湖南炎德英才大联考雅礼中学2010届高三第三次月考试题(数学理)
长沙市雅礼中学2010届高三月考试卷数 学（理工农医类）命题：高三数学备课组 审卷：高三数学备课组说明：本试题卷分选择题和非选择题（包括填空题和解答题）两部分．时量120分钟．满分150分．考试范围:集合、函数与导数、不等式、数列、三角函数、向量、复数．第I 卷一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将所选答案填在答题卡对应位置. １．设集合则},2|{},0|{2<=<-=x x N x x x M （A ）φ=N M（B ）M N M = （C ）M N M = （D ）R N M =２． 复数(1+i)21－i等于( )A.1－iB.1+iC. －1－iD.－1+ i ３．已知函数y=sinx+acosx 的图象关于53x π=对称，则函数y=asinx+cosx 的图象的一条对称轴是 （ ） A. x=11π/6 B. x=2π/3 C. x=π/3 D. x=π４．已知,OA a OB b ==，C 为线段AB 上距A 较近的一个三等分点，D 为线段CB 上 距C 较近的一个三等分点，则用b a,表示OD 的表达式为 （ ）B . )79(161b a + C. )2(31b a + D. )3(41b a+ 提示：AB b a =- ，22,,33DB CB CB AB ==∴55()99AD AB b a ==- ，OD OA AD =+.５．已知－9，a 1，a 2，－1四个实数成等差数列，－9，b 1，b 2，b 3，－1五个实数成等 比数列，则b 2(a 2－a 1)＝ （ ） A ．8 B ．－8 C ．8± D ．98答案： B ．解析：2212221198,9,()8413a a db b a a -+-====∴-=--. ６．设函数21()122x x f x =-+，[]x 表示不超过x 的最大整数，则函数[()][()]y f x f x =+-的值域为A .{}0B . {}2,0-C . {}1,0,1-D .{}1,0- ７．若b a <<0，且1=+b a ，则下列各式中最大的是（ ） （A ）1- （B ）1log log 22++b a（C ）b 2log （D ）)(log 32232b ab b a a +++８．设奇函数f (x )在[-1，1]上是增函数，且(1)1f -=-，若函数2()21f x t at -+≤对所有的[1,1]x ∈-都成立，则当[1,1]a ∈-时，t 的取值范围是（ ）A ．22t -≤≤B ．1122t -≤≤C ．220t t t -=或或≥≤D ．11022t t t -=或或≥≤第II 卷二．填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．把答案填在答题卡．．．中对应题号后的横线上．9．在边长为1的正三角形ABC 中，设,,BC a AB c AC b === ，则a c c b b a⋅+⋅+⋅的值是 5.0 提示：12a b ⋅= ，12b c ⋅= ，12c a ⋅=-.10．在直角坐标系xoy 中，若角α的始边为x 轴的非负半轴，终边为射线l ：y=则sin()6πα+的值为11．若关于x 的方程323()25xa a +=-有负数根，则实数a 的取值范围为 23(,)34- 12．函数29()12f x x x =+-（1(0,)2x ∈）的最小值为 25 13．给出下列四个结论：① 函数sin y x =在第一象限是增函数； ② 函数1cos 2y x =+的最小正周期是π ③若22,am bm <则a b <；④函数()sin f x x x =-（x R ∈）有3个零点； ⑤对于任意实数x ，有()(),()(),f x f x g x g x -=--= 且x>0时,()0,()0,f x g x ''>>则x<0时()().f x g x ''>（填上所有正确结论的序号）14．已知点P ()2,2在曲线3y ax bx =+上，如果该曲线在点P 处切线的斜率为9，那么（i ）ab =____________；（ii ）函数()3f x ax bx =+，3[,3]2x ∈-的值域为____________.答案：－3；[－2,18] 15． 数列{}n a 中， 135a =， （i ）若13,21n n n a a a +=+则n a = ；332nn +（ii ）若113,21n n n n a a a ++=+则n a = 答案：1362nn n ++ 三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，已知 (5,0)A 、(0,5)B 、(cos ,sin )C αα，且(,2)αππ∈,（Ⅰ）若A B O C⊥ （O 为坐标原点），求角α的值；（Ⅱ）若2A C B C ⋅= ，求22si n s i n 22(1t a n )ααα-+的值.解（Ⅰ）(5,5),(cos ,sin )AB OC αα=-=,而AB OC ⊥ ,∴0AB OC ⋅=代入化简得 ααcos sin = 又(,2)αππ∈,54πα∴=. （Ⅱ）由2AC BC ⋅=，得(cos 5)cos sin (sin 5)2αααα-+-=1sin cos 5αα∴+=, 12sin cos 25αα∴⋅=- ,由于 242sin cos 025αα⋅=-<,且(,2)αππ∈,则3(,2)2παπ∈,7cos sin 5αα∴-== 又22sin sin 22(1tan )ααα-+=22sin 2sin cos sin 2(1)cos ααααα-=+sin cos (cos sin )sin cos αααααα--+所以22sin sin 22(1tan )ααα-+=-8425.17．（本小题满分12分）函数2)(2-++=b au u u f ，其中)0,(1≠∈+=x R x xx u . （1）求u 的取值范围（2）若a 、b 是使0)(=u f 至少有一个实根的实数，求22b a +的最小值. 解：（1）(][)+∞⋃-∞-∈+=,22,1xx u ， （2）解法一：2)(2-++=b au u u f 至少有实根时 ①0)2()2(≤⋅-f f 得54)(min 22=+b a②4,2,022022,0)2(0)2(22≥+-≤⎩⎨⎧≤++≤-+⎩⎨⎧≤≤-b a b a b a b f f 得③对称轴2|2|||>-=ax 时，16,4||22>+>b a a 综合①②③得54)(min 22=+b a 。
（2）解法二：利用点到直线的距离 （2）解法三：利用柯西不等式。
18．（本小题满分12分）已知n S 是数列{n a }的前n 项和，并且1a =1，对任意正整数n ，241+=+n n a S ；设,3,2,1(21=-=+n a a b n n n ）.（I ）证明数列}{n b 是等比数列，并求}{n b 的通项公式； （II ）设}log log 1{,32212++⋅=n n n n n C C T b C 为数列的前n 项和，求n T . 解：（I ）),2(24,2411≥+=∴+=-+n a S a S n n n n 两式相减：),2(4411≥-=-+n a a a n n n*),(2)2(2,2)(42,2),2)((41111121111N n b a a b a a a a a b a a b n a a a n n n n n n n n n n n n n n n n ∈=-=--=-=∴-=∴≥-=∴++++++++-+,21=∴+nn b b }{n b ∴是以2为公比的等比数列，…………………………………………4分,325,523,24,2112121121=-==+=∴+=+-=b a a a a a a a b 而*)(231N n b n n ∈⋅=∴-…………………………………………………………7分（II ）,231-==n nn b C,)1(12log 2log 1log log 11222212+=⋅=⋅∴+++n n C C n n n n ……………………9分而,111)1(1+-=+n n n n.111)111()4131()3121()211(+-=+-++-+-+-=∴n n n T n ……………12分19．（本小题满分12分）从边长为2a 的正方形铁皮的四个角各截去一个边长为x 的小正方形，再将四边向上折起，做成一个无盖的长方体铁盒，且要求长方体的高度x 与底面正方形的边长的比不超过常数t.问：（1）求长方体的容积V 关于x 的函数表达式；（2）x 取何值时，长方体的容积V 有最大值？（1）长方体的容积x a x V 2)(4-=，由t x a x ≤-22，得tta t 2120+≤<，（2）由均值不等式知)2)()((2x x a x a a V --=2716)32(233a x x a x a =+-+-≤，当x x a 2=-，即3ax =时等号成立。
（1）当t ta a 2123+≤，即41≥t ，27163max a V =；（2）当t ta a 2123+>，即410<<t 时， 34)32(12)(22'a a x x V --=，则)('x V 在)3,0(a 上单调递减，0)3()212()('''=>+≥∴a V t ta V x V ，)(x V ∴在⎥⎦⎤⎝⎛+t ta 212,0单调递增，32max)21(8)212()(t ta t ta V x V +=+=∴ 总之，若410<<t ，则当t ta x 212+=时，33max )21(8t ta V += ； 若41≥t ，则当3a x =时，27163max a V =。
（注：直接对V 求导也可）20．（本小题满分13分） 已知函数21f(x)=lnx,g(x)=ax +bx (a 0).2≠ （I ）若a= 2 , h(x)=f(x)g(x)－时函数－ 在其定义域是增函数，求b 的取值范围； （II ）在（I ）的结论下，设函数2x x (x)=e +be ,x [0,ln2],(x)ϕϕ∈求函数的最小值； （III ）设函数)(x f 的图象C 1与函数)(x g 的图象C 2交于点P 、Q ，过线段PQ 的中点R 作x 轴的垂线分别交C 1、C 2于点M 、N ，问是否存在点R ，使C 1在M 处的切线与C 2在N 处的切线平行？若存在，求出R 的横坐标；若不存在，请说明理由. 解：（I ）依题意：.ln )(2bx x x x h -+=()h x 在（0,+∞）上是增函数，1()20h x x b x'∴=+-≥对x ∈（0,+∞）恒成立，∴≤+>+≥ 112.0,则2b x x x xx(].22,∞-∴的取值范围为b（II ）设].2,1[,,2∈+==t bt t y e t x则函数化为22().1,2,[1,2],242b b by t b y =+-∴-≤-≤≤ 当即函数在上为增函数当t=1时，y m I n =b+1；…………6分,]2,1[4,22;42,24,2212min 上是减函数在函数时即当时当时即当y ，b bb ，y b t b b -≤≥--=-=-<<-<-< 当t=2时，y m I n =4+2b…………8分.4)(,24.1)(,222,2b x b b x b --<<-+≤≤-的最小值为时当的最小值为时当综上所述ϕϕ当)(,4x b ϕ时-≤的最小值为.24b +…………9分（III ）设点P 、Q 的坐标是.0),,(),,(212211x x y x y x <<且 则点M 、N 的横坐标为.221x x x +=C 1在点M 处的切线斜率为.2|1212121x x x k x x x +==+= C 2在点N 处的切线斜率为.2)(|212221b x x a b ax k x x x ++=+=+=…………10分假设C 1在点M 处的切线与C 2在点N 处的切线平行，则.21k k =12122221212112222221121211()2.22()()()2()()ln ln ln ,22a x x b x x x x a x x b x x x x x a ax bx x bx y y x x x +=++--=+-+=+-+=-=-=即则.1)1(2)(2ln 1212211212x x x x x x x x x x +-=+-=∴设,1,1)1(2ln ,112>+-=>=u uu u x x u 则 ……………… ①[)2222(1)()ln , 1.114(1)().1,()0.(1)(1)2(1)()1,,()(1)0,ln .1u r u u u u u r u u r u u u u u u r u r u r u u -=->+-''=-=>∴>++-+∞>=>+ 令则所以在上单调递增故则这与①矛盾，假设不成立.故C 1在点M 处的切线与C 2在点N 处的切线不平行.21．（本小题满分14分）已知数列{}n a 中，13a =，25a =，其前n 项和n S 满足()121223n n n n S S S n ---+=+≥.令11n n n b a a +=⋅.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若()12x f x -=，求证：()()()121126n n T b f b f b f n =+++<（1n ≥）； （Ⅲ）令()2312312n n n T b a b a b a b a =++++ （0a >），求同时满足下列两个条件的所有a 的值：①对于任意正整数n ，都有16n T <；②对于任意的10,6m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，均存在0n N *∈，使得0n n ≥时，n T m >.【解】（Ⅰ）由题意知()111223n n n n n S S S S n -----=-+≥即()1123n n n a a n --=+≥……1′ ∴()()()112322n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+()1221222225222212213n n n n n n ----=++++=++++++=+ ≥……3′检验知1n =、2时，结论也成立，故21n n a =+.…………4′ 法二：1122n n n n a a ---=- 法三：()111132222n n n n a a n --=⋅+≥（Ⅱ）由于()()()()()()()11111212111111222212121212121n nn n n n n n n n b f n +-++++-+⎛⎫=⋅=⋅=- ⎪++++++⎝⎭ 故()()()1222311111111122121212122121n n n n T b f b f b f n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1111111212212126n +⎛⎫=-<⋅= ⎪+++⎝⎭.…………9′ （Ⅲ）（ⅰ）当2a =时，由（Ⅱ）知：16n T <，即条件①满足；又106m <<， ∴1211113321110212211616n n n T m m n log m m ++⎛⎫⎛⎫>⇔->⇔>-⇔>--> ⎪ ⎪++--⎝⎭⎝⎭. 取0n 等于不超过23116log m ⎛⎫-⎪-⎝⎭的最大整数，则当0n n ≥时，n T m >.…10′ （ⅱ）当2a >时，∵1n ≥，222nn n a a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭≥，∴22n n aa ⋅≥，∴2222n n n n n n a ab a b b ⋅⋅⋅=⋅⋅≥.∴()11111111222221221nni i n i i n i i a a T b a b -+==⎛⎫⎛⎫=⋅=⋅- ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭∑∑≥. 由（ⅰ）知存在0n N *∈，当0n n ≥时，11111212213n a+⎛⎫->⎪++⎝⎭， 故存在0n N *∈，当0n n ≥时，111111*********n n a a T a +⎛⎫=⋅->⋅= ⎪++⎝⎭，不满足条件. …12′ （ⅲ）当02a <<时，∵1n ≥，222nn n a a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭≤，∴22n n aa ⋅≤，∴2222n n n n n n a ab a b b ⋅⋅⋅=⋅⋅≤.∴()()11111111222221221nnii n i i n i i a a T b a b -+==⎛⎫==⋅- ⎪++⎝⎭∑∑≤.取10,126a m ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，若存在0n N *∈，当0n n ≥时，n T m >，则111122122112n a a +⎛⎫⋅-> ⎪++⎝⎭. ∴111112213n +->++矛盾. 故不存在0n N *∈，当0n n ≥时，n T m >.不满足条件. 综上所述：只有2a =时满足条件，故2a =.…………14′。
2020届雅礼中学高三第3次月考试卷答案(理科数学)
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2024-2025学年湖南省长沙市雅礼中学高三上学期月考(三)数学试题(含答案)
2024-2025学年湖南省长沙市雅礼中学高三上学期月考（三）数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.命题“存在x∈Z，x2+2x+m≤0”的否定是( )A. 存在x∈Z，x2+2x+m>0B. 不存在x∈Z，x2+2x+m>0C. 任意x∈Z，x2+2x+m≤0D. 任意x∈Z，x2+2x+m>02.已知集合A={ i , i2 , i3 ,i4 }(i是虚数单位)，B={ 1 , −1 }，则A∩B=( )A. { −1 }B. { 1 }C. { 1 , −1 }D. ⌀3.已知奇函数f(x)=(2x+m⋅2−x)cos x，则m=( )A. −1B. 0C. 1D. 124.已知m，l是两条不同的直线，α,β是两个不同的平面，则下列可以推出α⊥β的是( )A. m⊥l,m⊂β,l⊥αB. m⊥l,α∩β=l,m⊂αC. m//l,m⊥α,l⊥βD. l⊥α,m//l,m//β5.已知函数f(x)=4cos(ωx+φ)(ω>0)图象的一个最高点与相邻的对称中心之间的距离为5，则f(−6φπ)=( )A. 0B. 2φC. 4D. φ26.已知M是圆C:x2+y2=1上一个动点，且直线l1:mx−ny−3m+n=0与直线l2:nx+my−3m−n=0(m,n∈R,m2+n2≠0)相交于点P，则|PM|的取值范围是( )A. [3−1,23+1]B. [2−1,32+1]C. [2−1,22+1]D. [2−1,33+1]7.P是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)上一点，F1、F2是C的两个焦点，PF1⋅PF2=0;点Q在∠F1PF2的平分线上，O为原点，OQ//PF1，且|OQ|=b.则C的离心率为( )A. 12B. 33C. 63D. 328.设集合A={(x1,x2,x3,x4,x5)|x i∈{−1,0,1},i=1,2,3,4,5}，那么集合A中满足条件“1≤|x1|+|x2|+|x3|+ |x4|+|x5|≤3”的元素个数为( )A. 60B. 90C. 120D. 130二、多选题：本题共3小题，共18分。
湖南省长沙市一中·雅礼中学2010届高三三月联考(数学理)
长沙市一中、雅礼中学高三联考试卷理科数学命题:长沙市一中高三理科数学备课组一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分；在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设U 为全集，M 、P 是U 的两个非空子集，且(),U M P P M P = 则ð等于（ ）A ．MB ．PC ．U P ðD ．∅2．A =2{||1|1,},{|log 1,},x x x B x x x -≥∈=>∈R R 则“x ∈A ”是“x ∈B ”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分也非必要条件3．如图是将二进制数11111（2）化为十进制数的一个程序框图，判断框内应填入的条件是（ ） A ．i ≤5B ．i ≤4C ．i ＞5D ．i ＞44．如图表示甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分情况的茎叶图，则甲和乙得分的中位数的和是（ ） A ．56分B ．57分C ．58分D ．59分5．如左图，在平面内两两等距离的一簇平行直线，任意相邻两平行直线间的距离为d (d ＞0)，向平面内任意抛掷一枚长为l (l ＜d )的小针，已知小针与平行线相交的概率P 等于右图中阴影部分面积与矩形的面积之比，则P 的值为（ ） A ．2ld πB ．2d l πC ．4l dπ D ．3l d π甲 乙 40 8 44 1 258 54 2 365 9566213 234 95416．若函数||3([,])x y x a b =∈的值域为[1，9]，则a 2 + b 2 – 2a 的取值范围是（ ）A ．[8，12]B ．C ．[4，12]D ．[2，7．已知m ，n ，s ，t ∈R +，m + n = 2，9m n s t +=，其中m 、n 是常数，当s + t 取最小值49时，m 、n 对应的点(m ，n )是双曲线22142x y -=一条弦的中点，则此弦所在的直线方程为（ ）A ．210x y -+=B ．210x y --=C ．230x y +-=D ．230x y +-=8．在△ABC 中，若I 是△ABC 的内心，AI 的延长线交BC 于D ，则AB : AC = BD : DC ，称为三角形的角平分线定理，已知AC = 2，BC = 3，AB = 4．且AI xAB yAC =+，利用三角形的角平分线定理可求得x + y 的值为（ ） A ．13B ．49C ．23D ．59二、填空题（本大题共7小题；每小题5分，共35分，将每小题的答案填在题中的横线上．）9．直线l 过点2)-及圆2220x y y +-=的圆心，则直线l 的倾斜角大小为 ．10．若12z =i ，且443201234(),x z a x a x a x a x a -=++++则a 2等于 ．11．下图是一个物体的三视图，已知俯视图中的圆与三角形内切，根据图中尺寸（单位：cm ），可求得a 的值为 cm ，该物体的体积为 cm 3．12．如图，AC 为⊙O 的直径，BD ⊥AC 于P ，PC = 2，PA = 8，则CD 的长为 ，cos ∠ACB = ．（用数字表示） 13．已知点A (1，0)，P 是曲线1x >上任一点，设P 到直线l ：12y =-的距离为d ，则|PA | + d 的最小值是 ．14．已知函数()f x 的定义域为{|,1}x x R x ∈≠且，(1)f x +为奇函数，当1x <时，2()21f x x x =-+，则当1x >时，()f x 的递减区间是 ．15．下面的数组均由三个数组成，它们是：(1，2，3)，(2，4，6)，(3，8，11)，(4，16，20)，(5，32，37)，…，(a n ，b n ，c n )．（1）请写出c n 的一个表达式，c n = ；（2）若数列{c n }的前n 项和为M n ，则M 10 = ．（用数字作答） 三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（本小题满分12分）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，已知向量(2,),(cos ,cos ),p c a b q B C =-= p q ⊥ 且．（1）求角B 的大小；（2）若b =ABC 面积的最大值．17．（本小题满分12分）如图，边长为2的等边△PCD 所在的平面垂直于矩形ABCD 所在的平面，BC =，M 为BC 的中点． （1）证明AM ⊥PM ；并求二面角P —AM —D 的大小； （2）求点D 到平面AMP 的距离．18．（本小题满分12分）一只口袋中装有标号为1、2、3、4的大小与重量相同的4个小球，从该口袋中每次取出1球，记下标号后再放回口袋，连续取三次．（1）求三次取出的小球的标号之和为5的概率；（2）设三次取出的小球的标号中最大的数字为X，求随机变量X的布分列和数学期望．19．（本小题满分13分）某市电信宽带网用户收费标准如下表：（假定每月初均可以和电信部门约定上网方案）有限包月制（限（1）若某用户某月上网时间为T小时，当T在什么范围内时，选择甲方案最合算？请说明理由（2）王先生因工作需要需在家上网，他一年内每月的上网时间T（小时）与月份n的函数关系为T = f (n) =3237(112,)4nn n+≤≤∈N．若公司能报销王先生全年的上网费用，问公司最少为此花费多少元？20．（本小题满分13分）如图，设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为F 1、F 2，上顶点为A ，过点A 且与A F 1垂直的直线分别交椭圆和x 轴正半轴于P 、Q 两点，满足85AP PQ =．（1）求椭圆的离心率；（2）若过A 、Q 、F 1三点的圆恰好与直线l ：30x +=相切，求椭圆方程．（3）在（2）的条件下，过F 2的直线l 与椭圆相交于异于椭圆左、右顶点的M ，N 两点，B 为椭圆的左顶点，求BM BN的取值范围．21．（本小题满分13分）已知函数f (x ) = ln (2 + 3x ) 23.2x -（1）求f (x )在[0，1]上的最大值；（2）若对11[,],|ln |ln[()3]062x a x f x x '∀∈-++>不等式恒成立，求实数a 的取值范围；（3）若关于x 的方程f (x ) = –2x + b 在[0，1]上恰有两个不同的实根，求实数b 的取值范围．长沙市一中、雅礼中学高三联考试卷理科数学答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分；在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设U 为全集，M 、P 是U 的两个非空子集，且(),U M P P M P = 则ð等于（ ）A ．MB ．PC ．U P ðD ．∅【解析】D 由(),.U UM P P P M P P =⊆=∅ 知,所以痧故选D ．2．A =2{||1|1,},{|log 1,},x x x B x x x -≥∈=>∈R R 则“x ∈A ”是“x ∈B ”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分也非必要条件【解析】B 由已知得(,0][2,),(2,),A B =-∞+∞=+∞ 若“x ∈B ”则必有“x ∈A ”，反之不成立，即得“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要不充分条件，故选B ． 3．如图是将二进制数11111（2）化为十进制数的一个程序框图，判断框内应填入的条件是（ ） A ．i ≤5B ．i ≤4C ．i ＞5D ．i ＞4【解析】D ；(11111)(2) = 1 + 2 + 22 + 23 + 24，（*） 在程序框图中，当i = 1时，S = 1 + 2×1 = 1 + 2，当i = 2时，S = 1 + 2 (1 + 2) = 1 + 2 + 22，…，由(*)式知i = 4时已完成计算，∴应填入条件i ＞4．∴故选D ．4．如图表示甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分情况的茎叶图，则甲和乙得分的中位数的和是（ ） A ．56分B ．57分C ．58分D ．59分【解析】B 由图可知甲的中位数为32，乙的中位数为25，故和为57．故选B ．5．如图，在平面内两两等距离的一簇平行直线，任意相邻两平行直线间的距离为d (d ＞0)，向甲 乙 40 8 44 1 258 54 2 365 9566213 234 9541平面内任意抛掷一枚长为l (l ＜d )的小针，已知小针与平行线相交的概率P 等于阴影面积与矩形的面积之比，则P 的值为（ ） A ．2l d πB ．2d l πC ．4l dπ D ．3l d π【解析】A 先求阴影部分的面积，22022sin (cos ),.2224ll l l l S d P d d ππαααππ==-===⎰所以故选A ．6．若||3([,])x y x a b =∈的值域为[1，9]，则a 2 + b 2 – 2a 的取值范围是（ ）A ．[8，12]B．C ．[4，12]D ．[2，【解析】C 由于||3([,])x y x a b =∈的值域是[1，9]，由指数函数的单调性．所以0≤|x |≤2，若a = –2，则b ∈[0，2]从而a 2 + b 2 – 2a ∈[8，12]，若b = 2，则a ∈[–2，0]．从而a 2 + b 2 – 2a ∈[4，12]．因此a 2 + b 2 – 2a ∈[4，12]．故选C ． 7．已知m ，n ，s ，t ∈R +，m + n = 2，9m n s t +=，其中m 、n 是常数，当s + t 取最小值49时，m 、n 对应点(m ，n )是双曲线22142x y -=一弦的中点，则此弦所在的直线方程为（ ）A ．210x y -+=B ．210x y --=C ．230x y +-=D ．230x y +-=【解析】A由已知得111()()(999m n mt ns s t s t m n m n s t s t ⎛⎫+=++=+++≥++= ⎪⎝⎭21,9由于s + t 的最小值是4,9因此214289=，又m + n = 2，所以m = n = 1．设以点(m ，n )为中点的弦的两个端点的坐标分别是1122(,),(,)x y x y ，则有121212121,222x x y y x x y y ++==+=+=即①．又该两点在双曲线上，则有22111,42x y -= 22221,42x y -=两式相减得12121212()()()()042x x x x y y y y +-+--=②，把①代入②得121212y y x x -=-，即所求直线的斜率是12，所求直线的方程是11(1),2y x -=-210x y -+=即．故选A ．8．在△ABC 中，若I 是△ABC 的内心，AI 的延长线交BC 于D ，则AB : AC = BD : DC ，称为三角形的角平分线定理，已知AC = 2，BC = 3，AB = 4．且A I xA B yA C =+，利用三角形的角平分线定理可求得x + y 的值为（ ）A ．13B ．49C ．23D ．59【解析】C 在△ABC 中，I 为内心，联结AI 并延长交BC 于点D ．则BD ABDC AC=4122..233AD AB AC ===+ 故又BC = 3，则BD = 2，DC = 1．在△ABC 中，422422,..23993A I AB A I A D A B AC x y ID B D =====++= 即故故选C ． 二、填空题（本大题共7小题；每小题5分，共35分，将每小题的答案填在题中的横线上．） 9．直线l过点2)-及圆2220x y y +-=的圆心，则直线l 的倾斜角大小为 ． 【解析】120° 依题意得，圆2220x y y +-=的圆心为(0，1)，过点2)(0,1)-与的直线的斜率k =∴直线l 的倾斜角大小为120°．10．若12z =i ，且443201234(),x z a x a x a x a x a -=++++则a 2等于 ．【解析】3-+i 414(),r r r r T C x z -+=- 依题意4 – r = 2，即r = 2，222241()632a C z ⎛⎫∴=-=⨯-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭11．下图是一个物体的三视图，根据图中尺寸（单位：cm ），可求得实数a 的值为 ，该物体的体积为 cm 3．6π+ 该物体为正三棱柱与球的组合体，可知324123326a v ππ⎛⎫===+ ⎪⎝⎭12．如图，AC 为⊙O 的直径，BD ⊥AC 于P ，PC = 2，PA = 8，则CD 的长为 ，cos ∠ACB = ．（用数字表示）【解析】 由射影定理得CD 2 = CP ·CA = 2×10， ∴CDcos ∠ACB = sin ∠D=CP CD ==a13．已知点A (1，0)，P 是曲线2cos ()1cos 2x y θθθ=⎧∈⎨=+⎩R 上任一点，设P 到直线l ：12y =-的距离为d ，则|PA | + d 的最小值是 ．221cos 22cos ,2(02).y x y y θθθ=+==≤≤消去得其图象是一段抛物线，F 10,2⎛⎫⎪⎝⎭是其的焦点，l 是其准线，d = |PF |当A 、P 、F 三点共线时，|PA | + d 最小，其值是||AF =14．已知函数()f x 的定义域为{|,1}x x R x ∈≠且，(1)f x +为奇函数，当1x <时，2()21f x x x =-+，则当1x >时，()f x 的递减区间是 7[,)4+∞ ．15．下面的数组均由三个数组成，它们是：(1，2，3)，(2，4，6)，(3，8，11)，(4，16，20)，(5，32，37)，…，(a n ，b n ，c n )．（1）请写出c n 的一个表达式，c n = ；（2）若数列{c n }的前n 项和为M n ，则M 10 = ．（用数字作答）【解析】c n = n + 2n ；2101 由1，2，3，4，5，……猜想a n = n ；由2，4，8，16，32，……猜想b n = 2n ；由每组数都是“前两个之和等于第三个”猜想c n = n + 2n ．从而M 10 = (1 + 2 + … + 10) + (2 + 22+ … + 210) =1010(101)2(21)2101.221⨯+-+=-三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（本小题满分12分）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，已知向量(2,),(cos ,cos ),p c a b q B C =-= p q ⊥且．（1）求角B 的大小；（2）若b =ABC 面积的最大值．【解析】（1）p q ⊥ 由，可得(2)cos cos 0p q c a B b c =-+=，由正弦定理：sin cos 2sin cos sin cos 0,sin()2sin cos .C B A B B C C B A B -+=+=从而（3分） 又B + C =π– A ，sin(C + B ) = sin A ，且sin A ＞0，故1cos ,(0,),23B B B ππ=∈∴=又（6分）（2）由余弦定理b 2 = a 2 + c 2 – 2ac cos B = a 2 + c 2 – ac ≥ac ，又b =ac ≤12（9分）故11sin 1222ABC S ac B =≤⨯= ，因此当a = c =ABC 的面积最大且最大值为（12分）17．（本小题满分12分）如图，边长为2的等边△PCD 所在的平面垂直于矩形ABCD 所在的平面，BC =，M 为BC 的中点． （1）证明AM ⊥PM ；并求二面角P —AM —D 的大小； （2）求点D 到平面AMP 的距离．【解析】（1）取CD 的中点E ，连接PE 、EM 、EA ，∵△PCD 为正三角形，∴PE ⊥CD ，∵平面PCD ⊥平面ABCD ，∴PE ⊥平面ABCD∴PE ⊥AM（3分）∵四边形ABCD 是矩形，∴△ADE 、△ECM 、△ABM 均为直角三角形，由勾股定理可求得2223,,90,EM AM AE EM AM AE AME ===∴+=∴∠=︒AM EM ∴⊥ （4分）∴AM ⊥平面PME ，∴PM ⊥AM ，∴∠PME 是二面角P —AM —D 的平面角， （6分）PE = PD sin60°，∴tan 1,45,PE PME PME EM ∠===∴∠=︒ ∴二面角P —AM —D 为45°． （8分）（2）设点D 到平面PAM 的距离为d ，连接DM ，则V P —ADM = V D —PAM ，111,332ADM PAM ADM S PE S d S AD CD ∴=== 而在Rt △PEM 中，由勾股定理可求得PM =1113(10)3,233PAM S AM PM d d ∴==∴⨯⨯⨯= 分即点D 到平面PAM （12分）另解（1）以D 点为原点，分别以直线DA 、DC 为x 轴、y 轴，建立如图所示的这空间直角坐标系D —xyz ，依题意，得D (0，0，0)，P (0，1，C (0，2，0)，A 0，0)，M 2，0)（2分）(0,1,(PM AM ∴=-==-=,(0,,.PM AM PM AM AM PM ∴==⊥∴⊥ 即（4分）设n = (x，y，z)，且n⊥平面PAM，则0,(,,),0,0,(,,)(0 PM x y zAM x y z⎧⎧==⎪⎪⎨⎨==⎪⎪⎩⎩即nn0,,20,,y zy x⎧+==⎪∴⎨+=⎪⎪⎩⎩取y = 1，=得n（7分）取P = (0，0，1)，∵P⊥平面ABCD，∴cos<n，p>=||||==n Pn P结合图形可知，二面角P—AM—D为45°（9分）（2）设点D到平面PAM的距离为d，由（1）可知=n，与平面PAM垂直，则d=||||DA nn==（12分）18．（本小题满分12分）一只口袋中装有标号为1、2、3、4的大小相同的4个小球，从该口袋中每次取出1球，记下标号后再放回口袋，连续取三次．（1）求三次取出的小球的三个标号之和为5的概率；（2）设三次取出的小球的标号中最大的数字为X，求随机变量X的布分列和数学期望．【解析】由题设每次取出的小球的标号为i (i = 1、2、3、4)其概率14P=（1分）（1）记取出的小球的标号组合为(1，1，3)和(1，2，2)为事件A，B且A、B互斥，（2分）则所求事件的概率P1 = P (A + B) = P (A) + P (B) =22113311113444432C C⎛⎫⎛⎫+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（4分）（2）X的可知取值为1、2、3、4 （5分）311(1)464P X⎛⎫===⎪⎝⎭（6分）33312331117(2)44464P X C C⎛⎫⎛⎫⎛⎫==++=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（7分）333333111133333311111119(3).44444464P X C C C C A⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+++++=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（9分）333133311137(4)63.44464P X C A⎛⎫⎛⎫⎛⎫==++=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（10分）则X的分布列如下表EX = 1×164+ 2×764+ 3×1964+ 4×3764= 5516． （12分）19．（本小题满分13分）某市电信宽带网用户收费标准如下表：（假定每月初均可以和电信部门约定上网方案）有限包月制（限（1）若某用户某月上网时间为T 小时，当T 在什么范围内时，选择甲方案最合算？并说明理由（2）王先生因工作需要需在家上网，他一年内每月的上网时间T （小时）与月份n 的函数关系为T = f (n ) =3237(112,)4n n n +≤≤∈N ．若公司能报销王先生全年的上网费用，问公司最少会为此花多少元？【解析】（1）当T ≤30时，选择丙方案合算；当T ＞30时，由30 + 3 (T – 30)≤50，得30＜T ≤2363，此时选择丙方案合算；（2分）当2363≤T ≤60时，选择乙方案合算；（4分）当T ＞60时，由50 + 3 (T – 60)≤70，得60＜T ≤2663，此时选择乙方案合算；当T ≥2663，选择甲方案合算．（6分） 综上可得，当T 2(66,)3∈+∞时，选择甲方案合算．（7分）（2）因为3(1)(),4f n f n +-=所以{f (n )}为首项f (1) = 60，公差d =34的等差数列，且每月上网时间逐月递增．令32372866,9439n T n +=≥≥得，可知前9个月选择乙方案，最后3个月选择甲方案上网花费最少．（9分）此时，一年的上网总费用为991132379[503(60)]370450(1)44n n n n ==++-+⨯=+-+∑∑21045081210741(=++=元)即一年内公司最少会为王先生花费上网费741元（13分）20．（本小题满分13分）如图设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为F 1、F 2，上顶点为A ，过点A 与A F 1垂直的直线分别交椭圆和x 轴正半轴于P 、Q 两点，且85AP PQ =．（1）求椭圆的离心率；（2）若过A 、Q 、F 1三点的圆恰好与直线l：30x +=相切，求椭圆方程．（3）过F 2的直线l 与椭圆相交于异于椭圆左、右顶点的M ，N 两点，B 为椭圆的左顶点，求BM BN 的取值范围． 【解析】（1）设点Q (x 0，0)，F 1(–c ，0)， 其中c(0,).A b 85AP PQ =，得222000285853,,1.131313132x P x b x a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=⇒= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭①而22000(,),(,),,0,0,.b FA c b AQ x b FA AQ FA AQ cx b x c==-⊥∴=∴-==②由①②知2b 2 = 3ac ，∴2c 2 + 3ac – 2a 2 = 0．∴2e 2 + 3e – 2 = 0，∴1.2e =（4分）（2）满足条件的圆心2222222,0,,(,0)222b c b c a c c O c O c c c c ⎛⎫----''==∴ ⎪⎝⎭ 圆半径222.22b a c r a c+=== 由圆与直线l：|3|30,,2c x a ++==相切得又a = 2c ， ∴c = 1，a = 2，b221.43x y +=（8分）（3）（i ）当MN ⊥x 轴时()33331,,1,,2,0,3,,3,,2222M N B BM BN ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--∴==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭27.4BM BN ∴=（ii ）当MN 与x 轴不垂直时，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)l 的方程为y = k (x – 1) (k ≠0)代入椭圆方程得()22222212122284124384120,,,4343k k k x k x k x x x x k k -+-+-=+==++则12y y =2221212121122(1)(1)(),(2,),(2,),x k x x k x x k x x k BM x y BN x y --=-++=+=+此时BM BN = 222212121212122272()4(1)(2)()443k x x x x y y k x x k x x k k ++++=++-+++==+22727344k<+．从而2704BM BN <≤ （13分）21．（本小题满分13分）已知函数f (x ) = ln (2 + 3x ) 23.2x -（1）求f (x )在[0，1]上的最大值；（2）若对11[,],|ln |ln[()3]062x a x f x x '∀∈-++>不等式恒成立，求实数a 的取值范围；（3）若关于x 的方程f (x ) = –2x + b 在[0，1]上恰有两个不同的实根，求实数b 的取值范围．【解析】（1）33(1)(31)1()3,()01().23323x x f x x f x x x x x -+-''=-====-++令得或舍去（1分） ∴当110,()0,()1,()0,()33x f x f x x f x f x ''≤<><≤<时单调递增;当时单调递减． （3分）11ln336f ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭为函数f (x )在[0，1]上的最大值．（4分） （2）由33|ln |ln[()3]0ln lnln ln ,2323a x f x x a x a x x x'-++>>-<+++得或① （5分）设232333()ln ln ln ,()ln ln ln ,2332323x x xh x x g x x x x x+=-==+=+++依题意知a ＞h (x )或a ＜g (x )在x ∈11,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，222233(23)3323126()0,()(26)0,3(23)3(23)2323x x x xg x h x x x x x x x x x x ++-+''==>=+=>++++ （6分） ∴g (x )与h (x )都在11,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增，要使不等式①成立，当且仅当1171,ln ln .26125a h a g a a ⎛⎫⎛⎫><>< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或即或（9分）（3）由2233()2ln(23)20.()ln(23)2,22f x x b x x x b x x x x b ϕ=-+⇒+-+-==+-+-令2379()32,,()0,()2323x x x x x x x x ϕϕϕ⎡-''=-+=∈>⎢++⎣⎦令当时于是在上递增；,()0,()x x x ϕϕ⎤⎤'∈<⎥⎥⎣⎦⎣⎦当时于是在上递减.（11分）而(0),(1),()2()0[0,1]f x x b x ϕϕϕϕϕ>>∴=-+=⎝⎭⎝⎭即在上恰有两个不同实根等价于(0)ln 20717ln(20,ln 5ln(26261(1)ln 502b b b b ϕϕϕ⎧⎪=-≤⎪⎪=+->∴+≤<-⎨⎪⎝⎭⎪⎪=+-≤⎩ （13分）。
湖南省雅礼中学2010届高三第三次月考(生物)
湖南炎德英才大联考·雅礼中学2010届高三十月质量检测生物试卷考试范围：选修1、3及必修一之1、2章命题：高三生物备课组审题:徐宏勇时量：90分钟满分：100分一、单项选择题（共25题，每题2分，总分50分）1．下列有关组成生物体化学元素和化合物的叙述，正确的是 ( B )A．磷是脂肪、ATP、DNA等不可缺少的成分B．酶和核酸都是含有氮元素的生物大分子C．肌肉细胞中含量最多的化合物是蛋白质D．纤维素是植物细胞的主要储能物质答案：B【解析】:脂肪不含磷,肌肉细胞中含量最多的是水,淀粉是植物细胞中的主要储能物质2．下列化合物的组成中，由相同元素组成的是（ B ）A．纤维素、胰岛素、性激素B．ADP、tRNA、质粒C．脂肪、丙酮酸、核苷酸D．抗体、酶、生长素答案：B【解析】纤维素为多糖，胰岛素为蛋白质含有N S元素性激素为脂质 ADP、tRNA、质粒都由C H O N P构成，脂肪、丙酮酸、核苷酸中核苷酸还含有N P D．抗体、酶、生长素中生长素是小分子有机物不含有S元素3．某多肽，经测定其分子式为C21HxOyN4S2（无二硫键）。
已知该多肽是由下列氨基酸中的几种作为原料合成的：苯丙氨酸（C9H11 N O2）、天冬氨酸（C4H7 N O4）、亮氨酸（C6H13 N O2）、丙氨酸（C3H6 N O2）、半胱氨酸（C3H7NO2S），下列有关叙述不正确．．．的是( D )A．该多肽水解后形成3种氨基酸 B．该多肽中氢原子数和氧原子数分别为32和5C．该多肽中有3个肽键 D．该多肽不止1个羧基答案：D【解析】该多肽中含有2个S ,表明含有两个半胱氨酸，则已经有六个C原子，该多肽只有四个N原子，故知可能为四肽，则采用排它法，可确定为苯丙氨酸、亮氨酸、半胱氨酸。
由于不含天冬氨酸，所以只有一个羧基。
4．下面是一组探究生物体内主要有机物存在与否的鉴别实验，①—④依次是（ D ）A．葡萄糖、苏丹Ⅲ、紫色、二苯胺Array B．蔗糖、苏丹Ⅳ、紫红色、碘液C．还原糖、苏丹Ⅳ、蓝紫色、硫酸铜D．果糖、苏丹Ⅳ、紫色。
湖南省雅礼中学2010届高三第三次月考(数学理)
湖南省雅礼中学2010届高三第三次月考数 学（理工农医类）命题：高三数学备课组 审卷：高三数学备课组说明：本试题卷分选择题和非选择题（包括填空题和解答题）两部分．时量120分钟．满分150分．考试范围:集合、函数与导数、不等式、数列、三角函数、向量、复数．第I 卷一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将所选答案填在答题卡对应位置.１．设集合（A ） （B ） （C ） （D ）２． 复数1－i 1+i2等于( )A.1－iB.1+iC. －1－iD.－1+ i３．已知函数y=sinx+acosx 的图象关于对称，则函数y=asinx+cosx 的图象的一条对称轴是 （ ）A. x=11π/6 B. x=2π/3 C. x=π/3 D. x=π４．已知，为线段上距较近的一个三等分点，为线段上距较近的一个三等分点，则用表示的表达式为 （ ）A. B . C. D.提示：，∴，.５．已知－9，a1，a2，－1四个实数成等差数列，－9，b1，b2，b3，－1五个实数成等比数列，则b2(a2－a1)＝（）9A．8 B．－8 C．D．8答案：B．解析：.６．设函数，表示不超过的最大整数，则函数的值域为A .B .C .D .７．若，且，则下列各式中最大的是（）（A）（B）（C）（D）８．设奇函数f(x)在[-1，1]上是增函数，且，若函数对所有的都成立，则当时，t的取值范围是（）A．B．C．D．第II卷二．填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．把答案填在答题卡．．．中对应题号后的横线上．9．在边长为的正三角形中，设，则的值是提示：，，.10．在直角坐标系xoy中，若角的始边为x轴的非负半轴，终边为射线l：y=x (x≥0).则的值为.11．若关于x的方程有负数根，则实数a的取值范围为12．函数（）的最小值为2513．给出下列四个结论：①函数在第一象限是增函数；②函数的最小正周期是③若则；④函数（x）有3个零点；⑤对于任意实数x，有且x>0时,则x<0时（填上所有正确结论的序号）14．已知点在曲线上，如果该曲线在点处切线的斜率为，那么（i）____________；（ii）函数，的值域为____________.答案：－3；[－2,18]15．数列中，，（i）若则= ；（ii）若则= 答案：三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，已知、、，且,（Ⅰ）若（O为坐标原点），求角的值；（Ⅱ）若，求的值.解（Ⅰ）,而,∴代入化简得又,.（Ⅱ）由，得, ,由于,且,则,又=所以=-.17．（本小题满分12分）函数，其中.（1）求的取值范围（2）若a、b是使至少有一个实根的实数，求的最小值.解：（1），（2）解法一：至少有实根时①得②③对称轴时，综合①②③得。
湖南师大附中届第三次月考试题 理科数学doc
湖南师大附中2010届高三第三次月考试卷数 学（理科）命题：吴锦坤 廖民先 贺仁亮 贺中良 张天平 刘继承 审题：朱海棠本试卷分选择题、填空题和解答题三部分,共21个小题，考试时间120分钟，试卷满分150分.一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数2(23)(1)z m m m i =+-+-是纯虚数，则实数m 的值为 （ C ）A ．1B . 3-或1C . 3-D . 1-或3【解析】由纯虚数概念有2230310m m m m ⎧+-=⇔=-⎨-≠⎩，故选C.2.已知条件p ：|4|6x -≤ ；条件q ：22(1)0(0)x m m --≤> ，若p 是q 的充分不必要条件，则m 的取值范围是（ B ）A . [21，＋∞)B . [9，＋∞)C .[19，＋∞)D .(0，＋∞) 【解析】由已知，P ：210x -≤≤，q ：11m x m -≤≤+.因为p 是q 的充分不必要条件，则[ 2.10][1,1]m m --+Ø，即1211090m m m m -≤-⎧⎪+≥⇒≥⎨⎪>⎩，故选B.3.已知图1是函数()y f x =的图象，则图2中的图象对应的函数可能是（ C ）A.(||)y f x =B. |()|y f x =C. (||)y f x =-D.(||)y f x =--【解析】由图2知，图象对应的函数是偶函数，且当x ＞0时，对应的函数是()y f x =-， 故选C.4.若等差数列{}n a 的前5项之和525S =，且23a =，则7a = （ B ） A ．12 B ．13 C ．14 D ．15 【解析】由24454()5(3)525722a a a S a +⋅+⋅=⇒=⇒= ，所以7＝3＋2d ⇒d ＝2. 所以a 7＝a 4＋3d ＝7＋3×2=13，故选B ． 5.已知cos()sin 6παα+-=，则7si n ()6πα-的值是（ D ）A. 3-B.3 C. 23- D. 23【解析】由cos()sin 63παα+-=，得3sin 223αα-==，即12(sin cos )223αα--=，即2sin()63πα-=-.所以72sin()sin()sin()6663πππααπα-=--=--=，故选D.6.已知点F 1、F 2分别是椭圆22x k +＋21y k +＝1(k ＞－1)的左、右焦点，弦AB 过点F 1，若△ABF 2的周长为8，则椭圆的离心率为 （ A ）A ．12 B ．14 CD ．34【解析】由椭圆定义有482a a =⇒=，所以2242k a k +==⇒=.从而222213,1b k c a b =+==-=，所以12c e a ==，故选A.7.设a为函数()sin y x x x R =∈的最大值，则二项式6(的展开式中含2x 项的系数是（ C ）A ．192B ．182C ．192-D ．182-【解析】因为sin 2sin()3x x x π+=+，由题设2a =.则二项展开式的通项公式为663166(((1)rr rr r r r r T C C a x ---+=⋅=-⋅⋅⋅. 令3－r ＝2，得1r =.所以含2x 项的系数是1562192C -⋅=-，故选C .8.对于向量a ，b ，定义a ×b 为向量a ，b 的向量积，其运算结果为一个向量，且规定a ×b 的模|a ×b |＝|a ||b |sinθ(其中θ为向量a 与b 的夹角)，a ×b 的方向与向量a ，b 的方向都 垂直，且使得a ，b ，a ×b 依次构成右手系.如图，在平行六 面体ABCD －EFGH 中，∠EAB ＝∠EAD ＝∠BAD ＝60°，AB ＝AD ＝AE ＝2，则()AB AD AE ⨯⋅＝ （ D ） A. 4 B. 8 C. D. 42【解析】据向量积定义知，向量AB AD ⨯垂直平面ABCD ，且方向向上，设AB AD ⨯与AE所成角为θ.因为∠EAB ＝∠EAD ＝∠BAD ＝60°，所以点E 在底面ABCD 上的射影在直线AC 上. 作EI ⊥AC 于I ，则EI ⊥面ABCD ，所以θ＋∠EAI ＝2π. 过I 作IJ ⊥AD 于J ，连EJ ，由三垂线逆定理可得EJ ⊥AD. 因为AE ＝2，∠EAD ＝60°，所以AJ ＝1，EJ 又∠CAD ＝30°，IJ ⊥AD ，所以AI .A B C D E F GHABCD E FGHIJ因为AE ＝2，EI ⊥AC ，所以cos ∠EAI ＝AI＝3.所以sin θ＝sin()2π-∠EAI ＝cos ∠EAI=3，cos θ=3.故()AB AD AE ⨯⋅=|AB ||AD |sin ∠BAD |AE |cos θ＝8×2×3D.二、填空题：本大题共7个小题，每小题5分，共35分，把答案填写在题中的横线上. 9.如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，DF ∥AC ，AE ︰AC ＝3︰5，6DE =，则BF ＝__4__. 【解析】因为DE ∥BC ，则△ADE ～△ABC ， 所以AE DE AC BC =，即365BC=，所以10BC =. 又DF ∥AC ，则四边形DECF 是平行四边形， 故1064BF BC FC BC DE =-=-=-=. 10.已知函数2()lgax a f x x+-=在区间[1，2]上是增函数，则实数a 的取值范围是(1，2).【解析】因为2()lg()a f x a x -=+在区间[1，2]上是增函数，所以2()a g x a x-=+在区间[1，2]上是增函数，且(1)0g >.于是20a -<，且220a ->，即12a <<.11.已知曲线C 的参数方程为2sin (2cos x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数），直线l 的极坐标方程为sin 2cos 70θρθ-+=，设点A 为曲线C 上任意一点，点B 为直线l 上任意一点，则A ，B 2.【解析】曲线C 的普通方程为224xy +=，直线l270x -+=.所以|AB |的最大值为圆心到直线的距离加上圆的半径，即max ||22AB =+=. 12.已知函数1(01)xy aa a -=>≠，的图象恒过定点A ，若点A 在直线10(,0)mx ny m n +-=>上，则11m n+的最小值为 4 ．【解析】显然函数图象过定点(1，1)，由已知，10(,0)m n m n +-=>，即1m n +=. 111m n m n mn mn ++==.又11144m n mn mn=+≥⇒≤⇒≥，故最小值为4. 13.2009年北京国庆阅兵式上举行升旗仪式，如图，在坡度为15°的观礼台上，某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上，在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为60°和30°，且第一排和最后一排的距离为【解析】设旗杆高为h 米，最后一排为点A ， 第一排为点B ，旗杆顶端为点C ，则sin 60h BC ==.旗杆在△ABC中，AB =CAB ＝45°，∠ABC=105°，所以∠ACB ＝30°，由正弦定理得，3sin 30sin 45h=，故30h =. 14.已知函数2()1f x x =-，集合M ＝{(,)|()()0}x y f x f y +≤，N ＝{(,)|()()0}x y f x f y -≥，则集合M N 所表示的平面区域的面积是 π .【解析】因为2()1f x x =-，2()1f y y =-，则22()()2f x f y x y +=+-， 22()()f x f y x y -=-.所以22{(,)|2}M x y x y =+≤，{(,)|||||}N x y y x =≤. 故集合M N 所表示的平面区域为两个扇形，其面积为圆面积的一半，即为π.15.设直角三角形的两直角边的长分别为,a b ，斜边长为c ，斜边上的高为h ，则有a b c h +<+ 成立，某同学通过类比得到如下四个结论： ①2222a b c h +>+；②3333a b c h +<+；③ 4444a b c h +>+；④5555a b c h +<+.其中正确结论的序号是 ② ④ ；进一步类比得到的一般结论是n n n n ()a b c h n N *+<+∈.【解析】在直角三角形ABC 中，sin ,cos ,a c A b c A ab ch ===，所以sin cos h c A A =. 于是(sin cos ),(1sin cos )nnnnnnnnnna b c A A c h c A A +=++=+.(sin cos 1sin cos )(sin 1)(1cos )0n n n n n n n n n n n n a b c h c A A A A c A A +--=+--=--<.所以nnnn()a b c h n N *+<+∈.三、解答题：本大题共6个小题,共75分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分12分) 己知向量a (2sin,1)22x x = ，b (cos ,1)22x x=+ ，函数12()log f x =(a ·b ). （Ⅰ）求函数f (x )的定义域和值域；（Ⅱ）求函数f (x )的单调区间. 【解】（Ⅰ）因为a ·b＝22sincos (1)(1)sin 12cos 22222x x x x xx +=+-sin cos )4x x x π=-=-. （2分） 由sin()04x π->，得224k x k ππππ<-<+，即52244k x k ππππ+<<+，k ∈Z. 所以f (x )的定义域是5(2,2),44k k k Z ππππ++∈ . （4分）因为0)4x π<-≤121()log 2f x ≥=-，所以f (x )的值域是1[,)2-∞ +. （6分）（Ⅱ）由题设12()log )4f x x π=-.若f (x )为增函数，则)4y x π=-为减函数，所以2224k x k πππππ+≤-<+，即352244k x k ππππ+≤<+，故f (x )的递增区间是35[2,2),44k k k Z ππππ++∈ . （9分）若f (x )为减函数，则)4y x π=-为增函数，所以2242k x k ππππ<-≤+，即32244k x k ππππ+<≤+，故f (x )的递减区间是3(2,2],44k k k Z ππππ++∈. （12分）17.(本小题满分12分)为了参加师大附中第23届田径运动会的开幕式，高三年级某6个班联合到集市购买了6根竹竿，作为班旗的旗杆之用，它们的长度分别为3.8，4.3，3.6，4.5，4.0，4.1（单位：米）. （Ⅰ）若从中随机抽取两根竹竿，求长度之差不超过0.5米的概率；（Ⅱ）若长度不小于4米的竹竿价格为每根10元，长度小于4米的竹竿价格为每根a 元.从这6根竹竿中随机抽取两根，若期望这两根竹竿的价格之和为18元，求a 的值. 【解】（Ⅰ）因为6根竹竿的长度从小到大依次为3.6，3.8，4.0，4.1，4.3，4.5，其中长度之差超过0.5米的两根竹竿长可能是3.6和4.3，3.6和4.5，3.8和4.5. （3分）设“抽取两根竹竿的长度之差不超过0.5米”为事件A ，则26331()155P A C ===，所以14()1()155P A P A =-=-=. 故所求的概率为45. （6分）（Ⅱ）设任取两根竹竿的价格之和为ξ，则ξ的可能取值为2a ，10a +，20. （7分）其中2611(2)15P a C ξ===，1124268(10)15C C P a C ξ=+==，24266(20)15C P C ξ===. （10分）所以1862402(10)201515153a E a a ξ+=⨯++⨯+⨯=. （11分） 令240183a +=，得a ＝7. （12分）18.(本小题满分12分)在等腰梯形ABCD 中，E 、F 分别是CD 、AB 中点，CD ＝2，AB ＝4，AD ＝BC.沿EF 将梯形AFED 折起，使得∠AFB ＝60°，如图.（Ⅰ）若G 为FB 的中点，求证：AG ⊥平面BCEF ； （Ⅱ）求二面角C —AB —F 的正切值.【解】（Ⅰ）因为AF ＝BF ，∠AFB ＝60°，△AFB 为等边三角形. 又G 为FB 的中点，所以AG ⊥FB.（2分）在等腰梯形ABCD 中，因为E 、F 分别是CD 、AB 的中点， 所以EF ⊥AB.于是EF ⊥AF ，EF ⊥BF ，则EF ⊥平面ABF ，所以AG ⊥EF. （4分）又EF 与FB 交于一点F ，所以AG ⊥平面BCEF. （5分）（Ⅱ）解法一：连接CG ，因为在等腰梯形ABCD 中，CD ＝2，AB ＝4，E 、F 分别是CD 、AB 中点， 所以EC ＝FG ＝BG ＝1，从而CG ∥EF. 因为EF ⊥面ABF ，所以CG ⊥面ABF. （7分） 过点G 作GH ⊥AB 于H ，连结CH ，据三垂线定理有CH ⊥AB ，所以∠CHG 为二面角C —AB —F 的平面角. （9分）因为Rt △BHG 中，BG ＝1，∠GBH ＝60°，所以GH （10分）在Rt △CGB 中，CG ⊥BG ，BG ＝1，BC ，所以CG ＝1. （11分） 在Rt △CGH 中，tan ∠CHG ＝CG GH，故二面角C —AB —F . （12分）解法二：如图所示建立空间直角坐标系，由已知可得，点B(2，0，0)，A(1，0)，C(1，1，0). （7分） 因为EF ⊥平面ABF ，所以1n ＝（0，1，0）为平面ABF 的一个法向量. （8A B CD E F A B CDE F G A B CDEF G H分）设2n ＝（x ，y ，z ）为平面ABCD 的法向量， 因为(1,0,3)AB =-，(1,1,0)CB =-， 由2n AB ⊥，2n CB ⊥，得2200n AB n CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00xx y ⎧=⎪⎨-=⎪⎩. 令x =y =z ＝1，所以2n ＝，1). （10分）所以cos<1n ，2n >＝1212||||n n n n ⋅＝.（11分）从而tan<1n ，2n >＝3，故二面角C —AB —F 的正切值为3. （12分）19.(本小题满分13分)设数列{}n a 的前n 项和为n S ，如果2nnS S 为常数，则称数列{}n a 为“科比数列”． （Ⅰ）已知等差数列{}n b 的首项为1，公差不为零，若{}n b 为“科比数列”，求{}n b 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n c 的各项都是正数，前n 项和为n S ，若33332123n n c c c c S ++++=对任意n N *∈ 都成立，试推断数列{}n c 是否为“科比数列”？并说明理由．【解】（Ⅰ）设等差数列{}n b 的公差为(0)d d ≠，2n nSk S =，因为11b =，则11(1)[22(21)]22n n n d k n n n d +-=+⋅-，即2(1)42(21)n d k k n d +-=+-. （2分）整理得，(41)(21)(2)0k dn k d -+--=. （3分）因为对任意正整数n 上式恒成立，则(41)0(21)(2)0d k k d -=⎧⎨--=⎩，解得214d k =⎧⎪⎨=⎪⎩. （5分）故数列{}n b 的通项公式是21n b n =-. （6分）（Ⅱ）由已知，当1n =时，322111c S c ==.因为10c >，所以11c =. （7分）当2n ≥时，33332123n n c c c c S ++++=，3333212311n n c c c c S --++++=.两式相减，得()()3221111()n n n n n n n n n n c S S S S S S c S S ----=-=-+=⋅+.因为0n c >，所以2n c =12n n n n S S S c -+=-. （9分）显然11c =适合上式，所以当2n ≥时，21112n n n c S c ---=-. 于是22111112()2n n n n n n n n n n n c c S S c c c c c c c ------=--+=-+=+.因为10n n c c -+>，则11n n c c --=，所以数列{}n c 是首项为1，公差为1的等差数列.（12分） 所以2(1)12(21)42n n S n n n S n n n ++==++不为常数，故数列{}n c 不是“科比数列”. （13分）20.(本小题满分13分)某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元～1000万元的投资收益.现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y （单位：万元）随投资收益x （单位：万元）的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过投资收益的20%.（Ⅰ）若建立函数模型制定奖励方案，试用数学语言表述公司对奖励函数模型的基本要求； （Ⅱ）现有两个奖励函数模型：(1)y ＝2150x+；(2)y ＝4lg x －3.试分析这两个函数模型是否符合公司要求？ 【解】（Ⅰ）设奖励函数模型为y ＝f (x )，则公司对函数模型的基本要求是： 当x ∈[10，1000]时，①f (x )是增函数；②f (x )≤9恒成立；③()5xf x ≤恒成立. （3分）（Ⅱ）（1）对于函数模型()2150xf x =+： 当x ∈[10，1000]时，f (x )是增函数，则max 100020()(1000)2291503f x f ==+=+<. 所以f (x )≤9恒成立. （5分）因为函数()12150f x x x =+在[10，1000]上是减函数，所以max ()111[]15055f x x =+>. 从而()1211505f x x x =+≤，即()5x f x ≤不恒成立.故该函数模型不符合公司要求. （8分）（2）对于函数模型f (x )＝4lg x －3：当x ∈[10，1000]时，f (x )是增函数，则max ()(1000)4lg100039f x f ==-=. 所以f (x )≤9恒成立. （10分）设g (x )＝4lg x －3－5x ，则4lg 1()5e g x x '=-. 当x ≥10时，24lg 12lg 1lg 1()0555e e e g x x --'=-≤=<，所以g (x )在[10，1000]上是减函数，从而g (x )≤g (10)＝－1＜0.所以4lg x －3－5x ＜0，即4lg x －3＜5x ，所以()5xf x <恒成立.故该函数模型符合公司要求. （1321.(本小题满分13分)如图，在以点O 为圆心，AB 为直径的半圆中，D 为半圆弧的中点， P 为半圆弧上一点，且AB ＝4，∠POB ＝30°，双曲线C 以A ，B 为焦点且经过点P . （Ⅰ）建立适当的平面直角坐标系，求双曲线C 的方程；（Ⅱ）设过点D 的直线l 与双曲线C 相交于不同两点E 、F若△OEF 的面积不小于．．．，求直线l 【解】（Ⅰ）方法一：以O 为原点，AB 、OD 所在直线分别 为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，则点A (－2，0），B (2，0），P 分）设双曲线实半轴长为a ，虚半轴长为b ，半焦距为c ，则2a ＝｜PA ｜－｜PB ｜＝221321)32(2222＝）（+--++，2c ＝|AB |＝4. （3分）所以a ，c ＝2，从而b 2＝c 2－a 2＝2. （4分）故双曲线C 的方程是12222=-y x . （5分）方法二：以O 为原点，AB 、OD 所在直线分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，则 点A (－2，0），B (2，0），P 1). （2分）设双曲线C 的方程为a b y a x (12222=-＞0，b ＞0），则22222114a ba b ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩. （3分）解得a 2＝b 2＝2，故双曲线C 的方程是.12222=-y x（5分）(Ⅱ)据题意可设直线l 的方程为y ＝kx +2，代入双曲线C 的方程得，22(2)2x kx -+=，即(1－k 2)x 2－4kx －6＝0. （6分）因为直线l 与双曲线C 相交于不同两点E 、F ，则,0)1(64)4(,0222>-⨯+-=∆≠-k k k 即.33,1<<-±≠k k（7分）设点E (x 1，y 1），F(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝k x x kk --=-16,14212. （8所以｜EF ｜＝2212221221))(1()()(x x k y y x x -+=-+-＝.132214)(1222212212kk k x x x x k --⋅+=-+⋅+（9分）又原点O 到直线l 的距离d ＝212k+. （10分）所以S △DEF =.132213221122121222222kk k k k k EF d --=--⋅+⋅+⋅=⋅（11分）因为S △OEF 22≥，则 解得.22,022********2≤≤-≤--⇔≥--k k k k k （12分）综上分析，直线l 的斜率的取值范围是[－2，－1)U (－1，1)U (1，2]. （13分）。
2020年湖南省雅礼中学高三第3次月考 理科数学(含答案)
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第卷
本卷包括必考题 和 选 考 题 两 部 分!第 !.#! 题 为 必 考 题$每 个 试 题 考 生都必须作答!第##&#.题为选考题$考生根据要求作答! 二&填空题#本大题共5小题$每小题%分$共#$分! !.!根据下列算法语句$当输入# 为"$时$输出& 的值为!!!!!
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该厂每天根据获取 的 鲜 牛 奶 数 量 安 排 生 产$使 其 获 利 最 大$因 此 每 天 的
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雅礼高三月考试卷(理综+数学+英语+语文)-答案
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湖南省长沙市雅礼中学2020届高三上学期第3次月考数学试题(理)(解析版)
湖南省长沙市雅礼中学2020届高三上学期第3次月考数学试题（理）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页.时量120分钟，满分150分.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.若复数z 满足()11i z i +=-（其中i 是虚数单位），则1z +=（ ）A.B.C. 2D.『答案』A『解析』由题：()11i z i +=-，()()()()11121112i i i iz i i i i ----====-++-，11z i +=-故选：A2. 下列命题中，真命题是（ ） A. 00,0x x R e∃∈≤B. 0a b +=的充要条件是0a bC. 若0x R ∀∈>D. 若,x y R ∈，且2x y +>，则,x y 至少有一个大于1『答案』D 『解析』00,x e >∴A 假；0,,a b a b +=∴=-∴C 假；无意义，C 假，故选D.3.已知2log 0.8a =，0.82b =，20.8c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A. a b c <<B. b c a <<C. a c b <<D. c a b <<『答案』C『解析』由题：22log 0.8log 10a =<=，0.80221b =>=， 2000.80.81c <=<=，所以a c b <<. 故选：C4.中国的嫦娥四号探测器，简称“四号星”，是世界首个在月球背面软着陆和巡视探测的航天器.2019年9月25日，中国科研人员利用嫦娥四号数据精确定位了嫦娥四号的着陆位置，并再现了嫦娥四号的落月过程，该成果由国际科学期刊《自然·通讯》在线发表.如图所示，现假设“四号星”沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P 变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行.若用12c 和22c 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用12a 和22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，给出下列式子：①1122a c a c +=+；②1122a c a c -=-；③1212c c a a <；④1212c ca a >.其中正确的式子的序号是（ ）A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④『答案』D『解析』由图可知：1212,a a c c >>所以1122a c a c +>+，所以①不正确；在椭圆轨道Ⅰ中可得：11a c PF -=，椭圆轨道Ⅱ中可得：22PF a c =-， 所以1122a c a c -=-，所以②正确；1221a c a c +=+，同时平方得：22221212212122a c a c a c a c ++=++，所以22221112222122a c a c a c a c -+=-+，即2211222122b a c b a c +=+，由图可得：2212b b >，所以122122a c a c <，2121c c a a <，所以③错误，④正确. 故选：D 5.函数()21sin 1xx e f x ⎛⎫=-⎪+⎝⎭的图象大致形状为（ ） A. B.C. D.『答案』A『解析』()211sin sin 11x x xe xf x x e e -⎛⎫=-=⋅ ⎪++⎝⎭， ()()()()11sin sin sin 1111x x xx x xe e e x x xf x f x e e e----=⋅-=⋅---=++⋅=+， 所以()f x 为偶函数，排除CD ；()221s 202in 1e e f -=⋅<+，排除B ，故选：A6.一个多面体的三视图如图所示，其中正视图是正方形，侧视图是等腰三角形，则该几何体的表面积为（ ）A. 168B. 98C. 108D. 88『答案』D『解析』由三视图知该几何体是直三棱柱，且三棱柱的高为4，底面是等腰三角形，三角形的底边边长为6，高为4， ∴腰长为5，∴底面三角形的周长为5+5+6＝16， ∴几何体的表面积S ＝2×12×6×4+（5+5+6）×4＝24+64＝88． 故选D ．7.在边长为2的正ABC ∆中，设2BC BD =，3CA CE =，则AD BE ⋅=（ ） A -2B. -1C. 23-D. 83-『答案』B『解析』边长为2的正ABC ∆中，22cos602AB AC ︒⋅=⨯⨯=设2BC BD =，3CA CE =，()12AD AB AC =+ 23BE AE AB AC AB =-=-，所以AD BE ⋅=()1223AB AC AC AB ⎛⎫+- ⎪⎝⎭.22121233AB AC AB AC ⎛⎫=-+-⋅ ⎪⎝⎭1824233⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭1=-故选：B8.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若120C =︒，sin C A =，则（ ） A. a b = B. a b <C. a b >D. a 与b 的大小关系不能确定『答案』C『解析』由题：在ABC ∆中，120C =︒，A 为锐角，sin C A =，所以2A =，sin 4442A A ==<=所以30A ︒>，则30B ︒<， 所以,sin sin A B A B >>， 根据正弦定理a b >. 故选：C9.在某种信息传输过程中，用6个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，例如001100就是一个信息.在所有信息中随机取一信息，则该信息恰有3个0的概率是（ ） A.516B.1132C.2132D.1116『答案』A『解析』用6个数字的一个排列（数字允许重复），所用数字只有0和1， 可以表示的信息一共6264=个，该信息恰有3个0：共有3620C =个，所以所有信息中随机取一信息，则该信息恰有3个0的概率是2056416=.故选：A10.关于统计数据的分析，有以下几个结论，其中正确的个数为（ ）①利用残差进行回归分析时，若残差点比较均匀地落在宽度较窄的水平带状区域内，则说明线性回归模型的拟合精度较高；②将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，期望与方差均没有变化；③调查剧院中观众观后感时，从50排（每排人数相同）中任意抽取一排的人进行调查是分层抽样法；④已知随机变量X 服从正态分布()3,1N ，且()240.6826P X ≤≤=，则()40.1587P X >=.A. 1B. 2C. 3D. 4『答案』B『解析』根据利用残差进行回归分析可得①说法正确；将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，方差均没有变化，期望发生改变，所以②说法错误；调查剧院中观众观后感时，从50排（每排人数相同）中任意抽取一排的人进行调查，没有明显层次，不是分层抽样法，所以③错误；已知随机变量X 服从正态分布()3,1N ，且()240.6826P X ≤≤=，根据正态分布密度曲线特征则()10.682640.15872P X ->==，所以④正确. 故选：B11.关于函数()()()sin cos cos sin f x x x =+有下述四个结论： ①()f x 是偶函数；②()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减； ③()f x 的周期是π；④()f x 的最大值为2. 其中所有正确结论的编号是（ ） A. ①②③B. ②④C. ①②D. ①③『答案』C『解析』()()()sin cos cos sin f x x x =+，()()()()()()()sin cos cos sin sin cos cos sin f x x x x x -=-+-=+- ()()()sin cos cos sin x x f x =+=，所以()f x 为偶函数，①正确；()()0,,sin 0,1,cos 0,12x x x π⎛⎫∈∈∈ ⎪⎝⎭，0,,sin 2x x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭单调递增，cos x 单调递减，()0,1,sin t t ∈单调递增，cos t 单调递减，根据复合函数单调性判断法则，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()()sin cos ,cos sin y x y x ==均为减函数，所以()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，所以②正确； 假设()f x 的周期是π，必有()()0f f π=()()()0sin cos0cos sin0sin111f =+=+>， ()()()sin cos cos sin sin1cos11f πππ=+=-+<，所以()()0ff π≠，所以()f x 的周期不可能是π，所以③错误；假设()f x 的最大值为2，取()2f a =，必然()()sin cos 1,cos sin 1a a ==， 则cos 2,2a k k Z ππ=+∈与[]cos 1,1a ∈-矛盾，所以()f x 的最大值小于2，所以④错误. 故选：C12.已知1F ，2F 分别是双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的左、右焦点，过1F 的直线与圆222x y a +=相切且分别交双曲线的左、右两支于A 、B 两点，若2AB BF =，则双曲线的渐近线方程为（ ）A. 30x y ±=B. 0y ±=C.)10x y ±=D.)10x y ±=『答案』C『解析』由双曲线的定义可知12112a BF BF BF AB AF =-=-=，2124AF a AF a =+=，在12AF F ∆中，()()()()()22212224cos 222a c a bAF F c a c +-=∠=， 整理得22220b ab a --=.解得1ba=+所以双曲线的渐近线方程为(1y x =±+. 故选：C第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.根据下列算法语句，当输入x 为80时，输出y 的值为______.『答案』33『解析』由算法语句可得，该程序的作用是：求解函数值，当50x ≤时，0.5y x =，当50x >，()150.650y x =+-，所以当输入x 为80时，输出()150.6805033y =+-=. 故『答案』为：3314.已知()()2*0121,2nn n x a a x a x a x n N n +=++++∈≥，若02a ，1a ，2a 成等差数列，则n =______.『答案』4『解析』由题：()()2*0121,2nn n x a a x a x a x n N n +=++++∈≥，由二项式定理可得：012012,,n n n a C a C a C ===，()*2,n N n ∈≥02a ，1a ，2a 成等差数列，所以10222a a a =+，即10222n n n C C C =+，()1222n n n -=+， 2540n n -+=解得：4n =或1n =（舍去）， 所以4n =. 故『答案』为：415.已知非负实数a ，b 满足2a b +≤，则关于x 的方程220x ax b ++=有实根的概率是______.『答案』512『解析』记区域0,02a b a b ≥≥⎧⎨+≤⎩的面积为12S =， 区域20,02a b a b b a ≥≥⎧⎪+≤⎨⎪≤⎩的面积为12312001115112326S x dx x=+⨯⨯=+=⎰， 因此21512S p S ==.故『答案』为：51216.在四面体ABCD 中，已知2AB BD DC CA ====，则此四面体体积的最大值是______.『解析』根据该锥体的几何特征，考虑平面ABC 与平面BCD 绕BC 旋转而成的几何体，其体积等价于考虑平面ABD 与平面ACD 绕AD 旋转而成的几何体， 以平面BCD 作为锥体底面，要使体积最大，平面ABC ⊥平面BCD ，设,04BC x x =<<，取BC 中点E ，连接,AE DE ，有,AE BC DE BC ⊥⊥，AE DE ==根据面面垂直的性质，AE ⊥平面BCD ，所以锥体体积()231141664241132A BCD x x x x x V -⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭=⨯ 考虑函数()()3116,0424f x x x x =-+<< ()()()()211316442424f x x '=-+=，0,3x ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，0f x ，函数单调递增，4x ⎫∈⎪⎪⎝⎭，0f x ，函数单调递减，所以()3max11624f x f ⎛ ==-+= ⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故『答案』为：27三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知正数数列{}n a 的前n 项和n S ，满足()*11n n a a S S n N =+∈．（1）求{}n a 的通项公式； （2）设n nnb a =，求证：122n b b b +++<．解：（1）当1n =时，2111a a a =+，又0n a >，所以12a =；当2n ≥时，()()112222n n n n n a S S a a --=-=---，所以12n n a a -=，因此{}n a 是以12a =为首项为公比的等比数列，故()*2n n a n N =∈．（2）令12231232222n n n n T b b b =+++=++++， 则234111*********n n n n n T +-=+++++， 两式相减得23111111222222n n n nT +=++++-，所以()231111111222222222nn n n n T n -⎛⎫=+++++-=-+< ⎪⎝⎭考点：1、数列的通项公式；2、数列前n 项和；3、错位相减法. 18.如图，已知AB 是半径为2的半球O 的直径，,P D 为球面上的两点且060DAB PAB ∠=∠=，PD =（1）求证：平面PAB ⊥平面DAB ； （2）求二面角B AP D --的余弦值．（1）证明：在PAB ∆中，过P 作PH AB ⊥于点H ，连HD ． 由Rt APB Rt ADB ∆≅∆可知DH AB ⊥，且1PH DH AH ===， 又 222336PH HD PD +=+==，∴PH HD ⊥．又AB HD H ⋂=， ∴PH ⊥平面ABD ，又PH ⊂平面PAB ， ∴平面PAB ⊥平面ABD ．（2）解：由（1）可知,,HB HD HP 两两垂直，故以H 为原点，,,HB HD HP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，如图建立空间直角坐标系，可知()()()(1,0,0,3,0,0,,A B D P -．设平面APD 的法向量为(),,m x y z = ，则·0·0m AD m AP ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即()()()(,,0,,0x y z x y z ⎧=⎪⎨=⎪⎩，∴00x x ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，令x =1y z ==，∴()m =， 又平面APB 的法向量()0,1,0n =，∴·cos ,55?1m n m n m n 〈〉===， 而二面角B AP D--与,m n 的夹角相等，因此所求的二面角B AP D --的余弦值为5．19.已知函数()sin 1f x x x =-. （1）求曲线()y f x =在点,22f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭处的切线方程； （2）判断()f x 在()0,π内的零点个数，并加以证明. 解：（1）()'sin cos f x x x x =+，所以切线方程为'222y f f x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即1y x =-，亦即10x y --=.（2）①当0,2x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()'sin cos 0f x x x x =+>，所以()f x 0,2π⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增，且()010f =-<，1022f ππ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，故()f x 在0,2π⎛⎤⎥⎝⎦内有唯一零点1x .②当,2x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，令()()'g x f x =，则()'2cos sin 0g x x x x =-<，所以 ()g x 在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，且102g π⎛⎫=> ⎪⎝⎭，()0g ππ=-<，所以存在,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()0g α=，所以当,2x πα⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()()'0f x g x =>，即()f x 在,2πα⎛⎫⎪⎝⎭递增， 当(),x απ∈时，()()'0f x g x =<，即()f x 在(),απ递减. 又()1022ff ππα⎛⎫>=-> ⎪⎝⎭，()10f π=-<. 故()f x 在(),απ内有唯一的零点2x .综上，()f x 在()0,π内有且仅有两个零点1x ，2x .20.某厂用鲜牛奶在某台设备上生产A ，B 两种奶制品.生产1吨A 产品需鲜牛奶2吨，使用设备1小时，获利1 000元；生产1吨B 产品需鲜牛奶1.5吨，使用设备1.5小时，获利1 200元.要求每天B 产品的产量不超过A 产品产量的2倍，设备每天生产A ，B 两种产品时间之和不超过12小时.假定每天可获取的鲜牛奶数量W (单位：吨)是一个随的机变量，其分布列为该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利Z (单位：元)是一个随机变量. (I)求Z 的分布列和均值；(II)若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3天中至少有1天的最大获利超过10 000元的概率.解：（Ⅰ）设每天,A B 两种产品的生产数量分别为,x y ，相应的获利为z ，则有2 1.5,1.512,{?20,0,? 0.x y W x y x y x y +≤+≤-≥≥≥（1）目标函数为10001200z x y =+．当12W =时，（1）表示的平面区域如图1，三个顶点分别为(0,?0),?(2.4,?4.8),?(6,?0)A B C ． 将10001200z x y =+变形为，当 2.4,?4.8x y ==时，直线l ：在y 轴上的截距最大，最大获利max 2.41000 4.812008160Z z ==⨯+⨯=．当15W =时，（1）表示的平面区域如图2，三个顶点分别为(0,?0),?(3,?6),?(7.5,?0)A B C ． 将10001200z x y =+变形为，当3,?6x y ==时，直线l ：在y 轴上的截距最大，最大获利max 310006120010200Z z ==⨯+⨯=． 当18W =时，（1）表示的平面区域如图3，四个顶点分别为(0,?0),?(3,?6),?(6,?4),?(9,?0)A B C D ． 将10001200z x y =+变形为，当6,4x y ==时，直线l ：在y 轴上的截距最大，最大获利max 610004120010800Z z ==⨯+⨯=． 故最大获利y 的分布列为因此，()81600.3102000.5108000.29708.E Z =⨯+⨯+⨯=（Ⅱ）由（Ⅰ）知，一天最大获利超过10000元的概率1(10000)0.50.20.7p P Z =>=+=， 由二项分布，3天中至少有1天最大获利超过10000元的概率为3311(1)10.30.973.p p =--=-=21.已知曲线1C 上任意一点M 到直线l ：4y =的距离是它到点()0,1F 距离的2倍；曲线2C 是以原点为顶点，F 为焦点的抛物线. （1）求1C ，2C 的方程； （2）设过点F动直线与曲线2C 相交于A ，B 两点，分别以A ，B 为切点引曲线2C 的两条切线1l ，2l ，设1l ，2l 相交于点P .连接PF 的直线交曲线1C 于C ，D 两点. （i ）求证：CD AB ⊥；（ii ）求AD CB ⋅的最小值.解：（1）设(),M x y ，则由题意有4y =-，化简得：22134x y +=. 故1C 的方程为22134x y +=，的()0,1F 为抛物线的焦点，设其方程22x py =，1,22pp == 易知2C 的方程为24x y =.（2）（i ）由题意可设AB 的方程为1y kx =+，代入24x y =得2440x kx --=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则121244x x k x x +=⎧⎨=-⎩，由214y x =有1'2y x =，所以1l ，2l 的方程分别为2111124y x x x =-，2221124y x x x =-.故1212,24x x x x P +⎛⎫⎪⎝⎭， 即()2,1P k -，1PF k k=-，从而CD AB ⊥. （ii ）可设CD 的方程为11y x k =-+，代入22134x y +=得()22224384120ky k y k +-+-=，设()33,C x y ，()44,D x y ，则2342234284341243k y y k k y y k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩， 所以()()AD CB AF FD CF FB ⋅=++AF CF FD CF F FB F D A FB +=⋅+⋅⋅⋅+AF FB FD CF =+()()123411114422y y y y =+++-⋅- ()()()()1234122444kx kx y y =+++-- ()()21212343412444k x x k x x y y y y =++++-++()()22291139414344k k t k t +⎛⎫=++=++ ⎪+⎝⎭（其中2433t k =+≥）. 设()()934t t f t t =+≥，则()2229491044'f t t t t-=-=>，故f t 在[)3,+∞单调递增， 因此139133374444t A B t D C ⎛⎫=++≥++= ⎪⎭⋅⎝=，当且仅当3t =即0k =等号成立. 故AD CB ⋅的最小值为7.请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分.22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2222111t x t t y t ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩（t 为参数）.在极坐标系（与平面直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴）中，sin 34πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.（1）求曲线C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程；（2）设P 是曲线C 上的任意一点，求点P 到直线l 的距离的最大值.解：（1）因为222222221111t t x y t t ⎛⎫-⎛⎫+=+= ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭，所以曲线C 的普通方程为221x y +=.sin 34πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭展开得sin cos 3ρθρθ-=，即3y x -=，因此直线l 的直角坐标方程为30x y -+=.（2）设()cos ,sin P θθ，则点P 到直线l 的距离为d ==1≤+. 等号成立当且仅当sin 14πθ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即()724k k Z πθπ=+∈，即P ⎝⎭. 因此点P 到直线l的距离的最大值为12+. 23.（1）设a ，b ，c 均为正数，且1a b c ++=，证明：1119a b c++≥； （2）解关于x 不等式：2323x x x x <-<.解：（1）a ，b ，c 均为正数，由柯西不等式有()2111a b c a b c ⎛⎫++++≥ ⎪⎝⎭9=， 所以有1119a b c++≥. （另解()111111a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭332229b a c a c b a b a c b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++≥+++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭）（2）由2323x x x x <-<有x x <可知0x <.因此原不等式等价于2323x x x x <-<-，即21231x x >->-.即22123231x x x x ⎧>-⎪⎨->-⎪⎩，2221032031x x x x -+>--<⎧⎪⎨⎪⎩， 23210x x -+>恒成立，只需解23210x x --<且0x <解之得103x -<<. 因此原不等式的解集为1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭.。
湖南省长沙市雅礼中学2023-2024学年高三下学期月考(八)数学试题含答案
炎德·英才大联考雅礼中学2024届高三月考试卷（八）数学命题人李群丽审题人陈朝阳注意事顶：1．答卷前、考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2．回答选择题时、选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动、用橡皮擦干净后、再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上、写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分、在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．定义差集{}M N x x M x N -=∈∉且，已知集合{}{}2,3,5,3,5,8A B ==，则()A A B -= （）A ．∅B ．{}2C ．{}8D ．{}3,52．已知一组数据12345,,,,x x x x x 的平均数为2，方差为12，则另一组数据1234532,32,32,32,32x x x x x -----的平均数、标准差分别为（）A ．12,2B ．2,1C ．324,2D ．94,23．设复数z 满足i 2,z z +=这在复平面内对应的点为(),P x y ，则（）A ．()2214x y -+=B ．()2212x y ++=C ．()2212x y +-=D ．()2214x y ++=4．向量的数量积可以表示为：以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的四分之一，即如图所示，()2214a b AD BC ⋅=- ，我们称为极化恒等式、已知在ABC △中，M 是BC 中点，3,10AM BC ==，则AB AC ⋅=（）A ．16-B ．16C ．8-D ．85．南丁格尔玫瑰图是由近代护理学和护士教育创始人南丁格尔（FlorenceNightingale ）设计的，图中每个扇形圆心角都是相等的，半径长短表示数量大小，某机构统计了近几年中国知识付费用户数量（单位：亿人次），并绘制成南丁格尔攻瑰图（如图所示）、根据此图，以下说法错误的是（）A ．2015年至2022年，知识付费用户数量逐年增加B ．2015年至2022年，知识付费用户数量的逐年增加量在2018年最多C ．2015年至2022年，知识付费用户数量的逐年增加量逐年递增D ．2022年知识付费用户数量超过2015年知识付费用户数量的10倍6．已知函数()()sin 2(0)f x x ϕϕπ=+<<的图像关于点2,03π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，则（）A ．直线76x π=是函数()f x 图象的对称轴B ．()f x 在区间11,1212ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上有两个极值点C ．()f x 在区间50,12π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减D ．函数()f x 的图象可由cos2y x =向左平移6π个单位长度得到7．已知点O 为坐标原点，椭圆22195x y +=的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在椭圆上，设线段1PF 的中点为M ，且2OF OM =，则12PF F △的面积为（）A 15B ．152C ．37D ．158．中国古建筑闻名于世，源远流长．如图甲所示的五脊殿是中国传统建筑中的一种屋顶形式，该屋顶的结构示意图如图乙所示，在结构示意图中，已知四边形ABCD 为矩形，,24,EF AB AB EF ADE ==∥△与BCF △都是边长为2的等边三角形，若点,,,,,A B C D E F 都在球O 的球面上，则球O 的表面积为（）A ．22πB ．11πC ．112πD ．114π二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。