等差等比数列综合习题
高二数学数列专题练习题(含答案)
高二数学数列专题练习题(含答案)高中数学《数列》专题练1.数列基本概念已知数列的前n项和S_n和第n项a_n之间的关系为：a_n=S_n-S_{n-1} (n>1)，当n=1时，a_1=S_1.通过这个关系式可以求出任意一项的值。
2.等差数列和等比数列等差数列和等比数列是两种常见的数列类型。
对于等差数列，有通项公式a_n=a_1+(n-1)d，其中d为公差。
对于等比数列，有通项公式a_n=a_1*q^{n-1}，其中q为公比。
如果a、G、b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项。
如果a、A、b、B成等差数列，那么A、B叫做a、b的等差中项。
3.求和公式对于等差数列，前n项和S_n=n(a_1+a_n)/2.对于等比数列，前n项和S_n=a_1(1-q^n)/(1-q)，其中q不等于1.另外，对于等差数列，S_n、S_{2n}-S_n、S_{3n}-S_{2n}构成等差数列；对于等比数列，S_n、S_{2n}/S_n、S_{3n}/S_{2n}构成等比数列。
4.数列的函数看法数列可以看作是一个函数，通常有以下几种形式：a_n=dn+(a_1-d)，a_n=An^2+Bn+C，a_n=a_1q^n，a_n=k*n+b。
5.判定方法对于数列的常数项，可以使用定义法证明；对于等差中项，可以证明2a_n=a_{n-1}+a_{n+1}；对于等比中项，可以证明2a_n=a_{n-1}*a_{n+1}。
最后，对于数列的通项公式，可以使用数学归纳法证明。
1.数列基本概念和通项公式数列是按照一定规律排列的一列数，通常用{ }表示。
其中，第n项表示为an，公差为d，公比为q。
常用的数列有等差数列和等比数列。
等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差。
等比数列的通项公式为an = a1q^(n-1)，其中a1为首项，q为公比。
2.数列求和公式数列求和是指将数列中的所有项加起来的操作。
高考数学《等差与等比数列》练习题
等差与等比数列一、单项选择题1．已知等差数列{}a n 的前n 项和为S n ，2S 8＝S 7＋S 10，则S 21＝( )A ．21B ．11C ．－21D ．02．在等比数列{}a n 中，若a 2 019＝4，a 2 021＝9，则a 2 020＝( )A ．6B ．－6C ．±6D ．1323．在等差数列{}a n 中，a 1＋a 8＋a 6＝15，则此等差数列的前9项之和为( )A ．5B ．27C ．45D ．904．等比数列{}a n 的公比为q ，前n 项和为S n ，设甲：q >0，乙：{}S n 是递增数列，则( )A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件5．已知等差数列{}a n 的项数为奇数，其中所有奇数项之和为319，所有偶数项之和为290，则该数列的中间项为( )A ．28B ．29C ．30D ．316．设{}a n 为等比数列，{}b n 为等差数列，且S n 为数列{}b n 的前n 项和，若a 2＝1，a 10＝16，且a 6＝b 6，则S 11＝( )A ．20B ．30C ．44D ．887．已知等差数列{}a n 的前n 项和为S n ，等差数列{}b n 的前n 项和为T n .若S n T n ＝2n －1n ＋1 ，则a 5b 5＝( ) A ．1911 B ．1710 C ．32 D ．758．在等差数列{}a n 中，已知a 5>0，a 3＋a 8<0，则使数列{}a n 的前n 项和S n <0成立时n 的最小值为( )A ．6B ．7C ．9D ．10二、多项选择题9．已知等比数列{}a n 的公比为q ，且a 5＝1，则下列选项正确的是( )A ．a 3＋a 7≥2B ．a 4＋a 6≥2C ．a 7－2a 6＋1≥0D ．a 3－2a 4－1≥010．已知无穷等差数列{}a n 的公差d ∈N *，且5，17，23是{}a n 中的三项，则下列结论正确的是( )A ．d 的最大值是6B ．2a 2≤a 8C ．a n 一定是奇数D ．137一定是数列{}a n 中的项11．已知数列{}a n 的前n 项和为S n ，则下列说法正确的是( )A ．若S n ＝n 2－1，则{}a n 是等差数列B ．若S n ＝2n －1，则{}a n 是等比数列C ．若{}a n 是等差数列，则S 99＝99a 50D ．若{}a n 是等比数列，且a 1>0，q >0，则S 2n －1·S 2n ＋1>S 22n12．已知数列{}a n 是等比数列，下列结论正确的为( )A ．若a 1a 2>0，则a 2a 3>0B ．若a 1＋a 3<0，则a 1＋a 2<0C ．若a 2>a 1>0，则a 1＋a 3>2a 2D ．若a 1a 2<0，则()a 2－a 1 ()a 2－a 3 <0三、填空题13．设等差数列{}a n 的前n 项和为S n ，若S 7＝28，则a 2＋a 3＋a 7的值为________．14．已知等比数列{}a n 的前n 项和为S n ，a 3＝7，S 3＝21，则公比q ＝________．15．已知公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3，a 5，a 10成等比数列，则S 7a 7＝________． 16．已知等差数列{}a n 的公差为d ()d >1 ，前n 项和为S n ，若a 7＝a 5＋3a 1，且a 2是S 4－1和a 1－1的等比中项，则d ＝________，S n ＝________．。
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等差、等比数列基础练习题及答案一、选择题1. 数列 { a n } 满足 a 1=a 2=1，，若数列 { a n }的前 n 项和为 S n 2013），则 S 的值为（A. 2013B. 671C. -671D.2.已知数列 { a n } 满足递推关系： a n+1=，a 1= ，则 a 2017=（ ）A.B.C.D.3.数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，若 S n =2n-1（n ∈N +），则 a 2017 的值为（）A. 2B. 3C. 2017D. 30334. 已知正项数列 { a n } 满足，若 a 1=1，则 a 10=（）A. 27B. 28C. 26D. 295. 若数列{a n } 满足： a 1=2 ，a n+1= ，则 a 7 等于（）A. 2B.C. -1D. 20186. 已知等差数列 { a n n 6 37 ）} 的前 n 项和为 S ，若 2a =a +6，则 S =（A. 49B. 42C. 35D. 287. 等差数列 { a n } 中，若 a 1，a 2013 为方程 x 2-10x+16=0 两根，则a 2+a 1007+a 2012=（） A. 10B. 15C. 20D. 408. 已知数列 { a n } 的前 n 项和 ，若它的第 k 项满足 2＜a k ＜5，则 k=（）A.2B.3C.4D.59.在等差数列 { a n} 中，首项 a1=0，公差 d≠0，若 a k=a1+a2+a3+ +a10，则 k=（）A. 45B. 46C. 47D. 4810.已知 S n是等差数列 { a n} 的前 n 项和，则 2（a1+a3+a5）+3（a8+a10）=36，则 S11=（）A. 66B. 55C. 44D. 33二、填空题1.已知数列 { a n} 的前 n 项和 S n=n2+n，则该数列的通项公式a n=______．2.正项数列 { a n} 中，满足 a1=1，a2= ， = （n∈N*），那么a n=______．3.若数列 {a n} 满足 a1=-2，且对于任意的 m，n∈N*，都有 a m+n=a m+a n，则 a3=______；数列 { a n} 前 10 项的和 S10=______．4. 数列 { a n} 中，已知 a1=1，若，则 a n=______，若，则 a n=______．5.已知数列{ a n 1 n+1 n *，则通项公式a n= } 满足 a =-1 ，a =a + ，n∈N______ ．6. 数列 { a n} 满足 a1=5，- =5（n∈N+），则 a n= ______ ．7. 等差数列 { a n} 中， a1+a4+a7=33，a3+a6+a9=21，则数列 { a n} 前 9 项的和 S9等于 ______．三、解答题1.已知数列 { a n} 的前 n 项和为 S n，且=1（n∈N+）．（1）求数列 { a n} 的通项公式；（2）设（n∈N+），求的值．2.数列 { a n} 是首项为 23，第 6 项为 3 的等差数列，请回答下列各题：（Ⅰ）求此等差数列的公差 d；（Ⅱ）设此等差数列的前 n 项和为 S n，求 S n的最大值；（Ⅲ）当 S n是正数时，求 n 的最大值．3.已知数列 { a n} 的前 n 项和为 S n，且 S n=2a n-2（n∈N*）．（Ⅰ）求数列 { a n} 的通项公式；（Ⅱ）求数列 { S n} 的前 n 项和 T n．4.已知数列 { a n} 具有性质：① a1为整数；②对于任意的正整数 n，当 a n为偶数时，；当a n为奇数时，．（1）若 a1=64，求数列 { a n} 的通项公式；（2）若 a1，a2，a3成等差数列，求 a1的值；（3）设（m≥3且 m∈N），数列 { a n n} 的前 n 项和为 S ，求证：.等差、等比数列基础练习题答案【答案】 ( 选择题解析在后面 )1. D2. C3. A4. B5. A6. B7. B8. C 9. B 10. D12. 2n 13. 14. -6；-110 15. 2n-1；2n-116. - 17. 18. 8119.解：（ 1）当 n=1，a1= ，当 n＞1，S n+ a n=1，S n-1+ a n-1=1，∴a n- a n-1 =0，即 a n= a n-1，数列 { a n} 为等比数列，公比为，首项为，∴a n= ．（2）S n=1- a n=1-（）n，∴bn=n，∴==-，∴=1-+-+ +- =1- = ．20. 解：（Ⅰ）由 a1=23，a6=3，所以等差数列的公差 d= ；（Ⅱ）= ，因为 n∈N*，所以当n=6 时 S n有最大值为78；（Ⅲ）由，解得 0＜n＜．因为 n∈N*，所以 n 的最大值为 12．21.解：（Ⅰ）列 { a n} 的前 n 项和为 S n，且 S n=2a n-2①．则： S n+1=2a n+1-2②，②-①得： a n+1=2a n，即：（常数），当 n=1 时， a1=S1=2a1-2，解得： a1=2，所以数列的通项公式为：，（Ⅱ）由于：，则：，=，=2n+1-2．-2-2- -2，=2n+2-4-2n．22. 解：（1）由，可得，，，，，，a9=0，，即{ a n} 的前 7 项成等比数列，从第8 起数列的项均为 0．（2 分）故数列 { a n} 的通项公式为．（ 4 分）（2）若 a1=4k（k∈Z）时，，，由 a1，a2，a3成等差数列，可知即 2 （2k ）=k+4k，解得 k=0，故a1=0；若 a1=4k+1（k∈Z）时，，，由 a1，a2，a3成等差数列，可知 2（2k）=（4k+1）+k，解得 k=-1，故 a1=-3；（ 7 分）若 a1=4k+2（k∈Z）时，，，由 a1，a2，a3成等差数列，可知 2（2k+1）=（4k+2）+k，解得 k=0，故 a1=2；若 a1=4k+3（k∈Z）时，，，由 a1，a2，a3成等差数列，可知 2（2k+1）=（4k+3）+k，解得 k=-1，故 a1=-1；∴a1的值为 -3 ，-1，0，2．（ 10 分）（3）由（m≥3），可得，，，若，则 a k是奇数，从而，可得当 3≤n≤m+1 时，成立．（ 13 分）又，a m+2=0，故当 n≤m 时， an＞0；当≥（ 15 分）n m+1 时， a n=0．故对于给定的m，S n的最大值为 a1+a2++a m=（2m-3）+（2m-1-2）+（2m-2-1）+（2m-3 -1）+ +（21-1）=（2m+2m-1+2m-2++21）-m-3=2m+1-m-5，故．（18分）1. 解：∵数列 { a n} 满足 a1=a2=1，，∴从第一项开始， 3 个一组，则第 n 组的第一个数为a3n-2a3n-2 +a3n-1+a3n=cos =cos（2nπ- ）=cos（- ）=cos =-cos =- ，∵2013 ÷3=671，即 S2013正好是前 671 组的和，∴S2013=- ×671=-．故选 D．由数列 { a n 12} 满足 a =a=1，，知从第一项开始， 3 个一组，则第 n 组的第一个数为 a3n-2，由a3n-2 +a3n-1+a3n=cos =- ，能求出 S2013．本题考查数列的递推公式和数列的前n 项和的应用，解题时要认真审题，注意三角函数的性质的合理运用．2. 解：∵a n+1=，a1=，∴- =1．∴数列是等差数列，首项为2，公差为 1．∴=2+2016=2018．则 a2017= ．故选： C．a n+1=，a1=，可得- =1．再利用等差数列的通项公式即可得出．本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3. 解：∵S n=2n-1（n∈N+），∴a2017=S2017-S2016=2×2017-1-2 ×2016+1=2由 a2017=S2017-S2016，代值计算即可．本题考查了数列的递推公式，属于基础题．4. 解：∵2 2，∴a n+1 -2a n a n+1 +a n =9，∴（a n+1-a n）2=9，∴a n+1-a n=3，或 a n+1-a n=-3，∵{ a n} 是正项数列， a1=1，∴a n+1-a n=3，即 { a n} 是以 1 为首项，以 3 为公差的等差数列，∴a10=1+9×3=28．故选 B．由递推式化简即可得出{ a n} 是公差为 3 的等差数列，从而得出 a10．本题考查了等差数列的判断，属于中档题．5. 解：数列 { a n} 满足： a1=2，a n+1=，则a2== ，a3= =-1a4==2a5= = ，a6= =-1．a7==2．故选： A．利用数列的递推关系式，逐步求解即可．本题考查数列的递推关系式的应用，考查计算能力．6.解：∵等差数列 { a n} 的前 n 项和为 S n，2a6=a3+6，∴2（a1+5d）=a1+7d+6，∴a1+3d=6，∴a4=6，∴=42．故选： B．由已知条件利用等差数列的通项公式能求出a4，由此利用等差数列的前 n 项和公式能求出S7．本题考查等差数列的前7 项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的通项公式和前n 项和公式的合理运用．7. 解：∵a1，a2013为方程 x2-10x+16=0 的两根∴a1+a2013=10由等差数列的性质知：a1+a2013=a2+a2012=2a1007∴a2+a1007+a2012=15故选： B由方程的韦达定理求得a1+a2013，再由等差数列的性质求解．本题主要考查韦达定理和等差数列的性质，确定a1+a2013=10 是关键．8. 解：已知数列 { a n} 的前 n 项和，n=1可得S1=a1=1-3=-2，∴a n=S n-S n-1=n2-3n-[（n-1）2-3（n-1）]=2n-4，n=1 满足 a n，∴a n=2n-4，∵它的第 k 项满足 2＜a k＜5，即 2＜2k-4＜5，解得 3＜k＜4.5，因为 n∈N，∴k=4，故选 C；先利用公式 a n=求出 a n=，再由第k项满足4＜a k＜7，建立不等式，求出k 的值．本题考查数列的通项公式的求法，解题时要注意公式a n=的合理运用，属于基础题．9.解：∵a k=a1+a2+a3+ +a10，∴a1+（k-1）d=10a1+45d∵a1=0，公差 d≠0，∴（k-1）d=45d∴k=46故选 B由已知 a k=a1+a2+a3++a10，结合等差数列的通项公式及求和公式即可求解本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题10.解：由等差数列的性质可得： 2（a1+a3+a5）+3（a8+a10）=36，∴6a3+6a9=36，即 a1+a11=6．则 S11=×=11 3=33．故选： D．利用等差数列的通项公式与性质与求和公式即可得出．本题考查了等差数列的通项公式与性质与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12.解：由 S n=n2+n，得a1=S1=2，当 n≥2时，a n=S n-S n-1=（n2+n）-[ （n-1）2+（n-1）]=2n．当 n=1 时上式成立，∴a n=2n．故答案为： 2n．由数列的前 n 项和求得首项，再由a n=S n-S n-1（n≥2）求得 a n，验证首项后得答案．本题考查了由数列的前n 项和求数列的通项公式，是基础题．13.解：由 = （n∈N*），可得 a2n+1=a n?a n+2，∴数列{ a n} 为等比数列，∵a1=1，a2= ，∴q= ，∴a n= ，故答案为：由=（n∈N*），可得a2n+1=a n?a n+2，即可得到数列{ a n}为等比数列，求出公比，即可得到通项公式本题考查了等比数列的定义以及通项公式，属于基础题．14.解：∵对于任意的 m，n∈N*，都有 a m+n=a m+a n，∴取 m=1，则 a n+1-a n=a1=-2，∴数列 { a n} 是等差数列，首项为 -2，公差为 -2，∴a n=-2-2（n-1）=-2n．∴a3=-6，∴数列 { a n} 前 10 项的和 S10= =-110．故答案分别为： -6；-110．对于任意的 m，n∈N*，都有 a m+n=a m+a n，取 m=1，则 a n+1-a n=a1=-2，可得数列 {a n} 是等差数列，首项为 -2，公差为 -2，利用等差数列的通项公式及其前n 项和公式即可得出．本题考查了递推式的应用、等差数列的通项公式及其前n 项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15. 解：在数列 { a n}中，由，可知数列是公差为 2 的等差数列，又a1=1，∴a n=1+2（n-1） =2n-1；由，可知数列是公比为 2 的等比数列，又a1=1，∴．故答案为： 2n-1；2n-1．由已知递推式a n-a n-1=2，可得数列是公差为 2 的等差数列，由，可知数列是公比为 2 的等比数列，然后分别由等差数列和等比数列的通项公式得答案．本题考查数列递推式，考查了等差数列和等比数列的通项公式，是基础题．16.解：由题意， a n+1-a n= - ，利用叠加法可得 a n-a1=1- = ，∵a1=-1，∴a n=- ，故答案为 - ．由题意， a n+1-a n= - ，利用叠加法可得结论．本题考查数列的通项，考查叠加法的运用，属于基础题．17. 解：数列 { a n} 满足 a1=5，- =5（n∈N+），可知数列 { } 是等差数列，首项为，公差为：5．可得 = +5（n-1），解得 a n═．故答案为：．判断数列 { } 是等差数列，然后求解即可．本题考查数列的递推关系式的应用，通项公式的求法，考查计算能力．18.解：等差数列 { a n} 中，a1+a4+a7=33，a3+a6+a9=21，∴3a4=33，3a6=21；∴a4=11，a6=7；数列 { a n} 前 9 项的和：．故答案为： 81．根据等差数列项的性质与前n 项和公式，进行解答即可．本题考查了等差数列项的性质与前n 项和公式的应用问题，是基础题目．19.（1）根据数列的递推公式可得数列 { a n} 为等比数列，公比为，首项为，即可求出通项公式，（2）根据对数的运算性质可得 b n=n，再根据裂项求和即可求出答案本题考查了数列的递推公式和裂项求和，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．20.（1）直接利用等差数列的通项公式求公差；（2）写出等差数列的前 n 项和，利用二次函数的知识求最值；（3）由 S n＞0，且 n∈N*列不等式求解 n 的值．本题考查了等差数列的通项公式和前 n 项和公式，考查了数列的函数特性，是基础的运算题．21.（Ⅰ）直接利用递推关系式求出数列的通项公式．（Ⅱ）利用数列的通项公式，直接利用等比数列的前n 项和公式求出结果．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法，等比数列前n 项和的公式的应用．22. （1）由，可得{ a n}的前7项成等比数列，从第8 起数列的项均为0，从而利用分段函数的形式写出数列{a n} 的通项公式即可；（2）对 a1进行分类讨论：若 a1=4k（k∈Z）时；若 a1=4k+1（k∈Z）时；若 a1=4k+2（k∈Z）时；若 a1=4k+3（k∈Z）时，结合等差数列的性质即可求出 a1的值；（3）由（m≥3），可得 a2，a3，a4．若，则a k是奇数，可得当 3≤n≤m+1 时，成立，又当 n≤m 时，a n＞0；当 n≥m+1 时，a n=0．故对于给定的 m，S n的最大值为 2m+1-m-5，即可证出结论．本小题主要考查等差数列的性质、等比数列的性质、数列与函数的综合等基本知识，考查分析问题、解决问题的能力．。
等差数列综合练习题doc
一、等差数列选择题1．在数列{}n a 中，129a =-，()*13n n a a n +=+∈N ，则1220a a a +++=（ ）A ．10B ．145C ．300D ．3202．已知各项不为0的等差数列{}n a 满足26780a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且77b a =，则3810b b b =（ )A ．1B ．8C ．4D ．23．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，15a =，且满足122527n na a n n +-=--，若p ，*q ∈N ，p q >，则p q S S -的最小值为（ ）A ．6-B ．2-C ．1-D ．04．在等差数列{}n a 中，3914a a +=，23a =，则10a =（ ） A ．11B ．10C ．6D ．35．已知数列{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，若454a a +=，则8S =（ ） A ．16 B ．-16 C ．4D ．-46．为了参加学校的长跑比赛，省锡中高二年级小李同学制定了一个为期15天的训练计划.已知后一天的跑步距离都是在前一天的基础上增加相同距离.若小李同学前三天共跑了3600米，最后三天共跑了10800米，则这15天小李同学总共跑的路程为（ ）A ．34000米B ．36000米C ．38000米D ．40000米7．等差数列{}n a 中，12318192024,78a a a a a a ++=-++=，则此数列的前20项和等于（ ） A ．160B ．180C ．200D ．2208．已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列，且1109a a a +=，则12910a a a a ++⋅⋅⋅+=（ ） A ．278B ．52C ．3D ．49．题目文件丢失！10．若两个等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，且3221n n S n T n +=+，则1215a b =（ ） A ．32B ．7059C ．7159D ．8511．在等差数列{}n a 中，520164a a +=，S ，是数列{}n a 的前n 项和，则S 2020=（ ） A ．2019B ．4040C ．2020D ．403812．设等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项和分别是n S 、n T .若237n n S n T n =+，则63a b 的值为（ ） A ．511B ．38C ．1D ．213．在等差数列{a n }中，已知a 5=3，a 9=6，则a 13=（ ） A ．9B ．12C ．15D ．18 14．设等差数列{}n a 的公差d ≠0，前n 项和为n S ，若425S a =，则99S a =（ ） A ．9B ．5C ．1D ．5915．设等差数列{}n a 的前n 和为n S ，若()*111,m m a a a m m N +-<<->∈，则必有（ ）A ．0m S <且10m S +>B ．0m S >且10m S +>C ．0m S <且10m S +<D ．0m S >且10m S +<16．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若542S S =，248a a +=，则5a 等于（ ） A ．6B ．7C ．8D ．1017．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且310179a a a ++=，则19S =（ ） A ．51B ．57C ．54D ．7218．已知等差数列{}n a 中，7916+=a a ，41a =，则12a 的值是（ ） A ．15B ．30C ．3D ．6419．在1与25之间插入五个数，使其组成等差数列，则这五个数为（ ）A ．3、8、13、18、23B ．4、8、12、16、20C ．5、9、13、17、21D ．6、10、14、18、2220．已知等差数列{}n a 中，前n 项和215n S n n =-，则使n S 有最小值的n 是（ ）A ．7B ．8C ．7或8D ．9二、多选题21．已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，前n 项和为n S ，若612S S =，则下列结论中正确的有（ ） A ．1:17:2a d =-B ．180S =C ．当0d >时，6140a a +>D ．当0d <时，614a a >22．黄金螺旋线又名等角螺线，是自然界最美的鬼斧神工．在一个黄金矩形（宽长比约等于0.618）里先以宽为边长做正方形，然后在剩下小的矩形里以其宽为边长做正方形，如此循环下去，再在每个正方形里画出一段四分之一圆弧，最后顺次连接，就可得到一条“黄金螺旋线”．达·芬奇的《蒙娜丽莎》，希腊雅典卫城的帕特农神庙等都符合这个曲线．现将每一段黄金螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形半径设为a n (n ∈N *)，数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋a n －2 (n ≥3)．再将扇形面积设为b n (n ∈N *)，则（ ）A ．4(b 2020－b 2019)＝πa 2018·a 2021B ．a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2019＝a 2021－1C ．a 12＋a 22＋a 32…＋(a 2020)2＝2a 2019·a 2021D ．a 2019·a 2021－(a 2020)2＋a 2018·a 2020－(a 2019)2＝023．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．若30S =，46a =，则（ ） A ．23n S n n =- B ．2392-=n n nSC ．36n a n =-D ．2n a n =24．已知递减的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，57S S =，则（ ） A ．60a > B ．6S 最大 C ．130S >D ．110S >25．意大利人斐波那契于1202年从兔子繁殖问题中发现了这样的一列数：1,1,2,3,5,8,13,….即从第三项开始，每一项都是它前两项的和.后人为了纪念他，就把这列数称为斐波那契数列.下面关于斐波那契数列{}n a 说法正确的是（ ） A ．1055a = B ．2020a 是偶数C ．2020201820223a a a =+D ．123a a a +++…20202022a a +=26．等差数列{}n a 的前n 项和记为n S ，若10a >，717S S =，则（ ） A ．0d < B ．120a > C ．13n S S ≤D ．当且仅当0nS <时，26n ≥27．（多选题）在数列{}n a 中，若221n n a a p --=，（2n ≥，*n N ∈，p 为常数），则称{}n a 为“等方差数列”．下列对“等方差数列”的判断正确的是（ ）A ．若{}n a 是等差数列，则{}2n a 是等方差数列B ．(){}1n-是等方差数列C ．若{}n a 是等方差数列，则{}kn a （*k N ∈，k 为常数）也是等方差数列D ．若{}n a 既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列28．设{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项和，且56678,S S S S S <=>，则下列结论正确的是（ ） A ．0d < B ．70a =C ．95S S >D ．67n S S S 与均为的最大值29．已知数列{}n a 满足：13a =，当2n ≥时，)211n a =-，则关于数列{}n a 说法正确的是（ ）A ．28a =B ．数列{}n a 为递增数列C ．数列{}n a 为周期数列D ．22n a n n =+30．已知{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，且13623a a S +=，则以下结论正确的是（ ）. A ．10a =0B ．10S 最小C ．712S S =D ．190S =【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、等差数列选择题 1．C 【分析】由等差数列的性质可得332n a n =-，结合分组求和法即可得解。
2020新课标高考数学典型习题专项训练：等差数列与等比数列
等差数列与等比数列一、选择题1．(2019·福州市质量检测)已知数列{a n }中，a 3＝2，a 7＝1.若数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 为等差数列，则a 9＝( )A ．12B ．54C ．45D ．－45解析：选C.因为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 为等差数列，a 3＝2，a 7＝1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的公差d ＝1a 7－1a 37－3＝1－127－3＝18，所以1a 9＝1a 7＋(9－7)×18＝54，所以a 9＝45，故选C.2．(一题多解)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝2，S 3＝－6，则S 5＝( ) A ．18 B ．10 C ．－14D ．－22解析：选 D.法一：设等比数列{a n }的公比为q ，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q ＝2a 1＋a 1q ＋a 1q 2＝－6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2q ＝－2，所以S 5＝－2×[1－（－2）5]1－（－2）＝－22，故选D.法二：设等比数列{a n }的公比为q ，易知q ≠1，令A ＝a 1q －1，则S n ＝Aq n －A ，⎩⎪⎨⎪⎧S 2＝Aq 2－A ＝2S 3＝Aq 3－A ＝－6，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝23q ＝－2，所以S n ＝23[(－2)n －1]，所以S 5＝23×[(－2)5－1]＝－22，故选D.3．已知数列{a n }是等比数列，数列{b n }是等差数列，若a 1·a 6·a 11＝－33，b 1＋b 6＋b 11＝7π，则tanb 3＋b 91－a 4·a 8的值是 ( )A ．－ 3B ．－1C ．－33D ． 3解析：选A.依题意得，a 36＝(－3)3，3b 6＝7π，所以a 6＝－3，b 6＝7π3，所以b 3＋b 91－a 4·a 8＝2b 61－a 26＝－7π3，故tan b 3＋b 91－a 4·a 8＝tan ⎝⎛⎭⎫－7π3＝tan ⎝⎛⎭⎫－2π－π3＝－tan π3＝－3，故选A.4．(一题多解)(2019·合肥市第一次质量检测)已知正项等差数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)，a 5＋a 7－a 26＝0，则S 11的值为( )A ．11B ．12C ．20D ．22解析：选 D.通解：设等差数列{a n }的公差为d (d >0)，则由(a 1＋4d )＋(a 1＋6d )－(a 1＋5d )2＝0，得(a 1＋5d )(a 1＋5d －2)＝0，所以a 1＋5d ＝0或a 1＋5d ＝2，又a 1>0，所以a 1＋5d >0，则a 1＋5d ＝2，则S 11＝11a 1＋11×102d ＝11(a 1＋5d )＝11×2＝22，故选D.优解：因为{a n }为正项等差数列，所以由等差数列的性质，并结合a 5＋a 7－a 26＝0，得2a 6－a 26＝0，a 6＝2，则S 11＝11（a 1＋a 11）2＝11×2a 62＝11a 6＝22，故选D. 5．等差数列{a n }中，已知|a 6|＝|a 11|，且公差d >0，则其前n 项和取最小值时n 的值为( ) A ．6 B ．7 C ．8D ．9解析：选C.由d >0可得等差数列{a n }是递增数列，又|a 6|＝|a 11|，所以－a 6＝a 11，即－a 1－5d ＝a 1＋10d ，所以a 1＝－15d 2，则a 8＝－d 2<0，a 9＝d2>0，所以前8项和为前n 项和的最小值，故选C.6．(多选)已知数列{a n }是等比数列，则下列命题正确的是( ) A ．数列{|a n |}是等比数列 B ．数列{a n a n ＋1}是等比数列C ．数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等比数列D ．数列{lg a 2n}是等比数列 解析：选ABC.因为数列{a n }是等比数列，所以a n ＋1a n ＝q .对于A ，|a n ＋1||a n |＝⎪⎪⎪⎪a n ＋1a n ＝|q |，所以数列{|a n |}是等比数列，A 正确；对于B ，a n ＋1a n ＋2a n a n ＋1＝q 2，所以数列{a n a n ＋1}是等比数列，B 正确；对于C ，1a n ＋11a n ＝a n a n ＋1＝1q ，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等比数列，C 正确；对于D ，lg a 2n ＋1lg a 2n ＝2lg a n ＋12lg a n ＝lg a n ＋1lg a n ，不一定是常数，所以D 错误．二、填空题7．(2019·贵阳市第一学期监测)已知数列{a n }中，a 1＝3，a 2＝7.当n ∈N *时，a n ＋2是乘积a n ·a n ＋1的个位数，则a 2 019＝________．解析：a 1＝3，a 2＝7，a 1a 2＝21，a 3＝1，a 2a 3＝7，a 4＝7，a 3a 4＝7，a 5＝7，a 4a 5＝49，a 6＝9，a 5a 6＝63，a 7＝3，a 6a 7＝27，a 8＝7，a 7a 8＝21，a 9＝1，a 8a 9＝7，所以数列{a n }是周期为6的数列，又2 019＝6×336＋3，所以a 2 019＝a 3＝1.答案：18．在数列{a n }中，n ∈N *，若a n ＋2－a n ＋1a n ＋1－a n＝k (k 为常数)，则称{a n }为“等差比数列”，下列是对“等差比数列”的判断：①k 不可能为0；②等差数列一定是“等差比数列”； ③等比数列一定是“等差比数列”； ④“等差比数列”中可以有无数项为0. 其中所有正确判断的序号是________．解析：由等差比数列的定义可知，k 不为0，所以①正确，当等差数列的公差为0，即等差数列为常数列时，等差数列不是等差比数列，所以②错误；当{a n }是等比数列，且公比q ＝1时，{a n }不是等差比数列，所以③错误；数列0，1，0，1，…是等差比数列，该数列中有无数多个0，所以④正确．答案：①④9．(2019·洛阳尖子生第二次联考)已知函数f (x )＝e x －1e x ＋1，g (x )＝f (x －1)＋1，则g (x )的图象关于________对称，若a n ＝g ⎝⎛⎭⎫1n ＋g ⎝⎛⎭⎫2n ＋g ⎝⎛⎭⎫3n ＋…＋g ⎝⎛⎭⎫2n －1n (n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为________．解析：因为f (x )＝e x －1e x ＋1，所以f (－x )＝e －x －1e －x ＋1＝1－e xe x ＋1＝－f (x )，所以函数f (x )为奇函数．因为g (x )＝f (x －1)＋1，所以g (x )的图象关于点(1，1)对称，若x 1＋x 2＝2，则有g (x 1)＋g (x 2)＝2，所以a n ＝g ⎝⎛⎭⎫1n ＋g ⎝⎛⎭⎫2n ＋g ⎝⎛⎭⎫3n ＋…＋g ⎝⎛⎭⎫2n －1n ＝2(n －1)＋g (1)＝2n －2＋f (0)＋1＝2n －1，即a n ＝2n －1，故数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1.答案：(1，1) a n ＝2n －1三、解答题10．(2019·昆明市诊断测试)已知数列{a n }是等比数列，公比q <1，若a 2＝2，a 1＋a 2＋a 3＝7.(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 2a n ，求数列{b n }的前n 项和．解：(1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＝2a 1＋a 1q ＋a 1q 2＝7，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4q ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1q ＝2(舍去)．所以a n ＝4×⎝⎛⎭⎫12n －1＝23－n .(2)因为b n ＝log 2a n ＝log 223－n ＝3－n ，所以数列{b n }是首项为2，公差为－1的等差数列． 设数列{b n }的前n 项和为T n ， 则T n ＝n （2＋3－n ）2＝n （5－n ）2.11．(2019·武汉调研)已知等差数列{a n }前三项的和为－9，前三项的积为－15. (1)求等差数列{a n }的通项公式；(2)若{a n }为递增数列，求数列{|a n |}的前n 项和S n .解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，则依题意得a 2＝－3，则a 1＝－3－d ，a 3＝－3＋d ， 所以(－3－d )(－3)(－3＋d )＝－15，得d 2＝4，d ＝±2， 所以a n ＝－2n ＋1或a n ＝2n －7.(2)由题意得a n ＝2n －7，所以|a n |＝⎩⎪⎨⎪⎧7－2n ，n ≤32n －7，n ≥4，①n ≤3时，S n ＝－(a 1＋a 2＋…＋a n )＝5＋（7－2n ）2n ＝6n －n 2；②n ≥4时，S n ＝－a 1－a 2－a 3＋a 4＋…＋a n ＝－2(a 1＋a 2＋a 3)＋(a 1＋a 2＋…＋a n )＝18－6n ＋n 2.综上，数列{|a n |}的前n 项和S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－n 2＋6n ，n ≤3n 2－6n ＋18，n ≥4.12．(2019·湖北仙桃、天门、潜江期末)已知数列{a n }满足a 1＝2，(n ＋2)a n ＝(n ＋1)a n ＋1－2(n 2＋3n ＋2)，设b n ＝a nn ＋1.(1)求b 1，b 2，b 3；(2)判断数列{b n }是否为等差数列，并说明理由； (3)求数列{a n }的通项公式．解：(1)因为数列{a n }满足(n ＋2)a n ＝(n ＋1)a n ＋1－2(n 2＋3n ＋2)，所以将n ＝1代入得3a 1＝2a 2－12.又a 1＝2，所以a 2＝9.将n ＝2代入得4a 2＝3a 3－24，所以a 3＝20.从而b 1＝1，b 2＝3，b 3＝5.(2)数列{b n }是以1为首项，2为公差的等差数列．理由如下： 将(n ＋2)a n ＝(n ＋1)a n ＋1－2(n 2＋3n ＋2)两边同时除以(n ＋1)(n ＋2)可得（n ＋2）a n （n ＋1）（n ＋2）＝（n ＋1）a n ＋1－2（n 2＋3n ＋2）（n ＋1）（n ＋2），化简可得a n ＋1n ＋2－a n n ＋1＝2，即b n ＋1－b n ＝2，所以数列{b n }是以1为首项，2为公差的等差数列． (3)由(2)可得b n ＝1＋2(n －1)＝2n －1， 所以a n ＝(n ＋1)b n ＝(n ＋1)·(2n －1)＝2n 2＋n －1.。
高二数学数列专题练习题(含答案)
高中数学《数列》专题练习1．n S 与n a 的关系：11(1)(1)n n n S n a S S n -=⎧⎪=⎨->⎪⎩ ，已知n S 求n a ，应分1=n 时1a = ；2≥n 时，n a = 两步，最后考虑1a 是否满足后面的n a .2.等差等比数列数列通项公式求法。
（）定义法（利用等差、等比数列的定义）；（）累加法（3）累乘法（n n n c a a =+1型）；(4)利用公式11(1)(1)n n n S n a S S n -=⎧⎪=⎨->⎪⎩；(5)构造法（b ka a n n +=+1型）(6) 倒数法 等4.数列求和（1）公式法；（2）分组求和法；（3）错位相减法；（4）裂项求和法；（5）倒序相加法。
5. n S 的最值问题：在等差数列{}n a 中,有关n S 的最值问题——常用邻项变号法求解：(1)当0,01<>d a 时，满足⎩⎨⎧≤≥+001m ma a的项数m 使得m S 取最大值. (2)当 0,01><d a 时，满足⎩⎨⎧≥≤+001m m a a 的项数m 使得m S 取最小值。
也可以直接表示n S ，利用二次函数配方求最值。
在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。
6.数列的实际应用现实生活中涉及到银行利率、企业股金、产品利润、人口增长、工作效率、图形面积、等实际问题，常考虑用数列的知识来解决.训练题一、选择题1.已知等差数列{}n a 的前三项依次为1a -、1a +、23a +，则2011是这个数列的 (B )A.第1006项B.第1007项C. 第1008项D. 第1009项2.在等比数列}{n a 中，485756=-=+a a a a ，则10S 等于 （A ） A ．1023 B ．1024 C ．511 D ．5123.若{a n }为等差数列，且a 7－2a 4＝－1，a 3＝0，则公差d ＝( )A ．－2B ．－12 C.12 D ．2答案 B解析 由等差中项的定义结合已知条件可知2a 4＝a 5＋a 3，∴2d ＝a 7－a 5＝－1，即d ＝－12.故选B.4.已知等差数列{a n }的公差为正数，且a 3·a 7=－12,a 4+a 6=－4,则S 20为( A )A.180B.－180C.90D.－905．已知{}n a 为等差数列,若π=++951a a a ,则28cos()a a +的值为（ A ） A ．21-B ．23-C ．21D ．236．在等比数列{a n }中，若a 3a 5a 7a 9a 11＝243，则a 29a 11的值为( )A ．9B ．1C ．2D ．3答案 D解析 由等比数列性质可知a 3a 5a 7a 9a 11＝a 57＝243，所以得a 7＝3，又a 29a 11＝a 7a 11a 11＝a 7，故选D.7．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＋a 5＝12S 5，且a 9＝20，则S 11＝( )A ．260B ．220C ．130D ．110答案 D解析 ∵S 5＝a 1＋a 52×5，又∵12S 5＝a 1＋a 5，∴a 1＋a 5＝0.∴a 3＝0，∴S 11＝a 1＋a 112×11＝a 3＋a 92×11＝0＋202×11＝110，故选D. 8．各项均不为零的等差数列{a n }中，若a 2n －a n －1－a n ＋1＝0(n ∈N *，n ≥2)，则S 2 009等于A ．0B ．2C ．2 009D ．4 018答案 D解析 各项均不为零的等差数列{a n }，由于a 2n －a n －1－a n ＋1＝0(n ∈N *，n ≥2)，则a 2n －2a n ＝0，a n ＝2，S 2 009＝4 018，故选D.9．数列{a n }是等比数列且a n >0，a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝25，那么a 3＋a 5的值等于A ．5B ．10C ．15D ．20答案 A解析 由于a 2a 4＝a 23，a 4a 6＝a 25，所以a 2·a 4＋2a 3·a 5＋a 4·a 6＝a 23＋2a 3a 5＋a 25＝(a 3＋a 5)2＝25.所以a 3＋a 5＝±5.又a n >0，所以a 3＋a 5＝5.所以选A. 10．首项为1，公差不为0的等差数列{a n }中，a 3，a 4，a 6是一个等比数列的前三项，则这个等比数列的第四项是( )A ．8B ．－8C ．－6D ．不确定答案 B解析 a 24＝a 3·a 6⇒(1＋3d )2＝(1＋2d )·(1＋5d ) ⇒d (d ＋1)＝0⇒d ＝－1，∴a 3＝－1，a 4＝－2，∴q ＝2. ∴a 6＝a 4·q ＝－4，第四项为a 6·q ＝－8.11.在△ABC 中，tan A 是以-4为第三项，4为第七项的等差数列的公差，tan B 是以31为第三项，9为第六项的等比数列的公比，则这个三角形是(B )A.钝角三角形B.锐角三角形C.等腰三角形D.非等腰的直角三角形12.记等差数列{}n a 的前项和为n s ，若103s s =，且公差不为0，则当n s 取最大值时，=n （ ）CA ．4或5B ．5或6C ．6或7D ．7或813.在等差数列{a n }中，前n 项和为S n ，且S 2 011＝－2 011，a 1 007＝3，则S 2 012的值为A ．1 006B ．－2 012C ．2 012D ．－1 006答案 C解析 方法一 设等差数列的首项为a 1，公差为d ，根据题意可得， ⎩⎪⎨⎪⎧S 2 011＝2 011a 1＋2 011× 2 011－1 2d ＝－2 011，a 1 007＝a 1＋1 006d ＝3，即⎩⎨⎧ a 1＋1 005d ＝－1，a 1＋1 006d ＝3，解得⎩⎨⎧a 1＝－4 021，d ＝4.所以，S 2 012＝2 012a 1＋2 012× 2 012－1 2d ＝2 012×(－4 021)＋2 012×2 011×2 ＝2 012×(4 022－4 021)＝2012. 方法二 由S 2 011＝2 011 a 1＋a 2 011 2 ＝2 011a 1 006＝－2 011， 解得a 1 006＝－1，则S 2 012＝2 012 a 1＋a 2 012 2＝2 012 a 1 006＋a 1 0072＝2 012× －1＋3 2＝2 012. 14．设函数f (x )满足f (n ＋1)＝2f n ＋n 2(n ∈N *)，且f (1)＝2，则f (20)＝( ) A ．95 B ．97 C ．105 D ．192答案 B解析 f (n ＋1)＝f (n )＋n 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧f 20 ＝f 19 ＋192，f 19 ＝f 18 ＋182，……f 2 ＝f 1 ＋12.累加，得f (20)＝f (1)＋(12＋22＋…＋192)＝f (1)＋19×204＝97.15.已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足1)1log 2+=+n S n （，则通项公式为（B ） A.)(2*N n a n n ∈= B. ⎩⎨⎧≥==)2(2)1(3n n a nn C. )(2*1N n a n n ∈=+ D. 以上都不正确16.一种细胞每3分钟分裂一次，一个分裂成两个，如果把一个这种细胞放入某个容器内，恰好一小时充满该容器，如果开始把2个这种细胞放入该容器内，则细胞充满该容器的时间为 （ D ）A ．15分钟B ．30分钟C ．45分钟D ．57分钟 二、填空题17.等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2=1,a 3=3,则S 4= 8. 18.记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1=21，S 4=20，则S 6= . 48 19.在等比数列{}n a 中，11a =，公比2q =，若64n a =，则n 的值为 ．7 20.设等比数列{a n }的公比q=2,前n 项和为S n ,则24a S = .21512．数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，若S n T n ＝2n 3n ＋1，则a 100b 100＝________. 答案 199299解析 a 100b 100＝a 1＋a 1992b 1＋b 1992＝S 199T 199＝199299.21.数列{}n a 的前n 项和记为()11,1,211n n n S a a S n +==+≥则{}n a 的通项公式 解：（Ⅰ）由121n n a S +=+可得()1212n n a S n -=+≥，两式相减得()112,32n n n n n a a a a a n ++-==≥又21213a S =+= ∴213a a = 故{}n a 是首项为1，公比为3得等比数列 ∴13n n a -=22.已知各项都为正数的等比数列{a n }中，a 2·a 4＝4，a 1＋a 2＋a 3＝14，则满足a n ·a n ＋1·a n ＋2>19的最大正整数n 的值为________．答案 4解析 设等比数列{a n }的公比为q ，其中q >0，依题意得a 23＝a 2·a 4＝4.又a 3>0，因此a 3＝a 1q 2＝2，a 1＋a 2＝a 1＋a 1q ＝12，由此解得q ＝12，a 1＝8，a n ＝8×(12)n －1＝24－n ，a n ·a n ＋1·a n ＋2＝29－3n.由于2－3＝18>19，因此要使29－3n>19，只要9－3n ≥－3，即n ≤4，于是满足a n ·a n ＋1·a n ＋2>19的最大正整数n 的值为4. 23.等比数列{a n }的首项为a 1＝1，前n 项和为S n ，若S 10S 5＝3132，则公比q 等于________．答案 －12解析 因为S 10S 5＝3132，所以S 10－S 5S 5＝31－3232＝－132，即q 5＝(－12)5，所以q ＝－12.三、解答题24.（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=，{}n a 的前n 项和为n S ． （Ⅰ）求n a 及n S ； （Ⅱ）令b n =211n a -(n ∈N *)，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 1【解析】（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为37a =，5726a a +=，所以有112721026a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得13,2a d ==， 所以321)=2n+1n a n =+-（；n S =n(n-1)3n+22⨯=2n +2n 。
等差、等比数列习题精选精讲
等差数列及等比数列的“遗传”与“变异”１．遗传若数列{}n a 是公差为d 的等差数列，则由此构造出的以下数列是等差数列．如： （１）{}n a 去掉前面几项后余下项组成的仍为公差为d的等差数列．（２）所有的奇数项组成的是公差为d 2的等差数列； 所有的偶数项组成的是公差为d 2的等差数列；形如{}k n a +（其中k 是常数，且N k ∈）的数列都是等差数列．由此可得到的一般性结论是：凡是项的序号成等差数列（公差为k ）的项依次组成的数列一定是等差数列，公差为kd ． （３）数列{}n a c ⋅（其中c 是任一个常数）是公差为cd 的等差数列． （４） 数列{}c a n +（其中c 是任一个常数）是公差为d 的等差数列．（５）数列{}k n n a a ++（其中k 是常数，且N k ∈）是公差为d k )1(+的等差数列．（６）若{}n b 是公差为1d 等差数列，且q p ,为常数，则数列{}n n b q a p ⋅+⋅一定是公差为1qd pd +的等差数列．（７）等差数列{}n a 中，任意连续k 项的和是它前面连续k 项的和与它后面连续k 项的和的等差中项，也就是说这些连续k 项的和也构成一个等差数列．若{}n a 是公比为q 的等比数列，则由此构造出的以下数列是等比数列．如： （１）{}n a 去掉前面几项后余下项组成的仍是公比为q 的等比数列．（２）项的序号成等差数列（公差为k ）的项依次取出并组成的数列一定是等比数列，公比为kq ． （３）数列{}na 是公比为q的等比数列．（４）数列{}n a c ⋅（c 是任一常数且0≠c ）是等比数列，公比仍为q ． （５）{}mna （m 是常数，且K m ∈）是公比为mq的等比数列．特殊地：若数列{}n a 是正项等比数列时，且m 是任一个实常数，则数列{}mna 是公比为mq的等比数列．（６）{}k n n a a +⋅（其中k 是常数，且N k ∈）是公比为1+k q 的等比数列．（７）若{}n b 是公比为1q 的等比数列，，则{}n n b a ⋅是公比为1q q ⋅的等比数列．（８）等比数列{}n a 中，若任意连续k 项的和不为0，则任意连续k 项的和是它前面连续k 项的和与它后面连续k 项的和的等比中项，也就是说这些连续k 项的和也构成一个等比数列． ２．变异若数列{}n a ，{}n b 均为不是常数列的等差数列时，则有： （１） 当数列{}n a 中的项不同号时，则数列{}n a 一定不是等差数列．（２） 数列{}k n n a a +⋅不是等差数列 （３） {}mna （m 是常数，且K m ∈，1≠m ，0≠na）不是等差数列．（４） 数列{}n n b a ⋅不是等差数列．若数列{}n a 为不是常数列的等比数列时，则有：（１） 数列{}c a n +（其中c 是任一个不为０的常数，）不是等比数列．（２） 数列{}1++n n a a 不一定是等比数列．如nn a )1(-=时，则01=++n n a a ，所以{}1++n n a a 不是等比数列．（３） 数列{}n n b a +不一定是等比数列．３．突变（１） 若数列{}n a 是公差为d 的等差数列，则{}na c（其中c 是正常数）一定是公比为dc的等比数列．（２） 若{}n a 是公比为q 的正项等比数列，则{}n ca log （其中c 是不等于１的正常数）是公差为q clog的等差数列．数列易错题分析例题选讲1、不能正确地运用通项与前n 项和之间的关系解题：例1、已知数列{a n }的前n 项和S n ，求通项公式a n ：（1）S n ＝5n 2＋3n ；（2）S n ＝n3－2； 【错解】由公式a n =s n －s n －1得：（1）a n =10n －2; （2）123n n a -=⋅【分析】应该先求出a 1，再利用公式a n =s n －s n －1()2n ≥求解. 【正解】（1）a n =10n －2; （2）11 (1)23(2)n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩2、忽视等比数列的前n 项和公式的使用条件：例2、求和：(a －1)＋(a 2－2)＋(a 3－3)＋…＋(a n －n ) . 【错解】S =(a ＋(a 2＋a 3＋…＋a n) －(1＋2＋3＋…＋n )=(1)(1)12na a n n a-+--.【分析】利用等比数列前n 项和公式时，要注意公比q 的取值不能为1. 【正解】S =(a ＋(a 2＋a 3＋…＋a n ) －(1＋2＋3＋…＋n )当a =1时，S =22n n -；当1a ≠时，S =(1)(1)12na a n n a-+--3、 忽视公比的符号例3、已知一个等比数列{}n a 前四项之积为116，求这个等比数列的公比． 【错解】 四个数成等比数列，可设其分别为33,,,,aaaq aq q q则有4116a aq q=⎪⎨⎪+=⎪⎩1q =±或1q =，故原数列的公比为23q =+23q =-【分析】按上述设法，等比数列{}n a 的公比是2q ，是正数，四项中各项一定同号，而原题中无此条件，所以增加了限制条件。
等差数列与等比数列
专题三
数
列
(2)因为 T3＝b1(1＋q＋q2)，所以 1＋q＋q2＝13， 解得 q＝3 或 q＝－4， 由 a2＋b2＝3 得 d＝4－q，所以 d＝1 或 d＝8. 1 1 2 3 由 Sn＝na1＋ n(n－1)d，得 Sn＝ n － n 或 Sn＝4n2－5n. 2 2 2
栏目 导引
专题三
7π b3＋b9 b3＋b9 7π 2b6 7π ＝ ， ＝ ，故 tan ＝tan－ 3 ＝ 2＝－ 3 1－a4·a8 1－a6 3 1－a4·a8 π π － 2π － tan 3 ＝－tan3＝－
3，故选 A．
栏目 导引
专题三
数
列
2．(2018· 湖北省五校联考)已知数列{an}满足：an＋1＝an－an－1 (n≥2，n∈N*)，a1＝1，a2＝2，Sn 为数列{an}的前 n 项和，则 S2 018＝( A．3 C．1 ) B．2 D．0
栏目 导引
专题三
数
列
等差(比)数列基本运算的解题思路 (1)设基本量 a1 和公差 d(公比 q)． (2)列、解方程组：把条件转化为关于 a1 和 d(q)的方程(组)，然 后求解，注意整体计算，以减少运算量．
栏目 导引
专题三
数
列
[对点训练] 1．(2017· 高考全国卷Ⅰ)记 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和．若 a4 ＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为( A．1 C．4 B．2 D．8 )
a3 a2＋a3＝a2＋3a1，所以 ＝q2＝2.因为 a2a5a8＝a3 5＝－8，所以 a5 a1 1 ＝－2，即 a1q ＝－2，所以 4a1＝－2，所以 a1＝－ ，故选 B． 2
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等差、等比数列综合习题
一、选择题
1、数列16
14,813,412
,211…前n 项的和为（ ） A 、2212n n n ++ B 、12122+-+n n n C 、n n n 2122-+ D 、12
12)1(+--n n n 2、三个不同实数c b a ,,成等差数列，b c a ,,又成等比数列，则=b
a （ ） A 、47 B 、4 C 、-4 D 、2 3、在等差数列}{n a 中，已知30201561=+++a a a a ，则数列的前20项和S 20=（ ）
A 、100
B 、120
C 、140
D 、150
4、已知数列}{n a 的601-=a ，31-=-n n a a ，那么++||||21a a …||30a +=（ ）
A 、-495
B 、765
C 、1080
D 、3105
5、某企业的生产总值月平均增长率为p%，则年平均增长率为（ ）
A 、12p%
B 、12%)1(p +
C 、1%)1(11
-+p D 、1%)1(12-+p
6、设n S 是等差数列}{n a 的前n 项和，已知331S 与441S 的等比中项为3531,51S S 与44
1S 的等差中项为1，求通项n a 。
7、设有数列,,21a a …n a …又若23121,,a a a a a --…1--n n a a 是首项为1，公比为
31的等比数列。
（1）求n a （2）求++21a a …n a +
8、在等比数列}{n a 中，已知27
21154321=
++++a a a a a ，482111111154321=++++a a a a a ，求3a 。
9、已知两个数列}{n a ，}{n b 满足关系式)(3212121*∈+⋯++++⋯++=N n n na a a b n n ，若}{n b 是等差数列，求证}{n a 也是等差数列。
10、已知数列}{n c 其中n n n c 32+=且数列}{1n n pc c -+为等比数列。
（1）求常数p
（2）设}{n a ，}{n b 是公比不相等的两个等比数列。
n n n b a c +=证明数列}{n c 不是等比数列。