高中数学基础知识汇总

第一部分 集合

1．理解集合中元素的意义．．．．．

是解决集合问题的关键：元素是函数关系中自变量的取值？还是因变量的

取值？还是曲线上的点？… ；

2.研究集合问题，一定要抓住集合的代表元素，如：{}x y x lg |=与{}x y y lg |=及

{}x y y x lg |),(=

3．数形结合．．．．

是解集合问题的常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决；

4．（1）含n 个元素的集合的子集个数为2n ，真子集（非空子集）个数为2n －1；

（2）;B B A A B A B A =?=??

注意：讨论的时候不要遗忘了φ=A 的情况。

5．φ是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

第二部分 函数与导数

1．映射：注意 ①第一个集合中的元素必须有象；②一对一，或多对一。

2．函数值域的求法：①分析法 ；②配方法 ；③判别式法 ；④利用函数单调性 ；

⑤换元法 ；⑥利用均值不等式

2222b a b a ab +≤+≤；

⑦利用数形结合或几何意义（斜率、距离、绝对值的意义等）；⑧利用函数有界性（x a 、x sin 、x cos 等）；⑨导数法

3．复合函数的有关问题

（1）复合函数定义域求法：

① 若f(x)的定义域为［a ，b ］,则复合函数f[g(x)]

的定义域由不等式a≤g(x)≤b 解出

② 若f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域，

相当于x ∈[a,b]时，求g(x)的值域。

（2）复合函数单调性的判定：

①首先将原函数)]([x g f y =分解为基本函数：内函

数)(x g u =与外函数)(u f y =；

②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性； ③根据“同性则增，异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性。

4．分段函数：值域（最值）、单调性、图象等问题，先分段解决，再下结论。

5．函数的奇偶性

⑴函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性

的必要条件．．．．

； ⑵)(x f 是奇函数?f(－x)=－f(x)；)(x f 是偶函数

?f(－x)= f(x)

⑶奇函数)(x f 在原点有定义，则0)0(=f ；

⑷在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性；

⑸若所给函数的解析式较为复杂，应先等价变形，再判断其奇偶性；

6．函数的单调性

⑴单调性的定义：

①)(x f 在区间M 上是增函数,,21M x x ∈??当21x x <时有12()()f x f x <；

②)(x f 在区间M 上是减函数,,21M x x ∈??当21x x <时有12()()f x f x >；

⑵单调性的判定

① 定义法：一般要将式子)()(21x f x f -化为几个因式作

积或作商的形式，以利于判断符号；

②导数法（见导数部分）；③复合函数法；④图像法。 注：证明单调性主要用定义法和导数法。

7．函数的周期性

(1)周期性的定义：对定义域内的任意x ，若有

)()(x f T x f =+

（其中T 为非零常数），则称函数)(x f 为周期函数，T 为它的一个周期。

所有正周期中最小的称为函数的最小正周期。如

没有特别说明，遇到的周期都指最小正周期。

（2）三角函数的周期

①π2:sin ==T x y ；②π2:cos ==T x y ；

③π==T x y :tan ；

④|

|2:)cos(),sin(ωπ?ω?ω=

+=+=T x A y x A y ；⑤||:tan ωπω==T x y ； (3)与周期有关的结论

①y=f(x)对x ∈R 时，f(x +a)=f(x －a) 或f(x －2a )=f(x) (a>0)恒成立,则y=f(x)是周期为2a 的周期函数；

②若y=f(x)是偶函数，其图像又关于直线x=a 对称，则f(x)是周期为2︱a ︱的周期函数；

③若y=f(x)奇函数，其图像又关于直线x=a 对称，则f(x)是周期为4︱a ︱的周期函数；

④若y=f(x)关于点(a,0),(b,0)对称，则f(x)是周期为2b a -的周期函数；

⑤y=f(x)的图象关于直线x=a,x=b(a ≠b)对称，则函数y=f(x)是周期为2b a -的周期函数；

⑥y=f(x)对x ∈R 时，f(x+a)=－f(x)(或f(x+a)=

)(1x f -，则y=f(x)是周期为2a 的周期函数；

8.对于反函数，应掌握以下一些结论：（1）同底的对数函数与指数函数互为反函数（2）原函数与反函数图像关于直线y=x 对称。

9．基本初等函数的图像与性质

⑴幂函数：αx y = （)R ∈α ；⑵指数函数：)1,0(≠>=a a a y x ；

⑶对数函数:)1,0(log ≠>=a a x y a ； n a a b b n

log log = (a>0,a ≠1,b>0,n ∈R +); l og a N=a

N b b log log ( a>0,a ≠1,b>0,b ≠1); l og a b 的符号由口诀“同正异负”记忆; a log a N = N ( a>0,a ≠1,N>0 );

⑷正弦函数:x y sin =；

⑸余弦函数：x y cos = ；（6）正切函数：x y tan =；⑺一元二次函数：02=++c bx ax ；

⑻其它常用函数：

① 正比例函数：)0(≠=k kx y ；②反比例函数：

)0(≠=k x k y ；③函数)0(>+=a x

a x y ； 10．二次函数：

⑴解析式：

①一般式：c bx ax x f ++=2)(；②顶点式：k h x a x f +-=2)()(，),(k h 为顶点；

③零点式：))(()(21x x x x a x f --= 。

⑵二次函数问题解决需考虑的因素： ①开口方向；②对称轴；③端点值；④与坐标轴交点；⑤判别式；⑥两根符号。

二次函数c bx ax y ++=2的图象的对称轴方程是

a b x 2-=，顶点坐标是???

? ??--a b ac a b 4422，。 处理二次函数的问题勿忘数形结合；二次函数在闭区间上必有最值，求最值问题用“两看法”：一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系；

11．函数图象：

⑴图象作法 ：①描点法 （特别注意三角函数的五点作图）②图象变换法③导数法

⑵图象变换：

① 平移变换：ⅰ))()(a x f y x f y ±=→=，)0(>a ———

左“+”右“－”；

ⅱ))0(,)()(>±=→=k k x f y x f y ———上“+”下“－”；

② 对称变换：ⅰ)(x f y =??

→?)0,0()(x f y --=；ⅱ)(x f y =?

→?=0y )(x f y -=； ⅲ )(x f y =?→?=0x )(x f y -=；

ⅳ)(x f y =??→

?=x y ()x f y =； ③ 翻转变换：

ⅰ)|)(|)(x f y x f y =→=———右不动，右向左翻（)(x f 在y 左侧图象去掉）；

ⅱ)|)(|)(x f y x f y =→=———上不动，下向上翻（|)(x f |在x 下面无图象）；

12．函数图象（曲线）对称性的证明

(1)证明函数图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上

(2)证明图像C 1与C 2的对称性，即证明C 1上任意点关

于对称中心（对称轴）的对称点仍在C2,反之亦然；(3)曲线C1：f(x,y)=0,关于y=x+a(y=-x+a)的对称曲线

C2的方程为f(y－a,x+a)=0(或f(－y+a,－x+a)=0); （4）曲线C1:f(x,y)=0关于点（a,b）的对称曲线C2方程为：f(2a－x,2b－y)=0;

（5）若函数y=f(x)对x∈R时，f(a+x)=f(a－x)恒成立，则y=f(x)图像关于直线x=a对称；

注：①曲线C1:f(x,y)=0关于点（0,0）的对称曲线

C2方程为：f(－x,－y)=0;

②曲线C1:f(x,y)=0关于直线x=0的对称曲线C2方

程为：f(－x, y)=0;

曲线C1:f(x,y)=0关于直线y=0的对称曲线C2方

程为：f(x, －y)=0;

曲线C1:f(x,y)=0关于直线y=x的对称曲线C2方

程为：f(y, x)=0

13.方程k=f(x)有解?k∈D(D为f(x)的值域)；

14.a≥f(x) 恒成立?a≥［f(x)］max,; a≤f(x) 恒成立?a≤［f(x)］min;

15..恒成立问题的处理方法：（1）分离参数法；（2）转化为一元二次方程的根的分布列不等式(组)求解；

17.掌握函数

(0);(0)ax b b ac a y a b ac y x a x c x c x

+-==+-≠=+>++ 的图象和性质；

18．实系数一元二次方程2()0(0)f x ax bx c a =++=>的两根21,x x 的分布问题：

注意：若在闭区间],[n m 讨论方程0)(=x f 有实数解

的情况，可先利用在开区间),(n m 上实根分布的情况，得出结果，在令n x =和m x =检查端点的情况。

19．函数零点的求法：

⑴直接法（求0)(=x f 的根）；⑵图象法；⑶二分法.

(4)零点定理：若y=f(x)在[a,b]上满足f(a)f(b)<0,则

y=f(x)在（a,b)内至少有一个零点。

20．导数

⑴导数定义：f(x)在点x 0处的导数记作

x

x f x x f x f y x x x ?-?+='='→?=)()(lim )(00000； ⑵常见函数的导数公式: ①'C 0=；②1')(-=n n nx x ；

③x x cos )(sin '=；④x x sin )(cos '-=；⑤a a a x x ln )('=；⑥x x e e =')(；⑦a x x a ln 1)(log '=；⑧x

x 1)(ln '= 。 ⑶导数的四则运算法则：

;)(;)(;)(2

v v u v u v u v u v u uv v u v u '-'=''+'=''±'='± ⑷（理科）复合函数的导数：;x u x u y y '?'='

⑸导数的应用：

①利用导数求切线：注意：ⅰ)所给点是切点吗？

ⅱ)所求的是“在”还是“过”该点的切线？

②利用导数判断函数单调性：

①)(0)(x f x f ?>'是增函数；反之 ②

)(0)(x f x f ?<'为减函数；反之

③)(0)(x f x f ?≡'为常数；

③利用导数求极值：ⅰ）求导数)(x f '；ⅱ）求方

程0)(='x f 的根；ⅲ）列表得极值。

④利用导数最大值与最小值：ⅰ）求的极值；ⅱ

——求区间端点值（如果有）；ⅲ）得最值。?

第三部分 三角函数、三角恒等变换与

解三角形

1．⑴角度制与弧度制的互化：π弧度 180=，1801π=

弧

度，1弧度 )180(π='1857 ≈

⑵弧长公式：R l θ=；扇形面积公式：Rl R S 21212

==θ。 2．三角函数定义:角α中边上任意一P 点为),(y x ,设

r OP =||则：,cos ,sin r x r y ==αα

x

y =αtan

3．三角函数符号规律：一全正，二正弦，三两切，四余弦；

4．诱导公式记忆规律：“函数名不（改）变，符号看象限”；

5．⑴)sin(?ω+=x A y 对称轴：2x k π

ω?π+=+；对称中心：))(0,(Z k k ∈-ω

?π； ⑵)cos(?ω+=x A y 对称轴：

x k ω?π+=；对称中心：))(0,2(Z k k ∈-+

ω?

ππ；

6．同角三角函数的基本关系：

x x

x x x tan cos sin ;1cos sin 22==+； 7．三角函数的单调区间： x y sin =的递增区间是??

????+-2222ππππk k ，)(Z k ∈，递减区间是??

????++23222ππππk k ，)(Z k ∈；x y cos =的递增区间是[]πππk k 22，

-)(Z k ∈，递减区间是[]πππ+k k 22，)(Z k ∈，tgx y =的递增区间是

??? ?

?+-22ππππk k ，)(Z k ∈，ctgx y =的递减区间是()πππ+k k ，)(Z k ∈。

8．两角和与差的正弦、余弦、正切公式：

①;sin cos cos sin )sin(βαβαβα±=±

②;sin sin cos cos )cos(βαβαβα =±③

β

αβαβαtan tan 1tan tan )tan( ±=± 。 9．二倍角公式：①αααcos sin 22sin =；

②ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=；

③α

αα2tan 1tan 22tan -=。 2(sin cos )12sin cos 1sin 2ααααα±=±=±

10．正、余弦定理：

⑴正弦定理：R C

c B b A a 2sin sin sin === （R 2是ABC ?外接圆直径 ）

注：①C B A c b a sin :sin :sin ::=；

②C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===；

③C

B A c b a

C c B b A a sin sin sin sin sin sin ++++===。 ⑵余弦定理：A bc c b a cos 2222-+=等三个；

bc a c b A 2cos 2

22-+=等三个。 11。几个公式:

⑴三角形面积公式：11sin 22ABC S ah ab C ?==；

⑵内切圆半径r=c b a S ABC

++?2；外接圆直径

2R=;sin sin sin C

c B b A a == 第四部分 立体几何

1．三视图与直观图：

2．位置关系的证明（主要方法）：

⑴直线与直线平行：①公理4；②线面平行的性质定理；③面面平行的性质定理。

⑵直线与平面平行：①线面平行的判定定理；②面面平行?线面平行。

⑶平面与平面平行：①面面平行的判定定理及推

论；②垂直于同一直线的两平面平行。

⑷直线与平面垂直：①直线与平面垂直的判定定

理；②面面垂直的性质定理。

⑸平面与平面垂直：①定义---两平面所成二面角为直角；②面面垂直的判定定理。

注：理科还可用向量法。

4.异面直线所成角的求法：

（1）平移法：在异面直线中的一条直线中选择一特殊点，作另一条的平行线；

（2）补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，

如正方体、平行六面体、长方体等，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系；

（3）向量法：异面直线上的向量所夹的角为锐角或者直角时，就是异面直线所成角，异面直线上的向量所夹的角为钝角时，就是异面直线所成角的。

5.直线与平面所成的角

斜线和平面所成的是一个直角三角形的锐角，它的三条边分别是平面的垂线段、斜线段及斜线段在平面上的射影。通常通过斜线上某个特殊点作出平面的垂线段，垂足和斜足的连线，是产生线面角的关键；

向量法：直线和平面的法向量所成的锐角的余角就是直线与平面所成的角。

6.二面角的求法

（1）定义法：直接在二面角的棱上取一点（特殊点），分别在两个半平面内作棱的垂线，得出平面角，用定义法时，要认真观察图形的特性；

（2）三垂线法：已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角；

（5）向量法：①两个半平面的法向量的夹角就是二面

角的平面角或者其补角。②在两个半平面内分别做棱的两条垂直向量，向量的夹角就是二面角的平面角或者其补角。

7.空间距离的求法

（1）求点到直线的距离，①用三垂线定理作出垂线再求解；②向量法；

（2）求点到平面的距离，①用垂面法，借助面面垂直的性质来作，因此，确定已知面的垂面是关键；②不作出公垂线，转化为求三棱锥的高，利用等体积法列方程求解；③向量法用公式；

（3）向量法求距离的公式：d ＝

||AB n n ，注意各个量的意义。

6．结论：

⑴长方体从一个顶点出发的三条棱长分别为a ，b ，c ，

2ab+2bc+2ca ，

体积V=abc 。

⑵正方体的棱长为a

，全面积为6a 2，体积V=a 3。

⑶长方体或正方体的外接球直径2R 等于长方体或正

方体的对角线长。

⑷正四面体的性质：设棱长为a ，则正四面体的： 高：a h 36=；②对棱间距离：a 2

2；③内切球半径：a 126；④外接球半径：a 46。 第五部分 直线与圆

1．直线方程

⑴点斜式：)( x x k y y -=- ；⑵斜截式：b kx y += ；⑶截距式：1=+

b y a x ； ⑷两点式：1

21121x x x x y y y y --=-- ；⑸一般式：0=++C By Ax ，

（A ，B 不全为0）。 2．求解线性规划问题的步骤是：

（1）列约束条件；（2）作可行域，写目标函数；

（3）确定目标函数的最优解。

对于以下类型的问题需要注意：

;)3(;)2(;)()()1(22By Ax b

x a y b y a x +---+-);sin ,(cos )4(θθF （6）2200B A C

By Ax d +++=可分

别通过构造距离函数、斜率函数、截距函数、单

位圆x 2+y 2=1上的点)sin ,(cos θθ及余弦定理进行转

化达到解题目的。

3．两条直线的位置关系：

直线方程 平行的充要条件 垂直的充要条件 备注

2

221

11::b x k y l b x k y l +=+= 21,21b b k k ≠= 121-=?k k

21,l l 有斜率 已知l 1:A 1x+B 1y+C 1=0，l 2:A 2x+B 2y+C 2=0，则l 1 ⊥l 2的充要条件是A 1A 2+B 1B 2=0。

4．几个公式

⑴设A （x 1,y 1）、B(x 2,y 2)、C （x 3,y 3），⊿ABC 的重心G ：（3

,3321321y y y x x x ++++）； ⑵点P （x 0,y 0）到直线Ax+By+C=0的距离：

2200B A C

By Ax d +++=；

⑶两条平行线Ax+By+C 1=0与 Ax+By+C 2=0的距

离是222

1B A C C d +-=；

5．圆的方程：

⑴标准方程：①222)()(r b y a x =-+- ；

②222r y x =+ 。

⑵一般方程：022=++++F Ey Dx y x

（)0422>-+F E D

注：Ax 2+Bxy+Cy 2+Dx+Ey+F=0表示圆

?A=C≠0且B=0且D 2+E 2－4AF>0；

6．圆的方程的求法：⑴待定系数法；⑵几何法。

7．点、直线与圆的位置关系：（主要掌握几何法） ⑴点与圆的位置关系：（d 表示点到圆心的距离） ①?=R d 点在圆上；②?

③?>R d 点在圆外。

⑵直线与圆的位置关系：（d 表示圆心到直线的距

离）

①?=R d 相切；②?R d 相

离。

⑶圆与圆的位置关系：（d 表示圆心距，r R ,表示两圆半径，且r R >）

①?+>r R d 相离；②?+=r R d 外切；

③?+<<-r R d r R 相交；

④?-=r R d 内切；⑤?-<

8、直线与圆相交所得弦长||AB =

9.过圆x 2+y 2=r 2上的点M(x 0,y 0)的切线方程为：

x 0x+y 0y=r 2;