北京市东城区2021届高三上学期期末考试数学试题 含答案
2021届北京市东城区高三上学期期末教学统一检测文科数学试卷
2021年北京市东城区高三上学期期末教学统一检测文科数学试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题 1．已知集合12AxxZ，集合420，，B，则AB
（A）02， （B）420，， （C）4,2,0,1 （D）4,2,1,0,1 2．下列函数中，既是奇函数，又在区间(0+)，上为增函数的是 （A）xyln （B）3yx （C）3xy （D）xysin 3．设xR，则“x＞1”是“2x＞1”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．当4n时，执行如图所示的程序框图，输出的S值为（ ）
A．6 B．8 C．14 D．30 5．已知3cos,(,0)42，则sin2的值为（ ）
A．38 B．38 C．378 D．378 6．如图所示，为了测量某湖泊两侧A，B间的距离，某同学首先选定了与A，B不共线的一点C，然后给出了四种测量方案：（△ABC的角A，B，C所对的边分别记为
a，b，c）
①测量A，C，b ②测量a，b，C ③测量A，B，a ④测量a，b，B 则一定能确定A，B间距离的所有方案的序号为 A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 7．已知向量(1,3)a，(,23)mmb，平面上任意向量c都可以唯一地表示为+cab(,)R，则实数m的取值范围是
（A）(,0)(0,) （B）(,3) （C）(,3)(3,) （D）[3,3) 8．已知两点(1,0)M，(1,0)N，若直线(2)ykx上至少存在三个点P，使得△MNP是直角三角形，则实数k的取值范围是
（A）11[,0)(0,]33
（B）33[,0)(0,]33 （C）11[,]33
北京市东城区2020-2021学年高三上学期期末数学试题
北京市东城区2020-2021学年高三上学期期末数学试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}|1A x x =≤，{|(2)(1)0}B x x x =-+<，那么AB =（ ）A ．{}|12x x -<<B ．{}|11x x -≤<C ．{}|12x x ≤<D ．{}|11x x -<≤ 2．复数(1)z i i =-在复平面内的对应点位于（ ）A ．第一象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第四象限 3．下列函数中，是偶函数，且在区间()0,∞+上单调递增的为（ ）A ．1y x =B ．ln ||y x =C ．2x y =D ．1||y x =- 4．设,a b 为实数，则“0a b >>”是“a b ππ>”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．设α，β是两个不同的平面，,m n 是两条不同的直线，则下列结论中正确的是（ ） A ．若m α⊥，m n ⊥，则//n αB ．若αβ⊥，m α⊥，n β⊥，则m n ⊥C ．若//n α，m n ⊥，则m α⊥D ．若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m n 6．从数字1，2，3，4，5中，取出3个数字（允许重复），组成三位数，各位数字之和等于6，这样的三位数的个数为（ ）A ．7B ．9C ．10D ．137．设α，β是三角形的两个内角，下列结论中正确的是（ ）A ．若2παβ+<，则sin sin αβ+<B ．若2παβ+<，则cos cos αβ+<C ．若2παβ+>，则sin sin 1αβ+> D ．若2παβ+>，则cos cos 1αβ+>8．用平面截圆柱面，当圆柱的轴与α所成角为锐角时，圆柱面的截面是一个椭圆，著名数学家Dandelin 创立的双球实验证明了上述结论.如图所示，将两个大小相同的球嵌入圆柱内，使它们分别位于α的上方和下方，并且与圆柱面和α均相切.给出下列三个结论：①两个球与α的切点是所得椭圆的两个焦点；②若球心距124O O =2；③当圆柱的轴与α所成的角由小变大时，所得椭圆的离心率也由小变大.其中，所有正确结论的序号是（ ）A ．①B ．②③C ．①②D ．①②③二、填空题 9．若双曲线221x y m -=与22132x y -=有相同的焦点，则实数m =_________. 10．能说明“直线0x y m -+=与圆22420x y x y ++-=有两个不同的交点”是真命题的一个m 的值为______.11．在平行四边形ABCD 中，已知AB AC AC AD ⋅=⋅，4AC =，2BD =，则四边形ABCD 的面积是_______.12．已知函数()2sin()(0)f x x ωϕω=+>，曲线()y f x =与直线3y =相交，若存在相邻两个交点间的距离为6π，则ω的所有可能值为__________．三、双空题13．已知{}n a 是各项均为正的等比数列，n S 为其前n 项和，若16a =，2326a a +=，则公比q =________，4S =_________.14．将初始温度为0C ︒的物体放在室温恒定为30C ︒的实验室里，现等时间间隔测量物体温度，将第n 次测量得到的物体温度记为n t ，已知10t C =︒.已知物体温度的变化与实验室和物体温度差成正比（比例系数为k ）.给出以下几个模型，那么能够描述这些测量数据的一个合理模型为__________：（填写模型对应的序号）①130n n n k t t t +-=-；②()130n n n t t k t +-=-；③()130n n t k t +=-. 在上述模型下，设物体温度从5C ︒升到10C ︒所需时间为min a ，从10C ︒上升到15C ︒所需时间为min b ，从15C ︒上升到20C ︒所需时间为min C ，那么a b 与b c 的大小关系是________（用“>”，“=”或“<”号填空）四、解答题15．在ABC ∆中，已知sin cos 0c A C +=.（1）求C ∠的大小；（2）若2b =，c =，求ABC ∆的面积.16．2021年6月，国内的5G 运营牌照开始发放.从2G 到5G ，我们国家的移动通信业务用了不到20年的时间，完成了技术上的飞跃，跻身世界先进水平.为了解高校学生对5G 的消费意愿，2021年8月，从某地在校大学生中随机抽取了1000人进行调查，样本中各类用户分布情况如下：我们将大学生升级5G 时间的早晚与大学生愿意为5G 套餐支付更多的费用作比较，可得出下图的关系（例如早期体验用户中愿意为5G 套餐多支付5元的人数占所有早期体验用户的40%）.（1）从该地高校大学生中随机抽取1人，估计该学生愿意在2021年或2021年之前升级到5G 的概率；（2）从样本的早期体验用户和中期跟随用户中各随机抽取1人，以X 表示这2人中愿意为升级5G 多支付10元或10元以上的人数，求X 的分布列和数学期望；（3）2021年底，从这1000人的样本中随机抽取3人，这三位学生都已签约5G 套餐，能否认为样本中早期体验用户的人数有变化？说明理由.17．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1BB ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，12AA AB BC ===.（1）求证：1BC ⊥平面11A B C ；（2）求异面直线1B C 与1A B 所成角的大小；（3）点M 在线段1B C 上，且11((0,1))B M B Cλλ=∈，点N 在线段1A B 上，若MN ∥平面11A ACC ，求11A N A B的值（用含λ的代数式表示）. 18．已知函数321()3()3f x x x ax a =--∈R . （1）若()f x 在1x =-时，有极值，求a 的值；（2）在直线1x =上是否存在点P ，使得过点P 至少有两条直线与曲线()y f x =相切？若存在，求出P 点坐标；若不存在，说明理由.19．已知椭圆222:1(1)x C y a a +=>的离心率是2. （1）求椭圆C 的方程；（2）已知1F ，2F 分别是椭圆C 的左、右焦点，过2F 作斜率为k 的直线l ，交椭圆C 于,A B 两点，直线1F A ，1F B 分别交y 轴于不同的两点,M N .如果1MF N ∠为锐角，求k的取值范围.20．已知数列{}n a ，记集合{}*1(,)|(,),1,,i i j T S i j S i j a a a i j i j +==+++<∈N . （1）对于数列{}:1,2,3,4n a ，写出集合T ；（2）若2n a n =，是否存在*,N i j ∈，使得(),1024S i j =？若存在，求出一组符合条件的,i j ；若不存在，说明理由.（3）若22n a n =-，把集合T 中的元素从小到大排列，得到的新数列为12:,,,n B b b b ，若2020n b ≤，求n 的最大值.参考答案1．D【解析】【分析】求得集合{|12}B x x =-<<，结合集合的交集的运算，即可求解.【详解】由题意，集合{|(2)(1)0}{|12}B x x x x x =-+<=-<<，所以A B ={}|11x x -<≤.故选：D .【点睛】本题主要考查了集合的交集的运算，其中解答中正确求解集合B ，结合集合交集的概念及运算求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.2．B【分析】先化简复数，再计算对应点坐标，判断象限.【详解】1i z =--，对应点为(1,1)-- ，在第三象限.故答案选B【点睛】本题考查了复数的坐标表示，属于简单题.3．B【分析】结合函数的单调性与奇偶性的定义与判定方法，以及初等函数的性质，逐项判定，即可求解.【详解】由题意，对于A 中，函数()()1f x f x x-=-=-，所以函数为奇函数，不符合题意； 对于B 中，函数()ln ||f x x =满足()()ln ||ln ||f x x x f x -=-==，所以函数为偶函数， 当0x >时，函数ln y x =为()0,∞+上的单调递增函数，符合题意；对于C 中，函数2xy =为非奇非偶函数，不符合题意；对于D 中，1||y x =-为偶函数，当0x >时，函数1y x =-为单调递减函数，不符合题意， 故选：B .【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性和函数的单调性的判定与应用，其中解答中熟记函数的单调性与奇偶性的判定方法，以及初等函数的性质是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.4．A【分析】根据函数()xf x π=为单调递增函数，结合充分条件和必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由题意，函数()xf x π=为单调递增函数， 当0a b >>时，可得()()f a f b >，即a b ππ>成立，当a b ππ>，即()()f a f b >时，可得a b >，所以0a b >>不一定成立，所以“0a b >>”是“a b ππ>”的充分而不必要条件.故选：A .【点睛】本题主要考查了指数函数的性质，以及充分条件、必要条件的判定，其中解答中熟记指数函数的性质，以及熟练应用充分条件和必要条件的判定方法是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于中档题.5．B【分析】根据线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项判定，即可求解，得到答案.【详解】由题意，对于A 中，若m α⊥，m n ⊥，则//n α或n ⊂α，所以不正确；对于C 中，若//n α，m n ⊥，则m 与α可能平行，相交或在平面α内，所以不正确； 对于D 中，若//αβ，m α⊂，n β⊂，则m 与n 平行、相交或异面，所以不正确； 对于B 中，若αβ⊥，m α⊥，n β⊥，，根据线面垂直的性质，可证得m n ⊥成立，故选：B .【点睛】本题主要考查了线面位置关系的判定与证明，其中解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项判定是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.6．C【分析】由题意，把问题分为三类：当三个数分别为1,1,4，1,2,3，2,2,2三种情况，结合排列、组合和计数原理，即可求解.【详解】从数字1，2，3，4，5中，取出3个数字（允许重复），组成三位数，各位数字之和等于6， 可分为三类情况：（1）当三个数为1,1,4时，共有133C =种排法；（2）当三个数为1,2,3时，共有336A =种排法；（3）当三个数为2,2,2时，只有1中排法，由分类计数原理可得，共有36110++=种不同排法，即这样的数共有10个.故选：C .【点睛】本题主要考查了计数原理与排列、组合的应用，其中解答中认真审题，合理分类，结合计数原理求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.7．A【分析】结合三角恒等变换的公式，以及合理利用赋值法，逐项判定，即可求解得到答案.【详解】对于A 中，因为2παβ+<，则0,24424αβππαβπ+-<<-<<又由sin sin 2sincos 2sin cos 22422αβαβπαβαβαβ+---+=<=≤所以sin sin αβ+<对于B 中，例如,66ππαβ==，此时cos cos 66ππ+=>所以cos cos αβ+<对于C 中，因为2παβ+>，例如5,612ππαβ==时，5611sin sin 212ππ+=<， 所以sin sin 1αβ+>不正确；对于D 中，因为2παβ+>，例如2,36ππαβ==时，1cos c 23os 162ππ+=-+<， 所以cos cos 1αβ+>不正确，故选：A .【点睛】本题主要考查了三角恒等变换的应用，以及三角函数值的应用，其中解答熟记三角恒等变换的公式，以及合理利用赋值法求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 8．C【分析】设圆柱的底面半径为R ，根据题意分别求得b R =，sin R a α=，tan R OC α=，结合椭圆的结合性质，即可求解.【详解】由题意，作出圆柱的轴截面，如图所示，设圆柱的底面半径为R ，根据题意可得椭圆的短轴长为22b R =，即b R =， 长轴长为22sin R a α=，即sin R a α=， 在直角1O OC ∆中，可得1tan O C OC α=，即1tan tan O C R OC αα==， 又由22222222211tan tan sin R R OC b R R ααα⎛⎫+=+=+= ⎪⎝⎭， 即222OC b a +=，所以222OC a b =-，又因为椭圆中222c a b =-，所以OC c =，即切点为椭圆的两个交点，所以①是正确的；由124O O =，可得12O O =R =在直角1O OC ∆中，22222121OC OO R =-=-=，由①可知，即1c =，所以22c =，即椭圆的焦距为2，所以②是正确的；由①可得sin R a α=，tan Rc α=，所以椭圆的离心率为sin tan cos tan sin Rc e R a ααααα====， 所以当当圆柱的轴与α所成的角由小变大时，所得椭圆的离心率变小，所以③不正确.故选：C【点睛】本题主要考查了椭圆的几何性质及其应用，其中解答中认真审题，合理利用圆柱的结构特征，以及椭圆的几何性质求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题. 9．4 【分析】结合双曲线的几何性质，得到132m +=+，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，双曲线221x y m -=与22132x y -=有相同的焦点，可得132m +=+，解得4m =. 故答案为：4. 【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及几何性质的应用，其中解答中熟练应用双曲线的几何性质是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题. 10．0 【分析】根据直线与圆相交，利用圆心到直线的距离小于圆的半径，<求得m的取值范围，即可求解. 【详解】由题意，圆22420x y x y ++-=的圆心坐标为(2,1)-，半径为r =若直线0x y m -+=与圆22420x y x y ++-=有两个不同的交点，则满足圆心到直线的距离小于圆的半径，<解得33m -<<所以命题为真命题的一个m 的值为0. 故答案为：0. 【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，其中解答中熟记直线与圆的位置关系，列出不等式求得m 的取值范围是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题. 11．4 【解析】 【分析】由AB AC AC AD ⋅=⋅，根据向量的线性运算，得到AC BD ⊥，进而得到四边形ABCD 是菱形，即可求得四边形的面积，得到答案. 【详解】由题意，在平行四边形ABCD 中， AB AC AC AD ⋅=⋅， 可得()0AB AC AC AD AB AC BD ⋅=⋅-=⋅=，所以AC BD ⊥ 所以四边形ABCD 是菱形，又由||4AC =，||2BD =，所以面积为14242S =⨯⨯=. 故答案为：4. 【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，向量的数量积的应用，以及菱形的面积的计算，其中解答熟练应用向量的减法运算公式，以及向量的数量积的公式，求得四边形为菱形是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 12．2或10 【分析】令2sin()x ωϕ+=2,3x k k Z πωϕπ+=+∈或22,3x k k Z πωϕπ+=+∈，根据存在相邻两个交点间的距离为6π，得到2136x x w ππ-==或21536x x w ππ-==，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，函数()2sin()(0)f x x ωϕω=+>，曲线()y f x =与直线y =令2sin()x ωϕ+=sin()x ωϕ+=， 解得2,3x k k Z πωϕπ+=+∈或22,3x k k Z πωϕπ+=+∈， 由题意存在相邻两个交点间的距离为6π，结合正弦函数的图象与性质， 可得2122(),33k w x x k Z πππ-+=-∈，令0k =，可得2136x x w ππ-==，解得2w =. 或21722(),33k w x x k Z πππ-+=-∈，令0k =，可得21536x x w ππ-==，解得10w =. 故答案为：2或10. 【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质的应用，以及三角方程的求解，其中解答中熟练应用三角函数的图象与性质，列出方程求解是解答的关键，着重考查了推理能力与计算鞥能力，属于中档试题. 13．12 454【分析】根据等比数列的通项公式，得到2210q q +-=，求得12q =再由等比数列的前n 项和公式，求得4S ，得到答案. 【详解】由题意，在数列{}n a 是各项均为正的等比数列，因为16a =，2326a a +=，可得221126126a q a q q q +=+=，即2210q q +-=，解得12q =或1q =-（舍去），又由等比数列的前n 项和公式，可得4416[1()]4521412S ⋅-==-. 故答案为：12，454. 【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式，以及等比数列前n 项和公式的应用，其中解答中熟练等比数列的通项公式和前n 项和公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 14．② > 【分析】由温度的变化与实验室和物体温度差成正比（比例系数为k ），即可得到()130n n n t t k t +-=-，再根据函数模型，分别求得k 的值，结合作差比较，即可得到答案.【详解】由题意，将第n 次测量得到的物体温度记为n t ，则两次的体温变化为1n n t t +-，又由温度的变化与实验室和物体温度差成正比（比例系数为k ），所以()130n n n t t k t +-=-， 当物体温度从5C ︒升到10C ︒所需时间为min a ，可得()105305k -=-，可得51255k ==， 当物体温度从10C ︒上升到15C ︒所需时间为min b ，可得()15103010k -=-，可得14k =， 当物体温度从15C ︒上升到20C ︒所需时间为min c ，可得()20153015k -=-，可得13k =， 可是111,,,0543a mb mc m m ===>， 又由222221111111()5341516151601111431212b c m m m m m a ac b b bc m m m ⨯-----====>⨯， 即a b 与b c 的大小关系是a b >b c . 故答案为：② ，>【点睛】本题主要考查了函数的模型的选择，以及实际应用问题的求解，其中解答中认真审题，正确理解题意，选择适当的函数模型是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题. 15．（1）23C π∠=（2【解析】 【分析】（1）由正弦定理可得sin sin sin 0C A C A +=，求得sin 0C C +=，即可求解C ∠的大小；（2）由正弦定理，可得1sin 2B =，得到6B π∠=，进而得到6A B C ππ∠=-∠-∠=，结合三角形的面积公式，即可求解. 【详解】（1）因为sin cos 0c A C =，由正弦定理可得sin sin sin 0C A C A +=， 又因为(0,)A π∈，所以sin 0A >，所以sin 0C C =，即tan C =， 又因为0C π<<，所以23C π∠=. （2）由正弦定理，可得2sin 1sin 2b C B c ===， 又因为03B π<<，所以6B π∠=，所以6A B C ππ∠=-∠-∠=.所以ABC ∆的面积111sin 2222S bc A ==⨯⨯=【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.16．（1）0.8（2）详见解析（3）事件D 虽然发生概率小，但是发生可能性为0.02，所以认为早期体验用户没有发生变化，详见解析 【分析】（1）由从高校大学生中随机抽取1人，该学生在2021年或2021年之前升级到5G ，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解；（2）由题意X 的所有可能值为0,1,2，利用相互独立事件的概率计算公式，分别求得相应的概率，得到随机变量的分布列，利用期望的公式，即可求解.（3）设事件D 为“从这1000人的样本中随机抽取3人，这三位学生都已签约5G 套餐”，得到其概率为()P D ，即可得到结论. 【详解】（1）由题意可知，从高校大学生中随机抽取1人，该学生在2021年或2021年之前升级到5G 的概率估计为样本中早期体验用户和中期跟随用户的频率， 即2705300.81000+=.（2）由题意X 的所有可能值为0,1,2，记事件A 为“从早期体验用户中随机抽取1人，该学生愿意为升级5G 多支付10元或10元以上”，事件B 为“从中期跟随用户中随机抽取1人，该学生愿意为升级5G 多支付10元或10元以上”， 由题意可知，事件A ，B 相互独立，且()140%0.6P A =-=，()145%0.55P B =-=， 所以(0)()(10.6)(10.55)0.18P X P AB ===--=，(1)()()()P X P AB AB P AB P AB ==+=+()(1())(1()()P A P B P A P B =-+-0.6(10.55)(10.6)0.55=⨯-+-⨯0.49=， (2)()0.60.550.33P X P AB ===⨯=，所以X 的分布列为故X 的数学期望()00.1810.4920.33 1.15E X =⨯+⨯+⨯=.（3）设事件D 为“从这1000人的样本中随机抽取3人，这三位学生都已签约5G 套餐”，那么327031000()0.02C P D C =≈.回答一：事件D 虽然发生概率小，但是发生可能性为0.02，所以认为早期体验用户没有发生变化.回答二：事件D 发生概率小，所以可以认为早期体验用户人数增加. 【点睛】本题主要考查了离散型随机变量的分布列，数学期望的求解及应用，对于求离散型随机变量概率分布列问题首先要清楚离散型随机变量的可能取值，计算得出概率，列出离散型随机变量概率分布列，最后按照数学期望公式计算出数学期望，其中列出离散型随机变量概率分布列及计算数学期望是理科高考数学必考问题. 17．（1）证明见解析（2）3π（3）1λ- 【分析】（1）根据三棱柱111ABC A B C -的结构特征，利用线面垂直的判定定理，证得11A B ⊥平面11B BCC ，得到111A B BC ⊥，再利用线面垂直的判定定理，即可证得1BC ⊥平面11A B C ；（2）由（1）得到AB BC ⊥，建立空间直角坐标系B xyz -，求得向量11,B C A B ，利用向量的夹角公式，即可求解. （3）由11B M B C λ=，得(2,0,22)M λλ-，设11A NA Bμ=，得(0,22,22)N μμ--，求得向量MN 的坐标，结合//MN 平面11A ACC ，利用0MN n ⋅=，即可求解. 【详解】（1）在三棱柱111ABC A B C -中，由1BB ⊥平面ABC ，所以1BB ⊥平面111A B C ， 又因为1BB ⊂平面11B BCC ，所以平面11B BCC ⊥平面111A B C ，交线为11B C . 又因为AB BC ⊥，所以1111A B B C ⊥，所以11A B ⊥平面11B BCC . 因为1BC ⊂平面11B BCC ，所以111A B BC ⊥ 又因为12BB BC ==，所以11B C BC ⊥，又1111A B B C B =，所以1BC ⊥平面11A B C .（2）由（1）知1BB ⊥底面ABC ，AB BC ⊥，如图建立空间直角坐标系B xyz -， 由题意得()0,0,0B ，()2,0,0C ，()10,2,2A ，()10,0,2B . 所以()12,0,2B C =-，()10,2,2A B =--. 所以()1111111cos ,2||||A B B C A B B C BA B C ⋅==.故异面直线1B C 与1A B 所成角的大小为3π.（3）易知平面11A ACC 的一个法向量()1,1,0n =，由11B MB Cλ=，得(2,0,22)M λλ-. 设11A NA Bμ=，得(0,22,22)N μμ--，则(2,22,22)MN λμλμ=--- 因为//MN 平面11A ACC ，所以0MN n ⋅=，即(2,22,22)(1,1,0)0λμλμ---⋅=，解得1μλ=-，所以111A NA Bλ=-.【点睛】本题考查了线面平行的判定与证明，以及空间角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，通过严密推理是线面位置关系判定的关键，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解. 18．（1）1a =-（2）不存在，详见解析 【分析】（1）求得2()23f x x x a '=-+，根据函数()f x 在1x =-取得极值，即可求解；（2）不妨设点()1,P b ，设过点P 与()y f x =相切的直线为l ，切点为()00,x y ，求得切线方程，根据直线l 过()1,P b ，转化为()()322000000132313b x x ax x x a x -+-=-+-，设函数322()2233g x x x x a b =-+-+，转化为()g x 在区间(),-∞+∞上单调递增，即可求解. 【详解】（1）由题意，函数321()33f x x x ax =-+，则2()23f x x x a '=-+， 由()f x 在1x =-时，有极值，可得(1)1230f a '-=++=，解得1a =-.经检验，1a =-时，()f x 有极值. 综上可得1a =-.（2）不妨设在直线1x =上存在一点()1,P b ，设过点P 与()y f x =相切的直线为l ，切点为()00,x y ， 则切线l 方程为()()32200000013233y x x x x x a x x α-+-=-+-，又直线l 过()1,P b ，有()()322000000132313b x x ax x x a x -+-=-+-， 即32000222303x x x a b -+-+=， 设322()2233g x x x x a b =-+-+，则22()2422(1)0g x x x x '=-+=-≥，所以()g x 在区间(),-∞+∞上单调递增，所以()0g x =至多有一个解， 过点P 与()y f x =相切的直线至多有一条，故在直线1x =上不存在点P ，使得过P 至少有两条直线与曲线()y f x =相切. 【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，其中解答中熟记函数的导数与函数间的关系是解答的关键，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力．19．（1）2212x y +=（2）,,00,,7447⎛⎛⎫⎛⎛⎫-∞-⋃-⋃⋃+∞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭【解析】 【分析】（1）由题意，列出方程组，求得22a =，即可得到椭圆的方程；（2）设直线l 的方程为()1y k x =-，联立方程组，根据根和系数的关系，结合向量的数量 【详解】（1）由题意，椭圆222:1(1)x C y a a +=>的离心率是2，可得222221c a b a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩解得22a =，所以椭圆C 的方程为2212x y +=.（2）由已知直线l 的斜率不为0，设直线l 的方程为()1y k x =-，直线l 与椭圆C 的交点为()11,A x y ，()22,B x y .由22(1)12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2222214220k x k x k +-+-=.由已知，判别式>0∆恒成立，且2122421k x x k ，21222221k x x k -=+.① 直线1F A 的方程为11(1)1y y x x =++，令0x =，则110,1y M x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭. 同理可得220,1y N x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭. 所以()()()()()()2121211121211111111k x x y y F M F N x x x x --⋅=+=+++++ ()()()()222212121212121212121111111k x x k x x k k x x x x x x x x x x x x ++-+++⎡⎤-++⎣⎦=+=++++++将①代入并化简，得21127181k F M F N k -⋅=-. 依题意，角1MF N ∠为锐角，所以110F M F N ⋅>，即211271081k F M F N k -⋅=>-. 解得217k >或218k <.综上，直线l的斜率的取值范围是,⎛⎛⎫⎛⎫-∞⋃⋃⋃+∞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.20．（1）{3,5,6,7,9,10}；（2）不存在，理由见解析；（3）1001.【分析】（1）根据题意直接书写即可；（2）假设存在*,N i j ∈，使得(,)1024S i j =，则有1102422(1)2(1)()i i j a a a i i j j i i j -=+++=++++=-++，则i j +与j i -奇偶性相同，所以i j +与1j i -+奇偶性不同，进行分析即可得解；（3）首先证明n a n =时，()()112t j i i j +-++=不成立，次证明除2()t t N ∈形式以外的数，都可以写成若干个连续正整数之和，分类讨论即可得解.【详解】（1）由题意，集合{}1(,)|(,),1,i i j T S i j S i j a a a i j j N *+==+++≤<∈， 可得{3,5,7,9,10}T =.（2）假设存在*,N i j ∈，使得(,)1024S i j =，则有1102422(1)2(1)()i i j a a a i i j j i i j -=+++=++++=-++，由于i j +与j i -奇偶性相同，所以i j +与1j i -+奇偶性不同，又因为3,12i j j i +≥-+≥，所以1024必有大于等于3的奇数因子，这与1024无1以外的奇数因子矛盾.故不存在,i j N *∈，使得(,)1024S i j =成立.（3）首先证明n a n =时，对任意的m N *∈都有2,t m b t N *≠∈， 若,i j N *∃∈，使得：(1)()(1)22t j i i j i i j -++++++==， 由于1j i -+与i j +均大于2且奇偶性不同，所有()()112t j i i j +-++=不成立.其次证明除2()t t N ∈形式以外的数，都可以写成若干个连续正整数之和.若正整数2(21)th k =+，其中t N *∈.当1221t k +>+时，由等差数列的性质有： (21)(21)+(2+1)=(2-)++(2-1)+2(21)(2)t t t t t h k k k k k =+++++++++此时结论成立. 当1221t k +<+时，由等差数列的性质有：(21)(21)(21)h k k k =+++++(21)(1)(1)(2)(2)t t k k k k k k -+++-++++++++，此时结论成立. 对于数列22n a n =-，此问题等价于数列0,1,2,3,,,n ,其相应集合T 中满足：1010n b ≤有多少项.由前面的证明可知正整数2，4，8，16，32，64，128，256，512不是集合T 中的项， 所以n 的最大值为1001.【点睛】本题考查了等差数列及数列的综合问题，考查了求数列下标最值，同时考查了分类讨论思的想，计算量比较大，属于难题.。
北京市2021届高三(上)期末教学统一检测数学(文)试卷及答案
第一学期期末教学统一检测高三数学（文科）学校_____________班级_______________姓名______________考号___________本试卷共5页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合{}1,2,A m =，{}3,4B =.若{}3A B =，则实数m =（A ）（B ）2（C ）3（D ）4（2）在复平面内，复数2i iz -=对应的点位于 （A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限（3）已知向量(1,2)=a ，(2,)x =-b .若+a b 与-a b 平行，则实数x 的值是（A ）4（B ）（C ）1-（D ）4-（4）经过圆22220x y x y +-+=的圆心且与直线20x y -=平行的直线方程是（A ）230x y --=（B ）210x y --=（C ）230x y -+=（D ）210x y ++=（5）给出下列函数：①2log y x = ； ②2y x = ； ③2x y =； ④2y x=. 其中图象关于y 轴对称的是（A ）①② （B ）②③（C ）①③（D ）②④（6）“sin 23cos 21αα-=”是“4απ=”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（7）某程序框图如图所示，当输入的x 的值为5时，输出的y 值恰好是13，则在空白的处理框处应填入的关系式可以是（A ）3y x = （B ）3y x = （C ）3x y =（D ）3y x=（8）已知函数)21()(2≤≤-=x x a x f 与1)(+=x x g 的图象上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是（A ）5[,)4-+∞（B ）[1,2] （C ）5[,1]4-（D ）[1,1]-第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
北京市东城区2020届高三数学上学期期末考试试题
东城区2021-2021学年度第一学期期末教学统一检测高三数学第一局部〔选择题共40分〕一、选择题共8小题，每题5分，共40分.在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.集合Ax|x1，B{x|(x2)(x1)0}，那么AIB〔A.x|1x2B.x|1x1C.x|1x2D.x|1x1【答案】D【解析】【分析】求得集合B{x|1x2}，结合集合的交集的运算，即可求解.【详解】由题意，集合B{x|(x2)(x1)}{x|1x2}，所以AIBx|1x1.应选：D.【点睛】此题主要考查了集合的交集的运算，其中解答中正确求解集合B，结合集合交集的概念及运算求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于根底题.2.复数zi(i1)在复平面内的对应点位于〔〕A.第一象限 B.第三象限 C.第二象限D.第四象限【答案】B 【解析】【分析】先化简复数，再计算对应点坐标，判断象限.【详解】z1i，对应点为(1,1)，在第三象限.故答案选B【点睛】此题考查了复数的坐标表示，属于简单题.13.以下函数中，是偶函数，且在区间,上单调递增的为〔〕A.1 B.yln|x| C.y2x D.xy 1|x|【答案】B 【解析】【分析】结合函数的单调性与奇偶性的定义与判定方法，以及初等函数的性质，逐项判定，即可求解.【详解】由题意，对于A中，函数f x1x，所以函数为奇函数，不符合题意；fx对于B中，函数fln|x|满足f xln|x|ln|x|fx，所以函数为偶函数，当x 0时，函数y lnx为0,上的单调递增函数，符合题意；对于C中，函数y2x为非奇非偶函数，不符合题意；对于D中，y1|x|为偶函数，当x0时，函数y1x为单调递减函数，不符合题意，应选：B.【点睛】此题主要考查了函数的奇偶性和函数的单调性的判定与应用，其中解答中熟记函数的单调性与奇偶性的判定方法，以及初等函数的性质是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于根底题.4.设a,b为实数，那么“ab0〞是“ab〞的〔〕A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据函数 f x为单调递增函数，结合充分条件和必要条件判定方法，即可求解. x【详解】由题意，函数f x x为单调递增函数，当a b 0时，可得 f af b，即ab成立，2当a b，即fa f b时，可得ab，所以ab0不一定成立，所以“ab0〞是“b〞的充分而不必要条件.应选：A.【点睛】此题主要考查了指数函数的性质，以及充分条件、必要条件的判定，其中解答中熟记指数函数的性质，以及熟练应用充分条件和必要条件的判定方法是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于中档题.5.设，是两个不同的平面，m,n是两条不同的直线，那么以下结论中正确的选项是〔〕A.假设m，mn，那么n//B.假设，m，n，那么m nC.假设n//，mn，那么mD.假设//，m，n，那么m//n【答案】B【解析】【分析】根据线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项判定，即可求解，得到答案.【详解】由题意，对于A中，假设m，mn，那么n//或n，所以不正确；对于C中，假设n//，mn，那么m与可能平行，相交或在平面内，所以不正确；对于D中，假设//，m，n，那么m与n平行、相交或异面，所以不正确；对于B中，假设，m，n，，根据线面垂直的性质，可证得mn成立，应选：B.【点睛】此题主要考查了线面位置关系的判定与证明，其中解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项判定是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于根底题.从数字1，2，3，4，5中，取出3个数字〔允许重复〕，组成三位数，各位数字之和等于6，这样的三位数的个数为〔〕A.7B.9C.10D.13【答案】C3由题意，把问题分为三类：当三个数分别为1,1,4，1,2,3，2,2,2三种情况，结合排列、组合和计数原理，即可求解.【详解】从数字1，2，3，4，5中，取出3个数字〔允许重复〕，组成三位数，各位数字之和等于6，（可分为三类情况：1〕当三个数为1,1,42〕当三个数为1,2,3时，共有C313种排法；时，共有A336种排法；〔3〕当三个数为2,2,2时，只有1中排法，由分类计数原理可得，共有36110种不同排法，即这样的数共有10个.应选：C.【点睛】此题主要考查了计数原理与排列、组合的应用，其中解答中认真审题，合理分类，结合计数原理求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于根底题.7.设，是三角形的两个内角，以下结论中正确的选项是〔〕A假设，那么sinsin2B.假设，那么22 coscos2C.假设，那么sinsin1D.假设，那么22 coscos1【答案】A【解析】【分析】结合三角恒等变换的公式，以及合理利用赋值法，逐项判定，即可求解得到答案.【详解】对于A中，因为，那么024,2424又由sinsin2sincos2sincos2cos2，22422所以sinsin2是正确的；4对于B中，例如，此时cos6cos32，666所以coscos不一定成立，所以不正确；对于C中，因为，例如5,时，sin5sin1621，261261224所以sinsin1不正确；对于D中，因为，例如2,时，cos2cos131，2363622所以coscos1不正确，应选：A.【点睛】此题主要考查了三角恒等变换的应用，以及三角函数值的应用，其中解答熟记三角恒等变换的公式，以及合理利用赋值法求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于根底题.8.用平面截圆柱面，当圆柱的轴与所成角为锐角时，圆柱面的截面是一个椭圆，著名数学家Dandelin创立的双球实验证明了上述结论.如下图，将两个大小相同的球嵌入圆柱内，使它们分别位于的上方和下方，并且与圆柱面和均相切.给出以下三个结论：①两个球与的切点是所得椭圆的两个焦点；②假设球心距O1O24，球的半径为3，那么所得椭圆的焦距为2；③当圆柱的轴与所成的角由小变大时，所得椭圆的离心率也由小变大.其中，所有正确结论的序号是〔〕A.①B.②③C.①②D.①②③【答案】C 5【解析】【分析】设圆柱的底面半径为R，根据题意分别求得bR，aR R，OC，结合椭圆sin tan的结合性质，即可求解.【详解】由题意，作出圆柱的轴截面，如下图，设圆柱的底面半径为R，根据题意可得椭圆的短轴长为2b2R，即b R，长轴长为2a2RaR，，即sinsin在直角O1OC中，可得O1C tan，即OCO1C R，OCtantan又由OCb2R2R2112，2tan2tan2sin2b2a2，所以OC22b2，即OC又因为椭圆中c2a22，所以OCc，即切点为椭圆的两个交点，所以①是正确的；由O1O24，可得O1O2，又由球的半径为3，即R3，R222(3)21，在直角O1OC中，OC OO1由①可知，即c1，所以2c2，即椭圆的焦距为2，所以②是正确的；R R c Rsin由①可得a，c，所以椭圆的离心率为etantan a Rcos，sin tansin所以当当圆柱的轴与所成的角由小变大时，所得椭圆的离心率变小，所以③不正确.应选：C【点睛】此题主要考查了椭圆的几何性质及其应用，其中解答中认真审题，合理利用圆柱的结构特征，以及椭圆的几何性质求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档6试题.第二局部〔非选择题共110分〕二、填空题共6小题，每题5分，共30分.9.假设双曲线x2y21与x2y21有相同的焦点，那么实数m_________.m32【答案】4【解析】【分析】结合双曲线的几何性质，得到m132，即可求解，得到答案.【详解】由题意，双曲线x2y2x2y2m1与1有相同的焦点，32可得m132，解得m4.故答案为：4.【点睛】此题主要考查了双曲线的标准方程及几何性质的应用，其中解答中熟练应用双曲线的几何性质是解答的关键，着重考查了计算能力，属于根底题.10.a n是各项均为正的等比数列，S n为其前n项和，假设a16，a22a36，那么公比q________，S4_______ __.【答案】145(1).(2).24【解析】【分析】根据等比数列的通项公式，得到2q2q10，求得q1再由等比数列的前n项和公式，2求得S4，得到答案.【详解】由题意，在数列a n是各项均为正的等比数列，因为a6，a2a6，可得a1q2a1q26q12q26，13即2q2q10，解得q1或q1〔舍去〕，274 ]6[1(1) 45又由等比数列的前n 项和公式，可得S421 .412故答案为：1，45.24【点睛】此题主要考查了等比数列的通项公式，以及等比数列前n 项和公式的应用，其中解答中熟练等比数列的通项公式和前n 项和公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于根底题.11.能说明“直线xy m 0与圆x 2y24x2y有两个不同的交点 〞是真命题的一个m 的值为______.【答案】0 【解析】 【分析】3 m5，求得m根据直线与圆相交，利用圆心到直线的距离小于圆的半径，得到(1)212的取值范围，即可求解.【详解】由题意，圆x2y 24x2y0的圆心坐标为( 2,1)，半径为r5，假设直线xym 0与圆x 2y24x2y0有两个不同的交点，那么满足圆心到直线的距离小于圆的半径，即3m5，解得12(1)2310m310，所以命题为真命题的m 的值为一个0.故答案为：0.【点睛】此题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，其中解答中熟记直线与圆的位置关系，列出不等式求得m的取值范围是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于根底题.uuuruuuruuur uuuruuuruuur2，那么四边形12.在平行四边形ABCD中，ABACAC AD，|AC|4，|BD|ABCD的面积是_______.【答案】4【解析】8【分析】uuuruu uruuuruuur uuuruuurABCD是由ABACAC AD，根据向量的线性运算，得到ACBD，进而得到四边形菱形，即可求得四边形的面积，得到答案.ABCD 中，uuuruuuruuur uuur【详解】由题意，在平行四边形ABAC ACAD，uuuruuur uuuruuuruuuruuuruuuruuur uuur可得ABAC AC(ADAB)ACBD0，所以AC BD所以四边形ABCD是菱形，u uuruuur2，所以面积为S1又由|AC|4，|BD|424.2故答案为：4.【点睛】此题主要考查了向量的线性运算，向量的数量积的应用，以及菱形的面积的计算，其中解答熟练应用向量的减法运算公式，以及向量的数量积的公式，求得四边形为菱形是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于根底题.13.函数f(x)2sin(x)()，曲线y fx与直线y3相交，假设存在相邻两个交点间的距离为，那么的所有可能值为__________．6【答案】2或10【解析】【分析】令2sin(x)，解得x2k,kZ或x2k2,k Z，根据存在相邻两个交点间的距离为，得到x2x1或x2x15，即可求3w63w6解，得到答案.【详解】由题意，函数f(x)2sin(x)(0)，曲线y f x与直线y相交，令2sin(x)，即sin(x)3，2解得x2k,kZ或x2k2,kZ，33由题意存在相邻两个交点间的距离为，结合正弦函数的图象与性质，6可得232k w(x2x1),kZ，令k0，可得x2x13w，解得w2.36 9或722kw(x2x1),k Z，令k0，可得x2x15，解得w10.333w6故答案为：2或10.【点睛】此题主要考查了三角函数的图象与性质的应用，以及三角方程的求解，其中解答中熟练应用三角函数的图象与性质，列出方程求解是解答的关键，着重考查了推理能力与计算鞥能力，属于中档试题.14.将初始温度为0C的物体放在室温恒定为30C的实验室里，现等时间间隔测量物体温度，将第n次测量得到的物体温度记为t n，t10C.物体温度的变化与实验室和物体温度差成正比〔比例系数为k〕.给出以下几个模型，那么能够描述这些测量数据的一个合理模型为__________：〔填写模型对应的序号〕①t n1k；②t n1tn k30t n；③t n1k30t n.tnt n3在上述模型下，设物体温度从5C升到10C所需时间为amin，从10C上升到15C 所需时间为bmin，从15C上升到20C所需时间为Cmin，那么a与b的大小关系是b c________〔用“〞，“〞或“〞号填空〕【答案】(1).②(2).【解析】【分析】由温度的变化与实验室和物体温度差成正比〔比例系数为k〕，即可得到t n1tn k30tn，再根据函数模型，分别求得k的值，结合作差比拟，即可得到答案.【详解】由题意，将第n次测量得到的物体温度记为t n，那么两次的体温变化为t n1t n，又由温度的变化与实验室和物体温度差成正比〔比例系数为k〕，所以t n1tn k30t n，当物体温度从5C升到10C所需时间为amin，可得105k305，可得k5125，5当物体温度从10C上升到15C所需时间为bmin，可得151k311，，可得k4当物体温度从15C上升到20C所需时间为cmin，可得2015k315，可得k 1，310可是a1m,b1m,c1m,m0，543又由ab acbb cb c即a与b的大小关系是c故答案为：②，1m1m(1m)21m21m211534151615160，1m1m1m21431212a b.c【点睛】此题主要考查了函数的模型的选择，以及实际应用问题的求解，其中解答中认真审题，正确理解题意，选择适当的函数模型是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.三、解答题共6小题，共80分.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在ABC中，csinA3acosC.〔1〕求C的大小；〔2〕假设b2，c23，求ABC的面积.【答案】〔1〕C23〔2〕3【解析】【分析】〔1〕由正弦定理可得sinCsinA3cosCsinA0，求得sinC3cosC0，即可求解C的大小；〔2〕由正弦定理，可得1B，进而得到A B C，sinB，得到266结合三角形的面积公式，即可求解.【详解】〔1〕因csinA3acosC0，由正弦定理可得sinCsinA3cosCsinA0，又因为又因为A(0,)，所以sinA0，所以sinC3cosC0，即tanC3，0C，所以C2.311bsinC 231，〔2〕由正弦定理，可得2sinBc32又因为0B，所以B，所以A C.366所以ABC的面积S1bcsinA122313.222【点睛】此题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于根底题.年6月，国内的5G运营牌照开始发放.从2G到5G，我们国家的移动通信业务用了不到20年的时间，完成了技术上的飞跃，跻身世界先进水平.为了解高校学生对5G的消费意愿，2021年8月，从某地在校大学生中随机抽取了1000人进行调查，样本中各类用户分布情况如下：用户分类预计升级到5G的时段人数早期体验用户2021年8月至2021年12月270人中期跟随用户2021年1月至202l年12月530人后期用户2022年1月及以后200人我们将大学生升级5G时间的早晚与大学生愿意为5G套餐支付更多的费用作比拟，可得出以下图的关系〔例如早期体验用户中愿意为5G套餐多支付5元的人数占所有早期体验用户的40%〕.12〔1〕从该地高校大学生中随机抽取1人，估计该学生愿意在2021年或2021年之前升级到5G的概率；〔2〕从样本的早期体验用户和中期跟随用户中各随机抽取1人，以X表示这2人中愿意为升级5G多支付10元或10元以上的人数，求X的分布列和数学期望；〔3〕2021年底，从这 1000人的样本中随机抽取3人，这三位学生都已签约5G套餐，能否认为样本中早期体验用户的人数有变化？说明理由.【答案】〔1〕〔2〕详见解析〔3〕事件D虽然发生概率小，但是发生可能性为，所以认为早期体验用户没有发生变化，详见解析【解析】【分析】1〕由从高校大学生中随机抽取1人，该学生在2021年或2021年之前升级到5G，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解；2〕由题意X的所有可能值为0,1,2，利用相互独立事件的概率计算公式，分别求得相应的概率，得到随机变量的分布列，利用期望的公式，即可求解.〔3〕设事件D为“从这1000人的样本中随机抽取3人，这三位学生都已签约5G套餐〞，得到七概率为P(D)，即可得到结论.【详解】〔1〕由题意可知，从高校大学生中随机抽取1人，该学生在2021年或2021年之前13升级到5G的概率估计为样本中早期体验用户和中期跟随用户的频率，即270530.1000〔2〕由题意X的所有可能值为0,1,2，记事件A“从早期体验用户中随机抽取1人，该学生愿意为升级5G多支付10元或10元以上〞，事件B为“从中期跟随用户中随机抽取1人，该学生愿意为升级5G多支付10元或10元以上〞，由题意可知，事件A，B相互独立，且P(A)140%，P(B)145%，所以P(X0)P(AB)(10.6)(10.55)，P( X1)P(ABAB)P(AB)P(AB)P(A)(1P(B))(1P(A)P(B) (10.55)(1.6)，P( X2)P(AB)，所以X的分布列为X012 P故X的数学期望E(X)012.〔3〕设事件D为“从这1000人的样本中随机抽取3人，这三位学生都已签约5G套餐〞，那么P(D)C2703.C10003答复一：事件D虽然发生概率小，但是发生可能性为，所以认为早期体验用户没有发生变化.答复二：事件D 发生概率小，所以可以认为早期体验用户人数增加.【点睛】此题主要考查了离散型随机变量的分布列，数学期望的求解及应用，对于求离散型随机变量概率分布列问题首先要清楚离散型随机变量的可能取值，计算得出概率，列出离散型随机变量概率分布列，最后按照数学期望公式计算出数学期望，其中列出离散型随机变量概率分布列及计算数学期望是理科高考数学必考问题.1417.如图，在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，BB 1平面ABC ，ABBC ，AA 1AB BC2.〔1〕求证：BC 1平面A1B1C ；〔2〕求异面直线B1C 与A1B 所成角的大小；〔3〕点M 在线段B 1C 上，且B1M((0,1))，点N 在线段A 1B 上，假设MN ∥平面B1CA 1N的代数式表示〕.A 1ACC 1，求的值〔用含 A 1B【答案】〔1〕证明见解析〔 2〕〔3〕13【解析】 【分析】〔1〕根据三棱柱ABCA 1B 1C1的结构特征，利用线面垂直的判定定理，证得A 1B1平面B 1BCC 1，得到A 1B 1 BC 1，再利用线面垂直的判定定理，即可证得BC1平面A1B1C ；uuur uuur〔2〕由〔1〕得到ABBC ，建立空间直角坐标系Bxyz ，求得向量B 1C,A 1B ，利用向量的夹角公式，即可求解.B1M，得M (2A 1N，得N(0,22,22)，求得向〔3〕由,0,22)，设B1CA 1Buuuuruuuurr量MN 的坐标，结合MN//平面A 1ACC 1，利用MNn0，即可求解.【详解】〔1〕在三棱柱A 1B 1C 1中，由BB 1平面ABC ，所以BB 1平面ABC A1B1C1，又因为BB1平面B1BCC1，所以平面B1BCC1平面A1B1C1，交线为B1C1.又因为ABBC，所以A1B1B1C1，所以A1B1平面B1BCC1.15因为BC1平面B1BCC1，所以A1B1BC1又因为BB1BC2，所以B1C BC1，又A1B1IB1C B1，所以BC1平面A1B1C.〔2〕由〔1〕知BB1底面ABC，ABBC，如图建立空间直角坐标系Bxyz，由题意得B,0,0，C2,0,0，A1,2,2，B10,0,2.uu uru uur所以B1C2,0,，A1B,2,. uuuruuuruuuruuur1A1BBC1所以cosA1B,B1Cuuuruuur2 |BA1||B1C|故异面直线B1C与A1B所成角的大小为. 3〔3〕易知平面A1ACC1的一个法向量rn1,1,0，由B1MM(2,0,22).，得B1C设A1N2,22uuuur，得N(0,2)，那么MN(2,22,22)A1B 16uuuur r 因为MN//平面A1ACC1，所以MN n0，即(2,22,22)(1,1,0)0，解得1，所以A1N1.A1B【点睛】此题考查了线面平行的判定与证明，以及空间角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，通过严密推理是线面位置关系判定的关键，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.18.函数f(x)1x3x23ax(aR).3〔1〕假设fx在x1时，有极值，求a的值；〔2〕在直线x1上是否存在点P，使得过点P至少有两条直线与曲线y f x相切？假设存在，求出P点坐标；假设不存在，说明理由.【答案】〔1〕a1〔2〕不存在，详见解析【解析】【分析】〔1〕求得f(x)x22x3a，根据函数x在x1取得极值，即可求解；〔2〕不妨设点P1,b，设过点P与y相切的直线为l，切点为x0,y0，求得切线方程，根据直线l过P1,b，转化为b1x03023ax0x22x03a1x0，设函2x 33数g(x)2x22x3ab，转化为g x在区间,上单调递增，即可求解.31x3【详解】〔1〕由题意，函数f(x)x23ax，那么f(x)x22x3a，3由fx在x1时，有极值，可得f(1)123a，17解得a1 .经检验，a时，fx有极值.综上可得a.〔2〕不妨设在直线1上存在一点P1,b，设过点P与y f 相切的直线为l，切点为x0,y0，那么切线l方程为y1x03x02x0x022x03ax0，1x03又直线l 过P1,b，有bx23ax0x22x03a1x0，即23 32x03ab0，x2 x0设g(x)x32x22x3ab，那么g(x)2x24x22(x1)20，所以gx在区间,上单调递增，所以g0至多有一个解，过点P与y x 相切的直线至多有一条，故在直线x上不存在点P，使得过P至少有两条直线与曲线y fx相切.【点睛】此题主要考查导数在函数中的综合应用，其中解答中熟记函数的导数与函数间的关系是解答的关键，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力．19.椭圆C:x 2y22.21(a1)的离心率是a2 1〕求椭圆C的方程；2〕F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，过F2作斜率为k的直线l，交椭圆C于A,B 1轴于不同的两点M,N.如果MF1N为锐角，求k的取值两点，直线F1A，FB分别交范围.【答案】〔1〕x21〔2〕,72,00,27,27447【解析】【分析】〔1〕由题意，列出方程组，求得a22，即可得到椭圆的方程；18〔2〕设直线l的方程为y kx 1，联立方程组，根据根和系数的关系，结合向量的数量【详解】〔1〕由题意，椭圆C:x2y22，21(a1)的离心率是a2 c2a2，所以椭圆C的方程为x2可得b21解得a22y21.a2b2c22〔2〕由直线l的斜率不为，设直线的方程为y1，直线与椭圆C的交点为Ax,y，Bx,y122.k(x1)22y2得2k1x4kx2k20.1由，判别式恒成立，且x+x=4k2，x1x22k22.①22k+12k21直线F1A的方程为1(x1)，令x，那么My1x1,111同理可得N,y2x2 1u uuuruuuur1y1y2k2x11x2所以F1MF1Nx11x21x11x211k2x1x2x1x211k2x1x21k2x1x21k2 x1x2x12x1x2x121将①代入并化简，得u uuuruuuur7k1.F1 MF1N8k2依题意，角MF1Nuuuuruuuur，即uuuuruuuur7k21.为锐角，所以FMFNF1MF1N08k21解得k1或k1 7819综上，直线l的斜率的取值范围是7227 ,4,00,,. 747【点睛】此题主要考查椭圆的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆〔圆锥曲线〕方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力缺乏，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.20.数列n，记集合TS(i,j)|S(i,j)aiai1Laj,1ij,i,jN*.〔1〕对于数列an:1,2,3,4，写出集合T；〔2〕假设a n2n，是否存在i,j N*，使得Si,j1024？假设存在，求出一组符合条件的i,j；假设不存在，说明理由.〔3〕假设a n2n2，把集合T中的元素从小到大排列，得到的新数列为B:b1,b2,Lb n,L假设b m2021，求m的最大值.【答案】〔1〕T{3,5,6,7,9,10}〔2〕不存在i,jN*，使得Si,j1024成立.(3)详见解析【解析】【分析】〔1〕根据集合的定义TS(i,j)|S(i,j)a iai1La j,1,ij,i,j N*，即可求解；〔2〕假设存在i,jN*，使得Si,j1024，得到1024(j1)(ij)，根据ij与ji奇偶性相同，所以ij与j i1奇偶性不同，进而得到结论.〔3〕假设i,jN*，使得i(i1)Lj(j i1)(ij)t，得到(j i1)(i)2t1不成立，结合数学归纳法，把数列n2n2，转化为数列0,1,2,3,L,n,L，其相应集合T中满足b n1010有多少项，即可得到结论.【详解】〔1〕由题意，集合TS(i,j)|S(i,j)aiai1Laj,1,ij,i,jN*，可得T{3,5,6,7,9,10 }.20〔2〕假设存在i,N*，使得Si,j102 4，那么有1024aiai1Laj2i2(i1)L2j(j1)(i j)，由于ij与j奇偶性相同，所以ij与j1奇偶性不同.又因为i3，ji12，所以1024必有大于等于3的奇数因子，这与1024无1以外的奇数因子矛盾.故不存i,jN*，使得Si,j1024成立.〔3〕首先证明a nn时，对任意的m N*都有b m2t，tN*.假设i,jN*，使得：i(i1)(j1)(ij)t，2由于j i 与j均大于2且奇偶性不同，所有(j i1)(ij)2t1不成立.其次证明除t形式以外的数，都可以写成假设干个连续正整数之和.假设正整数h2t1，其中t N，tN*.当2t12k1时，由等差数列的性质有：h(2k1)(2k1)L(2k1)2t k L2t12t2t1L2t此时结论成立.当2t12k1时，由等差数列的性质有：h(2k1)(2k1)L(2k1)2t1L(k1)k(k1)(k2)Lk2t此时结论成立.对于数列a n2n 2，此问题等价于数列0,1,2,3,L,n,L，其相应集合T中满足：b n1010有多少项.由前面的证明可知正整数2，4，8，16，32，64，128，256，512不是集合T中的项，所以n的最大值为1001.【点睛】此题主要考查了数列的递推公式的应用，以及数列的综合应用，其中解答中认真审题，利用题设条件，结合数列的运算和数学归纳法求解是解答的关键，着重考查了分析问题21和解答问题的能力，试题综合性强，属于难题. 22。
北京市东城区2021届高三上学期期末统一练习数学文科试题 Word版
北京市东城区2021届高三上学期期末统一练习数学文科试题Word版东城区2021-2021学年度第一学期期末教学统一检测高三数学（文科）第Ⅰ卷（选择题共40分）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）设集合U?{1,2,3,4,5}，A?{1,2,3}，B?{2,3,4}，则eU(A?B)等于 (A) {2,3} (B) {1,4,5} (C) {4,5} （2）复数(D) {1,5}2等于 1?i（A）?1?i (B) ?1?i ( C) 1?i ( D) 1?i（3）已知{an}为等差数列，其前n项和为Sn，若a3?6，S3?12，则公差d等于5 （C）2 （D）3 3（4）执行如图所示的程序框图，输出的k的值为（A）4 （B）5（C）6 （D）7（A）1 （B）（5）“x?2x?3?0成立”是“x?3成立”的（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件2?x?2y?8,?2x?y?8,?（6）已知x，y满足不等式组? 则目标函数z?3x?y的最大值为?x?0,??y?0,32(A) (B)12 (C)8 (D)243（7）已知抛物线y?2px的焦点F到其准线的距离是8，抛物线的准线与x轴的交点为2K，点A在抛物线上且|AK|?2|AF|，则?AFK的面积为（A）32 （B）16 （C）8 （D）4（8）给出下列命题：①在区间(0,??)上，函数y?x,y?x,y?(x?1)2, y?x3中有三个是增函数；②若logm3?logn3?0，则0?n?m?1；③若函数f(x)是奇函数，则?112f(x?1)的图象关于点A(1,0)对称；④若函数f(x)?3x?2x?3，则方程f(x)?0有2个实数根，其中正确命题的个数为（A）1 （B）2 （C）3 （D）4第Ⅱ卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
北京市东城区2020-2021学年第一学期期末数学试题Word版含答案解析
高一数学（东城） 第 1 页（共 8 页）东城区2020-2021学年度第一学期期末统一检测高一数学 2021.1本试卷共4页，满分100分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合{1,0,1}A =-，集合{}21B x x =∈=N ，那么AB =（A ）{1}（B ）{0,1}（C ）{1,1}-（D ）{1,0,1}-（2）已知()f x 为奇函数，且当0x >时，()2f x x =-，则1()2f -的值为（A ）52-（B ）32- （C ） 32 （D ）52（3）若扇形的半径为1，周长为π，则该扇形的圆心角为（A ）π （B ）π-1 （C ）π-2 （D ）12π- （4）下列命题为真命题的是 （A ）若a b >，则22a b > （B ）若0a b >>，则22ac bc > （C ）若a b <，0c >，则ac bc > （D ） 若0a b <<，0c >，则c c a b> （5）已知tan 1α=-，则222sin3cos αα-=（A ） 74-（B ） 12- （C ） 12 （D ） 34（6）若函数)(x f 是R 上的减函数，0a >，则下列不等式一定成立的是（A ）2()()f a f a < （B ）1()()f a f a< （C ）()(2)f a f a <（D ）2()(1)f a f a <-（7）已知2log 3a =，4log 5b =，8log 7c =，则（A）a b c<<（B）c a b<<（C）c b a<<（D）b c a<<（8）“,k kαβ=π+∈Z”是“tan tanαβ=”成立的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（9）如图所示，单位圆上一定点A与坐标原点重合．若单位圆从原点出发沿x轴正向滚动一周，则A点形成的轨迹为（A）（B）（C）（D）（10）已知函数()af x xx=+，给出下列结论：①a∀∈R，()f x是奇函数；②a∃∈R，()f x不是奇函数；③a∀∈R，方程()f x x=-有实根；④a∃∈R，方程()f x x=-有实根．其中，所有正确结论的序号是（A）①③（B）①④（C）①②④（D）②③④第二部分（非选择题共60分）二、填空题：共5小题，每小题4分，共20分。
北京市东城区2021届高三上学期期末统一练习数学理科试题
北京市东城区2021届高三上学期期末统一练习数学理科试题东城区2021-2021学年度第一学期期末教学统一检测高三数学（理科）学校_____________班级_______________姓名______________考号___________本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题共40分）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）设集合A?{1,2}，则满足A?B?{1,2,3}的集合B的个数是（A）1 (B) 3 (C)4 (D)8 （2）已知a是实数，a?i是纯虚数，则a等于 1?i（A）?1 （B）1 （C）2 （D）?2 （3）已知{an}为等差数列，其前n项和为Sn，若a3?6，S3?12，则公差d等于5 （C）2 （D）3 3（4）执行如图所示的程序框图，输出的k的值为（A）4 （B）5 （C）6 （D）7（A）1 （B）（5）若a，b是两个非零向量，则“a?b?a?b”是“a?b”的（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件?x?0,?y?0,（6）已知x，y满足不等式组?当3?s?5时，目标函数z?3x?2y的最大值的变化范围是 ??x?y?s,??y?2x?4.（A）[6,15]（B）[7,15] （C）[6,8]（D）[7,8]x2y2??1的右焦点重合，抛物线的准线与x轴的交点为（7）已知抛物线y?2px的焦点F与双曲线792K，点A在抛物线上且|AK|?2|AF|，则△AFK的面积为（A）4 （B）8 （C）16 （D）32（8）给出下列命题：①在区间(0,??)上，函数y?x,y?x,y?(x?1)2,y?x3中有三个是增函数；②若logm3?logn3?0，则0?n?m?1；③若函数f(x)是奇函数，则f(x?1)的图象关于点A(1,0)对?112?3x?2,x?2,1称；④已知函数f(x)??则方程 f(x)?有2个实数根，其中正确命题的个数为2?log3(x?1),x?2,（A）1 （B）2 （C）3 （D）4第Ⅱ卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
(优辅资源)北京市东城区高三上学期期末考试数学(文)试题Word版含答案
东城区高三年级第一学期期末练习数学（文科） 2018.1第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1A. B. C.（2）下列函数中为偶函数的是A. B.C. D.3），则A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件,（4A.8B.19C. 42D.89（5）已知向量若(2a-bA. C. D.（6A. B.（7）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积为B. C. D.（8）再一次调查中，甲、乙、丙、丁四名同学的阅读量有如下关系：同学甲、丙的阅读量之和与乙、丁的阅读量之和相同，甲、乙的阅读量之和大于丙、丁的阅读量之和。
丁的阅读量大于乙、丙的阅读量之和.那么这四名同学按阅读量从大到小的顺序排列为A. 甲、丁、乙、丙B. 丁、甲、乙、丙C.丁、乙、丙、甲D. 乙、甲、丁、丙第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
（9（10的渐近线方程为 .（11的最大值是 .（12的面积为 .（13）的值域为；的取值范围为 .（14）.的坐标为 . 三、解答题共6小题，共80分。
解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（15）（本小题13分）.（16）（本小题13分）.（17）（本小题14分）“砥砺奋进的五年”，首都经济社会发展取得新成就.自2012年以来，北京城乡居民收入稳步增长.随着扩大内需，促进消费等政策的出台，居民消费支出全面增长，消费结构持续优化升级，城乡居民人均可支配收入快速增长，人民生活品质不断提升.下图是北京市2012-2016年城乡居民人均可支配收入实际增速趋势图（例如2012年，北京城镇居民收入实际增速为7.3%，农村居民收入实际增速为8.2%）.（Ⅰ）从2012-2016五年中任选一年，求城镇居民收入实际增速大于7%的概率；（Ⅱ）从2012-2016五年中任选一年，求至少有一年农村和城镇居民收入实际增速均超过7%的概率；（Ⅲ）由图判断，从哪年开始连续三年农村居民收入实际增速方差最大？（结论不要求证明）（18）（本小题13分）.（19）（本小题14分）.求证：的充分必要条件. （20）（本小题13分）..东城区2017-2018学年第一学期期末教学统一检测高三数学参考答案及评分标准（文科）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）（1）C （2）D （3）A （4）C（5）A （6）D （7）B （8）A二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）（9（10（11（12（13（14三、解答题（共6小题，共80分）（15）（共13分）……………6分………13分（16）（共13分）解： (6)……13分（17）（共13分）解：这三年城镇居民收入实际增速大于，所以……5分其中至少有一年农村和城镇居民实际收入增速均超………10分.………13分（18）（共14分）解：（Ⅰ）………5分………9分………14分（19）（共14分）解：………4分………9分...………14分（20）（共13分）解：………4分①②1. ………13分。
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东城区2020-2021学难度第一学期期末统一检测 高三数学 2021.1 本试卷共4页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1.已知集合10Axx，0,1,2B，则AB
A.0 B.1 C.2 D.1,2 2.已知na是公差为d的等差数列，nS为其前n项和.若3133Sa，则d
A.2 B.1 C.1 D.2 3.下列函数中，既是奇函数，又在区间0,1上单调递增的是
A.2xy
B.lnyx C.1yx D.sinyx
4.将正方体去掉一个四棱锥，得到的几何体如图所示，该几何体的侧（左）视图为
A. B. C. D. 5.与圆2215xy
相切于点2,2的直线的斜率为 A.2 B.12 C.12 D.2
6.函数2sinfxx（0，2
）的部分图象如图所示，则f
A.3 B.32 C.32 D.3
7.设a，b是两个不同线向量，则“a与b的夹角为锐角”是“aab”的
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件 8.十二生肖，又叫属相，依次为鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪.现有十二生肖的吉祥物各一个，甲、乙、丙三名同学从中各选一个，甲没有选择马，乙、丙二人恰有一人选择羊，则不同的选法有 A.242种 B.220种 C.200种 D.110种 9.已知抛物线22ypx
（0p）的焦点F到准线的距离为2，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，
且3AFFB，则点A到y轴的距离为（ ） A.5 B.4 C.3 D.2 10.某公园门票单价30元，相关优惠政策如下： ①10人（含）以上团体购票9折优惠； ②50人（含）以上团体购票8折优惠； ③100人（含）以上团体购票7折优惠； ④购票总额每满500元减100元（单张票价不优惠）. 现购买47张门票，合理地设计购票方案，则门票费用最少为 A.1090元 B.1171元 C.1200元 D.1210元 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11.复数34ii________.
12.函数1lnfxxx的定义域是________. 13.已知1sin3，3,2，则cos________，cos2________.
14.已知双曲线M：22221xyab（0a，0b），ABC△为等边三角形.若点A在y轴上，点B，C在双
曲线M上，且双曲线M的实轴为ABC△的中位线，则双曲线M的离心率为________. 15.已知函数sincos23xxfx，0,2x，其中x表示不超过x的最大整数.
例如：11，0.50，0.51.
①23f
________；
②若fxxa对任意0,2x都成立，则实数a的取值范围是________. 三、解答题共6小题，共85分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 16.（本小题13分） 如图，在四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，4PD，底面ABCD是边长为2的正方形，E，F分别为PB，PC的中点.
（Ⅰ）求证：平面ADE平面PCD； （Ⅰ）求直线BF与平面ADE所成角的正弦值. 17.（本小题13分） 已知函数sin6gxx，coshxx，在从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求： （Ⅰ）fx的最小正周期； （Ⅰ）fx在区间0,2上的最大值. 条件①：fxgxhx； 条件②：fxgxhx. 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分. 18.（本小题14分） 为了解果园某种水果产量情况，随机抽取100个水果测量质量，样本数据分组为100,150，150,200，200,250，250,300，300,350，350,400（单位：克），其频率分布直方图如图所示：
（Ⅰ）用分层抽样的方法从样本里质量在250,300，300,350的水果中抽取6个，求质量在
250,300
的水果数量； （Ⅰ）从（Ⅰ）中得到的6个水果中随机抽取3个，记X为质量在300,350的水果数量，求X的分布列和数学期望； （Ⅰ）果园现有该种水果越20000个，其等级规则及销售价格如下表所示： 质量m（单位：克） 200m 200300m 300m 等级规格 二等 一等 特等 价格（元/个） 4 7 10 试估计果园该种水果的销售收入. 19.（本小题15分） 已知椭圆C：22221xyab（0ab）过点2,0A，2,0B，且离心率为12.
（Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅰ）设直线l与椭圆C有且仅有一个公共点E，且与x轴交于点G（E，G不重合），ETx轴，垂足为
T，求证：TAGATBGB.
20.（本小题15分） 已知函数21exaxfx，aR. （Ⅰ）若曲线yfx在点1,1f处的切线平行于直线yx，求该切线方程； （Ⅰ）若1a，求证：当0x时，0fx； （Ⅰ）若fx恰有两个零点，求a的值. 21.（本小题15分） 给定正整数m，t（mt），若数列A：12,,,,naaa满足：0,1ia，iitaa，12taaam，则称数列A具有性质,Etm. 对于两个数列B：12,,,,nbbb；C：12,,,,nccc， 定义数列BC；1122,,,,nnbcbcbc （Ⅰ）设数列A具有性质4,2E，数列B的通项公式为nbn（*nN），求数列AB的前四项和； （Ⅰ）设数列iA（*iN）具有性质4,Em，数列B满足11b，22b，33b，44b且4jjbb（*jN）.若存在一组数列12,,,kAAA，使得12kAAAB为常数列，求出m所有可能的值； （Ⅰ）设数列iA（*iN）具有性质,1Ett（常数2t），数列B满足121,2,,tbbbt且jjtbb
（*jN）.若存在一组数列12,,,kAAA，使得12kAAAB为常数列，求k的最小值.（只需写出结论） 东城区2020-2021学年度第一学期期末统一检测 高三数学参考答案及评分标准 2021.1 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） 1.D 2.C 3.D 4.B 5.A 6.A 7.B 8.C 9.C 10.B 二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分） 11.43i 12.1,
13.223 7
9 14.2
15.43 3,22
三、解答题（共6小题，共85分） 16.（共13分） 解：（Ⅰ）因为PD平面ABCD， 所以PDAD. 因为底面ABCD是正方形， 所以ADCD. 因为PDCDD， 所以AD平面PCD. 又因为AD平面ADE， 所以平面ADE平面PCD.
（Ⅰ）因为PD底面ABCD， 所以PDAD，PDCD. 因为底面ABCD是正方形，所以ADCD. 如图建立空间直角坐标系Dxyz. 因为4PD，底面ABCD为边长为2的正方形， 所以0,0,4P，2,0,0A，2,2,0B，0,2,0C，0,0,0D，1,1,2E，0,1,2F. 则2,0,0DA，1,1,2DE，2,1,2BF. 设平面ADE的法向量,,mxyz，
由00mDAmDE，可得2020xxyz
.
令1z，则0x，2y. 所以0,2,1m. 设直线BF与平面ADE所成角为，
则,445sincos,1595BFmBFmBFm.
所以直线BF与平面ADE所成角的正弦值为4515.
18.（共14分） 解：（Ⅰ）质量在250,300，300,350的该水果的频率分别为0.008500.4， 0.004500.2，其比为2:1，
所以按分层抽样从质量在250,300，300,350的这种水果中随机抽取6个， 质量在250,300的该种水果有4个. （Ⅰ）由（Ⅰ）可知，6个水果中由2个质量在300,350， 所以X的所有可能取值为0，1，2.