南昌大学概率论与数理统计课件 练习三
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概率论与数理统计课件第三章ppt
Y X
y1
y2
...
yj
… pi·
x1 p11 p12 … p1 … p1·
x... 2 p... 21 x... i p... i1
p· p·1
p... 22 p... i2
p·2
…j
… p2
… j...
… …
p...pi·jj
… … … …
…
p... 2· p... i ·
1
j
例1.设袋中有五个同类产品，其中有两个 是次品，每次从袋中任意抽取一个，
设(X,Y)为连续型随机变量，其联合分布函 数和联合概率密度分别为F(x,y)和 f(x,y),则
f X
(x)
d dx
FX
(x)
f (x, y)dy
fY
( y)
d dy
FY
(
y)
f
(x,
y)dx
分别称为(X,Y)关于X和Y的边缘概率密度
函数，简称边缘概率密度。
例2. 设(X,Y)的分布密度是
e(xy) , x 0, y 0
3.1
例1.甲乙掷色子,观察点数。
w1i={甲掷i点} w2j={乙掷j点}
X,Y (i, j)
i,j=(1,2,…,6)
二维随机变量的定义
对于随机试验E，Ω是其样本空间。X(w) 和 Y(w)是定义在样本空间Ω上的两个随机变量, 由它们构成的向量(X,Y)称为二维随机变量 或二维随机向量。
y
w.
Y X
y1
y2
...
yj
…
x1 p11 p12 x... 2 p... 21 p... 22
x... i p... i1 p... i2
概率论与数理统计课件 第三章1
0, 其他.
求 (1) 边缘概率密度 pX ( x), pY ( y);
(2) P{ X＋Y ２}
y
(1,1)
y 1 x
2019/4/3
O x 1 x e2 x
第三章 多维随机变量及其分布
28
例3 设二维随机变量 ( X , Y ) 具有概率密度
Ce(3x4 y) , x 0, y 0,
(x, y)
2019/4/3
第三章 多维随机变量及其分布
23
3.说明
几何上, z p( x, y) 表示空间的一个曲面.
p( x, y)d x d y 1,
表示介于 p (x, y)和 xoy 平面之间的空间区域的 全部体积等于1.
P{( X ,Y )G} p( x, y) d x d y, G
19
2019/4/3
第三章 多维随机变量及其分布
20
2019/4/3
第三章 多维随机变量及其分布
21
四、二维连续型随机变量
1.定义
对于二维随机变量 ( X ,Y ) 的分布函数 F ( x, y), 如果存在非负的函数 p( x, y) 使对于任意 x, y 有
yx
F ( x, y)
p(u, v) d ud v ,
记 P{X xi , Y yj } pij , i, j 1, 2,
称此为二维离散型随机变量 ( X ,Y ) 的分布律, 或随机变量 X 和 Y 的联合分布律.
其中 pij 0,
pij 1.
i1 j1
2019/4/3
第三章 多维随机变量及其分布
13
二维随机变量 ( X,Y ) 的分布律也可表示为
1 ( arctan x)
概率论与数理统计ppt课件 完整版
P(AB)P(A)P(B)P(A)B.
推广 P (A B C )P(A )P(B )P(C) P(A)B P(A)C P(B)C P(AB ).C
n
P (A 1 A 2 A n ) P(A i ) P(A i A j )
i1
1i jn
P(A i A j Ak )
1i jkn
17
例3. 某接待站在某一周曾接待过12次来访, 且都是在周二 和周四来访. 问是否可以推断接待时间是有规定的?
注
实际推断原理:“小概率事件在一次试 验中实际上是不可能发生的”.
18
二、几何定义:
定义若对于一随机试验,每个样本点出现是等可能的 ,
样本空间所含的样本点个数为无穷多个,且具有非 零的 ,有限的几何度量,即 0m(),则称这一随机 试验是一几何概型的 .
16
例1. 袋中装有4只白球和2只红球. 从袋中摸球两次,每次任取一球.有两种式: (a)放回抽样; (b)不放回抽样.
求: (1)两球颜色相同的概率; (2)两球中至少有一只白球的概率.
例2. 设一袋中有编号为1,2,…,9的球共9只, 现从中任取3 只, 试求: (1)取到1号球的概率,（事件A） (2)最小号码为5的概率.（事件B）
(一)条件概率: 设试验E的样本空间为S, A, B是事件, 要考虑
在A已经发生的条件下B发生的概率, 这就是条件概 率问题.
例1.老王的妻子一胎生了3个孩子,已知老大是女孩，求另 两个也都是女孩的概率(假设男孩、女孩出生率相同).
1. 定义: 设A, B是两个事件, 且P(A)>0, 称
P(B| A) P(AB) P(A)
(1) 对任一事件A,有P(A)≥0; (非负性） (2) P(S)=1;（规范性) (3) 设A1,A2,…是两两互不相容的事件,则有
《概率论与数理统计》课件 概率论与数理统计 3
F (x ，y) P((x ，y) Gxy ) 。
这时，点 ( X ，Y ) 落入任一矩形区域 G {(x ，y) | x1 X x2 ，y1 Y y2}（见图32）的概率，即可由概率的加法性质求得：
P(x1 x x2 ，y1 y y2 ) F (x2 ，y2 ) F (x1 ，y2 ) F (x2 ，y1) F (x1 ，y1) 。 （3-2）
F (x ，y) x y f (u ，v)dudv，得：
当 x 0 或者 y 0 时，都有 F (x ，y) 0 ；
当 x 0 ，y 0 时，有
F(x ，y)
x eudu
0
y 0
evdv
(eu
)
|0x
(ev ) |0y (1 ex )(1 e y )
。
所以 ( X ，Y ) 的联合分布函数为
第一节 二维随机变量及其分布
一、二维随机变量的概念
定义1 设 {} 是随机试验 E 的样本空间。若对于任意的 ，都有确定的 两个实数 X () 和Y () 与之对应，则称有序二元总体 （ X () ，Y ()）为一个二维随
机变量（或称为二维随机向量），简记为 ( X ，Y ) ；并称 X 和 Y 是二维随机变量 ( X ，Y ) 的两个分量。
xi x yi y
y的那些 (i ，j) 求和。
例1 一个袋中装有 5 个球，其中 2 个红球，3 个白球。每次从中不放回地随机抽取 1
个，连续抽取两次。定义随机变量 X 和 Y 如下： 1，第一次抽到红球， 1，第二次取到红球；
X 0 ，第一次抽到白球， Y 0 ，第二次取到白球． 求：（1） ( X ，Y ) 的联合分布列；
布列或联合分布律，简称分布列或者分布律。
这时，点 ( X ，Y ) 落入任一矩形区域 G {(x ，y) | x1 X x2 ，y1 Y y2}（见图32）的概率，即可由概率的加法性质求得：
P(x1 x x2 ，y1 y y2 ) F (x2 ，y2 ) F (x1 ，y2 ) F (x2 ，y1) F (x1 ，y1) 。 （3-2）
F (x ，y) x y f (u ，v)dudv，得：
当 x 0 或者 y 0 时，都有 F (x ，y) 0 ；
当 x 0 ，y 0 时，有
F(x ，y)
x eudu
0
y 0
evdv
(eu
)
|0x
(ev ) |0y (1 ex )(1 e y )
。
所以 ( X ，Y ) 的联合分布函数为
第一节 二维随机变量及其分布
一、二维随机变量的概念
定义1 设 {} 是随机试验 E 的样本空间。若对于任意的 ，都有确定的 两个实数 X () 和Y () 与之对应，则称有序二元总体 （ X () ，Y ()）为一个二维随
机变量（或称为二维随机向量），简记为 ( X ，Y ) ；并称 X 和 Y 是二维随机变量 ( X ，Y ) 的两个分量。
xi x yi y
y的那些 (i ，j) 求和。
例1 一个袋中装有 5 个球，其中 2 个红球，3 个白球。每次从中不放回地随机抽取 1
个，连续抽取两次。定义随机变量 X 和 Y 如下： 1，第一次抽到红球， 1，第二次取到红球；
X 0 ，第一次抽到白球， Y 0 ，第二次取到白球． 求：（1） ( X ，Y ) 的联合分布列；
布列或联合分布律，简称分布列或者分布律。
《概率论与数理统计》全套课件PPT(完整版)
m?????若对于一随机试验每个样本点出现是等可能的样本空间所含的样本点个数为无穷多个且具有非零的有限的几何度量即则称这一随机试验是一几何概型的20义定义当随机试验的样本空间是某个区域并且任量意一点落在度量长度面积体积相同的子区域是等可能的则事件a的概率可定义为?mamap??说明当古典概型的试验结果为连续无穷多个时就归结为几何概率
P(B| A) P(AB) P(A)
为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率2.9
2. 性质: 条件概率符合概率定义中的三个条件, 即
10 对于每一个事件B, 有 1 P(B | A) 0.
20 P(S | A) 1.
30 设B1 , B2 ,两两互不相容, 则
P( Bi | A) P(B i | A).
i1
i1
此外, 条件概率具有无条件概率类似性质.例如：
(1) P( | A) 0.
(2) 设B1 ,B2 ,, Bn两两互不相容,则
n
n
P( Bi | A) P(B i | A).
30
i1
i1
(3) P(B | A) 1 P(B | A).
(4) P(B C | A) P(B | A) P(C | A) - P(BC | A).
在其中计算B发生的概率, 从而得到P(B|A). 例2. 在1, 2, 3, 4, 5这5个数码中, 每次取一个数码, 取后不放回, 连取两次, 求在第1次取到偶数的条 件下, 第2次取到奇数的概率.
32
(二) 乘法公式: 由条件概率定义, 立即可得P(A) 0, 则有 P(AB) P(A)P(B | A).
注 当A＝S时, P(B｜S)=P(B), 条件概率化为无 条件概率, 因此无条件概率可看成条件概率.
P(B| A) P(AB) P(A)
为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率2.9
2. 性质: 条件概率符合概率定义中的三个条件, 即
10 对于每一个事件B, 有 1 P(B | A) 0.
20 P(S | A) 1.
30 设B1 , B2 ,两两互不相容, 则
P( Bi | A) P(B i | A).
i1
i1
此外, 条件概率具有无条件概率类似性质.例如：
(1) P( | A) 0.
(2) 设B1 ,B2 ,, Bn两两互不相容,则
n
n
P( Bi | A) P(B i | A).
30
i1
i1
(3) P(B | A) 1 P(B | A).
(4) P(B C | A) P(B | A) P(C | A) - P(BC | A).
在其中计算B发生的概率, 从而得到P(B|A). 例2. 在1, 2, 3, 4, 5这5个数码中, 每次取一个数码, 取后不放回, 连取两次, 求在第1次取到偶数的条 件下, 第2次取到奇数的概率.
32
(二) 乘法公式: 由条件概率定义, 立即可得P(A) 0, 则有 P(AB) P(A)P(B | A).
注 当A＝S时, P(B｜S)=P(B), 条件概率化为无 条件概率, 因此无条件概率可看成条件概率.
概率论与数理统计ppt课件
P(B| A) P(AB) P(A)
为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率.
二. 性质: 条件概率符合概率定义中的三个条件!! 即 10 对于每一 B有 个 , 1 事 P(件 |B A)0.
20 P (|SA) 1.
30 设B1,B2,两两互不,相 则容
P( Bi |A) P(Bi |A.)
注 当A＝S时!! P【B｜S】=P【B】!! 条件概率 化为无条件概率!! 因此无条件概率可看成条
计算件条概件率概. 率有两种方法:
1. 公式法： 先计P算(A)P, (AB然 ), 后按公式计算 P(B| A) P(AB.) P(A)
二. 缩减样本空间法： 在A发生的前提下!! 确定B的缩减样本空间!!
(3) 对于两两互斥个 的事 可 A件 1,列 A2, 多, P(A1A2)P(A1)P(A2)
三. 统计定义:
【一】 频率
一. 在相同的条件下!! 共进行了n次试验!!事件A发生的
次数nA!! 称为A的频数!! nA/n称为事件A发生的频率!! 记 为fn【A】.
2. 频率的基本性质：
(1) 0f（ n A） 1； （非负性）
二.概率的性质： 性1质 . P()0.
性质 2. 若A1,A2,,An是两两互不相容, 则 P(A1A2 An)
P(A1)P(A2) P(An).(有 限 可 )
性3质 . 若 AB,则有 P(BA)P(B)P(A);
P (B )P (A ).
一般地有: P【B-A】=P【B】-P【AB】.
性4质 .对任一 A, 事 P(A)件 1.
【一】 样本空间中的元素只有有限个!!
【二】 试验中每个基本事件发生的可能性相同.
例如:掷一颗骰子!!观察出现的点数.
为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率.
二. 性质: 条件概率符合概率定义中的三个条件!! 即 10 对于每一 B有 个 , 1 事 P(件 |B A)0.
20 P (|SA) 1.
30 设B1,B2,两两互不,相 则容
P( Bi |A) P(Bi |A.)
注 当A＝S时!! P【B｜S】=P【B】!! 条件概率 化为无条件概率!! 因此无条件概率可看成条
计算件条概件率概. 率有两种方法:
1. 公式法： 先计P算(A)P, (AB然 ), 后按公式计算 P(B| A) P(AB.) P(A)
二. 缩减样本空间法： 在A发生的前提下!! 确定B的缩减样本空间!!
(3) 对于两两互斥个 的事 可 A件 1,列 A2, 多, P(A1A2)P(A1)P(A2)
三. 统计定义:
【一】 频率
一. 在相同的条件下!! 共进行了n次试验!!事件A发生的
次数nA!! 称为A的频数!! nA/n称为事件A发生的频率!! 记 为fn【A】.
2. 频率的基本性质：
(1) 0f（ n A） 1； （非负性）
二.概率的性质： 性1质 . P()0.
性质 2. 若A1,A2,,An是两两互不相容, 则 P(A1A2 An)
P(A1)P(A2) P(An).(有 限 可 )
性3质 . 若 AB,则有 P(BA)P(B)P(A);
P (B )P (A ).
一般地有: P【B-A】=P【B】-P【AB】.
性4质 .对任一 A, 事 P(A)件 1.
【一】 样本空间中的元素只有有限个!!
【二】 试验中每个基本事件发生的可能性相同.
例如:掷一颗骰子!!观察出现的点数.
概率论与数理统计教程(答案及课件)chapter3
,
则有
1 PZ x 2
e
x
du x
故
于是
Z
X
~ N 0 , 1 .
X ~ N , 2
X x FX x P X x P x
根据定理1,只要将标准正态分布的分布函数制 成表，就可以解决一般正态分布的概率计算问题.
2
设 X~ N ( , 2 ) ,
X 的分布函数是
2σ 2
F x
x 1 e 2πσ
( t μ )2
dt , x
正态分布由它的两个参数μ和σ唯一确定， 当μ和
σ不同时，是不同的正态分布。 下面我们介绍一种最重要的正态分布
标准正态分布
3
标准正态分布
7 （3）求P 1 X 2
解
kx , x f ( x ) 2 , 2 0,
0 x3 3 x4 其它
(1) 由
0
1 f ( x )dx 1得k 6
3
4
x
F x
x
f t dt , x
x2 x1
f ( x )dx
利用概率密度可确 定随机点落在某个 范围内的概率
4
若 f (x) 在点 x 处连续 , 则有
F ( x ) f ( x ).
5. 对连续型 r.v X , 有
P (a X b) P (a X b) P (a X b) P (a X b)
F(x) = P(X x) x<0 时，{ X x } = ， 故 F(x) =0 0 x < 1 时， 1 F(x) = P{X x} = P(X=0) = 3
南昌大学～学年概率论与数理统计期末试题.
2．将n只球（1~n号）随机放进n只盒子（1~n号）中去，一只盒子装一只球，若一只球装入与球同号的盒子，称为一个配对。记x为总的配对数，求
3．设随机变量 的概率密度为
求（1）常数 ；（2）
4．设二维随机变量（X，Y）的概率密度为
问X、Y是否相关，是否独立？为什么？
5.据以往经验，某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指数分布，现随机地取16只，设它们的寿命是相互独立的，求这16只元件的寿命的总和大于1920小时的概率。
一、填空题(每题4分，共20分)
得分
评阅人
1.设事件 仅发生一个的概率为0.3，且 ，则 至少有一个不发生的概率为__________.
2.设 服从泊松分布，若 ，则 ___________.
3.设随机变量 的概率密度为 现对 进行四次独立重复观察，用 表示观察值不大于0.5的次数，则 ___________.
南昌大学2008～2009学年复习题
试卷编号：( )卷
课程编号：课程名称：概率论考试形式：
适用班级：姓名：学号：班级：
学科部：专业：考试日期：
题号
一
二
三
四
五
六
七
八
九
十
总分
累分人签名
题分
20
20
60
100
得分
考生注意事项：1、本试卷共4页，请查看试卷中是否有缺页或破损。如有立即举手报告以便更换。
2、考试结束后，考生不得将试卷、答题纸和草稿纸带出考场。
则有（）
（A） （B）
（C） （D）
5．设随机变量 的分布函数为 ，则 的分布函数为
（）
（A） .（B） .
（C） .（D） .
3．设随机变量 的概率密度为
求（1）常数 ；（2）
4．设二维随机变量（X，Y）的概率密度为
问X、Y是否相关，是否独立？为什么？
5.据以往经验，某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指数分布，现随机地取16只，设它们的寿命是相互独立的，求这16只元件的寿命的总和大于1920小时的概率。
一、填空题(每题4分，共20分)
得分
评阅人
1.设事件 仅发生一个的概率为0.3，且 ，则 至少有一个不发生的概率为__________.
2.设 服从泊松分布，若 ，则 ___________.
3.设随机变量 的概率密度为 现对 进行四次独立重复观察，用 表示观察值不大于0.5的次数，则 ___________.
南昌大学2008～2009学年复习题
试卷编号：( )卷
课程编号：课程名称：概率论考试形式：
适用班级：姓名：学号：班级：
学科部：专业：考试日期：
题号
一
二
三
四
五
六
七
八
九
十
总分
累分人签名
题分
20
20
60
100
得分
考生注意事项：1、本试卷共4页，请查看试卷中是否有缺页或破损。如有立即举手报告以便更换。
2、考试结束后，考生不得将试卷、答题纸和草稿纸带出考场。
则有（）
（A） （B）
（C） （D）
5．设随机变量 的分布函数为 ，则 的分布函数为
（）
（A） .（B） .
（C） .（D） .
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A
Ω
B
A
B
B= A
2.设事件 1, A2, A3相互独立,则 ABCD 成立 设事件A 相互独立 则 设事件 (A)它们中任何两个事件独立 它们中任何两个事件独立 (B)它们中任何一个事件与另两个事件的并独立 它们中任何一个事件与另两个事件的并独立 (C)它们中任何一个事件与另两个事件的交独立 它们中任何一个事件与另两个事件的交独立 (D)它们中任何一个事件与另两个事件的差独立 它们中任何一个事件与另两个事件的差独立 QP( A ( A2 − A3 )) = P( A A2 A3 ) = P( A )P( A2 )P( A3 ) 1 1 1
i =1 3
= 0.36 × 0.2 + 0.41 × 0.6 + 0.14 × 1 = 0.458
当系统中某一危险情况C发生时 发生时,电路开关 三、 当系统中某一危险情况 发生时 电路开关 的概率闭合并发出警报.为此 以0.96的概率闭合并发出警报 为此 工程上通常 的概率闭合并发出警报 为此,工程上通常 采用并联两个或多个开关来改善系统可靠性: 采用并联两个或多个开关来改善系统可靠性 当系统中危险情况C发生时 发生时, 当系统中危险情况 发生时 并联电路中的每个 开关都以0.96的概率闭合 如果并联电路中至少 的概率闭合;如果并联电路中至少 开关都以 的概率闭合 有一个开关发生闭合,则系统就会发出警报 则系统就会发出警报. 有一个开关发生闭合 则系统就会发出警报 设各个开关闭合与否都是相互独立的 (1)求两个开关并联时系统的可靠性 求两个开关并联时系统的可靠性 (即电路一定闭合的概率 即电路一定闭合的概率) 即电路一定闭合的概率 (2)如果需要有一个可靠性至少为 如果需要有一个可靠性至少为0.9999的系统 的系统, 如果需要有一个可靠性至少为 的系统 则需并联多少开关? 则需并联多少开关
有:
UB
i =1
3
i
=Ω
B:“飞机被击落” 飞机被击落” 飞机被击落 由已知: 由已知 P(A1)=0.4,P(A2)=0.5,P(A3)=0.7
B1 = A1 A2 A3 U A1 A2 A3 U A1 A2 A3
P ( B1 ) = P ( A1 ) P ( A2 ) P ( A3 ) + P ( A1 ) P ( A2 ) P ( A3 ) + P ( A1 ) P ( A2 ) P ( A3 ) = 0.4 × 0.5 × 0.3 + 0.6 × 0.5 × 0.3 + 0.6 × 0.5 × 07 = 0; C (1− p) p
3 3 3 2 2
1 0 3
(C)3(1－p) －
+ C (1− p) p
= 3 p (1− p) + 3 p(1− p) + (1− p) (D)(1－p)3+p(1－p)2+p2(1－p) － － －
丙三人同时向某飞机射击. 二、 甲、乙、丙三人同时向某飞机射击 设击中的概率分别是0.4、 和 设击中的概率分别是 、0.5和0.7. 如果 只有一人击中,则飞机被击落的概率为 则飞机被击落的概率为0.2; 只有一人击中 则飞机被击落的概率为 如果有两人击中, 如果有两人击中 则飞机被击落的概率为 0.6; 如果三人都击中 则飞机一定被击落 如果三人都击中,则飞机一定被击落 则飞机一定被击落. 求飞机被击落的概率 解: A1、A2、A3分别表示 甲、乙、丙击 分别表示:“甲 中飞机” 中飞机” 则A1、A2、A3相互独立 Bi :“有i个人击中飞机” (i=1,2,3) 个人击中飞机” 有 个人击中飞机
P ( A1 U A2 U L U Ak ) = 1 − P ( A1 U A2 U L U Ak ) = 1 − P ( A1 A2 L Ak ) = 1 − P ( A1 ) P ( A2 ) L P ( Ak ) = 1 − (1 − 0.96) k = 1 − 0.04 ≥ 0.9999
k
i
4.每次试验的成功率为 每次试验的成功率为p(0<p<1), 则在 次 则在3次 每次试验的成功率为 重复试验中至少失败一次的概率为_____ 重复试验中至少失败一次的概率为 B (A)(1－p)3 － (B)1－p3 －
1− C (1 − p) p = 1− p
0 3 0 3
1 3 1 2 2 3 2
练习三
对于事件A、 命题 一、1.对于事件 、B,命题 BD 是正确的 对于事件 (A)如果 如果A,B互不相容 那么 A, B也互不相容 互不相容,那么 如果 互不相容 (B)如果 如果A,B独立 那么A, B 也独立 独立,那么 如果 独立 (C)如果 如果A,B相容 那么A, B 也相容 相容,那么 如果 相容 A∪B=Ω ∪ Ω (D)如果 如果A,B对立 那么A, B 也对立 对立,那么 如果 对立
= P( A )P( A2 A3 ) = P( A )P( A2 −A3 ) 1 1
3. 已知P(B)>0, P(Ai)>0 (i=1,2,…),如果它们还 已知 如果它们还 满足条件 AD ,则等式 P ( B ) = ∑ P ( Ai ) P ( B | Ai ) 则等式
i
(A)A1, A2,…构成一个完备事件组 构成一个完备事件组 (B)A1, A2,… 两两互不相容 (C)A1, A2,… 相互独立 (D)A1B, A2B,…两两互不相容 且 U Ai ⊃ B 两两互不相容,且 两两互不相容
(2) A:“5个样品中至少有 个一级品” 个样品中至少有2个一级品 个样品中至少有 个一级品” 有: P ( A) = ∑ P5 ( i )
i=2 5
= 1 − ∑ P5 ( i )
i =0 1 i = 1 − ∑ C 5 0 . 3 i 0 .7 5 − i i =0
1
= 0.47178
解: Ai :“C发生时第 只开关闭合” 发生时第i只开关闭合 发生时第 只开关闭合” 由已知有: 由已知有 P(Ai)=0.96 (1)P(A1∪A2)=P(A1)+P(A2) −P(A1A2) =0.96+0.96 −0.96×0.96 × =0.9984 (2)设需 只开关满足所需可靠性 在情况 设需k只开关满足所需可靠性 在情况C 设需 只开关满足所需可靠性. 发生时,k只开关中至少有一只闭合的概 发生时 只开关中至少有一只闭合的概 率为: 率为
⇒kmin=3
设一批产品中有30％ 四、 设一批产品中有 ％的产品是一级 现对该产品中进行重复抽样检查,共取 品.现对该产品中进行重复抽样检查 共取 现对该产品中进行重复抽样检查 5个样品 个样品 取出的5个样品中恰有 求 (1)取出的 个样品中恰有 个一级品的 取出的 个样品中恰有2个一级品的 概率 (2)取出的 个样品中至少有 个一级品 取出的5个样品中至少有 取出的 个样品中至少有2个一级品 的概率 (1) P5 ( 2) = C 52 0.3 2 (1 − 0.3) 3 = 0.3087 解:
B2 = A1 A2 A3 U A1 A2 A3 U A1 A2 A3⇒P(B2)=0.41
B3=A1A2A3 ⇒P(B3)=0.14 又 P(B|B1)=0.2, P(B|B2)=0.6, P(B|B3)=1 由全概率公式,得: 由全概率公式 得
P ( B ) = ∑ P ( Bi ) P ( B | Bi )
Ω
B
A
B
B= A
2.设事件 1, A2, A3相互独立,则 ABCD 成立 设事件A 相互独立 则 设事件 (A)它们中任何两个事件独立 它们中任何两个事件独立 (B)它们中任何一个事件与另两个事件的并独立 它们中任何一个事件与另两个事件的并独立 (C)它们中任何一个事件与另两个事件的交独立 它们中任何一个事件与另两个事件的交独立 (D)它们中任何一个事件与另两个事件的差独立 它们中任何一个事件与另两个事件的差独立 QP( A ( A2 − A3 )) = P( A A2 A3 ) = P( A )P( A2 )P( A3 ) 1 1 1
i =1 3
= 0.36 × 0.2 + 0.41 × 0.6 + 0.14 × 1 = 0.458
当系统中某一危险情况C发生时 发生时,电路开关 三、 当系统中某一危险情况 发生时 电路开关 的概率闭合并发出警报.为此 以0.96的概率闭合并发出警报 为此 工程上通常 的概率闭合并发出警报 为此,工程上通常 采用并联两个或多个开关来改善系统可靠性: 采用并联两个或多个开关来改善系统可靠性 当系统中危险情况C发生时 发生时, 当系统中危险情况 发生时 并联电路中的每个 开关都以0.96的概率闭合 如果并联电路中至少 的概率闭合;如果并联电路中至少 开关都以 的概率闭合 有一个开关发生闭合,则系统就会发出警报 则系统就会发出警报. 有一个开关发生闭合 则系统就会发出警报 设各个开关闭合与否都是相互独立的 (1)求两个开关并联时系统的可靠性 求两个开关并联时系统的可靠性 (即电路一定闭合的概率 即电路一定闭合的概率) 即电路一定闭合的概率 (2)如果需要有一个可靠性至少为 如果需要有一个可靠性至少为0.9999的系统 的系统, 如果需要有一个可靠性至少为 的系统 则需并联多少开关? 则需并联多少开关
有:
UB
i =1
3
i
=Ω
B:“飞机被击落” 飞机被击落” 飞机被击落 由已知: 由已知 P(A1)=0.4,P(A2)=0.5,P(A3)=0.7
B1 = A1 A2 A3 U A1 A2 A3 U A1 A2 A3
P ( B1 ) = P ( A1 ) P ( A2 ) P ( A3 ) + P ( A1 ) P ( A2 ) P ( A3 ) + P ( A1 ) P ( A2 ) P ( A3 ) = 0.4 × 0.5 × 0.3 + 0.6 × 0.5 × 0.3 + 0.6 × 0.5 × 07 = 0; C (1− p) p
3 3 3 2 2
1 0 3
(C)3(1－p) －
+ C (1− p) p
= 3 p (1− p) + 3 p(1− p) + (1− p) (D)(1－p)3+p(1－p)2+p2(1－p) － － －
丙三人同时向某飞机射击. 二、 甲、乙、丙三人同时向某飞机射击 设击中的概率分别是0.4、 和 设击中的概率分别是 、0.5和0.7. 如果 只有一人击中,则飞机被击落的概率为 则飞机被击落的概率为0.2; 只有一人击中 则飞机被击落的概率为 如果有两人击中, 如果有两人击中 则飞机被击落的概率为 0.6; 如果三人都击中 则飞机一定被击落 如果三人都击中,则飞机一定被击落 则飞机一定被击落. 求飞机被击落的概率 解: A1、A2、A3分别表示 甲、乙、丙击 分别表示:“甲 中飞机” 中飞机” 则A1、A2、A3相互独立 Bi :“有i个人击中飞机” (i=1,2,3) 个人击中飞机” 有 个人击中飞机
P ( A1 U A2 U L U Ak ) = 1 − P ( A1 U A2 U L U Ak ) = 1 − P ( A1 A2 L Ak ) = 1 − P ( A1 ) P ( A2 ) L P ( Ak ) = 1 − (1 − 0.96) k = 1 − 0.04 ≥ 0.9999
k
i
4.每次试验的成功率为 每次试验的成功率为p(0<p<1), 则在 次 则在3次 每次试验的成功率为 重复试验中至少失败一次的概率为_____ 重复试验中至少失败一次的概率为 B (A)(1－p)3 － (B)1－p3 －
1− C (1 − p) p = 1− p
0 3 0 3
1 3 1 2 2 3 2
练习三
对于事件A、 命题 一、1.对于事件 、B,命题 BD 是正确的 对于事件 (A)如果 如果A,B互不相容 那么 A, B也互不相容 互不相容,那么 如果 互不相容 (B)如果 如果A,B独立 那么A, B 也独立 独立,那么 如果 独立 (C)如果 如果A,B相容 那么A, B 也相容 相容,那么 如果 相容 A∪B=Ω ∪ Ω (D)如果 如果A,B对立 那么A, B 也对立 对立,那么 如果 对立
= P( A )P( A2 A3 ) = P( A )P( A2 −A3 ) 1 1
3. 已知P(B)>0, P(Ai)>0 (i=1,2,…),如果它们还 已知 如果它们还 满足条件 AD ,则等式 P ( B ) = ∑ P ( Ai ) P ( B | Ai ) 则等式
i
(A)A1, A2,…构成一个完备事件组 构成一个完备事件组 (B)A1, A2,… 两两互不相容 (C)A1, A2,… 相互独立 (D)A1B, A2B,…两两互不相容 且 U Ai ⊃ B 两两互不相容,且 两两互不相容
(2) A:“5个样品中至少有 个一级品” 个样品中至少有2个一级品 个样品中至少有 个一级品” 有: P ( A) = ∑ P5 ( i )
i=2 5
= 1 − ∑ P5 ( i )
i =0 1 i = 1 − ∑ C 5 0 . 3 i 0 .7 5 − i i =0
1
= 0.47178
解: Ai :“C发生时第 只开关闭合” 发生时第i只开关闭合 发生时第 只开关闭合” 由已知有: 由已知有 P(Ai)=0.96 (1)P(A1∪A2)=P(A1)+P(A2) −P(A1A2) =0.96+0.96 −0.96×0.96 × =0.9984 (2)设需 只开关满足所需可靠性 在情况 设需k只开关满足所需可靠性 在情况C 设需 只开关满足所需可靠性. 发生时,k只开关中至少有一只闭合的概 发生时 只开关中至少有一只闭合的概 率为: 率为
⇒kmin=3
设一批产品中有30％ 四、 设一批产品中有 ％的产品是一级 现对该产品中进行重复抽样检查,共取 品.现对该产品中进行重复抽样检查 共取 现对该产品中进行重复抽样检查 5个样品 个样品 取出的5个样品中恰有 求 (1)取出的 个样品中恰有 个一级品的 取出的 个样品中恰有2个一级品的 概率 (2)取出的 个样品中至少有 个一级品 取出的5个样品中至少有 取出的 个样品中至少有2个一级品 的概率 (1) P5 ( 2) = C 52 0.3 2 (1 − 0.3) 3 = 0.3087 解:
B2 = A1 A2 A3 U A1 A2 A3 U A1 A2 A3⇒P(B2)=0.41
B3=A1A2A3 ⇒P(B3)=0.14 又 P(B|B1)=0.2, P(B|B2)=0.6, P(B|B3)=1 由全概率公式,得: 由全概率公式 得
P ( B ) = ∑ P ( Bi ) P ( B | Bi )