人教A版数学必修一浙江省富阳市第二中学-高一上学期期末复习数学试题5(无答案).docx
浙江省杭州市富阳中学2024-2025学年高一上学期第二次月考数学(实验班)试题
浙江省杭州市富阳中学2024-2025学年高一上学期第二次月考数学（实验班）试题一、单选题1．若集合{}ln 1M x x =<，21xN x x ⎧⎫=<⎨⎬+⎩⎭，则M N = （）A ．{}1x x >-B ．{}1e x x <<C ．{}1e x x -<<D ．{}0e x x <<2．如图，在ABC V 中，设,,2,4AB a AC b BD DC AE ED ==== ，则BE =（）A ．1181515a b- B ．28315a b-C ．1181515a b -+D ．28315a b -+3．某产品的总成本ｙ（万元）与产量ｘ（台）之间的函数关系是ｙ＝３０００＋２０Ｘ－０．１2x （０＜ｘ＜２４０，ｘＮ），若每台产品的售价为２５万元，则生产者不亏本时（销售收入不小于总成本）的最低产量是（）A ．１００台B ．１２０台C ．１５０台D ．１８０台4．已知函数22+3()(21)mm f x n x -+=-，其中m N ∈，若函数()f x 为幂函数且其在(0,+∞)上是单调递增的，并且在其定义域上是偶函数，则m n +=A ．2B ．3C ．4D ．55．已知向量(cos120,sin120)a =︒︒ ，(1,0)b = ，则a 在b上的投影向量为（）A ．32-B ．12b- C ．12bD ．26．已知()0,πα∈，且sin 2αα-=，则tan α=（）A ．B ．3-C D 7．在ABC V 中，2,3,AB AC N ==是边BC 上的点，且,BN NC O =为ABC V 的外心，则AN AO ⋅= （）A ．3B ．134C ．92D ．948．我们知道，函数()f x 的图象关于点(,)P a b 成中心对称图形的充要条件是函数()f x a b +-为奇函数．已知函数()2()2(2)f x x x mx n =+++的对称中心为(1,0)，且与函数3()2g x x k=+的图象有且仅有一个交点，则k 的值为（）A ．5-B ．2-C ．16D ．22二、多选题9．下列说法中正确．．的是（）A ．0AB BA +=uu u r uu r r B ．若a b =r r 且//a b r r ，则a b= C ．若,a b 非零向量且a b a b +=- ，则a b ⊥D ．若//a b r r ，则有且只有一个实数λ，使得b aλ= 10．设函数(){}2mid 2,,2f x x x x =-+，其中{}mid ,,x y z 表示x ，y ，z 中的居中者.下列说法正确的有（）A ．()f x 只有一个最小值点B ．()f x 的值域为[)1,+∞C ．()f x 为偶函数D ．()f x 在0,1上单调递减11．已知函数()sin cos 2f x x x =+，则下列结论正确的是（）A ．函数()f x 的最小正周期为πB ．函数()f x 在π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增C ．π2x =为函数()f x 的一条对称轴D ．函数()f x 在[π,π]-上有且仅有3个零点三、填空题12．已知函数()()πsin ,R 04f x x x ωω⎛⎫=-∈> ⎪⎝⎭的图象在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有四个对称中心，则ω的取值范围为.13．已知函数()e e x x f x -=-，关于θ的不等式(cos27)(42cos )0f f m m θθ-+-≥对任意的ππ,22θ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦恒成立，则实数m 的取值范围为．14．若实数,,a b c 满足2221a b c ++=，则2332ab bc c -+的最大值为．四、解答题15．（1）若,a b 是正常数，,(0,)x y ∈+∞，求证：222()a b a b x y x y++≥+(当且仅当ay bx =时等号成立)．（2）求函数2251()(0)122f x x x x =+<<-的最小值，并求此时x 的值．16．已知33(cos ,sin ),(cos ,sin ),0,22223a b θθθθπθ⎡⎤==-∈⎢⎣⎦（1）求a b a b⋅+ 的最值；（2）是否存在k的值使ka b kb +- ？17．已知函数()sin (0)3f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，其最小正周期与()cos g x x =相同.(1)求()f x 单调减区间和对称中心；(2)若方程()0f x a -=在区间[0，76π]上恰有三个实数根，分别为()123123,,x x x x x x <<，求()321sin 2x x x --的值.18．设函数()f x 的定义域为D ，若存在0x D ∈，使得()00f x x =成立，则称0x 为()f x 的一个“不动点”，也称()f x 在定义域D 上存在不动点.已知函数()()12log 422x x f x a +=-⋅+.(1)若函数()f x 在区间[]0,1上存在不动点，求实数a 的取值范围；(2)设函数()2xg x -=，若[]12,1,0x x ∀∈-，都有()()122f x g x -≤成立，求实数a 的取值范围.19．设集合*P ⊆N ，且P 中至少有两个元素，若集合Q 满足以下三个条件：①*Q ⊆N ，且Q 中至少有两个元素；②对于任意,m n P ∈，当m n ≠，都有+∈m n Q ；③对于任意,∈u v Q ，若v u >，则-∈v u P ；则称集合Q 为集合P 的“耦合集”．(1)若集合{}12,4,6P =，求集合P 1的“耦合集”1Q ；(2)集合{}*21234,,,,,1,2,3,4i P a a a a a i =∈=N ，且1234a a a a <<<，若集合2P 存在“耦合集”2Q ．（i ）求证：对于任意14i j ≤<≤，有2-∈j i a a P ；（ii ）求集合2P 的“耦合集”2Q 的元素个数．。
浙江省富阳场口中学11-12学年高一数学上学期期末复习测试卷.
指数与指数函数(第五课时)1. a 的n 次方根的概念.般地，如果一个数的 n 次方等于a n .1,n ・N“，那么这个数叫做a 的n 次方根,即：若x n = a ，则x 叫做a 的n 次方根， n .1, n • N ”练习1：求下列式子的值： J(- 2)2八；22,^2?，3‘23,$(- 2)4，4込&- 2)52. a 的n 次方根的性质一般地，若n 是奇数，则n a n 二一 若n 是偶数，则：a n = a =例题分析1:例1 .求下列各式的值：(1) 3•匚8厂(3) £(3-江 f例 2 .已知 a<bvO, n > 1, n ^N ",练习2(1)8b 8 +M(a + b f +@(a —b 丫 (a < 0,b v 0 )；( 2 )站(4a 2 -12ab +9b 2 i " a £ 业 |I 2丿3•分数指数幕：m规定：(1)正数的正分数指数幕的意义是a n ----------- a 0,m,n ・N”,n ・1 ；m(2)正数的负分数指数幕的意义是a_n 二 --------- a 0,m, n ・N , n ・1 .4•分数指数幕的运算性质：整数指数幕的运算性质对于分数指数幕也同样适用a _0 a . 0(2) J(-10f(4) <(a -b 丫 (a a b化简：厂a^b 「广a_b .即（1）a r a $ =a r 韦（a = O,r,s E Q ）（2x a r j=a r f a 》O,r,s ）Qrr r3 ab a b a 0,b 0, r 二 Q例题分析2:1^16-2 4 0.25-4（—）…2 8-（…2005）495.指数函数的定义：函数y =a x (a • 0且a =1)叫做指数函数，其中 x 是自变量，函数定义域是Ry = a x (a - 0且a = 1)的图象和性质a>10<a<1图 象1 .1 1 1 L11\1 1\性 质(1)疋义域：(2)值域： ------------ (3 )过定点，(，)(4)在R 上是增函数(4)在R 上是减函数例6 :比较下列各题中两个值的大小:2.530.30.20.33.1① 1.7 ，1.7 ； ② 0.8 ，0.8；③ 1.7 ，0.92 1例3•求值：643 , 625飞,f l 『-（ 14丿2z ^x Hax川、2x+a_22不等式1 ' 〕i 恒成立，则a的取值范围是丘丿12 .丿5.若X。
2023-2024学年浙江省杭州市高一(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年浙江省杭州市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A ＝{x ∈Z |x （x ﹣3）＜0}，B ＝{﹣1，2，3}，则A ∩B ＝（ ） A ．{2}B ．{2，3}C ．{﹣1，1，2，3}D ．∅2．若a ，b ∈R ，则“ab ＞2”是“a ＞√2且b ＞√2”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．函数f(x)=lnx +1x−1的定义域为（ ） A ．（0，+∞）B ．（1，+∞）C ．（0，1）∪（1，+∞）D ．（﹣∞，1）∪（1，+∞）4．要得到函数y ＝2sin2x 的图象，只要将函数y ＝2sin （2x +1）的图象（ ） A ．向左平移1个单位 B ．向右平移1个单位C ．向左平移12个单位D ．向右平移12个单位5．若函数f(x)={2x −3，x ＞0g(x)，x ＜0是奇函数，则g （﹣2）＝（ ）A ．1B ．﹣1C ．−114D ．1146．若sinθ+cosθ=√105(0＜θ＜π)，则tan θ+2sin θcos θ的值为（ ） A ．−3310B ．−185C ．−95D ．1257．已知a ＞1，b ＞0，且a +1b =2，则4a−1+b 的最小值为（ ） A ．4B ．6C ．8D ．98．已知函数f(x)=√x +2+1ax+1(a ∈R)，若对于定义域内任意一个自变量x 都有f （x ）＞0，则a 的最大值为（ ） A ．0B ．12C ．1D ．2二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的或不选的得0分. 9．下列各式的值为12的是（ ）A ．sin （﹣930°）B ．2sinπ12sin 5π12C ．cos33°cos27°+sin33°sin27°D ．tan22.5°1−tan 222.5°10．下列函数的值域为R 且在定义域上单调递增的函数是（ ） A ．f （x ）＝（x ﹣1）3 B ．f （x ）＝2023xC ．f （x ）＝log 2023xD ．f(x)={−1x ，x ≠00，x =011．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设x ∈R ，用[x ]表示不超过x 的最大整数，则y ＝[x ]称为高斯函数，也叫取整函数，则下列叙述正确的是（ ） A ．[cos π4]=0B ．函数y ＝cos x ﹣[cos x ]有3个零点C ．y ＝[cos x ]的最小正周期为2πD ．y ＝[cos x ]的值域为{﹣1，0，1}12．已知函数f （x ）＝sin （ωx +φ）（ω＞0）在区间(π6，2π3)上单调递增，则下列判断中正确的是（ ）A ．ω的最大值为2B ．若φ=−π6，则ω∈（0，1]C ．若f(5π12)＞0，则f(π6)+f(2π3)＜0 D ．若函数y =f(x)−√32两个零点间的最小距离为π6，则ω＝2 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13．log 135−log 1345+432的值为．14．已知函数f （x ）的定义域为R ，且满足f （x ）+f （﹣x ）＝0，f （x +1）﹣f （﹣x ）＝0，则f （x ）可以是 ．（写出一个即可）15．已知sin(α+π4)=35，0＜α＜π，则cos(2α+π4)的值为 ．16．已知下列五个函数：y ＝x ，y =1x，y ＝x 2，y ＝lnx ，y ＝e x ，从中选出两个函数分别记为f （x ）和g （x ），若F （x ）＝f （x ）+g （x ）的图象如图所示，则F （x ）＝ ．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（10分）已知集合A ={x|y =√−2x 2+x +1}，集合B ＝{x |（x +a ﹣1）（x ﹣2a ）≥0，a ∈R }． （1）当a ＝1时，求∁R （A ∪B ）； （2）若A ∩B ＝A ，求实数a 的值．18．（12分）如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，角α和角β(0＜α＜π2＜β＜2π3)的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于点A 、B 两点，点A 的横坐标为35，点C 与点B 关于x 轴对称．（1）求cos(2α−π2)sin 2α+cos2α的值；（2）若cos ∠AOC =−6365，求cos β的值．19．（12分）已知函数f(x)=a x −1a x +a−1(a ∈R ，且a ≠1)是定义在R 上的奇函数．（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）若关于t 方程f （t 2﹣2t ）+f （4﹣kt ）＝0在[1，3]有且仅有一个根，求实数k 的取值范围． 20．（12分）设函数f(x)=2sin(x −π3)，g(x)=f(x −π6)⋅f(x +π6)．（Ⅰ）求函数f （x ）的对称中心；（Ⅱ）若函数g （x ）在区间[0，m ]上有最小值﹣1，求实数m 的最小值．21．（12分）为了进一步增强市场竞争力，某公司计划在2024年利用新技术生产某款运动手表．经过市场调研，生产此款运动手表全年需投入固定成本100万，每生产x （单位：千只）手表，需另投入可变成本R （x ）万元，且R(x)={2x 2+80x +200，0＜x ＜50201x +6400x −5200，x ≥50．由市场调研知，每部手机售价0.2万元，且全年生产的手机当年能全部销售完．（利润＝销售额﹣固定成本﹣可变成本）（1）求2024年的利润W （x ）（单位：万元）关于年产量x （单位：千只）的函数关系式． （2）2024年的年产量为多少（单位：千只）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？22．（12分）已知函数f(x)=|x −3x+2|+m ．（1）若函数y ＝f （x ）有4个零点x 1，x 2，x 3，x 4（x 1＜x 2＜x 3＜x 4），求证：x 1x 2x 3x 4＝9；（2）是否存在非零实数m ，使得函数f （x ）在区间[a ，b ]（0＜a ＜b ）上的取值范围为[2m a ，2mb]？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．2023-2024学年浙江省杭州市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A ＝{x ∈Z |x （x ﹣3）＜0}，B ＝{﹣1，2，3}，则A ∩B ＝（ ） A ．{2}B ．{2，3}C ．{﹣1，1，2，3}D ．∅解：集合A ＝{x ∈Z |x （x ﹣3）＜0}＝{x ∈Z |0＜x ＜3}＝{1，2}，B ＝{﹣1，2，3}，则A ∩B ＝{2}． 故选：A ．2．若a ，b ∈R ，则“ab ＞2”是“a ＞√2且b ＞√2”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解：当ab ＞2时，可能a 、b 都小于−√2，不能推出“a ＞√2且b ＞√2”，充分性不成立； 当a ＞√2且b ＞√2时，必定可以得到ab ＞2，充要性成立． 故选：B ． 3．函数f(x)=lnx +1x−1的定义域为（ ） A ．（0，+∞）B ．（1，+∞）C ．（0，1）∪（1，+∞）D ．（﹣∞，1）∪（1，+∞）解：由函数f(x)=lnx +1x−1，可得x ＞0，且x ≠1， 故函数的定义域为{x |x ＞0，且x ≠1}，即（0，1）∪（1，+∞）． 故选：C ．4．要得到函数y ＝2sin2x 的图象，只要将函数y ＝2sin （2x +1）的图象（ ） A ．向左平移1个单位 B ．向右平移1个单位C ．向左平移12个单位D ．向右平移12个单位解：将函数y ＝2sin （2x +1）的图象向右平移12个单位，可得y ＝2sin2x 的图象，故选：D ．5．若函数f(x)={2x −3，x ＞0g(x)，x ＜0是奇函数，则g （﹣2）＝（ ）A ．1B ．﹣1C ．−114D ．114解：当x ＜0时，f （﹣x ）＞0，则f（﹣x）＝2﹣x﹣3，则﹣f（x）＝2﹣x﹣3，故f（x）＝3﹣2﹣x，所以g（x）＝f（x）＝3﹣2﹣x，故g（﹣2）＝3﹣22＝﹣1．故选：B．6．若sinθ+cosθ=√105(0＜θ＜π)，则tanθ+2sinθcosθ的值为（）A．−3310B．−185C．−95D．125解：由sinθ+cosθ=√105（0＜θ＜π），可得θ为钝角，且|sinθ|＞cosθ，故tanθ＜﹣1，把条件平方可得sinθcosθ=−3 10，∴sinθcosθsin2θ+cos2θ=−310，tanθtan2θ+1=−310，即得tanθ＝﹣3，所有tanθ+2sinθcosθ＝﹣3−35=−185．故选：B．7．已知a＞1，b＞0，且a+1b =2，则4a−1+b的最小值为（）A．4B．6C．8D．9解：由a+1b=2，得(a−1)+1b=1，其中a﹣1＞0，b＞0．所以4a−1+b=[(a−1)+1b](4a−1+b)=5+4b(a−1)+b(a−1)≥5+2√4=9，当且仅当b（a﹣1）＝2，即a=53，b=3时，等号成立．综上所述，4a−1+b的最小值为9．故选：D．8．已知函数f(x)=√x+2+1ax+1(a∈R)，若对于定义域内任意一个自变量x都有f（x）＞0，则a的最大值为（）A．0B．12C．1D．2解：若a＝0，则f（x）=√x+2+1＞0恒成立，符合题意；若a＞0，①当1a=−2，即a=12时，f（x）=√2+x+2x+2，定义域为{x|x＞﹣2}，此时f（x）＞0显然成立，符合题意；②当−1a ＜−2，即0＜a ＜12时，定义域为[﹣2，+∞），则ax +1≥﹣2a +1＞0，此时f （x ）＞0恒成立，符合题意； ③当−1a ＞−2，即a ＞12时，定义域为{x |x ≥﹣2且x ≠−1a }，则取x ＝﹣t −1a ，则f （﹣t −1a ）=√−1a −t +2−1at，令0＜t ≤2−1a ，当t →0时，−1at →﹣∞，f （﹣t −1a ）=√−1a −t +2−1at 可以取得负值，不符合题意；若a ＜0，则函数定义域为{x |x ≥﹣2且x ≠−1a }，令x =−1a +t ，则f （−1a +t ）=√−1a +t +2+1at，当t ＞0且t →0时，1at→﹣∞，f （−1a +t ）=√−1a +t +2+1at 可以取得负值，不符合题意，综上，0＜a ≤12，即a 的最大值为12．故选：B ．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的或不选的得0分. 9．下列各式的值为12的是（ ）A ．sin （﹣930°）B ．2sinπ12sin 5π12C ．cos33°cos27°+sin33°sin27°D ．tan22.5°1−tan 222.5°解：对于A ：sin(−930°)=−sin(720°+210°)=sin30°=12，故A 正确；对于B ：2sinπ12sin 5π12=2sin π12sin(π2−π12)=2sin π12cos π12=sin π6=12，故B 正确； 对于C ：cos33°cos27°+sin33°sin27°＝cos （33°﹣27°）＝cos6°，故C 错误； 对于D ：tan22.5°1−tan 222.5°=12×2tan22.5°1−tan 222.5°=12tan45°=12，故D 正确． 故选：ABD ．10．下列函数的值域为R 且在定义域上单调递增的函数是（ ） A ．f （x ）＝（x ﹣1）3 B ．f （x ）＝2023xC ．f （x ）＝log 2023xD ．f(x)={−1x ，x ≠00，x =0解：根据幂函数的性质及函数图象的平移可知，f （x ）＝（x ﹣1）3在R 上单调递增且f （x ）的值域为R ，A 符合题意；根据指数函数的性质可知，f （x ）＝2023x 的值域为（0，+∞），不符合题意；根据对数函数的性质可知，f （x ）＝log 2023x 在（0，+∞）上单调递增且值域为R ，符合题意； f （x ）={−1x ，x ≠00，x =0在R 上不单调，不符合题意．故选：AC ．11．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设x ∈R ，用[x ]表示不超过x 的最大整数，则y ＝[x ]称为高斯函数，也叫取整函数，则下列叙述正确的是（ ） A ．[cos π4]=0B ．函数y ＝cos x ﹣[cos x ]有3个零点C ．y ＝[cos x ]的最小正周期为2πD ．y ＝[cos x ]的值域为{﹣1，0，1}解：根据题意，依次分析选项：对于A ，[cos π4]＝[√22]＝0，A 正确；对于B ，当x ＝k π+π2，k ∈Z 时，cos x ＝0时，有cos x ﹣[cos x ]＝0，即x ＝k π+π2，k ∈Z 是函数y ＝cos x ﹣[cos x ]的零点，同理：x ＝k π，k ∈Z 也是函数y ＝cos x ﹣[cos x ]的零点， 故函数y ＝cos x ﹣[cos x ]的零点有无数个，B 错误；对于C ，在区间[0，2π）上，y ＝[cos x ]={ 1，x =00，0＜x ≤π2−1，π2＜x ＜3π20，32≤x ＜2π，易得y ＝[cos x ]的最小正周期为2π，C 正确； 对于D ，由C 的结论，y ＝[cos x ]的值域为{﹣1，0，1}，D 正确． 故选：ACD ．12．已知函数f （x ）＝sin （ωx +φ）（ω＞0）在区间(π6，2π3)上单调递增，则下列判断中正确的是（ ）A ．ω的最大值为2B ．若φ=−π6，则ω∈（0，1]C ．若f(5π12)＞0，则f(π6)+f(2π3)＜0 D ．若函数y =f(x)−√32两个零点间的最小距离为π6，则ω＝2 解：由于函数f （x ）＝sin （ωx +φ）（ω＞0）在区间(π6，2π3)上单调递增，故有T 2=πω≥2π3−π6=π2，求得ω≤2，可得ω的最大值为2，故A 正确；若φ=−π6，由于ωx +φ∈（ωπ6−π6，2ωπ3−π6），则2ωπ3+φ=2ωπ3−π6≤π2，求得ω≤1，故ω∈（0，1]，故B 正确； 由于π6+2π32=5π12∈(π6，2π3)，故当f(5π12)＞0时，f(π6)+f(2π3)＞0，C 错误；令y =f(x)−√32=0，得f （x ）=√32，设y ＝f （x ）与y =√32距离最近的两交点的横坐标分别为x 1，x 2，依题意，得[|ωx 1+φ﹣（ωx 2+φ）|]min =2π3−π3=π3，即ω|x 1﹣x 2|min =π3， 因为函数y =f(x)−√32两个零点间的最小距离为π6，即|x 1﹣x 2|min =π6， 所以ω＝2，D 正确． 故选：ABD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13．log 135−log 1345+432的值为10 ．解：原式＝lo g 1319+23＝2+8＝10．故答案为：10．14．已知函数f （x ）的定义域为R ，且满足f （x ）+f （﹣x ）＝0，f （x +1）﹣f （﹣x ）＝0，则f （x ）可以是 f （x ）＝sin （πx ）（答案不唯一） ．（写出一个即可） 解：因为函数f （x ）的定义域为R ，且f （x ）+f （﹣x ）＝0，即f （﹣x ）＝﹣f （x ）， 所以f （x ）是R 上的奇函数， 又因为f （x +1）﹣f （﹣x ）＝0， 所以f （x +1）＝f （﹣x ）＝﹣f （x ）， 所以f （x +2）＝﹣f （x +1）＝f （x ）， 所以f （x ）的周期为2，所以f （x ）的解析式可以是f （x ）＝sin （πx ）． 故答案为：f （x ）＝sin （πx ）（答案不唯一）．15．已知sin(α+π4)=35，0＜α＜π，则cos(2α+π4)的值为 −17√250．解：由于0＜α＜π，故α+π4∈(π4，5π4)，由于sin π4=√22＞sin(α+π4)=35，故α+π4∈(3π4，π)，所以α的终边不可能在第一象限内，只能在第二象限内，故cos(α+π4)=−45，所以sinα＝sin[（α+π4）−π4]=sin(α+π4)cosπ4−cos(α+π4)sinπ4=35×√22+45×√22=7√210，由于α的终边在第二象限内，故cosα=−√1−sin2α=−√210，所以cos(2α+π4)=cos[α+(α+π4)]=cosαcos(α+π4)−sinαsin(α+π4)=√210×45−35×7√210=−17√250．故答案为：−17√2 50．16．已知下列五个函数：y＝x，y=1x，y＝x2，y＝lnx，y＝e x，从中选出两个函数分别记为f（x）和g（x），若F（x）＝f（x）+g（x）的图象如图所示，则F（x）＝x2+1x．解：根据题意，由函数F（x）的定义域为{x|x≠0}，则f（x）、g（x）中一定没有y＝lnx，一定有函数y=1 x ，设f（x）=1 x ，当g（x）＝x时，F（x）＝x+1x，F（x）为奇函数，不符合题意，当g（x）＝e x时，F（x）＝e x+1x，当x→﹣∞时，F（x）＜0，不符合题意；当g（x）＝x2时，F（x）＝x2+1x，当x＜﹣1时，F（x）=x3+1x＜0，当x＜﹣1时，F（x）＞0，当﹣1＜x＜0时，F（x）＜0，当x＞0时，F（x）＞0，符合题意；故F（x）＝x2+1 x ．故答案为：x2+1 x ．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（10分）已知集合A={x|y=√−2x2+x+1}，集合B＝{x|（x+a﹣1）（x﹣2a）≥0，a∈R}．（1）当a＝1时，求∁R（A∪B）；（2）若A∩B＝A，求实数a的值．解：（1）由﹣2x2+x+1≥0，可得−12≤x≤1，故A＝{x|−12≤x≤1}，当a＝1时，B＝{x|x≥2或x≤0}，故A ∪B ＝{x |x ≥2或x ≤1}，所以∁R （A ∪B ）＝{x |1＜x ＜2}；（2）若A ∩B ＝A ，则A ⊆B ，因为A ＝{x |−12≤x ≤1}，B ＝{x |（x +a ﹣1）（x ﹣2a ）≥0，a ∈R }． 当2a ＝1﹣a ，即a =13时，B ＝R ，符合题意， 当2a ＞1﹣a ，即a ＞13时，B ＝{x |x ≥2a 或x ≤1﹣a }， 则{a ＞132a ≤−12或{a ＞131−a ≥1，此时a 不存在； 当2a ＜1﹣a ，即a ＜13时，B ＝{x |x ≥1﹣a 或x ≤2a }， 则{a ＜131−a ≤−12或2a ≥1，此时a 不存在，所以a =13． 18．（12分）如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，角α和角β(0＜α＜π2＜β＜2π3)的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于点A 、B 两点，点A 的横坐标为35，点C 与点B 关于x 轴对称．（1）求cos(2α−π2)sin 2α+cos2α的值； （2）若cos ∠AOC =−6365，求cos β的值．解：（1）∵A 的横坐标为35，又|OA |＝1，且A 在第一象限， ∴A 的纵坐标为45， ∴cos α=35，sin α=45，∴tan α=sinαcosα=43， ∴cos(2α−π2)sin 2α+cos2α=sin2αsin 2α+cos 2α−sin 2α =2sinαcosαcos 2α=2tan α=83；（2）∵cos ∠AOC =−6365， ∴由图可知sin ∠AOC =√1−cos 2∠AOC =√1−(6365)2=1665， 根据题意可得OC 为α﹣∠AOC 的终边，又点C 与点B 关于x 轴对称，OB 为β的终边，∴cos β＝cos （α﹣∠AOC ）＝cos αcos ∠AOC +sin αsin ∠AOC =35×(−6365)+45×1665=−513． 19．（12分）已知函数f(x)=a x −1a x +a−1(a ∈R ，且a ≠1)是定义在R 上的奇函数． （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）若关于t 方程f （t 2﹣2t ）+f （4﹣kt ）＝0在[1，3]有且仅有一个根，求实数k 的取值范围． 解：（Ⅰ）因为y ＝f （x ）是定义在R 上的奇函数，所以f （﹣1）＝﹣f （1），即a −1−1a −1+a−1=−a−12a−1， 即1a −11a +a−1=−a−12a−1，1−a a 2−a+1=−a−12a−1， 所以a 2﹣a +1＝2a ﹣1，解得a ＝1（舍）或a ＝2，所以a ＝2．当a ＝2时，f （x ）=2x−12x +1，定义域为R ， f （﹣x ）=2−x −12−x +1=12x −112x +1=1−2x 1+2x =−2x −12x +1=−f （x ）， 所以函数y ＝f （x ）是R 上的奇函数，故a ＝2；（Ⅱ）因为f （x ）=2x−12x +1=1−22x +1， 设x 1＜x 2，则f （x 1）﹣f （x 2）=22x 2+1−22x 1+1=2(2x 1−2x2)(2x 1+1)(2x 2+1)＜0， 所以f （x 1）＜f （x 2），所以y ＝f （x ）在R 上单调递增，又因为关于t 方程f （t 2﹣2t ）+f （4﹣kt ）＝0在[1，3]有且仅有一个根，即关于t 方程f （t 2﹣2t ）＝﹣f （4﹣kt ）＝f （kt ﹣4）在[1，3]有且仅有一个根，t 2﹣2t ＝kt ﹣4在[1，3]有且仅有一个根，易得t ＝0不满足；当t ≠0时，k ＝t +4t−2在t ∈[1，3]有且仅有一个根， 令h （t ）＝t +4t−2，t ∈[1，3]， 由对勾函数的性质可知y ＝h （t ）在[1，2]上单调递减，在[2，3]上单调递增，所以h （t ）min ＝h （2）＝2，又h （1）＝3，h （3）=73， 如图所示：由此可得当k ＝2或73＜k ≤3时，满足k ＝t +4t −2在t ∈[1，3]有且仅有一个根， 所以实数k 的取值范围为（73，3]∪{2}． 20．（12分）设函数f(x)=2sin(x −π3)，g(x)=f(x −π6)⋅f(x +π6)． （Ⅰ）求函数f （x ）的对称中心；（Ⅱ）若函数g （x ）在区间[0，m ]上有最小值﹣1，求实数m 的最小值．解：（Ⅰ）令x −π3=k π，k ∈Z ，则x =π3+kπ，k ∈Z ， 故函数的对称中心为（k π+π3，0），k ∈Z ； （Ⅱ）g(x)=f(x −π6)⋅f(x +π6)=4sin （x −π2）sin （x −π6）＝﹣4cos x （√32sin x −12cos x ） ＝﹣2√3sin x cos x +2cos 2x=−√3sin2x +cos2x +1＝2cos （2x +π3）+1， 若函数g （x ）在区间[0，m ]上有最小值﹣1，即cos （2x +π3）在[0，m ]上取得最小值﹣1，令2x +π3=π，可得x =π3， 故m 的最小值为π3． 21．（12分）为了进一步增强市场竞争力，某公司计划在2024年利用新技术生产某款运动手表．经过市场调研，生产此款运动手表全年需投入固定成本100万，每生产x （单位：千只）手表，需另投入可变成本R （x ）万元，且R(x)={2x 2+80x +200，0＜x ＜50201x +6400x−5200，x ≥50．由市场调研知，每部手机售价0.2万元，且全年生产的手机当年能全部销售完．（利润＝销售额﹣固定成本﹣可变成本）（1）求2024年的利润W （x ）（单位：万元）关于年产量x （单位：千只）的函数关系式．（2）2024年的年产量为多少（单位：千只）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？解：（1）W （x ）＝0.2×1000×x ﹣R （x ）﹣100＝200x ﹣R （x ）﹣100，当0＜x ＜50时，W （x ）＝200x ﹣（2x 2+80x +200）﹣100＝﹣2x 2+120x ﹣300，当x ≥50时，W(x)=200x −(201x +6400x −5200)−100=−(x +6400x)+5100， 故W （x ）={−2x 2+120x −300(0＜x ＜50)−(x +6400x)+5100(x ≥50)； （2）若0＜x ＜50，W （x ）＝﹣2x 2+120x ﹣300＝﹣2（x ﹣30）2+1500，当x ＝30时，W （x ）max ＝1500，若x ≥50，W(x)=−(x +6400x)+5100≤−2√6400+5100=4940，当且仅当x ＝80时，等号成立， 所以当x ＝80时，W （x ）max ＝4940，故2024年的年产量为80千部时，企业所获利润最大，最大利润是4940万元．22．（12分）已知函数f(x)=|x −3x+2|+m ． （1）若函数y ＝f （x ）有4个零点x 1，x 2，x 3，x 4（x 1＜x 2＜x 3＜x 4），求证：x 1x 2x 3x 4＝9；（2）是否存在非零实数m ，使得函数f （x ）在区间[a ，b ]（0＜a ＜b ）上的取值范围为[2m a ，2m b]？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．证明：（1）因为函数f(x)=|x −3x+2|+m 有4个零点x 1，x 2，x 3，x 4（x 1＜x 2＜x 3＜x 4）， 所以方程f(x)=|x −3x+2|+m =0有4个不同的解x 1，x 2，x 3，x 4（x 1＜x 2＜x 3＜x 4）， 于是方程x −3x +2+m =0，−(x −3x+2)+m =0都各有两个不同的解， 即方程x 2+（2+m ）x ﹣3＝0，x 2+（2﹣m ）x ﹣3＝0各有两个实数根，于是x 1x 2x 3x 4＝9；解：（2）f(x)=|x −3x +2|+m ={x −3x +2+m ，x ≥1−x +3x−2+m ，0＜x ＜1， 所以y ＝f （x ）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增； ①若函数f （x ）在[a ，b ]上不单调，则有0＜a ≤1＜b ，且f(1)=m =2m a ， 由于m ≠0，所以a ＝2，与假设矛盾；②当1≤a ＜b 时，有{f(a)=2m a f(b)=2m b ，即{a −3a +2+m =2m a b −3b +2+m =2m b ， 所以{a 2+(m +2)a −3−2m =0b 2+(m +2)b −3−2m =0， 所以a ，b 是一元二次方程x 2+（m +2）x ﹣3﹣2m ＝0的两个不相等的实数根， 记g （x ）＝x 2+（m +2）x ﹣3﹣2m ，有{Δ=(m +2)2+4(2m +3)＞0−m+22≥11+(m +2)−3−2m ＞0，所以m ＜−6−2√5， ③当0＜a ＜b ≤1时，应有{f(a)=2m b f(b)=2m a ，即{−a +3a −2+m =2m b −b +3b −2+m =2m a， 两式相减得到ab +3＝﹣2m ∈（3，4），所以m ∈(−2，−32)， 两式相加得：a +b =(2m+3)(m−2)3， 又ab ＝﹣（2m +3），∴1a +1b =a+b ab =2−m 3∈(2，+∞)， ∴m ＜﹣4，与m ∈(−2，−32)矛盾， 此时满足条件的实数m 不存在，综合以上讨论，满足条件的实数m 的取值范围是(−∞，−6−2√5)．。
高一上学期期末考试数学试题(原卷版)
A. 的最小正周期为
B. 图象的一个对称中心为
C. 的值域为
D. 图象的一条对称轴方程为
12.定义：实数 满足 则称 比 远离 .已知函数 的定义域为 任取 等于 和 中远离0的那个值则（）
高一数学试卷
试卷120分钟满分：150分
一选择题：本题共8小题每小题5分共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.
1.下列函数中周期为 的是（）
A. B.
C. D.
2.函数 的单调递增区间为（）
A. B.
C. D.
3.函数 的部分图象如图所示则 可能是（）
A B.
C. D.
4.已知角 的终边在射线 上则 的值为（）
17.已知复数 .
（1）若 是实数求 的值；
（2）若复数 在复平面内对应的点在第三象限且 求实数 的取值范围.
18 已知 .
（1）若 三点共线求 满足的等量关系；
（2）在（1）条件下求 的最小值.
19.问题：在 中内角A 所对的边分别为a .
（1）求A；
（2）若 的面积为 ________求 .
请在① ；② ；③ 这三个条件中选择一个补充在上面的横线上并完成解答.
20.某网红景区拟开辟一个平面示意图如图 五边形 观光步行道 为景点电瓶车专用道 .
（1）求 的长；
（2）请设计一个方案使得折线步行道 最长（即 最大）.
21.如图所示在 中 与 相交于点 . 的延长线与边 交于点 .
（1）试用 表示 ；
（2）设 求 的值.
22.已知 的内角 所对的边分别为 向量 .
浙江省富阳市第二中学高中数学 4.2.1直线与圆的关系(1)练习题(无答案)新人教A版必修2
浙江省富阳市第二中学高中数学 4.2.1直线与圆的关系（1）练习题（无答案）
新人教A 版必修2
1.直线034=-y x 和圆0451822=--+x y x 的位置关系是（ ）
A ．相交
B 、相离
C 、相切
D 、不确定
2．圆122=+y x 与直线2+=kx y 相离，则实数k 的取值范围是（ ）
A ．),2()2,(+∞⋃--∞
B 、),3()3,(+∞⋃--∞
C 、),2,2(-
D 、)3,3(-
3．若直线2=-y x 被圆4)(22=+-y a x 所截得的弦长为22，则实数a=_____
4．从点P （1，-2）引圆4)1()1(22=-++y x 的切线，则切线长是__________。
5．圆0126422=-+-+y x y x 过点（-1，0）的最大弦长是_______,最小弦长是______.
6．圆034222=-+++y x y x 上到直线01=++y x 的距离为2的点有_______个。
7．过点（-1，-2）的直线L 被圆012222=+--+y x y x 截得的弦长为2，则直线L 的斜率为_____________。
8．直线0=-++a b by ax 与圆0322=--+x y x 的位置关系是______________。
9．如果实数x,y 满足05422=--+x y x ，求（1）
5
6-+x y 的最大值；（2）x y -的最小值；（3）22y x +的最大值。
10．半径为5的圆C 过点A （-2，4），且以M （-1，3）为中点的弦长为34，求此圆的方程。
11．求过点P （2，3）且圆42
2=+y x 相切的直线方程。
浙江省富阳市第二中学高中数学 数形结合练习题(无答案)新人教A版必修2
浙江省富阳市第二中学高中数学 数形结合练习题（无答案）新人教A 版必修21．直线x －2y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线方程是（ ）A ．x ＋2y －1＝0B ．2x ＋y －1＝0C ．2x ＋y －3＝0D ．x ＋2y －3＝02．若y ＝a ｜x ｜的图象与直线y ＝x ＋a （a ＞0）有两个不同交点，则a 的取值范围是 （ ）A ．0＜a ＜1B ．a ＞1C ．a ＞0且a ≠1D ．a ＝13.已知定点P(x 0,y 0)不在直线l:f(x, y)=0上，则f(x,y)-f(x 0,,y 0)=0表示一条（ ）A ．过点P 且与l 垂直的直线B 。
过点P 且与l 平行的直线C ．不过点P 且垂直于l 的直线D 。
不过点P 且平行于l 的直线4.已知两条直线0111=-+y b x a 、0122=-+y b x a 的交点为P （2，3），则过),(111y x Q 、),(222y x Q 两点的直线方程为_____________________.5.函数8452)(22+++++=x x x x x f 的最小值是________.6.若直线m 被两平行线12:10:30l x y l x y -+=-+=与所截得的线段的长为22，则m 的倾斜角可以是： ①15o ②30o ③45o ④60o⑤75o其中正确答案的序号是 .（写出所有正确答案的序号）7．已知过点A （6，2）的直线和过点B （-3，-1）的直线互相平行，若它们之间的距离为d ，求：（1）d 的取值范围；（2）当d 取最大值时两条直线的方程。
8．设点A(－3，5)和B(2，15)，在直线l ：3x －4y ＋4＝0上找一点P ，使|PA|+|PB|为最小，并求出这个最小值．9．直线l 过点M(2，1)，且分别交x 轴y 轴的正半轴于点A 、B ，O 为坐标原点．(1)当△AOB 的面积最小时，求直线l 的方程；(2)当|MA|·|MB|取最小值时，求直线l 的方程．10．已知定点P(6, 4)与直线l 1:y ＝4x ，过点P 的直线l 与l 1交于第一象限的Q 点，与x 轴正半轴交于点M ．求使△OQM 面积最小的直线l 的方程．11．已知实数x ，y 满足2x ＋y ＝8，当2≤x ≤3时，求y x的最值.12．已知x 、y 满足约束条件 ⎪⎩⎪⎨⎧≥++≤-+≤--0104011702357y x y x y x 分别求：（1） z ＝2x ＋y（2） z ＝（x-2）2+（y+5）2的最大值、最小值？13．已知集合A ＝｛（x ，y ）｜y －3x －2 ＝a ＋1｝，B ＝｛（x ，y ）｜（a 2－1）x ＋（a －1）y ＝15｝，求a 为何值时，A ∩B ＝∅.。
2023-2024学年浙江省杭州二中高一(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年浙江省杭州二中高一（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求.1．函数f(x)=lnx −1x的零点所在的大致区间是（ ）A ．（1，2）B ．（2，e ）C ．（e ，3）D ．（e ，+∞）2．设函数f （x ）＝sin （x +θ），则“cos θ＝0”是“f （x ）为偶函数”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．下列四个函数中的某个函数在区间[−π2，π2]上的大致图象如图所示，则该函数是（ ）A ．y =x 3−x 2x +2−xB ．y =xcos2x2x +2−x C ．y =1−x 22x +2−x D ．y =sin2x 2x +2−x 4．《九章算术》是一部中国古代的数学专著．全书分为九章，共收有246个问题，内容丰富，而且大多与生活实际密切联系．第一章《方田》收录了38个问题，主要讲各种形状的田亩的面积计算方法，其中将圆环或不足一匝的圆环形田地称为“环田”．书中提到这样一块“环田”：中周九十二步，外周一百二十二步，径五步，如图所示，则其所在扇形的圆心角大小为（ ）（单位：弧度）（注：匝，意为周，环绕一周叫一匝．）A ．3B ．4C ．5D ．65．已知cos(θ−π12)=34，则sin(2θ+π3)=（ ） A ．−716B ．−18C ．18D ．7166．已知函数f （x ）＝cos （ωx +φ）（ω＞0，|φ|＜π2）的部分图象如图所示，x 1，x 2是f （x ）的两个零点，若x 2＝4x 1，则下列不为定值的量是（ ）A ．φB ．ωC ．ωx 1D ．ωx 1φ7．已知x ＞0，y ＞0，且3x +1y=1，则2x +y +xy 的最小值为（ ）A ．9B ．10C ．12D ．138．若关于x 的方程(x+1)2x+m(x−1)2x 2+1=5恰有三个不同的实数解x 1，x 2，x 3，且x 1＜0＜x 2＜x 3，其中m ∈R ，则x 1+x 2+x 3的值为（ ） A ．32B ．12C ．1D ．2二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．下列命题正确的是（ ）A ．设α是第一象限角，则α2为第一或第三象限角B ．√3sinα+cosα=2sin(α+π3)C ．在△ABC 中，若点O 满足OA →+OB →+OC →=0→，则O 是△ABC 的重心 D ．|(a →⋅b →)c →|≤|a →||b →||c →|10．符号[x ]表示不超过x 的最大整数，如[π]＝3，[﹣1.08]＝﹣2，定义函数{x }＝[x ]﹣x ，那么下列命题中正确的是（ ）A ．函数{x }的值域为[﹣1，0]B ．函数[{x ）]的值域为{﹣1，0}C ．函数{x }是周期函数D ．函数{x }是减函数11．已知函数f(x)=2sin(ωx +φ)+1(ω＞0，|φ|＜π2)，满足f(x)+f(−π3−x)=2，且对任意x ∈R ，都有f(x)≥f(−5π12)，当ω取最小值时，则下列正确的是（ ） A ．f （x ）图象的对称中心为(kπ2−π6，1)k ∈Z B ．f （x ）在[−π12，π6]上的值域为[√3+1，3] C ．将函数y ＝2sin2x +1的图象向左平移π6个单位长度得到f （x ）的图象D ．f （x ）在[π6，π2]上单调递减12．如图所示，在边长为3的等边三角形ABC 中，AD →=23AC →，且点P 在以AD 的中点O 为圆心，OA 为半径的半圆上，若BP →=xBA →+yBC →，则（ ）A ．BD →=13BA →+23BC →B ．x +y 的最大值为1+√33C ．BP →⋅BC →最大值为9D ．BO →⋅DO →=1三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．函数y ＝tan x 的定义域为 ．14．若a ＝sin1，b ＝ln sin1，c ＝e sin1，则三数a ，b ，c 中最小数为 ．15．在解析几何中，设P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2）为直线l 上的两个不同的点，则我们把P 1P 2→及与它平行的非零向量都称为直线l 的方向向量，把与直线l 垂直的向量称为直线l 的法向量，常用n →表示，此时P 1P 2→⋅n →=0．若点P ∉l ，则可以把PP →在法向量n →上的投影向量的模叫做点P 到直线l 的距离．现已知平面直角坐标系中，P （﹣2，﹣2），P 1（2，1），P 2（﹣1，3），则点P 到直线l 的距离为 ． 16．对于非空集合M ，定义Φ(x)={0，x ∉M 1，x ∈M，若A ={x|sinx ≥√22}，B ＝（a ，2a ），且存在x ∈R ，ΦA （x ）+ΦB （x ）＝2，则实数a 的取值范围是 ．四、解答题：本题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）已知角α的始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆的交点M 的坐标为(45，y 0)，且α∈(3π2，2π)． （1）求cos α，sin α的值； （2）cos(π+α)+cos(π2+α)sin(π2−α)⋅tan(π−α)的值． 18．（12分）如图所示，设Ox ，Oy 是平面内相交成60°角的两条数轴，e 1→，e 2→分别是与x 轴，y 轴正方向同向的单位向量，若向量OP →=xe 1→+ye 2→(x ，y ∈R)，则把有序数对（x ，y ）叫做向量OP →在坐标系xOy 中的坐标．（1）设OM →=(0，3)，ON →=(4，0)，求OM →⋅ON →的值； （2）若OP →=(3，4)，求|OP →|的大小．19．（12分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且向量m →=(c ，a −b)，n →=(sinB −sinC ，sinA +sinB)，m →⊥n →． （1）求角A 的大小；（2）若a ＝2，△ABC 的周长为l ，面积为S ，求Sl的最大值．20．（12分）如图所示，有一条“L ”形河道，其中上方河道宽√2m ，右侧河道宽√6m ，河道均足够长．现过点D 修建一条栈道AB ，开辟出直角三角形区域（图中△OAB ）养殖观赏鱼，且∠OAB =θ(0＜θ＜π2)，点H 在线段AB 上，且OH ⊥AB ．线段OH 将养殖区域分为两部分，其中OH 上方养殖金鱼，OH 下方养殖锦鲤．（1）当养殖区域面积最小时，求θ的值，并求出最小面积；（2）若游客可以在栈道AH 上投喂金鱼，在河岸OB 与栈道HB 上投喂锦鲤，且希望投喂锦鲤的道路长度不小于投喂金鱼的道路长度，求θ的取值范围．21．（12分）设a ∈R ，函数f （x ）＝sin 2x ﹣cos x ﹣a ，x ∈(π2，π)．（1）讨论函数f （x ）的零点个数；（2）若函数f （x ）有两个零点x 1，x 2，试证明：11−tanx 1tanx 2≤tanx 1tanx 2−3．2023-2024学年浙江省杭州二中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求.1．函数f(x)=lnx −1x的零点所在的大致区间是（ ）A ．（1，2）B ．（2，e ）C ．（e ，3）D ．（e ，+∞）解：∵y ＝lnx 在（0，+∞）上单调递增，y =−1x 在（0，+∞）上单调递增，∴函数f(x)=lnx −1x在（0，+∞）上单调递增，又f （1）＝ln 1﹣1＝﹣1＜0，f （2）＝ln 2−12=ln 2﹣ln √e ＞0，∴由零点存在性定理得函数f(x)=lnx −1x的零点所在的大致区间是（1，2），故选：A ．2．设函数f （x ）＝sin （x +θ），则“cos θ＝0”是“f （x ）为偶函数”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解：若f （x ）＝sin （x +θ）为偶函数，则θ＝k π+π2（k ∈Z ），故cos θ＝0，反之亦然，故cos θ＝0”是“f （x ）为偶函数”的充分必要条件． 故选：C ．3．下列四个函数中的某个函数在区间[−π2，π2]上的大致图象如图所示，则该函数是（ ）A ．y =x 3−x2x +2−xB ．y =xcos2x 2x +2−xC ．y =1−x 22x +2−xD ．y =sin2x 2x +2−x 解：由偶函数定义可得y =1−x 22x +2−x 为偶函数，由题给图象可知函数是奇函数，排除C ； 当0＜x ＜1时，x 3﹣x ＜0，y =x 3−x2x +2−x ＜0．排除A ； 当x =π2时，y =sin(2×π2)2π2+2−π2=0．排除D ；y =xcos2x 2x +2−x 为奇函数，且当0＜x ＜π4时，y =xcos2x 2x +2−x ＞0， 当x =π2时，y =π2⋅cos(2×π2)2π2+2−π2=−π22π2+2−π2＜0．B 均符合题给特征． 故选：B ．4．《九章算术》是一部中国古代的数学专著．全书分为九章，共收有246个问题，内容丰富，而且大多与生活实际密切联系．第一章《方田》收录了38个问题，主要讲各种形状的田亩的面积计算方法，其中将圆环或不足一匝的圆环形田地称为“环田”．书中提到这样一块“环田”：中周九十二步，外周一百二十二步，径五步，如图所示，则其所在扇形的圆心角大小为（ ）（单位：弧度）（注：匝，意为周，环绕一周叫一匝．）A ．3B ．4C ．5D ．6解：设所在扇形圆心角为α，中周对应的半径为r 步，则外周对应的半径为（r +5）步， 则{αr =92α(r +5)=122，解得α＝6，r =463，所以扇形的圆心角为6．故选：D ． 5．已知cos(θ−π12)=34，则sin(2θ+π3)=（ ） A ．−716B ．−18C ．18D ．716解：已知cos(θ−π12)=34，则cos(2θ−π6)=2cos 2(θ−π12)−1=18， 则sin(2θ+π3)=sin(2θ−π6+π2)=cos(2θ−π6)=18．故选：C ．6．已知函数f （x ）＝cos （ωx +φ）（ω＞0，|φ|＜π2）的部分图象如图所示，x 1，x 2是f （x ）的两个零点，若x 2＝4x 1，则下列不为定值的量是（ ）A ．φB ．ωC ．ωx 1D ．ωx 1φ解：函数f （x ）＝cos （ωx +φ），ω＞0的周期为2πω，令f（x）＝0，可得ωx+φ=kπ+π2，k∈Z，所以x=kπ+π2−φω，即x=2kπ+π−2φ2ω，k∈Z，又ω＞0，|φ|＜π2，所以0＜φ＜π2，x1=π−2φ2ω，x2=3π−2φ2ω，又x2＝4x1，所以3π−2φ2ω=4×π−2φ2ω，所以φ=π6，ωx1=π−2φ2ω•ω=π2−φ=π2−π6=π3，ωx1φ=π3π6=2，∴不为定值的量是ω．故选：B．7．已知x＞0，y＞0，且3x +1y=1，则2x+y+xy的最小值为（）A．9B．10C．12D．13解：因为x＞0，y＞0，且3x +1y=1，两边同时乘以x，可得xy=x﹣3，所以2x+y+xy=2x+y+x﹣3＝3x+y﹣3＝（3x+y）（3x+1y）﹣3＝9+1+3yx+3xy−3≥7+2√3yx⋅3xy=13，当且仅当3yx=3xy，即x＝y＝4时取等号，所以2x+y+xy的最小值为13．故选：D．8．若关于x的方程(x+1)2x+m(x−1)2x2+1=5恰有三个不同的实数解x1，x2，x3，且x1＜0＜x2＜x3，其中m∈R，则x1+x2+x3的值为（）A．32B．12C．1D．2解：依题意可知x≠0，由(x+1)2x+m(x−1)2x2+1=5整理得x+1x+m﹣3﹣2m•1x+1x=0，①即关于x的方程恰有三个不同的实数解x1，x2，x3，且x1＜0＜x2＜x3，令t＝x+1x，则t≤﹣2或t≥2，则①转化为：t+m﹣3﹣2m⋅1t=0，即t2+（m﹣3）t﹣2m＝0，Δ＝（m﹣3）2+8m＝m2+2m+9＞0，根据对勾函数的性质可知t ＝x 1+1x 1=−2是方程t 2+（m ﹣3）t ﹣2m ＝0的一个根，此时x 1＝﹣1， 所以（﹣2）2+（m ﹣3）×（﹣2）﹣2m ＝0，m =52，所以t 2−12t ﹣5＝0，解得t ＝﹣2或t =52，所以x 2，x 3是方程x +1x =52的根，即x 2−52x +1＝0的根，所以x 2+x 3=52，所以x 1+x 2+x 3＝﹣1+52=32．故选：A ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．下列命题正确的是（ ）A ．设α是第一象限角，则α2为第一或第三象限角B ．√3sinα+cosα=2sin(α+π3)C ．在△ABC 中，若点O 满足OA →+OB →+OC →=0→，则O 是△ABC 的重心 D ．|(a →⋅b →)c →|≤|a →||b →||c →|解：对于A ：由于α是第一象限角，故2kπ＜α＜2kπ+π2，（k ∈Z ），故kπ＜α2＜kπ+π4，（k ∈Z ），当k ＝0时，0＜α2＜π4，当k ＝1时，π＜π2＜5π4，故α2为第一或第三象限角，故A 正确；对于B ：√3sinα+cosα=2sin(α+π6)，故B 错误；对于C ：在△ABC 中，设点D 为AB 的中点，若点O 满足OA →+OB →+OC →=0→，整理得OC →=−OA →−OB →，即OC →=−2OD →，则O 是△ABC 的重心，故C 正确；对于D ：由于|a →⋅b →|≤|a →||b →|，所以|(a →⋅b →)⋅c →|≤|a →||b →||c →|，故D 正确． 故选：ACD ．10．符号[x ]表示不超过x 的最大整数，如[π]＝3，[﹣1.08]＝﹣2，定义函数{x }＝[x ]﹣x ，那么下列命题中正确的是（ ）A ．函数{x }的值域为[﹣1，0]B ．函数[{x ）]的值域为{﹣1，0}C ．函数{x }是周期函数D ．函数{x }是减函数解：对于A ，若{x }＝﹣1，即[x ]﹣x ＝﹣1，所以x ＝[x ]+1∈Z ，所以[x ]＝[[x ]+1]＝[x ]+1，矛盾，故A 错误；对于B，当x∈Z时，则{x}＝0；当x∉Z时，﹣1＜[x]﹣x＜0，所以[{x}]＝﹣1，所以函数[{x）]的值域为{﹣1，0}，故B正确；对于C，{x+1}＝[x+1]﹣（x+1）＝[x]+1﹣（x+1）＝[x]﹣x，所以函数{x}是周期函数，故C正确；对于D，取x＝1，则{1}＝[1]﹣1＝0，{2}＝[2]﹣2＝0，所以函数{x}不是减函数，故D错误．故选：BC．11．已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)+1(ω＞0，|φ|＜π2)，满足f(x)+f(−π3−x)=2，且对任意x∈R，都有f(x)≥f(−5π12)，当ω取最小值时，则下列正确的是（）A．f（x）图象的对称中心为(kπ2−π6，1)k∈ZB．f（x）在[−π12，π6]上的值域为[√3+1，3]C．将函数y＝2sin2x+1的图象向左平移π6个单位长度得到f（x）的图象D．f（x）在[π6，π2]上单调递减解：函数f(x)=2sin(ωx+φ)+1(ω＞0，|φ|＜π2)，满足f(x)+f(−π3−x)=2，可得f（x）的图象关于点（−π6，1）对称，即有−π6ω+φ＝kπ，k∈Z，即φ＝kπ+π6ω，k∈Z，由对任意x∈R，都有f(x)≥f(−5π12)，可得f（x）在x=−5π12处取得最小值，所以−5π12ω+φ＝2mπ−π2，m∈Z，即有π6ω−5π12ω＝（2m﹣k）π−π2，即有ω＝4（k﹣2m）+2，k﹣2m∈Z，因为ω＞0，|φ|＜π2，又ω能取最小值，所以k﹣2m＝0，可得ω＝2，则φ＝kπ+π3＜π2，解得k＝0，φ=π3，所以f（x）＝2sin（2x+π3）+1，由2x+π3=kπ+π2，k∈Z，可得x=kπ2+π12，k∈Z，即有f（x）的对称轴方程为x=kπ2+π12，k∈Z，故A错误； 当x ∈[−π12，π6]时，2x +π3∈[π6，2π3]，可得sin （2x +π3）∈[12，1]，则f （x ）的值域为[2，3]，故B 错误； 将函数y ＝2sin2x +1的图象向左平移π6个单位长度得到函数y ＝2sin （2x +π6）+1的图象，故C 正确；当x ∈[π6，π2]时，2x +π3∈[2π3，4π3]是f （x ）的减区间，故D 正确．故选：CD ．12．如图所示，在边长为3的等边三角形ABC 中，AD →=23AC →，且点P 在以AD 的中点O 为圆心，OA 为半径的半圆上，若BP →=xBA →+yBC →，则（ ）A ．BD →=13BA →+23BC →B ．x +y 的最大值为1+√33C ．BP →⋅BC →最大值为9D ．BO →⋅DO →=1解：对于选项A ，∵AD →=23AC →，且点P 在以AD 的中点O 为圆心，OA 为半径的半圆上，∴OA =OD =DC =13AC ，∴BD →=BC →+CD →=BC →+13CA →=BC →+13(BA →−BC →)=13BA →+23BC →，故A 正确；对于选项B ，∵BP →=xBA →+yBC →，∴(cosα−12，sinα−3√32)=(−32(x −y)，−3√32(x +y))，∴sinα−3√32=−3√32(x +y)， ∴x +y =−2√39sinα+1， 又∵α∈[π，2π]， ∴当α=3π2时，x +y 取得最大值2√39+1，故B 错误； 对于选项C ，以点O 为原点建立平面直角坐标系，如图所示：则A(−1，0)，B(12，3√32)，C(2，0)，∵点P 在以AD 的中点O 为圆心，OA 为半径的半圆上， ∴点P 的轨迹方程为x 2+y 2＝1，且在x 轴的下半部分， 设P （cos α，sin α），α∈[π，2π]，则BP →=(cosα−12，sinα−3√32)，BC →=(32，−3√32)，BA →=(−32，−3√32)，∴BP →⋅BC →=32cosα−34−3√32sinα+274=3cos(α+π3)+6，又∵α∈[π，2π]，∴α+π3∈[4π3，7π3]， ∴当α+π3=2π时，BP →⋅BC →取得最大值9，故C 正确； 对于选项D ，∵BO →=BC →+CO →=BC →+23CA →=BC →+23(BA →−BC →)=23BA →+13BC →，∴BD →⋅BO →=(13BA →+23BC →)⋅(23BA →+13BC →)=29BA →2+29BC →2+59BA →⋅BC →=2+2+59×3×3×12=132，故D 错误． 故选：AC ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．函数y ＝tan x 的定义域为 {x |x ≠k π+π2，k ∈Z } ．解：根据正切函数y ＝tan x 的定义知，其定义域为{x |x ≠k π+π2，k ∈Z }．故答案为：{x|x ≠kπ+π2，k ∈Z}．14．若a ＝sin1，b ＝ln sin1，c ＝e sin1，则三数a ，b ，c 中最小数为 b ． 解：因为0＜sin1＜sin π3＜1，ln sin1＜ln 1＜0，e sin1＞e 0，所以0＜a ＜1，b ＜0，c ＞1， 所以最小的数是b ． 故答案为：b ．15．在解析几何中，设P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2）为直线l 上的两个不同的点，则我们把P 1P 2→及与它平行的非零向量都称为直线l 的方向向量，把与直线l 垂直的向量称为直线l 的法向量，常用n →表示，此时P 1P 2→⋅n →=0．若点P ∉l ，则可以把PP →在法向量n →上的投影向量的模叫做点P 到直线l 的距离．现已知平面直角坐标系中，P （﹣2，﹣2），P 1（2，1），P 2（﹣1，3），则点P 到直线l 的距离为 17√1313． 解：由题意得，P 1P 2→=（﹣3，2），所以与P 1P 2→垂直的向量n →可取为（2，3），即直线l 的一个法向量为n →=（2，3）， 又PP 1→=（4，3），所以点P 到直线l 的距离d =|PP 1→⋅n →||n →|=8+9√4+9=17√1313．故答案为：17√1313． 16．对于非空集合M ，定义Φ(x)={0，x ∉M 1，x ∈M，若A ={x|sinx ≥√22}，B ＝（a ，2a ），且存在x ∈R ，ΦA （x ）+ΦB （x ）＝2，则实数a 的取值范围是 （π8，3π4）∪（9π8，+∞） ．解：A ＝{x |sin x ≥√22}＝{x |π4+2k π≤x ≤2k π+3π4，k ∈Z }， 存在x ∈R ，ΦA （x ）+ΦB （x ）＝2，即存在x ∈R ，ΦA （x ）＝1且ΦB （x ）＝1， 即存在x ∈R ，使得x ∈A 且x ∈B ， 即A ∩B ≠∅，显然a ＞0，①当0＜a ＜π4时，则2a ＞π4，即有π8＜a ＜π4；②当π4≤a ＜3π4时，显然满足A ∩B ≠∅； ③当a ≥3π4时，则2a ＞9π4，即有9π8＜a ＜11π4； ④当a ≥11π4时，2a ﹣a ＝a ＞2π，满足题意． 综上所述，实数a 的取值范围是（π8，3π4）∪（9π8，+∞）．故答案为：（π8，3π4）∪（9π8，+∞）．四、解答题：本题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）已知角α的始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆的交点M 的坐标为(45，y 0)，且α∈(3π2，2π)． （1）求cos α，sin α的值；（2）cos(π+α)+cos(π2+α)sin(π2−α)⋅tan(π−α)的值． 解：（1）∵α∈(3π2，2π) ∴y 0＜0，∵(45)2+y 02=1， ∴y 0=−35，∴sin α＝y 0=−35，cos α＝x 0=45；（2）cos(π+α)+cos(π2+α)sin(π2−α)⋅tan(π−α)=−cosα−sinαcosα⋅(−tanα) 由（1）知：sin α=−35，cos α=45，所以tan α=−34，所以=−cosα−sinαcosα⋅(−tanα)=−45+3545×34=−1535=−13．18．（12分）如图所示，设Ox ，Oy 是平面内相交成60°角的两条数轴，e 1→，e 2→分别是与x 轴，y 轴正方向同向的单位向量，若向量OP →=xe 1→+ye 2→(x ，y∈R)，则把有序数对（x ，y ）叫做向量OP →在坐标系xOy中的坐标．（1）设OM →=(0，3)，ON →=(4，0)，求OM →⋅ON →的值； （2）若OP →=(3，4)，求|OP →|的大小．解：（1）由题意知，OM →=3e 2→，ON→=4e 1→，所以OM →⋅ON →=12e 1→⋅e 2→=12cos60°=6．（2）因为OP →=(3，4)， 所以OP →=3e 1→+4e 2→，所以|OP →|2=(3e 1→+4e 2→)2=9|e 1→|2+24e 1→⋅e 2→+16|e 2→|2=25+24cos60°=37， 所以|OP →|=√37．19．（12分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且向量m →=(c ，a −b)，n →=(sinB −sinC ，sinA +sinB)，m →⊥n →． （1）求角A 的大小；（2）若a ＝2，△ABC 的周长为l ，面积为S ，求Sl的最大值．解：（1）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且向量m →=(c ，a −b)，n →=(sinB −sinC ，sinA +sinB)，m →⊥n →，因为m →⊥n →，所以m →⋅n →=(c ，a −b)⋅(sinB −sinC ，sinA +sinB)=0，即c （sin B ﹣sin C ）+（a ﹣b ）（sin A +sin B ）＝0，故c （b ﹣c ）+（a ﹣b ）（a +b ）＝0， 整理得到a 2＝b 2+c 2﹣bc ，即cosA =12，又A ∈（0，π），故A =π3，则角A 的大小为π3；（2）若a ＝2，△ABC 的周长为l ，面积为S ，由余弦定理，得a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ，即4＝b 2+c 2﹣bc ， 所以4＝（b +c ）2﹣3bc ，即bc =13[(b +c)2−4]，因为S =12bcsinA =√34bc ，l ＝b +c +2，所以S l =√3bc 4(b+c+2)=√3[(b+c)2−4]12(b+c+2)=√312(b +c −2)，又bc ≤(b+c)24（当且仅当b ＝c 时取等号），所以4=(b +c)2−3bc ≥(b+c)24（当且仅当b ＝c ＝2时取等号），所以b +c ≤4（当且仅当b ＝c ＝2时取等号），所以S l =√312(b +c −2)≤√312×(4−2)=√36（当且仅当b ＝c ＝2时取等号），即Sl 的最大值为√36（当且仅当b ＝c ＝2时取等号）． 20．（12分）如图所示，有一条“L ”形河道，其中上方河道宽√2m ，右侧河道宽√6m ，河道均足够长．现过点D修建一条栈道AB，开辟出直角三角形区域（图中△OAB）养殖观赏鱼，且∠OAB=θ(0＜θ＜π2)，点H在线段AB上，且OH⊥AB．线段OH将养殖区域分为两部分，其中OH上方养殖金鱼，OH 下方养殖锦鲤．（1）当养殖区域面积最小时，求θ的值，并求出最小面积；（2）若游客可以在栈道AH上投喂金鱼，在河岸OB与栈道HB上投喂锦鲤，且希望投喂锦鲤的道路长度不小于投喂金鱼的道路长度，求θ的取值范围．解：（1）如图，过D作DM，DN垂直于OA，OB，垂足分别为M，N，则DM=ON=√2，DN=OM=√6，AM=DMtanθ=√2tanθ，BN=DNtanθ=√6tanθ，养殖观赏鱼的面积S△OAB=12OA⋅OB=12(√6+√2tanθ)(√2+√6tanθ)=2√3+1tanθ+3tanθ，由θ∈(0，π2)可得tanθ＞0，则1tanθ+3tanθ⩾2√3，当且仅当tanθ=√33即θ=π6时取等号，故θ=π6时，S△OAB最小=4√3；（2）由∠AOB=∠OHA=π2，可得∠BOH＝θ，则AH=OHtanθ，BH=OHtanθ，OB=OHcosθ，由题意BH+OB⩾AH，则tanθ+1cosθ⩾1tanθ⇔sinθ+1cosθ⩾cosθsinθ⇔(sinθ+1)sinθ⩾cos2θ=1−sin2θ，则sinθ⩾1−sinθ⇔sinθ⩾1 2，则θ∈[π6，π2)．21．（12分）设a∈R，函数f（x）＝sin2x﹣cos x﹣a，x∈(π2，π)．（1）讨论函数f（x）的零点个数；（2）若函数f（x）有两个零点x1，x2，试证明：11−tanx1tanx2≤tanx1tanx2−3．解：（1）由f（x）＝sin2x﹣cos x﹣a，x∈(π2，π)，得f（x）＝﹣cos2x﹣cos x﹣a+1，令f（x）＝0，则cos2x+cos x＝﹣a+1，当x∈(π2，π)时，t＝cos x∈（﹣1，0），则t2+t∈[−14，0)，所以t2+t＝﹣a+1，所以﹣a+1≥0或−a+1＜−14，解得a≤1或a＞54时，t2+t＝a+1无解；−a+1=−14，即a=54时，t2+t＝a+1仅有一解；−14＜−a+1＜0，即1＜a＜54时，t2+t＝a+1有两解，综上，当a≤1或a＞54时，f（x）无零点；当a=54时，f（x）有一个零点；当1＜a＜54时，f（x）有两个零点．（2）证明：令t1＝cos x1，t2＝cos x2，f（x）有两个零点，则t1，t2为t2+t＝a+1两解，所以t1+t2＝﹣1，所以cos x1+cos x2＝﹣1，所以cos2x1+2cosx1cosx2+cos2x2=1，由x1，x2∈(π2，π)，可得cos x1＜0，cos x2＜0，所以2cos x1cos x2＞0，所以cos2x1+cos2x2＜1，所以cos2x1＜sin2x2=cos2(3π2−x2)，由x2∈(π2，π)，可得3π2−x2∈(π2，π)，cos(3π2−x2)＜0，所以cosx1＞cos(3π2−x2)，由y＝cos x在(π2，π)递减，可得x1＜3π2−x2，所以π＜x1+x2＜3π2⇒cos(x1+x2)＜0．令λ=1−tanx1tanx2=cosx1cosx2−sinx1sinx2cosx1cosx2=cos(x1+x2)cosx1cosx2＜0，即证1λ≤1−λ−3=−λ−2，即证λ2+2λ+1≥0，显然λ2+2λ+1≥0成立，故原式成立．。
人教版高一上学期期末数学试卷(有答案)
人教版高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）函数f（x）=log（2x﹣1）的定义域是（）A．（，+∞）B．（，1）∪（1，+∞）C．（，+∞）D．（，1）∪（1，+∞）2．（5分）直线x+2ay﹣1=0与（a﹣1）x﹣ay+1=0平行，则a的值为（）A．B．或0 C．0 D．﹣2或03．（5分）设f（x）是定义在R上单调递减的奇函数，若x1+x2＞0，x2+x3＞0，x3+x1＞0，则（）A．f（x1）+f（x2）+f（x3）＞0 B．f（x1）+f（x2）+f（x3）＜0C．f（x1）+f（x2）+f（x3）=0 D．f（x1）+f（x2）＞f（x3）4．（5分）如图，一个平面图形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形，则原平面图形的面积为（）A．a2B．a2C．2a2D．2a25．（5分）设α、β、γ为三个不同的平面，m、n是两条不同的直线，在命题“α∩β=m，n⊂γ，且________，则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题．①α∥γ，n⊂β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m⊂γ．可以填入的条件有（）A．①或③B．①或②C．②或③D．①或②或③6．（5分）已知一空间几何体的三视图如题图所示，其中正视图与左视图都是全等的等腰梯形，则该几何体的体积为（）A．17 B．C．D．187．（5分）如图，在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为A1D1的中点，Q为A1B1上任意一点，E、F为CD上两点，且EF的长为定值，则下面四个值中不是定值的是（）A．点P到平面QEF的距离B．直线PQ与平面PEF所成的角C．三棱锥P﹣QEF的体积D．△QEF的面积8．（5分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，∠APB=∠BPC=∠APC=90°，O在△ABC内，∠OPC=45°，∠OPA=60°，则∠OPB的余弦值为（）A．B．C．D．9．（5分）已知函数+2，则关于x的不等式f（3x+1）+f（x）＞4的解集为（）A．（﹣，+∞）B．（﹣，+∞）C．（﹣，+∞）D．（﹣，+∞）10．（5分）当0＜x≤时，4x＜log a x，则a的取值范围是（）A．（0，）B．（，1）C．（1，）D．（，2）11．（5分）已知函数f（x）=x2+e x﹣（x＜0）与g（x）=x2+ln（x+a）图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是（）A．（﹣，）B．（﹣，）C．（﹣∞，）D．（﹣∞，）12．（5分）若x1满足2x+2x=5，x2满足2x+2log2（x﹣1）=5，x1+x2=（）A．B．3 C．D．4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）已知函数f（x）=（a＞0），若x1+x2=1，则f（x1）+f（x2）=，并求出=．14．（5分）如图所示几何体的三视图，则该几何体的表面积为．15．（5分）点M（x1，y1）在函数y=﹣2x+8的图象上，当x1∈[2，5]时，则的取值范围．16．（5分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，AD⊥PD，BC=1，PC=2，PD=CD=2，则二面角A﹣PB﹣C的正切值为．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（12分）过点（3，2）的直线l与x轴的正半轴，y轴的正半轴分别交于A，B两点，当△AOB的面积最小时，求直线l的方程及△AOB面积．18．（12分）已知一四棱锥P﹣ABCD的三视图如图所示，E是侧棱PC上的动点．（Ⅰ）求四棱锥P﹣ABCD的体积．（Ⅱ）若点E为PC的中点，AC∩BD=O，求证：EO∥平面PAD；（Ⅲ）是否不论点E在何位置，都有BD⊥AE？证明你的结论．19．（10分）设直线l的方程为（a+1）x+y+2﹣a=0（a∈R）．（1）若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；（2）若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．20．（12分）如图，在棱长为1的正方体中，P是侧棱CC1上的一点，CP=m（1）试确定m，使直线AP与平面BDD1B1所成角的正切值为；（2）在线段A1C1上是否存在一个定点Q，使得对任意的m，D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP，并证明你的结论．21．（12分）已知平行四边形ABCD（如图1），AB=4，AD=2，∠DAB=60°，E为AB的中点，把三角形ADE沿DE折起至A1DE位置，使得A1C=4，F是线段A1C的中点（如图2）．（1）求证：BF∥面A1DE；（2）求证：面A1DE⊥面DEBC；（3）求二面角A1﹣DC﹣E的正切值．22．（12分）已知函数g（x）=ax2﹣2ax+1+b（a≠0，b＜1），在区间[2，3]上有最大值4，最小值1，设f（x）=．（1）求a，b的值；（2）不等式f（2x）﹣k•2x≥0在x∈[﹣1，1]上恒成立，求实数k的取值范围；（3）方程f（|2x﹣1|）+k（﹣3）有三个不同的实数解，求实数k的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题：本大题12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）函数f（x）=log（2x﹣1）的定义域是（）A．（，+∞）B．（，1）∪（1，+∞）C．（，+∞）D．（，1）∪（1，+∞）【解答】解：由，解得x＞且x≠1．的定义域是（，1）∪（1，+∞）．∴函数f（x）=log（2x﹣1）故选：B．2．（5分）直线x+2ay﹣1=0与（a﹣1）x﹣ay+1=0平行，则a的值为（）A．B．或0 C．0 D．﹣2或0【解答】解：当a=0时，两直线重合；当a≠0时，由，解得a=，综合可得，a=，故选：A．3．（5分）设f（x）是定义在R上单调递减的奇函数，若x1+x2＞0，x2+x3＞0，x3+x1＞0，则（）A．f（x1）+f（x2）+f（x3）＞0 B．f（x1）+f（x2）+f（x3）＜0C．f（x1）+f（x2）+f（x3）=0 D．f（x1）+f（x2）＞f（x3）【解答】解：∵x1+x2＞0，x2+x3＞0，x3+x1＞0，∴x1＞﹣x2，x2＞﹣x3，x3＞﹣x1，又f（x）是定义在R上单调递减的奇函数，∴f（x1）＜f（﹣x2）=﹣f（x2），f（x2）＜f（﹣x3）=﹣f（x3），f（x3）＜f（﹣x1）=﹣f（x1），∴f（x1）+f（x2）＜0，f（x2）+f（x3）＜0，f（x3）+f（x1）＜0，∴三式相加整理得f（x1）+f（x2）+f（x3）＜0故选B4．（5分）如图，一个平面图形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形，则原平面图形的面积为（）A．a2B．a2C．2a2D．2a2【解答】解：由斜二测画法的规则知与x′轴平行的线段其长度不变以及与横轴平行的性质不变，正方形对角线在y′轴上，可求得其长度为a，故在平面图中其在y轴上，且其长度变为原来的2倍，长度为2a，∴原平面图形的面积为=故选：C．5．（5分）设α、β、γ为三个不同的平面，m、n是两条不同的直线，在命题“α∩β=m，n⊂γ，且________，则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题．①α∥γ，n⊂β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m⊂γ．可以填入的条件有（）A．①或③B．①或②C．②或③D．①或②或③【解答】解：由面面平行的性质定理可知，①正确；当n∥β，m⊂γ时，n和m在同一平面内，且没有公共点，所以平行，③正确．故选A．6．（5分）已知一空间几何体的三视图如题图所示，其中正视图与左视图都是全等的等腰梯形，则该几何体的体积为（）A．17 B．C．D．18【解答】解：由已知中的三视图，可知该几何体是一个四棱台切去一个三棱锥所得的几何体，棱台的上下底面的棱长为2和4，故棱台的上下底面的面积为4和16，侧高为，故棱台的高h==2，故棱台的体积为：=，棱锥的底面是棱台上底面的一半，故底面面积为2，高为2，故棱锥的体积为：×2×2=，故组合体的体积V=﹣=，故选：B7．（5分）如图，在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为A1D1的中点，Q为A1B1上任意一点，E、F为CD上两点，且EF的长为定值，则下面四个值中不是定值的是（）A．点P到平面QEF的距离B．直线PQ与平面PEF所成的角C．三棱锥P﹣QEF的体积D．△QEF的面积【解答】解：A．∵平面QEF即为对角面A1B1CD，点P为A1D1的中点，∴点P到平面QEF即到对角面A1B1CD的距离=为定值；D．∵点Q到直线CD的距离是定值a，|EF|为定值，∴△QEF的面积=为定值；C．由A．D可知：三棱锥P﹣QEF的体积为定值；B．直线PQ与平面PEF所成的角与点Q的位置有关系，因此不是定值，或用排除法即可得出．综上可得：只有B中的值不是定值．故选：B．8．（5分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，∠APB=∠BPC=∠APC=90°，O在△ABC内，∠OPC=45°，∠OPA=60°，则∠OPB的余弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：已知如图所示：过O做平面PBA的垂线，交平面PBC于Q，连接PQ则∠OPQ=90°﹣45°=45°．∵cos∠OPA=cos∠QPA×cos∠OPQ，∴cos∠QPA=，∴∠QPA=45°，∴∠QPB=45°∴cos∠OPB=cos∠OPQ×cos∠QPB=．故选C．9．（5分）已知函数+2，则关于x的不等式f（3x+1）+f（x）＞4的解集为（）A．（﹣，+∞）B．（﹣，+∞）C．（﹣，+∞）D．（﹣，+∞）【解答】解：设g（x）=2016x+log2016（+x）﹣2016﹣x，g（﹣x）=2016﹣x+log2016（+x）﹣2016x+=﹣g（x）；g′（x）=2016x ln2016++2016﹣x ln2016＞0；∴g（x）在R上单调递增；∴由f（3x+1）+f（x）＞4得，g（3x+1）+2+g（x）+2＞4；∴g（3x+1）＞g（﹣x）；∴3x+1＞﹣x；解得x＞﹣；∴原不等式的解集为（﹣，+∞）．故选：D．10．（5分）当0＜x≤时，4x＜log a x，则a的取值范围是（）A．（0，）B．（，1）C．（1，）D．（，2）【解答】解：∵0＜x≤时，1＜4x≤2要使4x＜log a x，由对数函数的性质可得0＜a＜1，数形结合可知只需2＜log a x，∴即对0＜x≤时恒成立∴解得＜a＜1故选B11．（5分）已知函数f（x）=x2+e x﹣（x＜0）与g（x）=x2+ln（x+a）图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是（）A．（﹣，）B．（﹣，）C．（﹣∞，）D．（﹣∞，）【解答】解：由题意，存在x＜0，使f（x）﹣g（﹣x）=0，即e x﹣﹣ln（﹣x+a）=0在（﹣∞，0）上有解，令m（x）=e x﹣﹣ln（﹣x+a），则m（x）=e x﹣﹣ln（﹣x+a）在其定义域上是增函数，且x→﹣∞时，m（x）＜0，若a≤0时，x→a时，m（x）＞0，故e x﹣﹣ln（﹣x+a）=0在（﹣∞，0）上有解，若a＞0时，则e x﹣﹣ln（﹣x+a）=0在（﹣∞，0）上有解可化为e0﹣﹣ln（a）＞0，即lna＜，故0＜a＜．综上所述，a∈（﹣∞，）．故选：C12．（5分）若x1满足2x+2x=5，x2满足2x+2log2（x﹣1）=5，x1+x2=（）A．B．3 C．D．4【解答】解：由题意①2x2+2log2（x2﹣1）=5 ②所以，x1=log2（5﹣2x1）即2x1=2log2（5﹣2x1）令2x1=7﹣2t，代入上式得7﹣2t=2log2（2t﹣2）=2+2log2（t﹣1）∴5﹣2t=2log2（t﹣1）与②式比较得t=x2于是2x1=7﹣2x2即x1+x2=故选C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）已知函数f（x）=（a＞0），若x1+x2=1，则f（x1）+f（x2）=1，并求出=．【解答】解：∵函数f（x）=（a＞0），x1+x2=1，∴f（x1）+f（x2）=f（x1）+f（1﹣x1）=+=+==1，∴=1007+f（）=1007+=．故答案为：1，．14．（5分）如图所示几何体的三视图，则该几何体的表面积为16+2．【解答】解：由已知中的三视图，可得该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，其直观图如下图所示：E和F分别是AB和CD中点，作EM⊥AD，连接PM，且PD=PC，由三视图得，PE⊥底面ABCD，AB=4，CD=2，PE═EF=2在直角三角形△PEF中，PF==2，在直角三角形△DEF中，DE==，同理在直角梯形ADEF中，AD=，根据△AED的面积相等得，×AD×ME=×AE×EF，解得ME=，∵PE⊥底面ABCD，EM⊥AD，∴PM⊥AD，PE⊥ME，在直角三角形△PME中，PM==，∴该四棱锥的表面积S=×（4+2）×2+×4×2+×2×2+2×××=16+2．故答案为：16+2．15．（5分）点M（x1，y1）在函数y=﹣2x+8的图象上，当x1∈[2，5]时，则的取值范围．【解答】解：当x1∈[2，5]时，可得A（2，4），B（5，﹣2）．设P（﹣1，﹣1），则k PA==，k PB==，∴的取值范围是．16．（5分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，AD⊥PD，BC=1，PC=2，PD=CD=2，则二面角A﹣PB﹣C的正切值为．【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，过D作平面ABCD的垂直线为z轴，建立空间直角坐标系，在△PDC中，由于PD=CD=2，PC=2，可得∠PCD=30°，∴P到平面ABCD的距离为PCsin30°=．∴A（1，0，0），P（0，﹣1，），B（1，2，0），C（0，2，0），=（1，1，﹣），=（1，3，﹣），=（0，3，﹣），设平面PAB的法向量=（x，y，z），则，取z=1，得=（），设平面PBC的法向量=（a，b，c），则，取c=，得=（2，1，），设二面角A﹣PB﹣C的平面角为θ，则cosθ===，sinθ==，tanθ==．∴二面角A﹣PB﹣C的正切值为．故答案为：．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（12分）过点（3，2）的直线l与x轴的正半轴，y轴的正半轴分别交于A，B两点，当△AOB的面积最小时，求直线l的方程及△AOB面积．【解答】解：设A（a，0），B（0，b），则直线l的方程为：+=1．把点P（3，2）代入可得：+=1．（a，b＞0）．∴1≥2，化为ab≥24，当且仅当a=6，b=4时取等号．=ab≥12，l的方程为：+=1，即4x+6y﹣24=0∴S△AOB18．（12分）已知一四棱锥P﹣ABCD的三视图如图所示，E是侧棱PC上的动点．（Ⅰ）求四棱锥P﹣ABCD的体积．（Ⅱ）若点E为PC的中点，AC∩BD=O，求证：EO∥平面PAD；（Ⅲ）是否不论点E在何位置，都有BD⊥AE？证明你的结论．【解答】（Ⅰ）解：由该四棱锥的三视图可知，该四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱PC⊥底面ABCD，且PC=2．…（1分）∴V P=S▱ABCD•PC=．…（3分）﹣ABCD（Ⅱ）证明：∵E、O分别为PC、BD中点∴EO∥PA，…（4分）又EO⊄平面PAD，PA⊂平面PAD．…（6分）∴EO∥平面PAD．…（7分）（Ⅲ）不论点E在何位置，都有BD⊥AE，…（8分）证明如下：∵ABCD是正方形，∴BD⊥AC，…（9分）∵PC⊥底面ABCD且BD⊂平面ABCD，∴BD⊥PC，…（10分）又∵AC∩PC=C，∴BD⊥平面PAC，…（11分）∵不论点E在何位置，都有AE⊂平面PAC，∴不论点E在何位置，都有BD⊥AE．…（12分）19．（10分）设直线l的方程为（a+1）x+y+2﹣a=0（a∈R）．（1）若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；（2）若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）令x=0，得y=a﹣2．令y=0，得（a≠﹣1）．∵l在两坐标轴上的截距相等，∴，解之，得a=2或a=0．∴所求的直线l方程为3x+y=0或x+y+2=0．（2）直线l的方程可化为y=﹣（a+1）x+a﹣2．∵l不过第二象限，∴，∴a≤﹣1．∴a的取值范围为（﹣∞，﹣1]．20．（12分）如图，在棱长为1的正方体中，P是侧棱CC1上的一点，CP=m（1）试确定m，使直线AP与平面BDD1B1所成角的正切值为；（2）在线段A1C1上是否存在一个定点Q，使得对任意的m，D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP，并证明你的结论．【解答】解：（1）连AC，设AC与BD相交于点O，AP与平面BDD1B1相交于点G，连接OG，因为PC∥平面BDD1B1，平面BDD1B1∩平面APC=OG，故OG∥PC，所以，OG=PC=．又AO⊥BD，AO⊥BB1，所以AO⊥平面BDD1B1，故∠AGO是AP与平面BDD1B1所成的角．在Rt△AOG中，tan∠AGO=，即m=．所以，当m=时，直线AP与平面BDD1B1所成的角的正切值为4．（2）可以推测，点Q应当是A I C I的中点，当是中点时因为D1O1⊥A1C1，且D1O1⊥A1A，A1C1∩A1A=A1，所以D1O1⊥平面ACC1A1，又AP⊂平面ACC1A1，故D1O1⊥AP．那么根据三垂线定理知，D1O1在平面APD1的射影与AP垂直．21．（12分）已知平行四边形ABCD（如图1），AB=4，AD=2，∠DAB=60°，E为AB的中点，把三角形ADE沿DE折起至A1DE位置，使得A1C=4，F是线段A1C的中点（如图2）．（1）求证：BF∥面A1DE；（2）求证：面A1DE⊥面DEBC；（3）求二面角A1﹣DC﹣E的正切值．【解答】解：（1）证明：如图，取DA1的中点G，连FG，GE；F为A1C中点；∴GF∥DC，且；∴四边形BFGE是平行四边形；∴BF∥EG，EG⊂平面A1DE，BF⊄平面A1DE；∴BF∥平面A1DE；（2）证明：如图，取DE的中点H，连接A1H，CH；AB=4，AD=2，∠DAB=60°，E为AB的中点；∴△DAE为等边三角形，即折叠后△DA1E也为等边三角形；∴A1H⊥DE，且；在△DHC中，DH=1，DC=4，∠HDC=60°；根据余弦定理，可得：HC2=1+16﹣4=13，在△A1HC中，，，A1C=4；∴，即A1H⊥HC，DE∩HC=H；∴A1H⊥面DEBC；又A1H⊂面A1DE；∴面A1DE⊥面DEBC；（3）如上图，过H作HO⊥DC于O，连接A1O；A1H⊥面DEBC；∴A1H⊥DC，A1H∩HO=H；∴DC⊥面A1HO；∴DC⊥A1O，DC⊥HO；∴∠A1OH是二面角A1﹣DC﹣E的平面角；在Rt△A1HO中，，；故tan；所以二面角A1﹣DC﹣E的正切值为2．22．（12分）已知函数g（x）=ax2﹣2ax+1+b（a≠0，b＜1），在区间[2，3]上有最大值4，最小值1，设f（x）=．（1）求a，b的值；（2）不等式f（2x）﹣k•2x≥0在x∈[﹣1，1]上恒成立，求实数k的取值范围；（3）方程f（|2x﹣1|）+k（﹣3）有三个不同的实数解，求实数k的取值范围．【解答】附加题：（本题共10分）解：（1）g（x）=a（x﹣1）2+1+b﹣a，当a＞0时，g（x）在[2，3]上为增函数，故，可得，⇔．当a＜0时，g（x）在[2，3]上为减函数．故可得可得，∵b＜1∴a=1，b=0即g（x）=x2﹣2x+1．f（x）=x+﹣2．…（3分）（2）方程f（2x）﹣k•2x≥0化为2x+﹣2≥k•2x，k≤1+﹣令=t，k≤t2﹣2t+1，∵x∈[﹣1，1]，∴t，记φ（t）=t2﹣2t+1，∴φ（t）min=0，∴k≤0．…（6分）（3）由f（|2x﹣1|）+k（﹣3）=0得|2x﹣1|+﹣（2+3k）=0，|2x﹣1|2﹣（2+3k）|2x﹣1|+（1+2k）=0，|2x﹣1|≠0，令|2x﹣1|=t，则方程化为t2﹣（2+3k）t+（1+2k）=0（t≠0），∵方程|2x﹣1|+﹣（2+3k）=0有三个不同的实数解，∴由t=|2x﹣1|的图象（如右图）知，t2﹣（2+3k）t+（1+2k）=0有两个根t1、t2，且0＜t1＜1＜t2或0＜t1＜1，t2=1，记φ（t）=t2﹣（2+3k）t+（1+2k），则或∴k＞0．…（10分）。
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桑水
1. 函数1)32tan(4++=π
x y 的最小正周期为 ( )
A ．π2
B ．π
C ．2π
D ．4π 2. 函数sin()y x ϕ=+的图像关于原点对称，则ϕ的一个取值是 ( )
A ．2π
B ．4π-
C ．π
D ．3
2
π 3. 在ABC ∆中，,,0,AB a BC b a b ABC ==⋅>∆且则是 ( )
A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．等腰直角三角形
D ．钝角三角形
4. 要得到函数22sin(2)3y x π=+
的图像, 需要将函数22sin(2)3
y x π=-的图像( ) A ．向左平移23π个单位 B ．向右平移23
π个单位 C ．向左平移43π个单位 D ．向右平移43π个单位
8、已知幂函数()y f x =经过点（4，2）,则函数2
(34)y f x x =--的单调递增区间为 .
9．已知关于x 的不等式210x ax -+<的解集为1(,2)2，则实数a ＝ .
10．△ABC 中，5,4,3===CA BC AB ,则CB CA ⋅＝ .
11．若关于x 的方程2
cos sin 0x x a -+=有解，则实数a 的取值范围是 . 12、已知定义在R 上的奇函数()f x 满足：)()4(x f x f =+,当）0,2-[时,()2x
f x =，
桑水 则)2013(f ＝ .
13.(1)化简求值：2(lg 2)lg 2lg 50lg 25+⋅+(2)已知()2lg 2lg lg x y x y -=+，求y
x 的值
14．已知a 、b 、c 是同一平面内的三个向量，其中a =（1，－2）.
（Ⅰ）若|c |52=，且a c //，求c 的坐标；
（Ⅱ）若|b |=1，且a b +与2a b -垂直，求a 与b 的夹角θ的余弦值.。