高等数学 简明二阶微分方程讲义
二阶阶微分方程的解法及应用课件
参数法是一种求解二阶微分方程的方法，通 过引入参数，将微分方程转化为关于参数的 常微分方程。这种方法适用于具有特定形式 的一阶和二阶微分方程，特别是当微分方程 的解与某个参数有关时。通过求解关于参数 的常微分方程，我们可以找到微分方程的解
二阶阶微分方程的解法及应用课件
目 录
• 二阶阶微分方程的基本概念 • 二阶阶微分方程的解法 • 二阶阶微分方程的应用 • 二阶阶微分方程的数值解法 • 二阶阶微分方程的边界值问题
01 二阶阶微分方程的基本概 念
二阶阶微分方程的定义
二阶阶微分方程是包含两个未知函数 和它们的二阶导数的方程。
二阶阶微分方程的一般形式为 F(x, y, y', y''...) = 0，其中 F 是一个给定的函 数，x 和 y 是未知函数及其导数。
供需模型
01
二阶微分方程可以用来描述商品价格随时间和供需关系的变化
。
投资回报
02
在金融领域，二阶微分方程可以用来预测股票价格的变化和投
资回报。
经济增长
03
在研究经济增长时，二阶微分方程可以用来描述人均收入随时
间的变化。
在工程中的应用
控制系统
在自动化和控制工程中，二阶微分方程被用来描述系 统的动态响应和稳定性。
一维边界值问题
一维边界值问题是指求解一个关于一个自变量的二阶微分方程，同时给出该自变 量在两个特定点的取值条件。
一维边界值问题通常用于描述一个物理系统在一维空间中的行为，例如弦的振动 、波的传播等。解决这类问题通常需要使用打靶法、有限差分法等数值方法。
多维边界值问题
多维边界值问题是指求解一个关于多个自变量的二阶微分方 程组，同时给出这些自变量在多维空间中的边界条件。
二阶微分方程 (3)
二阶微分方程什么是二阶微分方程？在数学中，二阶微分方程是一个含有两个未知函数的微分方程。
它的一般形式可以表示为：a(x)y''(x) + b(x)y'(x) + c(x)y(x) = F(x)其中y(x)是未知函数，y'(x)和y''(x)分别表示y(x)的一阶和二阶导数。
a(x)、b(x)、c(x)和F(x)是已知函数。
通过求解二阶微分方程，我们可以找到函数y(x)的表达式，从而得到其图形和性质。
二阶微分方程的解法1. 齐次线性二阶微分方程的解法齐次线性二阶微分方程是指F(x) = 0的情况。
对于齐次线性二阶微分方程，我们可以使用特征方程的方法来求解。
具体步骤如下：1.将二阶微分方程变形为标准形式：y''(x) + p(x)y'(x) + q(x)y(x)= 0。
2.假设y(x) = e^(rx)是方程的解，代入方程得到特征方程r^2 +p(x)r + q(x) = 0。
3.解特征方程得到两个不同的根r1和r2。
4.根据根的情况，分为三种不同的情况讨论：–当r1和r2都为实数时，解的形式为y(x) = C1e^(r1x) + C2e^(r2x)，其中C1和C2是常数。
–当r1和r2为共轭复数时，解的形式为y(x) =e^(ax)(C1cosbx + C2sinbx)，其中C1和C2是常数，a和b是实数。
–当r1和r2相等且为实数时，解的形式为y(x) = (C1 + C2x)e^(rx)，其中C1和C2是常数。
2. 非齐次线性二阶微分方程的解法非齐次线性二阶微分方程是指F(x) ≠ 0的情况。
对于非齐次线性二阶微分方程，我们可以使用常数变易法来求解。
具体步骤如下：1.首先求解对应的齐次线性二阶微分方程，得到通解y_c(x)。
2.假设非齐次线性二阶微分方程的特解为y_p(x)，代入方程得到一个与F(x)相关的方程。
3.根据F(x)的形式选择合适的猜测函数，并代入方程求解特解y_p(x)。
高数 第九章-二阶线性微分方程(第3节)
定理 4 若二阶非齐次线性微分方程（3）中, f (x) = f1 (x) + f 2 (x) ,即
y′′ + P(x) y′ + Q(x) y = f1 (x) + f2 (x) ,
而 y1∗ (x) 和 y2∗ (x) 分别是方程
通 解 中 应 该 含 有 两 个 相 互 独 立 的 任 意 常 数 C1 和 C2 . 例 如 y1(x) 是 方 程 （ 1 ） 的 一 个 解 ， 则
y2 (x) = 2 y1(x) 也是方程（1）的解，但由于
y =C1 y1 + C2 y2 =(C1 + 2C2 ) y1(x) =Cy1(x) （其中 C= C1 + 2C2 ），
解特征方程为
r2 + 4r + 4 =0 ,
解得 r1 = r2 = −2 ，是两个相等的实根, 故所求方程的通解为
=y (C1 + C2 x)e−2x .
例 3 求微分方程 y′′ + 2 y′ + 5 y = 0 的通解.
解 特征方程为
r2 + 2r + 5 =0 ,
解得 r1 =−1+ 2i , r2 =−1− 2i ,是一对共轭复根,故所求方程的通解为
(b0 xm
+ b1xm−1
分方程通解的和.实际上,对于二阶非齐次线性微分方程也有同样的结构. 下面讨论二阶非齐次线性微分方程
y′′ + P(x) y′ + Q(x) y = f (x) （3）
通解的结构.
定理 3如果 y∗ (x) 是二阶非齐次线性微分方程（3）的一个特解, Y (x) 是对应的齐次方程（1）
高数第4章第5节——二阶常系数线性微分方程
例3 已知 y = x 及 y = sinx 为某二阶齐次线性 微分 方程的解 , 求该方程 .
解
例4
解
(1)
由题设可得：
2 2
p( x)2x
0, 1
x3
p( x)( ) x2
f ( x),
解此方程组，得
p( x) 1 , x
线性相关
存在不全为 0 的
使
线性无关
常数
思考:
中有一个恒为 0, 则 必线性 相关
例如 y y 0, 有解 y1 cos x, y2 sin x,
复习: 一阶线性方程 通解:
齐次方程通解Y 非齐次方程特解
2.二阶非齐次线性微分方程解的结构
定理 4.5.3
是二阶非齐次方程 ①
的一个特解, Y (x) 是相应齐次方程的通解,则 ②
的方程称为二阶常系数齐次线性微分方程.
二阶常系数齐次线性方程解法
-----特征方程法
设 y erx , 将其代入上方程, 得
(r 2 pr q)erx 0
erx 0,
故有
特征方程
特征根
r1,2 p
p2 4q , 2
特征根
(1) 特征方程有两个不相等的实根
特征根为r1 p
6Ax 2B x,
A 1,B0, 6
原方程通解为
例13
解 对应齐次方程为 特征方程为 r 2 2r 1 0,
特征根为 r1 r2 1, 故对应齐次方程的通解为 Y (C1 C2 x)e x . 1 是特征方程二重根, 可设 y x2( Ax B)e x ,
代入原方程, 得 6Ax 2B x 1, A 1 , B 1 ,
二阶微分方程
二阶微分方程二阶微分方程作为微积分中的一种常用形式，它的求解方法十分重要。
本文将围绕二阶微分方程的基本定义、求解方法及其应用展开讲述。
一、二阶微分方程的基本定义及形式二阶微分方程指的是形如 $y''+P(x)y'+Q(x)y=f(x)$ 的微分方程。
其中$y$ 表示一个未知函数，$P(x)$ 和$Q(x)$ 是已知函数，$f(x)$ 是已知的函数。
二阶微分方程中的 $y''$ 表示未知函数 $y$ 的二阶导数，$y'$ 表示 $y$ 的一阶导数。
$P(x)$ 和 $Q(x)$ 是已知函数，它们可能包含 $x$ 或 $y$，甚至二者的组合。
$f(x)$ 是已知的函数，它是一个关于 $x$ 的函数，通常是我们要寻求的解函数。
二阶微分方程是高阶微分方程的一个特例。
如果方程中只包含 $y''$ 与 $y$，则称为二阶常系数齐次微分方程。
二阶微分方程的一些常见形式：1. $y''+p(x)y'+q(x)y=g(x)$，这是二阶非齐次线性微分方程的一般形式。
2. $y''+w(x)y=0$，这是二阶齐次线性微分方程的一般形式。
3. $y''-c^2y=0$，这是二阶常系数齐次微分方程的一般形式，其中 $c$ 是常数。
二、二阶微分方程的求解方法1. 变量分离法当二阶微分方程形如 $y''=f(x)$ 时，我们可以用变量分离法求解。
首先将方程两边同时积分得到 $y'=F(x)+C_1$，再次积分得到$y=\\int[F(x)+C_1]dx+C_2$，其中 $C_1$ 和 $C_2$ 分别是积分常数。
2. 特征方程法对于形如 $y''+ay'+by=0$ 的二阶常系数齐次微分方程，我们可以采用特征方程法求解。
首先设 $y=e^{mx}$，代入方程得到 $m^2+am+b=0$，这就是所谓的特征方程。
二阶微分方程(PPT课件)
积分，得
例2
dy 2 f ( y )dy C1
x C2 .
求单摆运动微分方程
d 2 g sin 0 2 dt l
的通解.
解
g f ( ) sin l
代入上面的公式，得
6
5.3 二阶微分方程（92）
积分得
d g C1 2 sin d l d g C1 2 cos l
C1e x C2 x 2 3.
5.3 二阶微分方程（92） 19
课堂练习题
一、求下列各微分方程的通解:
2 x 1、 y xe ；
1 x y y x e 2、 ； x
3、 y ( y ) y ；
3
2 2 y 0. 4、 y 1 y
与地球中心的距离为 l ( R),
5.3 二阶微分方程（92）
dy 设物体的位置函数 y y( t ) ，速度 v ( t ) dt
根据万有引力定律，得 微分方程：
d2 y kmM d2 y kM m 2 2 , 即 2 . 2 dt y dt y
M为地球的质量， k为引力常数 .初始条件为 y |t 0 l , y |t 0 0.
dy p g( x , C1 ) dx
求其反函数，得 积分，得
y g( x, C1 )dx C2 .
5.3 二阶微分方程（92） 8
若 ( p) x C1 的反函数不易求出，两边对 y 求导得:
dp 1 ( p ) , dy p 分离变量并求积分，得
y p ( p)dp C2 .
y T M H A
gs
dp 1 1 p2 , dx a dp x 1 p2 a C1 ,
二阶微分方程教学课件
再积分，得
即
所以
于是所求的特解为
*
为了求出它的解，
利用复合函数的求导法则，
于是方程(4)就变为
这是一个关于变量 y , p 的一阶微分方程 .
设它的通解为
分离变量并积分，得方程(4)的通解为
方程
(4)
中不显含自变量 x ．
*
例4
解
方程不显含自变量 x ，
定理1
这个定理表明了线性齐次微分方程的解具有叠加性．
叠加起来的解(7)从形式上看含有 与 两个任意常数，但它还不一定是方程(6)的通解．
先讨论二阶常系数线性齐次微分方程
(6)
的解的结构．
那么
(7)
也是方程(6)的解，其中是任意常数．
*
那么在什么情况下(7)式才是(6)式的通解呢？
因此，我们可以设想二阶常系数齐次方程式的特解也是一个指数函数 ，只要求出 r ,便可得到方程(6)的解．
如果函数 是常系数线性齐次微分方程(6)的两个线性无关的特解，那么
*
所以上式要成立就必须有
(8)
反之，若r是方程(8)的一个根，
特征方程为
特征根为
*
综上所述，
的根
特征方程
方程
通解
两个不相等的实根
两个相等的实根
一对共轭复根
(3) 根据两个特征根的不同情况，按照下表写出微分方程(6)的通解：
求二阶常系数线性齐次微分方程
的通解步骤如下：
（6）
(2) 求出特征方程的两个根 与 ；
(1) 写出方程对应的特征方程 ；
特征方程的根称为特征根．
3. 二阶偏微分方程
§3 二阶偏微分方程一、 二阶偏微分方程的分类、标准形式与特征方程考虑二阶偏微分方程()0),,,,,,(111,2=∂∂∂∂+∂∂∂∑=n nnj i j i ij x u x u u x x F y x u x a (1) 式中a ij (x )=a ij (x 1,x 2,…,x n )为x 1,x 2,…,x n 的已知函数.[特征方程·特征方向·特征曲面·特征平面·特征锥面]代数方程()01,=∑=nj i jiijaa x a称为二阶方程(1)的特征方程；这里a 1,a 2,…,a n 是某些参数，且有012≠∑=ni ia.如果点x ︒=(x 1︒,x 2︒,…,x n ︒)满足特征方程，即()01,o =∑=nj i jiijaa x a则过x ︒的平面()01o=-∑=nk kk k x x a 的法线方向l :(a 1,a 2,…,a n )称为二阶方程的特征方向；如果一个(n 1-)维曲面，其每点的法线方向都是特征方向，则称此曲面为特征曲面；过一点的(n 1-)维平面，如其法线方向为特征方向，则称这个平面为特征平面，在一点由特征平面的包络组成的锥面称为特征锥面.[n 个自变量方程的分类与标准形式] 在点P (x 1︒,x 2︒,…,x n ︒)，根据二次型()∑=nj i jinijaa x x x a 1,o o 2o 1,,, (a i 为参量)的特征根的符号，可将方程分为四类：(i) 特征根同号，都不为零，称方程在点P 为椭圆型.(ii) 特征根都不为零，有n 1-个具有同一种符号 ，余下一个符号相反，称方程在点P 为双曲型.(iii) 特征根都不为零，有m n -个具有同一种符号(n >m >1)，其余m 个具有另一种符号，称方程在点P 为超双曲型.(iv) 特征根至少有一个是零，称方程在点P 为抛物型.若在区域D 内每一点方程为椭圆型，双曲型或抛物型，则分别称方程在区域D 内是椭圆型、双曲型或抛物型.在点P 作自变量的线性变换可将方程化为标准形式：椭圆型：∑==+∂∂ni ix u1220Φ双曲型：∑==+∂∂-∂∂n i ix ux u 22120Φ超双曲型：()10112222>>=+∂∂-∂∂∑∑=+=m n x ux u mi nm i ii Φ抛物型：()00122>=+∂∂∑-=m x umn i iΦ式中Φ为不包含二阶导数的项.[两个自变量方程的分类与标准形式] 方程的一般形式为0,,,,222222122211=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂+∂∂+∂∂∂+∂∂y u x u u y x F y u a y x u a x u a (2) a 11,a 12,a 22为x ,y 的二次连续可微函数，不同时为零. 方程a 11d y 22-a 12d x d y +a 22d x 2=0称为方程(2)的特征方程.特征方程的积分曲线称为二阶方程(2)的特征曲线. 在某点P (x 0,y 0)的邻域D 内，根据Δ=a 122－a 11a 12的符号将方程分类： 当Δ>0时，方程为双曲型； 当Δ=0时，方程为抛物型； 当Δ<0时，方程为椭圆型.在点P 的邻域D 内作变量替换，可将方程化为标准形式：（i ） 双曲型：因Δ>0，存在两族实特征曲线11),(c y x =ϕ，22),(c y x =ϕ，作变换),(1y x ϕξ=，),(2y x ϕη=和,,ηηξ-=+=s t s 方程化为标准形式),,,,(2222t us u u t s t u s u ∂∂∂∂=∂∂-∂∂Φ 或),,,,(12ηξηξΦηξ∂∂∂∂=∂∂∂uu u u （ii ） 抛物型: 因Δ=0，只存在一族实的特征曲线c y x =),(ϕ，取二次连续可微函数),(y x ψ，使0),(),(≠∂∂y x ψϕ，作变换),(y x ϕξ=，),(y x ψη=，方程化为标准形式),,,,(222ηξηξΦη∂∂∂∂=∂∂uu u u （iii ） 椭圆型：因Δ<0，不存在实特征曲线，设c y x i y x y x =+=),(),(),(21ϕϕϕ为11221121212d d a a a a a x y -+=的积分，y x ϕϕ,不同时为零，作变量替换),(1y x ϕξ=，),(2y x ϕη=,方程化为标准形式),,,,(32222ηξηξΦηξ∂∂∂∂=∂∂+∂∂uu u u u二、 极值原理·能量积分·定解问题的惟一性定理椭圆型方程、抛物型方程的极值原理及双曲型方程的能量守恒原理是相应方程的解所具有的最基本性质之一，在定解问题的研究中起着重要的作用. [椭圆型方程的极值原理与解的惟一性定理]1︒ 极值原理 设D 为n 维欧氏空间E n 的有界区域，S 是D 的边界，在D 内考虑椭圆型方程()()()()x x x x f u c x ub x x u a Lu ni i i n j i j i ij =+∂∂+∂∂∂≡∑∑==11,2式中a ij (x ),b i (x ),c (x ),f (x )在D 上连续，c (x )≤0且二次型()∑=nj i j i ij a a a 1,x 正定，即存在常数μ>0，i ()∑∑==≥ni i n j i j i ij a a a a 121,μx定理1 设u (x )为D 内椭圆型方程的解，它在D 内二次连续可微，在D 上连续，且不是常数，如f (x )≤0（或f (x )≥0），则u (x )不能在D 的内点取非正最小值（或非负最大值）.如果过边界S 上的任一点P 都可作一球，使它在P 点与S 相切且完全包含在区域D 内，则有 定理2 设u (x )为椭圆型方程在D 内二次连续可微，在D 上连续可微的解，且不是常数，并设f (x )≤0（或f (x )≥0）.若u (x )在边界S 上某点M 处取非正最小值（或非负最大值），只要外法向导数错误！未定义书签。
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高等数学简明二阶微分方程讲义
作者：齐睿添
————微分方程的理论帮助了很多工程学,物理学中实际
问题的解决
讨论0. 欧拉公式
欧拉公式在二阶线性齐次常系数方程通解的推导和其非齐次方程的自由项为三角函数时的求解过程中有重要的应用.
讨论1. 二阶常系数线性齐次微分方程
实际问题1.
如图，在水平光滑平面上有一物体在弹簧和阻尼器的牵拉下往复运动.阻力f的大小与物体运动速率成正比，阻力f的方向与速度方向相反（f=-cv）.
物体的位置随时间如何变化？
设位置函数x=x(t)
已知: F弹=-kx,f=-cv
故由牛顿第二定律: 合力=-kx-cv=ma
即a+(c/m)v+(k/m)x=0
得到微分方程：
记
得到形如下式的方程（*）
这便是一个二阶常系数线性齐次微分方程. 其通解如下表所示:
特征方程
(上表的具体推导与证明详见教材P174-177)
可以发现其通解形式是符合物块运动的直观直觉的.
1）如果阻力很大，弹簧弹性弱，那么物块晃动两下很快就会停止. 这种情况下,列出方程的通解应是表中第一条或者第二条.
例如:取m=1kg, k=3, c=4, 一开始物块位置在+0.5m处, 给予它一个初速度-5 m/s.
我们依照数学习惯将时间(自变量)记为x, 将位置(因变量）记为y. 那么方程为: .
特征方程为，有两个不相等实根
通解为
把初值条件带入
求得
故该例的解为
图像
2)如果阻力很小,弹簧的弹性很强,那么物块将反复往返震荡,幅度随时间越来越小.这种情况下方程通解应是上表第三条.
例如: 取m=1kg,c=3,k=4,一开始物块位置在+0.5m处, 给予它一个初速度-5 m/s.
即为
带入初值条件
C_1=1/2, C_2=-17根号7/14
图像为
讨论2. 更高阶的常系数线性齐次微分方程
（上图出自教材P178）
问题1.
求解
（该问题出自教材P181练习）
问题2.
求解
实系数代数方程的虚根成对（共轭复数根）出现，上面的因式分解说明特征方程有一对2重复根.
通解为
讨论3. 高阶线性微分方程通解的结构
1.二阶微分方程的通解包含2个任意常数C,n阶微分方程的通解包含n个任意常数C.
2.线性相关则是指方程的几个解之间是否满足线性关系,即
ay1+by2+...=0当系数a,b...不全为零时等式可以成立,就称这些解为线性相关.必须全为零时才满足则称为线性无关.对于二阶方程而言，y1/y2或者y2/y1为零就是线性相关；y1/y2或者y2/y1是不为零的某一函数就是线性无关.
3.对于n阶线性齐次方程，如果能够找到n个线性无关的特解，那么
方程通解就是C_1y_1(x)+C_2y_2(x)+...+C_ny_n(x)
4.对于n阶线性非齐次方程，如果能找到它的一个特解y*(x) ，且能够找到其对应的齐次方程的通解Y(x),那么原方程通解就是
Y(x)+y*(x).
5.y1,y2是二阶线性非齐次方程的两个不同的解,那么y1-y2就是其对应二阶线性齐次方程的一个解.
(上述定理的具体证明详见教材P162-166)
线性微分方程的通解结构与其微分算子的线性性有很大关系,有兴趣的同学可以参考《常微分方程（第三版）》（王高雄，朱思铭等著）和其配套的《学习辅导》.
讨论4. 常数变易法解二阶线性微分方程
具体推导公式详见教材P168-171
讨论5. 比较系数法解二阶线性常系数非齐次微分方程根据讨论3的第4条.
对于n阶线性非齐次方程，如果能找到它的一个特解y*(x) ，且能够找到其对应的齐次方程的通解Y(x),那么原方程通解就是
Y(x)+y*(x).
实际问题1.
问题2.
问题3.
问题4.
问题5.
对于二阶线性常系数非齐次微分方程的求解，算子法和拉普拉斯变换法有时也是一种清晰简明的方法，但教材中并未提及，有兴趣的同学可以参考《常微分方程（第三版）》（王高雄，朱思铭等著）和其配套的《学习辅导》.
讨论6. 欧拉方程
讨论7. 可降阶的二阶微分方程问题1.
缺y型
问题2.
缺x型。