第五章 比率与回归估计
第5章 平均预测法和回归预测法
第五章 平均预测法和回归预测法第一节 平均预测法一、算术平均预测法1、算术平均预测法是将若干同类观察数据的算术平均数作为预测值的预测方法。
2、算术平均数计算公式nX X X X n+++=21其中，X 为算术平均数，),...,3,2,1(n i X i =为实际观测数据，n 为观察数据的个数。
例5-1 12年来某自学考试科目的合格率分别是0.4 0.6 0.5 0.6 0.6 0.6 0.7 0.5 0.4 0.6 0.5 0.6 试以12年的合格率作为下一年该自学考试科目合格率的预测值。
解：下一年该自学考试科目合格率的预测值为：55.0126.05.06.04.05.07.06.06.06.05.06.04.021=+++++++++++=+++=nX X X X n注意：使用算术平均数时，要特别注意数据的变化规律，如果数据有明显的上升或下降的趋势，则不能采用算术平均预测法。
3、加权平均数计算公式nn n nnn n n w w w X w X w X w X w w w w X w w w w X w w w w X ++++++=++++++++++++= 2122112122121211其中，X 为加权平均数，),...,3,2,1(n i w i =为数据i X 的权重，),...,3,2,1(n i X i =为实际观测数据，n 为观察数据的个数。
例5-2 6年来有一自学考试科目的合格率分别是0.20 0.35 0.25 0.30 0.40 0.35 它们的权重分别为0.1 0.1 0.15 0.15 0.2 0.3 求：6年来该自考科目合格率的加权平均数。
解：6年来该自考科目合格率的加权平均数为：3225.03.02.015.015.01.01.035.03.04.02.03.015.025.015.035.01.02.01.0212211=+++++⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=++++++=nnn w w w X w X w X w X注意：在加权平均数的计算中，权数通常是由有关专家根据掌握的预测对象的本质规律和经验确定的，权数的确定是否合适，直接关系到加权平均的结果，因此权数的选取应该认真对待。
第五章_相关与回归分析(完整版)共163页文档
不良贷款
14
12
10
8
6
4
2
0
0
100
200
300
400
贷款余额 不良贷款与贷款余额的散点图
14
12
10
8
6
4
2
0
0
20
40
贷款项目个数
不良贷款与贷款项目个数 的散点图
统计学
5.2 一元线性回归
一. 一元线性回归模型 二. 参数的最小二乘估计 三. 回归直线的拟合优度 四. 显著性检验
5 - 19
5 - 13
统计学
相关关系的描述与测度
(相关表和散点图)
5 - 14
统计学
完全正线性相关
正线性相关
5 - 15
散点图
(scatter diagram)
完全负线性相关
负线性相关
非线性相关
不相关
统计学
散点图
(例题分析)
【例】一家大型商业银行在多个地区设有分行 ，其业务主要是进行基础设施建设、国家重 点项目建设、固定资产投资等项目的贷款。 近年来，该银行的贷款额平稳增长，但不良 贷款额也有较大比例的提高，这给银行业务 的发展带来较大压力。为弄清楚不良贷款形 成的原因，希望利用银行业务的有关数据做 些定量分析，以便找出控制不良贷款的办法 。下面是该银行所属的25家分行2019年的有 关业务数据
统计学
什么是回归分析？
(Regression)
1. 从一组样本数据出发，确定变量之间的数学 关系式
2. 对这些关系式的可信程度进行各种统计检验 ，并从影响某一特定变量的诸多变量中找出 哪些变量的影响显著，哪些不显著
3. 利用所求的关系式，根据一个或几个变量的 取值来预测或控制另一个特定变量的取值， 并给出这种预测或控制的精确程度
chap 比估计与回归估计
Chap5比估计与回归估计教学要求：重难点：引语：（请学生回顾）前面介绍过的目标量有四个类型：总体均值、总体总量、总体比例、两个指标的总数或均值的比值Ｒ，在简单随机抽样和分层抽样中讨论的目标都是前三类，且它们本质上是一类，相互之间可类推。
本章讨论第四类目标量比值Ｒ的估计，这是第一个问题。
比如服装消费支出占总支出的比值，在校儿童对全体儿童的比重。
其次前面所用的估计量是简单估计，它只涉及所估计的指标本身。
如果有另一个与Ｙ关系密切（比例关系或线性回归关系）的指标Ｘ可作为辅助变量，来构造另一类估计量，即比估计量或回归估计量，来提高估计精度，这是第二问题。
如调查每月每户平均消费，消费通常与每户人口数密切相关，可用每户人口数作为辅助变量，先估计每月每户平均消费与每户人口数的比值Ｒ，然后利用已知的每户平均人口，就可得到每月每户平均消费的估计值。
由于这两个问题之间存在密切的内在关系，因此放在这一章节一起讨论。
5.1比估计1. 基本概念考虑到有两个指标量Ｙ和Ｘ，不妨将总体记为⎭⎬⎫⎩⎨⎧N N X X X Y Y Y ,...,, ,... 2,12,1，对应样本为⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n x x x y y y ,...,,...,2,12,1，如果要估计的是总体比值X YXY R ==，则总体比值Ｒ可用样本的比值 xyR ∆=ˆ进行估计，该估计量称为比值估计量．当调查指标仅为Ｙ，Ｘ为辅助变量时，在∑==Ni iXX 1或NXX Ni i∑==1已知时，Y 和Ｙ可用X R y R ˆ∆= X R N y N Y RR ˆˆ==∆分别进行估计，称为比（比率）估计量．这三者通称为比估计量，它们之间只相差一个常数，相互之间可推导，研究时只选择一个即可．2. 性质我们知道简单估计量是无偏估计，其均值误差等于其方差．但对于比估计量却不具有无偏性，而是渐近无偏．其均值误差与方差有差异，但偏倚不大．可证：对于简单随机抽样，当n 很大时，R RE ≈)ˆ( 1)(1)ˆ()ˆ(122--⋅-≈≈∑=N RX YX n fR V R MSE Ni i i简要证明： xx R y R x y R R-=-=-ˆ 当n 很大时，x X ≈，代入上式分母中，有[]0)(1)()(1)()ˆ(=-=-=-≈-X R Y Xx RE y E X X x R y E R RE 所以，当n 很大时R RE ≈)ˆ(．此时 222()ˆˆˆ()()()E y Rx V R MSE R E R R X-≈=-≈ 对每个总体单元，令),...,2,1(N i RX Y G i i i =-=，对每个样本单元有),...,2,1(n i Rx y g i i i =-=，则其总体均值和样本均值分别为0=-=X R Y G x R y g -=因而 ==-22)()(g E x R y E )()()(2g V g E g V =+＝21G S nf -1)(112---=∑=N G G n fNi i 1)(112---=∑=N RX Y nfNi i i所以，当n 很大时 1)(1)ˆ()ˆ(122--⋅-≈≈∑=N RX YXn fR V RMSE Ni i i此方差的估计量可采用1)ˆ(1)ˆ(1221--⋅-≈∑=n x R yXn fRv ni ii或 1)ˆ(1)ˆ(1222--⋅-≈∑=n x R yx n fRv ni ii说明：这两个方差估计量很难比较谁优谁劣，对不同总体有不同结论。
5第五章 回归模型的函数形式
Y / X 0.79
R2 0.6594
模型选择：
Y / X 20.588*(1/ X 2 ) 1、依据经济理论
R2 0.5153
以及经验判断；
2、辅助于对拟合
优度的比较或是残
差的比较。
14
4、P116例5-8 总成本函数（多项式回归模型）
图5-8 成本—产出关系
15
4、P116例5-8 总成本函数（多项式回归模型）
1、Y对X的斜率
Y / X X每变动1单位，引起Y变动的绝对额
2、弹性
Y / Y X每变动1%，引起Y变动的百分数
X / X
3、增长率
Y / Y X每变动1单位，引起Y变动的百分数
X
3
二、几种典型的变量非线性模型中经济涵义的解读
不变弹性模型 增长率模型
4
三、示例说明 1、P106例5-2 柯布-道格拉斯生产函数（双对数模型） 2、P107例5-4 人口增长率（对数-线性模型） 3、P113例5-6 菲利普斯曲线（倒数模型） 4、P116例5-8 总成本函数（多项式回归模型）
总体显著性检验： H0 : = =0; H1 :和至少一个不为0
p 0.000 0.05所以拒绝H0
9
LnY t 1.6524 0.3397LnLt 0.8460LnKt
R2=0.995 F=1719.23 P值=（0.000）
回归结果经济意义解释：
1、在资本投入保持不变的情况下，劳动投入每增加1%， 产出平均增长约0.34%。在劳动投入保持不变的情况下， 资本投入每增加1%，产出平均增长约0.85%。
2、注意模型中变量的度量比例和单位 3、标准化变量的回归
原因 怎么做？ 如何解释？
计量经济学课件 第5章 回归模型的函数形式
• 模型选择的重点不是在判定系数大小，而是要考 虑进入模型的解释变量之间的相关性（即理论基 础）、解释变量系数的预期符号、变量的统计显 著性、以及弹性系数这样的度量工具。
线性回归模型的弹性系数计算
• 平均弹性：
E
Y X
X Y
B2
X Y
多元对数线性回归模型
• 偏弹性系数的含义： 在其他变量（如，X3）保持不变的条件下，X2 每变动1%，被解释变量Y变动的百分比为B2；
• （3）菲利普斯曲线
被解释变量：英国货币工资变化率，解释变量：失业率 结论：失业率上升，工资增长率会下降。 在自然失业率UN上下，工资变动幅度快慢不同。即失业率低于自然失业率时，工 资随失业率单位变化而上升快于失业率高于自然失业率时工资随失业率单位变化而下 降。
（P113例5-6） 倒数模型： 菲利普斯曲线
依据经济理论，失业率上升，工资增长率会下降；且 当失业率处于不同水平时，工资变动率变动的程度会 不一样，即Y对X 的斜率（Y / X）不会是常数。
Y / X 20.588*(1/ X 2 )
R2 0.6594
模型选择：
1、依据经济理论
以及经验判断；
2、辅助于对拟合
R2 0.5153 Y / X 0.79
1、B1、B2、B4 0； 2、B3 0 3、B32 3B2B4
WHY? —所以经济理论的学习对于模型的建立、选择
和检验有非常关键和重要的意义。 24
四、模型（形式）选择的依据
经济理论
工作经验
1、模型的建立需要正确地理论、合适可用的数据、 对各种模型统计性质的完整理解以及经验判断。
模型选择的基本准则：进入模型中的解释变量的关系（即 理论基础）、解释变量系数的预期符号、弹性系数等经济 指标、统计显著性等
chap5比估计与回归估计-18页文档资料
Chap5比估计与回归估计教学要求： 重难点： 引语：（请学生回顾）前面介绍过的目标量有四个类型：总体均值、总体总量、总体比例、两个指标的总数或均值的比值Ｒ，在简单随机抽样和分层抽样中讨论的目标都是前三类，且它们本质上是一类，相互之间可类推。
本章讨论第四类目标量比值Ｒ的估计，这是第一个问题。
比如服装消费支出占总支出的比值，在校儿童对全体儿童的比重。
其次前面所用的估计量是简单估计，它只涉及所估计的指标本身。
如果有另一个与Ｙ关系密切（比例关系或线性回归关系）的指标Ｘ可作为辅助变量，来构造另一类估计量，即比估计量或回归估计量，来提高估计精度，这是第二问题。
如调查每月每户平均消费，消费通常与每户人口数密切相关，可用每户人口数作为辅助变量，先估计每月每户平均消费与每户人口数的比值Ｒ，然后利用已知的每户平均人口，就可得到每月每户平均消费的估计值。
由于这两个问题之间存在密切的内在关系，因此放在这一章节一起讨论。
5.1比估计1. 基本概念考虑到有两个指标量Ｙ和Ｘ，不妨将总体记为⎭⎬⎫⎩⎨⎧N N X X X Y Y Y ,...,, ,... 2,12,1，对应样本为⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n x x x y y y ,...,,...,2,12,1，如果要估计的是总体比值X YXY R ==，则总体比值Ｒ可用样本的比值 xyR ∆=ˆ进行估计，该估计量称为比值估计量．当调查指标仅为Ｙ，Ｘ为辅助变量时，在∑==Ni iXX 1或NXX Ni i∑==1已知时，Y 和Ｙ可用X R y R ˆ∆= X R N y N Y RR ˆˆ==∆分别进行估计，称为比（比率）估计量．这三者通称为比估计量，它们之间只相差一个常数，相互之间可推导，研究时只选择一个即可．2. 性质我们知道简单估计量是无偏估计，其均值误差等于其方差．但对于比估计量却不具有无偏性，而是渐近无偏．其均值误差与方差有差异，但偏倚不大．可证：对于简单随机抽样，当n 很大时，R RE ≈)ˆ( 1)(1)ˆ()ˆ(122--⋅-≈≈∑=N RX YXn fR V RMSE Ni i i简要证明： xxR y R x y R R-=-=-ˆ 当n 很大时，x X ≈，代入上式分母中，有[]0)(1)()(1)()ˆ(=-=-=-≈-X R Y Xx RE y E X X x R y E R RE 所以，当n 很大时R RE ≈)ˆ(．此时 222()ˆˆˆ()()()E y Rx V R MSE R E R R X -≈=-≈对每个总体单元，令),...,2,1(N i RX Y G i i i =-=，对每个样本单元有),...,2,1(n i Rx y g i i i =-=，则其总体均值和样本均值分别为0=-=X R Y G x R y g -=因而 ==-22)()(g E x R y E )()()(2g V g E g V =+＝21G S nf -1)(112---=∑=N G Gn fNi i1)(112---=∑=N RX YnfNi i i所以，当n 很大时 1)(1)ˆ()ˆ(122--⋅-≈≈∑=N RX YX n fR V RMSE Ni i i此方差的估计量可采用1)ˆ(1)ˆ(1221--⋅-≈∑=n x R yXn fRv ni ii或 1)ˆ(1)ˆ(1222--⋅-≈∑=n x R yxn fRv ni ii说明：这两个方差估计量很难比较谁优谁劣，对不同总体有不同结论。
第五章 回归分析ppt课件
利润率（%）y
12.6
10.4
18.5
3.0
8.1
16.3
12.3
6.2
6.6
16.8
;
110.8
相关系数检验法 第一步，计算相关系数R； 第二步，根据回归模型的自在度〔n-2〕和给定的显 著性程度值α，从相关系数临界值表中查出临界值； 第三步，判别。假设|R|≥Rα(n-2)，阐明两变量之间 线性相关关系显著，检验经过，这时回归模型可以用来 预测；假设|R|< Rα ，阐明两变量之间线性相关关系不 显著，检验不经过。
7173.54
8765.45
1、建立计量模型 ●由经济实际知，消费支出受可支配收入的影
响，两者之间具有正向同步变化的趋势。 ●除可支配收入之外，对消费支出有影响的其
他要素均包含在随机误差项中。 ●模型中，解释变量为年人均可支配收入X，
被解释变量为年人均消费支出Y。
;
模型方式可根据凯恩斯的边沿消费倾向实际建立一元 线形回归模型，也可经过散点图来选择适宜的模型 方式。两变量的散点图如下：
S圆 R2
;
〔2〕相关关系
反映客观事物之间非严厉、不确定的线性 依存关系。
一个变量发生数量变化，要影响另一变量 相应变化
给定一个变量一个数值，另一变量有多个 数值与之对应。
如：月收入与月支出
;
2、回归分析与相关分析
;
3名毕业生月收入与月支出表〔元〕
月收入 X
1800
小王 1500
月支出 Y 小李 小刘 1650 1800
当 月 收 入 为 0 时 ， 为 满 足 日 常 基 本 生 活 需 求 ， 每 月 仍 需 支 出 6 0 0 元 。
第五章回归预测法(教材第五到八章)
yi y 2
i 1
n
b
i 1 n
xi x
n
2
i 1
yi y
2
3 、 回归方程的显著性检验
• 在求出回归系数后，需进行显著性 检验。回归系数的显著性检验有t 检验和F检验，前者是检验单个系 数是否显著的异于零，即对应的自 变量的变化是否显著地影响因变量 的变化，后者是检验所有系数是否 同时为零，但是对于一元线性回归 有 Fα(n-2)=tα/22(n-2), 因 此 只 需 做t检验或F检验即可。
二、变量间的关系
2 、相关关系
1. 变量间关系不能用函数关 系精确表达 2. 一个变量的取值不能由另 一个变量唯一确定 3. 当变量 x 取某个值时， 变量 y 的取值可能有几 个 4. 各观测点分布在直线周围
y
x
二、变量间的关系
相关关系的例子
商品的消费量(y)与居民收入(x)之间的关系
第五章
一元线性回归预测法
• 一、建立一元线性回归模型： • 例：下表给出了某市从90年以来人均 收入和人均消费支出的七组数据
年份 90 91 510 450 92 545 490 93 590 530 94 640 580 95 700 620 96 760 680
人均收入 480 人均消费 420
商品销售额(y)与广告费支出(x)之间的关系 粮食亩产量(y)与施肥量(x1) 、降雨量(x2) 、温度(x3)之间的关系
收入水平(y)与受教育程度(x)之间的关系
父亲身高(y)与子女身高(x)之间的关系
相关关系的类型
相关关系
线性相关 非线性相关 完全相关 正 相 关 负 相 关 不相关