2014年高考全程复习构想高三文科科一轮复习资料第十章统计概率1.10.7
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雄关漫道系列《师说》2014年高考全程复习构想高三理科一轮复习资料师说第十章统计概率10.5
•失误与防范 应用两种原理解题： (1)分清要完成的事情是什么？ (2)分清完成该事情是分类完成还是分步完成？“类”间 互相独立，“步”间互相联系； (3)有无特殊条件的限制； (4)检验是否有重漏.
新题速递 1.(2012· 大纲全国卷)将字母 a，a，b，b，c，c 排成三行两 列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不 同的排列方法共有( ) A．12 种 B．18 种 C．24 种 D．36 种
解析：当 b＝1 时，c＝4；当 b＝2 时，c＝4,5；当 b＝3 时， c＝4,5,6；当 b＝4 时，c＝4,5,6,7.故共有 10 个这样的三角形． 答案：A
题型二 分步乘法计数原理的应用 例 2 已知集合 M＝{－3，－2，－1,0,1,2}，P(a，b)表示平 面上的点(a，b∈M)，问： (1)P 可表示平面上多少个不同的点？ (2)P 可表示平面上多少个第二象限的点？ (3)P 可表示多少个不在直线 y＝x 上的点？
解析：当 A、B、C、D 四个区域的观众服装颜色全不相同 时，有 4×3×2×1＝24(种)不同的方法；当 A 区与 C 区同色， B 区和 D 区不同色且不与 A、C 同色时，或 B 区、D 区同色， A 区、 区不同色且不与 B、 同色时， 2×4×3×2＝48(种) C D 有 不同的方法； A 区与 C 区同色， 区与 D 区也同色且不与 A、 当 B C 同色时，有 4×3＝12(种)不同的方法．由分类计数原理知共 有 24＋48＋12＝84(种)不同的着装方法．
3．当然，在解决实际问题时，并不一定是单一的应用分 类加法计数原理或分步乘法计数原理， 有时可能同时用到两个 计数原理．即分类时，每类的方法可能运用分步完成，而分步 后，每步的方法数可能会采取分类的思想求方法数．对于同一 事件，我们可以做不同的处理，从而得到不同的解法(但方法 数相同)，这也是检验排列组合问题的很好方法.
2014年高考全程复习构想高三理科一轮复习资料第十章统计概率9.5
(2)连接 CG 与 DE 相交于 H 点， 在△PGC 中作 HF∥PG，交 PC 于 F 点， ∴FH⊥平面 ABCD， ∴平面 DHF⊥平面 ABCD， ∵H 是 CG 的中点，∴F 是 PC 的中点， ∴在 PC 上存在一点 F，即为 PC 的中点，使得平面 DEF ⊥平面 ABCD.
点评： 探索性问题的求解策略是化探索为求解， 如果有解， 且解符合题意，则存在，否则不存在．
说考点
拓展延伸串知识
疑点清源 两个平面垂直的性质定理，即如果两个平面垂直，那么在 一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面是作点 到平面距离的依据，要过平面外一点 P 作平面的垂线，通常是 先作(找)一个过点 P 并且和 α 垂直的平面 β，设 β∩α＝l，在 β 内作直线 a⊥l，则 a⊥α.
4．直线和平面所成的角 平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的④ ______叫做这条直线和这个平面所成的角．一条直线垂直于平 面，也就说它们所成的角是⑤______；一条直线和平面平行或 在平面内，就说它们所成的角是⑥______的角，可见，直线和 平面所成的角的范围是⑦__________.
证明：如图，取 PD 的中点 E，连结 AE，NE. ∵E、N 分别为 PD、PC 的中点， 1 ∴EN 綊2CD. 1 又∵M 为 AB 的中点，∴AM 綊2CD. ∴EN 綊 AM，
∴四边形 AMNE 为平行四边形． ∴MN∥AE. ∵PA⊥平面 ABCD，∠PDA＝45° ， ∴△PAD 为等腰直角三角形． ∴AE⊥PD. 又∵CD⊥AD，CD⊥PA， ∴CD⊥平面 PAD，而 AE⊂平面 PAD，∴CD⊥AE. 又 CD∩PD＝D，∴AE⊥平面 PCD. ∴MN⊥平面 PCD.
5．三棱锥 P－ABC 的顶点 P 在底面的射影为 O，若 PA＝ PB＝PC，则点 O 为△ABC 的__________心，若 PA、PB、PC 两两垂直，则 O 为△ABC 的__________心．
2014年高考全程复习构想高三文科科一轮复习第十章统计概率1.10.2
2．样本方差，标准差 1 标准差 s＝ n[x1－ x 2＋x2－ x 2＋„＋xn－ x 2]，其中 xn 是样本数据的第 n 项，n 是样本容量， x 是⑮__________.标 准差是反映总体波动大小的特征数，样本方差是标准差的平 方．通常用样本方差估计总体方差，当样本容量⑯______总体 容量时，样本方差越接近总体方差．
点评：解决该类问题时应正确理解图表中各个量的意义， 识图掌握信息是解决该类问题的关键．频率分布指的是一个样 本数据在各个小范围内所占的比例的大小，一般用频率分布直 方图反映样本的频率分布．频率分布直方图中各长方形高的比 也就是其频率之比．
变式探究 1 为了了解某校高三学生的视力情况，随机地 抽查了该校 100 名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图 如下图， 由于不慎将部分数据丢失， 但知道后 5 组频数和为 62， 设视力在 4.6 到 4.8 之间的学生数为 a，最大频率为 0.32，则 a 的值为( ) A．64 B．54 C．48 D．27
解析：把样本中的数据按从小到大排列为： 0．12,0.13,0.13,0.14,0.14,0.15,0.15,0.15,0.16,0.17， ∴该样本的众数是 0.15， 0.14＋0.15 中位数字 ＝0.145. 2 答案：D
2． 已知一个样本中的数据为 1,2,3,4,5， 那么该样本的标准 差为( ) A．1 B. 2 C. 3 D．2
解析： (1)如图所示.
(2)电脑杂志上每个句子的字数集在 10～30 之间，中位 数为 22.5；而报纸上每个句子的字数集中在 20～40 之间，中 位数为 27.5.还可以看出电脑杂志上每个句子的平均字数比报 纸上每个句子的平均字数少，说明电脑杂志作为科普读物通俗 易懂、简明.
2014年高考全程复习构想高三文科科一轮复习第十章统计概率1.10.3
解析：(1)由所给数据看出，年需求量与年份之间是近似直 线上升，下面来配回归直线方程．为此对数据预处理如下： 年份－2006 －4 －2 0 2 4 需求量－257 －21 －11 0 19 29 对预处理后的数据，容易算得 x ＝0， y ＝3.2， －4×－21＋－2×－11＋2×19＋4×29 b＝ 42＋22＋22＋42 260 ＝ 40 ＝6.5，a＝ y －b x ＝3.2. ^ 由上述计算结果，知所求回归直线方程为y －257＝b(x－ ^ 2006)＋a＝6.5(x－2006)＋3.2，即y＝6.5(x－2006)＋260.2.①
解析：以 x 轴表示数学成绩，y 轴表示物理成绩，可得相 应的散点图如图所示：
由散点图可见，两者之间具有相关关系． 点评：判断变量之间有无相关关系，一种常用的简便可行 的方法就是绘制散点图．
变式探究 1 对变量 x，y 有观测数据(xi，yi)(i＝1,2，…， 10)，得散点图(1)；对变量 u，v 有观测数据(ui，vi)(i＝1,2，…， 10)，得散点图(2)．
i 1 n n
的方法，即求回归直线，使得样本数据的点到它的距离的平方 和最小，这一方法叫做最小二乘法．
答案： ①相关关系 ②非确定性 ③正相关 ④负相关 ⑤线性相关关系 ^ ^ ^ ^ ⑥回归直线 ⑦y＝bx＋a ⑧ y －b x
考点自测 1.下列选项中，两个变量具有相关关系的是( ) A． 参加 60 年国庆阅兵的人数与观看第十一届全运会开幕 式的人数 B．正方体的体积与棱长 C．人体内的脂肪含量与年龄 D．汶川大地震的经济损失与全球性金融危机的经济损失
新题速递 1.(2012· 湖南卷)设某大学的女生体重 y(单位：kg)与身高 x(单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(xi，yi)(i＝ ^ 1,2， …， 用最小二乘法建立的回归方程为y＝0.85x－85.71， n)， 则下列结论中不正确的是( ) ．．． A．y 与 x 具有正的线性相关关系 B．回归直线过样本点的中心( x ， y ) C．若该大学某女生身高增加 1 cm，则其体重约增加 0.85 kg D．若该大学某女生身高为 170 cm，则可断定其体重必为 58.79 kg
2014年高考全程复习构想高三文科科一轮复习资料1-11章课时训练1.1.8
(1)求k的值；
(2)若方程f(x)＝log4(a·2x－a)有且只有一个根，求实数a的取值范围．
(1)求f(x)在[－1,0)上的解析式；
(2)求f(log 24)．
解析：(1)令x∈[－1,0)，则－x∈(0,1]，
∴f(－x)＝2－x－1.
又∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
∴－f(x)＝f(－x)＝2－x－1，
∴f(x)＝－x＋1，x∈[－1,0)．
(2)∵f(x＋2)＝－f(x)，
A．c＞a＞bB．c＞b＞a
C．a＞b＞cD．a＞c＞b
解析：∵x∈(－∞，0)时，xf′(x)＜f(－x)，
∴xf′(x)－f(－x)＜0.
又∵f(x)是R上的奇函数，
∴xf′(x)＋f(x)＜0.令F(x)＝xf(x)，
则F′(x)＝xf′(x)＋f(x)＜0，
∴F(x)在x∈(－∞，0)上是减函数，
解析：f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x＋2)＋f(x)＝0，f(log125)＝f(－log25)＝－f(－log25＋2)＝f(log25－2)＝ －1＝－1＝.
答案：
三、解答题
10．已知定义域为R的函数f(x)为奇函数，且满足f(x＋2)＝－f(x)，当x∈[0,1]时，f(x)＝2x－1.
一、选择题
1．(2013·山西月考)设a＞1,0＜b＜1，则logab＋logba的取值范围为()
A．[2，＋∞)B．(2，＋∞)
C．(－∞，－2) D．(－∞，－2]
解析：因为a＞1,0＜b＜1，所以logab＜0，logab＋logba＝－≤－2.
答案：D
2．(2013·洛阳模拟)若a＝，b＝ln2·ln3，c＝，则a，b，c的大小关系是()
(2)若方程f(x)＝log4(a·2x－a)有且只有一个根，求实数a的取值范围．
(1)求f(x)在[－1,0)上的解析式；
(2)求f(log 24)．
解析：(1)令x∈[－1,0)，则－x∈(0,1]，
∴f(－x)＝2－x－1.
又∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
∴－f(x)＝f(－x)＝2－x－1，
∴f(x)＝－x＋1，x∈[－1,0)．
(2)∵f(x＋2)＝－f(x)，
A．c＞a＞bB．c＞b＞a
C．a＞b＞cD．a＞c＞b
解析：∵x∈(－∞，0)时，xf′(x)＜f(－x)，
∴xf′(x)－f(－x)＜0.
又∵f(x)是R上的奇函数，
∴xf′(x)＋f(x)＜0.令F(x)＝xf(x)，
则F′(x)＝xf′(x)＋f(x)＜0，
∴F(x)在x∈(－∞，0)上是减函数，
解析：f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x＋2)＋f(x)＝0，f(log125)＝f(－log25)＝－f(－log25＋2)＝f(log25－2)＝ －1＝－1＝.
答案：
三、解答题
10．已知定义域为R的函数f(x)为奇函数，且满足f(x＋2)＝－f(x)，当x∈[0,1]时，f(x)＝2x－1.
一、选择题
1．(2013·山西月考)设a＞1,0＜b＜1，则logab＋logba的取值范围为()
A．[2，＋∞)B．(2，＋∞)
C．(－∞，－2) D．(－∞，－2]
解析：因为a＞1,0＜b＜1，所以logab＜0，logab＋logba＝－≤－2.
答案：D
2．(2013·洛阳模拟)若a＝，b＝ln2·ln3，c＝，则a，b，c的大小关系是()
2014年高考全程复习构想高三文科科一轮复习资料1-11章课时训练1.2.1
答案：B
6．已知函数f(x)＝x2＋bx的图象在点A(1，f(1))处的切线l与直线3x－y＋2＝0平行，若数列{}的前n项和为Sn，则S2011的值为()
A.B.
C.D.
解析：f′(x)＝2x＋b，由f′(1)＝2＋b＝3，得b＝1.
于是＝＝＝－，
S2011＝＋＋…＋＝1－＋－＋…＋－＝1－＝.
答案：D
答案：y＝－x＋π－1
8．若曲线f(x)＝ax3＋lnx存在垂直于x轴的切线，则实数a的取值范围是__________．
解析：依题意得f′(x)＝3ax2＋＝0，(x＞0)有实根，
∴a＝－角坐标系xOy中，点P在曲线C：y＝x3－10x＋3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线斜率为2，则点P的坐标为__________．
答案：D
3．已知点P在曲线y＝上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是()
A．[0，) B．[，)
C．(，] D．[，π)
解析：设曲线在点P处的切线斜率为k，则k＝y′＝＝，因为ex＞0，所以由基本不等式得k≥，又k＜0，∴－1≤k＜0，即－1≤tanα＜0，所以≤α＜π.
答案：D
4．有一机器人的运动方程为s＝t2＋(t是时间，s是位移)，则该机器人在时刻t＝2时的瞬时速度为()
A.B.
C.D.
解析：∵s(t)＝t2＋，∴s′(t)＝2t－，∴机器人在时刻t＝2时的瞬时速度为s′(2)＝4－＝.
答案：D
5．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋x2，则f′(1)＝()
A．－1 B．－2C．1 D．2
解析：f′(x)＝2f′(1)＋2x，令x＝1，得f′(1)＝－2，选B.
6．已知函数f(x)＝x2＋bx的图象在点A(1，f(1))处的切线l与直线3x－y＋2＝0平行，若数列{}的前n项和为Sn，则S2011的值为()
A.B.
C.D.
解析：f′(x)＝2x＋b，由f′(1)＝2＋b＝3，得b＝1.
于是＝＝＝－，
S2011＝＋＋…＋＝1－＋－＋…＋－＝1－＝.
答案：D
答案：y＝－x＋π－1
8．若曲线f(x)＝ax3＋lnx存在垂直于x轴的切线，则实数a的取值范围是__________．
解析：依题意得f′(x)＝3ax2＋＝0，(x＞0)有实根，
∴a＝－角坐标系xOy中，点P在曲线C：y＝x3－10x＋3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线斜率为2，则点P的坐标为__________．
答案：D
3．已知点P在曲线y＝上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是()
A．[0，) B．[，)
C．(，] D．[，π)
解析：设曲线在点P处的切线斜率为k，则k＝y′＝＝，因为ex＞0，所以由基本不等式得k≥，又k＜0，∴－1≤k＜0，即－1≤tanα＜0，所以≤α＜π.
答案：D
4．有一机器人的运动方程为s＝t2＋(t是时间，s是位移)，则该机器人在时刻t＝2时的瞬时速度为()
A.B.
C.D.
解析：∵s(t)＝t2＋，∴s′(t)＝2t－，∴机器人在时刻t＝2时的瞬时速度为s′(2)＝4－＝.
答案：D
5．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋x2，则f′(1)＝()
A．－1 B．－2C．1 D．2
解析：f′(x)＝2f′(1)＋2x，令x＝1，得f′(1)＝－2，选B.
(全程复习构想)2014年高考数学一轮复习 10.8随机事件的概率课件 理
解析：由概率的定义知①正确；由基本事件的概念知②正 确； 对任意事件 A,0≤P(A)≤1， A 是不可能事件时 P(A)＝0， 当 当 A 是必然事件时，P(A)＝1，故③不正确；④中 P(A)趋近于 0，说明事件 A 发生的概率很小，但仍有可能发生，不是不可 能事件，故④不正确．综上应选 C. 答案：C
解析：横坐标与纵坐标为 0 的可能性是一样的． 答案：C
3． 某入伍新兵在打靶练习中， 连续射击两次， 则事件“至 少有 1 次中靶”的对立事件是( ) A．至多有 1 次中靶 B．两次都中靶 C．两次都不中靶 D．只有 1 次中靶
解析： 事件“至少有 1 次中靶”包括“中靶 1 次”和“中 靶两次”两种情况，由对立事件的定义，可知“两次都不中 靶”与之对立，故选 C. 答案：C
解析： 记事件“射击一次， 命中 k 环”为 Ak(k∈N， k≤10)， 则事件 Ak 彼此互斥． (1)记“射击一次，射中 9 环或 10 环”为事件 A，那么当 A9，A10 之一发生时，事件 A 发生，由互斥事件的加法公式得 P(A)＝P(A9)＋P(A10)＝0.32＋0.28＝0.60. (2)设“射击一次，至少命中 8 环”的事件为 B，那么当 A8，A9，A10 之一发生时，事件 B 发生． 由互斥事件概率的加法公式得 P(B)＝P(A8)＋P(A9)＋P(A10) ＝0.18＋0.28＋0.32 ＝0.78.
续表 定义 符号表示 若某事件发生当且仅当⑪ ________且⑫______发生，则 A∩B(或 AB) 称此事件为事件 A 与事件 B 的 交事件 若 A∩B 为不可能事件，则事 A∩B＝∅ 件 A 与事件 B 互斥 若 A∩B 为不可能事件，A∪B 为必然条件，那么称事件 A 与 事件 B 互为对立事件
2014年高考全程复习构想高三文科科一轮复习第十章统计概率1.10.6
解析： (1)工厂总数为 18＋27＋18＝63，样本容量与总体中的个 7 1 体数的比为63＝9，所以从 A，B，C 三个区中应分别抽取的工 厂个数为 2,3,2.
(2)设 A1，A2 为在 A 区中抽得的 2 个工厂，B1，B2，B3 为 在 B 区中抽得的 3 个工厂，C1，C2 为在 C 区中抽得的 2 个工 厂， 在这 7 个工厂中随机地抽取 2 个， 全部可能的结果有： 1， (A A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，C1)，(A1，C2)，(A2， B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，C1)，(A2，C2)，(B1，B2)，(B1， B3)，(B1，C1)，(B1，C2)，(B2，B3)，(B2，C1)，(B2，C2)，(B3， C1)，(B2，C2)，(C1，C2)，共有 21 种．
Байду номын сангаас
(2)由 am⊥(am－bn)得 m2－2m＋1－n＝0， 即 n＝(m－1)2. 由于 m，n∈{1,2,3,4}，故事件 A 包含的基本事件为(2,1) 和(3,4)，共 2 个．又基本事件的总数为 16，故所求的概率为 2 1 P(A)＝16＝8.
题型三 综合古典概型的计算 例 3 现有 8 名志愿者，其中志愿者 A1、A2、A3 通晓日语， B1、B2、B3 通晓俄语，C1、C2 通晓韩语．从中选出通晓日语、 俄语和韩语的志愿者各 1 名，组成一个小组． (1)求 A1 被选中的概率； (2)求 B1 和 C1 不全被选中的概率．
解析：由古典概型的特点知 C 正确． 答案：C
2． 张卡片上分别写有数字 1,2,3,4， 4 从这 4 张卡片中随机 抽取 2 张，则取出的 2 张卡片上的数字之和为奇数的概率为 ( ) 1 1 2 3 A.3 B.2 C.3 D.4 解析： 4 张卡片中有序地取得两张的取法共有 4×3＝12 从 种，其中取得一奇一偶的取法共有 4×2＝8 种(先任取，后取 与第一张不同奇偶的)．故取得卡片上数字之和为奇数的概率 8 2 为 P＝12＝3.故选 C. 答案：C
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点评：解决此题的关键是将已知两个条件转化为线性约束 条件，从而转化成平面区域中的面积型几何概率问题．
变式探究 4 甲、乙两艘轮船都要停靠同一个泊位，它们 可能在一昼夜的任意时刻到达．甲、乙两船停靠泊位的时间分 别为 4 小时与 2 小时，求有一艘船停靠泊位时必须等待一段时 间的概率．
解析：甲比乙早到 4 小时内乙须等待，甲 比乙晚到 2 小时内甲须等待． 以 x 和 y 分别表示甲、乙两船到达泊位的 时间， 则有一艘船停靠泊位时须等待一段时间 的充要条件为－2≤x－y≤4，在如图所示的平 面直角坐标系内，(x，y)的所有可能结果是边 长为 24 的正方形，而事件 A“有一艘船停靠 泊位时须等待一段时间”的可能结果由阴影 1 1 2 2 24 －2×22 －2×202 67 部分表示．由几何概型公式得：P(A)＝ ＝288. 242 67 故有一艘船停靠泊位时必须等待一段时间的概率是288.
10．7 几何概型
考纲点击 1.了解几何概型的意义和几何概型概率的计算方法. 2.会用几何概率解决实际问题.
说基础
课前预习读教材
考点梳理 1.几何概型 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的① ______(②______或③______)成比例，则称这样的概率模型为 几何概率模型，简称为④__________. 2．在几何概型中，事件 A 的概率的计算公式如下： P(A)＝⑤__________________________.
新题速递
0≤x≤2 1.(2012· 北京卷)设不等式组 0≤y≤2
表示的平面区域为
D.在区域 D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于 2 的概率是( ) π－2 4－π π π A.4 B. 2 C.6 D. 4
解析：设所求事件为 A，则由题意画出图形，边长为 2 的正 方形区域面积为 2×2＝4， 而阴影部分面 1 积为 4－4×π×22＝4－π.由几何概型概 4－π 率公式得 P(A)＝ 4 . 答案：D
说考点
拓展延伸串知识
疑点清源 1.古典概型与几何概型的异同点 几何概型是与古典概型最为接近的一种概率模型，两者的 共同点是基本事件是等可能的，不同点是基本事件数一个是有 限的， 一个是无限的， 基本事件可以抽象为点． 对于几何概型， 这些点尽管是无限的，但它们所占据的区域是有限的，根据等 可能性，这个点落在区域的概率与该区域的几何度量成正比， 而与该区域的位置和形状无关． 2．解决几何概型的关键是准确理解问题的“测度”．几 何概型问题易错的根本原因是找不准“测度”.
题型二 与面积有关的几何概型 例 2. ABCD 为长方形， AB＝2， BC＝1， 为 AB 的中点． O 在 长方形 ABCD 内随机取一点，取到的点到 O 的距离大于 1 的 概率为( ) π π π π A.4 B．1－4 C.8 D．1－8
解析： 如图所示， 长方形 ABCD 的面积为 2， O 为圆心， 以 π 1 为半径作圆，在矩形内部的部分(半圆)的面积为2， π π 故因此取到的点到 O 的距离小于 1 的概率为2÷ 4， 2＝ π 故取到的点到 O 的距离大于 1 的概率为 1－4，选 B. 答案：B
3．在长为 12cm 的线段 AB 上任取一点 M，并且以线段 AM 为边作正方形，则这个正方形的面积介于 36cm2 与 81cm2 之间的概率为( ) 1 1 4 12 A.4 B.3 C.27 D.45
解析：正方形的面积介于 36cm2 与 81cm2 之间即 AM 的长 9－6 1 度介于 6 到 9 之间，则其概率为 12 ＝4.选 A. 答案：A
点评：本题是一个与面积有关的几何概型问题，当事件 A 可以用面积来衡量时，我们可以利用其与整体事件所对应的面 积的比值来计算事件 A 发生的概率．
变式探究 2 如图所示，墙上挂有一边长为 a 的正方形木 板，它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，半径 a 为2的圆弧，某人向此板投镖，假设每次都能击中木板，且击 中木板上每个点的可能性都一样，则他击中阴影部分的概率是 __________．
题型探究 题型一 与长度有关的几何概型 例 1 如图，A、B 两盏路灯之间长度是 30 米，由于光线较 暗，想在其间再随意安装两盏路灯 C、D，问 A 与 C，B 与 D 之间的距离都不小于 10 米的概率是多少？
解析：记 E：“A 与 C，B 与 D 之间的距离都不小于 10 1 米”，把 AB 三等分，由于中间长度为 30×3＝10 米， 10 1 ∴P(E)＝30＝3. 点评：我们将每个事件理解为从某个特定的几何区域内随 机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样，而一个随 机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域 中的点，这样的概率模型就可以用几何概型来求解．
解析：点 E 为边 CD 的中点，故所求的概率 △ABE的面积 1 P＝ ＝2，故选 C. 矩形ABCD的面积 答案：C
2．在如图所示的正方形中随机掷一粒豆子，豆子落在正 方形内切圆的上半圆(图中阴影部分)中的概率是( ) 1 1 A.4 B.8 π π C.4 D.8
解析：设正方形的边长为 2，则豆子落在正方形内切圆的 1 π×12 2 π 上半圆中的概率为 4 ＝8. 答案：D
2．(2012· 辽宁卷)在长为 12 cm 的线段 AB 上任取一点 C. 现作一矩形，邻边长分别等于线段 AC，CB 的长，则该矩形面 积大于 20 cm2 的概率为( ) 1 1 2 4 A.6 B.3 C.3 D.5
解析：由于在长为 12 cm 的线段 AB 上任取一点 C， 因此总的几何度量为 12 cm，满足矩形面积大于 20 cm2 的 点在 C1 与 C2 之间的部分，如图，
8 2 ∴P＝12＝3. 答案：C
3．(2012· 湖北卷)如图，在圆心角为直角的扇形 OAB 中， 分别以 OA，OB 为直径作两个半圆．在扇形 OAB 内随机取一 点，则此点取自阴影部分的概率是( ) 1 1 1 A.2－π B.π 2 2 C.1－π D.π
解析：设图中阴影部分面积为 S1、S2. R πR2 |OA|＝R，则 S2－S1＝ 4 －π· 2 2＝0，即 S2＝S1.由图形知 R2 πR2－2R2 π· S1＝2(S 扇 ODC－S△ODC)＝2 2 1 R2＝ ， 8 －2·2 4 π－2R2 S1＋S2 4 2 ∴P＝ ＝ πR2 ＝1－π. S扇AOB 4 答案：C
答案： ①长度
②面积 ③体积 ④几何概型 构成事件A的区域长度面积或体积 ⑤ 试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积
考点自测 1．如图，矩形 ABCD 中，点 E 为边 CD 的中点，若在矩 形 ABCD 内部随机取一个点 Q，则点 Q 取自△ABE 内部的概 率等于( ) 1 1 A.4 B.3 1 2 C.2 D.3
a 2 2 πa2 解析：阴影部分的面积 S＝a2－π×(2) ＝a － 4 ，正方形 πa2 a2－ 4 π 2 木板的面积为 a ，故击中阴影部分的概率是 a2 ＝1－4. π 答案：1－4
题型三 与体积有关的几何概型 例 3 已知正三棱锥 S－ABC 的底面边长为 4，高为 3，在 1 正三棱锥内任取一点 P，使得 VP－ABC＜2VS－ABC 的概率是( ) 7 3 1 1 A.8 B.4 C.2 D.4
变式探究 1 在半径为 1 的圆周上任取两点，连结两点成一条弦，则弦 长超过此圆内接正三角形边长的概率为__________．
解析：记 A＝{弦长超过圆内接正三角形边长}． 如图，取圆内接正三角形的顶点 B 作为弦的一个端点，当 另一个端点 E 在劣弧 CＤ上时，|BE|＞|BC|，而 CＤ劣弧长恰为圆 1 周长的3. 1 由几何概型公式有 P(A)＝3. 1 答案：3
4．在长为 10cm 的线段 AB 上任取一点 G，以 AG 为半径 作圆，则圆的面积介于 36π～64π cm2 的概率是( ) 9 16 3 1 A.25 B.25 C.10 D.5
解析： 如图， AG 为半径作圆， 以 圆面积介于 36π～64π cm2， 则 AG 的长度应介于 6～8cm 之间． 2 1 ∴所求概率题意确定该试验为几何概 型，然后求出事件 A 和基本事件的几何度量，借助几何概型的 概率计算公式求出．
变式探究 3 在 2 L 高产优质小麦种子中混入了一粒带白 粉病的种子，从中随机取出 10 mL，求含有白粉病种子的概率 是多少？
解析：取出 10 mL 麦种，其中“含有病种子”这一事件记 取出种子的体积 10 1 为 A，则 P(A)＝ ＝ ＝ . 所有种子的体积 2000 200 1 答案：200
1 解析：要使 VP－ABC＜2VS－ABC，需使三棱锥 P－ABC 的高小 于三棱锥 S－ABC 的高的一半，过点 P 作底面的平行平面，将 棱锥分成上下两部分，所求概率即为下面棱台的体积与三棱锥 1 1 S － ABC 的 体 积 之 比 ， 三 棱 锥 S － ABC 的 体 积 为 3 ×( 2 3 1 1 2 ×4 × 2 )×3 ＝ 4 3 ， 上 面 截 得 小 三 棱 锥 的 体 积 是 3 ×( 2 3 4 3－ 2 3 3 3 7 2 ×2 × 2 )×2＝ 2 ，故所求概率为 ＝8. 4 3 答案：A
5．在面积为 S 的△ABC 的边 AB 上任取一点 P，则△PBC S 的面积大于4的概率是( ) 1 1 3 2 A.4 B.2 C.4 D.3
解析：如图所示，设△ABC 的 BC 边上的高为 AD，在 AB 边上任取一点 P，由点 P 作 PE⊥BC，垂足为 E，则易知当 PE 1 S BP 1 ＞4AD 时，△PBC 的面积大于4，即当BA＞4时，△PBC 的面 S S 积大于4. 记 A＝{△PBC 面积大于4}． 由几何概型的概率公式， 3 4 3 得 P(A)＝1＝4. 答案：C
题型四 生活中的几何概型 例 4 两人约定在 20：00 到 21：00 之间相见，并且先到者 必须等迟到者 40 分钟方可离去，如果两人出发是各自独立的， 在 20：00 到 21：00 各时刻相见的可能性是相等的，求两人在 约定时间内相见的概率．