2016-2017学年江苏省中华中学六校联考高三(下)开学数学试卷

2016-2017学年江苏省中华中学、溧水高级中学、省句中、省扬中、镇江一中省镇中六校联考高三（下）开学数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.不需写出解答过程．请把答案直接填写在答题卡相应位置上.1．（5分）已知集合A={2，0，1，7}，B={y|y=7x，x∈A}，则A∩B=．2．（5分）已知复数z=（i为虚数单位），则z•=．3．（5分）一组数据共40个，分为6组，第1组到第4组的频数分别为10，5，7，6，第5组的频率为0.1，则第6组的频数为．4．（5分）阅读下列程序，输出的结果为．5．（5分）某学校有两个食堂，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则他们在同一个食堂用餐的概率为．6．（5分）已知函数，，则f（x）的值域是．7．（5分）已知函数y=ln（x﹣4）的定义域为A，集合B={x|x＞a}，若x∈A是x ∈B的充分不必要条件，则实数a的取值范围为．8．（5分）已知实数x、y满足，则z=2x+y的最大值为．9．（5分）在△ABC中，若tanAtanB=1，则=．10．（5分）若直线y=﹣x与函数y=x2﹣4x+2（x≥m）的图象恰有一个公共点，则实数m的取值范围为．11．（5分）已知函数f（x）=x3+x，对于等差数列{a n}满足：f（a2﹣1）=2，f（a2016﹣3）=﹣2，S n是其前n项和，则S2017=．12．（5分）在△ABC中，已知AB=8，AC=6，点O为三角形的外心，则=．13．（5分）圆C：x2+y2=r2，点A（3，0），B（0，4），若点P为线段AB上的任意点，在圆C上均存在两点M，N，使得=，则半径r的取值范围．14．（5分）已知正实数a，b满足，则ab的最大值为．二、解答题：本大题共6小题，满分90分.解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤.15．（14分）在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边，作两个角α，β，它们终边分别经过点P，Q，其中，Q（sin2θ，﹣1），θ∈R，且．（1）求cos2θ的值；（2）求tan（α+β）的值．16．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD为矩形，AB⊥BP，M为AC的中点，N为PD上一点．（1）若MN∥平面ABP，求证：N为PD的中点；（2）若平面ABP⊥平面APC，求证：PC⊥平面ABP．17．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=1（a＞b＞0）的焦距为2，过右焦点F的直线l交椭圆于A、B两点，当l与x轴垂直时，AB 长为．（1）求椭圆的标准方程；（2）若椭圆上存在一点P，使得，求直线l的斜率．18．（16分）某工厂要生产体积为定值V的漏斗，现选择半径为R的圆形马口铁皮，截取如图所示的扇形，焊制成漏斗．（1）若漏斗的半径为R，求圆形铁皮的半径R；（2）这张圆形铁皮的半径R至少是多少？19．（16分）已知函数f（x）=|lnx|，g（x）=k（x﹣1）（k∈R）．（1）若两个实数a，b满足0＜a＜b，且f（a）=f（b），求4a﹣b的取值范围；（2）证明：当k＜1时，存在x0＞1，使得对任意的x∈（1，x0），恒有f（x）＞g（x）；（3）已知0＜a＜b，证明：存在x0∈（a，b），使得．20．（16分）设三个各项均为正整数的无穷数列{a n}，{b n}，{c n}．记数列{b n}，{c n}的前n项和分别为S n，T n，若对任意的n∈N*，都有a n=b n+c n，且S n＞T n，则称数列{a n}为可拆分数列．（1）若，且数列{b n}，{c n}均是公比不为1的等比数列，求证：数列{a n}为可拆分数列；（2）若a n=5n，且数列{b n}，{c n}均是公差不为0的等差数列，求所有满足条件的数列{b n}，{c n}的通项公式；（3）若数列{a n}，{b n}，{c n}均是公比不为1的等比数列，且a1≥3，求证：数列{a n}为可拆分数列．【选做题】在A，B，C，D四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．选修4-1：几何证明选讲21．（10分）如图，⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P，E为⊙O上一点，AE=AC，DE交AB于点F．求证：△PDF∽△POC．B．选修4-2：矩阵与变换22．已知矩阵，求矩阵M的特征值及其相应的特征向量．C．选修4-4：坐标系与参数方程23．已知直线l的极坐标方程为，曲线C的参数方程为，设P点是曲线C上的任意一点，求P到直线l的距离的最大值．D．选修4-5：不等式选讲24．设a，b，c，d都是正数，且x=，y=．求证：xy≥．三.【必做题】第22题、第23题每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．25．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，已知SD⊥底面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，∠DAB=∠ADC=，SD=DC=2，AD=AB=1，E为棱SB上的一点，且DE⊥SC．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求直线EC与平面ADE所成角．26．已知实数数列{a n}满足：a1=3，a n=（a n﹣1+2），n≥2，证明：当n≥2时，{a n}是单调减数列．2016-2017学年江苏省中华中学、溧水高级中学、省句中、省扬中、镇江一中省镇中六校联考高三（下）开学数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.不需写出解答过程．请把答案直接填写在答题卡相应位置上.1．（5分）（2017春•江苏月考）已知集合A={2，0，1，7}，B={y|y=7x，x∈A}，则A∩B={0，7} ．【解答】解：将x=0代入y=7x得：y=0；将x=2代入y=7x得：y=14；将x=1代入y=7x得：y=7；将x=7代入y=7x得：y=49；将x=5代入y=2x﹣1得：y=9，∴B={0，7，14，49}，则A∩B={0，7}．故答案为：{0.7}2．（5分）（2017春•江苏月考）已知复数z=（i为虚数单位），则z•=．【解答】解：∵z==，∴．故答案为：．3．（5分）（2017春•江苏月考）一组数据共40个，分为6组，第1组到第4组的频数分别为10，5，7，6，第5组的频率为0.1，则第6组的频数为8．【解答】解：第5组的频数为40×0.1=4；∴第6组的频数为40﹣（10+5+7+6+4）=8．故答案为：8．4．（5分）（2017春•江苏月考）阅读下列程序，输出的结果为22．【解答】解：该程序运行后是计算并输出S=1+4+7++10=22．故答案为：22．5．（5分）（2017•南通模拟）某学校有两个食堂，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则他们在同一个食堂用餐的概率为．【解答】解：甲、乙、丙三名学生选择每一个食堂的概率均为，则他们同时选中A食堂的概率为：=；他们同时选中B食堂的概率也为：=；故们在同一个食堂用餐的概率P=+=故答案为：6．（5分）（2017春•江苏月考）已知函数，，则f（x）的值域是[﹣1，2] ．【解答】解：函数，时，x+∈[﹣，]，∴cos（x+）∈[﹣，1]；∴2cos（x+）∈[﹣1，2]，即x=时，f（x）取得最小值﹣1，x=﹣时，f（x）取得最大值2，∴f（x）的值域是[﹣1，2]．故答案为：[﹣1，2]．7．（5分）（2017春•江苏月考）已知函数y=ln（x﹣4）的定义域为A，集合B={x|x ＞a}，若x∈A是x∈B的充分不必要条件，则实数a的取值范围为（﹣∞，4）．【解答】解：要使函数有意义，则x﹣4＞0，即x＞4，即A=（4，+∞），若x∈A是x∈B的充分不必要条，则A⊊B，即a＜4，故实数a的取值范围是（﹣∞，4），故答案为：（﹣∞，4）．8．（5分）（2017春•江苏月考）已知实数x、y满足，则z=2x+y的最大值为4．【解答】解：不等式组，对应的可行域如图：目标函数是z=2x+y，由解得A（1，2）当目标函数对应直线过点A（1，2）时，z取到最大值为4．故答案为：4．9．（5分）（2017春•江苏月考）在△ABC中，若tanAtanB=1，则=．【解答】解：△ABC中，若tanAtanB=1，tan（A+B）=不存在，故A+B=，∴C=π﹣A﹣B=，则=sin（+）=cos=，故答案为：．10．（5分）（2017春•江苏月考）若直线y=﹣x与函数y=x2﹣4x+2（x≥m）的图象恰有一个公共点，则实数m的取值范围为（1，2] ．【解答】解：令f（x）=x2﹣4x+2+x=x2﹣3x+2令f（x）=0，得：x1=1，x2=2．作出f（x）的函数图象如图所示：∵直线y=﹣x与函数y=x2﹣4x+2（x≥m）的图象恰有一个公共点，∴f（x）在[m，+∞）上只有一个零点，∴1＜m ≤2． 故答案为（1，2]．11．（5分）（2017春•江苏月考）已知函数f （x ）=x 3+x ，对于等差数列{a n }满足：f （a 2﹣1）=2，f （a 2016﹣3）=﹣2，S n 是其前n 项和，则S 2017= 4034 ． 【解答】解：函数f （x ）=x 3+x ，f （x ）为奇函数，f （x ）=﹣f （﹣x ）， ∵f （a 2﹣1）=2，f （a 2016﹣3）=﹣2， ∴f （a 2﹣1）+f （a 2016﹣3）=0， ∴f （a 2﹣1）=﹣f （a 2016﹣3）． ∴a 2﹣1=﹣（a 2016﹣3）． ∴a 2+a 2016=4． 则S 2017==4034．故答案为：4034．12．（5分）（2017春•江苏月考）在△ABC 中，已知AB=8，AC=6，点O 为三角形的外心，则= 14 ．【解答】解：如图，取AB 中点D ，AC 中点E ，连接OD ，OE ，则：OD ⊥AB ，OE ⊥AC ；∴=====32﹣18=14．故答案为：14．13．（5分）（2017春•江苏月考）圆C：x2+y2=r2，点A（3，0），B（0，4），若点P为线段AB上的任意点，在圆C上均存在两点M，N，使得=，则半径r的取值范围[，）．【解答】解：直线AB的方程为4x+3y﹣12=0，设P（m，n），则0≤m≤3．设N（x，y），∵=，∴M为PN的中点，∴M（，），∵M，N在圆C上，∴．∵该方程组有解，∴r≤≤3r，即r2≤m2+n2≤9r2，∵P在线段AB上，∴4m+3n﹣12=0，即n=4﹣，∴r2≤≤9r2，即r2≤≤9r2对一切m∈[0，3]上恒成立，设f（m）=，则f（m）在[0，3]上的最大值为f（0）=16，最小值为f（）=，∴，解得≤r≤，又点P为线段AB上的任意点，在圆C上均存在两点M，N，使得=，∴直线AB与圆C相离，∴r＜=．∴r的范围是[，）．故答案为：[，）．14．（5分）（2017春•江苏月考）已知正实数a，b满足，则ab的最大值为2﹣．【解答】解：根据题意，由于，则ab=ab（）=+=+；令=t，则ab=+=+===1+，令u=t﹣1，t=u+1；ab=1+=1+=1+≤1+=2﹣；即ab的最大值2﹣；故答案为：2﹣．二、解答题：本大题共6小题，满分90分.解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤.15．（14分）（2017春•江苏月考）在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边，作两个角α，β，它们终边分别经过点P，Q，其中，Q（sin2θ，﹣1），θ∈R，且．（1）求cos2θ的值；（2）求tan（α+β）的值．【解答】解：（1）由题意可得sinα==得：cos2θ=∴sin2θ=，∴c os2θ=2cos2θ﹣1=．（2）由（1）可得α的终边上一点P（，），β的终边上一点Q（，﹣1），∴tanα==，tanβ==﹣3，∴tan（α+β）==﹣．本题主要考查任意角三角函数的定义；考查和角公式；考查学生的字母符号处理能力、运算能力、书写表达能力，属于中档题．16．（14分）（2017春•江苏月考）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD 为矩形，AB⊥BP，M为AC的中点，N为PD上一点．（1）若MN∥平面ABP，求证：N为PD的中点；（2）若平面ABP⊥平面APC，求证：PC⊥平面ABP．【解答】证明：（1）连接BD，由四边形ABCD为矩形得：M为AC和BD的中点，∵MN∥平面ABP，MN⊂平面BPD，平面BPD∩平面ABP=BP，∴MN∥BP，…（4分）∵M为AC的中点，∴N为PD的中点．…（6分）（2）在△ABP中，过点B作BE⊥AP于E，∵平面ABP⊥平面APC，平面ABP∩平面APC=AP，BE⊂平面ABP，BE⊥AP∴BE⊥平面APC，…（9分）又PC⊂平面APC，∴BE⊥PC．∵ABCD为矩形，∴AB⊥BC，又AB⊥BP，BC∩BP=B，BC，BP⊂平面BPC，∴AB⊥平面BPC，…（12分）∴AB⊥PC，又BE⊥PC，AB⊂平面ABP，BE⊂平面ABP，AB∩BE=B，∴PC⊥平面ABP．…（14分）17．（14分）（2017春•江苏月考）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=1（a＞b＞0）的焦距为2，过右焦点F的直线l交椭圆于A、B两点，当l与x轴垂直时，AB长为．（1）求椭圆的标准方程；（2）若椭圆上存在一点P，使得，求直线l的斜率．【解答】解：（1）由题意可知2c=2，c=1，当l与x轴垂直时，丨AB丨==，…（2分）由a2=b2+c2，则a=，b=，故椭圆的标准方程是：；…（4分）（2）设直线l的斜率为k，则直线l的方程：y=k（x﹣1），设点A（x1，y1），B （x2，y2），P（x3，y3），由可得（3k2+2）x2﹣6k2x+3k2﹣6=0，…（6分）则x1+x2=，x1x2=．（*）因，则，代入椭圆方程+=1，又，，化简得2x1x2+3y1y2+3=0，即（3k2+2）x1x2﹣3k2（x1+x2）+3k2+3=0，…（10分）将（*）代入得3k2﹣6﹣+3k2+3=0，k2=2，即k=±，故直线l的斜率为±．…（14分）18．（16分）（2017春•江苏月考）某工厂要生产体积为定值V的漏斗，现选择半径为R的圆形马口铁皮，截取如图所示的扇形，焊制成漏斗．（1）若漏斗的半径为R，求圆形铁皮的半径R；（2）这张圆形铁皮的半径R至少是多少？【解答】解：（1）漏斗高h=R，…（2分）则体积V=π（R）2h，所以R=2．…（6分）（2）设漏斗底面半径为r（r＞0），V=πr2，R=，…（9分）令f（r）=+r2（r＞0），则f′（r）=，所以f（r）在（0，）上单调减，（，+∞）单调增，…（12分）所以当r=时，R取最小值为．…（15分）答：这张圆形铁皮的半径R至少为．…（16分）19．（16分）（2017春•江苏月考）已知函数f（x）=|lnx|，g（x）=k（x﹣1）（k ∈R）．（1）若两个实数a，b满足0＜a＜b，且f（a）=f（b），求4a﹣b的取值范围；（2）证明：当k＜1时，存在x0＞1，使得对任意的x∈（1，x0），恒有f（x）＞g（x）；（3）已知0＜a＜b，证明：存在x0∈（a，b），使得．【解答】解：（1）由0＜a＜b，且f（a）=f（b）得a=，（b＞1），故有4a﹣b=﹣b，b＞1，易知函数y=﹣b在（1，+∞）上单调递减，而b=1时y=3；b→+∞时，y→﹣∞，所以，4a﹣b的取值范围是（﹣∞，3）；（2）证明：令g（x）=lnx﹣k（x﹣1），x∈（1，+∞），则有g′（x）=﹣k=，x∈（1，+∞），当k≤0或k≥1 时，g′（x）＞0，故g（x）在（1，+∞）上单调递增，故g（x）＞g（1）=0，∀x∈（1，+∞）均满足题意；当0＜k＜1时，＞1，令g′（x）＞0，得1＜x＜，令g′（x）＜0，解得：x＞，故g（x）在（1，）递增，在（，+∞）递减，取x0=，对任意，有g′（x）＞0，从而g（x）在（1，+∞），上单调递增，所以g（x）＞g（1）=0，即f（x）＞g（x）．综上，当k＜1时，存在x0＞1，使得对任意的x∈（1，x0），恒有f（x）＞g（x）；（3）证明：记h（x）=﹣，要证存在x0∈（a，b），使得，即证函数h（x）在（a，b）上存在零点．因h（x）在（0，+∞）上单调递减，故只需证h（a）＞0且h（b）＜0，即证＜＜．①，下证：当0＜a＜b时，①式成立．记M（x）=lnx﹣x+1，x＞0，由M′（x）==1=，可得M（x）在（0，1）上单调增，（1，+∞）上单调减，由0＜a＜b，得＞1，0＜＜1，从而有f（）＞f（1）且f（）＜f（1），即有ln﹣+1＞0且ln﹣+1＜0，化简得＜lnb﹣lna＜．又b﹣a＞0，故有证＜＜．成立．20．（16分）（2017春•江苏月考）设三个各项均为正整数的无穷数列{a n}，{b n}，{c n}．记数列{b n}，{c n}的前n项和分别为S n，T n，若对任意的n∈N*，都有a n=b n+c n，且S n＞T n，则称数列{a n}为可拆分数列．（1）若，且数列{b n}，{c n}均是公比不为1的等比数列，求证：数列{a n}为可拆分数列；（2）若a n=5n，且数列{b n}，{c n}均是公差不为0的等差数列，求所有满足条件的数列{b n}，{c n}的通项公式；（3）若数列{a n}，{b n}，{c n}均是公比不为1的等比数列，且a1≥3，求证：数列{a n}为可拆分数列．【解答】解：（1）证明：由=4×4n﹣1=3×4n﹣1+3×4n﹣1，b n=3×4n﹣1，c n=3×4n﹣1，则S n==4n﹣1，T n==，∴对任意的n∈N*，都有a n=b n+c n，且S n＞T n，∴数列{a n}为可拆分数列；…（3分）（2）设数列{b n}，{c n}的公差分别为d1，d2，由a n=5n，得b1+（n﹣1）d1+c1+（n﹣1）d2=（d1+d2）n+b1+c1﹣d1﹣d2=5n，对任意的n∈N*都成立．∴，即①…（5分）由S n＞T n，得nb1+d1＞nc2+d2，则（﹣）n2+（b1﹣c1﹣+）n＞0，由n＞0，得（﹣）n+（b1﹣c1﹣+）＞0，对任意的n∈N*成立．则﹣≥0且（﹣）n+（b1﹣c1﹣+）＞0，即d1≥d2且b1＞c1②由数列数列{b n}，{c n}各项均为正整数，则b1，c1，d1，d2均为正整数当d1=d2时，由d1+d2=5，得d1=d2=∉N*不符；∴d1＞d2③…（7分）由①②③，得或或或，∴或或或；．…（9分）（3）证明：设a n=a1q n﹣1，a1∈N+，q＞0，q≠1，下面证明：q∈N+，q≥2，当q为无理数时，a2=a1q为无理数，与a n∈N+，矛盾．故q为有理数，设q=（a，b为正整数，且a，b互素）．…（11分）此时a n=a1•．则对任意的n∈N*，a n﹣1均为a1的约数，则a n﹣1=1，即a=1，故q==b∈N*，则q∈N+，q≥2，…（14分）∴a n=a1q n﹣1=（a1﹣1）q n﹣1+q n﹣1，令b n=（a1﹣1）q n﹣1，c n=q n﹣1，则{b n}，{c n}各项均为正整数．由a1≥3，则a1﹣≥2＞1则S n＞T n，所以，数列{a n}为可拆分数列．…（16分）【选做题】在A，B，C，D四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．选修4-1：几何证明选讲21．（10分）（2014•徐州三模）如图，⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P，E为⊙O上一点，AE=AC，DE交AB于点F．求证：△PDF∽△POC．【解答】证明：∵AE=AC，∠CDE=∠AOC，又∠CDE=∠P+∠PDF，∠AOC=∠P+∠OCP，从而∠PDF=∠OCP．在△PDF与△POC中，∠P=∠P，∠PDF=∠OCP，故△PDF∽△POC．B．选修4-2：矩阵与变换22．（2009秋•珠海期末）已知矩阵，求矩阵M的特征值及其相应的特征向量．【解答】解：矩阵M的特征多项式为，（2分）令f（λ）=0，解得λ1=1，λ2=2，（4分）将λ1=1代入二元一次方程组解得x=0，（6分）所以矩阵M属于特征值1的一个特征向量为；（8分）同理，矩阵M属于特征值2的一个特征向量为（10分）C．选修4-4：坐标系与参数方程23．（2016•镇江一模）已知直线l的极坐标方程为，曲线C的参数方程为，设P点是曲线C上的任意一点，求P到直线l的距离的最大值．【解答】解：∴由得x2+y2=4∴圆心到直线l的距离所以，P到直线l的距离的最大值为d+r=5D．选修4-5：不等式选讲24．（2014春•苏州期末）设a，b，c，d都是正数，且x=，y=．求证：xy≥．【解答】证明：∵（a2+b2）（c2+d2）﹣（ac+bd）2=（a2c2+a2d2+b2c2+b2d2）﹣（a2c2+2abcd+b2d2）=（ad﹣bc）2≥0，∴（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2 成立，又a，b，c，d都是正数，∴•≥ac+bd＞0，①同理•≥ad+bc＞0，∴xy≥．三.【必做题】第22题、第23题每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．25．（2017春•江苏月考）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，已知SD⊥底面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，∠DAB=∠ADC=，SD=DC=2，AD=AB=1，E为棱SB 上的一点，且DE⊥SC．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求直线EC与平面ADE所成角．【解答】解：（Ⅰ）以D为原点，DA，DC，DS为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系D﹣xyz，则各点的坐标为A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，2，0），S（0，0，2）．…（1分）=（0，2，﹣2），=（1，1，﹣2），令，则=（λ，λ，﹣2λ），==（0，0，2）+（λ，λ，﹣2λ）=（λ，λ，2﹣2λ），∵DE⊥SC，∴=0，即2λ﹣2（2﹣2λ）=0，故．∴=2．…（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，=（），=（﹣），设=（x，y，z）为平面ADE的法向量，则，令y=1，得=（0，1，﹣1）为平面ADE的法向量，…（7分）于是cos＜＞===，…（9分）∴直线EC与平面ADE所成角为．…（10分）26．（2017春•江苏月考）已知实数数列{a n}满足：a1=3，a n=（a n﹣1+2），n≥2，证明：当n≥2时，{a n}是单调减数列．﹣a n=[﹣1]a n+=（n+3【解答】证明：当n≥1时，有a n+1﹣na n），下面用数学归纳法证明：a n＞1+（n≥2，n∈N*），（1）当n=2时，a2=（3+2）=＞1+，（2）假设n=k（k≥2）时，结论成立，即a k＞1+，=（a k+2）＞（1++2）=1+＞1+，那么a k+1故由（1）（2）可知，a n＞1+，因此当n≥2，n∈N*，a n﹣a n=（n+3﹣na n）＜0，+1即当n≥2时，{a n}是单调减数列．参与本试卷答题和审题的老师有：whgcn；sxs123；刘老师；742048；豫汝王世崇；maths；qiss；caoqz；zhczcb；wkl197822；danbo7801；lcb001；铭灏2016；yhx01248；sllwyn；刘长柏；zlzhan（排名不分先后）。