运筹学
运筹学的基本名词解释汇总
运筹学的基本名词解释汇总运筹学是一门研究如何在有限资源下做出最优决策的学科。
它涵盖了多个子领域，包括线性规划、整数规划、动态规划、网络优化、排队论、决策分析等等。
在本篇文章中，我将深入解释其中一些基本的运筹学名词。
一、线性规划线性规划是运筹学中最常用的方法之一。
它用于解决在给定的约束条件下，如何最大化或最小化一个线性目标函数的问题。
具体来说，线性规划问题可以用如下形式表示：Maximize（或Minimize）：C₁X₁ + C₂X₂ + ... + CnXnSubject to：A₁₁X₁ + A₁₂X₂ + ... + A₁nXn ≤ b₁A₂₁X₁ + A₂₂X₂ + ... + A₂nXn ≤ b₂...An₁X₁ + An₂X₂ + ... + AnnXn ≤ bnX₁, X₂, ..., Xn ≥ 0其中，C₁，C₂，...，Cn为目标函数的系数，X₁，X₂，...，Xn为决策变量，Aij为约束条件的系数，bi为约束条件的右手边。
线性规划在供应链管理、资源分配、生产计划等各个领域都有广泛的应用。
二、整数规划整数规划是线性规划的一个扩展。
在整数规划中，决策变量被限制为整数值，而不仅仅是非负实数。
这在某些情况下更符合实际问题的特点。
整数规划可以用于解决许多实际问题，例如旅行商问题、资源分配问题等。
整数规划的形式与线性规划相似，只是添加了一个约束条件：X₁, X₂, ..., Xn为整数整数规划是一个NP难问题，在实际应用中通常通过割平面法、分支定界法等方法来求解。
三、动态规划动态规划是一种解决多阶段决策问题的方法。
在动态规划中，问题被分解为一系列阶段，每个阶段都有一组决策变量。
每个阶段的决策都基于之前阶段的决策结果，从而达到最优解。
动态规划可以用于解决诸如背包问题、最短路径问题等在实际问题中普遍存在的多阶段决策问题。
四、网络优化网络优化是研究在网络结构下如何优化资源分配和信息流动的方法。
运筹学简介
Operational Research
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运筹学简介
一、运筹学发展简介 二、运筹学的定义 三、运筹学在管理中的应用 四、运筹学的工作步骤 五、运筹学内容介绍
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一、运筹学（OR）发展简介
1. 运筹学在国内
中国古代朴素的运筹学思想
田忌赛马
战国时代，齐王常与他的大将田忌赛马，双方约定每场各 出一匹马，分三场进行比赛。齐王的马有上、中、下三等， 田忌的马也有上、中、下三等，但每一等都比不上齐王同等 的马，于是田忌屡赛屡输。一日，田忌的宾客、对军事颇有 研究的孙膑给田忌出了一个主意，结果以二比一赢了齐王。 即要善于用局部的牺牲去换取全局的胜利,从而达到以弱胜强 的目的——典型的博弈问题.
Operations Research Societies, IFORS).
我国学术界1955年开始研究运筹学时,正是从《史记》中 摘取 “运筹”一词作为OR (Operations Research)的意 译,就是运用筹划、以智取胜的含义.
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2. 运筹学在国外 运筹学的产生
运筹学的早期历史可以追溯到19世纪中叶，特拉法加尔 (Trafalgar)海战和纳尔森(Nelson)秘诀。法国拿破仑统帅 大军要与英国争夺海上霸主地位。英国海军统帅、海军中将 纳尔森亲自制定了周密的战术方案。1805年10月21日，这 场海上大战爆发了。英国是纳尔森亲自统帅的地中海舰队， 由27艘战舰组成；另外一方是由费伦钮夫(Villenuve)率领 的法国-西班牙联合舰队，共有33艘战舰。在一场海战后， 法国-西班牙联合舰队以惨败告终：联合舰队司令费伦钮夫 连同12艘战舰被俘，8艘沉没，仅13艘逃走，人员伤亡 7000人。而英国战舰没有沉没，人员伤亡1663人。
运筹学
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与此同时，运筹数学有了飞快的发展，并形成了运筹的 许多分支。如数学规划（线性规划、非线性规划、整数 规划、目标规划、动态规划、随机规划等）、图论与网 络、排队论（随机服务系统理论）、存储论、对策论、 决策论、维修更新理论、搜索论、可靠性和质量管理等。
注：兰德公司是美国最重要的以军事为主的综合性战略 研究机构。它先以研究军事尖端科学技术和重大军事战 略而著称于世，继而又扩展到内外政策各方面，逐渐发 展成为一个研究政治、军事、经济科技、社会等各方面 的综合性思想库，被誉为现代智囊的“大脑集中营”、 “超级军事学院”，以及世界智囊团的开创者和代言人。 它可以说是当今美国乃至世界最负盛名的决策咨询机构。
优化员工安排，以最低成本服务客户
每年节约成本4.06亿美元，销 售额大幅增加 每年节约成本380万美元
每年节约成本1500万美元， 年收入大幅增加。 每年节约成本1300万美元
优化配置上千个国内航线航班来实现利润 每年节约成本1亿美元 最大化
线性规划
(Linear Programming)
本章主要内容：
Interface上发表的部分获奖项目
应用
效果
在满足乘客需求的前提下，以最低成本进 行订票及机场工作班次安排
优化炼油程序及产品供应、配送和营销
每年节约成本600万美元 每年节约成本7000万
优化商业用户的电话销售中心选址
控制成本库存（制定最优再定购点和定购 量确保安全库存） 制定最优铁路时刻表并调整铁路日运营量
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第一定义强调以量化为基础，必然要用数学。但任何决策都 包含定量和定性两方面，而定性方面又不能简单地用数学表 示，如政治、社会等因素，只有综合多种因素的决策才是全 面的。 第二定义表明运筹学具有与多学科交叉的特点，如综合运用 经济学、心理学、物理学、化学中的一些方法。 第三定义说明，运筹学是强调最优决策，“最”是过分理想 了，在实际生活中往往用次优、满意等概念代替最优。
运筹学的定义
运筹学的定义
运筹学是一门研究决策的学科，它综合了数学、统计学、信息学、经济学、管理学等多个领域的知识和技术，旨在通过科学的方法来解决实际问题。
运筹学在现代社会中拥有广泛的应用，涉及到许多领域，如物流、交通、金融、医疗、能源等。
运筹学的主要目标在于找到最优解决方案。
例如，在物流领域，如何在有限的时间内将货物运输到目的地，同时降低运输成本；在金融领域，如何通过科学的投资策略来最大化收益，同时降低风险。
这些问题都可以通过运筹学的方法来解决。
为了实现这些目标，运筹学应用了许多技术和方法。
其中最常用的是线性规划，即在一组约束条件下最小化或最大化一个线性函数。
除此之外，运筹学还包括非线性规划、整数规划、动态规划、图论、排队论、模拟等等方法。
这些方法都有不同的应用场景，可以根据具体问题的特点选择最合适的方法。
运筹学的应用不仅限于商业领域，也可以用于解决社会问题。
例如，在医疗领域，如何最大化患者的生存率，同时降低医疗成本；在能源领域，如何通过科学的能源规划来提高能源利用效率，降低污染和排放。
这些问题都需要运筹学的方法来提供解决方案。
运筹学是一门非常实用的学科，它可以为我们提供科学的决策方法，解决实际问题。
随着科技的发展和社会的进步，运筹学的应用范围
也将更加广泛。
我们应该深入学习和应用运筹学的知识和方法，为实现更高效、更节约、更可持续的社会发展做出贡献。
什么是运筹学
什么是运筹学
什么是运筹学？在说明这个问题之前，先介绍我国古代的一个小故事：战国时候，齐国的国王和大夫田忌在临淄赛马。
他们各有上马、中马、下马，竞赛分三场进行，每场以千金作赌注。
拿相同等级的马比较，齐王的马都比田忌的好，田忌因马力不及，屡败失金。
当时有田忌门客孙膑献策，以下马对齐王的上马，以上马对齐王的中马，以中马对齐王的下马。
结果，田忌两胜一负，赢得千金。
可以说，这里就包含有扑素的运筹学的思想。
运筹，是运算、筹划的意思。
运筹学作为一门崭新的数学学科，是近二十年来逐渐形成的。
它是一种科学方法（主要是数学方法），它能帮助我们在规定的条件和要求下，在复杂的数量关系中，找到最合理最有效的方案。
它包括规划论、排队论、博奕论等很多分支。
规划论又分线性规划、非线性规划、动态规划等。
当前在我国应用最广的是线性规划。
线性规划，主要是研究如何用最少的人力、物力去最大限度地完成任务的问题。
大至国民经济，小至家庭生活，都有用它的地方。
它的主要方法，有图上作业法、表上作业法、解乘数法和单纯形法等。
应用这些方法可以解决车辆合理调度、物资合理调拨、邮递路线的布置、劳力安排、作物布局、麦场设置、农田水利合理规划等等各方面问题。
运筹学课件PPT课件
整数规划的解法
总结词
整数规划的解法可以分为精确解法和近似解法两大类。
详细描述
整数规划的解法可以分为两大类，一类是精确解法，另一类是近似解法。精确解法包括割平面法、分支定界法等， 这些方法可以找到整数规划的精确最优解。而近似解法包括启发式算法、元启发式算法等，这些方法可以找到整 数规划的近似最优解，但不一定能保证找到最优解。
模拟退火算法采用Metropolis准则来 判断是否接受一个较差解，即如果新 解的能量比当前解的能量低，或者新 解的能量虽然较高但接受的概率足够 小，则接受新解。
模拟退火算法的应用
01
模拟退火算法在旅行商问题中得到了广泛应用。通过模拟退火算 法，可以求解旅行商问题的最优解，即在给定一组城市和每对城 市之间的距离后，求解访问每个城市恰好一次并返回出发城市的 最短路径。
动态规划的解法
确定问题的阶段和状态
首先需要确定问题的阶段和状态，以便将问 题分解为子问题。
建立状态转移方程
根据问题的特性，建立状态转移方程，描述 状态之间的转移关系。
求解子问题
求解每个子问题，并存储其解以供将来使用。
递推求解
从最后一个阶段开始，通过递推方式向前求 解每个阶段的最优解。
动态规划的应用
线性规划的解法
单纯形法
01
单纯形法是求解线性规划问题的经典方法，通过迭代过程逐步
找到最优解。
对偶理论
02
对偶理论是线性规划的一个重要概念，它通过引入对偶问题来
简化求解过程。
分解算法
03
分解算法是将大规模线性规划问题分解为若干个小问题，分别
求解后再综合得到最优解。
线性规划的应用
生产计划
线性规划可以用于生产计划问题， 通过优化资源配置和生产流程， 提高生产效率和利润。
运筹学概述一、运筹学的定义 运筹学(Operational Research...
运筹学研究的模型主要是抽 象模型——数学模型。数学模型 的基本特点是用一些数学关系 （数学方程、逻辑关系等）来描 述被研究对象的实际关系（技术 关系、物理定律、外部环境等）。
运筹学模型的一个显著 特点是它们大部分为最优化 模型。一般来说，运筹学模 型都有一个目标函数和一系 列的约束条件，模型的目标 是在满足约束条件的前提下 使目标函数最大化或最小化。
3、系统性
运筹学用系统的观点来分析 一个组织或系统），它着眼于整 个系统而不是一个局部，通过协调 各组成部分之间的关系和利害冲突， 使整个系统达到最优状态。
4、综合性
运筹学研究是一种综合性的 研究，它涉及问题的方方面面，应 用多学科的知识，因此，要由一个 各方面的专家组成的小组来完成。
三、运筹学模型
都江堰水利工程
丁谓的皇宫修复工程 北宋年间，丁谓负责修复火毁的开 封皇宫。他的施工方案是：先将工程 皇宫前的一条大街挖成一条大沟，将 大沟与汴水相通。使用挖出的土就地 制砖，令与汴水相连形成的河道承担 繁重的运输任务；修复工程完成后， 实施大沟排水，并将原废墟物回填， 修复成原来的大街。丁谓将取材、生 产、运输及废墟物的处理用“一沟三 用”巧妙地解决了。
二、运筹学研究的特点
1、科学性 （1）它是在科学方法论的指导下通 过一系列规范化步骤进行的；
（2）它是广泛利用多种学科的科学 技术知识进行的研究。运筹学研究不 仅仅涉及数学，还要涉及经济科学、 系统科学、工程物理科学等其他学科。
2、实践性
运筹学以实际问题为分析对象， 通过鉴别问题的性质、系统的目标 以及系统内主要变量之间的关系， 利用数学方法达到对系统进行最优 化的目的。更为重要的是分析获得 的结果要能被实践检验，并被用来 指导实际系统的运行。
(名词解释)运筹学
(名词解释)运筹学
运筹学是一门研究如何在有限资源下做出最佳决策的学科。
它
涉及数学、统计学和计算机科学等多个领域，旨在找到最优解决方
案以最大程度地满足特定目标或约束条件。
运筹学的应用范围非常
广泛，包括生产调度、物流管理、供应链优化、交通规划、金融风
险管理等诸多领域。
在运筹学中，常用的方法包括线性规划、整数规划、动态规划、排队论、模拟等。
线性规划用于解决线性约束条件下的最优化问题，整数规划则是在变量为整数时的最优化问题，动态规划通过分阶段
决策来解决多阶段问题，排队论则研究排队系统的性能指标，模拟
则是通过构建模型来模拟实际系统的运行情况。
运筹学的发展历史可以追溯到二战期间，当时运筹学被用于军
事决策和战争规划，随后逐渐应用于工业生产和商业管理领域。
如今，随着信息技术的发展，运筹学在大数据分析、人工智能和机器
学习等方面也得到了广泛应用。
总的来说，运筹学致力于通过科学的方法和技术手段，帮助人
们做出最佳决策，提高资源利用效率，降低成本，优化系统运行，对于提升生产效率和管理水平具有重要意义。
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运筹学课程设计报告书专业班级：信息与计算科学10-1班姓名：指导教师：日期：2012/07/12黑龙江工程学院数学系2012年07月12日一．课程设计的目的和意义运筹学是一门多学科的定量优化技术，为了从理论与实践的结合上，提高学生应用运筹学方法与计算机软件的独立工作能力，本着“突出建模，结合软件，加强应用”的指导思想，以学生自己动手为主，对一些实际题目进行构模，再运用计算机软件进行求解，对解进行检验和评价，写出课程设计报告。
二．课程设计的时间本课程设计时间1周。
三．课程设计的基本任务和要求由于不同的同学选择的方向不同，因此给出如下两种要求，完成其一即可：1．选择建模的同学：利用运筹学基本知识对所选案例建立合适的数学模型，然后利用winQSB、LINDO、LINGO或者其它数学软件进行求解；2．选择编程的同学：根据运筹学基本原理以及所掌握的计算机语言知识，对于运筹学中部分算法编写高级语言的具有可用性的程序软件。
四．课程设计的问题叙述网络中的服务及设施布局长虹街道今年来建立了11个居民小区,各小区的大致位置及相互间的道路距离(单位: 100 m)如图所示，各居民小区数为：①3000，②3500，③3700，④5000，⑤30000，⑥2500，⑦2800，⑧4500，⑨3300，⑩4000，○113500。
试帮助决策：（a）在11个小区内准备共建一套医务所、邮局、储蓄所、综合超市等服务设施，应建于哪一小区，使对居民总体来说感到方便；（b）电信部门拟将宽带网铺设到各小区，应如何铺设最为经济；（c）一个考察小组从①出发，经⑤、⑧、⑩小区（考察顺序不限），最后到小区⑨再离去，试帮助选择一条最短的考察路线。
五． 模型的假设与建立1、对于问题（a ）,用最短距离的矩阵算法建立邻接矩阵用matlab 求解。
定义ij d 为图中相邻点的距离，若i 与j 不相邻，令ij d =inf(表示无穷)，由此⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=Inf 665Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf 6InfInf Inf 5Inf Inf Inf Inf Inf Inf 6InfInf 4Inf 76Inf Inf Inf Inf 5Inf 4Inf 4Inf 86Inf Inf Inf Inf 5Inf 4Inf Inf Inf Inf Inf Inf 8Inf Inf7Inf Inf Inf 4Inf 5Inf Inf Inf Inf68Inf 4Inf 56Inf Inf Inf InfInf 6Inf Inf 5Inf Inf 56Inf InfInf Inf Inf 56Inf Inf 7Inf Inf InfInf Inf Inf Inf Inf 57Inf 4Inf InfInf Inf 8Inf Inf 6Inf 40D 的矩阵表明从i 点到j 点的直接最短距离。
通过程序求解得到最后矩阵为：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=106659131211181617610129519171523171361284876101215165948411861411129584815121018128131971115849512151217681248561011111510610951011561823121418561110711161715111212105784171316128151161140D D 中的元素ij d 表明网络图中从i 到j 的最短距离，即从① ○11最短距离为17. 因为要在11个小区内建一套服务设施，已知各居民小区数为：①3000，②3500，③3700，④5000，⑤30000，⑥2500，⑦2800，⑧4500，⑨3300，⑩4000，○113500，要想使居民方便只需居民的总路程最短，即只需将上述计算得到D 的所有行分别乘各个小区的居民数，则乘积的数字为假定建立服 务设施时小区的居民所走的路程。
小区建服务设施地点时居民所走的路程 ①② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩ ○11 014000 40700 30000 33000 37500 22400 54000 52800 52000 59500 1200028000 25900 25000 30000 30000 33600 49500 49500 68000 56000 3300024500 37000 55000 18000 12500 50400 63000 39600 92000 63000 1800017500 40700 50000 15000 22500 28000 27000 33000 60000 38500 3300035000 22200 25000 24000 10000 33600 36000 19800 68000 42000 4500042000 18500 45000 12000 20000 42000 49500 23100 76000 45500 2400042000 66600 50000 36000 37500 22400 18000 26400 20000 31500 3600038500 51800 30000 24000 27500 11200 36000 13200 36000 17500 4800052500 44400 50000 18000 17500 22400 18000 26400 48000 21000 3900059500 85100 75000 51000 47500 14000 40500 39600 40000 21000 5100056000 66600 55000 36000 32500 25200 22500 19800 24000 35000 339000 409500 499500 490000 297000 295000 305200 414000 343200 584000430500由表中最后一行可，应服务设施应建在⑥小区。
2、对于问题（2）电信部门拟将宽带网铺设到各小区，铺设最为经济应该在图中找一个最小树，按照最小树铺设最小最小距离为47。
最小树如下：3、对于问题（c），在问题一中求得的D矩阵分别是各个小区之间的最短路。
考察小组从①出发，经⑤、⑧、⑩小区（考察顺序不限），最后到小区⑨再离去，要想达到目的可以从①出发，根据矩阵D找到，到⑤、⑧、⑩得最短路径①④⑤，再从⑤小区出发到⑧、⑩的最短路径⑤⑧同理找到⑨、⑩即⑧⑦⑩○11○11⑨. 六．模型求解（一）、对于问题（a）求解程序：D=[0 4 inf 6 inf inf 8 inf inf inf inf;4 inf 7 5 inf inf inf inf inf inf inf;inf 7 inf inf 6 5 inf inf inf inf inf;6 5 inf inf 5 inf inf 6 inf inf inf;inf inf 6 5 inf 4 inf 8 6 inf inf;inf inf 5 inf 4 inf inf inf 7 inf inf;8 inf inf inf inf inf inf 4 inf 5 inf;inf inf inf 6 8 inf 4 inf 4 inf 5;inf inf inf inf 6 7 inf 4 inf inf 6;inf inf inf inf inf inf 5 inf inf inf 6;inf inf inf inf inf inf inf 5 6 6 inf];n=length(D);for k=1:nfor i=1:nfor j=1:nif 0<D(i,k) & 0<D(k,j)if D(i,j)==0 & i~=jD(i,j)=D(i,k)+D(k,j);ElseD(i,j)=min(D(i,j),D(i,k)+D(k,j));endendendendendm=[3000 3500 3700 5000 3000 2500 2800 4500 3300 4000 3500];for i=1:11;z(:,i)=D(i,:)*m(i)endfor i=1:11;z(12,i)=sum(z(1:11,i))endmin(12,:)（二）、对于问题（b）的求解程序：model:sets:nodes/1..11/:d;roads(nodes,nodes):w,x,p;endsetsdata:w=0 4 999999 6 999999 999999 8 999999 999999 999999 9999994 0 75 999999 999999 999999 999999 999999 999999 999999999999 7 0 999999 6 5 999999 999999 999999 999999 9999996 5 999999 0 5 999999 999999 6 999999 999999 999999999999 999999 6 5 0 4 999999 8 6 999999 999999999999 999999 5 999999 4 0 999999 999999 7 999999 9999998 999999 999999 999999 999999 999999 0 4 999999 5 999999999999 999999 999999 6 8 999999 4 0 4 999999 5999999 999999 999999 999999 6 7 999999 4 0 999999 6999999 999999 999999 999999 999999 999999 5 999999 999999 0 6999999 999999 999999 999999 999999 999999 999999 5 6 6 0; enddatan=@size(nodes);min=@sum(roads(i,j)|i#ne#j:w(i,j)*x(i,j)); !目标函数;@sum(nodes(i)|i#gt#1:x(1,i))>=1; !根至少有一个出口;@for(nodes(i)|i#gt#1:@sum(nodes(j)|j#ne#i:x(j,i))=1; !除根外的点只允许有一个入口;@for(nodes(j)|j#gt#1#and#j#ne#i:d(j)>=d(i)+x(i,j)-(n-2)*(1-x(i,j))+(n-3)*x(j,i););@bnd(1,d(i),999999);d(i)<=n-1-(n-2)*x(1,i); !限制构成圈;);@for(roads:@bin(x)); !零一化;end计算结果为：Global optimal solution found.Objective value: 47.00000Objective bound: 47.00000Infeasibilities: 0.000000Extended solver steps: 0Total solver iterations: 61Variable Value Reduced Cost X( 1, 1) 0.000000 0.000000 X( 1, 2) 1.000000 4.000000 X( 1, 3) 0.000000 999999.0 X( 1, 4) 0.000000 6.000000 X( 1, 5) 0.000000 999999.0 X( 1, 6) 0.000000 999999.0 X( 1, 7) 0.000000 8.000000 X( 1, 8) 0.000000 999999.0 X( 1, 9) 0.000000 999999.0 X( 1, 10) 0.000000 999999.0 X( 1, 11) 0.000000 999999.0 X( 2, 1) 0.000000 4.000000 X( 2, 2) 0.000000 0.000000 X( 2, 3) 0.000000 7.000000 X( 2, 4) 1.000000 5.000000 X( 2, 5) 0.000000 999999.0 X( 2, 6) 0.000000 999999.0 X( 2, 7) 0.000000 999999.0 X( 2, 8) 0.000000 999999.0 X( 2, 9) 0.000000 999999.0 X( 2, 10) 0.000000 999999.0 X( 2, 11) 0.000000 999999.0 X( 3, 1) 0.000000 999999.0 X( 3, 2) 0.000000 7.000000 X( 3, 3) 0.000000 0.000000 X( 3, 4) 0.000000 999999.0 X( 3, 5) 0.000000 6.000000 X( 3, 6) 0.000000 5.000000 X( 3, 7) 0.000000 999999.0 X( 3, 8) 0.000000 999999.0 X( 3, 9) 0.000000 999999.0 X( 3, 10) 0.000000 999999.0 X( 3, 11) 0.000000 999999.0X( 4, 2) 0.000000 5.000000 X( 4, 3) 0.000000 999999.0 X( 4, 4) 0.000000 0.000000 X( 4, 5) 1.000000 5.000000 X( 4, 6) 0.000000 999999.0 X( 4, 7) 0.000000 999999.0 X( 4, 8) 1.000000 6.000000 X( 4, 9) 0.000000 999999.0 X( 4, 10) 0.000000 999999.0 X( 4, 11) 0.000000 999999.0 X( 5, 1) 0.000000 999999.0 X( 5, 2) 0.000000 999999.0 X( 5, 3) 0.000000 6.000000 X( 5, 4) 0.000000 5.000000 X( 5, 5) 0.000000 0.000000 X( 5, 6) 1.000000 4.000000 X( 5, 7) 0.000000 999999.0 X( 5, 8) 0.000000 8.000000 X( 5, 9) 0.000000 6.000000 X( 5, 10) 0.000000 999999.0 X( 5, 11) 0.000000 999999.0 X( 6, 1) 0.000000 999999.0 X( 6, 2) 0.000000 999999.0 X( 6, 3) 1.000000 5.000000 X( 6, 4) 0.000000 999999.0 X( 6, 5) 0.000000 4.000000 X( 6, 6) 0.000000 0.000000 X( 6, 7) 0.000000 999999.0 X( 6, 8) 0.000000 999999.0 X( 6, 9) 0.000000 7.000000 X( 6, 10) 0.000000 999999.0 X( 6, 11) 0.000000 999999.0 X( 7, 1) 0.000000 8.000000 X( 7, 2) 0.000000 999999.0 X( 7, 3) 0.000000 999999.0 X( 7, 4) 0.000000 999999.0 X( 7, 5) 0.000000 999999.0 X( 7, 6) 0.000000 999999.0 X( 7, 7) 0.000000 0.000000 X( 7, 8) 0.000000 4.000000 X( 7, 9) 0.000000 999999.0 X( 7, 10) 1.000000 5.000000 X( 7, 11) 0.000000 999999.0X( 8, 2) 0.000000 999999.0 X( 8, 3) 0.000000 999999.0 X( 8, 4) 0.000000 6.000000 X( 8, 5) 0.000000 8.000000 X( 8, 6) 0.000000 999999.0 X( 8, 7) 1.000000 4.000000 X( 8, 8) 0.000000 0.000000 X( 8, 9) 1.000000 4.000000 X( 8, 10) 0.000000 999999.0 X( 8, 11) 1.000000 5.000000 X( 9, 1) 0.000000 999999.0 X( 9, 2) 0.000000 999999.0 X( 9, 3) 0.000000 999999.0 X( 9, 4) 0.000000 999999.0 X( 9, 5) 0.000000 6.000000 X( 9, 6) 0.000000 7.000000 X( 9, 7) 0.000000 999999.0 X( 9, 8) 0.000000 4.000000 X( 9, 9) 0.000000 0.000000 X( 9, 10) 0.000000 999999.0 X( 9, 11) 0.000000 6.000000 X( 10, 1) 0.000000 999999.0 X( 10, 2) 0.000000 999999.0 X( 10, 3) 0.000000 999999.0 X( 10, 4) 0.000000 999999.0 X( 10, 5) 0.000000 999999.0 X( 10, 6) 0.000000 999999.0 X( 10, 7) 0.000000 5.000000 X( 10, 8) 0.000000 999999.0 X( 10, 9) 0.000000 999999.0 X( 10, 10) 0.000000 0.000000 X( 10, 11) 0.000000 6.000000 X( 11, 1) 0.000000 999999.0 X( 11, 2) 0.000000 999999.0 X( 11, 3) 0.000000 999999.0 X( 11, 4) 0.000000 999999.0 X( 11, 5) 0.000000 999999.0 X( 11, 6) 0.000000 999999.0 X( 11, 7) 0.000000 999999.0 X( 11, 8) 0.000000 5.000000 X( 11, 9) 0.000000 6.000000 X( 11, 10) 0.000000 6.000000 X( 11, 11) 0.000000 0.000000（三）、对于问题（c）于问题（a）求解程序相同。