精品课件：n次独立重复试验与二项分布
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高三数学精品课件： n次独立重复试验与二项分布
2设．“(2从0191·南号昌箱月取考到)红已球知”1 为号事箱件中有A，2“个从白2球号和箱4取个到红红球球、”2
号为箱事中件有B.5 个白球和 3 个红球，现随机从 1 号箱中取出一球
放红由球入题的意2 概号，率箱P(是，A)然(＝后C2＋4从)4＝2 号23，箱P中(B随|A机)＝取38出＋ ＋一11＝球49，，则两次都取到
为正面向上}，则事件 C＝{两枚向
上的面为一正一反}的概率为
(B )
A.14
B.12
3
3
C.4
D.8
P(A)＝P(B)＝12，P( A ) ＝P( B )＝12. 则 P(C)＝P(A B ＋ A B) ＝ P(A)P( B ) ＋ P( A )P(B) ＝12×12＋12×12＝12，故选 B.
[主干知识·自主梳理] [考点分类·深度剖析] 课时作业
A.13，25
B.23，25
C.23，35
D.12，35
P(A|B)＝PPABB＝00..1128
＝
23 ，
P(B|A) ＝
PAB PA
＝00.1.22＝35.
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[主干知识·自主梳理] 重温教材 自查自纠
小题诊断
3．有一批种子的发芽率为 0.9，出 芽后的幼苗成活率为 0.8，在这批 种子中，随机抽取一粒，则这粒种 子能成长为幼苗的概率为 __0_._7_2___．
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考点二 相互独立事件的概率 (核心考点——合作探究)
甲、乙、丙 3 位大学生同时应聘某个用人单位的职位， 3 人能被选中的概率分别为25，34，13，且各自能否被选中互不影 响． (1)求 3 人同时被选中的概率； (2)求 3 人中至少有 1 人被选中的概率．
独立重复试验与二项分布PPT课件
由于事件A1 A 2 A 3 , A1A 2 A 3和A1 A 2 A 3彼此互斥,由概率加 法公式得 P(B1 ) P( A1 A 2 A 3 ) P( A1A 2 A 3 ) P( A1 A 2 A 3 ) q2p q2p q2p 3q2p . 所以, 连续掷一枚图钉 3 次, 仅出现1 次针尖向上的概率是
探究与发现
服从两项分布的随机变 量取 何值时概率最大
二项分布是应用最广泛的离散型随机变量 概率模型 .对与两项分布有关的一些问题的 探究是很有意义的 .例如, 在上面的例4中, 我 们还可以提这样的问题:
如果某射手每次射击击 中目标的概率0.8, 每次射击的结果相互独 立, 那么它在10 次 射击中 , 最有可能击中目标几次 ?
k k n nk
对比这个公式与表示二 项式定理的公式 , 你能 看出它们之间的联系吗 ?
思考 二项分布与两点分布有 何关系?
例 4 某射手射击击中目标的 概率是 0.8.求这名 射手在10 次射击中 , 1恰有8次击中目标的概率 ; 2至少有8次击中目标的概率 .(结果保留两位有 效数字 .)
解 设X为击中目标的次数,则X ~ B10,0.8.
1在10次射击中, 恰有8次击中目标的概率为 10 8 8 8 PX 8 C10 0.8 1 0.8 0.30. 2在10次射击中,至少有8次击中目标的概率为 PX 8 PX 8 PX 9 PX 10 10 8 10 9 8 8 9 9 C10 0.8 1 0.8 C10 0.8 1 0.8 10 10 0.68 . 10 10 C10 0.8 1 0.8
在n次独立重复试验中 , " 在相同条件下 " 等价于 各次试验的结果不会受 其他试验的影响,即 1 式成立 .
高二数学人选修课件独立重复试验与二项分布
1. 根据组合数公式计 算成功次数为2的组合 方式数量：C(10, 2)。
2. 计算成功和失败的 概率：p=0.05，1p=0.95。
3. 将上述结果代入二 项分布概率公式进行 计算，得到恰好抽到2 个次品的概率为： P(X=2) = C(10, 2) * 0.05^2 * 0.95^(102)。
生活中独立重复试验与二项分
其他领域应用举例
产品质量检验
在生产线上，为了保证产品质量，会 对每个产品进行多次独立的重复检验 。每次检验的结果为合格或不合格， 符合二项分布的特点。
市场营销调查
在市场营销中，为了了解消费者对某 种产品的接受程度，会进行多次独立 的重复调查。每次调查的结果为购买 或不购买，也符合二项分布的特点。
谢谢聆听
递推关系式应用举例
通过已知的初始条件$P(A_0)=q^n$和递推关系式，可以逐步求出 $P(A_1),P(A_2),ldots,P(A_n)$的值。
案例分析：射击比赛问题
问题描述
某射手进行射击比赛，每次射击的命中率为0.8，若命中则得10分，否则扣4分。设该射 手射击10次，求其总得分的数学期望和方差。
VS
二项分布的概率计算
二项分布描述了在n次独立重复试验中成 功k次的概率。其概率计算公式为C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)，其中C(n, k)表示从 n个不同元素中取出k个元素的组合数，p 表示每次试验成功的概率。
案例分析：投掷硬币问题
问题描述
假设我们有一个均匀的硬币，正面朝上的概率为p，反面朝上的概率为1-p。现在我们 进行n次投掷，求正面朝上k次的概率。
概率模型建立
该射手每次射击得分是一个随机变量，取值为10或-4，且命中得10分的概率为0.8，未命 中扣4分的概率为0.2。因此，该射手10次射击的总得分也是一个随机变量，服从二项分 布。
二项分布与超几何分布(第1课时+n次独立重复试验与二项分布)课件
解:有放回抽取时,取到的黑球个数 X 可能的取值为 0,1,2,3.又每次取到黑球的概
1
率均为 ,抽取
5
则 X~B
所以
1
3,
5
3 次可以看成 3 次独立重复试验,
.
P(X=0)=C30
P(X=1)=C31
×
1 0
5
×
1 1
5
×
×
4 2
5
4 3
5
=
=
48
,
125
64
,
125
P(X=2)=C32
P(X=3)=C33
抛硬币这个伯努利试验.
(1)每次试验结果有哪些?
提示:正面向上或反面向上.
(2)各次试验的结果有无影响?
提示:无影响.
2.在相同条件下重复n次伯努利试验时,人们总是约定这n次试验是相互独
立的,此时这n次伯努利试验也常称为n次独立重复试验.
3.独立重复试验应满足的条件是(
)
①每次试验之间是相互独立的;②每次试验只有事件发生与不发生两种结
4
P(A1)=P(A2)=6,P(B1)=P(B2)=5.
(1)至少有 1 棵成活的概率为
1-P(1 2 1 2 )=1-P(1 )P(2 )P(1 )P(2 )
=1-
1 2
6
×
1 2 899
=
.
5
900
(2)由独立重复试验中事件发生的概率公式知,所求概率为
P=C2156Fra bibliotek16
× × ×
C32 ×0.82×0.2+C33 ×0.83×0.20=0.896.
(2)在未来3天中,至少有连续2天预报准确的概率为
1
率均为 ,抽取
5
则 X~B
所以
1
3,
5
3 次可以看成 3 次独立重复试验,
.
P(X=0)=C30
P(X=1)=C31
×
1 0
5
×
1 1
5
×
×
4 2
5
4 3
5
=
=
48
,
125
64
,
125
P(X=2)=C32
P(X=3)=C33
抛硬币这个伯努利试验.
(1)每次试验结果有哪些?
提示:正面向上或反面向上.
(2)各次试验的结果有无影响?
提示:无影响.
2.在相同条件下重复n次伯努利试验时,人们总是约定这n次试验是相互独
立的,此时这n次伯努利试验也常称为n次独立重复试验.
3.独立重复试验应满足的条件是(
)
①每次试验之间是相互独立的;②每次试验只有事件发生与不发生两种结
4
P(A1)=P(A2)=6,P(B1)=P(B2)=5.
(1)至少有 1 棵成活的概率为
1-P(1 2 1 2 )=1-P(1 )P(2 )P(1 )P(2 )
=1-
1 2
6
×
1 2 899
=
.
5
900
(2)由独立重复试验中事件发生的概率公式知,所求概率为
P=C2156Fra bibliotek16
× × ×
C32 ×0.82×0.2+C33 ×0.83×0.20=0.896.
(2)在未来3天中,至少有连续2天预报准确的概率为
独立重复试验与二项分布 课件
求服从二项分布的分布列 [典例] (本小题满分 12 分)甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜 3 局者获得比赛的 胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是21外，其余每局比赛甲队获胜的概 率都是23.假设各局比赛结果相互独立． (1)分别求甲队以 3∶0，3∶1,3∶2 胜利的概率； (2)若比赛结果为 3∶0 或 3∶1，则胜利方得 3 分，对方得 0 分；若比赛结果为 3∶2， 则胜利方得 2 分，对方得 1 分．求乙队得分 X 的分布列．
[解析] (1)记“甲队以 3∶0 胜利”为事件 A1，“甲队以 3∶1 胜利”为事件 A2，“甲 队以 3∶2 胜利”为事件 A3， 由题意，各局比赛结果相互独立，
故 P(A1)＝233＝287，1 分 P(A2)＝C232321－32×23＝287，
3分
P(A3)＝C242321－322×21＝247. 所以，甲队以 3∶0 胜利、以 3∶1 胜利的概率都为287，以 3∶2 胜利的概率为247.5 分
P(X＝3)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)－P(X＝2)＝237，10 分
故 X 的分布列为
X0 1 2 3
P
16 274 27 Nhomakorabea4 27
3 27
12 分
[规范与警示] (1) 甲以 3∶2 胜利极易写成 C24232·1－232·23＝1861，或 C242321－322
＝287. (2)求解 X＝0,1,2,3 对应的概率，利用 P(X＝0)＝P(A1＋A2)等可减少计算量，避免 失分． (3)解答此类问题步骤要规范，语言叙述要准确，在写分布列时表格要完整.
解答此类题目首先分析随机变量是否满足独立重复试验的条件，若满足，再利用 P(X＝k)＝Cknpk·(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)计算即可．
独立重复试验与二项分布课件
3
【解析】P X
2
C62
(
1 3
)
2
(
2 )4 3
80 . 243
答案：80
243
3.任意抛掷三枚硬币，恰有2枚正面朝上的概率为_____.
【解析】
P
X
2
C（32
1 2
）2 1 2
3. 8
答案：3
8
1.n次独立重复试验的特征 (1)每次试验的条件都完全相同,有关事件的概率保持不变. (2)每次试验的结果互不影响,即各次试验相互独立. (3)每次试验只有两种结果,这两种可能的结果是对立的.
【解析】1.设要使至少命中1次的概率不小于0.75，应射击n
次，记事件A＝“射击一次，击中目标”，则P(A)=0.25．
∵射击n次相当于n次独立重复试验，
∴事件A至少发生1次的概率为P=1-0.75n．
由题意，令 1 0.75n 0.75，( 3)n 1，
lg 1
44
∴ n 4 ∴4n.8至2，少取5．
=0.84+0.85≈0.410+0.328≈0.74. 故5次预报中至少有4次准确的概率约为0.74．
二项分布问题
解决二项分布问题的两个关注点
(1)对于公式 PX k Cknpk 1 p nk (k 0，1，2，，n) 必须在满足
“独立重复试验”时才能运用,否则不能应用该公式. (2)判断一个随机变量是否服从二项分布,关键有两点：一是对 立性,即一次试验中,事件发生与否两者必有其一；二是重复性, 即试验是独立重复地进行了n次.
称__随__机__变__量__X_服从二项分布. (2)表示：记作_X_～__B_(_n_，__p_). (3)p的名称：成__功__概率.
独立重复试验与二项分布 课件
独立重复试验与二项分布
1．n 次独立重复试验：一般地，在 相同 条件下重复做的 n 次试验称为 n 次独立重复试验．
2．在 n 次独立重复试验中，“在相同的条件下”等价于 各次试验的结果不会受其他试验的 影响 ，即 P(A1A2…An)＝
P(A1)P(A2)…P(An)．其中 Ai(i＝1,2，…，n)是第 i 次试验的结 果．
则 P(A)＝0.7，P(B)＝0.6，P(C)＝0.8. 所以从甲、乙、丙三台机床加工的零件中各取一件检验， 至少有一件一等品的概率为 P1＝1－P(－A )P(－B )P(－C )＝1－0.3×0.4×0.2＝0.976. (2)将甲、乙、丙三台机床加工的零件混合到一起，从中任 意地抽取一件检验，它是一等品的概率为 P2＝2×0.7＋40.6＋0.8＝0.7.
4 243
1 729
[点评] 解此类题首先判断随机变量 X 服从二项分布，即 X～B(n，p)，然后求出 P(X＝k)＝Cknpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)， 最后列出二项分布列．
二项分布的应用
甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零 件，已知甲、乙、丙三台机床加工的零件是一等品的概率分别 为 0.7、0.6、0.8，乙、丙两台机床加工的零件数相等，甲机床 加工的零件数是乙机床加工的零件数的 2 倍．
4．Cknpk(1－p)n－k 是[p＋(1－p)]n 的二项展开式中的第 k＋1 项．
独立重复试验概率的求法
某人射击 5 次，每次中靶的概率均为 0.9，求他至 少有 2 次中靶的概率．
[分析] 至少有 2 次中靶包括恰好有 2 次中靶，恰好有 3 次 中靶，恰好有 4 次中靶和恰好有 5 次中靶四种情况，这些事件 是彼此互斥的，而每次射击中靶的概率均相等，并且相互之间 没有影响，所以每次射击又是相互独立事件，因而射击 5 次是 进行 5 次独立重复试验．
1．n 次独立重复试验：一般地，在 相同 条件下重复做的 n 次试验称为 n 次独立重复试验．
2．在 n 次独立重复试验中，“在相同的条件下”等价于 各次试验的结果不会受其他试验的 影响 ，即 P(A1A2…An)＝
P(A1)P(A2)…P(An)．其中 Ai(i＝1,2，…，n)是第 i 次试验的结 果．
则 P(A)＝0.7，P(B)＝0.6，P(C)＝0.8. 所以从甲、乙、丙三台机床加工的零件中各取一件检验， 至少有一件一等品的概率为 P1＝1－P(－A )P(－B )P(－C )＝1－0.3×0.4×0.2＝0.976. (2)将甲、乙、丙三台机床加工的零件混合到一起，从中任 意地抽取一件检验，它是一等品的概率为 P2＝2×0.7＋40.6＋0.8＝0.7.
4 243
1 729
[点评] 解此类题首先判断随机变量 X 服从二项分布，即 X～B(n，p)，然后求出 P(X＝k)＝Cknpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)， 最后列出二项分布列．
二项分布的应用
甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零 件，已知甲、乙、丙三台机床加工的零件是一等品的概率分别 为 0.7、0.6、0.8，乙、丙两台机床加工的零件数相等，甲机床 加工的零件数是乙机床加工的零件数的 2 倍．
4．Cknpk(1－p)n－k 是[p＋(1－p)]n 的二项展开式中的第 k＋1 项．
独立重复试验概率的求法
某人射击 5 次，每次中靶的概率均为 0.9，求他至 少有 2 次中靶的概率．
[分析] 至少有 2 次中靶包括恰好有 2 次中靶，恰好有 3 次 中靶，恰好有 4 次中靶和恰好有 5 次中靶四种情况，这些事件 是彼此互斥的，而每次射击中靶的概率均相等，并且相互之间 没有影响，所以每次射击又是相互独立事件，因而射击 5 次是 进行 5 次独立重复试验．
独立重复试验与二项分布 课件
1
4
4
k k
11 4 7 4
7 4
k
11 4
k 2.
P2 (2)
C
2 10
( 1 )2 4
(3)8 4
0.28
例2.有译电员若干员,每人独立 破到译 译密 出码密的码概 的率 概均 率为 为013.9,若9,至要少达 要配备多少人?
(lg2=0.3010,lg3=0.4771)
袋中有12个球,其中白球4个，
则：C13P（1 P）2 C23P（2 1 P） C33P3 19 27
3P（1 P）2 3P（2 1 P） P3 19 27
P3 3P（1 P） 19 ， P 1
27
3
例2.甲、乙两个篮球运动员投篮 命中率为0.7及0.6,若每人各投3次, 试求甲至少胜乙2个进球的概率
P(甲胜3个球) （0.7）（3 1 0.6）3 0.021952
P( 3) P( 0) 1 3 3 3 3 5 5 25
例4.有10道单项选择题,每题有4个选支,某人随机选定 每题中其中一个答案,求答对多少题的概率最大?并求 出此种情况下概率的大小.
解：设“答对k题”的事件为A，用P1（0 k）表示其概率，由
P10 (k )
P10 (k 1)
可以发现
P(Bk ) C3k pkq3k，k＝0，1，2，3
一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数 为X，在每次试验中事件A发生的概率是P，那么在n次 独立重复试验中，这个事件恰好发生k次的概率
A
P( X k) Cnk pk (1 p)nk，k 0,1,2,, n
此时称随机变量X服从二项分布，记作X~B(n,p)， 并称p为成功概率。
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P(X＝800)＝P(A)P(B)＝0.5×0.4＝0.2， 所以 X 的分布列为
42
X
800
000 000
P 0.3 0.5 0.2
(2)设 Ci 表示事件“第 i 季利润不少于 2 000 元”(i＝1,2,3)， 由题意知 C1，C2，C3 相互独立，由(1)知， P(Ci)＝P(X＝4 000)＋P(X＝2 000)＝0.3＋0.5＝0.8(i＝1，2,3)， 3 季的利润均不少于 2 000 元的概率为 P(C1C2C3)＝P(C1)P(C2)P(C3)＝0.83＝0.512； 3 季中有 2 季利润不少于 2 000 元的概率为
• (2)二项分布满足的条件：
• ①每次试验中，事件发生的概率是相同 的．
• ②各次试验中的事件是相互独立的．
2．(2013 年高考山东卷)甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜 3 局
• ＝所以15，00E0(Y，)＝因3此4P0(0Y×＝01.52＋0090)2＝00P×(X0>.172＋0)
＝15p03＝00P0×.10，.01.由2＝此8 得06.27Y0的. 分0.布1 列如下：
• 规律方法 (1)独立重复试验是在同样的条 件下重复地、各次之间相互独立地进行的 一种试验．在这种试验中，每一次试验只 有两种结果，即某事件要么发生，要么不 发生，并且任何一次试验中发生的概率都 是一样的．
相互独立事件的概率(师生共研)
• 例2 (2014年高考陕西卷)在一块耕地上 种植一种作物，每季种植成本为1 000元， 此作物的市场价格和这块地上的产量均具 有随机性，且互不影响，其具体情况如下 表：
• (1)设X表示在这块地上种植1季此作物的 利润，求X的分布列；
• (2)若在这块地上连续3季种植此作物，求 这3季中至少有2季的利润不少于2 000元 的概率．
________.
解析 (1)设事件 A 为“第 1 次抽到的是螺口灯泡”，事件 B 为“第
2 次抽到的是卡口灯泡”，则 P(A)＝130，P(AB)＝130×79＝370.则所求概率
7 为 P(B|A)＝PPAAB＝330＝97.
10
(2)记“取到蓝球”为事件 A，“取到玻璃球”为事件 B，则已知取
• 所以，E(Y)＝4 200×0.2＋10 000×0.8＝ 8 840.
• ③安装3台发电机的情形．
• 依题意，当40<X<80时，一台发电机运行， 此时Y＝5 000－1 600＝3 400，因此P(Y ＝3 400)＝P(40<X<80)＝p1＝0.2；当 80≤X≤120时，两台发电机运行，此时Y＝ 5 000×2－800＝9 200，因此P(Y＝9 200)＝YP(803≤X≤1290)＝p12＝5 0.7；当X>120 时，三台发40电0机运20行0 ，此00时0 Y＝5 000×3
• 1．运用公式P(AB)＝P(A)P(B)时一定要注 意公式成立的条件，只有当事件A，B相互 独立时，公式才成立．
• 2．独立重复试验中，每一次试验只有两 种结果，即某事件要么发生，要么不发生， 并且任何一次试验中某事件发生的概率相 等．注意恰好与至多(少)的关系，灵活运 用对立事件．
• 一、条件概率与相互独立事件
P( C 1C2C3)＋P(C1 C 2C3)＋P(C1C2 C 3)＝3×0.82×0.2＝0.384， 所以，这 3 季中至少有 2 季的利润不少于 2 000 元的概率为 0．512＋0.384＝0.896.
• 规律方法 求相互独立事件同时发生的概 率的方法主要有：
• (1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接
• (1)求年未入来流4量年X中，至<8多0 有1年20的年入x>流12量0超 过120的概率；
• 若某台发电机运行，则该台年利润为5 000万元；若某台发电机未运行，则该台 年亏损800万元．欲使水电站年总利润的 均解析值达(1)依到题最意，大p1＝，P(应40<安x<80装)＝发1500＝电0.2机，p多2＝P少(80台≤X？≤120)＝
事件 AB 表示“豆子落在△EOH 内”，
则 P(AB)＝SS△圆EOOH＝12π××1122＝21π.
1 故 P(B|A)＝PPAAB＝22π＝41.
π
答案
(1)D
(2)A
1 (3)4
规律方法 条件概率的求法： (1)定义法：先求 P(A)和 P(AB)，再由 P(B|A)＝PPAAB，求 P(B|A)． (2)基本事件法：借古典概型概率公式，先求事件 A 包含的基本事件 数 n(A)，再求事件 AB 所包含的基本事件数 n(AB)，得 P(B|A)＝nnAAB.
• 解析 (1)设A表示事件“作物产量为300 kg”，B表示事件“作物市场价格为6元 /kg”，由题设知P(A)＝0.5，P(B)＝0.4，
• ∵利润＝产量×市场价格－成本，
• ∴X所有可能的取值为
P(X＝4 000)＝P( A )P( B )(1－0.5)×(1－0.4)＝0.3，P(X＝2 000)＝ P( A )P(B)＋P(A)P( B )＝(1－0.5)×0.4＋0.5×(1－0.4)＝0.5，
• 答案：C
条件概率(自主探究)
• 例1 (1)已知盒中装有3只螺口灯泡与7只
卡口灯泡，这些灯泡的外形与功率都相同
且灯口向下放着，现需要一只卡口灯泡，
电工师傅每次从中任取一只并不放回，则
在第A.713他20次第抽1到次的抽到是卡的B是口.297 螺灯口泡灯的泡概的率条为件( 下，)
C.8
D.9
• (2)盒中有红球5个，蓝球11个，其中红球
4．某一批棉花种子，如果每一粒发芽的概率为45，那么播下 3 粒种
子恰有 2 粒发芽的概率是( )
12 A.125
16 B.125
48 C.125
96 D.125
解析：用 X 表示发芽的粒数，独立重复试验服从二项分布 B3，45， P(X＝2)＝C32452151＝14285.
到的球为玻璃球，它是蓝球的概率就是 B 发生的条件下 A 发生的条件概
率，记作 P(A|B)．因为 P(AB)＝146＝41，P(B)＝166＝38，所以 P(A|B)＝PPABB
1 ＝43＝23.
8
(3)由题意可得，事件 A 发生的概率 P(A)＝S正方S形圆EOFGH＝ π2××122＝π2.
中有2个玻璃球，3个木质球；蓝球中有4
个玻璃球，7个木质球，现从中任取一球，
假设每个球被摸到的可能性相同．若已知
取(A.32到的) 球是玻璃B.13球，则它是蓝球的概率为
11
5
C.16
D.16
• (3)如图，EFGH是以O为圆心，半径为1 的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔 到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方 形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇 形OHE(阴影部分)内”，则P(B|A)＝
胜”， • A2表示事件“第3局甲参加比赛时，结果
P(A)＝P(A1A2)＝P(A1)P(A2)＝41. (2)X 的可能取值为 0,1,2. 记 A3 表示事件“第 3 局乙和丙比赛时，结果为乙胜丙”，B1 表示事 件“第 1 局结果为乙胜丙”，B2 表示事件“第 2 局乙和甲比赛时，结果 为乙胜甲”，B3 表示事件“第 3 局乙参加比赛时，结果为乙负”． 则 P(X＝0)＝P(B1B2A3)＝P(B1)P(B2)P(A3)＝81， P(X＝2)＝P( B 1B3)＝P( B 1)P(B3)＝14， P(X＝1)＝1－P(X＝0)－P(X＝2)＝1－81－41＝85， 故 E(X)＝0·P(X＝0)＋1·P(X＝1)＋2·P(X＝2)＝98.
3550＝0.7，p3＝P(X>120)＝550＝0.1.
由二项分布，在未来 4 年中至多有 1 年的年入流量超过 120 的概率
为 p＝C40(1－p3)4＋C14(1－p3)3p3＝1904＋4×1903×110＝0.947 7.
• (2)记水电站年总利润为Y(单位：万元)．
，
P(AB)＝P(B|A)·P(AA与)B＝相互独立
•
．
• 3．若A与B相互独立，则A与 ， 与B， 与 也都相互独立．
• 三、独立重复试验与二项分布
独立重复 相试同 验
二项分布
在n次独立重复X～试B(n验，p中)
在
，设事成件功 A发生的次
条件下重 数为X，在每次试验
复做的n次 中事件A发生的概率
• ①安装1台发电机的情形．
• 由于水库年入流量总大于40，故一台发电 机运行的概率为1，对应的年利润Y＝5 000，E(Y)＝5 000×1＝5 000.
• ②安装2台发电机的情形．
• 依题意，当40<X<80时，一台发电机运行， 此时Y＝5 000－800＝4 200，因此P(Y＝ 4 200)＝YP(404<2X0<0801)＝0 0p01＝0 0.2；当X≥80 时，两台发电机运行，此时Y＝5 000×2 ＝10 000P，因0此.2P(Y＝01.08 000)＝P(X≥80)
1．(2013 年高考大纲全国卷)甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其
中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁
判．设各局中双方获胜的概率均为12，各局比赛的结果相互独立，第 1 局 甲当裁判．
• (1)求第4局甲当裁判的概率； • (2)X表示前4局中乙当裁判的次数，求X的
数学期望． • 解析：(1)记A1表示事件“第2局结果为甲
• 1．判断下列结论的正误．(正确的打 “√”，错误的打“×”)
• (1)条件概率一定不等于它的非条件概 率．( )
• (2)相互独立事件就是互斥事件．( )
• (3)对于任意两个事件，公式P(AB)＝ P(A)P(B)都成立．( )
42
X
800
000 000
P 0.3 0.5 0.2
(2)设 Ci 表示事件“第 i 季利润不少于 2 000 元”(i＝1,2,3)， 由题意知 C1，C2，C3 相互独立，由(1)知， P(Ci)＝P(X＝4 000)＋P(X＝2 000)＝0.3＋0.5＝0.8(i＝1，2,3)， 3 季的利润均不少于 2 000 元的概率为 P(C1C2C3)＝P(C1)P(C2)P(C3)＝0.83＝0.512； 3 季中有 2 季利润不少于 2 000 元的概率为
• (2)二项分布满足的条件：
• ①每次试验中，事件发生的概率是相同 的．
• ②各次试验中的事件是相互独立的．
2．(2013 年高考山东卷)甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜 3 局
• ＝所以15，00E0(Y，)＝因3此4P0(0Y×＝01.52＋0090)2＝00P×(X0>.172＋0)
＝15p03＝00P0×.10，.01.由2＝此8 得06.27Y0的. 分0.布1 列如下：
• 规律方法 (1)独立重复试验是在同样的条 件下重复地、各次之间相互独立地进行的 一种试验．在这种试验中，每一次试验只 有两种结果，即某事件要么发生，要么不 发生，并且任何一次试验中发生的概率都 是一样的．
相互独立事件的概率(师生共研)
• 例2 (2014年高考陕西卷)在一块耕地上 种植一种作物，每季种植成本为1 000元， 此作物的市场价格和这块地上的产量均具 有随机性，且互不影响，其具体情况如下 表：
• (1)设X表示在这块地上种植1季此作物的 利润，求X的分布列；
• (2)若在这块地上连续3季种植此作物，求 这3季中至少有2季的利润不少于2 000元 的概率．
________.
解析 (1)设事件 A 为“第 1 次抽到的是螺口灯泡”，事件 B 为“第
2 次抽到的是卡口灯泡”，则 P(A)＝130，P(AB)＝130×79＝370.则所求概率
7 为 P(B|A)＝PPAAB＝330＝97.
10
(2)记“取到蓝球”为事件 A，“取到玻璃球”为事件 B，则已知取
• 所以，E(Y)＝4 200×0.2＋10 000×0.8＝ 8 840.
• ③安装3台发电机的情形．
• 依题意，当40<X<80时，一台发电机运行， 此时Y＝5 000－1 600＝3 400，因此P(Y ＝3 400)＝P(40<X<80)＝p1＝0.2；当 80≤X≤120时，两台发电机运行，此时Y＝ 5 000×2－800＝9 200，因此P(Y＝9 200)＝YP(803≤X≤1290)＝p12＝5 0.7；当X>120 时，三台发40电0机运20行0 ，此00时0 Y＝5 000×3
• 1．运用公式P(AB)＝P(A)P(B)时一定要注 意公式成立的条件，只有当事件A，B相互 独立时，公式才成立．
• 2．独立重复试验中，每一次试验只有两 种结果，即某事件要么发生，要么不发生， 并且任何一次试验中某事件发生的概率相 等．注意恰好与至多(少)的关系，灵活运 用对立事件．
• 一、条件概率与相互独立事件
P( C 1C2C3)＋P(C1 C 2C3)＋P(C1C2 C 3)＝3×0.82×0.2＝0.384， 所以，这 3 季中至少有 2 季的利润不少于 2 000 元的概率为 0．512＋0.384＝0.896.
• 规律方法 求相互独立事件同时发生的概 率的方法主要有：
• (1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接
• (1)求年未入来流4量年X中，至<8多0 有1年20的年入x>流12量0超 过120的概率；
• 若某台发电机运行，则该台年利润为5 000万元；若某台发电机未运行，则该台 年亏损800万元．欲使水电站年总利润的 均解析值达(1)依到题最意，大p1＝，P(应40<安x<80装)＝发1500＝电0.2机，p多2＝P少(80台≤X？≤120)＝
事件 AB 表示“豆子落在△EOH 内”，
则 P(AB)＝SS△圆EOOH＝12π××1122＝21π.
1 故 P(B|A)＝PPAAB＝22π＝41.
π
答案
(1)D
(2)A
1 (3)4
规律方法 条件概率的求法： (1)定义法：先求 P(A)和 P(AB)，再由 P(B|A)＝PPAAB，求 P(B|A)． (2)基本事件法：借古典概型概率公式，先求事件 A 包含的基本事件 数 n(A)，再求事件 AB 所包含的基本事件数 n(AB)，得 P(B|A)＝nnAAB.
• 解析 (1)设A表示事件“作物产量为300 kg”，B表示事件“作物市场价格为6元 /kg”，由题设知P(A)＝0.5，P(B)＝0.4，
• ∵利润＝产量×市场价格－成本，
• ∴X所有可能的取值为
P(X＝4 000)＝P( A )P( B )(1－0.5)×(1－0.4)＝0.3，P(X＝2 000)＝ P( A )P(B)＋P(A)P( B )＝(1－0.5)×0.4＋0.5×(1－0.4)＝0.5，
• 答案：C
条件概率(自主探究)
• 例1 (1)已知盒中装有3只螺口灯泡与7只
卡口灯泡，这些灯泡的外形与功率都相同
且灯口向下放着，现需要一只卡口灯泡，
电工师傅每次从中任取一只并不放回，则
在第A.713他20次第抽1到次的抽到是卡的B是口.297 螺灯口泡灯的泡概的率条为件( 下，)
C.8
D.9
• (2)盒中有红球5个，蓝球11个，其中红球
4．某一批棉花种子，如果每一粒发芽的概率为45，那么播下 3 粒种
子恰有 2 粒发芽的概率是( )
12 A.125
16 B.125
48 C.125
96 D.125
解析：用 X 表示发芽的粒数，独立重复试验服从二项分布 B3，45， P(X＝2)＝C32452151＝14285.
到的球为玻璃球，它是蓝球的概率就是 B 发生的条件下 A 发生的条件概
率，记作 P(A|B)．因为 P(AB)＝146＝41，P(B)＝166＝38，所以 P(A|B)＝PPABB
1 ＝43＝23.
8
(3)由题意可得，事件 A 发生的概率 P(A)＝S正方S形圆EOFGH＝ π2××122＝π2.
中有2个玻璃球，3个木质球；蓝球中有4
个玻璃球，7个木质球，现从中任取一球，
假设每个球被摸到的可能性相同．若已知
取(A.32到的) 球是玻璃B.13球，则它是蓝球的概率为
11
5
C.16
D.16
• (3)如图，EFGH是以O为圆心，半径为1 的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔 到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方 形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇 形OHE(阴影部分)内”，则P(B|A)＝
胜”， • A2表示事件“第3局甲参加比赛时，结果
P(A)＝P(A1A2)＝P(A1)P(A2)＝41. (2)X 的可能取值为 0,1,2. 记 A3 表示事件“第 3 局乙和丙比赛时，结果为乙胜丙”，B1 表示事 件“第 1 局结果为乙胜丙”，B2 表示事件“第 2 局乙和甲比赛时，结果 为乙胜甲”，B3 表示事件“第 3 局乙参加比赛时，结果为乙负”． 则 P(X＝0)＝P(B1B2A3)＝P(B1)P(B2)P(A3)＝81， P(X＝2)＝P( B 1B3)＝P( B 1)P(B3)＝14， P(X＝1)＝1－P(X＝0)－P(X＝2)＝1－81－41＝85， 故 E(X)＝0·P(X＝0)＋1·P(X＝1)＋2·P(X＝2)＝98.
3550＝0.7，p3＝P(X>120)＝550＝0.1.
由二项分布，在未来 4 年中至多有 1 年的年入流量超过 120 的概率
为 p＝C40(1－p3)4＋C14(1－p3)3p3＝1904＋4×1903×110＝0.947 7.
• (2)记水电站年总利润为Y(单位：万元)．
，
P(AB)＝P(B|A)·P(AA与)B＝相互独立
•
．
• 3．若A与B相互独立，则A与 ， 与B， 与 也都相互独立．
• 三、独立重复试验与二项分布
独立重复 相试同 验
二项分布
在n次独立重复X～试B(n验，p中)
在
，设事成件功 A发生的次
条件下重 数为X，在每次试验
复做的n次 中事件A发生的概率
• ①安装1台发电机的情形．
• 由于水库年入流量总大于40，故一台发电 机运行的概率为1，对应的年利润Y＝5 000，E(Y)＝5 000×1＝5 000.
• ②安装2台发电机的情形．
• 依题意，当40<X<80时，一台发电机运行， 此时Y＝5 000－800＝4 200，因此P(Y＝ 4 200)＝YP(404<2X0<0801)＝0 0p01＝0 0.2；当X≥80 时，两台发电机运行，此时Y＝5 000×2 ＝10 000P，因0此.2P(Y＝01.08 000)＝P(X≥80)
1．(2013 年高考大纲全国卷)甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其
中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁
判．设各局中双方获胜的概率均为12，各局比赛的结果相互独立，第 1 局 甲当裁判．
• (1)求第4局甲当裁判的概率； • (2)X表示前4局中乙当裁判的次数，求X的
数学期望． • 解析：(1)记A1表示事件“第2局结果为甲
• 1．判断下列结论的正误．(正确的打 “√”，错误的打“×”)
• (1)条件概率一定不等于它的非条件概 率．( )
• (2)相互独立事件就是互斥事件．( )
• (3)对于任意两个事件，公式P(AB)＝ P(A)P(B)都成立．( )