(教师参考)高中数学 1.2.1 充分条件与必要条件课件1 新人教A版选修2-1
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人教A版高中数学选修2-1课件：1.2.1充分条件与必要条件
x>1或x< 3
5
q:
x>1或x<
1 2
所以 p是q的真子集， q是 p的真子集.
即：p q 且 q p
故p是q 的充分不必要条件，
p是 q 的必要不充分条件.
第九页，编辑于星期日：六点 十四分。
例题
例1 判断p 是q 的什么条件. p：x是６的倍数；q：x是２的倍数．
充分不必要条件
p：x是２的倍数；q：x是６的倍数．
第一页，编辑于星期日：六点 十四分。
回顾
四种命题之间的相互关系
原命题
若p,则q
互 逆 逆命题
若q,则p
互
互
否
互为 逆否
否
否命题逆否命题源自若－p,则－q 互 逆 若－q,则－p
第二页，编辑于星期日：六点 十四分。
引把例下列命题写成“若p,则q”的形式，
并写出它的逆命题，判断它们的真假.
（1）正数的平方是正数.
所以p 是q 的充分不必要条件，q 是p 的 必要不充分条件.
第六页，编辑于星期日：六点 十四分。
（2） p: (a-2)(a-3)=0, q: a=3
因为：p q , 而q p
所以p是q 的必要不充分条件，q是 p
的充分不必要条件.
（3）p:a < b ， q: b <1 a
因为: p q 且q p
(3)p: a = 2, q: a2 = 4.
(4)p:两个三角形相似，q:两个三角形全等
其中p是q的充分不必要条件的有 （1）（3）.
第八页，编辑于星期日：六点 十四分。
思考题
设p: 5x-1 >4 ，q:
1 2x2-3x+1
最新高二数学人教A版选修2-1课件：1.2充分条件与必要条件(共34张PPT)
类型二 用集合法判断充分条件、必要条件
[例2] 0<x<5是不等式|x－2|<4成立的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[分析] |x－2|<4⇒－2<x<6，由小范围可推出大 范围原理可得答案．
[点评] 一般情况下，若条件甲为x∈A，条件乙 为x∈B.
尝试应用 1．对任意实数a，b，c，下列命题中，真命题是 () A．“ac>bc”是“a>b”的必要条件 B．“ac＝bc”是“a＝b”的必要条件 C．“ac>bc”是“a>b”的充分条件 D．“ac＝bc”是“a＝b”的充分条件 答案：B
2．若綈p是綈q的必要条件，则q是p的( )
A．充分条件
设A＝{x|x2－x－2>0}， [分析] B＝{x|4x＋p<0
化简A、B
→ 得A、B的包含关系→ 求得p的范围
[点评] 1.根据定义，已知p是q的充分条件(或q是p 的必要条件)，则p⇒q成立．
2．可从集合的角度判断： ①若集合A⊆B，则A是B的充分条件，B是A的必要 条件． ②若集合A B，则A不是B的充分条件，B也不是 A的必要条件．
1．充分条件：如果p⇒q，则p叫q的充分条件，原 命题(或逆否命题)成立，命题中的条件是充分的，也 可称q是p的必要条件．
2．必要条件：如果q⇒p，则p叫q的必要条件，逆 命题(或否命题)成立，命题中的条件为必要的，也可 称q是p的充分条件．
2．若p是q的充分条件，这样的条件p是惟一的吗？ 提示：不惟一．如1<x<3是x>0的充分条件，又如， x>5,2<x<7等都是x>0的充分条件．
高中数学第一章常用逻辑用语1.2.1充分条件与必要条件1.2.2充要条件课件新人教A版选修2_1
由条件关系求参数的取值(范围)的步骤 (1)根据条件关系建立条件构成的集合之间的关系. (2)根据集合端点或数形结合列方程或不等式(组)求解.
1.已知 p：－4＜x－a＜4,q：(x－2)(x－3)＜0,若 q 是 p 的充分条 件,则 a 的取值范围为________. 解析：化简 p：a－4＜x＜a＋4,q：2＜x＜3, 由于 q 是 p 的充分条件, 故有aa－＋44≤≥23，，解得－1≤a≤6. 答案：[－1,6]
2.(2019·南京高二检测)“直线 y＝kx＋1 与圆(x－2)2＋y2＝1 相切” 是“k＝－43”的( ) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
解析：选 C.当 k＝－43时,圆心(2,0)到直线 y＝－43x＋1 的距离为 －|43－2＋83＋（1－| 1）2＝1,直线 y＝－43x＋1 与圆(x－2)2＋y2＝1 相
(3)因为在△ABC 中,A≠60°⇒/ sin A≠ 23(A＝120°时,sin A＝ 23),在△ABC 中,sin A≠ 23⇒A≠60°, 所以 p 是 q 的必要不充分条件. (4)因为四四边边形形的是对平角行线四相边等形⇒⇒// 四四边边形形是的平对行角四线边相形等，， 所以 p 是 q 的既不充分也不必要条件.
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析：选 A.由x－12<12,得 0<x<1,所以 0<x3<1,可以推出 x3<1； 由 x3<1,得 x<1,不能推出 0<x<1.所以“x－12<12”是“x3<1”的 充分不必要条件.故选 A.
3.(2018·高考浙江卷)已知平面 α,直线 m,n 满足 m⊄α,n⊂α,则 “m∥n”是“m∥α”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
人教A版高中数学选修2-1课件《1.2.1充分条件与必要条件》
(1)p:b=0,q:函数f(x)=ax2+bx+c是偶函数;
(2)P:x>0,y>0,q:xy>0;
p q.
(3)P:a>b,q:a+c>b+c.z`xx··k
解：在(1)(3)中，pq ,所以(1)(3)中的p是q的充 要条件。在(2)中，qp，所以(2)中p的不是q的
充要条件。
归纳
、定义1：如果已知pq，则说p是q的充分条件。
既不充分也不必要
练习、判断下列命题的真假：
z··x`````x··k
（1）x=2是x2–4x+4=0的必要条件； （2）圆心到直线的距离等于半径是这条 直线为圆的切线的必要条件；
（3）sin=sin是=的充分 条件；
（4）ab0是a0的= 充分条=件。
答：命题（1）为真命题：
命题（2）为真命题； 命题（3）为假命题； 命题（4）为真命题。
充分非必要条件
必要非充分条件 既不充分也不必要条件 充分且必要条件
推理的本质: 强推弱,小推大
1)
B
A
2)
A
B
3）若AB且BA，则甲是乙的 4）若A=B，则甲是乙的
既不充分也不必要条件 充分且必要条件
A
B
A=B
3)
4)
小结充分必要条件的判断方法：
定义法、集合法、等价法（逆否命题）
例4．在下列电路图中，闭合开关A是灯泡B亮的什么条件： 如图(1)所示，开关A闭合是灯泡B充亮分的不条必件要； 如图(2)所示，开关A闭合是灯泡B必亮要的不条充件分； 如图(3)所示，开关A闭合是灯泡B亮的充条要 件； 如图(4)所示，开关A闭合是灯泡B亮的条件；
高中数学 1.2充分条件与必要条件课件1 新人教A版选修2-1
2．x>2的一个必要而不充分条件是_____x_>_1______。
3．条件p：“直线l在y轴上的截距是在x轴上截距的2倍”，
条件q：“直线l的斜率为－2”，则p是q的充__分__而__不__必__要___ 条件。
4．“ co s3” 是 2k“ 5,k Z ” 的必__要__而__不__充__分_
解:命题 (1)(是 2)真命 ,命题 题 (3是 ) 假命 . 题 所,以 命题 (1)(中 2)的 p是q的充分. 条
如果p“ ，若 q 则 ”为假命题 p推 ，不 那 q， 出 么 记 p q。 此 时 ，p我 不们 q 是 的就 充说 分q条 不件 p 是 的， 必 要条件。
利用定义解决问题,并寻找判断方法.
pq
D、 a , b / / ,
分析
课堂小结
A、 a ,b//,
a
b
反例：平行
B 、 a ,b ,//
a
b
结论：a/ /b
C 、 a ,b ,//
a
b
ab
D 、 a ,b//,
b
a
反例：平行 返回题目
1、定义：
【课堂小结】
2、判别步骤：
3、判别技巧：
(1)否定一个命题只要举出一个反例即可。 (2)将命题转化为等价的逆否命题后再判断。
p
q
（答：非充分非必要条件）
找p、q
判断p q，与 q p的真假
根据定义 下结论
第二组题：
（1）下列条件中哪些是a+b>0的充分不必要条件？
① a>0，b>0 ② a<0,b<0 ③ a>0，b<0且|a|>|b|
人教A版高中数学选修2-1课件高二1.2.1充分条件、必要条件(1)
探讨下列生活中的常用语本身是否存在充 要关系，如果有请找出。
（1）有志者事竟成 （2）不入虎穴，焉得虎子 （3）Asinglesparkcanstartaprairiefire. 星星之火，可以燎原。 （4）名师出高徒 （5）水滴石穿
（6）骄兵必败
（7）头发长，见识短。
例3、设，则p是q的什么条件？
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一、引入
事例一
➢ 提问：鱼非常需要水，没了水，鱼就 ➢ 无法生存，但只有水，鱼能活吗？
探究：p：“有水”；q：“鱼能生存”． 判断“若p，则q”和“若q，则p”的真假．
2021/1/30
一、引入
事例二：
➢ 有一位母亲要给女儿做一件衬 衫，母亲带女儿去商店买布， 母亲问营业员：“要做一件衬 衫，应该买多少布料？”营业 员回答：“买三米足够了！”
解:命题(1)(2)是真命题,命题(3)是假命题. 所以,命题(1)(2)中的q是p的必要条件.
从集合的角度来理解充分条件、必要条件
pq，相当于Pq，即Pq或P、q
•P足以导致q,也就是 说条件p充分了； •q是p成立所必须具 备的前提。
请思考
X>1
X>2
X>0
X>3
X>4
X<5 X<8
思考领悟
（2）p:(a-2)(a-3)=0,q:a=3
因为：pq,而qp
所以：p是q的必要不充分条件，q是p的充
分不必要条件.
(3) ABC中，P:A>B.q:BC>AC.
因为： A>BBC>AC.即：pq
所以：p与q互为充要条件 （4）P:a<b.q:<1
人教A版高中数学选修2-1课件1.2.1充分条件与必要条件
1/18/2017
•
当命题“若 p，则 q”为假命题时，记 p q.在这种情况 下，p 是 q 的不充分条件，q 是 p 的不必要条件． 例如：“若 a＝b，则 a2＝b2”是真命题，可写成 a＝b 2 2 2 2 2 2 ⇒a ＝b .a＝b 叫做 a ＝b 的一个充分条件，a ＝b 是 a＝b 的一个必要条件．而“若 a2＝b2，则 a＝b”是假命题，可写 成 a2＝b2 a＝b，a2＝b2 是 a＝b 的一个不充分条件，a＝b 2 2 是 a ＝b 的一个不必要条件.
1/18/2017
•
[点拨] 关于充分条件、必要条件的判断问题，当不易 判断 p⇒q 真假时，也可从集合角度入手判断真假，所以结 合集合关系理解，对解决与逻辑有关的问题是大有益处的．
1/18/2017
•
练 1 给出下列命题： (1)p：x－2＝0；q：(x－2)(x－3)＝0. (2)p：两个三角形相似；q：两个三角形全等． (3)p：m<－2；q：方程 x2－x－m＝0 无实根． 试分别指出 p 是 q 的什么条件．
┐
┐
解析：依题意 a b， c⇒ b，∴a b⇒c.
答案：B
1/1c，在下列命题中，真命题是 ( ) A．“ac>bc”是“a>b”的必要条件 B．“ac＝bc”是“a＝b”的必要条件 C．“ac<bc”是“a<b”的充分条件 D．“ac＝bc”是“a＝b”的充分条件 解析：若 a＝b，则 ac＝bc；若 ac＝bc，则 a 不一定等 于 b，故“ac＝bc”是“a＝b”的必要条件．
1/18/2017 •
[解] (1) 当|a|≥2 时，如 a＝3，则方程 x2＋3x＋6＝0 无实根，而方程 x2＋ax＋a＋3＝0 有实根则必有 a≤－2 或 a≥6 可推出，|a|≥2，故 p 是 q 的必要不充分条件． (2)a＋b＝0D a2＋b2＝0；a2＋b2＝0⇒a＋b＝0，故 p 是 q 的必要不充分条件． (3)四边形的对角线相等 D 四边形是矩形；四边形是矩 形⇒四边形的对角线相等，故 p 是 q 的充分不必要条件．
1.2 充分条件与必要条件1课件 新人教A版选修2-1
第一章
常用逻辑用语
充分条件与必要条件
第一课时
复习引入
复习
新课
小结
作业
1、命题：可以判断真假的陈述句，可写成：若p则q。 2、四种命题及相互关系： 原命题 若p则q
互 否 互逆
逆命题 若q则p
互 否
互为
逆否
否命题 若 p则 q
互逆
逆否命题 若 q则 p
复习引入
复习
新课
小结
作业
例
判断下列命题是真命题还是假命题?
3.已知p是q的必要而不充分条件， 充分不必要条件 那么┐p是┐q的_______________.
4：若┐A是┐B的充要条件,┐C是┐B的充 要条 Ａ 件,则A为C的（ ）条件 A.充要 B必要不充分
C充分不必要
D不充分不必要
例题讲解
（4）若f(x)＝x，则f(x)在R上为增函数；
充分条件
（5）若x为无理数，则x2为无理数.
必要条件
例题讲解
例2 判断下列各组语句中，p是q的什么条 件？ （1）p：a＞b，q：a＋2＞b； 充分条件 （2）p：x2－x＞0，q：x＞1； 必要条件 （3）p：x≠2，q：x2－2x≠0； 必要条件 （4）p：m＜－3， q：方程x2＋2x－m＝0无实根.
概念辨析
下列命题用推断符号分别怎样表示？
⑴若a＞b，则ac＞bc； （a＞b ac＞bc） ⑵若a＞b，则a＋c＞b＋c； （a＞b a＋c＞b+c） ⑶若x≥0，则x2≥0； （x≥0 x2≥0） ⑷若x＞1，则x＞0．
（x＞1 x＞0）
概念形成
一 般 地 ， “ 若 p , 则 q” 为 真 命 题 ， 是 指 由 p 通 过 推 理 可 以 得 出 q , 记 作 p q， 且 说 ： 并
常用逻辑用语
充分条件与必要条件
第一课时
复习引入
复习
新课
小结
作业
1、命题：可以判断真假的陈述句，可写成：若p则q。 2、四种命题及相互关系： 原命题 若p则q
互 否 互逆
逆命题 若q则p
互 否
互为
逆否
否命题 若 p则 q
互逆
逆否命题 若 q则 p
复习引入
复习
新课
小结
作业
例
判断下列命题是真命题还是假命题?
3.已知p是q的必要而不充分条件， 充分不必要条件 那么┐p是┐q的_______________.
4：若┐A是┐B的充要条件,┐C是┐B的充 要条 Ａ 件,则A为C的（ ）条件 A.充要 B必要不充分
C充分不必要
D不充分不必要
例题讲解
（4）若f(x)＝x，则f(x)在R上为增函数；
充分条件
（5）若x为无理数，则x2为无理数.
必要条件
例题讲解
例2 判断下列各组语句中，p是q的什么条 件？ （1）p：a＞b，q：a＋2＞b； 充分条件 （2）p：x2－x＞0，q：x＞1； 必要条件 （3）p：x≠2，q：x2－2x≠0； 必要条件 （4）p：m＜－3， q：方程x2＋2x－m＝0无实根.
概念辨析
下列命题用推断符号分别怎样表示？
⑴若a＞b，则ac＞bc； （a＞b ac＞bc） ⑵若a＞b，则a＋c＞b＋c； （a＞b a＋c＞b+c） ⑶若x≥0，则x2≥0； （x≥0 x2≥0） ⑷若x＞1，则x＞0．
（x＞1 x＞0）
概念形成
一 般 地 ， “ 若 p , 则 q” 为 真 命 题 ， 是 指 由 p 通 过 推 理 可 以 得 出 q , 记 作 p q， 且 说 ： 并
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（2）有关结论是以“至多”，或“至少” 的形式出现的一类命题；
（3）关于唯一性、存在性的命题；
（4）结论的反面比原结论更具体、更容 易研究的命题（正难则反）.
精选ppt
12
例2、判断下列命题是真命题还是假命题：
（1）若 x1，则 x2 1；
真
（2）若 x2x y1 2 ，则2.设UR，集合A x x2 4ax4a30,xR ,
B x x2 (a1)xa2 0,xR ,
C x x2 2ax2a 0,xR .
若A，B，C中至少有一个不是空集，
求实数a的取值范围.
答案：
精选ppt
a 3或a 1.
2
11
一般以下几种情况适宜使用反证法
（1）结论本身是以否定形式出现的一类 命题；
假
（4）若方程a2x b x c0 (a0 )有两个不等的实数解，
则b24a c0．
真
（5方）程若有aba 02 ，x 则b ax c 00 ；(a0 )两个不等的实数解假 b24a c0
(6) 若两三角形全等 ，则两三角形面积相等； 真
两三角形全等 两三角形面积相等
精选ppt
13
例3、以“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“ 要条件”与”既不充分也不必要条件“中选出适当的一种
填空. 1) " x 0, y 0 " 是 " xy 0 "的 （充分不必要条件）
2 ）" a N " 是 " a Z "的 （充分不必要条件）
3 ）" x 2 1 0 " 是 " x 1 0 "的 （必要不充分条件）
4 ）"同 旁 内 角 互 补 " 是 " 两 直 线 平 行 "的（充要条件）
5)" x 5"是 " x 3"的
（必要不充分条件）
6 ) " a b " 是 " a c b c "的 （充要条件）
7 ） 已 知 A B C 不 是 直 角 三 角 形 ，" A < B " 是
" tan A tan B "的 （既不充分也不必要条件）
精选ppt
14
小结：
1、当p ＞ q时， p是q的充分条件，q是p的必要条件。
x>1 x2>1
• （4）x＝1或x＝2 x2－3x＋2＝0
x2－3x＋2＝0 x＝1或x＝2
精选ppt
4
定义:如果 p q,则说
p是q的充分条件(sufficient condition), q是p的必要条件(necessary condition).
定义:如果 p q,则说
p是q的充要条件(sufficient and necessary condition)
2、充分条件的特征是：当p成立时，必有q 成立，但当p不成立时，未必有q不成立。
因此要使q成立，只需要条件p即可，故称p
是q成立的充分条件。 3、必要条件的特征是：当q不成立时，必
有p不成立，但当q成立时，未必有p 成立。
因此要使p成立，必须具备条件q，故称q是 p成立的必要条件。
精选ppt
15
• 如果命题“若p则q”为真，则记作 p q
（或q p）。
• 如果命题“若p则q”为假，则记作p q （或q p）。
精选ppt
3
请同学们判断下列命题的真假，并 说明条件和结论有什么关系？
• （1）x＝yx2＝y2
x2＝y2 x＝y
• （2）ab = 0 a = 0
a = 0 ab = 0
• （3）x2>1 x>1
精选ppt
5
定义:如果 p q ,且q p,则说
p是q的充分不必要条件
定义:如果p q, ,且 q p ， 则说
p是q的必要不充分条件
定义:如果p q, ,且 q p ， 则说 p是q的既不充分也不必要条件
精选ppt
6
• a= 0
＞ ab=0。
要使结论ab=0成立，只要有条件a =0就足够了， “足够”就是“充分”的意思，因此称a =0是ab=0
的充分条件。另一方面如果ab≠0，也不可能有a
=0，也就是要使a =0，必须具备ab=0的条件，因此
我们称ab=0是a =0的必要条件。
精选ppt
7
充分条件与必要条件的判断
（1）直接利用定义判断：即“若p q成立，
则p是q的充分条件，q是p的必要条件”. （条件与结论是相对的）
（2）利用等价命题关系判断：“p q”的等 价命题是“┐q ┐p”。 即“若┐q┐p成立，则p是q的充分条件，q
是p的必要条件”
精选ppt
8
例1、 用反证法证明：圆的两条 不是直径的相交弦不能互相平分.
已知：如图，在⊙O中，弦
AB、CD交于P，且AB、CD
不是直径.
A
求证：弦AB、CD不被P平分.
C
分析：假设弦AB、CD被P平分，连 接OP后，可以推出AB、CD都与OP 垂直，则出现矛盾.
精选ppt
O
PD
B
第一章 常用逻辑用语
1.2.1 充分条件与必要条件
精选ppt
1
请同学们判断下列命题的真假，并 说明条件和结论有什么关系？
• （1）若x＝y，则x2＝y2
• （2）若ab = 0，则a = 0 • （3）若x2>1，则x>1 • （4）若x＝1或x＝2，则x2－3x＋2＝0
精选ppt
2
推断符号“ ”的含义
9
证明: 假设弦AB、CD被P平分，由于P点一 定不是圆心O，连接OP，根据垂径定理的推 论，有
OP⊥AB，OP⊥CD，
即过点P有两条直线与OP都 垂直，这与垂线性质矛盾.
A
所以，弦AB、CD不被P平分. C
O
PD
B
精选ppt
10
思考：
1.用反证法证明：若函数f(x)在区间［a,b］上 是增函数，那么方程f(x)=0在区间［a,b］上至 多只有一个实根.
（3）关于唯一性、存在性的命题；
（4）结论的反面比原结论更具体、更容 易研究的命题（正难则反）.
精选ppt
12
例2、判断下列命题是真命题还是假命题：
（1）若 x1，则 x2 1；
真
（2）若 x2x y1 2 ，则2.设UR，集合A x x2 4ax4a30,xR ,
B x x2 (a1)xa2 0,xR ,
C x x2 2ax2a 0,xR .
若A，B，C中至少有一个不是空集，
求实数a的取值范围.
答案：
精选ppt
a 3或a 1.
2
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一般以下几种情况适宜使用反证法
（1）结论本身是以否定形式出现的一类 命题；
假
（4）若方程a2x b x c0 (a0 )有两个不等的实数解，
则b24a c0．
真
（5方）程若有aba 02 ，x 则b ax c 00 ；(a0 )两个不等的实数解假 b24a c0
(6) 若两三角形全等 ，则两三角形面积相等； 真
两三角形全等 两三角形面积相等
精选ppt
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例3、以“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“ 要条件”与”既不充分也不必要条件“中选出适当的一种
填空. 1) " x 0, y 0 " 是 " xy 0 "的 （充分不必要条件）
2 ）" a N " 是 " a Z "的 （充分不必要条件）
3 ）" x 2 1 0 " 是 " x 1 0 "的 （必要不充分条件）
4 ）"同 旁 内 角 互 补 " 是 " 两 直 线 平 行 "的（充要条件）
5)" x 5"是 " x 3"的
（必要不充分条件）
6 ) " a b " 是 " a c b c "的 （充要条件）
7 ） 已 知 A B C 不 是 直 角 三 角 形 ，" A < B " 是
" tan A tan B "的 （既不充分也不必要条件）
精选ppt
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小结：
1、当p ＞ q时， p是q的充分条件，q是p的必要条件。
x>1 x2>1
• （4）x＝1或x＝2 x2－3x＋2＝0
x2－3x＋2＝0 x＝1或x＝2
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4
定义:如果 p q,则说
p是q的充分条件(sufficient condition), q是p的必要条件(necessary condition).
定义:如果 p q,则说
p是q的充要条件(sufficient and necessary condition)
2、充分条件的特征是：当p成立时，必有q 成立，但当p不成立时，未必有q不成立。
因此要使q成立，只需要条件p即可，故称p
是q成立的充分条件。 3、必要条件的特征是：当q不成立时，必
有p不成立，但当q成立时，未必有p 成立。
因此要使p成立，必须具备条件q，故称q是 p成立的必要条件。
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15
• 如果命题“若p则q”为真，则记作 p q
（或q p）。
• 如果命题“若p则q”为假，则记作p q （或q p）。
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3
请同学们判断下列命题的真假，并 说明条件和结论有什么关系？
• （1）x＝yx2＝y2
x2＝y2 x＝y
• （2）ab = 0 a = 0
a = 0 ab = 0
• （3）x2>1 x>1
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5
定义:如果 p q ,且q p,则说
p是q的充分不必要条件
定义:如果p q, ,且 q p ， 则说
p是q的必要不充分条件
定义:如果p q, ,且 q p ， 则说 p是q的既不充分也不必要条件
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6
• a= 0
＞ ab=0。
要使结论ab=0成立，只要有条件a =0就足够了， “足够”就是“充分”的意思，因此称a =0是ab=0
的充分条件。另一方面如果ab≠0，也不可能有a
=0，也就是要使a =0，必须具备ab=0的条件，因此
我们称ab=0是a =0的必要条件。
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7
充分条件与必要条件的判断
（1）直接利用定义判断：即“若p q成立，
则p是q的充分条件，q是p的必要条件”. （条件与结论是相对的）
（2）利用等价命题关系判断：“p q”的等 价命题是“┐q ┐p”。 即“若┐q┐p成立，则p是q的充分条件，q
是p的必要条件”
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8
例1、 用反证法证明：圆的两条 不是直径的相交弦不能互相平分.
已知：如图，在⊙O中，弦
AB、CD交于P，且AB、CD
不是直径.
A
求证：弦AB、CD不被P平分.
C
分析：假设弦AB、CD被P平分，连 接OP后，可以推出AB、CD都与OP 垂直，则出现矛盾.
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O
PD
B
第一章 常用逻辑用语
1.2.1 充分条件与必要条件
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1
请同学们判断下列命题的真假，并 说明条件和结论有什么关系？
• （1）若x＝y，则x2＝y2
• （2）若ab = 0，则a = 0 • （3）若x2>1，则x>1 • （4）若x＝1或x＝2，则x2－3x＋2＝0
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2
推断符号“ ”的含义
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证明: 假设弦AB、CD被P平分，由于P点一 定不是圆心O，连接OP，根据垂径定理的推 论，有
OP⊥AB，OP⊥CD，
即过点P有两条直线与OP都 垂直，这与垂线性质矛盾.
A
所以，弦AB、CD不被P平分. C
O
PD
B
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10
思考：
1.用反证法证明：若函数f(x)在区间［a,b］上 是增函数，那么方程f(x)=0在区间［a,b］上至 多只有一个实根.