2015年全国高中数学联合竞赛试卷及答案(四川初赛) 后有答案
2015年高中数学竞赛试题及答案及答案
2015年高中数学竞赛试题及答案一、选择题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．每小题各有四个选择支，仅有一个选择支正确．请把正确选择支号填在答题卡的相应位置．）1．集合{0,4,}A a =，4{1,}B a =，若{0,1,2,4,16}A B ⋃=，则a 的值为A ．0B ．1C ．2D ．42．一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示，则其俯视图不可能．．． 是． ①长方形；②正方形；③圆；④菱形. 其中正确的是 A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④3．设0.50.320.5,log 0.4,cos 3a b c π-===，则A ．c b a <<B ．c a b <<C ．a b c <<D ．b c a <<4. 平面上三条直线210,10,0x y x x ky -+=-=-=，如果这三条直线将平面划分为六部分，则实数k 的值为A . 1B . 2C . 0或2D . 0，1或25．函数()s i n()f x A x ωϕ=+（其中0,||2A πϕ><）的图象如图所示，为了得到()c o s 2g x x =的图像，则只要将()f x 的图像 A ．向右平移6π个单位长度 B ．向右平移12π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度 D ．向左平移12π个单位长度6. 在棱长为1的正四面体1234A A A A 中，记12(,1,2,3,4,)i j i j a A A A A i j i j =⋅=≠，则i j a 不同取值的个数为A ．6B ．5C ．3D ．2二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．请把答 案填在答题卡相应题的横线上．） 7．已知)1,(-=m a ，)2,1(-=b ，若)()(b a b a -⊥+，则m = .8．如图，执行右图的程序框图，输出的T= . 9. 已知奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，且(2)0f =， 则不等式0)()1(<⋅-x f x 的解集为 ．10.求值：=+250sin 3170cos 1 ． 11．对任意实数y x ,，函数)(x f 都满足等式)(2)()(22y f x f y x f +=+，且0)1(≠f ，则（第5题图）（第8题图）3侧视图正视图22（第2题图）2=)2011(f .12.在坐标平面内，对任意非零实数m ，不在抛物线()()22132y mx m x m =++-+上但在直线1y x =-+ 上的点的坐标为 .答 题 卡一、选择题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．）题号 1 2 3 4 5 6 答案二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．）7． 8． 9． 10． 11． 12．三、解答题（本大题共6小题，共78分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.） 13.（本小题满分12分）为预防11H N 病毒暴发，某生物技术公司研制出一种新流感疫苗，为测试该疫苗的有效性(若疫苗有效的概率小于90%，则认为测试没有通过)，公司选定2000个流感样本分成三组，测试结果如下表：A 组B 组C 组疫苗有效 673 xy疫苗无效7790z已知在全体样本中随机抽取1个，抽到B 组的概率是0.375. （1）求x 的值；（2）现用分层抽样的方法在全部测试结果中抽取360个，问应在C 组中抽取多少个？ （3）已知465≥y ,25≥z ,求该疫苗不能通过测试的概率.已知函数x x x f 2sin )12(cos 2)(2++=π．（1）求)(x f 的最小正周期及单调增区间； （2）若),0(,1)(παα∈=f ，求α的值． 15．（本题满分13分）如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，21===AA BC AC ，︒=∠90ACB ，G F E ,,分别是AB AA AC ,,1的中点．（1）求证：//11C B 平面EFG ； （2）求证：1AC FG ⊥；（3）求三棱锥EFG B -1的体积.ACBB 1A 1C 1FGE已知函数t t x x x f 32)(22+--=.当∈x ),[∞+t 时，记)(x f 的最小值为)(t q . (1)求)(t q 的表达式；(2)是否存在0<t ，使得)1()(tq t q =？若存在，求出t ；若不存在，请说明理由.已知圆22:228810M x y x y +---=和直线:90l x y +-=，点C 在圆M 上，过直线l 上一点A 作MAC ∆.（1）当点A 的横坐标为4且45=∠MAC 时，求直线AC 的方程； （2）求存在点C 使得45=∠MAC 成立的点A 的横坐标的取值范围.18．（本题满分14分）在区间D 上，若函数)(x g y =为增函数，而函数)(1x g xy =为减函数，则称函数)(x g y =为区间D 上的“弱增”函数．已知函数1()11f x x=-+． （1）判断函数()f x 在区间(0,1]上是否为“弱增”函数，并说明理由； （2）设[)1212,0,,x x x x ∈+∞≠，证明21211()()2f x f x x x -<-； （3）当[]0,1x ∈时，不等式xax +≥-111恒成立，求实数a 的取值范围．参考答案一、选择题：C B A D D C二、填空题：7. 2± 8．29 9. ),2()1,0()2,(+∞--∞10.43311．22011 12. 31(,),(1,0),(3,4)22--三、解答题：13. （本题满分12分） 解：（1）因为在全体样本中随机抽取1个，抽到B 组的概率0.375，所以375.0200090=+x ， ………………2分 即660x =. ………………3分（2）C 组样本个数为y ＋z ＝2000－（673＋77＋660＋90）＝500， ………………4分 现用分层抽样的方法在全部测试结果中抽取360个，则应在C 组中抽取个数为360500902000⨯=个. ………………7分 （3）设事件“疫苗不能通过测试”为事件M.由（2）知 500y z +=，且,y z N ∈,所以C 组的测试结果中疫苗有效与无效的可能的情况有： （465，35）、（466，34）、（467，33）、……（475，25）共11个. ……………… 9分 由于疫苗有效的概率小于90%时认为测试没有通过，所以疫苗不能通过测试时，必须有9.02000660673<++y， …………………10分即1800660673<++y ， 解得467<y ，所以事件M 包含的基本事件有：（465，35）、（466，34）共2个. …………………11分所以112)(=M P ， 故该疫苗不能通过测试的概率为211. …………………12分14. （本小题满分12分） 解：x x x f 2sin )62cos(1)(+++=π…………………1分x x x 2sin 6sin2sin 6cos2cos 1+-+=ππx x 2sin 212cos 231++= …………………2分 1)32sin(++=πx . …………………4分（1）)(x f 的最小正周期为ππ==22T ； …………………5分 又由]22,22[32πππππ+-∈+k k x ， …………………6分得)](12,125[Z k k k x ∈+-∈ππππ， …………………7分 从而)(x f 的单调增区间为)](12,125[Z k k k ∈+-ππππ． …………………8分 （2）由11)32s in ()(=++=πααf 得0)32sin(=+πα， …………………9分所以ππαk =+32，62ππα-=k )(Z k ∈． …………………10分又因为),0(πα∈，所以3πα=或65π． …………………12分15. （本题满分13分） 解：（1）因为E G 、分别是AC AB 、的中点，所以BC GE //；……1分 又BC C B //11，所以GE C B //11； …………2分又⊆GE 平面EFG ，⊄11C B 平面EFG ，所以//11C B 平面EFG ． …………3分 （2）直三棱柱111C B A ABC -中，因为︒=∠90ACB ，所以⊥BC 平面C C AA 11； ……………4分 又BC GE //，所以⊥GE 平面C C AA 11，即1AC GE ⊥； ……………5分 又因为21==AA AC ，所以四边形11A ACC 是正方形，即11AC C A ⊥； ……………6分 又F E ,分别是1,AA AC 的中点，所以C A EF 1//，从而有1AC EF ⊥， ……………7分 由E GE EF =⋂，所以⊥1AC 平面EFG ，即1AC FG ⊥． ……………8分 （3）因为//11C B 平面EFG ，所以111EFC G EFG C EFG B V V V ---==． ……………10分由于⊥GE 平面C C AA 11，所以GE S V EFC EFC G ⋅=∆-1131，且121==BC GE ．…………11分 又由于2321114111111=---=---=∆∆∆∆ECC FC A AEF A ACC EFC S S S S S 正方形，……………12分所以21123313111=⋅⋅=⋅=∆-GE S V EFC EFC G ，即211=-E F G B V ． ……………13分16. （本题满分13分）解：（1）t t x x x f 32)(22+--=13)1(22-+--=t t x ． ……………1分①当1≥t 时，)(x f 在∈x ),[∞+t 时为增函数，所以)(x f 在∈x ),[∞+t 时的最小值为t t f t q ==)()(；……………3分②当1<t 时，13)1()(2-+-==t t f t q ； ……………5分综上所述，2(1)()31(1)t t q t t t t ≥⎧=⎨-+-<⎩． ……………6分 ACBB 1A 1C 1FGE )(x fx1O（2）由（1）知，当0<t 时，13)(2-+-=t t t q ，所以当0<t 时，131)1(2-+-=tt tq ． ……………7分 由)1()(t q t q =得：1311322-+-=-+-tt t t ， ……………8分即013334=-+-t t t ， ……………9分 整理得0)13)(1(22=+--t t t ， ……………11分解得：1±=t 或253±=t . ……………12分 又因为0<t ，所以1-=t .即存在1-=t ，使得)1()(tq t q =成立. ……………13分17. （本题满分14分）解：（1）圆M 的方程可化为：2217(2)(2)2x y -+-=，所以圆心M （2，2），半径r =342. ……1分 由于点A 的横坐标为4，所以点A 的坐标为（4，5），即13AM =. ……………2分 若直线AC 的斜率不存在，很显然直线AM 与AC 夹角不是45，不合题意，故直线AC 的斜率一定存在，可设AC 直线的斜率为k ，则AC 的直线方程为5(4)y k x -=-，即540k x y k -+-=. ……………3分由于45=∠MAC 所以M 到直线AC 的距离为226||22==AM d ，此时r d <，即这样的点C 存在. ……………4分由222542621k kk -+-=+，得2322621k k -=+，解得15 5k k =-=或. ……………5分 所以所求直线AC 的方程为0255=-+y x 或0215=+-y x . ……………6分 (2)当r AM 2||=时，过点A 的圆M 的两条切线成直角，从而存在圆上的点C （切点）使得45=∠MAC . ……………7分设点A 的坐标为),(y x ，则有⎪⎩⎪⎨⎧=-+=⋅=-+-09172342)2()2(22y x y x ， ……………8分解得⎩⎨⎧==63y x 或⎩⎨⎧==36y x . ……………9分记点)6,3(为P ，点)3,6(为Q ，显然当点A 在 线段PQ 上时，过A 的圆的两条切线成钝角，从而必存在圆上的一点C 使得45=∠MAC ；……11分 当点A 在线段PQ 的延长线或反向延长线上时，过A 的圆的两条切线成锐角，从而必不存在圆上的点C 使得45=∠MAC ， …………13分所以满足条件的点A 为线段PQ 上的点，即满足条件的点A 的横坐标取值范围是[]3,6.……14分18．（本题满分14分） 解：（1）由1()11f x x=-+可以看出，在区间(0,1]上，()f x 为增函数. ………………1分 又11111111()(1)111(11)11x x f x x x x x x x x x x x+-=-===++++++++，……………3分 显然)(1x f x在区间(0,1]上为减函数， ∴ ()f x 在区间(0,1]为“弱增”函数. ………………4分（2）122121212121211111()()111111(11)x x x x f x f x x x x x x x x x +-+--=-==+++++++++.…6分[)1212,0,,x x x x ∈+∞≠,∴111≥+x ，112≥+x ，21121>+++x x ，即212111(11)2x x x x +++++>，………………8分21()()f x f x ∴-2112x x <-. ………………9分 （3）当0x =时,不等式xax +≥-111显然成立. ………………10分“当(]0,1x ∈时，不等式xax +≥-111恒成立”等价于“ 当(]0,1x ∈时，不等式)111(1xx a +-≤即)(1x f x a ≤恒成立” . ………………11分yO∙MAxl也就等价于:“ 当(]0,1x ∈时， min )](1[x f xa ≤成立” . ………………12分 由(1)知1()f x x 在区间(0,1]上为减函数, 所以有221)1()](1[min -==f x f x . ……………13分 ∴221-≤a ，即221-≤a 时，不等式xax +≥-111对[]0,1x ∈恒成立. ……………14分。
2015年全国高中数学联赛试题及答案详解(A卷)
(i ) 5 2 ，此时 1 且 5 ，无解；
22
2
4
(ii) 5 9 2 ，此时有 9 5 ；
件等价于：存在整数 k, l (k l) ，使得
2k 2l 2 ．
①
2
2
当 4 时，区间[, 2]的长度不小于 4 ，故必存在 k, l 满足①式．
当 0 4 时，注意到[, 2] (0, 8) ，故仅需考虑如下几种情况：
．
答案： 2015 1007i ．
解：由已知得，对一切正整数 n ，有
zn2 zn1 1n 1i zn 1 ni 1n 1i zn 2 i ， 于是 z2015 z1 10072 i 2015 1007i ．
4. 在矩形 ABCD 中， AB 2, AD 1 ，边 DC 上（包含点 D 、 C ）的动点 P 与 CB 延 长线上（包含点 B ）的动点 Q 满足 DP BQ ，则向量 PA 与向量 PQ 的数量积 PA PQ 的
6. 在平面直角坐标系 xOy 中，点集 K (x, y) x 3y 6 3x y 6 0所对
应的平面区域的面积为
．
答案：24．
解：设 K1 (x, y) x 3y 6 0 ．先考虑 K1
在第一象限中的部分，此时有 x 3y 6 ，故这些点对
应于图中的 OCD 及其内部．由对称性知， K1 对应的 区域是图中以原点 O 为中心的菱形 ABCD 及其内部．
同理，设 K2 (x, y) 3x y 6 0 ，则 K2 对
应的区域是图中以 O 为中心的菱形 EFGH 及其内部．
由点集 K 的定义知， K 所对应的平面区域是被
2015年全国高中数学联赛试题答案
…………………20 分
包含 a1 的集合至少有
n− s −t 个．又由于 A1 ⊆ Ci （ i = 1, , t ） ，故 C1 , C2 , , Ct 都 k
n− s −t ，即在剩下的 n − s − t 个集合中， k
包含 a1 ，因此包含 a1 的集合个数至少为
n− s −t n − s + (k − 1)t n − s + t （利用 k ≥ 2 ） = +t ≥ k k k n ． ……………40 分 ≥ （利用 t ≥ s ） k
n ≤ (n + 1) ∑ห้องสมุดไป่ตู้ai2 ， i =1 所以①得证，从而本题得证．
…………………40 分
证法二：首先，由于问题中 a1 , a2 , , an 的对称性，可设 a1 ≥ a2 ≥ ≥ an ．此 n 外，若将 a1 , a2 , , an 中的负数均改变符号，则问题中的不等式左边的 ∑ ai 不 i =1 减，而右边的 ∑ ai2 不变，并且这一手续不影响 ε i = ±1 的选取，因此我们可进一
2t u − 1 2u − 1 m 1 2αt ⋅ 1 2αt ⋅ 1 + 2u + + 2(t −1)u ) =+ =+ ( q q q
…………………10 分
n + 2 ∑ aj n = j +1 2
2
2
n 2 n n n 2 2 ≤ 2 ∑ ai + 2 n − ∑ a j （柯西不等式） …………30 分 2 i =1 2 = n j +1 2 n n 2 2 n + 1 n n n + 1 2 a j （利用 n − = = 2 ∑ ai + 2 ） ∑ 2 2 2 i =1 2 = n j +1 2 n n 2 2 2 ≤ n ∑ ai + (n + 1) ∑ a j （利用 [ x ] ≤ x ） n = i =1 j +1 2
2015全国高中数学竞赛试题
2015年全国高中数学竞赛试题一、简述：2015年全国高中数学竞赛试题，作为一场高水平的数学竞赛，其试题设计严谨，旨在全面检测参赛者在数学学科上的知识掌握、思维逻辑和问题解决能力。
试题内容通常涵盖代数、几何、数论等多个数学领域，要求参赛者具备扎实的数学基础和灵活的解题思维。
二、内容分析：该竞赛试题通常包含选择题、填空题和解答题等多种题型，每种题型都有其特定的考查重点。
选择题和填空题主要检测参赛者对数学基础知识点的掌握程度，而解答题则更注重对参赛者思维逻辑和问题解决能力的考查。
整体而言，试题内容既注重基础知识的考查，又强调对数学思想的深入理解和灵活运用。
三、特点分析：综合性强：试题往往融合了多个数学领域的知识点，要求参赛者具备全面的数学素养和跨学科的解题能力。
思维灵活：试题设计注重引导参赛者运用多种数学思想和解题方法进行问题求解，鼓励创新思维和发散性思维。
难度递进：试题难度通常呈现出递进的特点，从基础题到难题逐渐过渡，有利于全面评估参赛者的数学水平。
四、难易程度分析：整体而言，2015年全国高中数学竞赛试题的难度属于较高水平。
基础题部分主要考查参赛者的基本数学知识和解题技巧，难度适中；而难题部分则对参赛者的数学思维和问题解决能力提出了更高的要求，难度较大。
这种难度设计既保证了竞赛的区分度，又充分展现了数学学科的挑战性和趣味性。
需要注意的是，以上分析仅基于一般性的了解和推测，实际试题的难度和特点可能会有所不同。
因此，在准备此类竞赛时，建议参赛者充分熟悉竞赛要求和历年试题，制定科学的备考策略，全面提升自己的数学素养和解题能力。
由于我无法提供2015年全国高中数学竞赛的全部真实试题，我将根据该竞赛的一般特点和难度，为您模拟举例一些可能的试题。
请注意，以下试题仅为示例，并非真实的2015年竞赛试题。
2015年全国高中数学竞赛模拟试题一、选择题1.若复数 (z) 满足 (z + |z| = 2 + i)，其中 (i) 是虚数单位，则 (z) 等于：A. (1 + i)B. (1 - i)C. (\frac{3}{2} + \frac{1}{2}i)D. (\frac{4}{3} + i)2.已知等差数列 ({ a_n }) 的前n项和为 (S_n)，若 (a_2 + a_4 = 10)，则 (S_5) 等于：A. 20B. 25C. 50D. 1003.设函数 (f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d) 的图像关于原点对称，且 (f(x))在 (x = 1) 处的切线斜率为 -6，则下列说法正确的是：A. (a = 2, b = 0)B. (a = -2, b = 0)C. (a = 2, c = 0)D. (a = -2, c = 0)二、填空题1.设实数 (a, b, c) 满足 (a^2 + b^2 + c^2 = 1)，则 (ab + bc + ca) 的最大值是 _______。
2015年全国高中数学联赛一试真题及解答(A卷)
3. 已知复数数列 {zn } 满足 z1 1, zn1 zn 1 n i (n 1, 2, ) ，其中 i 为虚数单位， zn 表示 zn 的共轭复数，则 z2015 的值为 答案： 2015 1007i ． 解：由已知得，对一切正整数 n ，有 ．
zn2 zn1 1 n 1i zn 1 n i 1 n 1i zn 2 i ，
于是 z2015 z1 1007 2 i 2015 1007i ． 4. 在矩形 ABCD 中， AB 2, AD 1 ，边 DC 上（包含点 D 、 C ）的动点 P 与 CB 延 长线上（包含点 B ）的动点 Q 满足 DP BQ ，则向量 PA 与向量 PQ 的数量积 PA PQ 的 最小值为 ．
解： 由条件可知， 且其中没有两个为相反数， ai a j (1 ≤ i < j ≤ 4 ) 是 6 个互不相同的数， 由 此 知 ， a1 , a2 , a3 , a4 的 绝 对 值 互 不 相 等 ， 不 妨 设 a1 a2 a3 a4 ， 则
ai a j (1 ≤ i < j ≤ 4 ) 中最小的与次小的两个数分别是 a1 a2 及 a1 a3 ，最大与次大的两个
…………………12 分
1 33 2 1 ，即 y 3 时， z 的最小值为 ，符合要求） ． 2 （此时相应的 x 值为 y 4 4 2 3 3 5 …………………16 分 由于 c log 2 z ，故 c 的最小值为 log 2 2 log 2 3 ． 4 3
1. 设 a, b 为不相等的实数，若二次函数 f ( x) x 2 ax b 满足 f (a ) f (b) ，则 f (2) 的值为 答案：4． 解：由已知条件及二次函数图像的轴对称性，可得 ．
2015年全国高中数学联合竞赛试题及解答.(A卷)
2k 2 1 m2 ．②
由直线
AF1, l, BF1
的斜率
y1 , k, y2 x1 1 x2 1
依次成等差数列知，
y1 x1 1
y2 2k x2 1
，又
y1 kx1 m, y2 kx2 m ，所以 (kx1 m)(x2 1) (kx2 m)(x1 1) 2k(x1 1)(x2 1) ，化简并
棱两两异面的取法数为 4×2=8，故所求概率为 8 2 ． 220 55
2015A6、在平面直角坐标系 xOy 中，点集 K (x, y) | ( x 3 y 6)( 3x y 6) 0 所对应的平
面区域（如图所示）的面积为
◆答案： 24 ★解析：设 K1 {(x, y) || x | | 3y | 6 0} ． 先考虑 K1 在第一象限中的部分，此时有 x 3y 6 ,故这些点
对应于图中的△OCD 及其内部．由对称性知， K1 对应的区
域是图中以原点 O 为中心的菱形 ABCD 及其内部．
同理，设 K2 {(x, y) || 3x | | y | 6 0} ，则 K2 对应
的区域是图中以 O 为中心的菱形 EFGH 及其内部．
由点集 K 的定义知，K 所对应的平面区域是被 K1 、K2
1 sin
cos4
cos 2 sin 2 sin
sin 2
(1 sin )(1 cos2 )
2 sin
cos2
2．
2015A 3、已知复数数列 zn 满足 z1 1，zn1 zn 1 ni (n 1,2,) ，其中 i 为虚数单位，zn 表
全国高中数学联合竞赛(含答案)
全国高中数学联合竞赛一、选择题（本题满分30分，每小题5分）本题共有6小题，每题均给出（A ）、（B ）、（C ）、（D ）四个结论，其中有且只有一个是正确的。
请将正确答案的代表字母填在题后的括号内。
每小题选对得5分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分。
1.函数()142-+=x x x x f 是（ ） （A ）是偶函数但不是奇函数 （B ）是奇函数但不是偶函数（C ）既是奇函数又是偶函数 （D ）既不是奇函数也不是偶函数2. 已知()x f 对任意整数x 都有()()22-=+x f x f ，若()20030=f ，则()2004f =（ ）（A ）2002 （B ）2003 （C ）2004 （D ）20053. 已知不等式()θθ222sin 45cos +-+m m ≥0恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）（A ）0≤m ≤4 （B ）1≤m ≤4 （C ）m ≥4或m ≤0 （D ）m ≥1或m ≤0 4. 母线长为6的圆锥中，体积最大的那一个的底面圆的半径为（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）45. 正三棱锥相邻侧面所成二面角，等于侧面与底面所成二面角的两倍，则侧棱与底面边长之比为（ ）（A ）23 （B ）34 （C ）43 （D ）32 6. 函数x x x y cos sin cos 23-+=的最大值等于（ ）（A ）2732 （B ）2716 （C ）278 （D ）274 二、填空题（本题满分30分，每小题5分）本题共6小题，要求直接将答案写在横线上。
7. 已知函数()x xx f 22333+=，则⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛1011010121011f f f = . 8. 不等式22-x ≤12+x 的解集为 .9. 某城市的机动车牌照是从“10000”到“99999”连续编号，则在这90000个牌照中数字9至少出现一个，并且各数字之和是9的倍数的车牌照共有 个.10. 若0<a ，b ，c <1满足1=++ca bc ab ，则cb a -+-+-111111的最小值是 . 11. 已知正四棱锥V －ABCD 的棱长都等于a ，侧棱VB ，VD 的中点分别为H 和K ，若过A 、H 、K 三点的平面交侧棱VC 于L ，则四边形AHLK 的面积为 .12. 已知a 、b 、x 是实数，函数()122+-=ax x x f 与函数()()x a b x g -=2的图象不相交。
2015年四川卷数学试题及答案(理)
2015年普通高等学校招生全国统一考试（四川)数学（理科)第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合{|(1)(2)0}A x x x =+-<,集合{|13}B x x =<<，则AB（ ）A.{x|—1〈x<3｝ B 。
{x|-1〈x<1} C.｛x ｜1<x<2｝ D 。
{x ｜2〈x<3}2.设i 是虚数单位，则复数32i i-=（ ） A.—iB.-3iC 。
i.D 。
3i3.执行如图所示的程序框图，输出S 的值是（ ）A.32B.32 C.—12D 。
124.下列函数中,最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是( ）A 。
cos(2)2y x π=+B 。
sin(2)2y x π=+C. sin 2cos 2y x x =+ D 。
sin cos y x x =+5。
过双曲线2213y x -=的右焦点且与x 轴垂直的直线,交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点,则AB =( ）(Ａ）433（B ）23 （C ）6 （D)43 6.用数字0,1，2，3,4，5组成没有重复数字的五位数,其中比40000大的偶数共有（ ）（A ）144个 （B ）120个 （C)96个 （D ）72个7. 设四边形ABCD 为平行四边形,6AB =，4AD =。
若点M ，N 满足3BM MC =，2DN NC =，则.AM NM =( ）(A)20 （B)15 （C ）9 （D ）68.设a ，b 都是不等于1的正数,则“333a b >>”是“log 3log 3a b <"的（A ）充要条件 （B ）充分不必要条件 （C ）必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件 9. 如果函数()()()()21281002f x m x n x m n =-+-+≥≥，在区间122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，单调递减，则mn 的最大值为（ ） (A ）16(B ）18（C ）25（D ）81210. 设直线l 与抛物线24y x =相交于A ，B 两点，与圆()()22250x y r r -+=>相切于点M ，且M为线段AB 的中点。
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2015年全国高中数学联合竞赛（四川初赛）
（5月17日下午14：30——16：30）
考生注意：1、本试卷共三大题（16个小题），全卷满分140分.
2、用黑（蓝）色圆珠笔或钢笔作答.
3、计算器、通讯工具不准带入考场.
4、解题书写不要超过密封线.
一、单项选择题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）
1、已知n 为正整数，二项式23
1()n x x
+
的展开式中含有7
x 项，则n 的最小值为 【 】 A 、4 B 、5 C 、6 D 、7
2、在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，若
C
c
B b A a cos 3cos 2cos ==，则A ∠的大小为 【 】
A 、6π
B 、4π
C 、 3π
D 、12
5π
3、已知二面角βα--l 的大小为300，则由平面α上的圆在平面β上的正射影得到的椭圆的离心率为 【 】
A 、3
1
B 、
2
1 C 、
3
3 D 、
2
3 4、记函数1232)(++-=x x x f 的最大值为M ，最小值为m ，则
m
M
的值为 【 】 A 、
2
6 B 、2 C 、 3 D 、2
5、已知正三棱锥P -ABC 的底面ABC 是正三角形，该三棱锥的外接球的球心O 满足0OA OB OC ++=
，则二面角C PB A --的余弦值为 【 】
A 、6
1
B 、
8
2
C 、 5
1
D 、
3
3 6、设质数p ，满足存在正整数x ，y 使得22221,21y p x p =-=-，则符合条件的质数p 的个数
为 【 】
A 、1
B 、2
C 、 3
D 、4
二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）
7、i 为虚数单位，复数i
i
z -+=
124，则z = . 8、若c b a 964==，则
=+-c
b a 1
21 . 9、已知点P ),(y x 满足2≤+y x ，则到x 轴的距离1≤d 的点P 的概率是 . 10、设042cos 2,01cos sin =++-=-⋅+πy y x x ，则)2sin(y x -的值是 . 11、在矩形ABCD 中，AB =3，AD =4，P 为矩形ABCD 所在平面上一点，满足P A =2，PC =21，则=⋅ .
12、对任意正整数n ，定义函数)(n μ如下：1)1(=μ，且当12122k k n p p p ααα=⋅⋅⋅⋅⋅⋅≥时，
⎩
⎨
⎧==⋅⋅⋅==-=，否则01
,)1()(21t t n αααμ，其中k p p t ,,,11⋅⋅⋅≥是不同的质数. 若记},,,{21k x x x A ⋅⋅⋅=为12的全部不同正因数的集合，则=∑=k
i i x 1)(μ .
三、解答题（本大题共4个小题，每小题20分，共80分）
13、已知数列}{n a 满足：321,1,a a a +成等差数列，且对任意的正整数n ，均有2
3
2211+-=+n n n a S 成立，其中n S 是数列}{n a 的前n 项和.
（1）求321,,a a a ； （2）求数列}{n a 的通项公式.
14、已知x x f 4sin )(=.
（1）记)2()()(x f x f x g -+=π，求)(x g 在]8
3,6[π
π上的最大值和最小值；
（2）求238889()()()()()180180180180180
f f f f f πππππ
+++⋅⋅⋅++的值.
15、过双曲线14
2
2
=-y x 的右支上任意一点),(00y x P 作一直线l 与两条渐近线交于A 、B ，若P 是AB 的中点.
（1）求证：直线l 与双曲线只有一个交点； （2）求证：△OAB 的面积为定值.
16、已知a为实常数，函数]
ax
=-x
x
e
f x.
+
x
2,0[
∈
sin
,
)
(π
（1）记)
g在]
(x
2,0[π上的单调区间；
f的导函数为)
(x
(x
g，求)
（2）若)
2,0(π的极大值和极小值恰好各有一个，求实数a的取值范围.
f在)
(x。