不定积分公式
常用不定积分公式
常用不定积分公式1. 基本积分公式：对于n不等于-1的任意实数，有∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C，其中C为常数。
2. 幂函数积分公式：∫a^x dx = (a^x)/ln(a) + C，其中a为大于0且不等于1的常数，C为常数。
3.基本三角函数积分公式：(1) ∫sin(x) dx = -cos(x) + C(2) ∫cos(x) dx = sin(x) + C(3) ∫sec^2(x) dx = tan(x) + C(4) ∫csc^2(x) dx = -cot(x) + C(5) ∫sec(x)tan(x) dx = sec(x) + C(6) ∫csc(x)cot(x) dx = -csc(x) + C4.基本指数函数积分公式：(1) ∫e^x dx = e^x + C(2) ∫a^x(ln(a)/a^x) dx = a^x + C，其中a为大于0且不等于1的常数，C为常数。
5.基本对数函数积分公式：(1) ∫1/x dx = ln，x， + C(2) ∫ln(x) dx = x(ln，x， - 1) + C6.基本双曲函数积分公式：(1) ∫sinh(x) dx = cosh(x) + C(2) ∫cosh(x) dx = sinh(x) + C(3) ∫sech^2(x) dx = tanh(x) + C(4) ∫csech^2(x) dx = -coth(x) + C(5) ∫sech(x)tanh(x) dx = -sech(x) + C(6) ∫csech(x)coth(x) dx = -csech(x) + C7. 部分积分法：对于两个可导函数u(x)和v(x)，有∫u(x)v'(x) dx = u(x)v(x) - ∫v(x)u'(x) dx。
8. 代换法：对于一个可导函数u(g(x))，有∫u'(g(x))g'(x) dx =∫u'(u) du。
不定积分常用公式大全
不定积分常用公式大全有很多的同学是非常的想知道，不定积分常用公式有哪些，小编整理了相关信息，希望会对大家有所帮助！不定积分常用公式有哪些1）∫0dx=c 不定积分的定义2）∫x^udx=(x^(u+1))/(u+1)+c3）∫1/xdx=ln|x|+c4)∫a^xdx=(a^x)/lna+c5）∫e^xdx=e^x+c6）∫sinxdx=-cosx+c7）∫cosxdx=sinx+c8）∫1/(cosx)^2dx=tanx+c9）∫1/(sinx)^2dx=-cotx+c10）∫1/√（1-x^2) dx=arcsinx+c11）∫1/(1+x^2)dx=arctanx+c12）∫1/(a^2-x^2)dx=(1/2a)ln|(a+x)/(a-x)|+c13）∫secxdx=ln|secx+tanx|+c 基本积分公式14）∫1/(a^2+x^2)dx=1/a*arctan(x/a)+c15）∫1/√(a^2-x^2) dx=(1/a)*arcsin(x/a)+c16) ∫sec^2 x dx=tanx+c;17) ∫shx dx=chx+c;18) ∫chx dx=shx+c;19) ∫thx dx=ln(chx)+c;不定积分解题技巧个人经验首先，要知道一下，不定积分其实就是求导的逆运算，就像下面的公式；只不过在后面加上常数C，因为加上C与不加C的导数结果一样，毕竟，常数的导数为0嘛。
下图是书上的公式以验证词步骤。
其次，我们要谈论对第一类换元法的理解，所谓的第一类换元其实就是一种拼凑利用f'(x)dx=df(x)；而前面的剩下的正好是关于f（x）的函数，再把f（x）看为一个整体，求出最终的结果。
（用换元法说，就是把f（x）换为t，再换回来）分布积分，就那固定的几种类型，无非就是三角函数乘上x，或者指数函数、对数函数乘上一个x这类的，我认为比较好的记忆方法是把其中一部分利用上面提到的f‘（x）dx=df（x）变形，再用∫xdf(x)=f(x)x-∫f（x）dx这样的公式，当然x可以换成其他g（x）。
不定积分公式运算法则
不定积分公式运算法则
不定积分（Indefinite Integral）是指求函数的原函数的过程，也称为积分的逆运算。
不定积分的计算公式有
多种，主要包括：常数反演公式、幂公式、三角函数公
式、对数公式、指数公式以及反三角函数公式。
这些公式
的详细表述如下：
1.常数反演公式：∫cf(x)dx = c∫f(x)dx + C
2.幂公式：∫x^nf(x)dx = x^(n+1)/(n+1)f(x) + C
3.三角函数公式：∫sin(x)f(x)dx = -cos(x)f(x) + C
∫cos(x)f(x)dx = sin(x)f(x) + C
∫tan(x)f(x)dx = ln|sec(x)| + C
4.对数公式：∫ln(x)f(x)dx = xln(x) - x + C
5.指数公式：∫e^xf(x)dx = e^xf(x) + C
6.反三角函数公式：∫arcsin(x)f(x)dx = √(1-x^2) +
C
∫arccos(x)f(x)dx = √(1-x^2) + C
∫arctan(x)f(x)dx = x + C
不定积分运算法则包括线性公式、分部积分公式和常系数线性微分方程的通解公式。
不定积分公式总结
不定积分公式总结不定积分是微积分中的一项重要内容，它是定积分的逆运算。
在不定积分中，我们需要找到原函数，即原函数的导函数为被积函数。
在实际运算中，我们会使用一系列的公式和方法来求解不定积分。
以下是一些常用的不定积分公式总结。
1. 线性函数：对于形如 f(x) = ax + b 的线性函数，其不定积分为F(x) = (1/2)ax^2 + bx + C，其中 a、b 和 C 为常数。
2.幂函数：不定积分的幂函数公式为F(x)=(1/(n+1))x^(n+1)+C，其中n为实数且n≠-1、例如，对于x^3的不定积分，结果为F(x)=(1/4)x^4+C。
3. 指数函数：不定积分的指数函数公式为 F(x) = (1/a^x * ln，a，) + C，其中 a 为正实数且a ≠ 1、例如，对于 2^x 的不定积分，结果为 F(x) = (1/ln2)2^x + C。
4. 对数函数：不定积分的对数函数公式为 F(x) = x * (ln，x， - 1) + C。
5. 三角函数：不定积分的三角函数公式包括正弦函数、余弦函数、正切函数和余切函数等。
例如，正弦函数的不定积分为 F(x) = -cos(x) + C，余弦函数的不定积分为 F(x) = sin(x) + C。
6. 反三角函数：不定积分的反三角函数公式为 F(x) = arcsin(x) +C 或 F(x) = arccos(x) + C。
其中，arcsin(x) 表示 x 的反正弦函数。
7. 代换法：对于一些复杂的函数，我们可以通过代换来简化积分运算。
常用的代换方法包括令 u = g(x)，然后求 du/dx，并将原函数中的x 替换为 u。
8.部分分式分解法：对于一些有理函数，我们可以将其进行部分分式分解，然后再分别求不定积分。
9. 分部积分法：分部积分法是一个用于简化一些积分的方法。
其公式为∫(u * dv) = uv - ∫(v * du)。
这个公式通过不断的选取 u 和dv 来进行迭代，从而简化复杂函数的积分。
不定积分公式大全24个
不定积分公式大全24个不定积分公式大全24个具体如下：1、∫x^ndx=x^(n+1)/(n+1) +C, 其中n≠-1.2、∫1/xdx=ln|x|+C, 即当n=-1时的幂函数类型.3、∫x/(a+bx)dx=(bx-aln|a+bx|)/b^2+C.4、∫x/(a+bx)^2dx=(a/(a+bx)+ln|a+bx|)/b^2+C.5、∫x^2/(a+bx)dx=(-bx(2a-bx)/2+a^2ln|a+bx|)/b^3+C.6、∫x^2/(a+bx)^2dx=(bx-a^2/(a+bx)-2aln|a+bx|)/b^3+C.7、∫x^2/(a+bx)^3dx=(2a/(a+bx)-a^2/(2(a+bx)^2)+ln|a+bx|)/b^3 +C.8、∫1/(x(a+bx))dx=ln|x/(a+bx)| /a+C.含有二次二项式的平方和差类型有如下的基本公式：（其中结果出现反三角函数的也可以归为反三角函数类型）9、∫1/(a^2+x^2)dx=arctan(x/a) /a+C. 特别地，当a=1时，∫1/(1+x^2)dx=arctanx+C.10、∫1/(x^2-a^2)dx= -∫1/(a^2-x^2)dx= ln|(x-a)/(x+a)|/(2a)+C.11、∫1/根号(a^2-x^2)dx= arcsin (x/a)+C. 特别地，当a=1时，∫1/根号(1-x^2)dx= arcsinx +C.12、∫1/(x根号(x^2-a^2))dx= arccos (a/x) /a+C. 特别地，当a=1时，∫1/(x根号(x^2-1))dx= arccos(1/x)+C.三角函数类型不定积分公式有很多，以下列举出最常见的，它们都是成对出现的：13、∫sinxdx=-cosx+C；∫cosxdx=sinx+C.14、∫(sinx)^2dx=(x-sinxcosx)/2+C；∫(cosx)^2dx=(x+sinxcosx)/2+C.15、∫xsinxdx=sinx-xcosx+C；∫xcosxdx=cosx+xsinx+C.16、∫tanxdx=-ln|cosx|+C；∫cotxdx=ln|sinx|+C.17、∫(tanx)^2dx=-x+tanx+C；∫(cotx)^2dx=-x-cotx+C.18、∫secxdx=ln|secx+tanx|+C; ∫cscxdx=ln|cscx-cotx|+C.19、∫(secx)^2dx=tanx+C；∫(cscx)^2dx=-cotx+C.同样也有反三角函数类型的不定积分公式：20、∫arcsinxdx=xarcsinx+根号(1-x^2)+C；∫arccosxdx=xarccosx-根号(1-x^2)+C21、∫arctanxdx=xarctanx-ln(1+x^2) /2+C；∫arccotxdx=xarccotx+ln(1+x^2) /2+C.22、∫arcsecxdx=xarcsecx-ln|x+根号(x^2-1)|+C；∫arccscxdx=xarccscx+ln|x+根号(x^2-1)|+C.最后是指数函数和对数函数形式的不定积分公式：23、∫a^xdx=a^x /lna+C, 特别地，当a=e时，∫exdx=ex+C.24、∫lnxdx=x(lnx-1) +C.。
不定积分常用公式
不定积分常用公式
1.不定积分的基本公式：。
∫f(x)dx = F(x) + C 。
其中，f(x)是待积函数，F(x)是关于x的变量的一次积分，C是关于常数的常量。
2.单变量的不定积分公式：。
∫ax^n+bx^(n-1)+cx^(n-2)+...dx =
(1/(n+1))x^(n+1)+b/(n)x^n+c/(n-1)x^(n-1)+...+C 。
3.高阶不定积分公式：。
∫d[ax^n+bx^(n-1)+cx^(n-2)+...](dx) =
ax^(n+1)/(n+1)+bx^n/(n)+cx^(n-1)/(n-1)+...+C 。
4.一般不定积分公式：。
∫f(x)dx = F(x)+C，其中f(x)不依赖于x的常数，F(x)由不同的变量构成。
5.合变量不定积分公式：。
∫f(x, y)dxdy = F(x,y)+C，其中f(x,y)是两个变量的函数，F(x,y)是两个变量的积分函数及常数C。
6.二重不定积分公式：。
∫∫f(x, y)dxdy = F(x,y)+C，其中f(x,y)表示二重变量的函数，
F(x,y)表示二重变量的积分函数，C是常量。
7.三重不定积分公式：。
∫∫∫f(x, y, z)dxdy dz = F(x,y,z)+C，其中f(x,y,z)表示三重变量的函数，F(x,y,z)表示三重变量的积分函数，C是常量。
不定积分的公式
不定积分的公式
1 不定积分的概念
不定积分是积分的一种，也是微积分的研究的重要内容。
它的特点在于由于它的正文函数为不定函数，无法求出它的定积分。
最著名的不定积分就是椭圆积分，它是求解椭圆方程和其他几何问题的重要工具。
2 不定积分的公式
不定积分具体的公式表示为：∫f (x)dx=F (x)+C。
其中，f (x)是正文函数，F (x)是f (x)的一阶微分，C是任意常数，表示以原点为X轴横坐标，以f (x)的值为Y轴纵坐标构成的空间曲线围起来的区域的面积的积分。
3 解决不定积分的方法
利用几何意义解决不定积分的问题是一种比较有效的方法，这种方法首先要把不定积分的问题转化为几何问题，然后利用几何图形的几何规律，求解问题的结果，这样就可以解决不定积分的问题。
4 椭圆积分
椭圆积分是十分具有代表性的不定积分，它是求解椭圆方程和其他几何问题的重要工具，椭圆积分的正文函数类型是具有一个参数的一元余弦函数和余切函数，其椭圆积分的公式为：
∫(a+bcosx)dx=asinx+b/2sinx。
总之，不定积分是微积分的研究很重要的内容之一，它的正文函数通常是不定函数，其公式为∫f (x)dx=F (x)+C，可以利用几何意义来解决不定积分问题，而椭圆积分是十分具有代表性的不定积分。
不定积分常用公式
不定积分常用公式1.幂函数的不定积分幂函数的不定积分是最基础也是最常见的一类不定积分，形如∫ x^n dx，其中n为实数，x为自变量。
(1) 若n不等于-1，那么有∫ x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C，其中C为常数。
(2) 若n等于-1，即∫ x^(-1) dx，那么∫ x^(-1) dx = ln，x， + C（其中x不等于0），其中ln，x，表示x的自然对数。
幂函数的不定积分经常运用到求曲线的弧长、面积等问题中。
2.三角函数的不定积分三角函数的不定积分也是非常常见的一类不定积分，以下为常用的三角函数的不定积分公式：(1) ∫ sin(x) dx = -cos(x) + C(2) ∫ cos(x) dx = sin(x) + C(3) ∫ tan(x) dx = -ln，cos(x)， + C(4) ∫ cot(x) dx = ln，sin(x)， + C(5) ∫ sec(x) dx = ln，sec(x) + tan(x)， + C(6) ∫ csc(x) dx = ln，csc(x) - cot(x)， + C这些公式可以用于解决三角恒等式的证明问题，以及求解与三角函数相关的积分问题等。
3.指数函数的不定积分指数函数的不定积分也是常见的一类不定积分，以下是一些常用的指数函数的不定积分公式：(1) ∫ e^x dx = e^x + C(2) ∫ a^x dx = (a^x)/(ln(a)) + C （其中a为大于0且不等于1的常数）这些公式可以用于求解与指数函数相关的积分问题。
4.对数函数的不定积分对数函数的不定积分也是常见的一类不定积分，以下是两个常用的对数函数的不定积分公式：(1) ∫ ln(x) dx = xln(x) - x + C(2) ∫ log_a(x) dx = (xln_a(x))/(ln(a)) + C （其中a为大于0且不等于1的常数）这些公式可以用于求解与对数函数相关的积分问题。
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Ch4、不定积分§1、不定积分的概念与性质1、 原函数与不定积分定义1：若)()(x f x F ='，则称)(x F 为)(x f 的原函数。
① 连续函数一定有原函数；② 若)(x F 为)(x f 的原函数，则C x F +)(也为)(x f 的原函数； 事实上，())()()(''x f x F C x F ==+③ )(x f 的任意两个原函数仅相差一个常数。
事实上，由[]0)()()()()()('2'1'11=-=-=-x f x f x F x F x F x F ，得C x F x F =-)()(21 故C x F +)(表示了)(x f 的所有原函数，其中)(x F 为)(x f 的一个原函数。
定义2：)(x f 的所有原函数称为)(x f 的不定积分，记为⎰dx x f )(，⎰-积分号，-)(x f 被积函数，-x 积分变量。
显然C x F dx x f +=⎰)()(例1、 求下列函数的不定积分①⎰+=C kx kdx②⎰⎪⎩⎪⎨⎧-=+-≠++=+1ln 1111μμμμμC x C x dx x2、 基本积分表（共24个基本积分公式）3、 不定积分的性质 ①[]⎰⎰⎰±=±dxx g dx x f dx x g x f )()()()(②⎰⎰≠=)0()()(k dxx f k dxx kf例2、 求下列不定积分①⎰⎰+-=++-==+--C xC xdx xxdx 11)2(11)2(22②⎰⎰+=++-==+--Cx C xdx xxdx 21)21(11)21(21③⎰+-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--C x x dx x x arctan 3arcsin 5131522④()()()Cx e e xdx dx e dx x e xxx x +-=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎰⎰⎰ln 21ln 2121ππππ⑤()⎰⎰⎰++-=-=-C x x xdx x xdx dx x x x csc cot cot csc csc cot csc csc 2 ⑥⎰⎰⎰⎰++-=+=+=C x x xdx xdx dx xx xx xx dx tan cot seccsc cossincossincossin22222222⑦()⎰⎰+--=-=Cx x dx x dx x cot 1csccot 22⑧⎰⎰⎰++-=⎪⎭⎫⎝⎛++-=++-=+C x x x dx x x dx xx dx xxarctan 3111111113222424§2、不定积分的换元法一、 第一类换元法（凑微分法） 1、()()()()b ax d adx b ax d b ax f adx b axf +=++=+⎰⎰1,1即例1、求不定积分①()Cx udu ux x xd xdx +-===⎰⎰⎰)5cos(51sin 51555sin 515sin②()()()()⎰⎰+--=+-+⋅-=---=-+Cx C x x d x dx x 81777211612117121)21(212121③()())20(arctan 111222C a x a a x a x d a xa dx +⎪⎭⎫⎝⎛=+=+⎰⎰④()())23(arcsin 1222Ca x a x a x d xa dx +⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=-⎰⎰2、()()nn nnn ndxdx xdx xf ndx xx f ==--⎰⎰11,1即例2、求不定积分①()()()()Cx C x xd x dx x x +--=+-+⋅-=---=-+⎰⎰23212122121221311112111211②()Cexd edx e x xxx +-=--=---⎰⎰333323131③⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x d dx x C x x d x dx xx111sin 11cos1cos122④⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+==x d dx x Cx x d x dx xx21sin 2cos2cos3、,tan sec,sin cos ,cos sin ,,ln 12x d xdx x d xdx x d xdx de dx e x d dx xx x ==-===,,arcsin 11,arctan 11,sec tan sec 222222x a d dx xa x x d dx xx d dx xx d xdx x ±±=±=-=+=例3、 求不定积分①⎰⎰⎰+=+-=-==)16(sec ln cos ln cos cos cos sin tan Cx C x x x d dx x xxdx ②⎰⎰⎰+-=+===)17(cos ln sin ln sin sin sin cos cot C x C x xxd dx xxxdx③()()()⎰⎰⎰++=++=++=)18(tan sec ln tan sec tan sec tan sec tan sec sec sec C x x x x x x d dx x x x x x xdx ④()()()⎰⎰⎰+-=--=--=)19(cot csc ln cot csc cot csc cot csc cot csc csc csc Cx x xx x x d dx x x x x x xdx⑤()⎰⎰+==Cx xx d dx xx ln ln ln ln ln 1⑥()()()⎰⎰++=++=+Cx x x d x x dx1tan ln 1tan 1tan tan1cos2⑦()()⎰⎰++=++=+C e ee d dx e exxxxx 1ln 111⑧()()⎰⎰++-=+-+=+C ex eee edx xxxxx1ln 111⑨()⎰⎰+=+=+C e ede dx eexx x xx arctan 1122⑩()C exd edx exxxxx+-=+--=++-+-+-⎰⎰2122121211例4、求不定积分①⎰⎰⎰⎰⎪⎭⎫⎝⎛++---=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-a x a x d a x a x d a dx a x a x a ax dx )()(21112122)22)(21(ln 21Cax a x a++-=②dx x x dx xx x dx xx x ⎰⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=+--+=+--2222213113112 ()()C x xx xdxx x d x +-+-=+-++-=⎰⎰arctan31ln 211311212222③()()⎰⎰⎰⎰+--+-+-=+---=+--413525221526222152422222x dxx x x x d dx x xx dx x x x()Cx x x +--+-=21arctan2352ln 212④()Cx x x xd x dx xxdx +-=⋅-=-=⎰⎰⎰2sin 412122cos 21212122cos 1sin 2⑤()⎰⎰+--=+=Cx x dx x x xdx x 2cos 418cos 1612sin 8sin213cos 5sin⑥⎰⎰⎰⎰+====Cx x xd xx x d x xdxdx xx sin ln ln sin ln sin ln sin ln sinsin sin ln sincos sin ln cot⑦C x x xx d xdx dx xx x dx+-=+=-=+⎰⎰⎰⎰cos 1tan cos cos seccos sin 1sin 1222⑧()⎰⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛+=+=+44csc 214sin 2sin cos πππx d x x dx xx dxCx x +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=4cot 4csc ln 21ππ二、 第二类换元法 1、三角代换例1、dx x a ⎰-22解：令)cos (sin t a t a x 或=，则tdt a dx t a xa cos ,cos 22==-原式=()⎰⎰⎰⎰⎪⎭⎫⎝⎛+=+=⋅t td dt a dt tatdt a t a 22cos 21222cos 1cos cos 22C ax a ax aax aC t at a+-⋅⋅⋅+=++=22222224arcsin22sin 42Cx a x ax a +-+=22221arcsin 21例2、()()C ax a x a x d xa dx +=-=-⎰⎰arcsin1222解：令t a x sin =原式=⎰⎰+=+==Cax C t dt ta tdt a arcsincos cos例3、⎰+22xa dx解：令)cot (tan t a t a x 或=，则tdt a dx t a x a 222sec ,sec ==+原式=()⎰⎰+⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=++==C a x aa x C t t tdt ta tdt a 222ln tan sec ln sec sec sec())24(ln 22Cax x +++=例4、⎰+42x x dx解：令)cot (tan t a t a x 或=，则tdt dx t x 22sec 2,sec 24==+ 原式=()⎰⎰+⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=++==C a x aa x C t t tdt ta tdt a 222ln tan sec ln sec sec sec例5、⎰-22ax dx解：令)csc (sec t a t a x 或=，则tdt t a dx t a ax tan sec ,tan 22==-原式=()⎰⎰+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=++==c aa x a xC t t tdt ta tdtt a 22ln tan sec ln sec tan tan sec())25(ln 22C a x x +-+=例6、⎰-dx xx 92解：令t a x sec =，则tdt t dx t x tan sec 3,tan 392==- 原式=()()⎰⎰⎰+-=-==⋅Ct t t tdt tdt t tt tan 31sec 3tan3tan sec 3sec 3tan 322Cxx C x x +--=+⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=3arccos393arccos 39322小结：)(x f 中含有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+-222222a x a x x a 可考虑用代换⎪⎩⎪⎨⎧===t a x t a x t a x sec tan sin2、无理代换例7、⎰++311x dx解：令dt t dx t x t x 2333,1,1=-==+则原式=()⎰⎰⎰+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=++-=+C t t t dt t t dt tt tdt t 1ln 231113111313222()()Cx x x +++++-+=333211ln 313123例8、()⎰+31xx dx解：令dt t dx t x t x 5666,,===则原式=()()⎰⎰⎰+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+=+C t t dt t dt tttt dt t arctan 611161616222235()Cx x +-=66arctan 6例9、⎰+dx xx x11解：令()22212,11,1--=-==+ttdtdx t x t xx 则原式=()()⎰⎰⎰+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=--=⎪⎪⎭⎫⎝⎛---C t t t dt t dt t t t tdtt t 11ln 212111212121222222Cxx x x xx +++-+-+-=11ln12例10、⎰+xedx 1解：令()12,1ln ,122-=-==+t tdt dx t x t e x 则原式⎰⎰+++-+=++-⋅=-=-⋅=C ee C t t t dt dt t t txx 1111ln11ln21212121224、 倒代换例11、()⎰+46x x dx解：令()2676,4111,1tdt dx ttx x tx -=+=+=则原式()()C x xC t t t d tdt t ++=++-=++-=+-=⎰⎰4ln24114ln 2411414241416666666()Cx x ++-=4ln 241ln 416§3、分部积分法分部积分公式：()()V U UV V U V U V U UV '-'=''+'=',()⎰⎰⎰'-'='VdxU dx UV dx V U ，故⎰⎰-=VdU UVUdV（前后相乘）（前后交换）例1、⎰xdx x cos⎰⎰++=-==Cx x x xdx x x x xd cos sin sinsin sin例2、⎰dx xe x⎰⎰+-=-==Ce xedx exexdexxxxx例3、⎰xdx ln ⎰⎰+-=⋅-=-=Cx x x dx xx x x x xd x x ln 1ln ln ln或解：令t e x t x ==,ln原式C x x x C e te dt e te tde t t t t t +-=+-=-==⎰⎰ln 例4、⎰xdx arcsin()⎰⎰⎰+-+=--+=--=-=Cxx x xx d x x dxx x x x x xd x x 22221arcsin1121arcsin 1arcsin arcsin arcsin或解：令t x t x sin ,arcsin ==原式C x x x C t t t tdt t t t td +-+=++=-==⎰⎰21arcsin cos sin sin sin sin 例5、⎰xdx e x sin()⎰⎰⎰⎰⎰--=+-=-=-==xdxex x ex d ex e x e xdex e xdx e x e xdexxxxxxxx xxsin cos sincos cos sin cos sin cos sin sin故()Cx x exdx e xx +-=⎰cos sin 21sin例6、⎰dxxx 2cosCx x x xdx x x x xd+-=-==⎰⎰sec ln tan tantan tan例7、()⎰++dx x x 21ln()()()Cx xx x dxxx xx x dx xx x x x x x x ++-++=+-++=++++⋅-++=⎰⎰222222211ln 11ln 1111ln§4、两种典型积分一、有理函数的积分有理函数01110111)()()(b x b xb xb a x a x a x a x Q x P x R m m mm n n n n ++++++++==---- 可用待定系数法化为部分分式，然后积分。