利用韦达定理巧解数列通项
韦达定理经典例题及解题过程
韦达定理经典例题及解题过程摘要：一、韦达定理简介二、经典例题解析1.线性方程组解的性质2.非线性方程组解的性质3.方程组解的应用问题三、解题步骤与方法1.确定未知数2.建立方程组3.应用韦达定理4.求解方程组四、易错点与注意事项五、总结与提高正文：一、韦达定理简介韦达定理，又称Vieta定理，是由法国数学家弗朗索瓦·韦达（FranoisViète）提出的一个有关多项式方程的定理。
它揭示了多项式方程系数与根之间的关系。
根据韦达定理，多项式方程的系数可以表示为根的线性组合，而且这种表示是唯一的。
二、经典例题解析1.线性方程组解的性质线性方程组是多项式方程的一种特殊形式。
对于线性方程组，我们可以利用韦达定理求解其解的性质。
例如：解：设线性方程组为：x + y + z = 12x - y + z = 2x + 2y - z = 3根据韦达定理，我们可以知道：x + y + z = 12x - y + z = 2x + 2y - z = 32.非线性方程组解的性质非线性方程组是指含有非线性项的方程组。
对于非线性方程组，我们同样可以利用韦达定理求解其解的性质。
例如：解：设非线性方程组为：x - 2x + 1 = 0x + y + 1 = 0根据韦达定理，我们可以知道：x + x = 2xx = 13.方程组解的应用问题韦达定理不仅在求解方程组方面有重要作用，还可以应用于解决一些实际问题。
例如：解：设方程组为：x + y = 5x - y = 1根据韦达定理，我们可以知道：x + y = 5x - y = 1求解得：x = 3，y = 2实际问题：一家商店出售两种商品，一件商品的价格为5元，另一件商品的价格为1元。
已知两种商品的销售额之和为80元，求每种商品的销售额。
三、解题步骤与方法1.确定未知数：分析题目，找出需要求解的未知数。
2.建立方程组：根据题目的条件，建立方程组。
3.应用韦达定理：将方程组中的系数和常数项表示为根的线性组合。
韦达定理详细讲解
韦达定理详细讲解韦达定理是数学中的一个重要定理，它被广泛应用于代数、几何和概率等领域。
该定理的内容较为复杂，但通过详细的讲解，我们可以更好地理解和应用韦达定理。
我们来了解一下韦达定理的基本概念。
韦达定理又称作“韦达三角定理”或“韦达方程”，它是代数中关于多项式根与系数之间的关系的一个重要定理。
韦达定理是指对于一个二次方程，其两个根的和等于系数b的相反数，而两个根的乘积等于方程的常数项c。
为了更好地理解韦达定理，我们以一个具体的例子来说明。
假设我们有一个二次方程x^2 - 5x + 6 = 0，我们可以使用韦达定理来求解该方程的根。
根据韦达定理，我们知道两个根的和等于系数b的相反数，即根的和等于5的相反数，即-5。
所以，我们可以得到一个等式：x1 + x2 = -5。
接下来，根据韦达定理，我们知道两个根的乘积等于方程的常数项c，即根的乘积等于6。
所以，我们可以得到另一个等式：x1 * x2 = 6。
通过这两个等式，我们可以得到一个由根和系数构成的方程组，进一步求解得到方程的根。
在本例中，我们可以得到x1 = 2和x2 = 3，即方程的两个根分别为2和3。
除了二次方程，韦达定理也可以扩展到高次方程。
对于一个n次方程，韦达定理可以表示为：方程的n个根的和等于系数b的相反数，而n个根的乘积等于方程的常数项c。
韦达定理在代数中的应用非常广泛。
它可以用于求解方程的根，进一步用于因式分解、求解多项式的系数和揭示方程与根之间的关系。
通过韦达定理，我们可以更好地理解和解决各种代数问题。
除了代数中的应用，韦达定理在几何和概率中也有重要的应用。
在几何中，韦达定理可以用于求解三角形的边长，利用三角形的边长关系来解决几何问题。
在概率中，韦达定理可以用于计算多个独立事件同时发生的概率，从而帮助我们进行概率分析和计算。
总结一下，韦达定理是数学中的一个重要定理，它可以用于代数、几何和概率等领域。
通过韦达定理，我们可以求解方程的根，进行因式分解，揭示方程与根之间的关系，解决几何问题和计算概率等。
韦达定理的应用 讲义及练习
韦达定理的应用-教师版一.综述直线与圆锥曲线相交问题是解析几何综合题中最典型问题,主要考查二次方程韦达定理的应用.一般地解题的框架为:1、直线方程代入曲线方程,判别式保证有两解,准备好韦达定理; 2、主要目标分析,合理转化;3、韦达定理代入,整理求解. 二.例题精讲 破解规律例 1. 已知抛物线 的焦点为 ，过点 的直线 与 交于 ， 两点，设 ，证明：， ；分析:设直线 的方程为：，与抛物线联立得 ，利用韦达定理即可证得； 答案:见解析解析:设直线 的方程为：，联立方程化简得： ,易知 所以 ，而．点评:当直线恒过x 轴上的点时,可以考虑设直线方程为 这样联立方程消去x 比较容易.规律总结:直线与圆锥曲线相交问题,可以利用韦达定理设而不求来解决问题.要注意联立后的二次方程判别式是否为正.现学现用1: 椭圆离心率为， ， 是椭圆的左、右焦点，以 为圆心， 为半径的圆和以 为圆心、 为半径的圆的交点在椭圆 上. (1)求椭圆 的方程；(2)设椭圆 的下顶点为 ，直线与椭圆 交于两个不同的点 ，是否存在实数使得以 为邻边的平行四边形为菱形？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由. 解析：（1）由题知,解得，故,椭圆的方程为（2）由题意知 ，联立方程，整理得 ，（化简可得），①设，则，,设 中点为 ，>0∆(),0n由，知，所以点 的坐标为，因为 ，所以 ， 又直线 斜率均存在，所以 . 于是解得，即，将代入①，满足 ．故存在 使得以 为邻边的平行四边形可以是菱形，值为．例2. 已知双曲线与双曲线的渐近线相同，且经过点.（1）求双曲线的方程；（2）已知双曲线的左右焦点分别为，直线经过，倾斜角为， 与双曲线交于两点，求的面积.分析：第二问, 将直线方程代入曲线方程,化简后写出韦达定理,利用弦长公式求出弦长,点到直线距离求出高,进而得到面积.答案:（1）（2） 解析：（1）设所求双曲线方程为,代入点得，即 所以双曲线方程为，即. （2）.直线的方程为.设 联立得 满足 由弦长公式得点到直线的距离()2222:10,0x y C a b a b -=>>22162y x -=()2,3C C 12F F 、l 2F 34πl C ,A B 1F AB ∆2213y x -=1F AB S ∆=C 2262y x λ-=()2,3223262λ-=12λ=-C 221622y x -=-2213y x -=()()1220,20F F -，，AB ()2y x =--()()1122,,,A x y B x y ()222 13y x y x =---=⎧⎪⎨⎪⎩22470x x +-=0.∆>AB =6==()120F -，:20AB x y +-=d ==所以 点评:三角形面积问题,常转化为求弦长和点到直线距离.有些题目也可借助坐标轴将三角形分割.规律总结:圆锥曲线中的弦长、面积等问题,常将直线与圆锥曲线方程的联立,利用韦达定理和弦长公式来处理.现学现用2: 已知椭圆的中心在原点，焦点为 ， ， ， ，且长轴长为8． Ⅰ 求椭圆的方程；Ⅱ 直线 与椭圆相交于 ， 两点，求弦长 ．解析: Ⅰ 椭圆的中心在原点，焦点为 ， ， ， ， 且长轴长为 故要求的椭圆的方程为Ⅱ 把直线 代入椭圆的方程化简可得 ，，，弦长例3:已知双曲线的左右两个顶点是,,曲线上的动点关于轴对称，直线与交于点， （1）求动点的轨迹的方程；（2）点，轨迹上的点满足，求实数的取值范围.分析:（1）借助题设条件运用两个等式相乘建立等式；（2）依据题设条件运用直线与椭圆的位置关系建立二次方程，运用判别式及根与系数的关系建立不等式,从而求出范围答案:（1）；（2） . 解析:（1）由已知 ，设 则直线 ，直线， 两式相乘得，化简得，即动点的轨迹的方程为；(2)过的直线若斜率不存在则或3,设直线斜率存在，111622F AB S AB d ∆=⋅=⋅⋅=22:14x C y -=1A 2A C ,P Q x 1A P 2A Q M M D ()0,2E D ,A B EA EB λ=λ2214x y +=1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦()()122,0,2,0A A-.,P t Q t ⎛⎛ ⎝⎭⎝⎭)1:2A P y x =+)2:2A Q y x =-()22144y x -=-2214xy +=M D 2214x y +=()0,2E 13λ=k ()()1122,,,A x y B x y， 则 由（2）（4）解得代入（3）式得 ， 化简得，由（1）解得代入上式右端得，,解得, 综上实数的取值范围是. 规律总结:牵涉到共线线段的长度比,或三角形面积比问题,可以转化为坐标的比值,结合韦达定理消去坐标参数.也可以直接利用求根公式,结合坐标比值求解,现学现用3: 已知双曲线的离心率为2，右顶点为.（1）求双曲线的方程； （2）设直线与轴交于点，与双曲线的左、右支分别交于点，且，求的值.解析：（1）∵，∴ （2）设点横坐标为, 点横坐标为.平行线分线段成比例定理：联立： 得： ，()222221416120440y kx k x kx x y ⎧⎨⎩=+⇒+++=+-=()()()()122122120116214123144k x x k x x k x x λ∆≥+=-+=⎧⎪⎪⎨+=⎪⎪⎪⎪⎩12,x x ()2222161214141k k k λλ-⎛⎫⋅= ⎪++⎝⎭+()22314641k λλ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭+0∆≥234k ≥()2311641λλ<≤+133λ<<1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>()1,0C y x m =-+y P C ,Q R 2PQ PR=m 2,1,2,e a c b ====22:13y C x -=Q Q x P P x 2Q Px PQ PRx ==22{33y x m x y =-+-=222230x mx m +--=，则或（舍）与实际情况不符故三.课堂练习 强化技巧1.已知椭圆过，且离心率为. （1）求椭圆的方程；（2）过右焦点的直线与椭圆交于两点， 点坐标为，求直线的斜率之和.【答案】（1）；（2）的斜率之和为2. 解析（Ⅰ）解：由已知得解之得，a =2，b，c =1.所以椭圆方程为:（Ⅱ）设，由(1)得，设直线的方程为与椭圆联立得 消去x 得， 所以①所以 ② 将①带入②,化简得:当直线斜率不存在时，A (1, －)，B (1, )，,P Qx =2QP x x ===21,1m m ==1m =-1m =2222:1(0)x y C a b a b +=>>31,2E ⎛⎫ ⎪⎝⎭12e =C F l ,A B D ()4,3,DA DB 22143x y +=,DA DB 222221911,,42c a b c a b a +===+22143x y +=()()1122,,,Ax y B x y ()1,0F l ()1y k x =-221{ 43x y y kx k+==-()222223484120k x k x k +-+-=221212228412,4343k k x x x x k k -+==++121212121233333333=2444444DA DB y y kx k kx k k k k k k x x x x x x --------+=+=+++------()()()1212121281=233=2334+1+14+6x x k k k k x x x x x x ⎛⎫-+-++- ⎪---⎝⎭2DA DB k k +=l 32322DA DB k k +=所以的斜率之和为2.2. 已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，左、右焦点分别为F 1，F 2，且|F 1F 2|=2，点（1，）在椭圆C 上. （1）求椭圆C 的方程；（2）过F 1的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且△AF 2B 的面积为，求以F 2为圆心且与直线l 相切的圆的方程。
韦达定理经典例题及解题过程
韦达定理经典例题及解题过程韦达定理经典例题及解题过程一、概述韦达定理是初中数学中的一个重要定理，它是数学中的基本原理之一，广泛应用于初中数学和高中数学的相关知识点中。
韦达定理通过等比的概念，可以解决一些复杂的代数方程问题，具有很强的普适性和实用性。
本文将重点介绍韦达定理的相关概念、经典例题及解题过程，希望能让读者对韦达定理有更深入的理解。
二、韦达定理的相关概念1. 韦达定理的基本概念韦达定理是数学上一个重要的定理，它通过等比的概念，解决了关于代数方程的一些问题。
韦达定理的基本说法是：对于一元三次方程ax³+bx²+cx+d=0，如果它有三个不等实根，那么这三个根分别是p、q、r，那么有以下等式成立：p+q+r=-b/apq+qr+rp=c/apqr=-d/a2. 韦达定理的证明韦达定理的证明可以通过多种方式来完成，其中一种比较常见的方法是使用代数方程的解法和数学归纳法。
我们可以通过对一元三次方程的通解进行分析，最终得到韦达定理的结论。
这个过程需要一定的代数方程知识和数学推理能力。
三、经典例题及解题过程为了更好地理解韦达定理，我们将通过几个经典例题来演示解题过程。
例题一：已知一元三次方程x³-6x²+11x-6=0的根为p、q、r，求p+q+2r的值。
解题过程：根据韦达定理，我们可以得到以下等式：p+q+r=6pq+qr+rp=11pqr=6根据题目中的要求，我们需要求p+q+2r的值，所以我们可以先求出p+q+r的值，然后再将r的值替换为2r即可。
通过代数方程的解法，我们可以求得p+q+r=6，再将r替换为2r，得到p+q+2r=6+2r的值。
例题二：已知一元三次方程2x³-7x²+7x-3=0的根为p、q、r，求p²+q²+r²的值。
解题过程：同样地，根据韦达定理我们可以得到以下等式：p+q+r=7/2pq+qr+rp=7/2pqr=3/2题目中要求的是p²+q²+r²的值，我们可以通过(p+q+r)²-2(pq+qr+rp)的公式来求得。
韦达定理的应用专题
韦达定理的应用一.综述直线与圆锥曲线相交问题是解析几何综合题中最典型问题,主要考查二次方程韦达定理的应用.一般地解题的框架为:1、直线方程代入曲线方程,判别式保证有两解,准备好韦达定理; 2、主要目标分析,合理转化;3、韦达定理代入,整理求解.二.例题精讲破解规律例1. 已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F，过点F的直线l1与C交于A，B两点，设A(x1,y1),B(x2,y2)，证明：x1x2=p24，y1y2=−p2；点评:当直线恒过x轴上的点时,可以考虑设直线方程为x=my+n,这样联立方程消去x比较容易.规律总结:直线与圆锥曲线相交问题,可以利用韦达定理设而不求来解决问题.要注意联立后的二次方程判别式是否为正.现学现用1: 椭圆C:x 2a +y2b=1(a>b>0)离心率为√63，F1，F2是椭圆的左、右焦点，以F1为圆心，√3+1为半径的圆和以F2为圆心、√3−1为半径的圆的交点在椭圆C上.(1)求椭圆C的方程；(2)设椭圆C的下顶点为A，直线l:y=kx+32与椭圆C交于两个不同的点M,N，是否存在实数k使得以AM,AN为邻边的平行四边形为菱形？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.(),0n例2. 已知双曲线与双曲线的渐近线相同，且经过点.（1）求双曲线的方程；（2）已知双曲线的左右焦点分别为，直线经过，倾斜角为，与双曲线交于两点，求的面积.点评:三角形面积问题,常转化为求弦长和点到直线距离.有些题目也可借助坐标轴将三角形分割.规律总结:圆锥曲线中的弦长、面积等问题,常将直线与圆锥曲线方程的联立,利用韦达定理和弦长公式来处理.现学现用2: 已知椭圆的中心在原点，焦点为F 1(−2√3，0)，F 2(2√3，0)，且长轴长为8．(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)直线y =x +2与椭圆相交于A ，B 两点，求弦长|AB|．例3:已知双曲线的左右两个顶点是,,曲线上的动点关于轴对称，直线与交于点， （1）求动点的轨迹的方程；（2）点，轨迹上的点满足，求实数的取值范围.()2222:10,0x y C a b a b -=>>22162y x -=()2,3C C 12F F 、l 2F 34πl C ,A B 1F AB ∆22:14x C y -=1A 2A C ,P Q x 1A P 2A Q M M D ()0,2E D ,A B EA EB λ=u u u r u u u rλ规律总结:牵涉到共线线段的长度比,或三角形面积比问题,可以转化为坐标的比值,结合韦达定理消去坐标参数.也可以直接利用求根公式,结合坐标比值求解,现学现用3: 已知双曲线的离心率为2，右顶点为.（1）求双曲线的方程；（2）设直线与轴交于点，与双曲线的左、右支分别交于点，且，求的值.三.课堂练习 强化技巧1. 已知椭圆过，且离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）过右焦点的直线与椭圆交于两点， 点坐标为，求直线的斜率之和.2. 已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，左、右焦点分别为F 1，F 2，且|F 1F 2|=2，点（1，）在椭圆C 上. （1）求椭圆C 的方程；（2）过F 1的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且△AF 2B 的面积为，求以F 2为圆心且与直线l 相切的圆的方程。
浅谈韦达定理在解题中的应用
浅谈韦达定理在解题中的应用韦达定理是反映一元二次方程根与系数关系的重要定理．纵观近年各省、市的中考(竞赛)试题可以发现，关于涉及此定理的题目屡见不鲜，且条件隐蔽．在证(解)题时，学生往往因未看出题目中所隐含的韦达定理的条件而导致思路闭塞，或解法呆板，过程繁琐冗长．下面举例谈谈韦达定理在解题中的应用，供大家参考．一、直接应用韦达定理若已知条件或待证结论中含有a＋b和a·b形式的式子，可考虑直接应用韦达定理．例1 在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，D是AB边上一点，且BC＝DC，设AD＝d．求证：(1)c＋d＝2bcosA；(2)c·d＝b2－a2．分析：观察所要证明的结论，自然可联想到韦达定理，从而构造一元二次方程进行证明．证明：如图，在△ABC和△ADC中，由余弦定理，有a2＝b2＋c2－2bccosA；a2＝b2＋d2－2bdcosA(CD＝BC＝a)．∴ c2－2bccosA＋b2－a2＝0，d2－2bdcosA＋b2－a2＝0．于是，c、d是方程x2－2bxcosA＋b2－a2＝0的两个根．由韦达定理，有c＋d＝2bcosA，c·d＝b2－a2．例2 已知a＋a2－1＝0，b＋b2－1＝0，a≠b，求ab＋a＋b的值．分析：显然已知二式具有共同的形式：x2＋x－1＝0．于是a和b可视为该一元二次方程的两个根．再观察待求式的结构，容易想到直接应用韦达定理求解．解：由已知可构造一个一元二次方程x2＋x－1=0，其二根为a、b．由韦达定理，得a＋b＝－1，a·b＝－1．故ab＋a＋b＝－2．二、先恒等变形，再应用韦达定理若已知条件或待证结论，经过恒等变形或换元等方法，构造出形如a＋b、a·b 形式的式子，则可考虑应用韦达定理．例3若实数x、y、z满足x＝6－y，z2＝xy－9．求证：x＝y．证明：将已知二式变形为x＋y＝6，xy＝z2＋9．由韦达定理知x、y是方程u2－6u＋(z2＋9)＝0的两个根．∵ x、y是实数，∴△＝36－4z2－36≥0．则z2≤0，又∵z为实数，∴z2＝0，即△＝0．于是，方程u2－6u＋(z2＋9)＝0有等根，故x＝y．由已知二式，易知x、y是t2＋3t－8＝0的两个根，由韦达定理三、已知一元二次方程两根的关系(或系数关系)求系数关系(或求两根的关系)，可考虑用韦达定理例5 已知方程x2＋px＋q＝0的二根之比为1∶2，方程的判别式的值为1．求p与q之值，解此方程．解：设x2＋px＋q＝0的两根为a、2a，则由韦达定理，有a＋2a＝－P，①a·2a＝q，②P2－4q＝1．③把①、②代入③，得(－3a)2－4×2a2＝1，即9a2－8a2＝1，于是a=±1．∴方程为x2－3x＋2＝0或x2＋3x＋2＝0．解得x1＝1，x2＝2，或x1＝－1，x2＝－2．例6 设方程x2＋px＋q＝0的两根之差等于方程x2＋qx＋p＝0的两根之差，求证：p＝q或p＋q＝－4．证明：设方程x2＋px＋q＝0的两根为α、β，x2＋qx＋P＝0的两根为α＇、β＇．由题意知α－β＝α＇－β＇，故有α2－2αβ＋β2＝α＇2－2α＇β＇＋β＇2．从而有(α＋β)2－4αβ＝(α＇＋β＇)2－4α＇β＇．①把②代入①，有p2－4q＝q2－4p，即p2－q2＋4p－4q＝0，即(p＋q)(p－q)＋4(p －q)＝0，即(p－q)(p＋q＋4)＝0．故p－q＝0或p＋q＋4＝0，即p＝q或p＋q＝－4．四、关于两个一元二次方程有公共根的题目，可考虑用韦达定理例7 m为问值时，方程x2＋mx－3＝0与方程x2－4x－(m－1)＝0有一个公共根？并求出这个公共根．解：设公共根为α，易知，原方程x2+mx－3＝0的两根为α、－m－α；x2－4x－(m－1)＝0的两根为α、4－α．由韦达定理，得α(m＋α)＝3，①α(4－α)＝－(m－1)．②由②得m＝1－4α＋α2，③把③代入①得α3－3α2＋α－3＝0，即(α－3)(α2＋1)＝0．∵α2＋1＞0，∴α－3＝0即α＝3．把α＝3代入③，得m＝－2．故当m＝－2时，两个已知方程有一个公共根，这个公共根为3．。
巧用韦达定理简化解题过程
又
｜ ｓ
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（） ２ 已知 点 Ｐ是 抛 物 线 ｃ 上 ．
一
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１
二 ±
（ ｏ一６ ＋ Ｙ ）
．
整 理 得 （ ０ ） ＋ ｙ ｂ— ０ ０ —２ ｂ ２ ０ ＝ ．
点 （ 于 原 点 ） 过 点 尸作 圆 Ｃ 异 ， 的 两 条 切 线 ， 抛 物 线 Ｃ 交 。
同理 ， — ） ＋ ｙｃ ０ （ ０ ２ ｃ ２０ 一 ０： ，
’
于 Ａ， 两 点 ， 过 Ｍ ， Ｂ 若 Ｐ两 点 的直 线 １ 直 于 Ａ 求 直 线 ｌ 垂 Ｂ， 的
方 程．
．
．
ｂ ｃ 方程 （ 一 ） ２ ｏ — ＝ ，是 ２ ｔ ＋ ｙ ｔ ０ ０的 两 个 根 ．
韦 达 定 理 反 映 了 方 程 根 与 系 数 的 关 系 ， 平 面 解 析 几 在
和 与 积 与 动 点 Ｐ的 横 坐 标 的 关 系 ， 次 利 用 两 切 线 与 抛 物 再
线 相 交 的交 点 横 坐 标 为 变 量 ， 造 关 于 这 两 交 点 横 坐 标 为 构 根 的二 次 方 程 ， 然 设 了 两 个 斜 率 ， 没 有 真 正 求 出 ， 体 虽 但 正 现 了韦 达 定 理 的 妙 用 之 处 —— 设 而 不 求 ， 题 很 好 地 利 用 此
解
（ ） 略． 到 抛 物 线 Ｃ １解 Ｍ 的 准线 的距 离 为 ．
因 （ｃ ＋ ＿ｃ ￣ ４ ＝ 此－ ６） ｃ ４ （ ２ ・ ） ６ ２， ＝ Ｙ ／
４ ＋４ 一８ 。 ， ２ ０ ＼ ｙ ｘ ｘ ｘ
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相邻三项线性递推关系数列通项的简便求法
２０２４年５月上半月㊀解法探究㊀㊀㊀㊀相邻三项线性递推关系数列通项的简便求法∗◉陕西省西安市第七十一中学㊀尚㊀萍㊀㊀摘要:熟练掌握数列通项公式的求解是高考以及各类考试的基本要求．在高中阶段,相邻三项线性递推关系数列通项公式的求解是一个难点,需要构造相邻两项的差为特殊数列进行求解,具有一定的难度．本文中在常规解法的基础上,用特征方程法快速准确地求解通项公式,大大缩短了求解时间．关键词:递推数列;特征方程;通项公式１一个实例及解法例１㊀已知数列{a n }满足a １＝１,a ２＝２,且a n ＋１＝２a n ＋３a n －１(n ȡ２,n ɪN ＋)．求数列{a n }的通项公式．解法１:常规解法．因为a n ＋１＝２a n ＋３a n －１(n ȡ２,n ɪN ＋),所以a n ＋１＋a n ＝３(a n ＋a n －１)(n ȡ２)．又因为a ２＋a １＝３,所以{a n ＋１＋a n }是以３为首项,３为公比的等比数列．所以a n ＋１＋a n ＝３ˑ３n －１＝３n ,从而a n ＋１３n ＋１＋１３ a n ３n ＝１３．进一步,a n ＋１３n ＋１－１４＝－１３(a n３n －１４)．又因为a １３－１４＝１１２,所以数列a n ３n －１４{}是首项为１１２,公比为－１３的等比数列．故a n ３n －１４＝１１２ˑ(－１３)n －１．所以a n ＝３n －(－１)n４．解法２:特征方程法．设a n ＋１－x １a n ＝x ２(a n －x １a n －１),与a n ＋１＝２a n ＋３a n －１比较系数,得x １＋x ２＝２,x １x ２＝－３．{由韦达定理可知,x １,x ２是方程x ２－２x －３＝０的两根－１和３．取x １＝－１,x ２＝３,有a n ＋１＋a n ＝３(a n ＋a n －１)．又因为a ２＋a １＝３,所以{a n ＋１＋a n }是以３为首项,３为公比的等比数列,所以a n ＋１＋a n ＝３ˑ３n －１＝３n．取x １＝３,x ２＝－１,有a n ＋１－３a n ＝－(a n －３a n －１)．又因为a ２－３a １＝－１,所以{a n ＋１－３a n }是以－１为首项,－１为公比的等比数列,则a n ＋１－３a n ＝(－１)ˑ(－１)n －１＝(－１)n ．于是有a n ＋１＋a n ＝３n,a n ＋１－３a n ＝(－１)n,{由方程组解法可知a n 是(－１)n 和３n的线性组合．因此,设a n ＝c １ (－１)n ＋c ２３n ．又因为a １＝１,a ２＝２,代入方程解得c １＝－１４,c ２＝１４．ìîíïïïï所以a n ＝３n－(－１)n４．２利用特征方程法解题的步骤由例１解法２的解析可以看出,特征方程法是将相邻两项的线性组合构造成等比数列[１],而对应的系数刚好是题目中相邻三项线性递推关系数列的特征方程的根,通过解特征方程可以直接写出最终a n 的表达形式,再根据数列中的任意两项,求出线性组合的系数,最终得到数列{a n }的通项公式[２]．因此可以将解题过程简化为以下三个步骤:(１)写出特征方程并求出两根x １,x ２;(２)设a n ＝c １ x n １＋c ２ x n ２;(３)将a １,a ２的值代入求出系数c １,c ２,进而写出数列{a n }的通项公式．例２㊀已知数列{a n }满足a １＝a ２＝２,且a n ＋１＝３a n ＋４a n －１(n ȡ２,n ɪN ＋)．求数列{a n }的通项公式．３０１∗课题信息:２０２２年陕西省教育科学规划课题基于核心素养的高中数学教育与 立德树人 的实践研究 ,课题批准号为S G H ２２Y ０１４０．解法探究２０２４年５月上半月㊀㊀㊀解析:特征方程法．由题可知,数列的特征方程为x ２－３x －４＝０,解方程得x １＝４,x ２＝－１．因此,设a n ＝c １ (－１)n ＋c ２４n,将a １＝a ２＝２代入,解得c １＝－６５,c ２＝１５．所以a n ＝４n －６ (－１)n５．由例２的解析[３]可以看出,利用特征方程法解决此类问题具有简洁快速的明显优势,同时在解题过程中不容易出现错误,非常适合高中阶段的学生学习和理解．３特征方程法应用中的问题及对策利用特征方程法求解这类问题,关键是构造特征方程．对于形如a n ＋２＝a a n ＋１＋b a n (a ,b 为常数)的递推数列,它的特征方程是x ２＝a x ＋b ,即x ２－a x －b ＝０．另外,既然是二次方程就可能存在两个相等的根和无实根的情形,下面对这两种情形进行探究．例３㊀已知数列{a n }满足a １＝１,a ２＝２,且a n ＋１＝６a n －９a n －１(n ȡ２,n ɪN ＋)．求数列{a n }的通项公式．对于此题,首先用特征方程法求解．由题可知,数列的特征方程为x ２－６x ＋９＝０,解得x １＝x ２＝３．因此设a n ＝c １ ３n ＋c ２ ３n,将a １＝１,a ２＝２代入,得３c １＋３c ２＝１,９c １＋９c ２＝２,{无解．因此,例３无法用特征方程法快速求出通项公式．下面继续用构造等差数列的方法重新求解,探求新思路[２]．解析:常规解法．因为a n ＋１＝６a n －９a n －１(n ȡ２,n ɪN ＋),所以a n ＋１－３a n ＝３(a n －３a n －１)(n ȡ２)．又因为a ２－３a １＝－１,所以{a n ＋１－３a n }是首项为－１,公比为３的等比数列．所以a n ＋１－３a n ＝(－１)ˑ３n －１,从而a n ＋１３n ＋１－a n３n ＝－１９．又因为a １３１＝１３,所以数列a n ３n {}是首项为１３,公差为－１９的等差数列．所以a n ３n ＝１３＋(n －１) (－１９)＝４－n９．故a n ＝(４－n )３n９．由例３可以看出,当特征方程有两个相等的根时,无法用特征方程法求出数列的通项公式,此时需要构造一个新的等差数列,求出这个等差数列的通项公式是A n ＋B 的形式,进而求出数列{a n }的通项公式a n ＝(A n ＋B ) x n ．例４㊀已知数列{a n }满足a １＝１,a ２＝２,且a n ＋１＝a n －a n －１(n ȡ２,n ɪN ＋)．求a ２０２４．解析:由题可知,数列的特征方程为x ２－x ＋１＝０,此方程无实数根．由a １＝１,a ２＝２,a n ＋１＝a n －a n －１分别计算可得a ３＝１,a ４＝－１,a ５＝－２,a ６＝－１,a ７＝１,a ８＝２,所以{a n }是周期为６的周期数列,又２０２４ː６＝３３７ ２,所以a ２０２４＝a ２＝２．由例４可以看出,当特征方程无实数根时,数列{a n }是一个周期数列[２]．这一结论具有普遍性,在这里省略证明．４特征方程法的解法总结根据例２~例４的解答过程可以将相邻三项线性递推关系数列通项公式的求解归纳如下:(Ⅰ)当特征方程有两个不相等的实根时(１)写出特征方程并求出两根x １,x ２;(２)设a n ＝c １ (x １)n ＋c ２ (x ２)n ;(３)将a １,a ２的值代入,求出系数c １,c ２,进而写出数列{a n }的通项公式．(Ⅱ)当特征方程有两个相等的实根时(１)写出特征方程并求出根x ;(２)设a n ＝(A n ＋B ) x n ;(３)将a １,a ２的值代入,求出系数A ,B ,进而写出数列{a n }的通项公式．(Ⅲ)当特征方程无实数根时分别计算前几项的值,判断数列{a n }的周期性,进而求出{a n }的通项公式．参考文献:[１]卢海英．相邻三项线性递推数列的解法[J ]．中学生数学,２０１９(１５):９,８．[２]黎真．特征方程法求数列通项[J ]．数理天地(高中版),２０２２(２１):１９Ｇ２２,２８．[３]王益洲,李燕．常见构造数列法的探究[J ]．数理化解题研究,２０２３(２１):２Ｇ４．Z ４０１。
妙用韦达定理解题
妙用韦达定理解题在一元二次方程()002≠=++a c bx ax 中，如果042≥-ac b ，那么它的两个根1x 、2x 具有如下关系：a b x x -=+21、ac x x =21。
这就是一元二次方程的根与系数的关系，简称韦达定理。
本文就如何利用韦达定理解决一元二次方程中的有关问题略举几例，供同学们在学习中借鉴。
一、 巧用韦达定理求值例1：已知1x 、2x 是方程04232=--x x 的两个根，求22123x x +的值。
解：因为1x 是方程04232=--x x 的根，所以0423121=--x x 即423121+=x x ， 由韦达定理知：3221=+x x ，于是2122124223x x x x ++=+()4221++=x x 3164322=+⨯= 例2：已知1x 、2x 是方程032=-+x x 的两个根，求代数式1942231+-x x 的值。
解：由于1x 、2x 是方程032=-+x x 的根，故有03121=-+x x 、03222=-+x x 从而有1213x x -=、2223x x -=，另一方面，由韦达定理得121-=+x x 、321-=x x 因此194194222112231+-=+-x x x x x =()()19343211+---x x x 7432211++-=x x x ()()044743321211=++=++--=x x x x x 解题反思：上述两例，都巧妙地利用了韦达定理，但在解题过程中的灵活性，很值得我们去思考。
二：利用韦达定理求作新方程例3：已知方程0142=+-x x ，求作一个新方程，使新方程的两根分别是原方程两根的2倍解：设x 为原方程的任一根，y 为新方程的任一根，由题意得 x y 2= 即2y x =将2y x = 代入方程0142=+-x x 得012422=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛y y 即 0482=+-y y 为所求新方程。
浅谈利用韦达定理的解题技巧
浅谈利用韦达定理的解题技巧作者：秦名正来源：《读与写·上旬刊》2014年第06期摘要：韦达定理知识点的考察是初中数学的难点和重点，本文就韦达定理在运算中的几种技巧进行实例解析，对初中数学解题策略进行探索，以为广大初中数学教师、学生提供有益的参考。
关键词：韦达定理;根与系数;解题技巧中图分类号：G633.6 文献标识码：B文章编号：1672-1578（2014）11-0155-01初中阶段是培养学生数学运算能力、解题技巧、数学思维的黄金时期，初中代数的主要内容都和运算有关，如有理数的运算、整式的运算、因式分解、分式的运算、根式的运算和解方程。
而要学好运算，学会是基本、熟练是要求、理解是关键，这就要求学生不仅要加强必要的训练，更重要是要掌握一定的解题规律与技巧，这也是学生学习中的难点，老师授课中的重点。
为此，本文以韦达定理为例，谈谈其在运算中的运用技巧。
韦达定理[1]是设一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0,b2-4ac≥0)的两根为x1,x2，利用求根公式可以得到x1=-b+-b2-4ac2a，此时。
它反映了一元二次方程根与系数的关系，其应用十分广泛，是初中数学知识点中的重点和难点。
1.巧用变形变形1：设x1、x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个实根，由韦达定理变形，得出|x1-x2|=b2-4ac|a|的结论。
例题1：已知x1、x2为方程4x2＋2x－1＝0的二根，则|x1－x2|的值为多少？此题，我们就可以根据韦达定理变形直接得出：|x1－x2|=22-4×4×(-1)2=5。
变形2：设x1、x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(ac≠0)的两个实根，令k=x1x2,则(1+k)2k=b2ac。
例题2：已知关于x的方程x2－(k＋1)x＋k＋2＝0的两实根的平方和等于13，求k的值。
我们可以假设方程x2－(k＋1)x＋k＋2＝0的两根为x1、x2，所以x12+x22=(k+1)2-2(k+2)=k-3，又有k2－3＝13，所以k2＝16，k＝±4。
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利用韦达定理巧解数列通项
作者：郭炅
来源：《科教导刊》2017年第35期
摘要本文介绍了从一元二次方程的角度去看待连续两项的对称二次式，通过韦达定理实现条件的降次，化简，从而求出数列的通项。
把方程的思想运用于数列中，实现了知识的交汇，有利于提高学生的解题能力。
关键词高中数学数列通项韦达定理巧解数列
中图分类号：G633.6 文献标识码：A DOI：10.16400/ki.kjdkz.2017.12.036
Abstract This paper presents a new way to treat symmetric quadratic expression whose adjacent terms are consecutive from the angle of quadratic equation of one unknown. It is based on Viete theorem to simplify and reduce the order of the equations so as to calculate the general term of sequence. Applying the method of equations realizes the comprehensive use of knowledge and can help improve students’ problem solving ability.
Keywords high school mathematics； general term of sequence；Viete theorem； clever solution to the progression problems
求数列的通项公式是数列问题中的重要题型之一，它通常作为解题的着眼点和关键点，是高考中的重点，比赛中的难点。
在求解数列通项问题中，一种是已知数列类型和数列中的几项求通项，另一种是由给出的递推式求通项，所以求解通项公式的方法灵活、策略多变。
而对于二次多项递推式，由于项数较多且二次项比较难处理，很难通过常规方法解决。
但是从二次方程的角度去联想，若能利用二次方程的韦达定理，通过两个根找到新的关系式，就能够起到化繁为简的作用，有意想不到的效果。
对于形如的连续两项的对称二次式，可以利用韦达定理求出通项。
解：已知
整理得
①
由于其为对称式，交换①式中和可得
②
②式中用代替得到
③
①③式说明了和是方程
的两根，由韦达定理
从而化为二阶非齐次线性递推数列，下面依照二阶非齐次线性递推数列解法求解即可。
若则
令
化为等差数列
若，令，
此时与比较得，
令有
即转化为二阶齐次线性递推数列的形式，运用二阶齐次线性递推数列通项公式，如下：
若
若
从而
其中
若
从而
其中
虽然有时给出的递推式不易观察出为连续（下转第175页）（上接第79页）两项的对称二次式，如无理递推式，但可化为连续两项的对称二次式，这是因为要利用韦达定理，必须符合一元二次方程的结构，由于找到两根和一元二次方程是通过数列的脚注变动实现的，所以这就要求了递推式的结构和系数，必须要符合连续两项的对称二次式的结构。
例1：已知，，求
解：，
令，解得
按整理：
按整理：
说和是方程的两根
由韦达定理
令
点评：观察到递推式有二次和对称的特点，展开之后分别选择不同的主元进行变形，再通过变动脚注的方法使结构符合一元二次方程并确定两根。
例2：已知数列满足，，求此数列的通项公式。
解：由
移项平方得①
用代替上式的得
②
由①②知，为二次方程的两个不等根，由韦达定理得，
这是一个二阶线性递推数列，其特征方程为
则特征根为，，故其通项为
由及，可得，于是满足下列方程组
解得
点评：处理根式最直接的方式就是平方，虽然递推式看上去没有对称性，但经过平方后依然符合要求。
运用韦达定理后得到二阶线性递推数列，需要用特征方程的方法来继续完成。
此题递推式平方后可以进行因式分解，可与使用韦达定理得到相同的答案。
参考文献
[1] 高焕江.二阶线性递推数列的通项[J].保定学院学报，2010-05-25.
[2] 唐擘.递推数列的通项公式[J].科技创新导报，2010-04-11.。