二次函数典型例题解析与习题训练
初中数学专题训练《二次函数》综合练习题及解析
专题47 二次函数综合（1）【典例分析】例1、如图，分别过点P i(i,0)(i=1、2、…、n)作x轴的垂线，交y=12x2的图象于点A i，交直线y=−12x于点B i.则1A1B1+1A2B2+⋯+1A nB n的值为()A. 2nn+1B. 2C. 2n(n+1)D. 2n+1【答案】A【解析】【分析】此题考查了二次函数综合题，属于规律型试题，找出题中的规律是解本题的关键．根据A i的纵坐标与B i纵坐标的绝对值之和为A i B i的长，分别表示出所求式子的各项，拆项后抵消即可得到结果．【解答】解：根据题意得：A i B i=12x2−(−12x)=12x(x+1)，∴1A iB i =2x(x+1)=2(1x−1x+1)，∴1A1B1+1A2B2+⋯+1A nB n=2(1−12+12−13+⋯+1n−1n+1)=2nn+1．故选：A．例2、如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A，B的坐标分别为(0,2)，(1,0)，顶点C在函数y=13x2+bx−1的图象上，将正方形ABCD沿x轴正方向平移后得到正方形A′B′C′D′，点D的对应点D′落在抛物线上，则点D与其对应点D′间的距离为______．【答案】2【解析】解：如图，过C作GH⊥x轴，交x轴于G，过D 作DH⊥GH于H，∵A(0,2)，B(1,0)，∴OA=2，OB=1，∵四边形ABCD为正方形，∴∠ABC=90°，AB=BC，∴∠ABO+∠CBG=90°，∵∠ABO+∠OAB=90°，∴∠CBG=∠OAB，∵∠AOB=∠BGC=90°，∴△AOB≌△BGC，∴BG=OA=2，CG=OB=1，∴C(3,1)，同理得：△BCG≌△CDH，∴CH=BG=2，DH=CG=1，∴D(2,3)，∵C在抛物线的图象上，把C(3,1)代入函数y=13x2+bx−1中得：b=−13，∴y=13x2−13x−1，设D′(x,y)，由平移得：D与D′的纵坐标相同，则y=3，当y=3时，13x2−13x−1=3，解得：x1=4，x2=−3(舍)，∴DD′=4−2=2，则点D与其对应点D′间的距离为2，故答案为：2．作辅助线，构建全等三角形，先根据A和B的坐标求OB和OA的长，证明∴△AOB≌△BGC，BG=OA=2，CG=OB=1，写出C(3,1)，同理得：△BCG≌△CDH，得出D的坐标，根据平移的性质：D与D′的纵坐标相同，则y=3，求出D′的坐标，计算其距离即可．本题考查出了二次函数图象与几何变换--平移、三角形全等的性质和判定、正方形的性质，作辅助线，构建全等三角形，明确D与D′的纵坐标相同是关键．例3、如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A(−1,0)，B(4,0)，C(0,−4)三点，点P是直线BC下方抛物线上一动点．(1)求这个二次函数的解析式；(2)是否存在点P，使△POC是以OC为底边的等腰三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由；(3)动点P运动到什么位置时，△PBC面积最大，求出此时P点坐标和△PBC的最大面积．【答案】解：(1)设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，把A、B、C三点坐标代入可得{a−b+c=016a+4b+c=0c=−4，解得{a=1b=−3c=−4，∴抛物线解析式为y=x2−3x−4；(2)作OC的垂直平分线DP，交OC于点D，交BC下方抛物线于点P，如图1，∴PO=PC，此时P点即为满足条件的点，∵C(0,−4)，∴D(0,−2)，∴P点纵坐标为−2，代入抛物线解析式可得x2−3x−4=−2，解得x=3−√172(小于0，舍去)或x=3+√172，∴存在满足条件的P点，其坐标为(3+√172,−2)；(3)∵点P在抛物线上，∴可设P(t,t2−3t−4)，过P作PE⊥x轴于点E，交直线BC于点F，如图2，∵B(4,0)，C(0,−4)，∴直线BC解析式为y=x−4，∴F(t,t−4)，∴PF=(t−4)−(t2−3t−4)=−t2+4t，∴S△PBC=S△PFC+S△PFB=12PF⋅OE+12PF⋅BE=12PF⋅(OE+BE)=12PF⋅OB=1(−t2+4t)×4=−2(t−2)2+8，2∴当t=2时，S△PBC最大值为8，此时t2−3t−4=−6，∴当P点坐标为(2,−6)时，△PBC的最大面积为8．【解析】【试题解析】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、等腰三角形的性质、二次函数的性质、三角形的面积、方程思想等知识．在(1)中注意待定系数法的应用，在(2)中确定出P点的位置是解题的关键，在(3)中用P点坐标表示出△PBC的面积是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．(1)由A、B、C三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；(2)由题意可知点P在线段OC的垂直平分线上，则可求得P点纵坐标，代入抛物线解析式可求得P点坐标；(3)过P作PE⊥x轴，交x轴于点E，交直线BC于点F，用P点坐标可表示出PF的长，则可表示出△PBC的面积，利用二次函数的性质可求得△PBC面积的最大值及P点的坐标．【好题演练】一、选择题1.如图所示，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A(−1,0)，B(3,0)两点，与y轴的正半轴交于点C，顶点为D，则下列结论：①2a+b=0；②2c<3b；③当△ABC是等腰三角形时，a的值有2个；④当△BCD是直角三角形时，a=−√2．2其中正确的有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B【解析】解：∵二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A(−1,0)，B(3,0)两点，=1，∴对称轴为直线x=−b2a∴b=−2a，∴2a+b=0，故①正确，当x=1时，0=a−b+c，∴a+2a+c=0，∴c=−3a，∴2c=3b，故②错误；∵二次函数y=ax2−2ax−3a，(a<0)∴点C(0,−3a)，当BC=AB时，4=√9+9a2，∴a=−√7，3当AC=BC时，4=√1+9a2，∴a=−√15，3∴当△ABC是等腰三角形时，a的值有2个，故③正确；∵二次函数y=ax2−2ax−3a=a(x−1)2−4a，∴顶点D(1,4a)，∴BD2=4+16a2，BC2=9+9a2，CD2=a2+1，若∠BDC=90°，可得BC2=BD2+CD2，∴9+9a2=4+16a2+a2+1，∴a=−√2，2若∠DCB=90°，可得BD2=CD2+BC2，∴4+16a2=9+9a2+a2+1，∴a=−1，∴当△BCD是直角三角形时，a=−1或−√2，故④错误．2故选：B．=1，可得b=−2a，可判断①；将点A坐标代入解析式由图象可得对称轴为直线x=−b2a可得c=−3a，可判断②；由等腰三角形的性质和两点距离公式，可求a的值，可判断③；由直角三角形的性质和两点距离可求a=−1或−√2，可判断④，即可求解．2本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数图象与系数关系，等腰三角形的性质，直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．2.如图，已知：正方形ABCD边长为1，E、F、G、H分别为各边上的点，且AE=BF=CG=DH，设小正方形EFGH的面积为s，AE为x，则s关于x的函数图象大致是()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】本题需根据自变量的取值范围，并且可以考虑求出函数的解析式来解决.根据条件可知△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG，设AE为x，则AH=1−x，根据勾股定理EH2=AE2+AH2= x2+(1−x)2，进而可求出函数解析式，求出答案．【解答】解：∵根据正方形的四边相等，四个角都是直角，且AE=BF=CG=DH，∴可证△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG．设AE为x，则AH=1−x，根据勾股定理，得EH2=AE2+AH2=x2+(1−x)2即s=x2+(1−x)2，s=2x2−2x+1，∴所求函数开口向上的抛物线，对称轴是直线x=1，2∴自变量的取值范围是0<x<1．故选B．3.如图，点E(x1,y1)，F(x2,y2)在抛物线y=ax2+bx+c上，且在该抛物线对称轴的同侧(点E在点F的左侧)，过点E、F分别作x轴的垂线，分别交x轴于点B、D，交直线y=2ax+b于点A、C.设S为四边形ABDC的面积．则下列关系正确的是()A. S=y2+y1B. S=y2+2y1C. S=y2−y1D. S=y2−2y1【答案】C【解析】【分析】此题考查了二次函数与一次函数的综合应用问题．此题难度较大，解题的关键是抓住点与函数的关系，注意根据整式的运算法则将原整式变形，注意数形结合思想的应用．首先根据题意可求得：y1，y2的值，A与C的坐标，即可用x1与x2表示出AB，CD，BD的值，(AB+CD)⋅BD，然后代入其取值，整理变形，易得四边形ABCD是直角梯形，即可得S=12即可求得S与y1、y2的数量关系式．【解答】解：根据题意得：y1=ax12+bx1+c，y2=ax22+bx2+c，点A的坐标为：(x1,2ax1+b)，点C的坐标为：(x2,2ax2+b)，∴AB=2ax1+b，CD=2ax2+b，BD=x2−x1，∵EB⊥BD，CD⊥BD，∴AB//CD，∴四边形ABCD是直角梯形，∴S=12(AB+CD)⋅BD=12(2ax1+b+2ax2+b)(x2−x1)=a(x2+x1)(x2−x1)+b(x2−x1)=(ax22+bx2)−(ax12+bx1)=(ax22+bx2+c)−(ax12+bx1+c)=y2−y1．即S=y2−y1．故选C．4.如图(1)所示，E为矩形ABCD的边AD上一边，动点P，Q同时从点B出发，点P沿折线BE−ED−DC运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/秒，设P、Q同时出发t秒时，△BPQ的面积为ycm2.已知y与t的函数关系图象如图(2)(曲线OM为抛物线的一部分)则下列结论正确的是()A. AB：AD=3：4B. 当△BPQ是等边三角形时，t=5秒C. 当△ABE∽△QBP时，t=7秒D. 当△BPQ的面积为4cm2时，t的值是√10或475秒【答案】D【解析】【分析】此题是二次函数综合题，主要考查动点问题的函数图象、矩形的性质、三角形的面积公式等知识．解题的关键是读懂图象信息求出相应的线段，学会转化的思想，把问题转化为方程的思想解决，属于中考常考题型．先根据图象信息求出AB、BC、BE、AE、ED，A 、直接求出比，B 、先判断出∠EBC ≠60°，从而得出点P 可能在ED 上时，△PBQ 是等边三角形，但必须是AD 的中点，而AE >ED ，所以点P 不可能到AD 中点的位置，故△PBQ 不可能是等边三角形；C 、利用相似三角形性质列出方程解决，分两种情况讨论计算即可，D 、分点P 在BE 上和点P 在CD 上两种情况计算即可． 【解答】解：由图象可知，AD =BC =BE =5，CD =AB =4，AE =3，DE =2， A 、∴AB ：AD =4：5，故A 错误， B 、∵tan∠ABE =AEAB =34， ∴∠ABE ≠30° ∴∠PBQ ≠60°，∴点P 在ED 时，有可能△PBQ 是等边三角形， ∵BE =BC ，∴点P 到点E 时，点Q 到点C ，∴点P 在线段AD 中点时，有可能△PBQ 是等边三角形， ∵AE >DE ，∴点P 不可能到AD 的中点，∴△PBQ 不可能是等边三角形，故B 错误， C 、∵△ABE∽△QBP ，∴点E 只有在CD 上，且满足BCAB =CQAE ， ∴54=CQ 3， ∴CQ =154．∴t =(BE +ED +DQ)÷1=5+2+(4−154)=294．故C 错误， D 、①如图(1)在Rt △ABE 中，AB =4，BE =5 sin∠AEB =AB BE =45， ∴sin∠CBE =45 ∵BP =t ，∴PG =BPsin∠CBE =45t ，∴S △BPQ =12BQ ×PG =12×t ×45t =25t 2=4， ∴t =−√10(舍)或t =√10， ②当点P 在CD 上时，S △BPQ =12×BC ×PC =12×5×(5+2+4−t)=52×(11−t)=4，∴t =475，∴当△BPQ 的面积为4cm 2时，t 的值是√10或475秒，故D 正确， 故选D ．5. 如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y =1318(x −3)2−32与y 轴相交于点A ，顶点为B ，直线l:y =−43x +b 经过点A ，与抛物线的对称轴交于点C ，点P 是对称轴上的一个动点，若AP +35PC 的值最小，则点P 的坐标为( )A. (3,1)B. (3,114) C. (3,165) D. (3,125)【解析】【分析】本题考查一次函数与二次函数的应用，三角形相似的判定与性质，勾股定理，轴对称的性质，点到直线的距离，垂线段最短．过点C作CD⊥y轴于D，作点A关于抛物线对称轴的对称点A′，连接AA′，CA′，过点A作AE⊥CA′交抛物线对称轴于点P，此时点A到A′C距离最小．先求出A、C的坐标，再证△ADC∽△CEP和勾股定理求得PE=35PC，此时PA+35PC=AE值最小．再利用抛物线的对称性与三角形面积公式求出AE长，从而求出CE长，即可求出PC 长，继而得出点P坐标．【解答】解：如图，过点C作CD⊥y轴于D，作点A关于抛物线对称轴的对称点A′，连接AA′，CA′，过点A作AE⊥CA′交抛物线对称轴于点P，此时点A到A′C距离最小．∵抛物线y=1318(x−3)2−32，∴抛物线的对称轴为直线x=3，令x=0，则y=5，∴A(0,5)，把A(0,5)代入y=−43x+b，得b=5，∴y=−43x+5，当x=3时，y=1，∴C(3,1)，∴D(0,1)，∴OA=5，CD=3，∴AD=4，CF=4，∵点A与点A′关于直线x=3对称，∴A′(6,5)，CA′=CA=5，∠ACP=∠ECP，∴AA′=6，∵S△ACA′=12AA′·CF=12CA′·AE，∴6×4=5AE，∴AE=245，∵CF//y轴，∴∠CAD=∠ACP，∴∠CAD=∠ECP，∵∠ADC=∠CEP=90°，∴△ADC∽△CEP，∴PECD =PCAC=CEAD即PE3=PC5=CE4，∴PE=35PC，CE=45PC，∴PA+35PC=AE=245值最小，在Rt△ACE中，CE=√AC2−AE2=√52−(245)2=75，∴PC=74，∴PG=PC+CG=74+1=114，∴P(3,114).故选B．二、填空题6.抛物线y=ax2+bx+c(a,b，c为常数)的顶点为P，且抛物线经过点A(−1,0)，B(m,0)，C(−2,n)(1<m<3,n<0)，下列结论：①abc>0，②3a+c<0，③a(m−1)+2b>0，④a=−1时，存在点P使△PAB为直角三角形．其中正确结论的序号为______．【答案】②③【解析】解：将A(−1,0)，B(m,0)，C(−2,n)代入解析式y=ax2+bx+c，∴对称轴x=m−12=−b2a，∴−ba=m−1，∵1<m<3，∴ab<0，∵n<0，∴a<0，∴b>0，∵a−b+c=0，∴c=b−a>0①abc<0；错误；②当x=3时，y<0，∴9a+3b+c=9a+3(a+c)+c=12a+4c=4(3a+c)<0，②正确；③a(m−1)+2b=−b+2b=b>0，③正确；④a=−1时，y=−x2+bx+c，∴P(b2,b+1+b24)，若△PAB为直角三角形，则△PAB为等腰直角三角形，∴AP的直线解析式的k=1，∴b+1+b24=b2+1，∴b=−2，∵b>0，∴不存在点P使△PAB为直角三角形．④错误；故答案为②③；由已知可以确定a<0，b>0，c=b−a>0；①abc <0；②当x =3时，y <0，即9a +3b +c =9a +3(a +c)+c =12a +4c =4(3a +c)<0； ③a(m −1)+2b =−b +2b =b >0； ④a =−1时，P(b2,b +1+b 24)，则△PAB 为等腰直角三角形，b +1+b 24=b2+1，求出k =−2不合题意；本题考查二次函数的图象及性质；能够熟练掌握二次函数的图象，根据给出的点判断函数系数a ，b ，c 的取值情况是解题的关键．7. 如图，已知点A(3,3)，点B(0,2)，点A 在二次函数y =x 2+bx −9的图象上，作射线AB ，再将射线AB 绕点A 按逆时针方向旋转45°，交二次函数图象于点C ，则点C 的坐标为______．【答案】(−2,−7)【解析】解：∵点A(3,3)在二次函数y =x 2+bx −9的图象上， ∴9+3b −9=3， 解得b =1，∴二次函数为y =x 2+x −9，过B 作BF ⊥AC 于F ，过F 作FD ⊥y 轴于D ，过A 作AE ⊥DF 于E ，则△ABF 为等腰直角三角形，易得△AEF≌△FDB(AAS)，设BD =a ，则EF =a ， ∵点A(3,3)和点B(0,2)，∴DF =3−a =AE ，OD =OB −BD =2−a ， ∵AE +OD =3， ∴3−a +2−a =3， 解得a =1， ∴F(2,1)，设直线AC 的解析式为y =kx +b ，则{2k +b =13k +b =3，解得{k =2b =−3，∴y =2x −3，解方程组{y =2x −3y =x 2+x −9，可得{x =3y =3或{x =−2y =−7， ∴C(−2,−7)， 故答案为：(−2,−7)．根据待定系数法求得b ，得到二次函数的解析式，过B 作BF ⊥AC 于F ，过F 作FD ⊥y 轴于D ，过A 作AE ⊥DF 于E ，则△ABF 为等腰直角三角形，易得△AEF≌△FDB ，依据全等三角形的性质，即可得出F(2,1)，进而得出直线AC 的解析式，解方程组即可得到C 点坐标． 本题主要考查了二次函数图象，旋转的性质以及二次函数图象上点的坐标特征的运用，解决问题的关键是利用45°角，作辅助线构造等腰直角三角形．8. 如图，已知直线y =12x +1与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线y =12x 2+bx +c与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为(1,0). 在抛物线的对称轴上找一点M ，使|AM −MC|的值最大，求出点M 的坐标______．【答案】(32,−12) 【解析】 【分析】本题综合考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，直线和抛物线的交点等.根据直线的解析式求得点A(0,1)，那么把A ，B 坐标代入y =12x 2+bx +c 即可求得函数解析式，据此知抛物线的对称轴，点C 关于对称轴的对称点为点B.易得当|AM −MC|的值最大时，连接AB 交对称轴的一点就是M.令过AB 的直线解析式和对称轴的解析式联立即可求得点M 坐标． 【解答】解：∵直线y =12x +1与y 轴交于点A ，∴点A 坐标为(0,1)，将A(0,1)、B(1,0)坐标代入y =12x 2+bx +c 得{c =112+b +c =0, 解得：{b =−32c =1． ∴抛物线的解折式为y =12x 2−32x +1=12(x −32)2−18； 则抛物线的对称轴为x =32，B 、C 关于x =32对称， ∴MC =MB ，要使|AM −MC|最大，即是使|AM −MB|最大，由三角形两边之差小于第三边得，当A 、B 、M 在同一直线上时|AM −MB|的值最大． 易知直线AB 的解析式为y =−x +1 ∴{y =−x +1x =32，解得：{x =32y =−12．则M(32,−12)， 故答案为：(32,−12).9. 如图，抛物线y =−x 2+2x +3交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C ，点C 关于抛物线的对称轴的对称点为E ，点G ，F 分别在x 轴和y 轴上，则四边形EDFG 周长的最小值为______．【答案】√2+√58 【解析】解：如图，在y=−x2+2x+3中，当x=0时，y=3，即点C(0,3)，∵y=−x2+2x+3=−(x−1)2+4，∴对称轴为x=1，顶点D(1,4)，则点C关于对称轴的对称点E的坐标为(2,3)，作点D关于y轴的对称点D′(−1,4)，作点E关于x轴的对称点E′(2,−3)，连接D′、E′，D′E′与x轴的交点G、与y轴的交点F即为使四边形EDFG的周长最小的点，四边形EDFG的周长=DE+DF+FG+GE=DE+D′F+FG+GE′=DE+D′E′=√(1−2)2+(4−3)2+√(−1−2)2+(4+3)2=√2+√58，∴四边形EDFG的周长的最小值为：√2+√58．故答案是：√2+√58．根据抛物线解析式求得点D(1,4)、点E(2,3)，作点D关于y轴的对称点D′(−1,4)、作点E关于x轴的对称点E′(2,−3)，从而得四边形EDFG的周长=DE+DF+FG+GE=DE+D′F+ FG+GE′，当点D′、F、G、E′四点共线时，周长最短，据此根据两点间的距离公式可得答案．本题主要考查抛物线与x轴的交点、轴对称−最短路线问题，根据轴对称的性质得出点F、G的位置是解题的关键．10.如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点A在点(−2,0)和(−1,0)之间(包括这两点)，顶点C是矩形DEFG上(包括边界和内部)的一个动点，则：(1)abc______0(填“>”或“<”)；(2)a的取值范围是______．【答案】(1)<；(2)−34≤a ≤−225 【解析】解：(1)观察图形发现，抛物线的开口向下， ∴a <0，∵顶点坐标在第一象限， ∴−b2a >0， ∴b >0，而抛物线与y 轴的交点在y 轴的上方， ∴c >0， ∴abc <0； 故填<(2)顶点C 是矩形DEFG 上(包括边界和内部)的一个动点，当顶点C 与D 点重合，顶点坐标为(1,3)，则抛物线解析式y =a(x −1)2+3，由{a(−1−1)2+3≥0a(−2−1)2+3≤0，解得−34≤a ≤−13；当顶点C 与F 点重合，顶点坐标为(3,2)，则抛物线解析式y =a(x −3)2+2， 由{a(−1−3)2+2≥0a(−2−3)2+2≤0，解得−18≤a ≤−225； ∵顶点可以在矩形内部， ∴−34≤a ≤−225．解法二：由题意及图可知：当抛物线经过(−2,0)，顶点为F(3,2)时，抛物线开口最大，解得a =−225；当抛物线经过(−1,0)，顶点为D(1,3)时，抛物线开口最小，解得a =−34，∵当a <0时，a 越小抛物线的开口越小，a 越大抛物线的开口越大，故填−34≤a ≤−225【分析】(1)观察图形发现，由抛物线的开口向下得到a<0，顶点坐标在第一象限得到b>0，抛物线与y轴的交点在y轴的上方推出c>0，由此即可判定abc的符号；(2)顶点C是矩形DEFG上(包括边界和内部)的一个动点，当顶点C与D点重合，可以知道顶点坐标为(1,3)且抛物线过(−1,0)，则它与x轴的另一个交点为(3,0)，由此可求出a；当顶点C与F点重合，顶点坐标为(3,2)且抛物线过(−2,0)，则它与x轴的另一个交点为(8,0)，由此也可求a，然后由此可判断a的取值范围．本题主要考查了抛物线的解析式y=ax2+bx+c中a、b、c对抛物线的影响，在对于抛物线的顶点在所给图形内进行运动的判定，充分利用了利用形数结合的方法，展开讨论，加以解决．三、解答题11.如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与直线y=x+1相交于A(−1,0)，B(4,m)两点，且抛物线经过点C(5,0)．(1)求抛物线的解析式；(2)点P是抛物线上的一个动点(不与点A、点B重合)，过点P作直线PD⊥x轴于点D，交直线AB于点E．①当PE=2ED时，求P点坐标；②是否存在点P使△BEC为等腰三角形？若存在请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】解：(1)∵点B(4,m)在直线y=x+1上，∴m=4+1=5，∴B(4,5)，把A 、B 、C 三点坐标代入抛物线的解析式可得{a −b +c =016a +4b +c =525a +5b +c =0，解得{a =−1b =4c =5，∴抛物线的解析式为y =−x 2+4x +5；(2)①设P(x,−x 2+4x +5)，则E(x,x +1)，D(x,0)，则PE =|−x 2+4x +5−(x +1)|=|−x 2+3x +4|，DE =|x +1|， ∵PE =2ED ，∴|−x 2+3x +4|=2|x +1|，当−x 2+3x +4=2(x +1)时，解得x =−1或x =2，但当x =−1时，P 与A 重合不合题意，舍去， ∴P(2,9)；当−x 2+3x +4=−2(x +1)时，解得x =−1或x =6，但当x =−1时，P 与A 重合不合题意，舍去， ∴P(6,−7)；综上可知P 点坐标为(2,9)或(6,−7)；②设P(x,−x 2+4x +5)，则E(x,x +1)，且B(4,5)，C(5,0)， ∴BE =√(x −4)2+(x +1−5)2=√2|x −4|，CE =√(x −5)2+(x +1)2=√2x 2−8x +26，BC =√(4−5)2+(5−0)2=√26，当△BEC 为等腰三角形时，则有BE =CE 、BE =BC 或CE =BC 三种情况， 当BE =CE 时，则√2|x −4|=√2x 2−8x +26，解得x =34，此时P 点坐标为(34,11916)；当BE =BC 时，则√2|x −4|=√26，解得x =4+√13或x =4−√13，此时P 点坐标为(4+√13,−4√13−8)或(4−√13,4√13−8)；当CE =BC 时，则√2x 2−8x +26=√26，解得x =0或x =4，当x =4时E 点与B 点重合，不合题意，舍去，此时P 点坐标为(0,5)； 综上可知存在满足条件的点P ，其坐标为(34,11916)或(4+√13,−4√13−8)或(4−√13,4√13−8)或(0,5)．【解析】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、两点间距离公式、等腰三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在(1)中注意待定系数法的应用，在(2)①中用P 点坐标分别表示出PE 和ED 的长是解题关键，在(2)②中用P 点坐标表示出BE 、CE 和BC 的长是解题的关键，注意分三种情况讨论．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．(1)由直线解析式可求得B点坐标，由A、B、C三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；(2)①可设出P点坐标，则可表示出E、D的坐标，从而可表示出PE和ED的长，由条件可得到关于P点坐标的方程，则可求得P点坐标；②由E、B、C三点坐标可表示出BE、CE和BC的长，由等腰三角形的性质可得到关于E 点坐标的方程，可求得E点坐标，则可求得P点坐标．12.如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点D，点B的坐标为(3,0)，顶点C的坐标为(1,4)．(1)求二次函数的解析式和直线BD的解析式；(2)点P是直线BD上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，当点P在第一象限时，求线段PM长度的最大值；(3)在抛物线上是否存在异于B、D的点Q，使△BDQ中BD边上的高为2√2？若存在求出点Q的坐标；若不存在请说明理由．【答案】解：(1)∵抛物线的顶点C的坐标为(1,4)，∴可设抛物线解析式为y=a(x−1)2+4，∵点B(3,0)在该抛物线的图象上，∴0=a(3−1)2+4，解得a=−1，∴抛物线解析式为y=−(x−1)2+4，即y=−x2+2x+3，∵点D在y轴上，令x=0可得y=3，∴D点坐标为(0,3)，∴可设直线BD 解析式为y =kx +3，把B 点坐标代入可得3k +3=0，解得k =−1， ∴直线BD 解析式为y =−x +3；(2)设P 点横坐标为m(m >0)，则P(m,−m +3)，M(m,−m 2+2m +3)， ∴PM =−m 2+2m +3−(−m +3)=−m 2+3m =−(m −32)2+94，∴当m =32时，PM 有最大值94；(3)如图，过Q 作QG//y 轴交BD 于点G ，交x 轴于点E ，作QH ⊥BD 于H ，设Q(x,−x 2+2x +3)，则G(x,−x +3)，∴QG =|−x 2+2x +3−(−x +3)|=|−x 2+3x|， ∵△BOD 是等腰直角三角形， ∴∠DBO =45°， ∴∠HGQ =∠BGE =45°，当△BDQ 中BD 边上的高为2√2时，即QH =HG =2√2， ∴QG =√2×2√2=4， ∴|−x 2+3x|=4，当−x 2+3x =4时，△=9−16<0，方程无实数根， 当−x 2+3x =−4时，解得x =−1或x =4， ∴Q(−1,0)或(4,−5)，综上可知存在满足条件的点Q ，其坐标为(−1,0)或(4,−5)．【解析】(1)可设抛物线解析式为顶点式，由B 点坐标可求得抛物线的解析式，则可求得D 点坐标，利用待定系数法可求得直线BD 解析式；(2)设出P 点坐标，从而可表示出PM 的长度，利用二次函数的性质可求得其最大值；(3)过Q 作QG//y 轴，交BD 于点G ，过Q 和QH ⊥BD 于H ，可设出Q 点坐标，表示出QG 的长度，由条件可证得△DHG 为等腰直角三角形，则可得到关于Q 点坐标的方程，可求得Q 点坐标．本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、等腰直角三角形的性质及方程思想等知识．在(1)中主要是待定系数法的考查，注意抛物线顶点式的应用，在(2)中用P 点坐标表示出PM 的长是解题的关键，在(3)中构造等腰直角三角形求得QG 的长是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．13. 如图，已知顶点为C(0,−3)的抛物线y =ax 2+b(a ≠0)与x 轴交于A ，B 两点，直线y =x +m 过顶点C 和点B ．(1)求m 的值；(2)求函数y =ax 2+b(a ≠0)的解析式；(3)抛物线上是否存在点M ，使得∠MCB =15°？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】解：(1)将(0,−3)代入y =x +m ， 可得：m =−3；(2)将y =0代入y =x −3得：x =3， 所以点B 的坐标为(3,0)，将(0,−3)、(3,0)代入y =ax 2+b 中， 可得：{b =−39a +b =0，解得：{a =13b =−3， 所以二次函数的解析式为：y =13x 2−3； (3)存在，分以下两种情况：①若M 在B 上方，设MC 交x 轴于点D ， ∵OB =OC ，∴∠OCB +∠OBC =45°， 则∠ODC =45°+15°=60°， ∴∠OCD =30°， ∴OD =12CD ，在Rt △COD 中，CD 2=OC 2+OD 2，即(2OD)2=32+OD 2， 解得OD =√3，设DC 为y =kx −3，代入(√3,0)，可得：k =√3， 联立两个方程可得：{y =√3x −3y =13x 2−3， 解得：{x 1=0y 1=−3,{x 2=3√3y 2=6，所以M 1(3√3,6)；②若M 在B 下方，设MC 交x 轴于点E ，则∠OEC =45°−15°=30°， ∴OC =12CE ，∴CE =2OC =6，在Rt △COE 中，CE 2=OC 2+OE 2，即62=32+OE 2， 解得OE =3√3，设EC 为y =kx −3，代入(3√3,0)可得：k =√33，联立两个方程可得：{y =√33x −3y =13x 2−3， 解得：{x 1=0y 1=−3,{x 2=√3y 2=−2， 所以M 2(√3,−2)，综上所述M 的坐标为(3√3,6)或(√3,−2)．【解析】此题主要考查了二次函数的综合题，需要掌握待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式等知识是解题关键． (1)把C(0,−3)代入直线y =x +m 中解答即可；(2)把y =0代入直线解析式得出点B 的坐标，再利用待定系数法确定函数关系式即可； (3)分M 在BC 上方和下方两种情况进行解答即可．14. 如图，直线y =−23x +c 与x 轴交于点A(3,0)，与y 轴交于点B ，抛物线y =−43x 2+bx +c 经过点A ，B ．(1)求点B 的坐标和抛物线的解析式；(2)M(m,0)为x 轴上一动点，过点M 且垂直于x 轴的直线与直线AB 及抛物线分别交于点P ，N ．①点M 在线段OA 上运动，若以B ，P ，N 为顶点的三角形与△APM 相似，求点M 的坐标；②点M 在x 轴上自由运动，若三个点M ，P ，N 中恰有一点是其它两点所连线段的中点(三点重合除外)，则称M ，P ，N 三点为“共谐点”.请直接写出使得M ，P ，N 三点成为“共谐点”的m 的值．【答案】解：(1)∵y =−23x +c 与x 轴交于点A(3,0)，与y 轴交于点B ， ∴0=−2+c ，解得c =2， ∴B(0,2)，∵抛物线y =−43x 2+bx +c 经过点A ，B ， ∴{−12+3b +c =0c =2，解得{b =103c =2，∴抛物线解析式为y=−43x2+103x+2；(2)①由(1)可知直线解析式为y=−23x+2，∵M(m,0)为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N，∴P(m,−23m+2)，N(m,−43m2+103m+2)，∴PM=−23m+2，AM=3−m，PN=−43m2+103m+2−(−23m+2)=−43m2+4m，∵△BPN和△APM相似，且∠BPN=∠APM，∴∠BNP=∠AMP=90°或∠NBP=∠AMP=90°，当∠BNP=90°时，则有BN⊥MN，∴N点的纵坐标为2，∴−43m2+103m+2=2，解得m=0(舍去)或m=2.5，∴M(2.5,0)；当∠NBP=90°时，过点N作NC⊥y轴于点C，则∠NBC+∠BNC=90°，NC=m，BC=−43m2+103m+2−2=−43m2+103m，∵∠NBP=90°，∴∠NBC+∠ABO=90°，∴∠ABO=∠BNC，∴Rt△NCB∽Rt△BOA，∴NCOB =CBOA，∴m2=−43m2+103m3，解得m=0(舍去)或m=118，∴M(118,0)；综上可知当以B ，P ，N 为顶点的三角形与△APM 相似时，点M 的坐标为(2.5,0)或(118,0)； ②当M ，P ，N 三点成为“共谐点”时m 的值为12或−1或−14．【解析】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、函数图象的交点、相似三角形的判定和性质、勾股定理、线段的中点、方程思想及分类讨论思想等知识．在(1)中注意待定系数法的应用，在(2)①中利用相似三角形的性质得到关于m 的方程是解题的关键，注意分两种情况，在(2)②中利用“共谐点”的定义得到m 的方程是解题的关键，注意分情况讨论．本题考查知识点较多，综合性较强，分情况讨论比较多，难度较大．(1)把A 点坐标代入直线解析式可求得c ，则可求得B 点坐标，由A 、B 的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；(2)①由M 点坐标可表示P 、N 的坐标，从而可表示出MA 、MP 、PN 、PB 的长，分∠NBP =90°和∠BNP =90°两种情况，分别利用相似三角形的性质可得到关于m 的方程，可求得m 的值； ②用m 可表示出M 、P 、N 的坐标，由题意可知有P 为线段MN 的中点、M 为线段PN 的中点或N 为线段PM 的中点，可分别得到关于m 的方程，可求得m 的值． 解(1)见答案； (2)①见答案；②由①可知M(m,0)，P(m,−23m +2)，N(m,−43m 2+103m +2)，∵M ，P ，N 三点为“共谐点”，∴有P 为线段MN 的中点、M 为线段PN 的中点或N 为线段PM 的中点， 当P 为线段MN 的中点时，则有2(−23m +2)=−43m 2+103m +2，解得m =3(三点重合，舍去)或m =12；当M 为线段PN 的中点时，则有−23m +2+(−43m 2+103m +2)=0，解得m =3(舍去)或m =−1；当N 为线段PM 的中点时，则有−23m +2=2(−43m 2+103m +2)，解得m =3(舍去)或m =−14；综上可知当M ，P ，N 三点成为“共谐点”时m 的值为12或−1或−14．15.如图，抛物线y=ax2+bx−3经过点A(2,−3)，与x轴负半轴交于点B，与y轴交于点C，且OC=3OB．(1)求抛物线的解析式；(2)点D在y轴上，且∠BDO=∠BAC，求点D的坐标；(3)点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】解：(1)由y=ax2+bx−3得C(0.−3)，∴OC=3，∵OC=3OB，∴OB=1，∴B(−1,0)，把A(2,−3)，B(−1,0)代入y=ax2+bx−3得{4a+2b−3=−3a−b−3=0，∴{a=1b=−2，∴抛物线的解析式为y=x2−2x−3；(2)设连接AC，作BF⊥AC交AC的延长线于F，∵A(2,−3)，C(0,−3)，∴AF//x轴，∴F(−1,−3)，∴BF=3，AF=3，∴∠BAC=45°，设D(0,m)，则OD=|m|，∵∠BDO=∠BAC，∴∠BDO=45°，∴OD=OB=1，∴|m|=1，∴m=±1，∴D1(0,1)，D2(0,−1)；(3)设M(a,a2−2a−3)，N(1,n)，①以AB为边，则AB//MN，AB=MN，如图2，过M作ME⊥对称轴于E，AF⊥x轴于F，则△ABF≌△NME，∴NE=AF=3，ME=BF=3，∴|a−1|=3，∴a=4或a=−2，∴M(4,5)或(−2,5)；②以AB为对角线，BN=AM，BN//AM，如图3，则N在x轴上，M与C重合，∴M(0,−3)，综上所述，存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形，M(4,5)或(−2,5)或(0,−3)．【解析】(1)待定系数法即可得到结论；(2)连接AC，作BF⊥AC交AC的延长线于F，根据已知条件得到AF//x轴，得到F(−1,−3)，设D(0,m)，则OD=|m|即可得到结论；(3)设M(a,a2−2a−3)，N(1,n)，①以AB为边，则AB//MN，AB=MN，如图2，过M 作ME⊥对称轴于E，AF⊥x轴于F，于是得到△ABF≌△NME，证得NE=AF=3，ME= BF=3，得到M(4,5)或(−2,5)；②以AB为对角线，BN=AM，BN//AM，如图3，则N在x轴上，M与C重合，于是得到结论．本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，正确的作出图形是解题的关键．。
二次函数练习题及解析
二次函数练习题及解析一、选择题1. 若函数y=2x^2-3x+1的图像在x轴上有两个不同的零点，则此函数的判别式的值为：A. -7B. -3C. 3D. 7解析：考虑二次函数的判别式，判别式的值为b^2-4ac。
根据题目中给出的函数y=2x^2-3x+1，判别式的值为(-3)^2-4(2)(1)=9-8=1。
因为判别式的值为正数，所以函数的图像在x轴上有两个不同的零点。
因此，答案选C。
2. 函数y=ax^2+bx+c的图像关于x轴对称，则下列选项中a、b、c 的组合正确的是：A. a≠0，b=0，c=0B. a≠0，b=0，c≠0C. a=0，b=0，c≠0D. a=0，b≠0，c=0解析：当函数的图像关于x轴对称时，要求函数关于x的一次项系数b为0。
根据选项中的组合判断，只有选项B中满足条件，即a≠0，b=0，c≠0。
因此，答案选B。
二、填空题1. 已知二次函数y=ax^2+bx+c的图像顶点为(-2, 3)，则a的值为________。
解析：对于二次函数，顶点的横坐标为-x轴的系数的倒数，纵坐标为函数的值。
根据题目中给出的顶点(-2, 3)，可以得到a=1/4。
因此，所填空的值为1/4。
三、解答题1. 求解方程2x^2+5x-3=0的实数根。
解析：根据一元二次方程的求解公式x=(-b±sqrt(b^2-4ac))/(2a)，可以得到方程的解。
对于方程2x^2+5x-3=0，其中a=2，b=5，c=-3。
带入公式计算得到：x=[-5±sqrt(5^2-4(2)(-3))]/(2(2))=[-5±sqrt(25+24)]/4=[-5±sqrt(49)]/4=[-5±7]/4因此，方程2x^2+5x-3=0的实数根为：x1=(-5+7)/4=1/2x2=(-5-7)/4=-32. 已知二次函数y=ax^2+bx+c的图像经过点(-1, 4)和(2, -2)，求a、b、c的值。
二次函数解析式专项练习（精选5篇）
二次函数解析式专项练习（精选5篇）第一篇：二次函数解析式专项练习二次函数解析式专项练习一般式：y=ax2+bx+c(a≠0)顶点式：y=a(x－h)2+k(a≠0)，其中(h,k)是抛物线的顶点坐标两根式：y=a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1、x2是抛物线与x轴的两个交点的横坐标.一、已知抛物线上任意三点时，通常设解析式为一般式y=ax2+bx+c，然后解三元方程组求解；例.已知二次函数图象经过A（0，3）、B（1，3）、C（－1，1）三点，求该二次函数的解析式。
二、已知抛物线顶点坐标时和抛物线上另一点时，通常设解析式为顶点式y=a(x-h)+k求解。
2例.已知二次函数的图象的顶点坐标为（1，－6），且经过点（2，－8），求该二次函数的解析式。
三、已知抛物线与x轴的交点的横坐标时，通常设解析式为交点式y=a(x-x1)(x-x2)。
例．二次函数的图象经过A（－1，0），B（3，0），函数有最小值－8，求该二次函数的解析式。
综合练习：1.已知抛物线经过点A（－1，0），B（4，5），C（0，－3），求抛物线的解析式．2.已知抛物线顶点坐标为（1，－4），且又过点（2，－3）．求抛物线的解析式．3.已知抛物线与x轴的两交点为（－1，0）和（3，0），且过点（2，－3）．求抛物线的解析式．4.已知二次函数的图象过（0，1）、（2，4）、（3，10）三点，求这个二次函数的关系式．5.已知二次函数的图象的顶点坐标为（－2，－3），且图像过点（－3，－2），求这个二次函数的解析式．6.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与x轴交于A（1，0），B （3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），求二次函数的顶点坐标．第二篇：二次函数练习二次函数练习1，函数f(x)=x2+bx+c，对于任意t∈r，均有f(2+x)=f(2-x)则f(1)，f(2)，f(4)，的大小关系是_____________________2，二次函数y=ax2-4x+a-3的最大值恒为负，则a的取值范围是________________------3，二次函数y=x2+(a+2)x+5在区间(2，+∞)上是增函数，则a的取值范围是_______________4，已知函数f(x)=mx2+(m-3)x+1的图像与X轴的交点至少一个在原点的右侧，求实数m的范围。
二次函数详解(附习题、答案)
二次函数详解(附习题、答案)一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
:2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。
】3. ()2y a x h =-的性质：左加右减。
4. ()2y a x h k =-+的性质：?三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二： ~⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，．五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.【六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a -．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）..注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b 】在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧． ⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．<ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结：3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置． 总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：@根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；~()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．/5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-.，② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点；③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2' 当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.`⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：二次函数图像参考：，十一、函数的应用二次函数应用⎧⎪⎨⎪⎩刹车距离何时获得最大利润最大面积是多少2-32y=-2x 2y=3(x+4)22y=3x 2y=-2(x-3)2二次函数考查重点与常见题型1． 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：…已知以x 为自变量的二次函数2)2(22--+-=m m x m y 的图像经过原点， 则m 的值是2． 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如： 如图，如果函数b kx y +=的图像在第一、二、三象限内，那么函数12-+=bx kx y 的图像大致是（ ）y y y y1 10 x o-1 x 0 x 0 -1 x A B C D3． 考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如： 已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为35=x ，求这条抛物线的解析式。
二次函数基础练习试题大全(附含答案解析)
二次函数基础练习题练习一 二次函数1、 一个小球由静止开始在一个斜坡上向下滚动，通过仪器观察得到小球滚动的距离s （米）与时间t（秒）的数据如下表： 时间t （秒）1 2 3 4 … 距离s （米）2 8 18 32 … 写出用t 表示s 的函数关系式： 2、 下列函数：① 23y x ；② 21y x x x ；③ 224y x x x ；④ 21y x x ； ⑤ 1y x x ，其中是二次函数的是 ，其中a ，b ，c3、当m 时，函数2235ym x x （m 为常数）是关于x 的二次函数4、当____m时，函数2221m m y m m x 是关于x 的二次函数 5、当____m 时，函数2564m m y m x +3x 是关于x 的二次函数 6、若点 A ( 2, m ) 在函数 12-=x y 的图像上，则 A 点的坐标是＿＿＿＿.7、在圆的面积公式 S ＝πr 2 中，s 与 r 的关系是（ ）A 、一次函数关系B 、正比例函数关系C 、反比例函数关系D 、二次函数关系8、正方形铁片边长为15cm ，在四个角上各剪去一个边长为x （cm ）的小正方形，用余下的部分做成一个无盖的盒子．(1)求盒子的表面积S （cm 2）与小正方形边长x （cm ）之间的函数关系式；(2)当小正方形边长为3cm 时，求盒子的表面积．9、如图，矩形的长是 4cm ，宽是 3cm ，如果将长和宽都增加 x cm ，那么面积增加 ycm 2， ① 求 y 与 x 之间的函数关系式.② 求当边长增加多少时，面积增加 8cm 2.10、已知二次函数),0(2≠+=a c ax y 当x=1时，y= -1；当x=2时，y=2，求该函数解析式.11、富根老伯想利用一边长为a 米的旧墙及可以围成24米长的旧木料，建造猪舍三间，如图，它们的平面图是一排大小相等的长方形.（1） 如果设猪舍的宽AB 为x 米，则猪舍的总面积S （米2）与x 有怎样的函数关系？（2） 请你帮富根老伯计算一下，如果猪舍的总面积为32米2，应该如何安排猪舍的长BC 和宽AB 的长度？旧墙的长度是否会对猪舍的长度有影响？怎样影响？练习二 函数2ax y =的图像与性质1、填空：（1）抛物线221x y =的对称轴是 （或 ），顶点坐标是 ，当x 时，y 随x 的增大而增大，当x 时，y 随x 的增大而减小，当x= 时，该函数有最 值是 ；（2）抛物线221x y -=的对称轴是 （或 ），顶点坐标是 ，当x 时，y 随x 的增大而增大，当x 时，y 随x 的增大而减小，当x= 时，该函数有最 值是 ； 2、对于函数22x y =下列说法：①当x 取任何实数时，y 的值总是正的；②x 的值增大，y 的值也增大；③y 随x 的增大而减小；④图像关于y 轴对称.其中正确的是 .3、抛物线 y ＝－x 2 不具有的性质是（ ）A 、开口向下B 、对称轴是 y 轴C 、与 y 轴不相交D 、最高点是原点4、苹果熟了，从树上落下所经过的路程 s 与下落时间 t 满足 S ＝12gt 2（g ＝9.8），则 s 与 t 的函数图像大致是（ ）A B C D5、函数2ax y =与b ax y +-=的图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ． 6、已知函数24m m y mx 的图像是开口向下的抛物线，求m 的值. 7、二次函数12-=mmx y 在其图像对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大，求m 的值. 8、二次函数223x y -=，当x 1＞x 2＞0时，求y 1与y 2的大小关系. 9、已知函数()422-++=m m x m y 是关于x 的二次函数，求：（1） 满足条件的m 的值；s tO s t Os t O st O（2） m 为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，这时x 为何值时，y 随x 的增大而增大；（3） m 为何值时，抛物线有最大值？最大值是多少？当x 为何值时，y 随x 的增大而减小？10、如果抛物线2y ax 与直线1y x 交于点,2b ，求这条抛物线所对应的二次函数的关系式.练习三 函数c ax y +=2的图象与性质1、抛物线322--=x y 的开口 ,对称轴是 ,顶点坐标是 ,当x 时, y 随x 的增大而增大, 当x 时, y 随x 的增大而减小.2、将抛物线231x y =向下平移2个单位得到的抛物线的解析式为 ,再向上平移3个单位得到的抛物线的解析式为 ,并分别写出这两个函数的顶点坐标 、 . 3、任给一些不同的实数k ，得到不同的抛物线k x y +=2，当k 取0，1±时，关于这些抛物线有以下判断：①开口方向都相同；②对称轴都相同；③形状相同；④都有最底点.其中判断正确的是 .4、将抛物线122-=x y 向上平移4个单位后，所得的抛物线是 ，当x= 时，该抛物线有最 （填大或小）值，是 .5、已知函数2)(22+-+=x m m mx y 的图象关于y 轴对称，则m ＝________；6、二次函数c ax y +=2()0≠a 中，若当x 取x 1、x 2（x 1≠x 2）时，函数值相等，则当x 取x 1+x 2时，函数值等于 .练习四 函数()2h x a y -=的图象与性质 1、抛物线()2321--=x y ，顶点坐标是 ,当x 时,y 随x 的增大而减小， 函数有 最 值 . 2、试写出抛物线23x y =经过下列平移后得到的抛物线的解析式并写出对称轴和顶点坐标.（1）右移2个单位；（2）左移32个单位；（3）先左移1个单位，再右移4个单位.3、请你写出函数()21+=x y 和12+=x y 具有的共同性质（至少2个）.4、二次函数()2h x a y -=的图象如图：已知21=a ，OA=OC ，试求该抛物线的解析式.5、抛物线2)3(3-=x y 与x 轴交点为A ，与y 轴交点为B ，求A 、B 两点坐标及⊿AOB 的面积.6、二次函数2)4(-=x a y ，当自变量x 由0增加到2时，函数值增加6.（1）求出此函数关系式.（2）说明函数值y 随x 值的变化情况.7、已知抛物线9)2(2++-=x k x y 的顶点在坐标轴上，求k 的值.练习五 ()k h x a y +-=2的图象与性质 1、请写出一个二次函数以（2, 3）为顶点，且开口向上.＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.2、二次函数 y ＝(x －1)2＋2，当 x ＝＿＿＿＿时，y 有最小值.3、函数 y ＝12(x －1)2＋3，当 x ＿＿＿＿时，函数值 y 随 x 的增大而增大. 4、函数y=21(x+3)2-2的图象可由函数y=21x 2的图象向 平移3个单位，再向 平移2个单位得到.5、 已知抛物线的顶点坐标为2,1，且抛物线过点3,0，则抛物线的关系式是6、 如图所示，抛物线顶点坐标是P （1，3），则函数y 随自变量x 的增大而减小的x 的取值范围是（ ）A 、x>3B 、x<3C 、x>1D 、x<17、已知函数()9232+--=x y . （1）确定下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标； （2）当x= 时，抛物线有最 值，是 . （3）当x 时，y 随x 的增大而增大；当x 时，y 随x 的增大而减小. （4）求出该抛物线与x 轴的交点坐标及两交点间距离； （5） 求出该抛物线与y 轴的交点坐标；（6） 该函数图象可由23x y -=的图象经过怎样的平移得到的？8、已知函数()412-+=x y . （1）指出函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标； （2）若图象与x 轴的交点为A 、B 和与y 轴的交点C ，求△ABC 的面积； （3）指出该函数的最值和增减性； （4）若将该抛物线先向右平移2个单位，在向上平移4个单位，求得到的抛物线的解析式； （5）该抛物线经过怎样的平移能经过原点. （6） 画出该函数图象，并根据图象回答：当x 取何值时，函数值大于0；当x 取何值时，函数值小于0.练习六 c bx ax y ++=2的图象和性质1、抛物线942++=x x y 的对称轴是 .2、抛物线251222+-=x x y 的开口方向是 ，顶点坐标是 .3、试写出一个开口方向向上，对称轴为直线x=-2，且与y 轴的交点坐标为（0，3）的抛物线的解析式 .4、将 y ＝x 2－2x ＋3 化成 y ＝a (x －h)2＋k 的形式，则 y ＝＿＿＿＿.5、把二次函数215322y x x 的图象向上平移3个单位，再向右平移4个单位，则两次平移后的函数图象的关系式是 6、抛物线1662--=x x y 与x 轴交点的坐标为_________；7、函数x x y +-=22有最____值，最值为_______；8、二次函数c bx x y ++=2的图象沿x 轴向左平移2个单位，再沿y 轴向上平移3个单位，得到的图象的函数解析式为122+-=x x y ，则b 与c 分别等于（ ）A 、6，4B 、－8，14C 、－6，6D 、－8，－149、二次函数122--=x x y 的图象在x 轴上截得的线段长为（ ）A 、22B 、23C 、32D 、3310、通过配方，写出下列函数的开口方向、对称轴和顶点坐标：（1）12212+-=x x y ； （2）2832-+-=x x y ； （3）4412-+-=x x y 11、把抛物线1422++-=x x y 沿坐标轴先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，问所得的抛物线有没有最大值，若有，求出该最大值；若没有，说明理由.12、求二次函数62+--=x x y 的图象与x 轴和y 轴的交点坐标13、已知一次函数的图象过抛物线223yx x 的顶点和坐标原点 1） 求一次函数的关系式；2） 判断点2,5是否在这个一次函数的图象上14、某商场以每台2500元进口一批彩电.如每台售价定为2700元，可卖出400台，以每100元为一个价格单位，若将每台提高一个单位价格，则会少卖出50台，那么每台定价为多少元即可获得最大利润？最大利润是多少元？练习七 c bx ax y ++=2的性质1、函数2y x pxq 的图象是以3,2为顶点的一条抛物线，这个二次函数的表达式为 2、二次函数2224y mx x m m 的图象经过原点，则此抛物线的顶点坐标是 3、如果抛物线2yax bx c 与y 轴交于点A (0,2)，它的对称轴是1x ，那么ac b 4、抛物线c bx x y ++=2与x 轴的正半轴交于点A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且线段AB 的长为1，△ABC 的面积为1，则b 的值为______.5、已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则a___0，b___0，c___0，ac b 42-____0；6、二次函数c bx ax y ++=2的图象如图，则直线bc ax y +=的图象不经过第 象限.7、已知二次函数2y ax bxc （0≠a ）的图象如图所示，则下列结论： 1）,a b 同号；2）当1x 和3x 时，函数值相同；3）40a b ；4）当2y 时，x 的值只能为0；其中正确的是（第5题） （第6题） （第7题） （第10题）8、已知二次函数2224m mx x y +--=与反比例函数x m y 42+=的图象在第二象限内的一个交点的横坐标是-2，则m=9、二次函数2y x ax b 中，若0a b ，则它的图象必经过点（ ）A 1,1B 1,1C 1,1D 1,110、函数b ax y +=与c bx ax y ++=2的图象如上图所示，则下列选项中正确的是（ ）A 、0,0>>c abB 、0,0><c abC 、0,0<>c abD 、0,0<<c ab11、已知函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则函数b ax y +=的图象是（ ）12、二次函数c bx ax y ++=2的图象如图，那么abc 、2a+b 、a+b+c 、a-b+c 这四个代数式中，值为正数的有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个13、抛物线的图角如图，则下列结论： ①＞0；②；③＞；④＜1.其中正确的结论是（ ）.（A ）①② （B ）②③ （C ）②④ （D ）③④14、二次函数2y ax bx c 的最大值是3a ，且它的图象经过1,2，1,6两点， 求a 、b 、c 的值。
二次函数经典例题及解答
二次函数经典例题及解答二次函数一、中考导航图1.二次函数的意义2.二次函数的图像3.二次函数的性质顶点对称轴开口方向增减性4.待定系数法确定二次函数解析式5.二次函数与一元二次方程的关系三、中考知识梳理1.二次函数的图像二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像可以通过配方法化简为y=a(x+（b/2a））2+(4ac-b2)/4a2的形式。
确定顶点坐标后，可以对称求点列表并画图，或者使用顶点公式来求得顶点坐标。
2.理解二次函数的性质抛物线的开口方向由a的符号来确定。
当a>0时，抛物线开口向上，对称轴左侧y随x的增大而减小，在对称轴右侧y随x的增大而增大。
当a0）或左增右减（a<0）。
此时，当x=-b/2a时，y取最值，最小值或最大值的大小为|(4ac-b2)/4a|。
3.待定系数法是确定二次函数解析式的常用方法待定系数法是通过给定的条件来确定二次函数的解析式。
可以任意给定三个点或三组x，y的值来确定解析式，组成三元一次方程组来求解。
也可以在给定条件中已知顶点坐标、对称轴或最值时，设解析式为y=a(x-h)2+k。
在给定条件中已知抛物线与x轴两交点坐标或已知抛物线与x轴一交点坐标和对称轴时，设解析式为y=a(x-x1)(x-x2)来求解。
4.二次函数与一元二次方程的关系抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点可以转化为一元二次方程ax2+bx+c=0的解。
当抛物线与x轴有两个交点时，方程有两个不相等实根；当抛物线与x轴有一个交点时，方程有两个相等实根；当抛物线与x轴无交点时，方程无实根。
5.抛物线y=ax2+bx+c中a、b、c符号的确定抛物线y=ax2+bx+c的开口方向由a的符号来确定。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
b的符号可以表示抛物线与y轴的交点在y轴的上方或下方。
c的符号可以表示抛物线与x轴的交点在x轴的上方或下方。
四、中考题型例析1.确定二次函数解析式例1：求满足以下条件的二次函数的解析式：1）图像经过点A（-1，3）、B（1，3）、C（2，6）；2）图像经过点A（-1，0）、B（3，0），函数有最小值-8；3）图像顶点坐标是（-1，9），与x轴两交点间的距离是6.分析：此题主要考查用待定系数法来确定二次函数解析式。
二次函数经典难题(含精解)
二次函数经典难题（含精解）一．选择题（共1小题）1．顶点为P的抛物线y=x2﹣2x+3与y轴相交于点A，在顶点不变的情况下，把该抛物线绕顶点P旋转180°得到一个新的抛物线，且新的抛物线与y轴相交于点B，则△PAB的面积为（）A．1B．2C．3D．6二．填空题（共12小题）2．作抛物线C1关于x轴对称的抛物线C2，将抛物线C2向左平移2个单位，向上平移1个单位，得到的抛物线C的函数解析式是y=2（x+1）2﹣1，则抛物线C1所对应的函数解析式是_________．3．抛物线关于原点对称的抛物线解析式为_________．4．将抛物线y=x2+1的图象绕原点O旋转180°，则旋转后的抛物线解析式是_________．5．如图，正方形ABCD的顶点A、B与正方形EFGH的顶点G、H同在一段抛物线上，且抛物线的顶点在CD上，若正方形ABCD边长为10，则正方形EFGH的边长为_________．6．如果一条抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”．在抛物线y=ax2+bx+c中，系数a、b、c为绝对值不大于1的整数，则该抛物线的“抛物线三角形”是等腰直角三角形的概率为_________．7．抛物线y=ax2+bx+c经过直角△ABC的顶点A（﹣1，0），B（4，0），直角顶点C在y轴上，若抛物线的顶点在△ABC的内部（不包括边界），则a的范围是_________．8．已知抛物线y=x2﹣6x+a的顶点在x轴上，则a=_________；若抛物线与x轴有两个交点，则a的范围是_________．9．抛物线y=x2﹣2x+a2的顶点在直线y=2上，则a=_________．10．若抛物线y=x2﹣2x+a2的顶点在直线x=2上，则a的值是_________．11．若抛物线的顶点在x轴上方，则m的值是_________．12．如图，二次函数y=ax2+c图象的顶点为B，若以OB为对角线的正方形ABCO的另两个顶点A、C也在该抛物线上，则a•c的值是_________．13．抛物线y=ax2+bx﹣1经过点（2，5），则代数式6a+3b+1的值为_________．三．解答题（共17小题）14．已知抛物线C1的解析式是y=2x2﹣4x+5，抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，求抛物线C2的解析式．15．将抛物线C1：y=（x+1）2﹣2绕点P（t，2）旋转180゜得到抛物线C2，若抛物线C1的顶点在抛物线C2上，同时抛物线C2的顶点在抛物线C1上，求抛物线C2的解析式．16．如图，抛物线y1=﹣x2+2向右平移1个单位得到抛物线y2，回答下列问题：（1）抛物线y2的顶点坐标_________；（2）阴影部分的面积S=_________；（3）若再将抛物线y2绕原点O旋转180°得到抛物线y3，求抛物线y3的解析式．17．已知抛物线L：y=ax2+bx+c（其中a、b、c都不等于0），它的顶点P的坐标是，与y轴的交点是M（0，c）．我们称以M为顶点，对称轴是y轴且过点P的抛物线为抛物线L的伴随抛物线，直线PM为L的伴随直线．（1）请直接写出抛物线y=2x2﹣4x+1的伴随抛物线和伴随直线的解析式：伴随抛物线的解析式_________，伴随直线的解析式_________；（2）若一条抛物线的伴随抛物线和伴随直线分别是y=﹣x2﹣3和y=﹣x﹣3，则这条抛物线的解析式是_________；（3）求抛物线L：y=ax2+bx+c（其中a、b、c都不等于0）的伴随抛物线和伴随直线的解析式；（4）若抛物线L与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，x2＞x1＞0，它的伴随抛物线与x轴交于C、D两点，且AB=CD．请求出a、b、c应满足的条件．18．设抛物线y=x2+2ax+b与x轴有两个不同的交点（1）将抛物线沿y轴平移，使所得抛物线在x轴上截得的线段的长是原来的2倍，求平移所得抛物线的解析式；（2）通过（1）中所得抛物线与x轴的两个交点及原抛物线的顶点作一条新的抛物线，求新抛物线的表达式．19．已知抛物线C：y=ax2+bx+c（a＜0）过原点，与x轴的另一个交点为B（4，0），A为抛物线C的顶点．（1）如图1，若∠AOB=60°，求抛物线C的解析式；（2）如图2，若直线OA的解析式为y=x，将抛物线C绕原点O旋转180°得到抛物线C′，求抛物线C、C′的解析式；（3）在（2）的条件下，设A′为抛物线C′的顶点，求抛物线C或C′上使得PB=PA′的点P的坐标．20．如图，已知抛物线y=ax2+bx+交x轴正半轴于A，B两点，交y轴于点C，且∠CBO=60°，∠CAO=45°，求抛物线的解析式和直线BC的解析式．21．已知：如图，抛物线y=﹣x2+bx+c经过直线y=﹣x+3与坐标轴的两个交点A、B，此抛物线与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D．（1）求此抛物线的解析式；（2）点M为抛物线上的一个动点，求使得△ABM的面积与△ABD的面积相等的点M的坐标．22．已知抛物线的顶点为P，与x轴正半轴交于点B，抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，将抛物线C2向右平移，平移后的抛物线记为C3，C3的顶点为M，当点P、M关于点B成中心对称时，求C3的解析式．23．如图，抛物线y=x2+bx﹣c经过直线y=x﹣3与坐标轴的两个交点A，B，此抛物线与x 轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D．（1）求此抛物线的解析式；（2）点P为抛物线上的一个动点，求使S△APC：S△ACD=5：4的点P的坐标．24．已知一抛物线经过O（0，0），B（1，1）两点，且解析式的二次项系数为﹣（a＞0）．（Ⅰ）当a=1时，求该抛物线的解析式，并用配方法求出该抛物线的顶点坐标；（Ⅱ）已知点A（0，1），若抛物线与射线AB相交于点M，与x轴相交于点N（异于原点），当a在什么范围内取值时，ON+BM的值为常数？当a在什么范围内取值时，ON﹣BM的值为常数？（Ⅲ）若点P（t，t）在抛物线上，则称点P为抛物线的不动点．将这条抛物线进行平移，使其只有一个不动点，此时抛物线的顶点是否在直线y=x﹣上，请说明理由．25．如图，已知抛物线C1：y=a（x+2）2﹣5的顶点为P，与x轴相交于A、B两点（点A 在点B的左侧），点B的横坐标是1；（1）求a的值；（2）如图，抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，将抛物线C2向右平移，平移后的抛物线记为C3，抛物线C3的顶点为M，当点P、M关于点O成中心对称时，求抛物线C3的解析式．26．如图，抛物线y=ax2+bx+3经过A（﹣3，0），B（﹣1，0）两点．（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为M，直线y=﹣2x+9与y轴交于点C，与直线OM交于点D．现将抛物线平移，保持顶点在直线OD上．若平移的抛物线与射线CD（含端点C）只有一个公共点，求它的顶点横坐标的值或取值范围．27．如图，抛物线y=a（x+1）2的顶点为A，与y轴的负半轴交于点B，且OB=OA．（1）求抛物线的解析式；（2）若点C（﹣3，b）在该抛物线上，求S△ABC的值．28．如图，抛物线y=x2﹣2x+c的顶点A在直线l：y=x﹣5上．（1）求抛物线顶点A的坐标及c的值；（2）设抛物线与y轴交于点B，与x轴交于点C、D（C点在D点的左侧），试判断△ABD 的形状．29．如果抛物线m的顶点在抛物线n上，同时抛物线n的顶点在抛物线m上，那么我们就称抛物线m与n为交融抛物线．（1）已知抛物线a：y=x2﹣2x+1．判断下列抛物线b：y=x2﹣2x+2，c：y=﹣x2+4x﹣3与已知抛物线a是否为交融抛物线？并说明理由；（2）在直线y=2上有一动点P（t，2），将抛物线a：y=x2﹣2x+1绕点P（t，2）旋转180°得到抛物线l，若抛物线a与l为交融抛物线，求抛物线l的解析式；（3）M为抛物线a；y=x2﹣2x+1的顶点，Q为抛物线a的交融抛物线的顶点，是否存在以MQ为斜边的等腰直角三角形MQS，使其直角顶点S在y轴上？若存在，求出点S的坐标；若不存在，请说明理由；（4）通过以上问题的探究解决，相信你对交融抛物线的概念及性质有了一定的认识，请你提出一个有关交融抛物线的问题．30．如图1所示，已知直线y=kx+m与x轴、y轴分别交于点A、C两点，抛物线y=﹣x2+bx+c 经过A、C两点，点B是抛物线与x轴的另一个交点，当x=﹣时，y取最大值．（1）求抛物线和直线的解析式；（2）设点P是直线AC上一点，且S△ABP：S△BPC=1：3，求点P的坐标；（3）直线y=x+a与（1）中所求的抛物线交于点M、N，两点，问：①是否存在a的值，使得∠MON=90°？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．②猜想当∠MON＞90°时，a的取值范围．（不写过程，直接写结论）（参考公式：在平面直角坐标系中，若M（x1，y1），N（x2，y2），则M、N两点之间的距离为|MN|=）参考答案与试题解析一．选择题（共1小题）1．顶点为P的抛物线y=x2﹣2x+3与y轴相交于点A，在顶点不变的情况下，把该抛物线绕顶点P旋转180°得到一个新的抛物线，且新的抛物线与y轴相交于点B，则△PAB的面积为（）A．1B．2C．3D．6考点：二次函数图象与几何变换．分析：根据题目意思，求出A和B的坐标，再求三角形的面积则可．解答：解：当x=0时，y=3，所以A的坐标是（0，3），y=x2﹣2x+3=（x﹣1）2+2，把它绕顶点P旋转180°得到一个新的抛物线是y=﹣（x﹣1）2+2=﹣x2+2x+1，x=0时，y=1，所以B的坐标是（0，1），P的坐标是（1，2），△PAB的面积=×2×（3﹣2）=1．故选A．点评：本题考查了抛物线与坐标轴交点的求法，和考查抛物线将一般式转化顶点式的能力，难度较大．二．填空题（共12小题）2．作抛物线C1关于x轴对称的抛物线C2，将抛物线C2向左平移2个单位，向上平移1个单位，得到的抛物线C的函数解析式是y=2（x+1）2﹣1，则抛物线C1所对应的函数解析式是y=﹣2（x﹣1）2+2．考点：二次函数图象与几何变换．专题：应用题．分析：根据题意易得抛物线C的顶点，进而可得到抛物线B的坐标，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得抛物线B的解析式，而根据关于x轴对称的两条抛物线的顶点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，二次项系数互为相反数可得到抛物线C1所对应的函数表达式．解答：解：根据题意易得抛物线C的顶点为（﹣1，﹣1），∵是向左平移2个单位，向上平移1个单位得到抛物线C的，∴抛物线B的坐标为（1，﹣2），可设抛物线B的坐标为y=2（x﹣h）2+k，代入得：y=2（x﹣1）2﹣2，易得抛物线A的二次项系数为﹣2，顶点坐标为（1，2），∴抛物线A的解析式为y=﹣2（x﹣1）2+2，故答案为y=﹣2（x﹣1）2+2．点评：本题主要考查了讨论两个二次函数的图象的平移问题，只需看顶点坐标是如何平移得到的即可，关于x轴对称的两条抛物线的顶点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，二次项系数互为相反数，难度适中．3．抛物线关于原点对称的抛物线解析式为．考点：二次函数图象与几何变换．分析：根据关于原点对称的点的坐标特点进行解答即可．解答：解：∵关于原点对称的点的横纵坐标互为相反数，∴抛物线y=﹣x2+x+2关于原点对称的抛物线的解析式为：﹣y=﹣（﹣x）2+（﹣x）+2，即y=x2+x﹣2．故答案为：y=x2+x﹣2．点评：本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知关于原点对称的点的坐标特点是解答此题的关键．4．将抛物线y=x2+1的图象绕原点O旋转180°，则旋转后的抛物线解析式是y=﹣x2﹣1．考点：二次函数图象与几何变换．分析：根据关于原点对称的两点的横坐标纵坐标都互为相反数求则可．解答：解：根据题意，﹣y=（﹣x）2+1，得到y=﹣x2﹣1．故旋转后的抛物线解析式是y=﹣x2﹣1．点评：考查根据二次函数的图象的变换求抛物线的解析式．5．如图，正方形ABCD的顶点A、B与正方形EFGH的顶点G、H同在一段抛物线上，且抛物线的顶点在CD上，若正方形ABCD边长为10，则正方形EFGH的边长为5﹣5．考点：二次函数综合题．分析：首先建立平面坐标系：过点G作GM⊥x轴于点M，进而得出抛物线解析式，进而表示出G点坐标，再利用FG+MG=10，进而求出即可．解答：解：如图建立平面坐标系：过点G作GM⊥x轴于点M，设抛物线解析式为：y=ax2，∵正方形ABCD边长为10，∴B点坐标为：（5，﹣10），将B点代入y=ax2，则﹣10=25a，解得：a=﹣，设G点坐标为：（a，﹣a2），则GF=2a，∴MG=10﹣GF，即a2=10﹣2a，整理的：a2+5a﹣25=0，解得：a1=，a2=（不合题意舍去），∴正方形EFGH的边长FG=2a=5﹣5．故答案为：5﹣5．点评：此题主要考查了二次函数的综合应用以及一元二次方程的解法，根据正方形的性质以及抛物线上点的坐标性质得出等式是解题关键．6．如果一条抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”．在抛物线y=ax2+bx+c中，系数a、b、c为绝对值不大于1的整数，则该抛物线的“抛物线三角形”是等腰直角三角形的概率为．考点：列表法与树状图法；抛物线与x轴的交点．分析：由系数a、b、c为绝对值不大于1的整数，可得系数a、b、c为：0，1，﹣1；然后根据题意画树状图，由树状图求得所有等可能的结果与该抛物线的“抛物线三角形”是等腰直角三角形的情况，再利用概率公式即可求得答案．解答：解：∵系数a、b、c为绝对值不大于1的整数，∴系数a、b、c为：0，1，﹣1；画树状图得：∵共有18种等可能的结果，该抛物线的“抛物线三角形”是等腰直角三角形的有：（1，0，﹣1），（﹣1，0，1），∴该抛物线的“抛物线三角形”是等腰直角三角形的概率为：=．故答案为：．点评：本题考查的是用列表法或画树状图法求概率与二次函数的性质．注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．7．抛物线y=ax2+bx+c经过直角△ABC的顶点A（﹣1，0），B（4，0），直角顶点C在y轴上，若抛物线的顶点在△ABC的内部（不包括边界），则a的范围是﹣＜a＜0或0＜a ＜．考点：二次函数的性质．专题：压轴题．分析：根据点A、B的坐标求出OA、OB的长，再求出△ACO和△CBO相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出OC的长，再根据二次函数的对称性求出对称轴，设对称轴与直线BC相交于P，与x轴交于Q，利用∠ABC的正切值求出点P到x轴的距离PQ，设抛物线的交点式解析式y=a（x+1）（x﹣4），整理求出顶点坐标，再根据抛物线的顶点在△ABC的内部分两种情况列式求出a的取值范围即可．解答：解：∵点A（﹣1，0），B（4，0），∴OA=1，OB=4，易得△ACO∽△CBO，∴=，即=，解得OC=2，∵抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣1，0），B（4，0），∴对称轴为直线x==，设对称轴与直线BC相交于P，与x轴交于Q，则BQ=4﹣=2.5，tan∠ABC==，即=，解得PQ=，设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x﹣4），则y=a（x2﹣3x﹣4）=a（x﹣）2﹣a，当点C在y轴正半轴时，0＜﹣a＜，解得﹣＜a＜0，当点C在y轴负半轴时，﹣＜﹣a＜0，解得0＜a＜，所以，a的取值范围是﹣＜a＜0或0＜a＜．故答案为：﹣＜a＜0或0＜a＜．点评：本题考查了二次函数的性质，相似三角形的判定与性质，把二次函数的解析式用交点式形式表示更加简便，注意要分点C在y正半轴和负半轴两种情况讨论．8．已知抛物线y=x2﹣6x+a的顶点在x轴上，则a=9；若抛物线与x轴有两个交点，则a的范围是a＜9．考点：抛物线与x轴的交点．分析：顶点在x轴上即抛物线与x轴只有一个交点，则判别式等于0，若抛物线与x轴有两个交点，则△＞0，据此即可求解．解答：解：△=36﹣4a，则定点在x轴上，则36﹣4a=0，解得：a=9；抛物线与x轴有两个交点，则36﹣4a＞0，解得：a＜9．故答案是：9；a＜9．点评：本题考查了二次函数图象与x轴的公共点的个数的判定方法，如果△＞0，则抛物线与x轴有两个不同的交点；如果△=0，与x轴有一个交点；如果△＜0，与x轴无交点．9．抛物线y=x2﹣2x+a2的顶点在直线y=2上，则a=2．考点：待定系数法求二次函数解析式．专题：压轴题．分析：根据抛物线顶点的纵坐标等于2，列出方程，求出a的值，注意要有意义．解答：解：因为抛物线的顶点坐标为（﹣，）所以=2解得：a1=2，a2=﹣1又因为要有意义则a≥0所以a=2．点评：此题考查了学生的综合应用能力，解题时要注意别漏条件，特别是一些隐含条件，比如：中a≥0．10．若抛物线y=x2﹣2x+a2的顶点在直线x=2上，则a的值是4．考点：二次函数的性质．分析：根据抛物线顶点的横坐标等于2，列出方程，求出a的值，注意要有意义．解答：解：因为抛物线的顶点坐标为（﹣，），所以﹣=2，解得：a1=4，a2=﹣4，又因为要有意义，则a≥0，所以a=4．故答案为4．点评：此题考查了学生的综合应用能力，解题时要注意别漏条件，特别是一些隐含条件，比如：中a≥0．11．若抛物线的顶点在x轴上方，则m的值是2．考点：二次函数的性质；二次函数的定义．专题：计算题．分析：先列出关于m的等式，再根据抛物线的顶点在x轴上方，求得m，所以只需令顶点纵坐标大于0即可．解答：解：∵是抛物线，∴m2﹣2=2，解得m=±2，∵抛物线的顶点在x轴上方．∴0﹣8（m+2）＜0，∴m＞﹣2，∴m=2．故答案为：2．点评：本题考查了二次函数的定义和性质，将函数与一元二次方程结合起来，有一定的综合性．12．如图，二次函数y=ax2+c图象的顶点为B，若以OB为对角线的正方形ABCO的另两个顶点A、C也在该抛物线上，则a•c的值是﹣2．考点：二次函数的性质；正方形的性质．分析：抛物线y=ax2+c的顶点B点坐标为（0，c），由四边形ABCO是正方形，则C点坐标为标为（﹣，），代入抛物线即可解答．解答：解：∵抛物线y=ax2+c的顶点B点坐标为（0，c），四边形ABCO是正方形，∴∠COB=90°，CO=BC，∴△COB是等腰直角三角形，∴C点横纵坐标绝对值相等，且等于BO长度一半，∴C点坐标为（﹣，），将点C代入抛物线方程中得ac=﹣2．故答案为：﹣2点评：本题将几何图形与抛物线结合了起来，同学们要找出线段之间的关系，进而求得问题的答案．13．抛物线y=ax2+bx﹣1经过点（2，5），则代数式6a+3b+1的值为10．考点：二次函数图象上点的坐标特征．专题：整体思想．分析：把点（2，5）代入抛物线求出2a+b的值，然后整体代入进行计算即可得解．解答：解：∵抛物线y=ax2+bx﹣1经过点（2，5），∴4a+2b﹣1=5，∴2a+b=3，∴6a+3b+1=3（2a+b）+1=3×3+1=10．故答案为：10．点评：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，把点的坐标代入函数解析式求出a、b的关系式是解题的关键，主要利用了整体思想．三．解答题（共17小题）14．已知抛物线C1的解析式是y=2x2﹣4x+5，抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，求抛物线C2的解析式．考点：二次函数图象与几何变换．分析：利用关于x轴对称的点的坐标为横坐标不变，纵坐标互为相反数解答即可．解答：解：抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数，即﹣y=2x2﹣4x+5，因此所求抛物线C2的解析式是y=﹣2x2+4x﹣5．点评：利用轴对称变换的特点可以解答．15．将抛物线C1：y=（x+1）2﹣2绕点P（t，2）旋转180゜得到抛物线C2，若抛物线C1的顶点在抛物线C2上，同时抛物线C2的顶点在抛物线C1上，求抛物线C2的解析式．考点：二次函数图象与几何变换．分析：先求出抛物线C1的顶点坐标，再根据对称性求出抛物线C2的顶点坐标，然后根据旋转的性质写出抛物线C2的顶点式形式解析式，再把抛物线C1的顶点坐标代入进行即可得解．解答：解：∵y=（x+1）2﹣2的顶点坐标为（﹣1，﹣2），∴绕点P（t，2）旋转180゜得到抛物线C2的顶点坐标为（2t+1，6），∴抛物线C2的解析式为y=﹣（x﹣2t﹣1）2+6，∵抛物线C1的顶点在抛物线C2上，∴﹣（﹣1﹣2t﹣1）2+6=﹣2，解得t1=3，t2=﹣5，∴抛物线C2的解析式为y=﹣（x﹣7）2+6或y=﹣（x+9）2+6．点评：本题考查了二次函数图象与几何变换，难度较大，求出旋转后的抛物线C2的顶点坐标是解题的关键，也是本题的难点．16．如图，抛物线y1=﹣x2+2向右平移1个单位得到抛物线y2，回答下列问题：（1）抛物线y2的顶点坐标（1，2）；（2）阴影部分的面积S=2；（3）若再将抛物线y2绕原点O旋转180°得到抛物线y3，求抛物线y3的解析式．考点：二次函数图象与几何变换．分析：直接应用二次函数的知识解决问题．解答：解：（1）读图找到最高点的坐标即可．故抛物线y2的顶点坐标为（1，2）；（2分）（2）把阴影部分进行平移，可得到阴影部分的面积即为图中两个方格的面积=1×2=2；（6分）（3）由题意可得：抛物线y3的顶点与抛物线y2的顶点关于原点O成中心对称．所以抛物线y3的顶点坐标为（﹣1，﹣2），于是可设抛物线y3的解析式为：y=a（x+1）2﹣2．由对称性得a=1，所以y3=（x+1）2﹣2．（10分）点评：考查二次函数的相关知识，考查学生基础知识的同时还考查了识图能力．17．已知抛物线L：y=ax2+bx+c（其中a、b、c都不等于0），它的顶点P的坐标是，与y轴的交点是M（0，c）．我们称以M为顶点，对称轴是y轴且过点P的抛物线为抛物线L的伴随抛物线，直线PM为L的伴随直线．（1）请直接写出抛物线y=2x2﹣4x+1的伴随抛物线和伴随直线的解析式：伴随抛物线的解析式y=﹣2x2+1，伴随直线的解析式y=﹣2x+1；（2）若一条抛物线的伴随抛物线和伴随直线分别是y=﹣x2﹣3和y=﹣x﹣3，则这条抛物线的解析式是y=x2﹣2x﹣3；（3）求抛物线L：y=ax2+bx+c（其中a、b、c都不等于0）的伴随抛物线和伴随直线的解析式；（4）若抛物线L与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，x2＞x1＞0，它的伴随抛物线与x轴交于C、D两点，且AB=CD．请求出a、b、c应满足的条件．考点：二次函数综合题．专题：压轴题；新定义．分析：（1）先根据抛物线的解析式求出其顶点P和抛物线与y轴的交点M的坐标．然后根据M的坐标用顶点式二次函数通式设伴随抛物线的解析式然后将P点的坐标代入抛物线的解析式中即可求出伴随抛物线的解析式．根据M，P两点的坐标即可求出直线PM 的解析式；（2）由题意可知：伴随抛物线的顶点坐标是抛物线与y轴交点坐标，伴随抛物线与伴随直线的交点（与y轴交点除外）是抛物线的顶点，据此可求出抛物线的解析式；（3）方法同（1）；（4）本题要考虑的a、b、c满足的条件有：抛物线和伴随抛物线都与x轴有两个交点，因此△＞0，①由于抛物线L中，x2＞x1＞0，因此抛物线的对称轴x＞0，两根的积大于0．②根据两抛物线的解析式分别求出AB、CD的长，根据AB=CD可得出另一个需满足的条件…③综合这三种情况即可得出所求的a、b、c需满足的条件．解答：解：（1）y=﹣2x2+1，y=﹣2x+1；（2）将y=﹣x2﹣3和y=﹣x﹣3组成方程组得，，解得，或．则原抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），与y轴的交点坐标为（0，﹣3）．设原函数解析式为y=n（x﹣1）2﹣4，将（0，﹣3）代入y=n（x﹣1）2﹣4得，﹣3=n （0﹣1）2﹣4，解得，n=1，则原函数解析式为y=（x﹣1）2﹣4，即y=x2﹣2x﹣3．（3）∵伴随抛物线的顶点是（0，c），∵设它的解析式为y=m（x﹣0）2+c（m≠0），∵此抛物线过P（﹣，），∴=m•（﹣）2+c，解得m=﹣a，∴伴随抛物线解析式为y=﹣ax2+c；设伴随直线解析式为y=kx+c（k≠0），P（﹣，）在此直线上，∴，∴k=，∴伴随直线解析式为y=x+c；（4）∵抛物线L与x轴有两交点，∴△1=b2﹣4ac＞0，∴b2＞4ac；∵x2＞x1＞0，∴x2+x1=﹣＞0，x1•x2=＞0，∴ab＜0，ac＞0．对于伴随抛物线有y=﹣ax2+c，有△2=0﹣（﹣4ac）=4ac＞0，由﹣ax2+c=0，得x=±．∴C（﹣，0），D（，0），CD=2，又AB=x2﹣x1====，∵AB=CD，则有：2=，即b2=8ac，综合b2=8ac，b2﹣4ac＞0，ab＜0，ac＞0可得a、b、c需满足的条件为：b2=8ac且ab＜0（或b2=8ac且bc＜0）．点本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系以及一元二次方程根与系数的关系．评：18．设抛物线y=x2+2ax+b与x轴有两个不同的交点（1）将抛物线沿y轴平移，使所得抛物线在x轴上截得的线段的长是原来的2倍，求平移所得抛物线的解析式；（2）通过（1）中所得抛物线与x轴的两个交点及原抛物线的顶点作一条新的抛物线，求新抛物线的表达式．考点：抛物线与x轴的交点；二次函数图象与几何变换．专题：计算题．分析：（1）设平移所得抛物线的解析式为y=x2+2ax+b+m，根据抛物线与x轴的交点的距离公式得到=2，解得m=3b﹣3a2，则平移所得抛物线的解析式为y=x2+2ax+4b﹣3a2；（2）先确定y=x2+2ax+b的顶点坐标为（﹣a，b﹣a2），由于通过（1）中所得抛物线与x轴的两个交点，则可设新抛物线解析式为y=t（x2+2ax+4b﹣3a2），然后把（﹣a，b﹣a2）代入可求出t=．解答：解：（1）设平移所得抛物线的解析式为y=x2+2ax+b+m，根据题意得=2，解得m=3b﹣3a2，所以平移所得抛物线的解析式为y=x2+2ax+b+3b﹣3a2=x2+2ax+4b﹣3a2；（2）y=x2+2ax+b=（x+a）2+b﹣a2，其顶点坐标为（﹣a，b﹣a2），∵新抛物线的表达式过抛物线y=x2+2ax+4b﹣3a2与x轴两交点，∴可设新抛物线解析式为y=t（x2+2ax+4b﹣3a2），把（﹣a，b﹣a2）代入得b﹣a2=t（a2﹣2a2+4b﹣3a2），解得t=，所以新抛物线的表达式过抛物线y=x2+ax+b﹣a2．点评：本题考查了抛物线与x轴的交点：求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y=0，即ax2+bx+c=0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c=0根之间的关系：△=b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数；△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．19．已知抛物线C：y=ax2+bx+c（a＜0）过原点，与x轴的另一个交点为B（4，0），A为抛物线C的顶点．（1）如图1，若∠AOB=60°，求抛物线C的解析式；（2）如图2，若直线OA的解析式为y=x，将抛物线C绕原点O旋转180°得到抛物线C′，求抛物线C、C′的解析式；（3）在（2）的条件下，设A′为抛物线C′的顶点，求抛物线C或C′上使得PB=PA′的点P 的坐标．考点：二次函数综合题；点的坐标；待定系数法求二次函数解析式；旋转的性质；相似三角形的判定与性质．专题：压轴题．分析：（1）先连接AB，根据A点是抛物线C的顶点，且C交x轴于O、B，得出AO=AB，再根据∠AOB=60°，得出△ABO是等边三角形，再过A作AE⊥x轴于E，在Rt△OAE 中，求出OD、AE的值，即可求出顶点A的坐标，最后设抛物线C的解析式，求出a的值，从而得出抛物线C的解析式；（2）先过A作AE⊥OB于E，根据题意得出OE=OB=2，再根据直线OA的解析式为y=x，得出AE=OE=2，求出点A的坐标，再将A、B、O的坐标代入y=ax2+bx+c （a＜0）中，求出a的值，得出抛物线C的解析式，再根据抛物线C、C′关于原点对称，从而得出抛物线C′的解析式；（3）先作A′B的垂直平分线l，分别交A′B、x轴于M、N（n，0），由（2）知，抛物线C′的顶点为A′（﹣2，﹣2），得出A′B的中点M的坐标，再作MH⊥x轴于H，得出△MHN∽△BHM，则MH2=HN•HB，求出N点的坐标，再根据直线l过点M（1，﹣1）、N（，0），得出直线l的解析式，求出x的值，再根据抛物线C上存在两点使得PB=PA'，从而得出P1，P2坐标，再根据抛物线C′上也存在两点使得PB=PA'，得出P3，P4的坐标，即可求出答案．解答：解：（1）连接AB．∵A点是抛物线C的顶点，且抛物线C交x轴于O、B，∴AO=AB，又∵∠AOB=60°，∴△ABO是等边三角形，过A作AD⊥x轴于D，在Rt△OAD中，∴OD=2，AD=，∴顶点A的坐标为（2，）设抛物线C的解析式为（a≠0），将O（0，0）的坐标代入，求得：a=，∴抛物线C的解析式为．（2）过A作AE⊥OB于E，∵抛物线C：y=ax2+bx+c（a＜0）过原点和B（4，0），顶点为A，∴OE=OB=2，又∵直线OA的解析式为y=x，∴AE=OE=2，∴点A的坐标为（2，2），将A、B、O的坐标代入y=ax2+bx+c（a＜0）中，∴a=，∴抛物线C的解析式为，又∵抛物线C、C′关于原点对称，∴抛物线C′的解析式为；（3）作A′B的垂直平分线l，分别交A′B、x轴于M、N（n，0），由前可知，抛物线C′的顶点为A′（﹣2，﹣2），故A′B的中点M的坐标为（1，﹣1）．作MH⊥x轴于H，∴△MHN∽△BHM，则MH2=HN•HB，即12=（1﹣n）（4﹣1），∴，即N点的坐标为（，0）．∵直线l过点M（1，﹣1）、N（，0），∴直线l的解析式为y=﹣3x+2，，解得．∴在抛物线C上存在两点使得PB=PA'，其坐标分别为P1（，），P2（，）；解得，．∴在抛物线C′上也存在两点使得PB=PA'，其坐标分别为P3（﹣5+，17﹣3），P4（﹣5﹣，17+3）．∴点P的坐标是：P1（，），P2（，），P3（﹣5+，17﹣3），P4（﹣5﹣，17+3）．。
二次函数最值知识点总结典型例题及习题
二次函数最值知识点总结典型例题及习题必修一二次函数在闭区间上的最值一、知识要点：对于一元二次函数在闭区间上的最值问题，关键在于讨论函数的对称轴与区间的相对位置关系。
一般分为对称轴在区间左侧、中间和右侧三种情况。
例如，对于函数f(x) = ax^2 + bx + c (a ≠ 0)，求其在闭区间[x1.x2]上的最大值和最小值。
分析：将函数f(x)配方，得到其顶点为(-b/2a。
c - b^2/4a)。
因此，对称轴为x = -b/2a。
当a。
0时，函数f(x)的图像为开口向上的抛物线。
结合数形结合可得在闭区间[x1.x2]上f(x)的最值：1）当对称轴在[x1.x2]之外时，f(x)的最小值为f(-b/2a)，最大值为f(x1)和f(x2)中的较大者。
2）当对称轴在[x1.x2]之间时，若x1 ≤ -b/2a ≤ x2，则f(x)的最小值为f(-b/2a)，最大值为f(x1)和f(x2)中的较大者；若x1.-b/2a或x2 < -b/2a，则f(x)在闭区间[x1.x2]上单调递增或单调递减，最小值为f(x1)，最大值为f(x2)。
当a < 0时，情况类似。
二、例题分析归类：一）正向型此类问题是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。
对称轴与定义域区间的相互位置关系往往成为解决这类问题的关键。
此类问题包括以下四种情形：（1）轴定，区间定；（2）轴定，区间变；（3）轴变，区间定；（4）轴变，区间变。
1.轴定区间定二次函数和定义域区间都是给定的，我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值”。
例如，对于函数y = -x^2 + 4x - 2在区间[0.3]上的最大值为2，最小值为-2.2.轴定区间变二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的，我们称这种情况是“定函数在动区间上的最值”。
例如，对于函数f(x) = (x-1)^2 + 1，在区间[t。
t+1]上的最值为f(t)和f(t+1)中的较大者。
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又∵y=x 2－x+m=[x 2－x+（12）2]－ 14+m=（x －12）2+414
m - ∴对称轴是直线x=12，顶点坐标为（12，41
4
m -）．
（2）∵顶点在x 轴上方， ∴顶点的纵坐标大于0，即41
4
m ->0 ∴m>
14 ∴m>1
4
时，顶点在x 轴上方．
（3）令x=0，则y=m ．
即抛物线y=x 2－x+m 与y 轴交点的坐标是A （0，m ）． ∵AB ∥x 轴
∴B 点的纵坐标为m ．
当x 2－x+m=m 时，解得x 1=0，x 2=1． ∴A （0，m ），B （1，m ）
在Rt △BAO 中，AB=1，OA=│m │． ∵S △AOB =1
2
OA ·AB=4． ∴
1
2
│m │·1=4，∴m=±8 故所求二次函数的解析式为y=x 2－x+8或y=x 2－x －8．
【点评】正确理解并掌握二次函数中常数a ，b ，c 的符号与函数性质及位置的关系是解答本题的关键之处．
例2 已知：m ，n 是方程x 2－6x+5=0的两个实数根，且m<n ，抛物线y=－x 2+bx+c 的图像经过点A （m ，0），B （0，n ），如图所示． （1）求这个抛物线的解析式；
（2）设（1）中的抛物线与x 轴的另一交点为C ，抛物线的顶点
为D，试求出点C，D的坐标和△BCD的面积；
（3）P是线段OC上的一点，过点P作PH⊥x轴，与抛物线交于H点，若直线BC把△PCH 分成面积之比为2：3的两部分，请求出P点的坐标．
【分析】（1）解方程求出m，n的值．用待定系数法求出b，c的值．
（2）过D作x轴的垂线交x轴于点M，可求出△DMC，梯形BDBO，△BOC的面积，用割补法可求出△BCD的面积．
（3）PH与BC的交点设为E点，则点E有两种可能：①EH=3
2EP，②EH=2
3
EP．
【解答】（1）解方程x2－6x+5=0，
得x1=5，x2=1．
由m<n，有m=1，n=5．
所以点A，B的坐标分别为A（1，0），B（0，5）．将A（1，0），B（0，5）的坐标分别代入y=－x2+bx+c，
得
10,
5
b c
c
-++=
⎧
⎨
=
⎩
解这个方程组，得
4,
5
b
c
=-
⎧
⎨
=
⎩
所以抛物线的解析式为y=－x2－4x+5．
（2）由y=－x2－4x+5，令y=0，得－x2－4x+5=0．
解这个方程，得x1=－5，x2=1．
所以点C的坐标为（－5，0），由顶点坐标公式计算，得点D（－2，9）．过D作x轴的垂线交x轴于M，如图所示．
则S△DMC=1
2×9×（5－2）=27
2
．
S梯形MDBO=1
2
×2×（9+5）=14，
S△BDC =1
2×5×5=25
2
．
并不难解决．
课堂习题
一、填空题
1．右图是二次函数y1=ax2+bx+c和一次函数y2=mx+n的图
像，观察图像写出y2≥y1时，x的取值范围_______．
2．已知抛物线y=a2+bx+c经过点A（－2，7），B（6，7），
C（3，－8），则该抛物线上纵坐标为－8的另一点的坐标是_______．
3．已知二次函数y=－x2+2x+c2的对称轴和x轴相交于点（m，0），则m的值为______．4．若二次函数y=x2－4x+c的图像与x轴只有1个交点，则c=_______
5．已知抛物线y=ax2+bx+c经过点（1，2）与（－1，4），则a+c的值是______．6．甲，乙两人进行羽毛球比赛，甲发出一十分关键的球，出手点为P，羽毛球飞行的水平
距离s（m）与其距地面高度h（m）之间的关系式为h=－1
12s2+2
3
s+3
2
．如下左图
所示，已知球网AB距原点5m，乙（用线段CD表示）扣球的最大高度为9
4
m，设乙的起跳点C的横坐标为m，若乙原地起跳，因球的高度高于乙扣球的最大高度而导致接球失败，则m的取值范围是______．
7．二次函数y=x2－2x－3与x轴两交点之间的距离为______．
8．杭州市“安居工程”新建成的一批楼房都是8层高，房子的价格y（元/m2）随楼层数x （楼）的变化而变化（x=1，2，3，4，5，6，7，8），已知点（x，y）都在一个二次
函数的图像上（如上右图），则6楼房子的价格为_____元/m2．
二、选择题
9．二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，•则下列关系式不正确的是（）A．a<0 B．abc>0 C．a+b+c<0 D．b2－4ac>0
(第9题) (第12题) (第15题)
10．已知二次函数y=ax2+bx+c的图像过点A（1，2），B（3，2），C（5，7）．若点M（－2，y1），N（－1，y2），K（8，y3）也在二次函数y=ax2+bx+c的图像上，则下列结论中正确的是（）
A．y1<y2<y3B．y2<y1<y3C．y3<y1<y2D．y1<y3<y2
11．抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是x=2，且经过点P（3，0），则a+b+c的值为（）
A．－1 B．0 C．1 D．2
12．如图所示，抛物线的函数表达式是（）
A．y=x2－x+2 B．y=－x2－x+2 C．y=x2+x+2 D．y=－x2+x+2 13．抛物线y=－2x2－4x－5经过平移得到y=－2x2，平移方法是（）A．向左平移1个单位，再向下平移3个单位
B．向左平移1个单位，再向上平移3个单位
C．向右平移1个单位，再向下平移3个单位
D．向右平移1个单位，再向上平移3个单位
14．已知二次函数y=x2+bx+3，当x=－1时，y取得最小值，则这个二次函数图像的顶点在（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
15．抛物线y=ax2+2ax+a2+2的一部分图像如图所示，那么该抛物线在y轴右侧与x轴交点的坐标是（）
，0）B．（1，0）C．（2，0）D．（3，0）A．（1
2
16．在同一直角坐标系中，函数y=mx+m和y=－mx2+2x+2（m是常数，且m≠0）的图像可能是（）
三、解答题
17．如图所示，已知抛物线y=ax2+4ax+t（a>0）交x轴A，B两点，交y轴于点C，抛物线的对称轴交x轴于点E，点B的坐标为（－1，0）
（1）求抛物线的对称轴及点A的坐标；
（2）过点C作x轴的平行线交抛物线的对称轴于点P，你能
判断四边形ABCP是什么四边形？并证明你的结论；
18．如图所示，m，n是方程x2－6x+5=0的两个实数根，且m<n，•抛物线y=－x2+bx+c 的图像经过点A（m，0），B（0，n）．
（1）求这个抛物线的解析式；
（2）设（1）中抛物线与x轴的另一交点为C，抛物线
的顶点为D，试求出点C，D的坐标和△BCD的面积；
（3）P是线段OC上的一点，过点P作PH⊥x轴，与抛物线交于点H，若直线BC把△PCH分成面积之比为2：3的两部分，请求出点P的坐标．
19．某地计划开凿一条单向行驶（从正中通过）的隧道，•其截面是抛物线拱形ACB，而且能通过最宽3m，最高3.5m的厢式货车．按规定，•机动车通过隧道时车身距隧道壁的水平距离和铅直距离最小都是0.5m．为设计这条能使上述厢式货车恰好完全通过的隧道，在图纸上以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，求抛物线拱形的表达式，隧道的跨度AB和拱高OC．
20．已知一个二次函数的图像过如图所示三点．
（1）求抛物线的对称轴；
，抛物线与（2）平行于x轴的直线L的解析式为y=25
4
（3）x轴交于A，B两点．在抛物线的对称轴上找点P，（4）使BP的长等于直线L与x轴间的距离．求点P的坐标．
21．如图所示，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像与x•轴交于A，B两点，其中A点坐标为（－1，0），点C（0，5），D（1，8）在抛物线上，M为抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）求△MCB的面积．。