2005—数三真题、标准答案及解析

3 2
(A) 2. （8）设 I 1
D
(B) 4.
(C) 6.
(D) 8.
D D
[
]
cos
x 2 y 2 d , I 2 cos( x 2 y 2 )d , I 3 cos( x 2 y 2 ) 2 d ,其中
D ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ( x, y) x 2 y 2 1} ，则
P{Y 2} =______.
（6）设二维随机变量(X,Y) 的概率分布为 X Y 0 1 0 0.4 a 1 b 0.1 已知随机事件 { X 0} 与 { X Y 1} 相互独立，则 a= ， b= .
二、选择题（本题共 8 小题，每小题 4 分，满分 32 分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求， 把所选项前的字母填在题后的括号内） （7）当 a 取下列哪个值时，函数 f ( x) 2 x 9 x 12 x a 恰好有两个不同的零点.
（19） （本题满分 8 分） 设 f(x),g(x)在[0，1]上的导数连续，且 f(0)=0, f ( x) 0 , g ( x) 0 .证明：对任何 a [0,1] ,有

a
0
g ( x) f ( x)dx f ( x) g ( x)dx f (a) g (1).
2
2
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2005 年考研数学（三）真题解析
一、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上） （1）极限 lim x sin
x
2x = 2 . x 1
2
【分析】 本题属基本题型，直接用无穷小量的等价代换进行计算即可. 【详解】
1 1 1 1 (B) (20 t 0.05 (16),20 t 0.05 (16)). (20 t 0.1 (16),20 t 0.1 (16)). 4 4 4 4 1 1 1 1 (C) (20 t 0.05 (15),20 t 0.05 (15)). (D) (20 t 0.1 (15),20 t 0.1 (15)). [ ] 4 4 4 4
3 2
(A) 2. (B) 4. (C) 6. (D) 8. [ B ] 【分析】 先求出可能极值点，再利用单调性与极值画出函数对应简单图形进行分析，当恰好有一个极 值为零时，函数 f(x)恰好有两个不同的零点. 【详解】
f ( x) 6 x 2 18x 12 = 6( x 1)( x 2) ，知可能极值点为 x=1,x=2，且
x y
( x 1) ln(1 y) ，则 dz
(1, 0 )
________.
（4）设行向量组 (2,1,1,1) ， (2,1, a, a) ， (3,2,1, a) ， (4,3,2,1) 线性相关，且 a 1 ，则 a=_____. （5）从数 1,2,3,4 中任取一个数，记为 X, 再从 1,2,, X 中任取一个数，记为 Y, 则
2
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计算二重积分
x
D
2
y 2 1d ，其中 D {( x, y) 0 x 1,0 y 1} .
（18） （本题满分 9 分） 求幂级数
( 2n 1 1) x
n 1

1
2n
在区间(-1,1)内的和函数 S(x).
1 0 .
(B)
2 0 . (C) 1 0 .
2
(D)
2 0 .
2
[
]
（14） 设一批零件的长度服从正态分布 N ( , ) ，其中 , 均未知. 现从中随机抽取 16 个零件， 测得样本均值 x 20(cm) ，样本标准差 s 1(cm) ，则 的置信度为 0.90 的置信区间是
1, 0 x 1,0 y 2 x, f ( x, y) 其他. 0,
求： （I） (X,Y)的边缘概率密度 f X ( x), f Y ( y) ； （II） Z 2 X Y 的概率密度 f Z ( z ). ( III ) P{Y
1 1 X }. 2 2
【分析】 首先所有概率求和为 1，可得 a+b=0.5, 其次，利用事件的独立性又可得一等式，由此可确定 a,b 的取值. 【详解】 由题设，知 a+b=0.5 又事件 { X 0} 与 { X Y 1} 相互独立，于是有
P{X 0, X Y 1} P{X 0}P{X Y 1} ，
同解，求 a,b, c 的值. （21） （本题满分 13 分） 设D
A T C
T
C 为正定矩阵，其中 A,B 分别为 m 阶，n 阶对称矩阵，C 为 m n 矩阵. B
E (I) 计算 P DP ，其中 P m o
T
A 1C ； En
1
（II）利用(I)的结果判断矩阵 B C A C 是否为正定矩阵，并证明你的结论. （22） （本题满分 13 分） 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
z x 1 , xe x y y 1 y
于是
dz
(1, 0 )
2edx (e 2)dy .
1 . 2
（4）设行向量组 (2,1,1,1) ， (2,1, a, a) ， (3,2,1, a) ， (4,3,2,1) 线性相关，且 a 1 ，则 a= 【分析】 四个 4 维向量线性相关，必有其对应行列式为零，由此即可确定 a. 【详解】 由题设，有
代入初始条件得 C=2，故所求特解为 xy=2. （3）设二元函数 z xe
x y
( x 1) ln(1 y) ，则 dz
(1, 0 )
2edx (e 2)dy .
【分析】 基本题型，直接套用相应的公式即可. 【详解】
z e x y xe x y l n 1 ( y) , x
(A)
a2n1 收敛， a2n 发散 .
n 1 n 1

（B）

a2n 收敛， a2n1 发散.
n 1 n 1


(C)
(a2n1 a2n ) 收敛.
n 1
(D)
(a
n 1
2 n 1
a 2 n ) 收敛.
[
]
（10）设 f ( x) x sin x cos x ,下列命题中正确的是
2 1 1 1 2 1 a a 3 2 1 a 4 3 2 1
(a 1)(2a 1) 0 , 得 a 1, a
1 1 ，但题设 a 1 ，故 a . 2 2
（5）从数 1,2,3,4 中任取一个数，记为 X, 再从 1,2,, X 中任取一个数，记为 Y, 则
P{Y 2} =
13 48
.
【分析】 本题涉及到两次随机试验，想到用全概率公式, 且第一次试验的各种两两互不相容的结果即 为完备事件组或样本空间的划分. 【详解】
P{Y 2} = P{X 1}P{Y 2 X 1} + P{X 2}P{Y 2 X 2}
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(A) 三 、解答题（本题共 9 小题，满分 94 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） （15） （本题满分 8 分） 求 lim (
x 0
1 x 1 ). x x 1 e
y x x y
2 2g 2 g y . x 2 y 2
（16） （本题满分 8 分） 设 f(u)具有二阶连续导数，且 g ( x, y ) f ( ) yf ( ) ，求 x （17） （本题满分 9 分）
(A) (C)
I 3 I 2 I1 . I 2 I1 I 3 .
（B） I 1 I 2 I 3 . (D)
I 3 I1 I 2 .
[
]
（9）设 an 0, n 1,2,, 若

a
n 1

n
发散，
(1)
n 1

n 1
a n 收敛，则下列结论正确的是
2005 年考研数学（三）真题
一、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上） （1）极限 lim x sin
x
2x = x 1
2
.
（2） 微分方程 xy y 0 满足初始条件 y(1) 2 的特解为______. （3）设二元函数 z xe
* T * T
]
[
]
（12） 设矩阵 A= (aij ) 33 满足 A A ， 其中 A 是 A 的伴随矩阵， A 为 A 的转置矩阵. 若 a11 , a12 , a13 为三个相等的正数，则 a11 为
(A)
3 . 3
(B)
3. (C)
1 . 3
(D)
3.
[
]
（13）设 1 , 2 是矩阵 A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为 1 , 2 ，则 1 ， A(1 2 ) 线 性无关的充分必要条件是 (A)
（23） （本题满分 13 分）
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设 X 1 , X 2 ,, X n (n 2) 为 来 自 总 体 N(0,
2 )的简单随机样本， X 为样本均值，记
Yi X i X , i 1,2,, n.
求： （I） Yi 的方差 DYi , i 1,2,, n ； （II） Y1 与 Yn 的协方差 Cov(Y1 , Yn ). （III）若 c(Y1 Yn ) 是 的无偏估计量，求常数 c.