中考数学特殊四边形模型

中考数学特殊四边形模型

【分析】

特殊的四边形也是中考的热点。主要分为两大类：平行四边形问题和特殊四边形（矩形、菱形、正方形）问题，对于这一类问题的处理，一方面是让学生学会探究分类讨论的标准，掌握一些常见的分类讨论方法，另一方面是抓住特殊四边形的“特殊”点解体，所谓特殊点，就是几何特征。图示如下：

【例题讲解】

平行四边形

(2010年山西26)（本题14分）在直角梯形中，

分别以边所在直线为轴、轴建立如图1所示的平面直角坐标系.（1）求点的坐标；

（2）已知分别为线段上的点，直线交轴

于

点求直线的解析式；

（3）点是（2）中直线上的一个动点，在轴上方的平面内是否存在另一个点使以为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

26.解：（1）作轴于点则四边形为矩形，

∴（1分）∴

在中，

（2分）

∴点的坐标为（3分）

（2）作轴于点则

∴（4分）

∴

又∵

∴∴

∴

∴点的坐标为（5分）

又∵点的坐标为

设直线的解析式为

则解得

∴直线的解析式为（7分）

（3）答：存在（8分）

①如图1，当时，四边形为菱形.

作轴于点，则轴，

∴

∴

又∵当时，解得

∴点的坐标为∴

在中，

∴

∴

∴点的坐标为

∴点的坐标为（10分）

②如图2，当时，四边形为菱形.延长交

轴于点则轴.

∵点在直线上，

∴设点坐标为

在中，

∴

解得（舍去），

∴点的坐标为

∴点的坐标为（12分）

③如图3，当

时，四边形为菱形.连接交于点则与互相垂直平分，∴

∴

∴∴

∴点的坐标为（14分）

综上所述，轴上方的点有三个，分别为

(2009年江西24)如图，抛物线

与轴相交于、两点（点

在点的左侧），与轴相交于点，顶点为.

（1）直接写出、、三点的坐标和抛物线的

对称轴；

（2）连接，与抛物线的对称轴交于点，点

为线段上的一个动点，过点作交抛物线于点，设点的横坐标为；

①用含的代数式表示线段的长，并求出当为何值时，四边形为平行四边形？

②设的面积为，求与的函数关系式.

24．解：（1）A（-1，0），B（3，0），C（0，3）． 2分

抛物线的对称轴是：x=1．3分（2）①设直线BC的函数关系式为：y=kx+b．

把B（3，0），C（0，3）分别代入得：

解得：k= -1，b=3．

所以直线BC的函数关系式为：．

当x=1时，y= -1+3=2，∴E（1，2）．

当时，，

∴P（m，m+3）．4分

在中，当时，

∴

当时，∴ 5分

∴线段DE=4-2=2，线段6分

∵

∴当时，四边形为平行四边形．

由解得：（不合题意，舍去）．

因此，当时，四边形为平行四边形．7分

②设直线与轴交于点，由可得：

∵8分

即．

9分

说明：1．第（1）问，写对1个或2个点的坐标均给1分，写对3个点的坐标得2分；

2．第（2）问，与的函数关系式未写出的取值范围不扣分．

26．（11分）如图，已知抛物线经过点，抛物线的顶点为，过作射线．过顶点平行于轴的直线交射线于点，在轴正半轴上，连结．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）若动点从点出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线运动，设点运动的时间为．问当为何值时，四边形分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？

（3）若，动点和动点分别从点和点同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿和运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为，连接，当为何值时，四边形的面积最小？并求出最小值及此时的长．

*26．解：（1）抛物线经过点，

1分

二次函数的解析式为：3分

（2）为抛物线的顶点过作于，则，

4分

当时，四边形是平行四边形

5分

当时，四边形是直角梯形

过作于，则

（如果没求出可由求）

6分

当时，四边形是等腰梯形

综上所述：当、5、4时，对应四边形分别是平行四边形、直角梯形、等腰梯形．7分

（3）由（2）及已知，是等边三角形

则

过作于，则 8分

=9分

当时，的面积最小值为10分

此时

11分

梯形

2010年杭州24

24. (本小题满分12分)

（第24题）

在平面直角坐标系xOy中，抛物线的解析式是y =+1，

点C的坐标为(–4，0)，平行四边形OABC的顶点A，B在抛物

线上，AB与y轴交于点M，已知点Q(x，y)在抛物线上，点

P(t，0)在x轴上.

(1) 写出点M的坐标；

(2) 当四边形CMQP是以MQ，PC为腰的梯形时.

①求t关于x的函数解析式和自变量x的取值范围；

②当梯形CMQP的两底的长度之比为1：2时，求t的值.

24. (本小题满分12分)

（第24题）

(1) ∵OABC是平行四边形，∴AB∥OC，且AB = OC = 4，

∵A，B在抛物线上，y轴是抛物线的对称轴，

∴A，B的横坐标分别是2和– 2，

代入y =+1得，A(2, 2 )，B(– 2，2)，

∴M (0，2)，---2分

(2) ①过点Q作QH x轴，设垂足为H，则HQ = y，HP = x–t，

由△HQP∽△OMC，得：, 即：t = x– 2y ,

∵Q(x,y) 在y = +1上，∴t = –+ x –2. ---2分