2013高考数学总复习--数列
2013高考数学总复习—数列
【学法导航】
（一）方法总结
1. 求数列的通项通常有两种题型：一是根据所给的一列数，通过观察求通项；一是根据递推关系式求通项
2. 数列中的不等式问题是高考的难点热点问题，对不等式的证明有比较法、放缩，放缩通常有化归等比数列和可裂项的形式。
3. 数列是特殊的函数，而函数又是高中数学的一条主线，所以数列这一部分是容易命制多个知识点交融的题，这应是命题的一个方向
（二）复习建议
在进行数列二轮复习时，建议可以具体从以下几个方面着手:
1．运用基本量思想(方程思想)解决有关问题；
2．注意等差、等比数列的性质的灵活运用；
3．注意等差、等比数列的前n 项和的特征在解题中的应用；
4．注意深刻理解等差数列与等比数列的定义及其等价形式；
5．根据递推公式，通过寻找规律，运用归纳思想，写出数列中的某一项或通项，主要需注意从等差、等比、周期等方面进行归纳；
6．掌握数列通项an 与前n 项和Sn 之间的关系；
7．根据递推关系，运用化归思想，将其转化为常见数列；
8．掌握一些数列求和的方法
(1)分解成特殊数列的和(2)裂项求和(3)“错位相减”法求和（4）倒序相加法（5）公式法。
9．以等差、等比数列的基本问题为主，突出数列与函数、数列与方程、数列与不等式、数列与几何等的综合应用．
1 已知等差数列{}n a 的公差为2,若431,,a a a 成等比数列, 则2a =（ ）
A 4-
B 6-
C 8-
D 10-
2 设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若==5
935,95S S a a 则（ ）
A 1
B 1-
C 2
D 2
1 3 若)32lg(),12lg(,2lg +-x x 成等差数列，则x 的值等于（ ）
A 1
B 0或32
C 32
D 5log 2
4.【2012高考辽宁文4】在等差数列{a n }中，已知a 4+a 8=16，则a 2+a 10=
(A) 12 (B) 16 (C) 20 (D)24
5.【2012高考安徽文5】公比为2的等比数列{n a } 的各项都是正数，且 3a 11a =16，则5a =
（A ） 1 （B ）2 （C ） 4 （D ）8
6.【2012高考全国文6】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，12n n S a +=，,则n S =
（A ）12-n （B ）1)23
(-n （C ）1)32
(-n （D ）121
-n
7.【2102高考北京文6】已知为等比数列，下面结论种正确的是
（A ）a 1+a 3≥2a 2 （B ）22
23212a a a ≥+ （C ）若a 1=a 3，则a 1=a 2（D ）若a 3＞a 1，则a 4＞a 2
8.【2102高考福建文11】数列{a n }的通项公式
，其前n 项和为S n ，则S 2012等于
A.1006
B.2012
C.503
D.0
9.【2012高考广东文12】若等比数列{}n a 满足2412a a =
，则2135a a a = .
10.【2012高考重庆文11】首项为1，公比为2的等比数列的前4项和4S =
11.【2102高考北京文10】已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，若2
11=a ，S 2=a 3，则a 2=______，S n =_______。
12.【2012高考新课标文14】等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3+3S 2=0，则公比q =_______
13.【2012高考江西文13】等比数列{a n }的前n 项和为S n ，公比不为1。
若a 1=1，且对任意的都有a n ＋2＋a n ＋1-2a n =0，则S 5=_________________。
14.【2012高考辽宁文14】已知等比数列｛a n ｝为递增数列.若a 1>0,且2（a n +a n+2）=5a n+1 ,则数列｛a n ｝的公比q = _____________________.
15. 求数列的通项与求和
例3.（2008江苏）将全体正整数排成一个三角形数阵：
按照以上排列的规律，第n 行（3≥n ）从左向右的第3个数为
16，【2102高考福建文17】（本小题满分12分）
在等差数列{a n }和等比数列{b n }中，a 1=b 1=1，b 4=8，{a n }的前10项和S 10=55. （Ⅰ）求a n 和b n ；
（Ⅱ）现分别从{a n }和{b n }的前3项中各随机抽取一项，写出相应的基本事件，并求这两项的值相等的概率。
17.【2012高考全国文18】(本小题满分12分) （注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．
） 已知数列{}n a 中， 11a =，前n 项和23
n n n S a +=。
（Ⅰ）求2a ，3a ；
（Ⅱ）求{}n a 的通项公式。
1
2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 ………………
18，【2012高考广东文19】（本小题满分14分）
设数列{}n a 前n 项和为n S ，数列{}n S 的前n 项和为n T ，满足22n n T S n =-，*
n ∈N . （1）求1a 的值；
（2）求数列{}n a 的通项公式.
19，.【2012高考浙江文19】（本题满分14分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =22n n +，n ∈N ﹡，数列{b n }满足a n =4log 2b n ＋3，n ∈N ﹡.
（1）求a n ，b n ；
（2）求数列{a n ·b n }的前n 项和T n .
20.【2012高考重庆文16】（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分）） 已知{}n a 为等差数列，且13248,12,a a a a +=+=（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）记{}n a 的前n 项和为n S ，若12,,k k a a S +成等比数列，求正整数k 的值。
21，【2012高考江西文17】（本小题满分12分）
已知数列|a n |的前n 项和n
n S kc k =-（其中c ，k 为常数），且a 2=4，a 6=8a 3
（1）求a n ；
（2）求数列{na n }的前n 项和T n 。
22，（2010山东理数）（本小题满分12分） 已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=，{}n a 的前n 项和为n S ． （Ⅰ）求n a 及n S ；
（Ⅱ）令b n =
211n a -(n ∈N *)，求数列{}n b 的前n 项和n T ．
23.【2012高考山东文20】 (本小题满分12分)
已知等差数列{}n a 的前5项和为105，且2052a a =. (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；
(Ⅱ)对任意*m ∈N ，将数列{}n a 中不大于27m 的项的个数记为m b .求数列{}m b 的前m 项和m S .
24.（２００９届高三湖南益阳）已知等比数列{}n a 的首项为311=a ，公比q 满足10≠>q q 且。
又已知1a ，35a ，59a 成等差数列。
（1）求数列{}n a 的通项
（2）令n a n b 13
log =，求证：对于任意n N *∈，都有122311111...12n n b b b b b b +≤+++。
2013高考数学(理)一轮复习教案：第六篇_数列第2讲_等差数列及其前n项和
第2讲 等差数列及其前n 项和泊头一中韩俊华 【2013年高考会这样考】1．考查运用基本量法求解等差数列的基本量问题（知三求二问题，知三求一问题）．2．考查等差数列的性质、前n 项和公式及综合应用． 【复习指导】1．掌握等差数列的定义与性质、通项公式、前n 项和公式等．2．掌握等差数列的判断方法，等差数列求和的方法．基础梳理1．等差数列的定义（1）文字定义：如果一个数列从第 项起，每一项与它的前一项的差都等于 ，那么这个数列就叫做等差数列，这个叫做 等差数列的 ，通常用字母d 表示（2）符号定义： ①． ② 2．等差数列的通项公式：n a = ，变式：d = ()1n ≠或n a = ，变式：d = ()n m ≠（其中*,m n N ∈）或n a = 。
（函数的一次式） 3．等差中项如果A ＝a ＋b2A 叫做a 与b 的等差中项．4 等差数列的判定方法 ①定义法：②等差中项法： ③通项公式法： 4．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等差数列，且m ＋n ＝p ＋q ，则 (m ，n ，p ，q ∈N *)．特别的若：m ＋n ＝2p ，则(3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为 的等差数列(4)在有穷等差数列中与首末两项等距离的任意两项的和相等：即： (5)等差数列的单调性：若d ＞0,则数列{a n }为 若d=0,则数列{a n }为 若d ＜0,则数列{a n }为（6）等差数列中公差d= = (7)等差数列中a n =m ,a m =n 则a m+n =(8)若数列{a n } {b n }均为等差数列，则若{c a n +kb n }仍为 ，另外数列 (9)若项数为2n ，则 ①S S -=奇偶； ②S S =偶奇； ③2n S =（用1,n n a a +表示，1,n n a a +为中间两项） (10)若项数为21n +，则 ①S S -=奇偶； ②S S =奇偶； ③21n S +=（用1n a +表示，1n a +为中间项）(11)若等差数列{n a }，{n b }的前n 项和分别为n n S T ，，则2121n n nn a S b T --=（12）.23243m m m m m m m S S S S S S S --- ，，，，为等差数列。
2013走向高考,贾凤山,高中总复习,数学5-4
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第5章
第四节
高考数学总复习
解析：∵Pn(xn，yn)，Pn＋1(xn＋1，yn＋ 1)在抛物线上，
2 ∴xn＝4yn，①
x2 ＋1＝4yn＋ 1，② n
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yn＋1－yn 1 1 又∵直线 PnPn＋1 的斜率为 n，即 ＝ n， 2 xn＋1－xn 2 将①②代入上式，可得 1 xn＋1－xn 1 1 · ＝ ，即 xn＋1＋xn＝ n－2， 4 xn＋1－xn 2n 2 ∴bn＝x2n＋1－x2n－1＝(x2n＋1＋x2n)－(x2n＋x2n－1)
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误区警示 1．注意区分等差数列模型与等比数列模型，通项与 前 n 项和，尤其是存款利息问题． 2．注意理清分期付款，森林砍伐，细胞分裂等一类 模型的内部关系．
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等差、等比数列的综合问题
[例 1] 等差数列{an}的公差 d≠0，且 a1、a4、a8 成等 a1＋a4＋a8 比数列，则 ＝________. a2＋a5＋a9 分析：此类问题一般依据条件和等差(比)数列的通项 (或前 n 项和)公式列方程求解．解方程时，注意等比数列 的首项和公比都不能为 0.
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如何求解数列应用题 (1)审题：仔细读题，理解题意，达到如下要求： ①明确问题属于下列哪类数列模型：等差数列模型， 等比数列模型，递推数列模型，分期付款模型等． ②明确题目中的主要已知事项(即条件)， 用数列中的 什么量来表达． ③明确所求结论是什么，是求 an，还是 Sn？还是求 n?
2013届高考北师大版数学总复习课件：6.3等比数列
[点评] 解有关等比数列的前 n 项和问题时，一定要注意对 公比 q 进行分类讨论，否则会出现漏解现象．
7．(2011· 全国大纲卷文， 17)设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，已知 a2＝6,6a1＋a3＝30，求 an 和 Sn.
[答案] A
)
B．－2 D．－3
[解析] 由题意知 q≠1， a11－q3 a11－q6 ∴ S 3＝ ，S6＝ ， 1－q 1－ q S6 ∴ ＝1＋q3＝9，∴q＝2. S3
3． (教材改编题)等比数列{an}的各项均为正数， 且 a5a6＋a4a7 ＋a3a8＝27，则 log3a1＋log3a2＋log3a3＋„＋log3a10＝( A．12 C． 8
5 ． (2011· 广东文， 11) 已知 {an} 是递增等比数列， a2＝ 2 ， a4 －a3＝4，则此数列的公比 q＝________.
[答案] 2
[解析] 本题主要考查等比数列的基本公式，利用等比数列 的通项公式可解得． a4－a3＝a2q2－a2q＝4， 因为 a2＝2，所以 q2－q－2＝0，解得 q＝－1，或 q＝2. 因为 an 为递增数列，所以 q＝2.
知识梳理 1．等比数列的定义 如果一个数列从第__ 2 项起，每一项与它的前一项的比都等于
同一个常数 ___________，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比
(q≠0)表示． 数列的公比 ____，通常用字母q ______
2．等比数列的通项公式
n－1 a · q 1 设等比数列{an}的首项为 a1，公比为 q，则它的通项 an＝_____. 3．等比中项
a11－qn a1qn－1 1－q ＝ na1 ； 当 q＝1 时， Sn＝____ 当 q≠1 时， Sn＝_________ q－ 1
2013届高考数学复习--最新3年高考2年模拟(9)数列
B．若数列{Sn}有最大项,则d<0
C．若数列{Sn}是递增数列,则对任意的n N*,均有Sn>0
D．若对任意的n N*,均有Sn>0,则数列{Sn}是递增数列
17．（2012重庆理）在等差数列 中, ,则 的前5项和 =（ ）
A．7B．15C．20D．25
18．（2012江西理）观察下列各式:a+b=1.a²+b2=3,a3+b3=4 ,a4+b4=7,a5+b5=11,,则a10+b10=（ ）
(Ⅰ) 是数列 中的第______项;(Ⅱ) ______.(用 表示)
9．（2012广东文）(数列)若等比数列 满足 ,则 _________.
10．（2012北京文）已知 为等差数列, 为其前 项和.若 , ,则 ________; =________.
11．（2012新课标理）数列 满足 ,则 的前 项和为_______
A．76B．80C．86D．92
9．（2012湖北文）定义在 上的函数 ,如果对于任意给定的等比数列 仍是等比数列,则称 为“保等比数列函数”.现有定义在 上的如下函数:① ;② ;③ ;④ .
则其中是“保等比数列函数”的 的序号为（ ）
A．①②B．③④C．①③D．②④
10．（2012福建文）数列 的通项公式 ,其前 项和为 ,则 等于（ ）
【3年高考2年模拟】第六章数列第一部分三年高考题荟萃
2012年高考数列
一、选择题
1．（2012辽宁文）在等差数列{an}中,已知a4+a8=16,则a2+a10=（ ）
A．12B．16C．20D．24
2．（2012辽宁理）在等差数列{an}中,已知a4+a8=16,则该数列前11项和S11=（ ）
2013届高考数学考点回归总复习《第二十八讲 等差数列》课件
(2)a1+a2+a3+a4=124,an+an-1+an-2+an-3=156,Sn=210,
求项数n; (3)S4=1,S8=4,求a17+a18+a19+a20的值.
(a1 a19 ) 19 ( a3 a17 ) 19 10 19 [解] 1 S19 95. 2 2 2 2 a1 a 2 a 3 a 4 a n a n 1 a n 2 a n 3 a1 a n a 2 a n 1 a 3 a n 2 a 4 a n 3 4 a1 a n 280 a1 a n 70. (a1 an )n 而 Sn 210 n 6. 2
类型三
等差数列的性质及应用
解题准备:若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则
am+an=ap+aq,Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…构成的是公差为k2d
的等差数列,从中我们可以体会运用性质解决问题的方便 不简捷,应注意运用.
【典例3】在等差数列中,Sn表示{an}的前n项和, (1)a3+a17=10,求S19的值;
第二十八讲等差数列
回归课本
1.等差数列的定义及等差中项 (1)如果一个数列从第2项起,每一项不前一项的差都等亍同一
个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫等差数
列的公差,通常用字母d表示.定义的表达式为an+1an=d(n∈N*).
(2)对亍正整数m、n、p、q,若m+n=p+q,则等差数列中 am、an、ap、aq的关系为am+an=ap+aq;如果a,A,b成等
2013版高考数学人教A版一轮复习课件第5单元-数列(理科)
第五单元 │ 网络解读
2．等差数列 (1)等差数列的通项公式中的已知量与未知量的区分是重点， 是联系一次函数的性质的核心； (2)等差数列的前n项和公式为二次函数，首项的正负与公 差的正负影响数列前n项和的最大值、最小值．关注项数为正自 然数的要求； (3)等差数列的定义是判断一个数列是否为等差数列的常用 依据，等差中项只有唯一的值．求和公式中的两项之和通常结 合性质并利用整体思想求值．
它的前一项an－1(或前几项) 第2项(或某一项)开始的任一项an与________________________
间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数 列的递推公式．
第27讲 │ 问题思考 问题思考
► 问题 1 数列的概念 (1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数 列．( ) (2)一个数列中的数是不可以重复的．( )
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第五单元 数
列
第27讲 数列的概念与简单表示法 第28讲 等差数列 第29讲 等比数列
第27讲 │ 数列的概念与简单表示法
第27讲
数列的概念与简单表示法
第27讲 │ 考纲要求 考纲要求
1．了解数列的概念和几种简单表示法(列表、图象、 通项公式)． 2．了解数列是自变量为正整数的一类函数．
第27讲 │ 知识梳理 知识梳理
1．数列的定义
一定顺序 (1)数列的定义：按照________排列的一列数称为数列， 项 数列中的每一个数叫做这个数列的____． (2)从函数观点看，数列可以看成以 正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，n}) ______________________________________________________ 为定义域的函数an＝f(n)当自变量按照从小到大的顺序依次取 值时所对应的一列函数值．
【全程复习方略】2013版高中数学 (主干知识+典例精析)5.1数列(含递推公式)课件 理 新人教B版
【即时应用】(1)数列{an}的前n项和Sn=n2+1,则an= (2)数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1,Sn=nan,则an= 【解析】 (1)当n=1时，a1=S1=2; 当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(n2+1)-［(n-1)2+1］ =n2-(n-1)2=2n-1, 将n=1代入an=2n-1得a1=1≠2. ∴an=
2.“累乘法”求an 已知a1且 a n =f(n)(n≥2),可以用“累乘法”，
a n 1
即 a n =f(n), a n 1 =f(n-1),„, a 3 =f(3),
a n 1 a n 2
a2
a 2 =f(2)，所有等式左右两边分别相乘，代入a 得a . 1 n a1
【提醒】在求解出通项公式后，记得验证a1是否满足公式.
2 4
8
16
32
64
【解题指南】(1)从各项符号和各项绝对值的关系两方面考虑. (2)从考虑数列0.8,0.88,0.888,„和数列0.9,0.99,0.999,„ 的关系着手. (3)分子规律不明显，从考虑分子与分母的关系着手.
【规范解答】(1)符号可通过(-1)n表示，后面的数的绝对值总
比前面的数的绝对值大6，故通项公式为
＝
.
(2)数列{an}满足a1=1,an+1=an+1，则{an}的通项公式为_______.
【解析】(1)a1＝1，a2＝ a1
2a1 3 a a4 a4＝ 3 ＝ 1 ，a5＝ ＝ 1 . 2a 3 3 2a 4 3 161 53
＝
1 ，a3＝ a 2 ＝ 1 , 5 17 2a 2 3
【解析】由数列的定义可知①、②错误；数列{
2013走向高考,贾凤山,高中总复习,数学(北师大),第6章 教师备课平台
第6章 教师备课平台
高考数学总复习
(3)∵an＝ ＋1， 9 n－ 2 而函数 f(x)＝ ＋1 9 x－ 2 数， ∴a1>a2>a3>a4，a5>a6>a7>…， 且当 n≤4 时，an<1；当 n>4 时，an>1， ∴最大项为 a5＝3，最小项为 a4＝－1. 1
9 9 在－∞， ， ，＋∞上都是减函 2 2
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＋
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所以当 n 为奇数 2m－1 时， Sn ＝(a1 ＋a3 ＋a5 ＋…＋a2m － 1)＋(a2 ＋a4 ＋a6 ＋…＋ a2m) 1－3m 31－3m 1 ＝ ＋ 1－3 1－3
－
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＝3m－2＝3
n+1 2
－2；
当 n 为偶函数 2m 时， Sn＝(a1＋a2＋a3＋…＋a2m－ 1)＋a2m ＝3m－2＋3m＝2×3m－2＝2×3 －2.
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(3)∵bn＋1－bn＝1，∴数列{bn}为等差数列． nn－25 ∴Tn＝ <n－13， 2 整理得 n －27n＋26<0，解得 1<n<26. ∴Tn<bn 的解集为{n|1<n<26，n∈N＋ }．
2
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数列
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一、函数与方程的思想在数列中的应用 在数列中，数列本身就是一种函数．这种函数的定 义域是 N＋ (或其子集)，从而表现在图像上就是孤立的 点． 数列具有单调性， 如等差数列(除去公差为 0 的情况)， 等比数列(如 a1>0，q>1)．因此研究数列问题，可以类比 函数的一些性质来研究，用运动变化的观点来研究，例 如数列中求某项的范围问题，某个字母的范围问题、最 值问题等就可以利用函数思想，转化成求函数值域问题，
高考数学总复习考点知识专题讲解4 数列的递推与通项公式
高考数学总复习考点知识专题讲解 专题4 数列的递推与通项公式一、数列的前n 项和S n 与a n 的关系（和式代换）类型1 已知n S 与n 的关系式，记为()n S f n =，它可由和式代换⎩⎨⎧≥-==-2,1,11n S S n Sa n nn 直接求出通项n a ，但要注意验证1n =与2n ≥两种情况能否统一，具体分三步进行： (1)1n =时，由11S a =，求1a 的值；(2)2n ≥时，由1n n n a S S -=-，求得n a 的表达式； (3)检验1a 的值是否满足（2）中n a 的表达式. ①若满足，则合写；②若不满足，则写成分段函数的形式：⎩⎨⎧≥-==-2,1,11n S S n S a n nn .【例1】已知数列{}n a 满足12323(1)(2)n a a a na n n n +++⋯=++，求数列{}n a 的通项公式．已知n S 与n a 的关系式，记为(),0n n f a S =，求它的通项公式n a ，一般有两种思路： （1）消n S ：容易直接求n a 的情况，可利用阶差公式:()12n n n S S a n --=≥，消去n S ，转化为等差或等比数列直接求出n a ；（2）消n a ：难以直接求n a 的情况，可利用阶差公式:()12n n n a S S n -=-≥，消去n a ，得出n S 与1n S -的递推关系式，先求出n S 后，即可转化为“第1种情形”，从而间接求出n a ，如例3.在求解具体的题目时，应根据条件灵活恰当地选择两种方法，确定变形方向.通常情况下，先求n S 要比直接求n a 麻烦；但也有时先直接求n a 会比先求n S 麻烦得多. 类型2 消n S【例2】设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且342n n S a =-．求数列{}n a 的通项公式．【例3】设数列{}n a 的前n 项和为n S ，*226()n n S a n n N =+-∈．求数列{}n a 的通项公式．【例4】已知正整数列}{n a 的前n 项和为n S ，且对任意的自然数满足1n a =+.求}{n a 的通项公式.类型3 消n a【例5】（2022•天津模拟）已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且满足()1+202n n n a S S n -=≥，211=a ，求n a .【例6】在正项数列}{n a 中，n S 是数列}{n a 的前n 项和，且1+2n n na S a =，求n a .【例7】已知数列{}n a 中，13a =，前n 项和1(1)(1)12n n S n a =++-．求数列{}n a 的通项公式．二、数列的前n 项积n T 与a n 的关系已知n T 与n 的关系式，记为()n T f n =，它可由积式代换⎪⎩⎪⎨⎧≥==-2,1,11n T T n T a n n n 直接求出通项n a ，但要注意验证1n =与2n ≥两种情况能否统一，具体分三步进行： (1)1n =时，由11T a =，求1a 的值； (2)2n ≥时，由1-=n nn T T a ，求得n a 的表达式； (3)检验1a 的值是否满足（2）中n a 的表达式. ①若满足，则合写；②若不满足，则写成分段函数的形式：⎪⎩⎪⎨⎧≥==-2,1,11n T T n T a n n n .【例8】已知数列{}n a 满足(1)*2122()n n n a a a n N +=∈．求数列{}n a 的通项公式．三．累加法：适用于邻项差结构11()()n n n n a a f n a a f n ---=⇔=+ 累加法是利用：11232211()()()()n n n n n a a a a a a a a a a ---=-+-++-+-+，将问题转化为基本数列求和，从而得到所求数列的通项．以下为三种累加后可裂项相消求和的题型：①若()f n 是关于n 的分式函数，()1111()()f n n n k k n n k==-++；②若()f n 是关于n 的对数函数，()1ln(1)ln(1)ln f n n n n =+=+-；③若()f n是关于n 的无理式函数，()1f n k=.④若()f n 是关于n 的一次函数，()f n kn b =+，累加后可转化为等差数列求和； ⑤若()f n 是关于n 的二次函数，()2f n an bn c =++，累加后可分组求和； ⑥若()f n 是关于n 的指数函数，()n f n p =，累加后可转化为等比数列求和； 【例9】在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋1n －1n ＋1，求a n .【例10】已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝a n －1＋n ＋1－n (n ≥2)，求a n .【例11】已知数列{}n a 中，12a =，11ln(1)n n a a n +=++，求n a .四．累乘法：适用于邻项商结构()()11nn n n a f n a a f n a --=⇔=⋅ 累乘法是利用：13211221n n n n n a a a a a a a a a a ---=⋅⋅⋅⋅⋅，将问题转化为基本数列求和，从而得到所求数列的通项．【例12】已知数列{}n a 中，12a =，12n n n a a n++=，求数列{}n a 的通项公式；【例13】设{}n a 是首项为1的正项数列，2211(1)0n n n n n a a a na ++++-=（*∈N n ），求{}n a 的通项公式.五、跳跃等差数列通项公式——形如d a a n n =-+2类型定义：2+n a 与n a 不是数列{}n a 中连续的项，故此我们称满足d a a n n =-+2条件的数列{}n a 为跳跃等差数列.1.分奇偶讨论法：通过对数列下标n 进行换元，分为奇数项与偶数项两种情况分而治之. ①当n 为奇数时，可令12-=k n （k N *∈），反解得21+=n k ，于是d n a d n a d k a a a k n 21)121()1(11112-+=-++=-+==-；②当n 为偶数时，可令k n 2=（k N *∈），反解得2nk =，于是d n a d n a d k a a a k n 22)12()1(2222-+=-+=-+==.综上所述，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+-+=为偶数为奇数n d n a n d n a a n 222121.注意换元后，要将最后的结果还原成关于n 的表达式.2.待定系数法：此类型题由于1a 和2a 作为数列奇数项和偶数项首项，会使得数列一些变形出现一些计算难度，故可以采用待定系数法来求统一的通项公式，考虑首项的因素，需要在原始的待定系数的前面加上()n 1-．具体操作如下：n a 1221,4,23n n a a a a n -===+≥n a【例14】(2014•新课标1卷理)已知数列{n a }的前n 项和为n S ，1a =1，0n a ≠，11n n n a a S λ+=-，其中λ为常数. （1）证明：2n n a a λ+-=；（2）是否存在λ，使得{n a }为等差数列？并说明理由.衍生1 等和数列——形如c a a n n =++1类型1.“等和数列”定义: 在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．2.若c a a n n =++1（c 为常数），则数列}{n a 为“等和数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分为奇数项和偶数项来讨论.衍生2 类等和数列——形如)(1n f a a n n =++类型处理思路：等和数列、类等和数列可以归结为跳跃等差数列问题，其基本思路是生成、相减；与“差型”的生成、相加（累加法）的思路刚好相呼应.当()b dn n f a a n n +==+++12时，则()b n d a a n n +-=++11，两式相减得：d a a n n =-+2，故{}n a 是公差为d 的跳跃等差数列，通过分奇偶项讨论进而将问题转化为{}12-n a 与{}n a 2是等差数列，然后求通项. 【例15】已知数列{}n a 的首项1a a =，1354n n a a n ++=-，求数列{}n a 的通项公式．六、跳跃等比数列通项公式——形如q a ann =+2类型1.定义：2+n a 与n a 不是数列{}n a 中连续的项，故此我们称满足q a a nn =+2条件的数列{}n a 为跳跃等比数列.2.分奇偶讨论法：通过对数列下标n 进行换元，分为奇数项与偶数项两种情况分而治之. ①当n 为奇数时，可令12-=k n （k N *∈），反解得21+=n k ，于是21112111112--+--⋅=⋅=⋅==n n k k n q a q a qa a a ；②当n 为偶数时，可令k n 2=（k N *∈），反解得2n k =，于是222122122---⋅=⋅=⋅==n n k k n q a q a qa a a .综上所述，⎪⎩⎪⎨⎧⋅⋅=--为偶数为奇数n qa n qa a n n n 222121.注意换元后，要将最后的结果还原成关于n 的表达式.【例16】已知数列{}n a 满足*212(),N ,1,2n n a qa q n a a +=≠∈==1，且233445,,a a a a a a +++成等差数列.求数列{}n a 的通项公式.衍生1 等积数列——形如p a a n n =⋅+1类型1.“等积数列”定义: 在一个数列中，如果每一项与它的后一项的积都为同一个常数，那么这个数列叫做等积数列，这个常数叫做该数列的公积．2.若p a a n n =⋅+1(p 为常数)，则数列}{n a 为“等积数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶数项来讨论.衍生2 类等积数列——形如)(12n f a a n n =⋅++类型处理思路：等积数列、类等积数列可以归结为跳跃等比数列问题，其基本思路是生成、相除；与“商型”的生成、相乘（累乘法）的思路刚好相呼应.若()n f 为n 的函数时，可通过逐商法得)1(1-=⋅+n f a a n n ，两式相除后，通过分奇偶项讨论将问题转化为{}12-n a 与{}n a 2是等比数列，然后再求通项.1.分奇偶讨论法：()B An n n q n f a a +++==12，则B n A n n q a a +-+=)1(1，两式相除得：A nn q a a =+2，故 {}n a 是公比为A q 的跳跃等比数列，⎪⎩⎪⎨⎧⋅=⋅⋅=⋅=∴----为偶数为奇数n q a q a n q a q a a A n n A n n A An 222221211211)()(.}{n a n n a a a 2,111=⋅=+七．斐波那契数列定义：一个数列，前两项都为1，从第三项起，每一项都是前两项之和，那么这个数列称为斐波那契数列，又称黄金分割数列；表达式2110,1,1--+===n n n F F F F F ()n N +∈通项公式：n nn F ⎡⎤⎥=-⎥⎝⎭⎝⎭⎦（又叫“比内公式”，是用无理数表示有理数的一个范例）证明：线性递推数列的特征方程为：21x x =+，解得：1x =，2x 则1122n n n F c x c x =+∵121F F ==∴112222112211c x c x c x c x =+⎧⎨=+⎩解得：1c =；2c =∴n nn F ⎡⎤⎥=-⎥⎝⎭⎝⎭⎦斐波那契数列的一些性质：求和问题：①12-=+n n a S ；②n n a a a a a 212531=+++- ；③1122642-=++++n n a a a a a ． 证明：①()()()1111112112122+=++++=+-++-+-=-=-++++++n n n n n n n n n n S a a a a a a a a a a a S S a ，故12-=+n n a S ，此证明方法也是错位相减的一种特例．②()()()n n n n n a S a a a a a a a a a a a 22212232432111231=+=+++++++=+++---- ，此证明过程也需要利用①的结论．③()()()11212122254321242-==+++++++=++++---n n n n n a S a a a a a a a a a a ．这三个式子用数学归纳法证明也非常简单，无需强化记忆，每次列出前几项比划一下，考试中如果出现需要这些结论的，拿出前几项及时推导即可．平方和问题：122221+=+++n n n a a a a a （根据面积公式推导，如下图）构造正方形来设计面积，()()433221321232221a a a a a a S S S a a a =++=++=++，以此类推，也可以用数学归纳法证明，知道一个大致的方向即可． 裂项问题：⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++++------123222423312222123242311111111111111n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a n n n n n a a a a a a a 212212221211111----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+． 注意：如果是斐波那契数列的部分项求和也可以，比如⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=++++++-++++n m m m n m n m m m m m a a a p a a p a a p a a p 1112312 ,前提就是必须隔项，否则无法裂项相消．【例17】已知数列{}n a 满足：113a =，213a =，*11(,2)n n n a a a n N n +-=+∈…，则132435202120231111a a a a a a a a +++⋯+的整数部分为（） A ．6B ．7C ．8D ．9【例18】意大利数学家列昂纳多·斐波那契是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人，斐波那契数列被誉为是最美的数列，斐波那契数列{}n a 满足11a =，21a =，()*123,n n n a a a n n --=+≥∈N .若将数列的每一项按照下图方法放进格子里，每一小格子的边长为1，记前n 项所占的格子的面积之和为n S ，每段螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形面积为n c ，则其中不正确结论的是（ ）A ．2111n n n n S a a a +++=+⋅B ．12321n n a a a a a +++++=-C ．1352121n n a a a a a -++++=-D ．()121)4(3n n n n c c a n a π--+-≥=⋅【例19】斐波那契数列，又称“兔子数列”，由数学家斐波那契研究兔子繁殖问题时引入．已知斐波那契数列{}n a 满足10a =，21a =，()*21n n n a a a n ++=+∈N ，若记1352019a a a a M ++++=，2462020a a a a N ++++=，则2022a =________．（用M ，N 表示）【例20】（2022•天河区期末）意大利人斐波那契于1202年从兔子繁殖问题中发现了这样的一列数：1，1，2，3，5，8，13，……．即从第三项开始，每一项都是它前两项的和．后人为了纪念他，就把这列数称为斐波那契数列．下面关于斐波那契数列a n 说法正确的是（ ） A ．a 12＝144B ．a 2022是偶数C ．a 2022＝a 1+a 2+a 3…a 2022D ．a 2022+a 2024＝3a 2022【例22】（2023•荆州期末）2022年11月23日是斐波那契纪念日，其提出过著名的“斐波那契”数列，其著名的爬楼梯问题和斐波那契数列相似，若小明爬楼梯时一次上1或2个台阶，若爬上第n 个台阶的方法数为b n ，则（ ） A ．b 7＝21B ．b 1+b 2+b 3+b 5+b 7＝51C ．b 12+b 22+…+b n 2＝b n •b n +1﹣1D ．b n ﹣2+b n +2＝3b n八．不动点与蛛网图（无需通项的无敌技能） 知识点一函数迭代和数列的关系已知函数)(x f y =满足+1=()n n a f a ，则一定有+1211=()()()n n n n a f a f a f a -==，故函数)(x f y =通过反复迭代产生的一系列数构成了数列{}n a 或者记为{}{}n n b x 、，而数列的每一项与函数迭代的关系可以如下表所示： 下面以函数21y x =+和数列121n n a a +=+①数列的递推式和函数的迭代式是有着相同的法则的，故数列的任何一项()+1,n n a a 都在函数)(x f y =上．②数列的通项公式是函数对1a 迭代1-n 次的结果，即11()n n a f a -=，每一次由于迭代产生出的因变量成为下一次迭代的自变量．③数列的首项1a 对整个数列有很大的影响，当迭代不断重复出现同一结果时，我们将其称为不动点．知识点二函数的迭代图像——蛛网图函数的迭代图像，简称蛛网图或者折线图，函数)(x f y =和直线y x =共同决定． 其步骤如下：1．在同一坐标系中作出)(x f y =和y x =的图像（草图），并确定不动点．（如图1所示）图1 图22．在找出不动点之后，确定范围，将不动点之间的图像放大，并找出起始点1a （如图2所示）3．由1a 向)(x f y =作垂直于x 轴的直线与)(x f y =相交，并确定交点()12,a a ． 4．由()12,a a 向y x =作平行于x 轴的直线与y x =相交，并确定交点()22,a a ． 5．由()22,a a 向)(x f y =作垂直于x 轴的直线与)(x f y =相交，并确定交点()23,a a ． 重复4，5，直至找到点()1,n n a a +的最终去向．【例23】设数列{}n a 满足11(0),n a a a a +=>=证明：存在常数M ，使得对于任意的*n N ∈，都有n a M ≤．【例24】首项为正数的数列{a n }满足2*11(3),,4n na a n N +=+∈若对*n N ∈，一切都有1n n a a +>，求a 1的取值范围．知识点三蛛网图与数列的单调性定理1：)(x f y =的单调增区间存在两个不动点x 1，x 2（x 1<x 2)，且在两个不动点之间形成一上凸的图形时，（如图9）则数列)(1n n a f a =+在两个不动点之间的区间是递增的，即1n n a a +>，在两不动点以外的区间则是递减的，即1n n a a +<．定理2：)(x f y =的单调增区间存在两个不动点x 1，x 2（x 1<x 2)，且在两个不动点之间形成一下凹的图形时，（如图10）则数列)(1n n a f a =+在两个不动点之间的区间是递减的，即1n n a a +<，在两不动点以外的区间则是递增的，即1n n a a +>．图9 图10综上可得，当)(x f y =的单调增区间位于上凸内或者下凹外时，即当迭代起点1a 位于此区域时，一定有1n n a a +>同理，当迭代起点1a 位于单调增区间的上凸外或者下凹内时，一定有1n n a a +<．知识点四摆动数列以及由求导构造函数单调性来解决数列问题由反比例（递减函数）函数迭代构成的摆动数列，如图11所示，当)(x f 在区间为减函数时，和直线x y =相交于不动点，那么由此函数迭代构成的数列为摆动数列，即奇数项和偶数项构成相反的单调性，但都螺旋靠近不动点，极限也是不动点。
高考数学集合总复习-数列的概念和简单表示法
数列的概念和简单表示法答案 自主梳理1．一定顺序排列 每一个数 定义域为N *(或它的子集)a 1，a 2，a 3，…，a n ，… n2.第n 项 n 用一个公式3.解析法(通项公式或递推公式) 列表法 图象法4.有穷数列 无穷数列 递增数列 递减数列 摆动数列 常数列 > < ＝5.S 1 S n －S n －1 自我检测1．C 2.C 3.C 4.C5.1n课堂活动区例1 解题导引 (1)根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，要使用添项、还原、分割等方法，转化为一些常见数列的通项公式来求；(2)根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴涵着“从特殊到一般”的思想，得出的结论不一定可靠，在解答题中一般应用数学归纳法进行证明．解 (1)原数列为222－1，2×242－1，2×362－1，2×482－1，2×5102－1，…， ∴a n ＝2n (2n )2－1＝2n 4n 2－1. (2)原数列为12，－42，92，－162，252，…， ∴a n ＝(－1)n ＋1·n 22. 变式迁移1 解 (1)∵a 1＝3＝21＋1，a 2＝5＝22＋1，a 3＝9＝23＋1，…，∴a n ＝2n ＋1.(2)将数列中各项统一成分母为2的分数，得12，42，92，162，252，…， 观察知，各项的分子是对应项数的平方，∴数列通项公式是a n ＝n 22.(3)将数列各项统一成f (n )的形式得2，5，8，11，…；观察知，数列各项的被开方数逐个增加3，且被开方数加1后，又变为3,6,9,12，…，所以数列的通项公式是a n ＝3n －1.(4)从奇数项，偶数项角度入手，可以得到分段形式的解析式，也可看作数列1,1,1,1，…和1，－1,1，－1，…对应项相加之和的一半组成的数列，也可用正弦函数和余弦函数的最值和零点值来调整表示．所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，3，5，…，0，n ＝2，4，6，…， 或a n ＝1＋(－1)n ＋12(n ∈N *)， 或a n ＝⎪⎪⎪⎪sin n π2或a n ＝sin 2n π2(n ∈N *)， 或a n ＝⎪⎪⎪⎪cos n －12π (n ∈N *)． 例2 解题导引 利用数列的递推公式求数列的通项公式，一般有以下三种方法：(1)累加法：如果已知数列{a n }的相邻两项a n ＋1与a n 的差的一个关系式，我们可依次写出前n 项中所有相邻两项的差的关系式，然后把这n －1个式子相加，整理求出数列的通项公式．(2)累积法：如果已知数列{a n }的相邻两项a n ＋1与a n 的商的一个关系式，我们可依次写出前n 项中所有相邻两项的商的关系式，然后把这n －1个式子相乘，整理求出数列的通项公式．(3)构造法：根据所给数列的递推公式以及其他有关关系式，进行变形整理，构造出一个新的等差或等比数列，利用等差或等比数列的通项公式求解．解 (1)当n ＝1,2,3，…，n －1时，可得n －1个等式，a n －a n －1＝n －1，a n －1－a n －2＝n －2，…，a 2－a 1＝1，将其相加，得a n －a 1＝1＋2＋3＋…＋(n －1)．∴a n ＝a 1＋(1＋n －1)(n －1)2＝2＋n (n －1)2. (2)方法一 a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 3a 2·a 2a 1·a 1 ＝⎝⎛⎭⎫12n －1·⎝⎛⎭⎫12n －2·…·⎝⎛⎭⎫122·⎝⎛⎭⎫121＝⎝⎛⎭⎫121＋2＋…＋(n －1)＝⎝⎛⎭⎫12n (n －1)2， ∴a n ＝⎝⎛⎭⎫12n (n －1)2.方法二 由2n －1a n ＝a n －1，得a n ＝⎝⎛⎭⎫12n －1a n －1.∴a n ＝⎝⎛⎭⎫12n －1a n －1＝⎝⎛⎭⎫12n －1·⎝⎛⎭⎫12n －2a n －2＝⎝⎛⎭⎫12n －1·⎝⎛⎭⎫12n －2·…·⎝⎛⎭⎫121a 1 ＝⎝⎛⎭⎫12(n －1)＋(n －2)＋…＋2＋1＝⎝⎛⎭⎫12n (n －1)2变式迁移2 解 (1)∵a n ＋1＝3a n ＋2，∴a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)，∴a n ＋1＋1a n ＋1＝3， ∴数列{a n ＋1}为等比数列，公比q ＝3，又a 1＋1＝2，∴a n ＋1＝2·3n －1，∴a n ＝2·3n －1－1.(2)∵a n ＋1＝(n ＋1)a n ，∴a n ＋1a n＝n ＋1. ∴a n a n －1＝n ，a n －1a n －2＝n －1， ……a 3a 2＝3， a 2a 1＝2， a 1＝1.累乘可得，a n ＝n ×(n －1)×(n －2)×…×3×2×1＝n ！.故a n ＝n ！.(3)∵a n ＋1＝a n ＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ， ∴a n ＋1－a n ＝ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ＝ln n ＋1n. ∴a n －a n －1＝ln n n －1， a n －1－a n －2＝lnn －1n －2， ……a 2－a 1＝ln 21， 累加可得，a n －a 1＝ln n n －1＋ln n －1n －2＋…＋ln 21 ＝ln n －ln(n －1)＋ln(n －1)－ln(n －2)＋…＋ln 2－ln 1＝ln n .又a 1＝2，∴a n ＝ln n ＋2.例3 解题导引 a n 与S n 的关系式a n ＝S n －S n －1的条件是n ≥2，求a n 时切勿漏掉n ＝1，即a 1＝S 1的情况．一般地，当a 1＝S 1适合a n ＝S n －S n －1时，则需统一“合写”．当a 1＝S 1不适合a n ＝S n －S n －1时，则通项公式应分段表示，即a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1， n ＝1，S n －S n －1，n ≥2. 解 当n ＝1时，a 1＝S 1＝2×12－3×1＋1＝0；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2－3n ＋1)－2(n －1)2＋3(n －1)－1＝4n －5；又n ＝1时，a n ＝4×1－5＝－1≠a 1，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧0， n ＝1，4n －5， n ≥2. 变式迁移3 解 (1)a 1＝S 1＝3＋b ，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n ＋b )－(3n －1＋b )＝2·3n －1.当b ＝－1时，a 1适合此等式；当b ≠－1时，a 1不适合此等式．∴当b ＝－1时，a n ＝2·3n －1；当b ≠－1时，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3＋b (n ＝1)2·3n －1 (n ≥2). (2)由2S n ＝a n ＋1，得S n ＝⎝⎛⎭⎫a n ＋122， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝⎝⎛⎭⎫a 1＋122，得a 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝⎝⎛⎭⎫a n ＋122－⎝⎛⎭⎫a n －1＋122，整理，得(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－2)＝0，∵数列{a n }各项为正，∴a n ＋a n －1>0.∴a n －a n －1－2＝0.∴数列{a n }是首项为1，公差为2的等差数列．∴a n ＝a 1＋(n －1)×2＝2n －1.课后练习区1．A 2.A 3.A 4.D 5.B6.377.⎩⎪⎨⎪⎧2 (n ＝1)2n －1 (n ≥2，n ∈N *) 8.n 2－n ＋62 9．解 (1)∵a 1＝1＋12，a 2＝2＋23，a 3＝3＋34，…， ∴a n ＝n ＋n n ＋1(n ∈N *)．…………………………………………………………………(6分) (2)∵a 1＝－2－11，a 2＝2＋12，a 3＝－2－13， a 4＝2＋14，…， ∴a n ＝(－1)n·2＋(－1)n n (n ∈N *)．………………………………………………………(12分) 10．解 (1)由题意得，a n －a n －1＝n ，a n －1－a n －2＝n －1，…，a 3－a 2＝3，a 2－a 1＝2. 将上述各式等号两边累加得，a n －a 1＝n ＋(n －1)＋…＋3＋2，即a n ＝n ＋(n －1)＋…＋3＋2＋1＝n (n ＋1)2， 故a n ＝n (n ＋1)2.……………………………………………………………………………(4分)(2)由题意得，a n a n －1＝n －1n ，a n －1a n －2＝n －2n －1，…，a 3a 2＝23，a 2a 1＝12. 将上述各式累乘得，a n a 1＝1n ，故a n ＝1n.……………………………………………………(8分)(3)由a n ＝2a n －1＋1，得a n ＋1＝2(a n －1＋1)，又a 1＋1＝2≠0，所以a n ＋1a n －1＋1＝2， 即数列{a n ＋1}是以2为首项，以2为公比的等比数列．所以a n ＋1＝2n ，即a n ＝2n －1.…………………………………………………………(12分)11．(1)解 a 1＝S 1＝4.……………………………………………………………………(1分) 对于n ≥2有a n ＝S n －S n －1＝2n (n ＋1)－2(n －1)n ＝4n .a 1也适合，∴{a n }的通项公式a n ＝4n .………………………………………………………………(3分) 将n ＝1代入T n ＝2－b n ，得b 1＝2－b 1，故T 1＝b 1＝1.………………………………(4分) (求b n 方法一)对于n ≥2，由T n －1＝2－b n －1，T n ＝2－b n ，得b n ＝T n －T n －1＝－(b n －b n －1)，∴b n ＝12b n －1，b n ＝21－n .……………………………………………………………………(6分)(求b n 方法二)对于n ≥2，由T n ＝2－b n 得T n ＝2－(T n －T n －1)，2T n ＝2＋T n －1，T n －2＝12(T n －1－2)， T n －2＝21－n (T 1－2)＝－21－n ，T n ＝2－21－n ，b n ＝T n －T n －1＝(2－21－n )－(2－22－n )＝21－n .b 1＝1也适合．……………………………………………………………………………(6分) 综上，{b n }的通项公式b n ＝21－n .…………………………………………………………(8分)(2)证明 方法一 由c n ＝a 2n ·b n ＝n 225－n ，………………………………………………(10分)得c n ＋1c n ＝12⎝⎛⎭⎫1＋1n 2.………………………………………………………………………(12分) 当且仅当n ≥3时，1＋1n ≤43<2， ∴c n ＋1c n <12·(2)2＝1，又c n ＝n 2·25－n >0， 即c n ＋1<c n .………………………………………………………………………………(14分)方法二 由c n ＝a 2n ·b n ＝n 225－n ， 得c n ＋1－c n ＝24－n [(n ＋1)2－2n 2]＝24－n [－(n －1)2＋2]．…………………………………………………………………(13分) 当且仅当n ≥3时，c n ＋1－c n <0，即c n ＋1< c n .…………………………………………(14分)。