独立重复试验与二项分布 PPT
第十一章 第8讲 n次独立重复试验与二项分布
第8讲n次独立重复试验与二项分布基础知识整合1．条件概率及其性质2．事件的相互独立(1)设A，B为两个事件，如果P(AB)＝□05P(A)·P(B)，那么称事件A与事件B相互独立．(2)如果事件A与B相互独立，那么□06A与□07B，□08A与□09B，□10 A与□11B也都相互独立．3．独立重复试验与二项分布(1)独立重复试验在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验，即若用A i(i＝1,2，…，n)表示第i次试验结果，则P(A1A2A3…A n)＝□12P(A1)P(A2)P(A3)…P(A n)．(2)二项分布在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P(X＝k)＝□13C k n p k(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)，此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率．1．A ，B 中至少有一个发生的事件为A ∪B . 2．A ，B 都发生的事件为AB . 3．A ，B 都不发生的事件为A －B －.4．A ，B 恰有一个发生的事件为(A B －)∪(A －B )．5．A ，B 至多一个发生的事件为(A B )∪(A B )∪(A B )．1．甲射击命中目标的概率为0.75，乙射击命中目标的概率为23，当两人同时射击同一目标时，该目标被击中的概率为( )A.12 B ．1 C.1112 D.56 答案 C解析 1－13×14＝1112，选C.2．由0,1组成的三位编号中，若用A 表示“第二位数字为0的事件”，用B 表示“第一位数字为0的事件”，则P (A |B )＝( )A.12B.14C.16D.18 答案 A解析 因为第一位数字可为0或1，所以第一位数字为0的概率P (B )＝12，第一位数字为0且第二位数字也是0，即事件A ，B 同时发生的概率P (AB )＝12×12＝14，所以P (A |B )＝P (AB )P (B )＝1412＝12.3．(2019·吉林通化模拟)若ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫10，12，则P (ξ≥2)等于( )A.10131024B.111024C.501512D.507512 答案 A 解析P (ξ≥2)＝1－P (ξ＝0)－P (ξ＝1)＝1－C 010⎝ ⎛⎭⎪⎫1210－C 110⎝ ⎛⎭⎪⎫1210＝10131024.4．(2019·广东汕头模拟)甲、乙两人参加“社会主义价值观”知识竞赛，甲、乙两人能荣获一等奖的概率分别为23和34，甲、乙两人是否获得一等奖相互独立，则这两个人中恰有一人获得一等奖的概率为( )A.34B.23C.57D.512 答案 D解析 根据题意，恰有一人获得一等奖就是甲获奖乙没获奖或甲没获奖乙获奖，则所求概率是23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34＋34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＝512.故选D.5．(2019·福建厦门模拟)袋中装有2个红球，3个黄球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，则3次中恰有2次抽到黄球的概率是( )A.25B.35C.18125D.54125 答案 D解析 袋中装有2个红球，3个黄球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，每次取到黄球的概率P 1＝35，∴3次中恰有2次抽到黄球的概率是P ＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫352⎝ ⎛⎭⎪⎫1－35＝54125.6．袋中有红、黄、蓝球各1个，从中有放回地每次任取1个，直到取到红球为止，则第4次首次取到红球的概率为( )A.980B.881C.382D.827 答案 B解析 前3次都取不到红球的概率为⎝ ⎛⎭⎪⎫233，第4次首次取到红球的概率为13，4个独立事件同时发生的概率为⎝ ⎛⎭⎪⎫233×13＝881.核心考向突破考向一 条件概率例1 (1)(2019·大庆模拟)从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A ＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B ＝“取到的2个数均为偶数”，则P (B |A )＝( )A.18B.14C.25D.12答案 B解析P(A)＝C23＋C22C25＝25，P(B)＝C22C25＝110，又A⊇B，则P(AB)＝P(B)＝110，所以P(B|A)＝P(AB)P(A)＝P(B)P(A)＝14.(2)(2019·江西南昌模拟)口袋中装有大小、形状相同的红球2个，白球3个，黄球1个，甲从中不放回地逐一取球，已知第一次取得红球，则第二次取得白球的概率为________．答案3 5解析口袋中装有大小形状相同的红球2个，白球3个，黄球1个，甲从中不放回地逐一取球，设事件A表示“第一次取得红球”，事件B表示“第二次取得白球”，则P(A)＝26＝13，P(AB)＝26×35＝15，∴第一次取得红球后，第二次取得白球的概率为P(B|A)＝P(AB)P(A)＝1513＝35.触类旁通条件概率的求法(1)定义法：先求P(A)和P(AB)，再由P(B|A)＝P(AB)P(A)求P(B|A)．即时训练 1.某个电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为12，两次闭合后都出现红灯的概率为15，则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯的概率为()A.110 B.15 C.25 D.12答案 C解析设“开关第一次闭合后出现红灯”为事件A，“第二次闭合后出现红灯”为事件B ，则由题意可得P (A )＝12，P (AB )＝15，则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合出现红灯的概率是P (B |A )＝P (AB )P (A )＝1512＝25.故选C.2．有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率为________．答案 0.72解析 设种子发芽为事件A ，种子成长为幼苗为事件AB (发芽，又成活为幼苗)，出芽后的幼苗成活率为P (B |A )＝0.8，P (A )＝0.9， 由P (B |A )＝P (AB )P (A )，得P (AB )＝P (B |A )·P (A )＝0.9×0.8＝0.72. 故这粒种子成长为幼苗的概率为0.72. 考向二 相互独立事件的概率例2 (2017·天津高考)从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为12，13，14.(1)记X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X 的分布列和数学期望；(2)若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率． 解 (1)随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3. P (X ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＝14，P (X ＝1)＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×14＝1124，P (X ＝2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×13×14＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×14＋12×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＝14，P (X ＝3)＝12×13×14＝124.所以随机变量X 的分布列为随机变量X的数学期望E(X)＝0×14＋1×1124＋2×14＋3×124＝1312.(2)设Y表示第一辆车遇到红灯的个数，Z表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为P(Y＋Z＝1)＝P(Y＝0，Z＝1)＋P(Y＝1，Z＝0)＝P(Y＝0)P(Z＝1)＋P(Y＝1)P(Z＝0)＝14×1124＋1124×14＝1148.所以这2辆车共遇到1个红灯的概率为11 48.触类旁通求相互独立事件同时发生的概率的方法(1)相互独立事件同时发生的概率等于他们各自发生的概率之积；(2)当正面计算较复杂或难以入手时，可从其对立事件入手计算.即时训练 3.某乒乓球俱乐部派甲、乙、丙三名运动员参加某运动会的单打资格选拔赛，本次选拔赛只有出线和未出线两种情况．规定一名运动员出线记1分，未出线记0分．假设甲、乙、丙出线的概率分别为23，34，35，他们出线与未出线是相互独立的．(1)求在这次选拔赛中，这三名运动员至少有一名出线的概率；(2)记在这次选拔赛中，甲、乙、丙三名运动员的得分之和为随机变量ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望E(ξ)．解(1)记“甲出线”为事件A，“乙出线”为事件B，“丙出线”为事件C，“甲、乙、丙至少有一名出线”为事件D，则P(D)＝1－P(A－B－C－)＝1－13×14×25＝2930.(2)由题意可得，ξ的所有可能取值为0,1,2,3，则P(ξ＝0)＝P(A－B－C－)＝13×14×25＝130；P(ξ＝1)＝P(A B－C－)＋P(A－B C－)＋P(A－B－C)＝23×14×25＋13×34×25＋13×14×35＝13 60；P(ξ＝2)＝P(AB C－)＋P(A B－C)＋P(A－BC)＝23×34×25＋23×14×35＋13×34×35＝920；P(ξ＝3)＝P(ABC)＝23×34×35＝310.所以ξ的分布列为E(ξ)＝0×130＋1×1360＋2×920＋3×310＝12160.考向三独立重复实验与二项分布例3(2019·重庆模拟)为了应对新疆暴力恐怖活动，重庆市警方从武警训练基地挑选反恐警察，从体能、射击、反应三项指标进行检测，如果这三项中至少有两项通过即可入选．假定某基地有4名武警战士(分别记为A，B，C，D)拟参加挑选，且每人能通过体能、射击、反应的概率分别为23，23，12.这三项测试能否通过相互之间没有影响．(1)求A能够入选的概率；(2)规定：按入选人数得训练经费，每入选1人，则相应的训练基地得到5000元的训练经费，求该基地得到训练经费的分布列与数学期望(期望精确到个位)．解(1)设A通过体能、射击、反应分别记为事件M，N，P，则A能够入选包含以下几个互斥事件：MN P－，M N－P，M－NP，MNP，∴P(A)＝P(MN P－)＋P(M N－P)＋P(M－NP)＋P(MNP)＝23×23×12＋23×13×12＋13×23×12＋23×23×12＝1218＝23.(2)记ξ表示该训练基地入选人数，则得到的训练经费为η＝5000ξ，又ξ的可能取值为0,1,2,3,4，∴P (ξ＝0)＝C 04⎝ ⎛⎭⎪⎫230⎝ ⎛⎭⎪⎫134＝181， P (ξ＝1)＝C 14⎝ ⎛⎭⎪⎫231⎝ ⎛⎭⎪⎫133＝881， P (ξ＝2)＝C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝2481＝827， P (ξ＝3)＝C 34⎝ ⎛⎭⎪⎫233⎝ ⎛⎭⎪⎫131＝3281，P (ξ＝4)＝C 44⎝ ⎛⎭⎪⎫234⎝ ⎛⎭⎪⎫130＝1681. ∴ξ的分布列为触类旁通求解独立重复试验概率时应注意的问题(1)概率模型是否满足公式P n (k )＝C k n p k (1－p )n －k的三个条件：①在一次试验中某事件A 发生的概率是一个常数p ；②n 次试验不仅是在完全相同的情况下进行的重复试验，而且各次试验的结果是相互独立的；③该公式表示n 次试验中事件A 恰好发生了k 次的概率．(2)独立重复试验是相互独立事件的特例(概率公式也是如此)，就像对立事件是互斥事件的特例一样，只要有“恰好”字样的题用独立重复试验的概率公式计算更简单，就像有“至少”或“至多”等字样的题用对立事件的概率公式计算更简单一样.即时训练 4.某学校为了丰富学生的课余生活，以班级为单位组织学生开展古诗词背诵比赛，随机抽取一首，背诵正确加10分，背诵错误减10分，且背诵结果只有“正确”和“错误”两种．其中某班级学生背诵正确的概率p ＝23，记该班级完成n 首背诵后的总得分为S n .(1)求S 6＝20且S i ≥0(i ＝1,2,3)的概率； (2)记ξ＝|S 5|，求ξ的分布列及数学期望．解 (1)当S 6＝20时，即背诵6首后，正确的有4首，错误的有2首． 由S i ≥0(i ＝1,2,3)可知，若第一首和第二首背诵正确，则其余4首可任意背诵正确2首；若第一首背诵正确，第二首背诵错误，第三首背诵正确，则其余3首可任意背诵正确2首．则所求的概率P ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232×C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫232×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋23×13×23×C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫232×13＝1681. (2)由题意知ξ＝|S 5|的所有可能的取值为10,30,50，又p ＝23， ∴P (ξ＝10)＝C 35⎝ ⎛⎭⎪⎫233×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋C 25⎝ ⎛⎭⎪⎫232×⎝ ⎛⎭⎪⎫133＝4081， P (ξ＝30)＝C 45⎝ ⎛⎭⎪⎫234×⎝ ⎛⎭⎪⎫131＋C 15⎝ ⎛⎭⎪⎫231×⎝ ⎛⎭⎪⎫134＝3081， P (ξ＝50)＝C 55⎝ ⎛⎭⎪⎫235×⎝ ⎛⎭⎪⎫130＋C 05⎝ ⎛⎭⎪⎫230×⎝ ⎛⎭⎪⎫135＝1181， ∴ξ的分布列为∴E (ξ)＝10×4081＋30×3081＋50×1181＝185081.。
独立重复试验与二项分布ppt人教B版
2.下图是某城市通过抽样得到的居民某年的月 均用水量(单位：吨)的频率分布直方图
(1)求直方图中x的值； (2)若将频率视为概率，从这个城市随机抽取3位
居民(看作有放回的抽样)，求月均用水量在3 至4吨的居民数X的分布列．
解析： (1)依题意及频率分布直方图知， 0.02＋0.1＋x＋0.37＋0.39＝1，解得x＝0.12.
P C43 0.83 0.2 0.84 0.8192
练习：某射手每次射击击中目标的概率是2/3，且各次射击的结
果互不影响。
（1）假设这名射手射击5次，求恰有2次击中目标的概率 （2）假设这名射手射击5次，求有3次连续击中目标。另外2次 未击中目标的概率；
（3）假设这名射手射击3次，每次射击，击中目标得1分，未击 中目标得0分，在3次射击中，若有2次连续击中，而另外1次未
(2)由题意知，X～B(3,0.1)． 因此P(X＝0)＝C30×0.93＝0.729， P(X＝1)＝C31×0.1×0.92＝0.243， P(X＝2)＝C32×0.12×0.9＝0.027， P(X＝3)＝C33×0.13＝0.001. 故随机变量X的分布列为
X0 1 2 3
P 0.729 0.243 0.027 0.001
解：（1）由题设知，X的可能取值为10，5，2，-3， 且 P（X=10）=0.8×0.9=0.72， P（X=5）=0.2×0.9=0.18， P（X=2）=0.8×0.1=0.08， P（X=-3）=0.2×0.1=0.02。 由此得X的分布列为：
X
-3
2
5
10
P 0.02 0.08 0.18 0.72
击中，则额外加1分；若3次全击中，则额外加3分，记X为射手
射击3次后的总的分数，求X的分布列。
独立重复试验与二项分布
独立重复试验与二项分布独立重复试验与二项分布独立重复试验在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验。
二项分布前提：在n次独立重复试验中，事件A发生的次数X。
符号含义：p：每次试验中事件A发生的概率。
k：在n次独立重复试验中事件A发生的次数。
公式：$C_k^n p^k(1-p)^{n-k}$结论：随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率。
明确该公式中各量表示的意义：n为重复试验的次数；p 为在一次试验中某事件A发生的概率；k是在n次独立重复试验中事件A发生的次数。
判断正误1) n次独立重复试验的每次试验结果可以有多种。
×2) n次独立重复试验的每次试验的条件可以略有不同。
×3) 二项分布与超几何分布是同一种分布。
×4) 两点分布是二项分布的特殊情形。
√已知随机变量X服从二项分布，X～B(6，3)，则P(X＝2)等于$\frac{15}{64}$。
任意抛掷三枚均匀硬币，恰有2枚正面朝上的概率为$\frac{3}{8}$。
设随机变量X～B(2，p)，若P(X≥1)＝$\frac{3}{4}$，则$p=\frac{1}{3}$。
探究点1：独立重复试验的概率甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是$\frac{2}{3}$和$\frac{3}{4}$，假设每次射击是否击中目标，相互之间没有影响。
1) 求甲射击3次，至少1次未击中目标的概率。
记“甲射击3次至少有1次未击中目标”为事件A，由题意，射击3次，相当于3次独立重复试验，故$P(A_1)=1-P(A_0)=1-(\frac{2}{3})^3=\frac{19}{27}$。
2) 求两人各射击2次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标1次的概率。
记“甲射击2次，恰有2次击中目标”为事件A。
“乙射击2次，恰有1次击中目标”为事件B，则$P(A_2)=C_2^2(\frac{2}{3})^2(\frac{1}{3})^0=\frac{4}{9}$，$P(B_1)=C_2^1(\frac{3}{4})^1(\frac{1}{4})^1=\frac{3}{8}$。
知识讲解独立重复试验与二项分布
知识讲解独立重复试验与二项分布(理)(提高)(共12页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--独立重复试验与二项分布【学习目标】1．理解n 次独立重复试验模型及二项分布．2．能利用n 次独立重复试验及二项分布解决一些简单的实际问题． 【要点梳理】要点一、n 次独立重复试验每次试验只考虑两种可能结果A 与A ，并且事件A 发生的概率相同。
在相同的条件下重复地做n 次试验，各次试验的结果相互独立，称为n 次独立重复试验。
要点诠释：在n 次独立重复试验中，一定要抓住四点： ①每次试验在同样的条件下进行；②每次试验只有两种结果A 与A ，即某事件要么发生，要么不发生； ③每次试验中，某事件发生的概率是相同的； ④各次试验之间相互独立。
总之，独立重复试验，是在同样的条件下重复的，各次之间相互独立地进行的一种试验，在这种试验中，每一次的试验结果只有两种，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中发生的概率都是一样的。
要点二、独立重复试验的概率公式1.定义如果事件A 在一次试验中发生的概率为P ，那么n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为：()(1)k k n kn n P k C p p -=-（k=0，1，2，…，n ）． 令0k =得，在n 次独立重复试验中，事件A 没有发生的．．．．．概率为．．．00(0)(1)(1)n nn n P C p p p =-=-令k n =得，在n 次独立重复试验中，事件A 全部发生的概率为．．．．．．．．0()(1)n n n n n P n C p p p =-=。
要点诠释：1. 在公式中，n 是独立重复试验的次数，p 是一次试验中某事件A 发生的概率，k 是在n 次独立重复试验中事件A 恰好发生的次数，只有弄清公式中n ，p ，k 的意义，才能正确地运用公式．2. 独立重复试验是相互独立事件的特例，就像对立事件是互斥事件的特例一样，只是有“恰好”字样的用独立重复试验的概率公式计算更方便．要点三、n 次独立重复试验常见实例：1.反复抛掷一枚均匀硬币2.已知产品率的抽样3.有放回的抽样4.射手射击目标命中率已知的若干次射击 要点诠释：抽样问题中的独立重复试验模型：①从产品中有放回地抽样是独立事件，可按独立重复试验来处理； ②从小数量的产品中无放回地抽样不是独立事件，只能用等可能事件计算；③从大批量的产品中无放回地抽样，每次得到某种事件的概率是不一样的，但由于差别太小，相当于是独立事件，所以一般情况下仍按独立重复试验来处理。
(完整)2.2.3 独立重复试验与二项分布
C32
3 5
(1
3
5 )2
5
54 125
5
5
125
（4）刚好在第二、第三两次击中目标。
(1 3) 3 3 18 5 5 5 125
11 [普通高中课程数学选修课2-3堂] 练2.2习二项分布及其应用
1、每次试验的成功率为P（0＜P＜1）,重复进行10次 试验，其中前七次未成功后三次成功的概率（ C ）
C
n n
pn
注: P( X k ) cnk pkqnk是( p q)n展开式中的第 k 1 项.
8 [普通高中课程数学选修2-3] 2.2 二项分布及其应用
二项分布与两点分布、超几何分布有什么区别和联系？ 1．两点分布是特殊的二项分布 (1 p)
2．一个袋中放有 M 个红球，( N M )个白球，依次从袋中 取 n 个球，记下红球的个数 .
P(B0) P(A1 A2 A3) q3, P(B1) P(A1 A2 A3) P(A1A2 A3) P(A1 A2 A3) 3q2 p, P(B2) P(A1A2 A3) P(A1A2 A3) P(A1 A2 A3) 3qp2,
P(B3 ) P( A1A2 A3 ) p3.
所以，连续掷一枚图钉3次，仅出现1次针尖向上的概率是 3q2 p.
6 [普通高中课程数学选修2-3] 2.2 二项分布及其应用
思考？
上面我们利用掷1次图钉，针尖向上的概率为p，求 出了连续掷3次图钉，仅出现次1针尖向上的概率。类
似地，连续掷3次图钉，出现 k(0 k 3) 次针尖向
上的概率是多少？你能发现其中的规律吗？
（2）在10次射击中，至少8次击中目标的概率为：
独立重复试验与二项分布PPT课件
由于事件A1 A 2 A 3 , A1A 2 A 3和A1 A 2 A 3彼此互斥,由概率加 法公式得 P(B1 ) P( A1 A 2 A 3 ) P( A1A 2 A 3 ) P( A1 A 2 A 3 ) q2p q2p q2p 3q2p . 所以, 连续掷一枚图钉 3 次, 仅出现1 次针尖向上的概率是
探究与发现
服从两项分布的随机变 量取 何值时概率最大
二项分布是应用最广泛的离散型随机变量 概率模型 .对与两项分布有关的一些问题的 探究是很有意义的 .例如, 在上面的例4中, 我 们还可以提这样的问题:
如果某射手每次射击击 中目标的概率0.8, 每次射击的结果相互独 立, 那么它在10 次 射击中 , 最有可能击中目标几次 ?
k k n nk
对比这个公式与表示二 项式定理的公式 , 你能 看出它们之间的联系吗 ?
思考 二项分布与两点分布有 何关系?
例 4 某射手射击击中目标的 概率是 0.8.求这名 射手在10 次射击中 , 1恰有8次击中目标的概率 ; 2至少有8次击中目标的概率 .(结果保留两位有 效数字 .)
解 设X为击中目标的次数,则X ~ B10,0.8.
1在10次射击中, 恰有8次击中目标的概率为 10 8 8 8 PX 8 C10 0.8 1 0.8 0.30. 2在10次射击中,至少有8次击中目标的概率为 PX 8 PX 8 PX 9 PX 10 10 8 10 9 8 8 9 9 C10 0.8 1 0.8 C10 0.8 1 0.8 10 10 0.68 . 10 10 C10 0.8 1 0.8
在n次独立重复试验中 , " 在相同条件下 " 等价于 各次试验的结果不会受 其他试验的影响,即 1 式成立 .
二项分布与超几何分布(第1课时+n次独立重复试验与二项分布)课件
1
率均为 ,抽取
5
则 X~B
所以
1
3,
5
3 次可以看成 3 次独立重复试验,
.
P(X=0)=C30
P(X=1)=C31
×
1 0
5
×
1 1
5
×
×
4 2
5
4 3
5
=
=
48
,
125
64
,
125
P(X=2)=C32
P(X=3)=C33
抛硬币这个伯努利试验.
(1)每次试验结果有哪些?
提示:正面向上或反面向上.
(2)各次试验的结果有无影响?
提示:无影响.
2.在相同条件下重复n次伯努利试验时,人们总是约定这n次试验是相互独
立的,此时这n次伯努利试验也常称为n次独立重复试验.
3.独立重复试验应满足的条件是(
)
①每次试验之间是相互独立的;②每次试验只有事件发生与不发生两种结
4
P(A1)=P(A2)=6,P(B1)=P(B2)=5.
(1)至少有 1 棵成活的概率为
1-P(1 2 1 2 )=1-P(1 )P(2 )P(1 )P(2 )
=1-
1 2
6
×
1 2 899
=
.
5
900
(2)由独立重复试验中事件发生的概率公式知,所求概率为
P=C2156Fra bibliotek16
× × ×
C32 ×0.82×0.2+C33 ×0.83×0.20=0.896.
(2)在未来3天中,至少有连续2天预报准确的概率为
独立重复试验与二项分布 课件
1．n 次独立重复试验：一般地，在 相同 条件下重复做的 n 次试验称为 n 次独立重复试验．
2．在 n 次独立重复试验中，“在相同的条件下”等价于 各次试验的结果不会受其他试验的 影响 ，即 P(A1A2…An)＝
P(A1)P(A2)…P(An)．其中 Ai(i＝1,2，…，n)是第 i 次试验的结 果．
则 P(A)＝0.7，P(B)＝0.6，P(C)＝0.8. 所以从甲、乙、丙三台机床加工的零件中各取一件检验， 至少有一件一等品的概率为 P1＝1－P(－A )P(－B )P(－C )＝1－0.3×0.4×0.2＝0.976. (2)将甲、乙、丙三台机床加工的零件混合到一起，从中任 意地抽取一件检验，它是一等品的概率为 P2＝2×0.7＋40.6＋0.8＝0.7.
4 243
1 729
[点评] 解此类题首先判断随机变量 X 服从二项分布，即 X～B(n，p)，然后求出 P(X＝k)＝Cknpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)， 最后列出二项分布列．
二项分布的应用
甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零 件，已知甲、乙、丙三台机床加工的零件是一等品的概率分别 为 0.7、0.6、0.8，乙、丙两台机床加工的零件数相等，甲机床 加工的零件数是乙机床加工的零件数的 2 倍．
4．Cknpk(1－p)n－k 是[p＋(1－p)]n 的二项展开式中的第 k＋1 项．
独立重复试验概率的求法
某人射击 5 次，每次中靶的概率均为 0.9，求他至 少有 2 次中靶的概率．
[分析] 至少有 2 次中靶包括恰好有 2 次中靶，恰好有 3 次 中靶，恰好有 4 次中靶和恰好有 5 次中靶四种情况，这些事件 是彼此互斥的，而每次射击中靶的概率均相等，并且相互之间 没有影响，所以每次射击又是相互独立事件，因而射击 5 次是 进行 5 次独立重复试验．
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事件 A 发生的概率 事件A发生的概率
P n (k ) C n kp k(1 p )n k
实验总次数
（其中k = 0，1，2，···，n ） 事件 A 发生的次数
基本概念
2、伯努利概型： 一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的
次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p，那么 在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为
(2)事件D ＝“按比赛规则甲获胜”，则 D ABC，
又因为事件 A 、B 、C 彼此互斥，故
P ( D ) P ( A B C ) P ( A ) P ( B ) P ( C ) 1 3 3 1
答：按比赛规则甲获胜的概率为 1 ．
8 1 6 1 6 2
2
小结
1.独立重复试验的概念
独立重复试验与二项分布
1、独立重复试验的概念
1、独立重复试验的概念
在相同的条件下，重复地做n次试验，各次试验的结 果相互独立，那么一般就称它们为n次独立重复试验.
独立重复试验的特点
1).每次试验是在相同的条件下重复进行的; 2).各次试验中的结果是相互独立的； 3).每次试验都只有两种结果:发生与不发生； 4).每次试验某事件发生的概率是相同的.
例2.已知随机变量 ~ B(4, 1)，则P(2)（ D ）．
3
（A）19
(B) 62
(C) 1
(D) 8
81
81
9
9
3、二项分布
在n次独立重复试验中，设事件A发说生说的与次两数点是分X布，且 在每次试验中事件A发生的概率是p，那的么区事别件和A联恰系好发生 k次的概率是为
P ( X k ) C n k p k ( 1 是p ) (n q +k p,k )n展 0 开, 1 ,2 ,. . . ,n q1p
2伯努利概型公式. P n(k) C n kP k(1 P )n k (k0,1,2,,n)
⑴如果是有放回地取，则 B(n, M )
N ⑵如果是不放回地取, 则 服从超几何分布.
P(
k)
C C k nk M NM
C
n N
(k
0,1, 2,
, m) (其中 m min(M , n)
例3 实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，规定5 局3胜制（即5局内谁先赢3局就算胜出并停止比赛）． （1）试分别求甲打完3局、4局、5局才能取胜的概率； （2）按比赛规则甲获胜的概率．
于是得到随机变量X的概率式分布如下：
X
0
1…
k
…
n
p
C
0 n
p
0
q
n
Cn1 p1qn1
…
Cnk pkqnk
…
C
n n
p
n
q
0
此时我们称随机变量X服从二项分布，
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ记作: X~B(n, p) 其中p为成功概率.
二项分布与两点分布、超几何分布有什么区别和联系？
1．两点分布是特殊的二项分布 (1 p)
2．一个袋中放有 M 个红球，( N M )个白球，依次从袋中 取 n 个球，记下红球的个数 .
PA 1 A 2 A 3 A 4 4 p 3 q q1p
C43 p3q43
他在5次投篮中，投中3次的可能性有多大呢？
C53 p3q53
他在n次投篮中，投中3次的可能性有多大呢？
Cn3 p3qn3
他在4次投篮中，未投中、投中1次、2次、4次的可能性 分别是多少呢？
未投中的概率： C40 p0q40
1 8
．
②甲打完4局才能取胜，相当于前3局为2胜1负且第4局比赛甲取 胜，∴甲打完4局才能取胜的概率为
P(B)C 3 2(1 2)21 21 213 6
③甲打完5局才能取胜,相当于前4局恰好2胜2负且第5局比赛甲 取胜，∴甲打完5局才能取胜的概率为
P (C )C 4 2(1 2)2(1 2)21 21 3 6
家谱简图：
尼古拉·伯努利（父）
雅各布·伯努利 （兄）约翰·伯努利 （弟）
丹尼尔·伯努利（次子）
例题
2．某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为45，那么播下3
粒种子恰有2粒发芽的概率是
()
12 A.125
16 B.125
C.14285
D.19265
解析：P＝C23(45)2(15)1＝14285. 答案： C
投中1次的概率： 投中2次的概率： 投中4次的概率：
C41 p1q41
C42 p2q42 C44 p4q44
他在n次投篮中，投中 k(kn,kN)次的概率是多少？
Cnk pkqnk
2、n次独立重复试验的概率公式及结构特点：
如果在1次试验中，事件A发生的概率为p, 则 在n次独立重复试验中，A恰好发生k次的概率为：
推导n次独立重复试验中事件A发生k次的概率公式
姚明投篮1次成功 的概率是p，他在某场 比赛中得到4次罚篮机 会，假设每次投篮都互 不影响，那么他投中3 次的可能性有多大呢？
他在某场比赛中得到4次罚篮机会，假设每次投篮都 互不影响，那么他投中3次的可能性有多大呢？
第一次 第二次 第三次 第四次 用Ai(i=1,2,3,4)表示第i次命中的事件
P ( X k ) C n k p k ( 1 p ) n k ,k 0 , 1 ,2 ,. . . ,n .
符合独立重复试验的概率模型称为伯努利概型
雅各布•伯努利
1654年12月27日，雅各布•伯努利生于 巴塞尔，毕业于巴塞尔大学，1671年17 岁时获艺术硕士学位。这里的艺术指 “自由艺术”，包括算术、几何学、天 文学、数理音乐和文法、修辞、雄辩术 共7大门类。雅各布对数学最重大的贡 献是在概率论方面的研究。他从1685年 起发表关于赌博游戏中输赢次数问题的 论文，后来写成巨著《猜度术》。
解：（1）甲、乙两队实力相等，所以每局 比赛甲获胜的概率为 1 ，乙获胜的概率为
1
．
2
2
记事件 A =“甲打完3局才能取胜”，记事件 B =“甲打完4局
才能取胜”，记事件C =“甲打完5局才能取胜”．
①甲打完3局取胜，相当于进行3次独立重复试验，且每局比赛
甲均取胜∴甲打完3局取胜的概率为
P(A)
C33(12)3
记为 A1A2 A3 A4 记为 A1 A2 A3 A4 记为 A1 A2 A3 A4 记为 A1 A2 A3 A4
用Ai(i=1,2,3,4)表示第i次命中的事件
B3表示“恰好命中3次”的事件
PB 3 PA 1 A 2 A 3A 4 PA 1 A 2A 3 A 4 PA 1A 2 A 3 A 4