第二部分 专题三 第一讲 等差数列、等比数列(选择、填空题型)

[答案] (1)5·n－3 2
(2)C
返回
本例考查了等差数列与等比数列的综合应用，在解决 等差数列或等比数列的相关问题时，“基本量法”是常用的
方法，但有时灵活地运用性质，可使运算简便，而一般数
列的问题常转化为等差、等比数列求解；解综合题的成败 在于审清题目，弄懂来龙去脉，透过给定信息的表象，抓 住问题的本质，揭示问题的内在联系和隐含条件，明确解 题方向、形成解题策略.
(3)数列的通项公式及递推公式的应用也是命题的热点，根
据an与Sn的关系求通项公式以及利用构造或转化的方法求通项公 式也是常考的热点。 (4)数列的求和问题，多以考查等差、等比数列的前n项和公 式、错位相减法和裂项相消法为主。
返回
返回
等差数列的通项、求和及性质
[例1](1)已知等差数列{an}满足a2＝0，a6＋a8＝－10，则 a2 012＝ A．2 010 C．－2 010 a5 3(a2＋a8)，则a ＝ 3 5 A.6 3 C.5 1 B.3 1 D.6 B．2 012 D．－2 012 ( )
返回
故{bn}的第3项为5，公比为2. 5 由b3＝b1· ，即5＝b1· ，解得b1＝4. 2 2
2 2
5 所以{bn}是以4为首项，2为公比的等比数列， 5 n－ 1 其通项公式为bn＝4· ＝5·n－3. 2 2
返回
(2)设等比数列{an}的公比为q，其中q>0，由题意知a3＝a1＋ 2a2，即a1q2＝a1＋2a1q.因为a1≠0，所以有q2－2q－1＝0，由此解得 a8＋a9 q2a6＋a7 q＝1± 2，又因为q>0，所以q＝1＋ 2，所以 ＝ ＝ a6＋a7 a6＋a7 q2＝(1＋ 2)2＝3＋2 2.
1 故数列a 的前 n
5 项和为
1 1－ 2
31 ＝ . 16
[答案] (1)A
(2)B
返回
1等比数列的基本量是首项和公比，解题中一般需要根据 题目的条件列方程或者方程组将其求出，方程思想是解决等差 数列和等比数列基础性试题的主要思想.
an 2等比数列中有关系式 ＝qn－mm，n∈N*，其中q为公 am
2
所以 an＝a1＋(n－1)d＝2n－1.
答案：2n－1
返回
2 5．(2012· 辽宁高考)已知等比数列{an}为递增数列，且a5＝a10,
2(an＋an＋2)＝5an＋1，则数列{an}的通项公式an＝________.
1 解析：由2(an＋an＋2)＝5an＋1⇒2q －5q＋2＝0⇒q＝2或2，由a2＝ 5
导练
感悟高 考
做考题 析考情
体验高
考 考
把脉高
热点一
专 题 三
第 一 讲
热点
透析高 考
热点二 热点三
通法——归纳领悟
冲刺
直击高 考
返回
返回
返回
[做考题 体验高考] 1．(2012· 辽宁高考)在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16， 则该数列前11项和S11＝ A．58 C．143 B．88 D．176 ( )
答案：0
返回
等差数列与等比数列的综合问题
[例3] (1)(2012· 沈阳模拟)成等差数列的三个正数的和等于 15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{bn}中的 b3、b4、b5.则等比数列{bn}的通项公式为bn＝________. (2)(2012· 太原模拟)已知等比数列{an}中，各项都是正数， a8＋a9 1 且a1，2a3,2a2成等差数列，则 等于 a6＋a7 A．1＋ 2 C．3＋2 2 B．1－ 2 D．3－2 2 ( )
(
)
解析：选 A
.设 Pn＋1(n＋1，an＋1)，则 Pn Pn＋ 1 ,＝(1，an＋1－an)＝
(1,2)，即 an＋1－an＝2，所以数列{an}是以 2 为公差的等差数列．
4 1 又因为 a1＋2a2＝3，所以 a1＝－3，所以 Sn＝nn－3.
返回
等比数列的通项、求和及性质
返回
2． 设数列{an}满足 a1＋2a2＝3， 且对任意的 n∈N*， 点列{Pn(n， n)} a 恒满足 PnPn＋1,＝(1,2)，则数列{an}的前 n 项和 Sn 为
4 A．nn－3 2 C．nn－3 3 B．nn－4 1 D．nn－2
返回
[}的第三项b3，
进而可借助等比数列的通项公式求出bn;
(2)由条件可求得等比数列{an}的公比，进而可求得问题的 结果． [规范解答] a＋d. (1)设成等差数列的三个正数分别为a－d，a，
依题意，得a－d＋a＋a＋d＝15.解得a＝5.
所以{bn}中的b3，b4，b5依次为7－d,10,18＋d. 依题意，有(7－d)(18＋d)＝100， 解得d＝2或d＝－13(舍去)．
[例2] (1)已知数列{an}满足log3an＋1＝log3an＋1(n∈N*) 且a2＋a4＋a6＝9，则log 1 (a5＋a7＋a9)的值是
3
(
)
A．－5 C．5
1 B．－5 1 D.5
返回
(2)(2012· 潍坊模拟)已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是{an}
1 的前n项和，且9S3＝S6，则数列a 的前5项和为 n
返回
1．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a5＝11，S12＝186， 则a8＝ A．18 B．20 ( )
C．21
解析：选 B 设数列{an}
D．22
a5＝11， 的公差为d，∵ S12＝186，
a1＋4d＝11， a1＝－1， ∴ ∴ ， 12×11d d＝3， 12a1＋ 2 ＝186， 则a8＝a1＋7d＝－1＋21＝20.
返回
5．已知数列{an}是首项为a1公比为q的等比数列，则使4a1， a5，－2a3成等差数列的q的个数为 A．0 C．2 解析：选 C B．1 D．3 ∵4a1，a5，－2a3成等差数列， ( )
解析：∵S4－S2＝a3＋a4＝3(a4－a2)，∴a2(q＋q2)＝ 3a2(q2－1)， 3 解得q＝－1(舍去)或q＝2.
3 答案：2
返回
[析考情 把脉高考] 考点统计 等差数列的性质与基本量 考情分析 3年7考
等比数列的性质与基本量
等差数列的通项与求和 等比数列的通项与求和 等差、等比数列的综合问题 数列的递推公式
a3＝a 2 －4，则an＝________.
解析：设等差数列{an}的公差为 d，
a ＝1， 1 由已知得 a3＝a1＋d2－4， a ＝1， 1 解得 d＝± 2. a ＝1， 1 由于等差数列{an}是递增的等差数列，因此 d＝2. a ＝1， 1 即 1＋2d＝1＋d2－4，
(2)(2012· 金华模拟)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，S5＝ ( )
返回
[思路点拨]
(1)本题属于等差数列基本量的计算问题，可
先求出a1和d，然后求a2 012； (2)利用等差数列的性质求解．
[规范解答] 设等差数列{an}的公差为d，则由已知条件可
a1＝1， 解得 d＝－1. a1＋d＝0， 得 2a1＋12d＝－10，
3
(2)设等比数列{an}的公比为q. ∵9S3＝S6，∴8(a1＋a2＋a3)＝a4＋a5＋a6，
返回
∴8＝q ，即 q＝2，∴an＝2
1 ∴数列a 是首项为 n
3
n－1
1 1n－1 ，∴a ＝2 ， n
1 1，公比为 的等比数列， 2
1 1×1－25
(
)
85 A.32 15 C. 8 [思路点拨] 数列；
31 B.16 85 D. 2 (1)由log3an＋1＝log3an＋1可知，数列{an}为等比
(2)由条件可求公比q，从而可求{an}的通项公式．
返回
[规范解答]
由log3an＋1＝log3an＋1(n∈N*)，得an＋1＝3an，
所以数列{an}是公比等于3的等比数列， a5＋a7＋a9＝(a2＋a4＋a6)×33＝35， 所以log 1 (a5＋a7＋a9)＝－log335＝－5.
10，∴a3＝5，又∵a4＝7，∴公差d＝a4－a3＝2. 3．(2012· 新课标全国)已知{an}为等比数列，a4＋a7＝2，a5a6＝
－8，则a1＋a10＝
A．7 C．－5 B．5 D．－7
(
)
返回
解析：选 D
设数列{an}的公比为q，
a4＝4， 得 a7＝－2， a4＝－2， 或 a7＝4，
所以数列{an}的通项公式
为an＝－n＋2.故a2 012＝－2 012＋2＝－2 010. (2)由等差数列的性质可知，S5＝5a3，a2＋a8＝2a5.因为S5＝ a5 5 3(a2＋a8)，所以5a3＝3×2a5，故a ＝6. 3
[答案] (1)C
(2)A
返回
(1)在等差数列问题中其最基本的量是首项和公差，只要根据已 知条件求出这两个量，其他问题就可随之而解，这就是解决等差数 列问题的基本方法，其中蕴含着方程思想的运用． (2)等差数列的性质 ①若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq； ②Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，„，仍成等差数列； am－an ③am－an＝(m－n)d⇔d＝ (m，n∈N*)； m－n an A2n－1 ④b ＝ (A － ，B2n－1分别为{an}，{bn}的前2n－1项和)． B2n－1 2n 1 n
2 2 a10＝a1q9>0⇒a1>0，又因为数列{an}递增，所以q＝2.a5＝a10>
0⇒(a1q4)2＝a1q9⇒a1＝q＝2，所以数列{an}的通项公式为an＝2n.