高中数学知识要点重温之函数综合篇

高中数学知识要点重温之函数综合篇江苏 郑邦锁1.奇函数在关于原点对称的区间内单调性一致〔在整个定义域内未必单调〕，推广：函数在其对称中心两侧单调性相同。

偶函数在关于原点对称的区间内单调性相反，推广：函数在其对称轴两侧的单调性相反；现在函数值的大小取决于离对称轴的远近。

解〝抽象不等式〔即函数不等式〕〞多用函数的单调性，但必须注意定义域。

关注具体函数〝抽象化〞。

[举例1]设偶函数f (x )=log a |x -b |在〔-∞，0〕上递增，那么f (a +1)与f (b +2) 的大小关系是A.f (a +1)=f (b +2)B.f (a +1)＞f (b +2)C.f (a +1)＜f (b +2)D.不确定解析：函数f (x )=log a |x -b |为偶函数，那么b=0，f (x )=log a |x |,令g(x)=|x|,函数g(x)〔图象为〝V 〞字形〕在〔-∞，0〕递减，而函数f (x )=log a g(x) 在〔-∞，0〕上递增,∴0<a<1，∴1<a+1<2=b+2,又函数f (x )为偶函数且在〔-∞，0〕上递增，∴f (x )在〔0，+∞〕上递减，∴f (a +1)>f (b +2),应选B 。

[举例2] 设函数x x x f +=3)(，假设0≤θ≤2π时，(sin )(1)0f m f m θ+->恒成立，那么实数m 的取值范畴是解析：此题不宜将msin θ及1-m 代入函数x x x f +=3)(的表达式，得到一个〝庞大〞的不等式，因为运算量过大，可能专门难进行到底。

注意到：函数f(x)为奇函数，原不等式等价于：)1()sin (->m f m f θ，又函数f(x)递增，∴msin θ>m-1对0≤θ≤2π恒成立，分离参变量m 〔这是求参变量取值范畴的通法〕得：m<θsin 11-,〔0<1- sin θ≤1,事实上当sin θ=1时不等式恒成立，即对m 没有限制，因此无需研究〕,记g(θ)=θsin 11-,那么m<g(θ)min ， 又∵0<1- sin θ≤1，∴g(θ)min =1〔当且仅当θ=0时等号成立〕，∴m<1。

[巩固]定义在[-1，a]上的函数f(x)满足:f(2+x)=f(2-x),且在[2,5]上递增，方程f(x)=0的一根为4，解不等式f(3+x)>0[提高]定义在R 上的偶函数f(x)满足:f(x+1)=)(1x f ,且f(x)在[-3，-2]上是减函数，又α、β是钝角三角形的两锐角，那么以下结论中正确的选项是:A.f(sin α)>f(cos β)B. f(sin α)<f(cos β)C.f(sin α)<f(sin β)D. f(cos α)<f(cos β2．关注〝分段函数〞。

分段函数的反函数、值域一样分段求，分段函数的奇偶性、单调性一样要借助于图象。

f(x)=max{g(x),h(x)} 、f(x)=min{g(x),h(x)}也是一种分段函数,作出它的图象是研究这类函数的有效途径。

[举例] 关于函数时当时当x x x x x x x f cos sin cos sin cos sin )(<≥⎩⎨⎧=给出以下四个命题：①该函数的值域为[-1,1] ②当且仅当)(22Z k k x ∈+=ππ时，该函数取得最大值1 ③该函数是以π为最小正周期的周期函数 ④当且仅当)(2322Z k k x k ∈+<<+ππππ时,0)(<x f 上述命题中错误．．的命题个数为〔 〕 A 、1 B 、2 C 、3 D 、4解析：作出函数y=f(x)在[2π-，23π]上 的图象如右〔先分不作函数y=sinx,y=cosx的图象，观看图象，保留两者中之较〝高〞者〕。

从图象上不难看出：该函数的值域为[-22,1]，当)(22Z k k x ∈+=ππ或πk x 2=时函数取得最大值1，该函数是以2π为最小正周期的周期函数，当且仅当)(2322Z k k x k ∈+<<+ππππ时,0)(<x f ，∴命题中错误．．的命题个数为3个，选C 。

[巩固]⎩⎨⎧≥<+-=1,log 1,4)13()(x x x a x a x f a是〔-∞，+∞〕上的减函数，那么a 取值范畴 是 。

3.研究方程根的个数、超越方程〔不等式〕的解〔专门是含有参量的〕、二次方程根的分布、二次函数的值域、三角函数的性质〔包括值域〕、含有绝对值的函数性质、函数值域研究定义域等一样用函数图象〔作图要尽可能准确〕。

[举例1]假设在]2,0[π内有两个不同的实数值满足等式,12sin 32cos +=+k x x 那么k 的范畴是解析：x x 2sin 32cos +=2sin(62π+x )，∵x ∈]2,0[π，将62π+x 视为一个角θ，θ∈[6π,67π],作函数θsin 2=y 在[6π,67π]上的图象〔注意：无需作函数y =2sin(62π+x )的图象〕，容易看出，当y =k +1∈[1，2)时，函数θsin 2=y 与函数y =k +1的图象有两个交点，现在k ∈[0，1)。

[举例2]不等式ax x >-12的解集为[1,2)，那么a 的值为解析：分不作函数12-=x y 和函数ax y = 的图象如右，〔函数12-=x y 即122=-y x ，O 10≥y ，双曲线在x 轴上方的部分〕。

两图象交于M 点，要使不等式解集为[1,2)，那么M 〔2，3〕，即23=a 。

[巩固]函数f(x)=x 2log 的定义域为[a,b]，值域为[0，2],那么a,b 满足：A ．a=41,b=1或 a=1,b=4, B ．a=41，1≤b ≤4, C ．41≤a ≤1,b=4, D. a=41，1≤b ≤4或41≤a ≤1,b=4。

4. 求最值的常用方法：①单调性：研究函数在给定区间内的单调情形是求函数值域的最重要也是最全然的方法。

②差不多不等式：满足条件〝一正、二定、三相等〞时方可使用，假如〝不相等〞，常用函数)0(,>+=a xa x y 的单调性解决。

③逆求法：用y 表示x ，使关于x 的方程有解的y 的范畴即为值域，常用于求分式函数的值域，判不式法确实是其中的一种。

④换元法：需要把一个式子看作一个整体即可实施换元，〝三角换元〞是针对〝平方和 等于1”实施的，目的多为〝降元〞；求值域时的换元要紧是为了〝去根号〞。

⑤数形结合。

[举例1]函数)1(1222->+++=x x x x y ，那么其图象的最低点的坐标是 〔 〕 A 、〔1，2〕 B 、)2,1(- C 、〔0，2〕 D 、不存在解析：求函数图象的最低点的坐标即求函数当x 取何值时函数取得最小值，最小值是多少； 此题不宜〝逆求〞〔判不式法〕，因为⊿≥0不能保证x>-1〔这是使用〝判不式法〞时需专门注意的〕。

记x+1=t,(t>0),现在x=t-1,设g(t)=2112)1(2)1(22≥+=+=+-+-tt t t t t t (当且仅当t=1即x=0时等号成立，〔注意那个地点的〝换元〞实质是〝整体化〞的具体落实，将需要〝整体化〞的部分换成一个变量，比〝凑〞更具一样性也更易实施〕，选C 。

[举例2]R b a b a ∈=+,,1+，那么abab 1+的最小值为 解析：此题关注ab 的取值范畴，对abab 1+使用差不多不等式，当且仅当ab =±1时等号成立，事实上：41)2(02=+≤<b a ab ，∴等号不成立，即不能使用差不多不等式。

记ab =t〔0<t ≤41〕, ab ab 1+=t +t 1=g(t ),函数g(t )在〔0，41]上递减，∴g(t )min =g(41)=417。

5.求参变量的取值范畴通常采纳分离参数法，转化为求某函数的值域或最值；也能够整体研究函数y =f(a,x)的最值。

[举例] 关于x 的方程22x -m2x +4=0(x<0)有解，求实数m 的取值范畴。

解析：令2x =t,(0<t<1),原方程变为：t 2-mt+4=0在〔0，1〕上有解，那个地点明显不能简单地用判不式处理，因为⊿≥0不能保证方程在〔0，1〕上有解，还需附加更多的条件才成，繁！ 事实上，求参变量范畴的咨询题第一考虑的是〝分离参变量〞：tt m 4+==)(t g ，所谓方程有解，即m 在函数)(t g 的值域内〔这也是解决方程有解咨询题的通法〕，∵t ∈〔0，1〕，∴不能使用差不多不等式〔等号不成立〕，注意到函数)(t g 在〔0，1〕上递减，∴)(t g ∈〔5，∞+〕即m ∈〔5，∞+〕。

[迁移]假设函数f(x)=log a (x 2-ax+3),(a>0且a ≠1)满足:对任意x 1,x 2,当x 1<x 22a ≤时,f(x 1)-f(x 2)>0,那么实数a 的取值范畴是A.(0,1)∪(1,3)B.(1,3)C. (0,1)∪(1,32)D. (1,32)简答1. [巩固] 函数y=f(x)的图象关于x=2对称，得a=5,图示可得1<x ≤2或-4≤x<-3。

[提高] 函数y=f(x)的周期为2，得f(x)在[0，1]上递增，又α+β<2π,移项得sin α<cos β,选B ；2、 [巩固]关注两段函数在x=1时的函数值的大小，得)31,71[ 3. [巩固]D ；。