湖南炎德英才大联考雅礼中学2010届高三第三次月考试题(数学理)

长沙市雅礼中学2010届高三月考试卷数 学（理工农医类）命题：高三数学备课组 审卷：高三数学备课组说明：本试题卷分选择题和非选择题（包括填空题和解答题）两部分．时量120分钟．满分150分．考试范围:集合、函数与导数、不等式、数列、三角函数、向量、复数．第I 卷一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将所选答案填在答题卡对应位置. １．设集合则},2|{},0|{2<=<-=x x N x x x M （A ）φ=N M（B ）M N M = （C ）M N M = （D ）R N M =２． 复数(1+i)21－i等于( )A.1－iB.1+iC. －1－iD.－1+ i ３．已知函数y=sinx+acosx 的图象关于53x π=对称，则函数y=asinx+cosx 的图象的一条对称轴是 （ ） A. x=11π/6 B. x=2π/3 C. x=π/3 D. x=π４．已知,OA a OB b ==，C 为线段AB 上距A 较近的一个三等分点，D 为线段CB 上 距C 较近的一个三等分点，则用b a,表示OD 的表达式为 （ ）B . )79(161b a + C. )2(31b a + D. )3(41b a+ 提示：AB b a =- ，22,,33DB CB CB AB ==∴55()99AD AB b a ==- ，OD OA AD =+.５．已知－9，a 1，a 2，－1四个实数成等差数列，－9，b 1，b 2，b 3，－1五个实数成等 比数列，则b 2(a 2－a 1)＝ （ ） A ．8 B ．－8 C ．8± D ．98答案： B ．解析：2212221198,9,()8413a a db b a a -+-====∴-=--. ６．设函数21()122x x f x =-+，[]x 表示不超过x 的最大整数，则函数[()][()]y f x f x =+-的值域为A .{}0B . {}2,0-C . {}1,0,1-D .{}1,0- ７．若b a <<0，且1=+b a ，则下列各式中最大的是（ ） （A ）1- （B ）1log log 22++b a（C ）b 2log （D ）)(log 32232b ab b a a +++８．设奇函数f (x )在[-1，1]上是增函数，且(1)1f -=-，若函数2()21f x t at -+≤对所有的[1,1]x ∈-都成立，则当[1,1]a ∈-时，t 的取值范围是（ ）A ．22t -≤≤B ．1122t -≤≤C ．220t t t -=或或≥≤D ．11022t t t -=或或≥≤第II 卷二．填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．把答案填在答题卡．．．中对应题号后的横线上．9．在边长为1的正三角形ABC 中，设,,BC a AB c AC b === ，则a c c b b a⋅+⋅+⋅的值是 5.0 提示：12a b ⋅= ，12b c ⋅= ，12c a ⋅=-.10．在直角坐标系xoy 中，若角α的始边为x 轴的非负半轴，终边为射线l ：y=则sin()6πα+的值为11．若关于x 的方程323()25xa a +=-有负数根，则实数a 的取值范围为 23(,)34- 12．函数29()12f x x x =+-（1(0,)2x ∈）的最小值为 25 13．给出下列四个结论：① 函数sin y x =在第一象限是增函数； ② 函数1cos 2y x =+的最小正周期是π ③若22,am bm <则a b <；④函数()sin f x x x =-（x R ∈）有3个零点； ⑤对于任意实数x ，有()(),()(),f x f x g x g x -=--= 且x>0时,()0,()0,f x g x ''>>则x<0时()().f x g x ''>（填上所有正确结论的序号）14．已知点P ()2,2在曲线3y ax bx =+上，如果该曲线在点P 处切线的斜率为9，那么（i ）ab =____________；（ii ）函数()3f x ax bx =+，3[,3]2x ∈-的值域为____________.答案：－3；[－2,18] 15． 数列{}n a 中， 135a =， （i ）若13,21n n n a a a +=+则n a = ；332nn +（ii ）若113,21n n n n a a a ++=+则n a = 答案：1362nn n ++ 三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，已知 (5,0)A 、(0,5)B 、(cos ,sin )C αα，且(,2)αππ∈,（Ⅰ）若A B O C⊥ （O 为坐标原点），求角α的值；（Ⅱ）若2A C B C ⋅= ，求22si n s i n 22(1t a n )ααα-+的值.解（Ⅰ）(5,5),(cos ,sin )AB OC αα=-=,而AB OC ⊥ ,∴0AB OC ⋅=代入化简得 ααcos sin = 又(,2)αππ∈,54πα∴=. （Ⅱ）由2AC BC ⋅=，得(cos 5)cos sin (sin 5)2αααα-+-=1sin cos 5αα∴+=, 12sin cos 25αα∴⋅=- ,由于 242sin cos 025αα⋅=-<,且(,2)αππ∈,则3(,2)2παπ∈,7cos sin 5αα∴-== 又22sin sin 22(1tan )ααα-+=22sin 2sin cos sin 2(1)cos ααααα-=+sin cos (cos sin )sin cos αααααα--+所以22sin sin 22(1tan )ααα-+=-8425.17．（本小题满分12分）函数2)(2-++=b au u u f ，其中)0,(1≠∈+=x R x xx u . （1）求u 的取值范围（2）若a 、b 是使0)(=u f 至少有一个实根的实数，求22b a +的最小值. 解：（1）(][)+∞⋃-∞-∈+=,22,1xx u ， （2）解法一：2)(2-++=b au u u f 至少有实根时 ①0)2()2(≤⋅-f f 得54)(min 22=+b a②4,2,022022,0)2(0)2(22≥+-≤⎩⎨⎧≤++≤-+⎩⎨⎧≤≤-b a b a b a b f f 得③对称轴2|2|||>-=ax 时，16,4||22>+>b a a 综合①②③得54)(min 22=+b a 。

（2）解法二：利用点到直线的距离 （2）解法三：利用柯西不等式。

18．（本小题满分12分）已知n S 是数列{n a }的前n 项和，并且1a =1，对任意正整数n ，241+=+n n a S ；设,3,2,1(21=-=+n a a b n n n ）.（I ）证明数列}{n b 是等比数列，并求}{n b 的通项公式； （II ）设}log log 1{,32212++⋅=n n n n n C C T b C 为数列的前n 项和，求n T . 解：（I ）),2(24,2411≥+=∴+=-+n a S a S n n n n 两式相减：),2(4411≥-=-+n a a a n n n*),(2)2(2,2)(42,2),2)((41111121111N n b a a b a a a a a b a a b n a a a n n n n n n n n n n n n n n n n ∈=-=--=-=∴-=∴≥-=∴++++++++-+,21=∴+nn b b }{n b ∴是以2为公比的等比数列，…………………………………………4分,325,523,24,2112121121=-==+=∴+=+-=b a a a a a a a b 而*)(231N n b n n ∈⋅=∴-…………………………………………………………7分（II ）,231-==n nn b C,)1(12log 2log 1log log 11222212+=⋅=⋅∴+++n n C C n n n n ……………………9分而,111)1(1+-=+n n n n.111)111()4131()3121()211(+-=+-++-+-+-=∴n n n T n ……………12分19．（本小题满分12分）从边长为2a 的正方形铁皮的四个角各截去一个边长为x 的小正方形，再将四边向上折起，做成一个无盖的长方体铁盒，且要求长方体的高度x 与底面正方形的边长的比不超过常数t.问：（1）求长方体的容积V 关于x 的函数表达式；（2）x 取何值时，长方体的容积V 有最大值？（1）长方体的容积x a x V 2)(4-=，由t x a x ≤-22，得tta t 2120+≤<，（2）由均值不等式知)2)()((2x x a x a a V --=2716)32(233a x x a x a =+-+-≤，当x x a 2=-，即3ax =时等号成立。

（1）当t ta a 2123+≤，即41≥t ，27163max a V =；（2）当t ta a 2123+>，即410<<t 时， 34)32(12)(22'a a x x V --=，则)('x V 在)3,0(a 上单调递减，0)3()212()('''=>+≥∴a V t ta V x V ，)(x V ∴在⎥⎦⎤⎝⎛+t ta 212,0单调递增，32max)21(8)212()(t ta t ta V x V +=+=∴ 总之，若410<<t ，则当t ta x 212+=时，33max )21(8t ta V += ； 若41≥t ，则当3a x =时，27163max a V =。

（注：直接对V 求导也可）20．（本小题满分13分） 已知函数21f(x)=lnx,g(x)=ax +bx (a 0).2≠ （I ）若a= 2 , h(x)=f(x)g(x)－时函数－ 在其定义域是增函数，求b 的取值范围； （II ）在（I ）的结论下，设函数2x x (x)=e +be ,x [0,ln2],(x)ϕϕ∈求函数的最小值； （III ）设函数)(x f 的图象C 1与函数)(x g 的图象C 2交于点P 、Q ，过线段PQ 的中点R 作x 轴的垂线分别交C 1、C 2于点M 、N ，问是否存在点R ，使C 1在M 处的切线与C 2在N 处的切线平行？若存在，求出R 的横坐标；若不存在，请说明理由. 解：（I ）依题意：.ln )(2bx x x x h -+=()h x 在（0,+∞）上是增函数，1()20h x x b x'∴=+-≥对x ∈（0,+∞）恒成立，∴≤+>+≥ 112.0,则2b x x x xx(].22,∞-∴的取值范围为b（II ）设].2,1[,,2∈+==t bt t y e t x则函数化为22().1,2,[1,2],242b b by t b y =+-∴-≤-≤≤ 当即函数在上为增函数当t=1时，y m I n =b+1；…………6分,]2,1[4,22;42,24,2212min 上是减函数在函数时即当时当时即当y ，b bb ，y b t b b -≤≥--=-=-<<-<-< 当t=2时，y m I n =4+2b…………8分.4)(,24.1)(,222,2b x b b x b --<<-+≤≤-的最小值为时当的最小值为时当综上所述ϕϕ当)(,4x b ϕ时-≤的最小值为.24b +…………9分（III ）设点P 、Q 的坐标是.0),,(),,(212211x x y x y x <<且 则点M 、N 的横坐标为.221x x x +=C 1在点M 处的切线斜率为.2|1212121x x x k x x x +==+= C 2在点N 处的切线斜率为.2)(|212221b x x a b ax k x x x ++=+=+=…………10分假设C 1在点M 处的切线与C 2在点N 处的切线平行，则.21k k =12122221212112222221121211()2.22()()()2()()ln ln ln ,22a x x b x x x x a x x b x x x x x a ax bx x bx y y x x x +=++--=+-+=+-+=-=-=即则.1)1(2)(2ln 1212211212x x x x x x x x x x +-=+-=∴设,1,1)1(2ln ,112>+-=>=u uu u x x u 则 ……………… ①[)2222(1)()ln , 1.114(1)().1,()0.(1)(1)2(1)()1,,()(1)0,ln .1u r u u u u u r u u r u u u u u u r u r u r u u -=->+-''=-=>∴>++-+∞>=>+ 令则所以在上单调递增故则这与①矛盾，假设不成立.故C 1在点M 处的切线与C 2在点N 处的切线不平行.21．（本小题满分14分）已知数列{}n a 中，13a =，25a =，其前n 项和n S 满足()121223n n n n S S S n ---+=+≥.令11n n n b a a +=⋅.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若()12x f x -=，求证：()()()121126n n T b f b f b f n =+++<（1n ≥）； （Ⅲ）令()2312312n n n T b a b a b a b a =++++ （0a >），求同时满足下列两个条件的所有a 的值：①对于任意正整数n ，都有16n T <；②对于任意的10,6m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，均存在0n N *∈，使得0n n ≥时，n T m >.【解】（Ⅰ）由题意知()111223n n n n n S S S S n -----=-+≥即()1123n n n a a n --=+≥……1′ ∴()()()112322n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+()1221222225222212213n n n n n n ----=++++=++++++=+ ≥……3′检验知1n =、2时，结论也成立，故21n n a =+.…………4′ 法二：1122n n n n a a ---=- 法三：()111132222n n n n a a n --=⋅+≥（Ⅱ）由于()()()()()()()11111212111111222212121212121n nn n n n n n n n b f n +-++++-+⎛⎫=⋅=⋅=- ⎪++++++⎝⎭ 故()()()1222311111111122121212122121n n n n T b f b f b f n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1111111212212126n +⎛⎫=-<⋅= ⎪+++⎝⎭.…………9′ （Ⅲ）（ⅰ）当2a =时，由（Ⅱ）知：16n T <，即条件①满足；又106m <<， ∴1211113321110212211616n n n T m m n log m m ++⎛⎫⎛⎫>⇔->⇔>-⇔>--> ⎪ ⎪++--⎝⎭⎝⎭. 取0n 等于不超过23116log m ⎛⎫-⎪-⎝⎭的最大整数，则当0n n ≥时，n T m >.…10′ （ⅱ）当2a >时，∵1n ≥，222nn n a a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭≥，∴22n n aa ⋅≥，∴2222n n n n n n a ab a b b ⋅⋅⋅=⋅⋅≥.∴()11111111222221221nni i n i i n i i a a T b a b -+==⎛⎫⎛⎫=⋅=⋅- ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭∑∑≥. 由（ⅰ）知存在0n N *∈，当0n n ≥时，11111212213n a+⎛⎫->⎪++⎝⎭， 故存在0n N *∈，当0n n ≥时，111111*********n n a a T a +⎛⎫=⋅->⋅= ⎪++⎝⎭，不满足条件. …12′ （ⅲ）当02a <<时，∵1n ≥，222nn n a a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭≤，∴22n n aa ⋅≤，∴2222n n n n n n a ab a b b ⋅⋅⋅=⋅⋅≤.∴()()11111111222221221nnii n i i n i i a a T b a b -+==⎛⎫==⋅- ⎪++⎝⎭∑∑≤.取10,126a m ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，若存在0n N *∈，当0n n ≥时，n T m >，则111122122112n a a +⎛⎫⋅-> ⎪++⎝⎭. ∴111112213n +->++矛盾. 故不存在0n N *∈，当0n n ≥时，n T m >.不满足条件. 综上所述：只有2a =时满足条件，故2a =.…………14′。