外力力和内力力
外力力
其他物体作用用在研究对象上的作用用力力统称为外力力， 如支支座反力力、荷载等
内力力
物体在外力力作用用下，内部各质点的相对位置将发生生 改变，其质点的相互作用用力力也会发生生改变。这种由于 物体受到外力力作用用而而引起的内力力的改变量，称为“附加 内力力”，简称为内力力。
荷载未作用用时
荷载作用用下
③ 具有足足够的稳定性——某些细⻓长杆 F
件（或薄壁构件）在轴向压力力达到 一一定的数值时，会失去原来的平衡 状态而而丧失工工作能力力，这种现象称 为失稳。
所谓稳定性，是指构件维持原有平衡状 态的能力力。
材料力力学的研究任务：在保证构件满
足足强度、刚度和稳定性要求的前提下，以 最经济的代价为构件选择适合的材料，确 定合量的截面面形状及尺寸寸，提供必要的理 论基础、计算方方法和实验方方法。
综上所述
材料力力学研究的是连续均匀的、各向同性 的理想弹性体，且限于小小变形范围内。
2.材料力力学的任务
各种工工程结构都是由若干个构件组成的，这些构件 工工作时都要承受力力的作用用。为确保构件在规定的工工作 条件和使用用寿命期间能正常工工作，须满足足以下要求：
① 具有足足够的强度——构件在外力力作用用下不发生生
材料力学-第五章
第九单元(2)第五章弯曲应力§5-2 引言以弯曲为主要变形的构件称为梁，如房屋的梁与火车的轮轴。
本章主要研究外力作用在同一平面，变形也在同一平面的梁。
实际上，这也是最常见的情况。
三种静定梁固定铰简支梁可动铰（链杆）固定端悬臂梁集中载荷分布载荷集中力偶外伸梁§5-2 剪应弯矩方程与剪应力弯矩图一、剪力与弯矩研究梁的内力，仍使用截面法，由取出段的平衡，可知除了存在剪力，还存在弯矩。
Q，M“+”符号：使保留段顺时针转使保留段内凹Q，M“-”符号：二、剪力弯矩方程与剪力弯矩图剪力、弯矩与坐标X间的解析关系式，即()()Q Q x M M x==称为剪力方程与弯矩方程。
表示剪力与弯矩沿梁轴变化的另一重要方法为图示法，图示曲线称为剪力、弯矩图。
例1：1.求支反力M R P B A ==-∑04 M R P A B ==∑054 M y =∑0校核(为保证正确, 要求校核) 2.建立Q ，M 方程(截面法) AB 段：()Q R P x a A 11404==-<< ()M R x Px x a A 11111404==-≤≤ BC 段：()Q P x a 220=<<()M Px x a 2220=-≤≤也可以只建一个坐标系，BC 段：()Q Pa x a 2145=<< ()()M P a x a x a 211545=--≤≤3．画图Q 图 M 图例2：(分布截荷，注意力系简化条件)1.支反力 R qa R qa A B ==43832. Q ，M 方程 AB ：()Q R qx qa qx x a A 11114303=-=-<<()M R x qx qax qx x a A 1112112112431203=-=-≤≤ BC ：()Q qx x a 2220=≤<()M qx x a 2222120=-≤≤3.画Q ，M 图第10单元刚架：由刚性接头连接杆件所组成的结构。
材料力学第五章
y
= ∫ y dA
2 A
1 1 π ⋅ d4 π ⋅ d4 I y = Iz = I ρ = ⋅ = z 2 2 32 64
1 π ⋅ (D4 − d 4 ) 对空心圆截面： 对空心圆截面： I = I = I = y z ρ 2 64
第五章 弯曲应力
§5-2 对称弯曲正应力 对称弯曲正应力
M⋅ y 二、弯曲正应力一般公式： 弯曲正应力一般公式： σ= Iz
Ip
弯曲 剪力Q 剪力
？
第五章 弯曲应力
§5-1 引言 y
梁段
M τ Q
z
σ
横截面上剪应力 横截面上正应力
横截面上内力
Q = ∫τdA
剪应力造成剪力
M = ∫σydA
正应力造成弯矩
剪应力和正应力的分布规律是什么？ 剪应力和正应力的分布规律是什么？
超静定问题
第五章 弯曲应力
§5-1 引言
§5-2 对称弯曲正应力 对称弯曲正应力 §5-3 对称弯曲切应力 对称弯曲切应力 弯曲 §5-4 梁的强度条件与合理强度设计 梁的强度条件与合理强度设计 §5-5 双对称截面梁的非对称弯曲 双对称截面梁的非对称弯曲 §5-6 弯拉（压）组合 弯拉（ 对称弯曲（平面弯曲）： 对称弯曲（平面弯曲）： 外力作用在纵向对称面内， 外力作用在纵向对称面内，梁轴线变形 后为一平面曲线，也在此纵向对称面内。 后为一平面曲线，也在此纵向对称面内。
(3)
Mz = ∫ σ ⋅ y ⋅ dA = M (5) A E 2 E 2 E (5) M z = ∫ ρ y dA = ∫ y dA = ρ I z = M
A
ρ
A
1 M = ρ EIz
第五章 弯曲应力
第五章 材料力学基本概念PPT课件
F1 F3
作用在弹性体上的外力相互平衡。
F2
Fn
假想截面
F1
F3
截开之后内力与外力平衡。
F2
分布内力
Fn
空间一般力系平衡方程
F1
My
Fy
Mx FX
F2
X 0
Y
0
Z
0
Mz Fz
M M
x y
0 0
M
z
0
所有力在X轴、Y轴、Z轴上的投影代数和等于零。 所有力对X轴、Y轴、Z轴之力矩代数和等于零。
物体受外力作用而变形，内部各部分之间因相对位置改变而 引起的相互作用，称为附加内力，简称内力。它随外力的变 化而变化。
求内力的方法：截面法
1）分二留一
假想地沿求内力的截面将构件分为两部分，取其中一部分为研究对象。
P2
P4
P1
m
I
II
m
P3
P5
P2 m
P1 I
P3
m
2）内力代替
在保留部分的截面上加上内力，以代替丢弃部分对保留部分的作用，连续分 布内力系可向截面形心简化。
限值称为Ｃ点的全应力。
lim PC
A0
FN A
dFN dA反映内力系在Fra bibliotek点的强弱程度。
3、一点的正应力、切应力 pC τ
σ
c
正应力：垂直于截面的分量。
切应力：切于截面的分量。
故：应力是指一点的应力，而某一点的应力有两个分量分 别是σ和τ。 σ与截面垂直，τ与截面相切。
4、应力单位
国际单位制：N m2 1Pa 工程单位制：kgf m2
外力
二、内力
在没有外力作用的情况下，其内部各质点之间均处于平衡状态， 如物体内部原子与原子之间或者分子与分子之间既有吸引力又 有排斥力，两种力是一种平衡力；这种平衡力能够使各质点之 间保持一定的相对位置，从而使物体维持一定的几何形状，由 此可见，一个完全不受外力作用的物体也是具有内力的。
作用在弹性体上的外力相互平衡。
F2
Fn
假想截面
F1
F3
截开之后内力与外力平衡。
F2
分布内力
Fn
空间一般力系平衡方程
F1
My
Fy
Mx FX
F2
X 0
Y
0
Z
0
Mz Fz
M M
x y
0 0
M
z
0
所有力在X轴、Y轴、Z轴上的投影代数和等于零。 所有力对X轴、Y轴、Z轴之力矩代数和等于零。
物体受外力作用而变形，内部各部分之间因相对位置改变而 引起的相互作用，称为附加内力，简称内力。它随外力的变 化而变化。
求内力的方法：截面法
1）分二留一
假想地沿求内力的截面将构件分为两部分，取其中一部分为研究对象。
P2
P4
P1
m
I
II
m
P3
P5
P2 m
P1 I
P3
m
2）内力代替
在保留部分的截面上加上内力，以代替丢弃部分对保留部分的作用，连续分 布内力系可向截面形心简化。
限值称为Ｃ点的全应力。
lim PC
A0
FN A
dFN dA反映内力系在Fra bibliotek点的强弱程度。
3、一点的正应力、切应力 pC τ
σ
c
正应力：垂直于截面的分量。
切应力：切于截面的分量。
故：应力是指一点的应力，而某一点的应力有两个分量分 别是σ和τ。 σ与截面垂直，τ与截面相切。
4、应力单位
国际单位制：N m2 1Pa 工程单位制：kgf m2
外力
二、内力
在没有外力作用的情况下，其内部各质点之间均处于平衡状态， 如物体内部原子与原子之间或者分子与分子之间既有吸引力又 有排斥力，两种力是一种平衡力；这种平衡力能够使各质点之 间保持一定的相对位置，从而使物体维持一定的几何形状，由 此可见，一个完全不受外力作用的物体也是具有内力的。
材料力学第五章课件
of
the
components
3
will
5.2 低碳钢拉伸应力—应变曲线
常用拉伸试样(圆截面): Specimen
F
标距长度： l =10d 或5d
施加拉伸载荷F，记录 F—Dl曲线;
d l
或(=F/A)—(=Dl /l )曲线。
低碳钢拉伸应力—应变曲线:
弹性 屈服 强化 颈缩
Low四car个bo阶n st段eel ：stress
延性指标： 延伸率 和/或 面缩率。
Indicator of elongation
10
5.3 不同材料拉伸压缩时的机械性能
1) 不同材料的拉伸—曲线
(MPa) 16Mn
500
(MPa)
500
Cast iron
灰铸铁
(MPa) Alloy of aluminum
500
铝合金
A3钢 200 (Q235)
1
5
“材料的力学性能 实验室”
电子拉力试验机
The mechanical properties 6
of materials Laboratory
由-曲线定义若干重要的
材料性能和指标 ：
b
Proportional limit
比例极限 p： =E
ys
y
ep
e p
s
k
-关系是线性、弹性的。
E
1
弹性模量 (Elastic Modulus)
弹性应变和塑性应变
b
ys
屈服后卸载，卸载线斜率为E。
Ab Bs
残余的塑性应变为p；恢复的弹 性应变为e，则有：
E
1
o p e
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10
材料力学Ⅰ电子教案
第五章 梁弯曲时的位移
当全梁各横截面上的弯矩 可用一个弯矩方程表示时(例如 图中所示情况)有
Ew I M xdxC 1
E I M w x d x d x C 1 x C 2
以上两式中的积分常数C1， C2由边界条件确定后即可得出梁 的转角方程和挠曲线方程。
13
材料力学Ⅰ电子教案
第五章 梁弯曲时的位移
例题5-1 试求图示等直梁的挠曲线方程和转角方程，
并确定其最大挠度wmax和最大转角qmax。
14
材料力学Ⅰ电子教案
第五章 梁弯曲时的位移
解：该梁的弯矩方程为
M x F lx
挠曲线近似微分方程为
E w I M x F l x
以x为自变量进行积分得
EIw
Flxx22
C1
EIw Fl2x2 x63C1xC2 该梁的边界条件为：在 x=0 处 w0，w =0
于是得
15
C10， C20
材料力学Ⅰ电子教案
第五章 梁弯曲时的位移
从而有 转角方程 q wFxlFx2
EI 2EI
挠曲线方程 w Fx2l Fx3 2EI 6EI
根据该梁边界条件和全梁横截面上弯矩均为负值， 以及挠曲线应光滑连续描出了挠曲线的示意图。
材料力学Ⅰ电子教案
第五章 梁弯曲时的位移
§5-1 梁的位移——挠度和转角 §5-2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分 §5-3 按叠加原理计算梁的挠度和转角 *§5-4 梁挠曲线的初参数方程 §5-5 梁的刚度校核·提高梁的刚度的措施 §5-6 梁内的弯曲应变能
1
材料力学Ⅰ电子教案
第五章 梁弯曲时的位移
16
材料力学Ⅰ电子教案
第五章 梁弯曲时的位移
可见该梁的qmax和wmax均在x=l的自由端处。于是有
qma x q|xlF E2l I2 F E 2l I2 F E 2lI
w maxw|xl2 F E 3l I6 F E 3l I3 F E 3l I
17
材料力学Ⅰ电子教案
第五章 梁弯曲时的位移
11
材料力学Ⅰ电子教案
第五章 梁弯曲时的位移
边界条件(这里也就是支座处的约束条件)的示例如 下图所示。
12
材料力学Ⅰ电子教案
第五章 梁弯曲时的位移
若由于梁上的荷载不连续等原因使得梁的弯矩方程 需分段写出时，各段梁的挠曲线近似微分方程也就不同。 而对各段梁的近似微分方程积分时，都将出现两个积分 常数。要确定这些积分常数，除利用支座处的约束条件 (constraint condition)外，还需利用相邻两段梁在交界处 的连续条件(continuity condition)。这两类条件统称为边 界条件。
这也就是位于中性层内的挠曲线的曲率的表达式。
6
材料力学Ⅰ电子教案
第五章 梁弯曲时的位移
在横力弯曲下，梁的横截面上除弯矩M=M(x)外，还 有剪力FS=FS(x)，剪力产生的剪切变形对梁的变形也会产 生影响。但工程上常用的梁其跨长l 往往大于横截面高度h 的10倍，此时剪力FS对梁的变形的影响可略去不计，而有
3
Байду номын сангаас
材料力学Ⅰ电子教案
第五章 梁弯曲时的位移
(a)
(b)
直梁弯曲时的挠度和转角这两个位移不但与梁的弯曲 变形程度(挠曲线曲率的大小)有关，也与支座约束的条件 有关。图a和图b所示两根梁，如果它们的材料和尺寸相同， 所受的外力偶之矩Me也相等，显然它们的变形程度(也就 是挠曲线的曲率大小)相同，但两根梁相应截面的挠度和 转角则明显不同。
1
w
x1w2 3/2
式中，等号右边有正负号是因为曲率1/为度量平面曲线 (挠曲线)弯曲变形程度的非负值的量，而w"是q = w' 沿x方
向的变化率，是有正负的。
8
材料力学Ⅰ电子教案
第五章 梁弯曲时的位移
再注意到在图示坐标系中，负弯矩对应于正值w" ，正弯矩对
应于负值的w" ，故从上列两式应有
w
第五章 梁弯曲时的位移
弯曲后梁的轴线——挠曲线(deflection curve)为一平 坦而光滑的曲线，它可以表达为w=f(x)，此式称为挠曲线 方程。由于梁变形后的横截面仍与挠曲线保持垂直，故
横截面的转角q 也就是挠曲线在该相应点的切线与x轴之
间的夹角，从而有转角方程：
q ta q n w fx
由此题可见，当以x为自变量对挠曲线近似微分方程 进行积分时，所得转角方程和挠曲线方程中的积分常数 是有其几何意义的：
q C 1Ew I|x0E0 I
C2EI|xw 0EI0w 此例题所示的悬臂梁，q0=0，w0=0， 因而也有C1=0 ，C2=0。
18
材料力学Ⅰ电子教案
第五章 梁弯曲时的位移
事实上，当以x为自变量时
4
材料力学Ⅰ电子教案
第五章 梁弯曲时的位移
在图示坐标系中，挠度w向下为正，向上为负；
顺时针转向的转角q为正，逆时针转向的转角q为负。
5
材料力学Ⅰ电子教案
第五章 梁弯曲时的位移
§5-2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分
Ⅰ. 挠曲线近似微分方程的导出 在§4-4中曾得到等直梁在线弹性范围内纯弯曲情况
下中性层的曲率为 1M EI
1w2
3/2
Mx
EI
由于梁的挠曲线为一平坦的曲线，上式中的w2与1相比可略
去，于是得挠曲线近似微分方程 wMx
EI
9
材料力学Ⅰ电子教案
第五章 梁弯曲时的位移
Ⅱ. 挠曲线近似微分方程的积分及边界条件
w Mx
EI 求等直梁的挠曲线方程时可将上式改写为
Ew IM x
后进行积分，再利用边界条件(boundary condition)确定积分 常数。
Ew I M xdxC 1 E I[ w [ M x d x ] d x C 1 x C 2
§5-1 梁的位移——挠度和转角
直梁在对称平面xy内弯曲时其原来的轴线AB将弯曲成 平面曲线AC1B。梁的横截面形心(即轴线AB上的点)在垂直 于x轴方向的线位移w称为挠度(deflection)，横截面对其原
来位置的角位移q 称为横截面的转角(angle of rotation)。
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材料力学Ⅰ电子教案
x1xM ExI
注意：对于有些l/h>10的梁，例如工字形截面等直梁，如同 在核电站中会遇到的那样，梁的翼缘由不锈钢制作，而主 要承受剪力的腹板则由价廉但切变模量较小的复合材料制 作，此时剪切变形对梁的变形的影响是不可忽略的。
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第五章 梁弯曲时的位移
从几何方面来看，平面曲线的曲率可写作