2014高考数学难题集锦(一)含详细答案及评分标准

2014高考数学难题集锦(一)
1、已知集合，若集合，且对任意的，存在
，使得（其中），则称集合为集合的一个元基底.
（Ⅰ）分别判断下列集合是否为集合的一个二元基底，并说明理由；
①，；
②，.
（Ⅱ）若集合是集合的一个元基底，证明：；
（Ⅲ）若集合为集合的一个元基底，求出的最小可能值，并写出当取最小值时的
一个基底.
2、设函数
（1）若关于x的不等式在有实数解，求实数m的取值范围；
（2）设，若关于x的方程至少有一个解，求p 的最小值.
（3）证明不等式：
3、设，圆：与轴正半轴的交点为，与曲线的交点为，
直线与轴的交点为．
（1）用表示和;
（2）求证:;
（3）设,,求证:．
4、数列，（）由下列条件确定：①；②当时，与满足：当
时，,；当时，，.
（Ⅰ）若，，写出，并求数列的通项公式；
（Ⅱ）在数列中，若(,且)，试用表示；
（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，设数列满足，，
(其中为给定的不小于2的整数)，求证：当时，恒有.
5、已知函数f（x）是定义在[-e,0）∪（0,e]上的奇函数，当x∈（0,e],f（x）=ax+lnx（其中e是自然对数的底数，a∈R）
（1）求f（x）的解析式；
（2）设g（x）=,x∈[-e,0）,求证：当a=-1时，f（x）>g（x）+;
（3）是否存在实数a，使得当x∈[-e,0）时f（x）的最小值是3 如果存在，求出实数a的值；如果不存在，请说明理由．
6、（理）对数列和，若对任意正整数，恒有，则称数列是数列的“下界数列”.
（1）设数列，请写出一个公比不为1的等比数列，使数列是数列的“下界数列”；
（2）设数列，求证数列是数列的“下界数列”；
（3）设数列，构造
，，求使对恒成立的的最小值.
7、已知函数
（1）求在点处的切线方程；
（2）若存在，使成立，求的取值范围；
（3）当时，恒成立，求的取值范围.
8、已知函数．
（I）讨论的单调性；
（II）设，证明：当时，；
（III）若函数的图像与x轴交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为x0，
证明：（x0）＜0．
9、函数，数列和满足：，，函数的图像在点
处的切线在轴上的截距为．
（1）求数列{}的通项公式；
（2）若数列的项中仅最小,求的取值范围；
（3）若函数，令函数数列满足:且
其中．
证明:．
参考答案
1、解：（Ⅰ）①不是的一个二元基底.
理由是；
②是的一个二元基底.
理由是，
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………………………………………3分
（Ⅱ）不妨设，则
形如的正整数共有个；
形如的正整数共有个；
形如的正整数至多有个；
形如的正整数至多有个.
又集合含个不同的正整数，为集合的一个元基底.
故，即. ………………………………………8分
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，所以.
当时，，即用基底中元素表示出的数最多重复一个. *
假设为的一个4元基底，
不妨设，则.
当时，有，这时或.
如果，则由，与结论*矛盾.
如果，则或.易知和都不是的4元基底，矛盾.
当时，有，这时，，易知不是的4元基底，矛盾.
当时，有，这时，，易知不是的4元基底，矛盾.
当时，有，，，易知不是的4元基底，矛盾.
当时，有，，，易知不是的4元基底，矛盾.
当时，有，，，易知不是的4元基底，矛盾.
当时，有，，，易知不是的4元基底，矛盾.
当时，均不可能是的4元基底.
当时，的一个基底；或{3,7,8,9,10}；或{4,7,8,9,10}等，只要写出一个即可.
综上，的最小可能值为5. ……………………14分
2、解：（1）依题意得
，而函数的定义域为
∴在上为减函数，在上为增函数，则在上为增函数
即实数m的取值范围为………………………………4分
（2）
则
显然，函数在上为减函数，在上为增函数
则函数的最小值为
所以，要使方程至少有一个解，则，即p的最小值为0 …………8分
（3）由（2）可知：在上恒成立
所以，当且仅当x=0时等号成立
令，则代入上面不等式得：
即，即
所以，，，，…，
将以上n 个等式相加即可得到：
………………………………12分
3、解：（1）由点在曲线上可得, …………1分
又点在圆上，则, ……………2分
从而直线的方程为, ………………4分
由点在直线上得: ,将代入
化简得: ． ……………………6分
（2） , …………7分 又,
……………9分
（3）先证:当时,．
事实上, 不等式
后一个不等式显然成立,而前一个不等式．
故当时, 不等式成立．
, ……………………11分
（等号仅在n=1时成立）
求和得:
……………………14分
4、（Ⅰ）解：因为，所以,.
因为,所以,.
因为,所以,.
所以. …………………………………… 2分
由此猜想，当时,，则，.… 3分
下面用数学归纳法证明：
①当时，已证成立.
②假设当（，且）猜想成立，
即，，.
当时，由，得，则，. 综上所述，猜想成立.
所以.
故. ……………………………………………… 6分
（Ⅱ）解：当时，假设，根据已知条件则有，
与矛盾，因此不成立，…………… 7分
所以有，从而有，所以.
当时，，,
所以; …………………… 8分
当时，总有成立.
又，
所以数列()是首项为，公比为的等比数列, ，
,
又因为，所以. …………………………… 10分
（Ⅲ）证明：由题意得
.
因为，所以.
所以数列是单调递增数列. …………………………………… 11分
因此要证,只须证.
由，则<，即.…… 12分
因此
.
所以.
故当,恒有. …………………………………………………14分
5、21．
6、（1）等，答案不唯一；……………4分
（2），当时最小值为9,；……………6分
，则,
因此，时，最大值为6，……………9分
所以，，数列是数列的“下界数列”；……………10分
（3）
，…11分
，……………12分
不等式为，，，…13分
设，则，…………15分
当时，单调递增，时，取得最小值，因此，……………17分
的最小值为……………18分
7、.解（1）
在处的切线方程为
即（3分）
（2）即
令
时，时，
在上减，在上增.
又时，的最大值在区间端点处取到.
，
在上最大值为
故的取值范围是，（8分）
（3）由已知得时，恒成立，
设
由（2）知当且仅当时等号成立，
故，从而当
即时，为增函数，又
于是当时，即，时符合题意. （11分）
由可得从而当时，
故当时，为减函数，又
于是当时，即
故不符合题意.综上可得的取值范围为（14分）
8、（I）
（i）若单调增加.
（ii）若
且当
所以单调增加，在单调减少. ………………4分（II）设函数则
当.
故当，………………8分
（III）由（I）可得，当的图像与x轴至多有一个交点，
故，从而的最大值为
不妨设
由（II）得
从而
由（I）知，………………14分
9、解:（1），得
是以2为首项，1为公差的等差数列，故…………3分
（2），，
在点处的切线方程为
令得
仅当时取得最小值，∴的取值范围为………6分
（3）
所以又因则
显然…………8分
………12分
…………14分。