9.4复合函数求导法则

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9.4复合函数求导法则

所以
例1 . z eu sin v, u x y, v x y, 求 z , z . x y
例6
由方程 f,F均具有一阶连续偏导数. 证明: 证:
确定,
两边求微分得，
两边求微分得，并解出
⑴
(2)
内容小结
1. 复合函数求导的链式法则
“连线相乘, 分线相加, 单路求导, 叉路偏导” 例如, u
2) 中间变量是多元函数的情形.例如,
z f
u v w
t t t
z f (u, v) , u ( x, y) , v ( x, y)
z z u z v f11 f 2 1 x u x v x z z u z v f1 2 f 2 2 y u y v y
二、多元复合函数的全微分
设函数都可微, 则复合函数 z f ( ( x, y ) , ( x, y ) ) 的全微分为 z z dz dx d y x y z u z v ( )dy u y v y u u v v ( dx d y ) ( dx d y ) x y x y
2
x2 y2 z 2
2 x sin y
u f ( x, y , z )
2 x (1 2 x sin y ) e
2
x 2 y 2 x 4 sin 2 y
x y z
u f f z y y z y
x
y
x 2 y 2 x 4 sin 2 y
t
注意：1.非抽象复合函数的求导,可先带入中间变量再求导.
2.多元抽象复合函数求导, 必须用锁链法则。

[理学]9-4多元复合函数求导法则

f2(u, v)
f2,
表示 f 对第二个变量的偏导数.
等等.
其他情况
“连线相乘，分线相加”
u (x, y) z f (u,v, w) v (x, y)
三元套两元
w (x, y)
z f ((x, y), (x, y),(x, y)) z(x, y)
z z u z v z w x u x v x w x z z u z v z w y u y v y w y
z f (u) u (x, y) 一元套多元 z f ((x, y)) z(x, y)
z ? x z ? y
一、链式法则定理（多元函数与一元函数的复合）
如果函数u (t) 及v (t)都在点 t 可导，
函数 z f (u,v)在对应点(u,v)具有连续偏导数，
则复合函数z f [(t), (t)] 在对应点 t 可导，
t
例2 设
而 x sint, y (t)
其中 (t)可导，求 dz .
dt
解 dz z dx z dy z
dt x dt y dt
x
y
t
z dx z dy x dt y dt
推广
1.上定理的结论可推广到
中间变量多于两个的情况: z f ((t), (t),(t))
dz z du z dv z dw dt u dt v dt w dt
x y
解: 此例与上两例有区别. 这里函数 f 的表达
式未给出, 只能用链式法则求偏导.
引进中间变量( 引进几个中间变量? ) 记 u = x2 – y2, v = xy. 从而 z = f (u, v), 由链式法则, 得
z = f (u, v), u = x2 – y2, v = xy.

复合函数的求导法则,反函数的求导法则

数学分析（上）
2 g ( x ) ln x ,求 f ( x ) x 例10 设，
f [ g( x )] f [ g( x )]
解 f ( x ) 2 x

g[ f ( x )] g[ f ( x )]

f [ g( x )] 2 ln x
2 ln x f [ g ( x )] f [ g ( x )] g ( x ) x
2
1 1 1 y 2 2x 2 x 1 3( x 2)
x 1 2 x 1 3( x 2)
数学分析（上）
例8 y x ，求 y .
x
解
y x
x

e
x ln x

e
x ln x x ln x x ln x 1 x ln x 1 e
数学分析（上）
注意到:当x 0 时, 由 u ( x ) 的连续性
lim lim 0 可得 u 0, 从而 x 0 u 0
所以,令x 0 , 便有
dy du dy f ( u) ( x ) dx du dx
f [ ( x )] f [ ( x )] ( x )
第二节 §2 复合函数的求导法则反函数的求导法则一、复合函数的求导法则定理1 (链式法则)如果 u ( x ) 在点 x 处可导，而函数 y f ( u) 在对应的点 u 处可导，则复合函数 y f ( ( x )) 在点 x 处可导，且
dy f ( u) ( x ) 或 dx
2
1 x 例5 y , 求 y . 1 x
例6 证明双曲函数的求导公式:

9.4复合函数微分法

例2 设 z eu sin v, 而 u xy, v x y,
求
z x
和
z y
.
u
x
z
v
y
解
z x
z u
u x
z v
v x
eu sin v y eu cos v 1
eu( y sin v cosv)
e xy[ y sin( x y) cos( x y)],
例2 设 z eu sin v, 而 u xy, v x y,
v
uv1,
z v
uv
ln
u,
u y
2
y,
v y
2
则
z x
6 x(4 x 2 y)(3 x2 y )2 4x2 y1
4(3 x2 y2 )4 x2 y ln( 3 x2 y2 )
例3 求 z (3 x2 y2 )4 x2 y 的偏导数.
解
z u
v
uv1,
z v
uv
ln u,
u y
2 y,
dz z du z dv dt u dt v dt
复合后的函数是一元函数 ,故所求的导数就是全导数.
证明设 t 获得增量 t，
则 u (t t ) (t ),v (t t) (t);
由于函数z f (u, v)在点(u,v)有连续偏导数
z
z u
u
z v
v
1u
2v,
当u 0，v 0时， 1 0， 2 0
求
z x
和
z y
.
解 z x
u
x
z
v
y
e xy[ y sin( x y) cos( x y)],

复合函数求导公式运算法则

复合函数求导公式运算法则1. 基本公式：如果函数y=f(u)和u=g(x)都可导，则复合函数y=f(g(x))也可导，且导数为dy/dx=f'(u)·g'(x)。

2. 对数函数：对于自然对数函数y=ln(u)，其中u是一个关于自变量x的函数，其导数为dy/dx=1/u·du/dx。

3. 幂函数：对于幂函数y=u^n，其中u是关于自变量x的函数，n是常数，则其导数为dy/dx=n·u^(n-1)·du/dx。

4. 指数函数：对于指数函数y=a^u，其中a是常数，u是关于自变量x的函数，其导数为dy/dx=a^u·ln(a)·du/dx。

5. 三角函数：对于三角函数y=f(u)，其中u是关于自变量x的函数，其导数为dy/dx=f'(u)·du/dx。

常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。

6. 反三角函数：对于反三角函数y=f(u)，其中u是关于自变量x的函数，其导数为dy/dx=1/f'(u)·du/dx。

常见的反三角函数包括反正弦函数、反余弦函数和反正切函数等。

7. 双曲函数：对于双曲函数y=f(u)，其中u是关于自变量x的函数，其导数为dy/dx=f'(u)·du/dx。

常见的双曲函数包括双曲正弦函数、双曲余弦函数和双曲正切函数等。

8. 反双曲函数：对于反双曲函数y=f(u)，其中u是关于自变量x的函数，其导数为dy/dx=1/f'(u)·du/dx。

常见的反双曲函数包括反双曲正弦函数、反双曲余弦函数和反双曲正切函数等。

下面通过实际例子来说明复合函数求导公式的运算法则。

例子1：求函数y=(2x+1)^3的导数。

解：将y看作是外层函数f(u)=u^3，其中u=2x+1、根据链式法则，导数dy/dx=f'(u)·u'(x)。

复合函数的求导法则

练习求下列函数的导数
y = e3x (A)1.
3x 3x 3x 解：y ′ = ( e ) ′ = e ( 3 x ) ′ = 3 e
y = cos( x 3 ) (A)2.
2 3 3 3 3 解：y ′ = (cos x ) ′ = − sin x ( x ) ′ = − 3 x sin x
(B)3. y = e 解： y ′ = e
2x ′ 1 所以 yx = yu ⋅ ux = ⋅ (−2x) = 2 u x −1
′
′
(A) 例3 求函数 y = cos 2 x 的导数 2 解：设 y = u 则 u = cos x
因为所以
′ ′ yu = 2u, ux = −sinx
′ ′ ′ yx = yu ⋅ ux = 2u(−sin x) = −2cosx sin x = −sin2x
′ y u = 5u 4 , u ′ = 3, x
′ x y′ = yu ⋅ u′ = 5u4 ×3 = 5(3x + 2)4 ×3 =15(3x + 2)4 所以 x
2 (B) 例2 求函数 y = ln(1 − x ) 的导数
解：设因为
y = ln u
则
u = 1− x2
′ 1 ′ yu = , u x = −2 x, u
x π (B) 例5 求 y = ln tan( + ) 的导数。的导数。 2 4
x π 解：设 y = ln u , u = tan v, v = + 2 4
由
y ′ = f ′ ( u ) ⋅ φ ′( v ) ⋅ ϕ ′( x ) 得
x π ′ = (lnu)′ ⋅ (tanv)′ ⋅ ( + )′ y 2 4

9.4 多元复合函数求导法则(新)

x
∂z 2 x = e cos y + ∂x x
∂z 1 x = −e sin y + ∂y y
18
z = f (u, v) =
u2v 2 2 , u +v ≠ 0 2 2 u +v
u =t , v =t
t 但，z = f (t, t ) = 2
dz 1 = dt 2
0,
u2 +v2 = 0
∂z du ∂z dv ≠ ∂u ⋅ dt + ∂v ⋅ dt = 0⋅1+ 0⋅1 = 0
2
常用导数符号
∂z = fv (u, v) = fv = f2′ ∂v ∂2 z ′′ = fvv (u, v) = fvv = f22 2 ∂v

称为混合偏导数
′′ ′′ ′′ ′′ 当 f12 和 f21 均连续时有 f12 = f21
3
推广: 推广设下面所涉及的函数都可微 . 1、中间变量多于两个的情形、中间变量多于两个的情形.
8
例 3.
u = f (x, y, z) = e
x2 + y2 +z2
, z = x sin y, 已知
2
∂u ∂u , . 可微，求 ∂x ∂ y
u
x y z
∂u ∂ f = 解: ∂x ∂x
x y
2 2 x2 + y2 +x4 sin 2 y
= 2 x (1+ 2 x sin y) e
∂u ∂ f ∂ f ∂z = + ⋅ ∂y ∂y ∂z ∂y
x
y x
y
5
z = eu sin v, u = xy , v = x + y , 求例2. 设

9-4-多元复合函数求导法则

第四讲多元复合函数的求导法则
一、多元复合函数概念
类型
u f (x) x (s,t)
u f ((s,t))
多元复合函数
一、多元复合函数概念
类型一
s
➢复合关系图
u
x
t
一、多元复合函数概念
类型
u f (x) x (s,t)
u f ((s,t))
多
x x(t) u f (x, y) y y(t)
一、多元复合函数概念二、多元复合函数求导法则三、多元复合函数的高阶偏导数
u f (x, y,(x, y)) F(x, y)
一、多元复合函数概念
类型一
➢复合关系图
类型二
➢复合关系图
类型三
➢复合关系图
类型四
➢复合关系图
类型五
➢复合关系图
s ux
t x uy t
xs u
yt
x
u
y t
t
xx
u
y z
y
二、多元复合函数求导法则
类型
u f (x) x (s,t)
u f ((s,t))
u f (x, y, z) z (x, y)
u f (x, y,(x, y)) F(x, y)
类型三
➢复合关系图 ➢求导法则
xs u
yt
定理如果函数x=x(s,t)，y=y(s,t)在点(s,t)具有导数，则复合函数u=f(x(s,t),y(s,t))
多
u f (x, y)
x x(t)
y
y(t)
u f (x(t), y(t)) F(t)
元复合
u f (x, y)
x x(s,t)

复合函数求导法则有哪些呢

复合函数求导法则有哪些呢复合函数的求导法则同学们清楚吗，如果不清楚，快来小编这里瞧瞧。

下面是由小编为大家整理的“复合函数求导法则有哪些呢”，仅供参考，欢迎大家阅读。

复合函数求导法则有哪些呢Y=f(u),U=g(x),则y′=f(u)′*g(x)′例1.y=Ln(x^3),Y=Ln(u),U=x^3,y′=f(u)′*g(x)′=[1/Ln(x^3)]*(x^3)′=[1/Ln(x^3)]*(3x^2)=(3x^2)/Ln(x^3)]例2.y=cos(x/3),Y=cosu,u=x/3由复合函数求导法则得y=-sin(x/3)*(1/3 )=-sin(x/3)/3拓展阅读：求导公式运算法则是什么运算法则是：加(减)法则，[f(x)+g(x)]'=f(x)'+g(x)';乘法法则，[f(x)*g(x)]'=f(x)'*g(x)+g(x)'*f(x);除法法则，[f(x)/g(x)]'=[f(x)'*g(x)-g(x)'*f(x)]/g(x)^2。

若某函数在某一点导数存在，则称其在这一点可导，否则称为不可导。

导数也叫导函数值，又名微商，是微积分中的重要基础概念。

由基本函数的和、差、积、商或相互复合构成的函数的导函数则可以通过函数的求导法则来推导。

求导运算法则是：加(减)法则：[f(x)+g(x)]'=f(x)'+g(x)';乘法法则：[f(x)*g(x)]'=f(x)'*g(x)+g(x)'*f(x);除法法则：[f(x)/g(x)]'=[f(x)'*g(x)-g(x)'*f(x)]/g(x)^2。

一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。

如果函数的自变量和取值都是实数的话，函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。

导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。

§9.4 多元复合函数的求导法则

−u − t dz ∂z du ∂z dv ＝＋．【复合结构图： z − 】 −v − t ∂v dt dt ∂u dt
证
(1)
这时 u = ϕ (t )、v = ψ (t ) 的对应增量为 ∆u 、∆v ，由此，函数 z = f (u , v) 设 t 获得增量 ∆t ，
对应地获得增量 ∆z ．根据假定，函数 z = f (u , v) 在点 (u , v) 具有连续偏导数，于是由第三节公式 (6) 有
z = f (u, v, w) ， u = ϕ (t ) ， v = ψ (t ) ， w = ω (t ) 复合而得复合函数 z = f [ϕ (t ),ψ (t ), ω (t )],
则在与定理 1 相类似的条件下，这复合函数在点 t 可导，且其导数可用下列公式计算
dz ∂z du ∂z dv ∂z dω ＝＋＋． ∂v dt ∂ω dt dt ∂u dt dz 在公式 (1) 及 (2) 中的导数称为全导数． dt
＝ 2( y + x sin y cos y ) e
4 x 2 + y 2 + x 4 sin 2 y
．
4
例 6 设 z = y + f ( x − y ) ，其中 f (u ) 可微，证明： y ⋅
2 2
∂z ∂z + x⋅ = x ． ∂x ∂y
证：令 u = x − y ，则
2 2
∂z ∂z = 0 + f ′(u ) ⋅ 2 x = 2 xf ′( x 2 − y 2 ) ， = 1 − 2 yf ′( x 2 − y 2 ) ， ∂y ∂x
一元复合：设函数 y = f (u ) 与 u = g ( x) 均可导，则复合函数 y = f [ g ( x)] 的导数为

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则有 u 0 , v 0 , u du v dv , t dt t dt
o( )
z
u
t
v
t

( 称全导数公式 )
d z z d u z dv d t u d t v d t
推广: 设下面所涉及的函数都可微 .
u (t ) , v (t ) , w (t ) z dv z dw d z z du v d t w d t d t u d t f1 f 2 f 3
0
因此,函数在点 (0,0) 不可微 .
第九章
ห้องสมุดไป่ตู้§9.4 多元复合函数的求导法则
一元复合函数
求导法则微分法则
本节内容: 全微分形式不变性一、多元复合函数求导的链式法则二、多元复合函数的全微分及不变性
一、多元复合函数求导的链式法则
定理1. 若函数
z f (u, v)
处偏导连续, 则复合函数在点 t 可导, 且有链式法则 d z z d u z dv d t u d t v d t
§9.3内容回顾
1. 微分定义:
x2xyy 2 , x 2 y 2 0 z f ( x, y ) x2 y 2 0 0,
z
o ()
(x) 2 (y ) 2
d z f x ( x, y )d x f y ( x, y )d y
z v v y
x
e sin v
u
e cos v 1
u
例2. u f ( x, y, z ) e
x2 y2 z 2
u f 解: x x
2 xe
x2 y2 z 2
u u , z x sin y, 求 , x y
2
2z e
2. 重要关系:
函数连续函数可导
函数可微
偏导数连续
可微 lim{ z [ f x (x0 , y0 ) x f y ( x0 , y0 ) y ]}/ 0 x 0
y 0
x2 y 2
例如
x 0 y 0
f ( x, y )
(x y )
2 2
3 2
, x y 0
y
2 ye
x2 y2 z 2
2ze
x 2 y 2 z 2 x 2 cos
2 ( y x sin y cos y ) e
4
可代入后再求
dz . 例3. 设 z u v sin t , u e , v cos t , 求全导数 dt d z z du z z 解: d t u d t t u v t t ve cos t t t t e (cos t sin t ) cos t
口诀 : 连线相乘, 分线相加, 单路求导, 叉路偏导.
z z 例1. 设 z e sin v , u x y , v x y , 求 , . x y z z v 解: x v x
u
eu sin v
z y
eu cos v 1
z
u v
y
2 2
0, 易知 lim f (x, y ) f (0,0) 0,
但
x y 0 f x (0, 0) f y (0, 0) 0.
2 2
z [ f x ( 0, 0) x f y ( 0, 0) y ]

( x ) 2( y ) 2 2 2 2 (不存在) [( x) ( y ) ]
1) 中间变量多于两个的情形. 例如, z f (u, v, w) ,
z f
u v w
t t t
2) 中间变量是多元函数的情形.例如,
z f (u, v) , u ( x, y) , v ( x, y)
z z u z v f11 f 2 1 x u x v x z z u z v f1 2 f 2 2 y u y v y
⑴
(2)
内容小结
1. 复合函数求导的链式法则
“连线相乘, 分线相加, 单路求导, 叉路偏导” 例如, u
1 ;
2. 全微分形式不变性
2 x y v
x y
不论 u , v 是自变量还是因变量,
d z f u (u , v) d u f v (u , v) d v
u u u sin cos x r r
1 x y 2 1 ( x )
r y , y r y

x x y
2 2

u y u x r r r 2 u u cos sin r r u 2 u 2 u 2 1 u 2 ( ) ( ) ( ) 2 ( ) . x y r r
e x y [ y sin( x y ) cos(x y)]d x
所以例1 . z eu sin v, u x y, v x y, 求 z , z . x y
由方程 f,F均具有一阶连续偏导数. 证明: 证:
确定,
两边求微分得，
两边求微分得，并解出
证: 设 t 取增量△t , 则相应中间变量
z
u
t
v
t
有增量△u ,△v , z z z u v o ( ) u v
z z u z v o( ) 2 2 ( (u ) (v) ) t u t v t t
2
x2 y2 z 2
2 x sin y
u f ( x, y , z )
2 x (1 2 x sin y ) e
2
x 2 y 2 x 4 sin 2 y
x y z
u f f z y y z y
x
y
x 2 y 2 x 4 sin 2 y
w f1 f 2 yz
u
v
w x
f2 yz f12 x y
2 f
x y zx y z
2w x z
y z f 2 ( x y z, x y z )
f 22 x y
2 f f11 ,y引入记号 x z f,22f yf 2 ( x z ) f12 f y , 为简便起见 1 12 u u v
例5. 设
极坐标系下的形式
二阶偏导数连续,求下列表达式在
解:
u u r (1) x r x
,则 y (或 arctan ) x
u
r
x yx y
u u sin cos r r
u u r u y r y y
du
dv
可见无论 u , v 是自变量还是中间变量, 其全微分表达
形式都一样, 这性质叫做全微分形式不变性.
例 6. 利用全微分形式不变性再解例1. 解: d z d( eu sin v )
e cos v dv
u
d (x y)
( yd x xd y)
d ( x y) (dx d y ) dy
z f
u v
x y
又如, z f ( x, v) , v ( x, y )
当它们都具有可微条件时, 有
z f
z f x x z y
f1 f 2 1 f2 2
x
v
x y
z f 不同, 注意: 这里与 x x z f 表示固定 y 对 x 求导, 表示固定 v 对 x 求导 x x
t
注意：1.非抽象复合函数的求导,可先带入中间变量再求导.
2.多元抽象复合函数求导, 要注意这方面问题的求导技巧与常用导数符号.
例4. 设
f 具有二阶连续偏导数,
w 2 w 求 , . x x z 解: 令 u x y z , v x y z , 则 w f (u, v) (可不设出中间变量)
u
r
x yx y
二、多元复合函数的全微分
设函数都可微, 则复合函数 z f ( ( x, y ) , ( x, y ) ) 的全微分为 z z dz dx d y x y z u z v ( )dy u y v y u u v v ( dx d y ) ( dx d y ) x y x y

9.4复合函数求导法则