二次函数典型例题解析
二次函数经典例题及答案
（ ）经过A（-1，0）、B（3，0）两点，抛物线与y轴交点为C，其顶点为 D，连接BD，点P是线段BD上一个动点（不与B，D重合），过点P作y轴的 垂线，垂足为E，连接BE． （1）求抛物线的解析式，并写出顶点D的坐标； （2）如果P点的坐标为（ ， ），△PBE的面积为 ，求 与 的函数关系式，写出自变量 的取值范围.
，﹣3）或（1﹣
，﹣3）． 试题分析：（1）已知了过B、C两点的直线的解析式，当x=0时可求出C 点的坐标，当y=0是可求出B点的坐标． （2）由于抛物线的解析式中只有两个待定系数，因此将B、C两点的坐 标代入抛物线中即可求出抛物线的解析式． （3）根据（2）的抛物线的解析式可得出A点的坐标，由此可求出AB的 长，由于S△PAB=S△CAB，而AB边为定值．由此可求出P点的纵坐标，然后 将=﹣x+3经过B、C
度，然后求出OE3，再由相似三角形对应边成比例列式求出Q3E3的长度， 从而得到点Q3的坐标． 试题解析：（1）∵抛物线顶点坐标为（-4，-）， ∴设抛物线解析式为y=a（x+4）2∵抛物线过点B（1，0），∴a（1+4）2-=0，解得a=
， 所以，抛物线解析式为y=
（x+4）2-， 即y=
x2+4x-
AD=
×5=
， 所以，OE3=9-
=
， ∵Q3E3⊥x轴，OC⊥OA， ∴△AQ3E3∽△ACO， ∴
， 即
， 解得Q3E3=
， 所以，点Q3的坐标为（-
，-
）， 综上所述，在线段AC上存在点Q1（-1，-4），Q2（2 -9，），Q3（-
，-
），使得△ADQ为等腰三角形．
2. 如图，直线y=﹣x+3与x轴，y轴分别交于B，C两点，抛物线y=﹣
二次函数实际应用例题与解答,中考数学二次函数解决实际应用问题经典题型及答案解析
二次函数实际应用示例1.在排球家中，_队员站在边线发球，发球方向与边线垂直，球开始飞行时距地面1.9米，当球飞行距离为9米时达最大高度5.5米，已知球场长18米，问这样发球是否会直接把球打出边线？思路解析*先建立坐标系，如图，根据已知条件求出抛物线的解析式，再 求抛物线与x轴的交点坐标（横坐标为正），若这点的横坐标大于18,就可判断球出线.解：以发球员站立位置为原点，球运动的水平方向为x轴，建立直角坐标系伽图）.由于其图象的顶点为（95执设二^函教关系式为y=a（x-9）、S.5（3丰0）,由已知，这个函数的图象过（0,1.9）,可以得到1.9=0（0-9）2+552解得a----7，45所以，所求二｝欠函数的关系式是y=-M（x-9）2十5.5.45排球落在x轴上，则y=O,因此，-：（x・9）2+5.5=0.解方程，得*=9十半点0.1,X2=9-峪（负值，不合题意，舍去）.所以，排球约在20」米远处落下，因为20.1>18,所以，这样发球会直接把球打出边线，2.某工厂大门是一抛物线型水泥建筑物,如图26.3-9所示,大门地面亮AB二4m,解：以队员甲投球站立位置为原点，球运动的水平方向为X轴，建立直角坐标系.由于球在空中的路径为抛物线，其图象的顶点为(4,4),设二｝欠函数关系式为y=a(x-4)2-4(g0),由已知，这个函数的图象过(024),可以得到24=3(0-4)2+4.解得a=-0.1.所以所求二次函数的关系式是y=-0.1(x-4)2+4当x二7时，y=-0.1(x-4)2+4=3.1.因为3.1=3+0.1,0.1在篮球偏离球圈中心10cm以内.答：这个球能投中.综合•应用4.(2010安徽模拟)如图26.3-10,在平面直角坐标系中，二｝欠函数y=ax2十c(a ")的图象过正方形ABO(:的三个顶点A、B、C,则ac的值是.思路解析：图中，正方形和抛物线都关于y轴对称，欲求ac的值，需求抛物线的解析式，点A、B、C都在抛物线上，它们的坐标跟正方形的边长有关,可设正方形的边长为2m「则A(0r2整m)、B(-皿阳7^所)、C(72w r把A、B的坐标值代入y=a*十c中，得a=四，c=2&,所以Imac=—X =2.2ni5.有一种螃蟹，从海上捕获后不放乔，最多只能存活两天，如果放养在塘内，可以延长存活时间，但每天也有一定数量的蟹死去，假设放养期内蟹的个体重量基本保持不变.现有一经销商，按市场价收购了这种;SB〔000千克放养在塘内，此时市场价为每千克30元.据测算，此后每千克活蟹的市场价每天可上升1元，但放养一天需各种费用400元，且平均每天还有10千克螯死去，假定死蟹均于当天全部售出，售价是每千克20元⑴设x天后每千克活蟹的市场价为P元，写出P关于x的函数关系式；(2)如果放养x天后将活蟹一次性出售，并记1000千克蟹的销售点颔Q元，写出Q关于x的函数关系式；⑶该经销商将这批蟹放弄多少天后出售，可获得最大利润(利润=销售总额-收购成本-费用)？最大利润是多少？思路解析：⑴市场价每天上升1元，则P=30+X；(2)销售总额为活蟹销售和死蟹销售两部分的和，活蟹数量每天减少10千克，死蟹数量跟放养天数成正比；(3)根据利润计算式表达，可没利润为w元，用函数瞄解决.答案：⑴P=30+x.(2)Q=(30+x)(1000-10x)+20-10x=-10x2+900x+30000.⑶设利润为w元，则w=(-10x2+900x+30000)-30-1000-400x=-10(x-Z5)2-»-6250.」.当x=25时，w有最大值，最大值为6250.答；经销商将这批蟹放养25天后出售，可获得最大?IJ润，6.将一条长为20cm的铁丝雪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成f正方形.⑴要使这两个正方形的面积之和等于17cm2,那么这段铁丝磐成两段后的长:度分别是多少？(2)两个正方形的面积之和可能等于12cm?吗?若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由.思路解析；用方程或函数考虑.设其中一段长为x cm,列出面积和的表达式，构成方程或函数，用它们的性质解决问题.方法一：⑴解：设剪成两段后其中一段为x cm,则另一段为(20-x)cm.由题意得(三沪+(竺1沪=17.4 4解得冶=16,x2=4.当为=16时，20-x=4;当x2=4时，20-x=16.答：这段铁丝雪成两段后的长度分别是16cm和4cm.(2)不能.理由是：(料牛)5.整理，得x<20x+104=0.•,A=b2-4ac=-16<0,.,此方程无配即不能雪成两段使得面积和为12新.方法二：剪成两段后其中一段为x cm,两个正方形面积的和为yen?.则y=弓尸+=;(x.10)2+12.5(0<x<20)・当y=17时，有上(乂-10)112.5=17.S解方程，得Xi=16,x2=4.当xi=16时,20*4;当X2二4时，20*16.答：这段铁丝剪成两段后的长度分别是16cm和4cm.(2)不能.理由是：函数y=|(x-10)2+1Z5中，a二;>0,当x=10时，函数有最小值，最小值88为12.5.•.・12v125,所以不能勇成两段使得面积和为12cm2.7.我市英山县某茶厂种植，春蕊牌“绿茶，由历任来市场销售行情知道，从每年的3月25日起的180天内，绿茶市场销售单价y(jt)与上市时间t庆)的关系可以近似地用如图①中的一条折线表示.绿茶的种植除了与气候、种植技术有关外,其种植的成本单价z齿)与上市时间t庆)的关系可以近似地用如图②的抛物肆图263-11①图26.3-11-②⑴写出图①中表示的市场销售单价y团)与上市时间t庆)(t>0)的函数关系式;(2)求出图②中表示的种梢成本单价z员)与上市时间t庆)(t>0)的函敬关系式;⑶认定市场销售单价减去种植成本单价为纯收益单价，问何时上市的绿茶纯收益单价缺？(说明：市场铠售单价和种植成本单价的单位：元/500克.)思路解析：从图形中得出相关数据，用分段函薮表示市场销售单价，种植成本是一E碰物线，再分别计算各时段的纯收益单价，匕咸得出结论.解：(1)①当0冬X三120时，y=-|x-b160;②当120<xE50时,y=80;2③当150UX式180时，y=±x-+20.5(2)设z=a(x・110)」20,N OC1把X=6O,y=W代入，^=a(60-110)120解得。
二次函数经典例题
二次函数经典例题二次函数是数学中常见且重要的函数之一。
在学习二次函数的过程中，我们经常会遇到一些经典的例题。
本文将介绍几个常见的二次函数例题，并进行详细的解答。
通过这些例题的讲解，相信大家能够更好地理解和掌握二次函数的知识。
例题一：已知二次函数y = ax^2 + bx + c的顶点坐标为(2, 3)，过点(1, 4)。
求此二次函数的解析式。
解答：首先，我们知道二次函数的顶点坐标可以通过以下公式求得：x = -b / (2a)y = c - b^2 / (4a)将已知的顶点坐标代入，得到：2 = -b / (2a) --①3 = c - b^2 / (4a) --②另外，由题目可知二次函数过点(1, 4)，将该点带入二次函数的解析式中，得到：4 = a + b + c --③根据以上三个方程式，我们可以求解出a、b、c的值，进而得到二次函数的解析式。
例题二：已知二次函数y = ax^2 + bx + c的图像与x轴相交于点(-1, 0)和(3, 0)，且顶点坐标为(2, 3)。
求此二次函数的解析式。
解答：根据题意可知，二次函数与x轴相交于两点，说明该二次函数有两个实根。
根据韦达定理，二次函数的两个实根的和等于它们的系数的相反数，乘积等于常数项与二次项系数的比值。
设二次函数的解析式为y = a(x + 1)(x - 3)，其中a为常数。
将顶点坐标(2, 3)代入二次函数的解析式中，可得：3 = a(2 + 1)(2 - 3)3 = -3aa = -1将a的值代入解析式中，即得到二次函数的解析式为y = -(x + 1)(x - 3)。
通过以上两个例题的解答，我们可以看到二次函数的求解过程需要运用到一些基本的二次函数性质和定理。
只有深入理解并掌握了这些知识，才能在解答二次函数的例题时游刃有余。
例题三：已知二次函数y = ax^2 + bx + c的图像经过点(-1, 5)和(3, 9)，且在x = 2处的函数值为4。
二次函数与实际问题典型例题
二次函数与实际问题典型例题摘要：一、二次函数的应用背景1.二次函数在实际问题中的重要性2.常见实际问题与二次函数的关系二、二次函数典型例题解析1.例题一：抛物线与直角三角形的面积问题2.例题二：抛物线与最值问题3.例题三：抛物线与交点问题4.例题四：抛物线与对称性问题三、解决二次函数实际问题的方法与技巧1.利用二次函数的基本性质2.代数法与几何法的结合3.合理运用已知条件四、总结1.二次函数与实际问题的紧密联系2.解决二次函数实际问题的策略与方法正文：二次函数在实际问题中有着广泛的应用，它不仅可以帮助我们理解许多现实中的现象，还能为解决实际问题提供有力的工具。
本文将通过解析几道典型的二次函数实际问题例题，来探讨如何巧妙地运用二次函数来解决实际问题。
首先来看一道抛物线与直角三角形的面积问题。
题目描述：已知抛物线y = ax^2 + bx + c 与x 轴相交于A、B 两点，且AB = 4，点C 到AB 的距离为h。
求抛物线与三角形ABC 的面积。
解析：通过将抛物线与x 轴相交的点A、B 坐标代入解析式，可以求得a、b、c 的值，进一步计算出顶点坐标。
由于已知AB = 4，可以根据顶点到AB 的距离公式求得h，最后利用三角形面积公式计算出结果。
接下来是抛物线与最值问题。
题目描述：已知抛物线y = ax^2 + bx + c 在x = 1 处取得最小值，求a、b、c 的值。
解析：根据抛物线的性质，可以知道当a > 0 时，抛物线开口向上，此时可以通过配方法将解析式转化为顶点式，从而求得最小值点的坐标。
当a < 0 时，抛物线开口向下，此时可以通过配方和换元法求得最值。
再来一道抛物线与交点问题。
题目描述：已知抛物线y = ax^2 + bx + c 与直线y = mx + n 相交于不同的两点，求a、b、c、m、n 的关系。
解析：将直线方程代入抛物线方程，消去y 得到一个关于x 的二次方程，通过求解该方程可以得到交点的横坐标，再代入直线方程求得纵坐标，从而得到交点坐标。
二次函数与实际问题典型例题
二次函数与实际问题典型例题【实用版】目录1.二次函数与实际问题的关系2.典型例题解析3.总结与建议正文二次函数与实际问题的关系二次函数是数学中的一个重要概念，它在实际问题中有着广泛的应用。
通过对二次函数的学习和理解，我们可以更好地解决实际问题，提高自己的数学素养。
典型例题解析例题 1：某商场在推出优惠活动，满 200 元打 8 折，满 300 元打7 折。
现在，小明想买一件价格为 x 元的商品，请问小明应该如何选择，才能使自己所花费的钱最少？解：将小明要购买的商品价格设为 x 元，那么他需要支付的金额可以表示为 f(x)=x+0.2(x-200)+0.3(x-300)，其中 x>300。
通过求导，可以得到 f(x) 的最小值出现在 x=400，此时小明需要支付的金额为f(400)=360 元。
所以，小明应该选择购买价格为 400 元的商品，才能使自己所花费的钱最少。
例题 2：一个农民有一块形状为抛物线的土地，他想在土地上种植庄稼，使得种植的庄稼面积最大。
已知土地的顶点为 (1,2)，抛物线方程为y=a(x-1)^2+2。
请问农民应该如何种植庄稼？解：由于 a<0，所以抛物线开口向下。
根据二次函数的性质，顶点是函数的最大值点。
所以，农民应该在土地的顶点处种植庄稼，即 x=1，此时庄稼的面积最大，为 2。
总结与建议通过对二次函数与实际问题的典型例题进行解析，我们可以发现数学知识在解决实际问题中的重要性。
为了更好地应对类似的问题，我们建议：1.加强对二次函数概念的学习，了解其性质和应用；2.多做练习题，提高自己对二次函数问题的解题能力；3.注重数学知识的实际应用，学会将理论知识运用到实际问题中。
二次函数经典例题
时，y最大值=4，可
3.-2≤x≤1在对称轴的右侧：在对称轴的右侧，y随x
的增大而减小，则x= m=
时，y最大值=4，可解得
综上所述：当y=-(x-m)²+m²+1有最大值4时，m=
例2：已知二次函数y=ax²+bx+c(a 0),如图所示， 当-5≤x≤0时，下列说法正确的是（ ）
A.有最小值-5，最大值0 B.有最小值-3，最大值6 C.有最小值-5，最大值6 D.有最小值2，最大值6
例1：当-2≤x≤1时，二次函数y=-(x-m)²+m²+1有最大
值4，则实数m的值为
：
分析：二次函数开口向下，其增减性与对称轴x=m有关.
对于-2≤x≤1与直线x=m有以下三种位置关系：
1.-2≤x≤1在对称轴的左侧：在对称轴的左侧，y随 x的增大而增大，则x= 时，y最大值=4，可解得m=
2.-2≤x≤1在对称轴的两侧，x= 解得m=
P C
E
y=-x-3
解：（1）直线y=x﹣3与坐标轴的交点A（3，0）， B（0，﹣3）,则
解得
，∴此抛物线的解析式y=x2﹣2x﹣3． （2）抛物线的顶点D（1，﹣4），与x轴的另一个交 点C（﹣1，0）． 设P（a，a2﹣2a﹣3），则 （ ×4×|a2﹣2a﹣3|）：（ ×4×4）=5：4．
列结论：①abc›0,②2a+b=0,③当m≠1时,a+b›am²+bm,
④a-b+c›0,⑤若ax1²+bx1=ax2²+bx2,且x1≠x2,x1+x2=2,其中正
确的有（ ）
A. ①②③
B.②④
C. ②⑤ y
D. ②③⑤
二次函数经典例题及解答
二次函数经典例题及解答二次函数一、中考导航图1.二次函数的意义2.二次函数的图像3.二次函数的性质顶点对称轴开口方向增减性4.待定系数法确定二次函数解析式5.二次函数与一元二次方程的关系三、中考知识梳理1.二次函数的图像二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像可以通过配方法化简为y=a(x+（b/2a））2+(4ac-b2)/4a2的形式。
确定顶点坐标后，可以对称求点列表并画图，或者使用顶点公式来求得顶点坐标。
2.理解二次函数的性质抛物线的开口方向由a的符号来确定。
当a>0时，抛物线开口向上，对称轴左侧y随x的增大而减小，在对称轴右侧y随x的增大而增大。
当a0）或左增右减（a<0）。
此时，当x=-b/2a时，y取最值，最小值或最大值的大小为|(4ac-b2)/4a|。
3.待定系数法是确定二次函数解析式的常用方法待定系数法是通过给定的条件来确定二次函数的解析式。
可以任意给定三个点或三组x，y的值来确定解析式，组成三元一次方程组来求解。
也可以在给定条件中已知顶点坐标、对称轴或最值时，设解析式为y=a(x-h)2+k。
在给定条件中已知抛物线与x轴两交点坐标或已知抛物线与x轴一交点坐标和对称轴时，设解析式为y=a(x-x1)(x-x2)来求解。
4.二次函数与一元二次方程的关系抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点可以转化为一元二次方程ax2+bx+c=0的解。
当抛物线与x轴有两个交点时，方程有两个不相等实根；当抛物线与x轴有一个交点时，方程有两个相等实根；当抛物线与x轴无交点时，方程无实根。
5.抛物线y=ax2+bx+c中a、b、c符号的确定抛物线y=ax2+bx+c的开口方向由a的符号来确定。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
b的符号可以表示抛物线与y轴的交点在y轴的上方或下方。
c的符号可以表示抛物线与x轴的交点在x轴的上方或下方。
四、中考题型例析1.确定二次函数解析式例1：求满足以下条件的二次函数的解析式：1）图像经过点A（-1，3）、B（1，3）、C（2，6）；2）图像经过点A（-1，0）、B（3，0），函数有最小值-8；3）图像顶点坐标是（-1，9），与x轴两交点间的距离是6.分析：此题主要考查用待定系数法来确定二次函数解析式。
二次函数经典例题及解答
定义
一般形式为$y = ax^2 + bx + c$ （$a neq 0$）的函数称为二次函 数。
图像特征
二次函数的图像是一条抛物线， 开口方向由系数$a$决定，当$a > 0$时，抛物线开口向上；当$a < 0$时，抛物线开口向下。
对称轴与顶点坐标求解
对称轴
对于一般形式的二次函数$y = ax^2 + bx + c$，其对称轴为 直线$x = -frac{b}{2a}$。
05
当$-2 leq x < 1$时，由$a geq frac{x^2 + 3}{x - 1}$恒 成立，得$a geq (frac{x^2 + 3}{x - 1})_{max}$。
03
当$x = 1$时，不等式恒成立，$a in R$；
06
综合以上情况，可求得$a$的取值范围。
转化思想在恒成立问题中运用
对称轴和顶点坐标公式记忆错误。避免策略
通过多做练习加深记忆，同时理解公式的推导过程。
判别式 $Delta$ 使用不当，导致…
正确理解判别式的含义和使用方法，结合二次函数的图像进行分析。
忽略二次函数图像与性质的综合运用。避免策略
在解题时注重数形结合，充分利用二次函数的图像和性质进行分析和 求解。
拓展延伸：高阶导数在二次函数研究中的应用
第四步
求极限。根据单调性，求出开 区间上的极限值，即为最值。
含参数最值问题处理方法
第一步
确定参数范围。根据题目条件，确定参数的取 值范围。
01
第三步
求导数。对新函数进行求导，得到导 函数。
03
第五步
判断单调性。根据二次函数的开口方向和临 界点的位置，判断新函数在参数范围内的单
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二次函数典型例题解析
关于二次函数的概念
例1 如果函数1)3(232++-=+-mx x m y m m 是二次函数，那么m 的值为 。
例2 抛物线422-+=x x y 的开口方向是 ；对称轴是 ；顶点为 。
关于二次函数的性质及图象
例3 函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图所示， 则a 、b 、c ，∆，c b a ++，c b a +-的符号
为 ，
例4 （镇江2001中考题）老师给出一个函数y=f （x ）,甲,乙,丙,丁四位同学各指出这个函数的一个性质:甲:函数的图像不经过第三象限。
乙：函数的图像经过第一象限。
丙：当x ＜2时，y 随x 的增大而减小。
丁：当x ＜2时，y ＞0，已知这四位同学叙述都正确，请构造出满足上述所有性质的一个函数—————————————————。
例5 （荆州2001）已知二次函数y=x 2＋bx ＋c 的图像过点A （c ，0），且关于直线x=2对称，则这个二次函数的解析式可能是 （只要写出一个可能的解析式）
例6 已知a －b ＋c=0 9a ＋3b ＋c=0,则二次函数y=ax 2＋bx ＋c 的图像的顶点可能在（ ）
（A ） 第一或第二象限 （B ）第三或第四象限 （C ）第一或第四象限 （D ）第二或第三象限 例7 双曲线x k
y = )0(≠k 的两分支多在第二、四象限内，则抛物线222k x kx y +-=的大致图
象是（ ）
例8 在同一坐标系中，直线b ax y +=和抛物线c bx ax y ++=2
确定二次函数的解析式
例9 已知：函数c bx ax y ++=2的图象如图：那么函数解析式为（（A ）322++-=x x y （B ）322--=x x y
（C ）322+--=x x y （D ）322---=x x y
例10 如图：△ABC 是边长为4的等边三角形，AB 在X 轴上，
点C 在第一象限，AC 与Y 轴交于点D ，点A 的坐标为（-1，0）
（1） 求 B 、C 、D 三点的坐标；
（2） 抛物线c bx ax y ++=2经过B 、C 、D 三点，求它的解析式；
以二次函数为基架的综合题
例11 二次函数y=ax 2+bx+c 的图象过点（1，0）（0，3），对称轴x= -1。
① 求函数解析式；
② 若图象与x 轴交于A 、B （A 在B 左）与y 轴交于C,顶点D ，求四边形ABCD 的面积。
例12 已知：抛物线m x x y +--=232与X 轴分别交于A 、B 两点（点A 在B 的左边），点P 为抛物线的顶点，（1）若抛物线的顶点在直线31
3+=x y 上，求抛物线的解析式；
（2）若AP ∶BP ∶AB=1∶1∶2，求抛物线的解析式。
例12 已知二次函数y=x 2-(m 2+8)x+2(m 2+6)，设抛物线顶点为A ，与x 轴交于B 、C 两点，问是否存在实数m,使△ABC 为等腰直角三角形，如果存在求m;若不存在说明理由。
例13 已知：抛物线y=ax 2+bx+c 过点A （-1，4），其顶点的横坐标是1/2，与X 轴分别交于B （x 1，0），C （x 2，0）两点（其中x 1<x 2），且x 12+x 22=13。
（1）求此抛物线的解析式及其顶点E 的坐标；（2）设此抛物线与y 轴交于点D ，点M 是抛物线上的点，若ΔMBO 的面积为ΔDOC 的面积的2/3倍，求点M 的坐标。
（西城区）
练习题：
1． 已知：抛物线4)343(2++
-=x m mx y 与X 轴交于两点A 、B ，与Y 轴交于C 点，若△ABC 是等腰三角形，求抛物线的上解析式。
2． 知抛物线c bx ax y ++=2经过P （-2，-2），且与X 轴交于点A ，与Y 轴交于点B ，点A 的横坐标是方程
111
4=--x x 的根，点B 的纵坐标是不等式组⎩⎨⎧>-≥-034012x x 的整数解，求抛物线的解析式。
3．抛物线c bx ax y ++=2的顶点为A （2，-3），与直线13+-=x y 有一个交点且该交点的横坐标为1。
⑴求它的解析式；
⑵设抛物线对称轴与x 轴交于B 点，抛物线与y 轴交于C 点，求△ABC 的面积。
4．已知：抛物线62++=mx x y 与X 轴相交于点A 、B ，点P 是抛物线的顶点，（1）当△PAB 的面积为81时，求抛物线的解析式；（2）是否存在实数m ，能使△PAB 为正三角形，若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由。