复变函数与积分变换答案(马柏林、李丹横、晏华辉)修订版,习题2

y
v ex ( y cos y x sin y) ex (sin y) ex ( y cos y x sin y sin y) x
v ex (cos y y( sin y ) x cos y) ex (cos y y sin y x cos y ) y
所以 u
v ,
u
v
xy
y
x
所以 f( z)处处可导，处处解析 .
v
xy
y
x
所以 v xv,v源自xyv ,即 u u v v 0
y
xyxy
从而 v 为常数， u 为常数，即 f(z)为常数 .
(3) Ref (z)=常数 .
证明：因为 Ref(z)为常数，即 u=C1, u x
u0 y
因为 f( z)解析， C-R 条件成立。故 u x
u 0 即 u=C2 y
从而 f( z)为常数 .
而 lim u x, y x, y 0,0
x 3 y3
lim
x, y 0,0
x2
y2
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7
—
∵
x3 x2
y3 y2
xy x y 1 x2 y2
∴ 0≤
x3 x2
y3 3 y2 ≤ 2 x
y
x3 y3
∴
lim
x, y 0,0
x2
y2
0
同理
x3
lim
x, y 0,0
x2
y3 y2
0
∴ lim f z 0 f 0 x, y 0,0
证明：因为 f ( z) 0 ，所以 u x
u 0, v
y
x
v 0.
y
所以 u,v 为常数，于是 f(z)为常数 .
(2) f ( z) 解析 .
证明：设 f ( z) u iv 在 D 内解析 ,则
u ( v) u
v
xy
x
y
u
( v)
v
y
x
y
u
v
uv
,
x
y
yx
而 f(z)为解析函数，所以 u u , u
x y i( x y) x2 y2
x i y i( x iy) x2 y2
( x i y)(1 i) x2 y2
z(1 i)
2
z
1i .
z
所以 f( z)除 z=0 外处处可导，且 f ( z)
(1 i) z2
.
6. 试判断下列函数的可导性与解析性 . (1) f ( z) xy2 i x2 y ;
2
所以
lim
( x, y) (0,0)
x3 y x4 y2
0
f (0)
所以 f( z)在整个 z 平面连续 .
5. 下列函数在何处求导？并求其导数 . (1) f ( z) (z 1)n 1 (n 为正整数 )；
解：因为 n 为正整数，所以 f(z) 在整个 z 平面上可导 . f (z) n(z 1)n 1 .
f (z)
u
v i
ex ( x cos y
y sin y
xx
ex cos y ie x sin y x(e x cos y
z
z
z
z
e xe iye e (1 z)
cos y) i(e x ( y cos y x sin y sin y)) iex sin y) iy (ex cos y ie x sin y)
4
4
uv
x 5 ,y 3
4
4
u 所以 5 2
4
v
u2
3 2 2即 5 2
4
2
v2 3 2 1 ，表示椭圆 .
2
2. 在映射 w
2
z
下，下列
z 平面上的图形映射为
w 平面上的什么图形，设 w ei 或
w u iv . （ 1） 0 r 2, π； 4 (3) x=a, y=b.(a, b 为实数 )
（ 2） 0 r 2,0
∴f (z)在 z=0 处连续．
(2) 考察极限 lim f (z) f 0
z0
z
当 z 沿虚轴趋向于零时， z=iy，有
1 lim f iy f 0 y 0 iy
1 lim y 0iy
y3 1 i y2
当 z 沿实轴趋向于零时， z=x，有
1 lim f x x 0x 它们分别为
f0 1i
u i v, v i u
证明： u (x, y) ex ( x cos y y sin y ),
v(x, y)=e x ( y cos y x sin y ) 处处可微，且
ux
x
x
e (x cos y ysin y) e (cos y) e ( xcos y ysin y cos y)
x
ux
x
e ( x sin y sin y y cos y) e ( x sin y sin y y cos y)
z2
(2)
f ( z)
(z
1)(z2
. 1)
解：因为 f(z) 为有理函数，所以 f(z) 在 (z 1)( z2 1) 0 处不可导 .
从而 f( z)除 z 1, z i 外可导 .
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3
—
( z 2) ( z 1)( z2 1) (z 1)[( z 1)(z2 1)]
f (z)
(z 1)2( z2 1)2
(4) Im f (z)=常数 .
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5
—
证明：与（ 3）类似，由 v=C1 得 v x
v0 y
因为 f(z) 解析，由 C-R 方程得 u x
u 0 ,即 u=C2 y
所以 f( z)为常数 .
5. |f(z)|=常数 . 证明：因为 |f (z)|=C，对 C 进行讨论 . 若 C=0，则 u=0,v=0,f (z)=0 为常数 .
u 3x2 3y2, x
u 6 xy,
y
v 6xy ,
x
v 3x 2 3 y2 y
所以 f( z)在全平面上满足 C-R 方程，处处可导，处处解析 .
f (z)
u i v 3 x2 3 y2 6xyi 3( x2 y 2 2xyi) 3z2 . xx
(2) f ( z) ex (x cos y y sin y) ie x ( y cos y x sin y) .
xy x2 y2
k 1 k2 ,
因为当 k 取不同值时， f(z)的取值不同，所以
从而 f( z)在 z=0 处不连续，除 z=0 外连续 .
f(z)在 z=0 处极限不存在 .
(2) f ( z)
x3y x4 y2 , 0,
z 0, z 0.
解：因为 0
3
xy x4 y2
x3 y 2 x2 y
x ,
u
u
v
0
x
x
解得 u v u v 0 ，即 u,v 为常数，于是 f(z)为常数 . x xy y
8. 设 f (z)=my3+nx 2y+i( x 3+lxy 2)在 z 平面上解析，求 解：因为 f(z) 解析，从而满足 C-R 条件 .
u 2nxy,
x
u
2
2
3my nx
y
v
2
2
3x ly ,
x
2
x ,v(x, y)
2
y 在全平面上可微 .
u 2 x,
x
u 0,
y
v 0,
x
v 2y
y
只有当 z=0 时,即 (0,0)处有 u
vu ,
v .
x yy
y
所以 f( z)在 z=0 处可导，在全平面上不解析 .
(3) f ( z) 2x 3 3iy 3 ;
解： u( x, y) 2 x3, v( x, y) 3 y3 在全平面上可微 .
π .
4
2
—
(3) 记 w u iv ，则将直线 x=a 映成了 u a2 y 2, v 2ay. 即 v2 4a2 (a 2 u). 是以原点为焦
点，张口向左的抛物线将
y=b 映成了 u
2
x
2
b ,v
2 xb.
即 v2 4b 2 (b 2 u) 是以原点为焦点，张口向右抛物线如图所示
.
3. 求下列极限 .
习题二
1 1. 求映射 w z 下圆周 | z | 2 的像 .
z 解：设 z x i y, w u i v 则
1
x iy
x
y
u i v x iy x i y x iy x2 y 2 x x 2 y 2 i( y x 2 y 2 )
因为 x 2
y2
4 ,所以 u
iv
5 x
3 yi
44
所以 u 5 x , v 3 y
x
xy y
∴ u v, u
v
xy y
x
∴满足 C-R 条件．
1 i．
(3) 当 z 沿 y=x 趋向于零时，有
3
3
f x i x f 0,0
x 1i x 1i i
lim
xy 0
x ix
lim
xy 0
3
2x 1 i
1i
∴ lim f 不存在．即 f(z) 在 z=0 处不可导． z0 z
11. 设区域 D 位于上半平面， D 1 是 D 关于 x 轴的对称区域，若 f(z) 在区域 D 内解析，求证
u ( x, y) x3 xy2, v( x, y) y 3 x 2 y