广西南宁外国语学校高二数学下学期单元素质测试题 概率(2)
广西南宁外国语学校高二数学下学期单元素质测试题 排
高二（下）数学章节素质测试题——第十章 排列、组合和二项式定理（考试时间120分钟，满分150分）姓名______评价_______一、选择题（以下给出的四个备选答案中，只有一个正确. 每小题5分，共60分）1.（08湖北）321(2)2x x -10的展开式中常数项是（ ） A.210 B.1052 C.14D.－1052.（08重庆））若（x +12x）n 的展开式中前三项的系数成等差数列，则展开式中4x 项的系数为（ ）A.6B.7C.8D.93.（11全国Ⅰ）4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有（ ） A ．12种 B ．24种 C ．30种 D ．36种4.（09四川）2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（ ）A ．60B ．48C ．42D ．365.（07江苏）若对于任意实数x ，有3230123(2)(2)(2)x a a x a x a x =+-+-+-，则2a 的值为（ ）A ．3B ．6C ．9D ．12 6．（12辽宁）一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为（ ）A.3×3！B. 3×（3！）3C.（3！）4D. 9！7. （09全国Ⅱ）甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有（ ）A.6种B.12种C.24种D.30种8. （10四川）由1，2，3，4，5，组成没有重复数字且1、2都不与5相邻的五位数的个数是（ ）A.36B. 32C.28D.24 9．（12陕西）两人进行乒乓球比赛，先赢3局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形（各人输赢局次的不同视为不同情形）共有（ ）A ．10B ．15C ．20D ．3010.（09湖北）从5名志愿者中选派4人在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有一人参加，星期六有两人参加，星期日有一人参加，则不同的选派方法共有（ ） A.120种 B.96种 C.60种 D.48种11.（09全国Ⅰ）甲组有5名男同学、3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学，若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（ ）A.150种B.180种C.300种D.345种 12．（12湖北 ）设130<≤∈a Z a ，且，若a +201251能被13整除，则=a （ ）A ．0B ．1C ．11D ．12 二、填空题（每小题5分，共20分. 将你认为正确的答案填写在空格上） 13.（11全国Ⅰ）20)1(x -的二项展开式中，x 的系数与x 9的系数之差为: ___________.14.（09湖北）已知5255(1)110...ax x bx a x +=++++，则b= .15.（07浙江）某书店有11种杂志，2元1本的8种，1元1本的3种．小张用10元钱买杂志（每种至多买一本，10元钱刚好用完），则不同买法的种数是__________（用数字作答）． 16.（07天津）如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求相邻的两个格子颜色不同，且两端的格子的 颜色也不同，则不同的涂色方法共有 种（用数字作答）．三、解答题（本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本题满分10分）（Ⅰ）求证：!)!1(!n n n n -+=⋅； （Ⅱ）计算: !!33!22!1n n ⋅++⋅+⋅+Λ.18.（本题满分12分）甲、乙、丙3个人坐在一排8个座位上, 按照下列要求 ，分别有几种的不同坐法？（Ⅰ）每个人的左右两边都有空位； （Ⅱ）甲、乙相邻但都与丙不相邻.19.（本题满分12分）有6本不同的书.（Ⅰ）分给甲、乙、丙三人，如果甲得1本，乙得2本，丙得3本，有多少种分法? （Ⅱ）分给甲、乙、丙三人，如果一人得4本，另外两人各得1本，有多少种分法?20. （本题满分12分）已知全集{}{}{}87432165432187654321，，，，，，，，，，，，集合，，，，，，，===B A U , 从B A I 和）（）（B C A C U U Y 中各取两个数字, 问： （Ⅰ）能组成多少个没有重复的四位数? （Ⅱ）能组成多少个比6100大的四位数?21.（本题满分12分）已知nn x a x a a x x x x f +++=-⋅++=Λ10872)1()1()(.（Ⅰ）求n 的值； （Ⅱ）求⋯⋯+++420a a a 的值； （Ⅲ）求01a 的值.22.（本题满分12分）已知nx )21(+展开式中，第3项的二项式系数与地7项的二项式系数相等. （Ⅰ）求展开式中二项式系数最大的项； （Ⅱ）求展开式中系数最大的项.高二（下）数学章节素质测试题——第十章 排列、组合和二项式定理（参考答案）一、选择题：（本大题共12题，每小题5分，共60分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 0 . 14. 40 . 15. 266 . 16. 630 .三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. （Ⅰ）证明：!!)1(!)!1(n n n n n -⋅+=-+Θ!.!)11(n n n n ⋅=⋅-+=故等式成立.（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，!)!1(!3!4!2!3!1!2!!33!22!1n n n n -++-+-+-=⋅++⋅+⋅+ΛΛ.1)!1()!1(!1-+=++-=n n18. 解：（Ⅰ）将8个座位上的椅子抽出3个，甲、乙、丙分别带着椅子插入剩余的5个座位之间的4个空格中，不同坐法有2434=A 种.（Ⅱ）①甲、乙相邻的坐法有22A 种；②将甲、乙看成一个整体，在（1，2）、（2，3）、（3，4）、（4，5）、（5，6）、（6，7）、（7，8）连坐中，选择开头或者末尾2个座位，坐法有12A 种，这时丙的坐法有15A 种；③将甲、乙看成一个整体，在（1，2）、（2，3）、（3，4）、（4，5）、（5，6）、（6，7）、（7，8）连坐中，选择中间的座位，坐法有15A 种，这时丙的坐法有14A 种.故符合题意的坐法有604020141522151222=+=⋅⋅+⋅⋅A A A A A A 种.19. 解：（Ⅰ）根据题意，得601106332516=⨯⨯=⋅⋅C C C 种.（Ⅱ）①分组：分为1,1,4三组，方法有1522441516=A C C C 种；②分配：将3堆书分给甲、乙、丙三人，方法有633=A 种.故符合题意的分法有90615=⨯种.解法二：①选择甲、乙、丙3人中的某1位同学，选法有13C 种；②这位同学分得6本书中的4本，方法有46C 种；③剩余的2本书分给剩余的2个同学，方法有22A 种. 故符合题意的分法有902153224613=⨯⨯=⋅⋅A C C 种.20. 解：（Ⅰ），{1,2,3,4}=B A I }.8,7,6,5{)(==B A C B C A C U U U I Y ）（）（ ①从{1,2,3,4}中任取2个数，方法有24C 种；②从}8,7,6,5{中任取2个数，方法有24C 种；③这4个数的全排列为44A .故能组成没有重复的所有四位数有8642466442424=⨯⨯=⋅⋅A C C 个.（Ⅱ）①千位数从}8,7,6{中选取1个，方法有13C 种；②从}8,7,6,5{剩余的3个数中选取1个，方法有13C 种；从{1,2,3,4}中任取2个数，方法有24C 种；③这3个数在个、十、百位的全排列为33A .故能组成比6100大的四位数有324663333241313=⨯⨯⨯=⋅⋅⋅A C C C 个.21. 解：（Ⅰ）=+++nn x a x a a Λ10）（x x x x -⋅-⋅++1)1()1(772)1()]()([)1()1(1)]1()1[(2177627317077372x x C x C x C C x x x x x x -⋅-+++-+=--=-⋅-⋅++=Λ）（.222277x x C x a n n ==∴ 故.22=n（Ⅱ）222210872)1()1()(x a x a a x x x x f +++=-⋅++=Λ，222110872)11()111()1(a a a a f ++++=-⋅++=∴Λ，即0222110=++++a a a a Λ. 22211087)11()111()1(a a a a f +-+-=+⋅+-=-∴Λ，即.25628222110==+-+-a a a a Λ两式相加，得256)(222420=+⋯⋯+++a a a a ，.12822420=+⋯⋯+++∴a a a a（Ⅲ）由（Ⅰ）知，=+++222210x a x a a Λ)1()]()([217762731707x x C x C x C C -⋅-+++-+Λ .351010371010x x C x a ==∴故01a 的值为35.22. 解：（Ⅰ）根据题意，得62n n C C =，.862=+=∴n所以8)21(x +中，二项式系数最大的项是.11201670)2(444485x x x C T =⨯==（Ⅱ）设展开式中系数最大的项为第1+r 项，rr r r r r x C x C T ⋅⋅==+2)2(881，则有⎪⎩⎪⎨⎧⋅≥⋅⋅≥⋅++--1188********r r r r r r r r C C C C ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⋅-⋅+≥⋅-⋅⋅-⋅-≥⋅-⋅+-)2(2)!7()!1(!82)!8(!!8)1(2)!9()!1(!82)!8(!811ΛΛΛΛr r r rr r r r r r r r ！ 由（1）得，r r -≥912，解得.6≤r 由（2）得，1281+≥-r r ，解得.5≥r .65*，或，=∴∈r N r Θ当5=r 时，55558617922x x C T =⋅⋅=；当6=r 时，66668717922x x C T =⋅⋅=.。
2023-2024学年广西南宁市高二下学期期中考试数学质量检测模拟试题(含解析)
2023-2024学年广西南宁市高二下册期中考试数学模拟试题一、单选题1．已知集合{}29A x x =<，{}|15,B x x x =-<<∈N ，则A B = （）A ．()1,3-B ．()0,5C ．{}1,2D ．{}0,1,2【正确答案】D【分析】根据一元二次不等式的解法求得集合A ，再由集合交集的运算即可求解.【详解】集合{}{}2|9|33A x x x x =<=-<<，集合{}{}|15,0,1,2,3,4B x x x =-<<∈=N ，则{}0,1,2A B = ，故选：D.2．若复数z 满足i 34i z ⋅=-，则z =（）A ．1B ．5C ．7D ．25【正确答案】B【分析】利用复数四则运算，先求出z ，再计算复数的模．【详解】由题意有()()()34i i 34i 43i i i i z ---===--⋅-，故|5|z ==．故选：B ．3．设a R ∈，则“1a =”是“直线1l ：240ax y +-=与直线2l ：()120x a y +++=平行”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】C【分析】根据直线平行的条件和充要条件的概念判断.【详解】解：当1a =时，1l ：240x y +-=，2l ：220x y ++=，124122-=≠，可得两直线平行；若1l 与2l 平行，则24112a a -=≠+，解得1a =或2(a =-舍)，故为充要条件，故选：C.4．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1144S =，则468a a a ++=（）A ．12B ．13C ．14D ．15【正确答案】A【分析】根据等差数列的求和公式由1144S =求出64a =，利用等差数列的性质可得答案.【详解】因为数列{}n a 为等差数列，所以()1111161111442a a S a +===，所以64a =，所以4686312a a a a +==+.故选：A.5．函数321()4963f x x x x =+-+在区间[12]-，上的最小值为（）A ．563B ．203C ．43D ．3-【正确答案】C【分析】根据()f x 在[12]-，上单调性求出最值即可【详解】由329[]1()46,123f x x x x x =+-+∈-，可得2()89f x x x '=+-，令()0f x '=，解得1x =，当11x -<<，()0f x '<，()f x 单调递减；当12x <<，()0f x '>，()f x 单调递增，所以()f x 的极小值，也为最小值为14(1)49633f =+-+=，故选：C6．已知圆的方程为22680x y x y +--=，设该圆过点()3,5的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为（）A ．B ．C ．D ．【正确答案】B【分析】先分析已知点与圆的位置关系，再判断出最长弦和最短弦的位置，然后利用三角形的面积公式即可求出四边形ABCD 的面积.【详解】解：圆心坐标是()3,4，半径是5，圆心到点()3,5的距离为1．所以点()3,5在圆内，最长弦为圆的直径由垂径定理得：最短弦BD 和最长弦（即圆的直径）AC 垂直，故最短弦的长为=，最长弦即直径，即10AC =，所以四边形ABCD 的面积为111022AC BD ⋅=⨯⨯=故选：B.7．已知F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左焦点，直线l 经过点F ，若点A (a ，0)，B (0，b )关于直线l 对称，则双曲线C 的离心率为（）A B ．12C1D 1【正确答案】C由点A (a ，0)，B (0，b )关于直线l 对称，可得直线l 为线段AB 的垂直平分线，利用中点公式和直线垂直的关系求得直线l 的方程，将F 的坐标代入，求得a ,b ,c 的关系式，进一步转化得到a ,c 的齐次关系式，转化为离心率e 的方程求解即得.还可以从AF BF =入手解决，更为简洁.【详解】解法一：由点A (a ，0)，B (0，b )关于直线l 对称，可得直线l 为线段AB 的垂直平分线，线段AB 的中点的坐标为,22a b ⎛⎫⎪⎝⎭，直线AB 的斜率为b a -，可得直线l 的方程为22b a a y x b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭－，令y ＝0，可得2122b x a a -＝，由题意可得2122b c a a=-－，即有a (a ＋2c )＝b 2＝c 2－a 2，即c 2－2ac －2a 2＝0，由ce a＝，可得e 2－2e －2＝0，解得1e +＝(1e ＝)，故选：C ．解法二：由点A (a ，0)，B (0，b )关于直线l 对称，可知AF BF =,即a c +=,两边平方，并结合222b c a =-，整理可得c 2－2ac －2a 2＝0，下同解法一.本题考查双曲线的性质：离心率的求法.根据已知条件求得a ,b ,c 的关系，进而得到a ,c 的齐次关系，根据离心率的定义转化为离心率e 的方程求解，是求离心率的常用方法.8．已知a =，3eb =，ln 33c =，则（）A ．a c b <<B ．c b a <<C ．b a c<<D ．b<c<a【正确答案】C【分析】构造函数()ln xf x x=，利用导数研究其单调性，再比较大小即可.【详解】设函数()()ln e x f x x x =>，则()21ln 0xf x x'-=<，则()f x 在()e,+∞上是减函数，又3e 3e <<<，则()()33e f f f >>，又因为ln1020fa ===，()3333ln e 3e e e f ==>，()ln 333f c ==，所以()()33e f f f b >>>，即b a c <<．故选：C.二、多选题9．为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则下列说法正确的是（）A ．某学生从中选2门课程学习，共有15种选法B ．课程“乐”“射”排在不相邻的两周，共有240种排法C ．课程“御”“书”“数”排在相邻的三周，共有144种排法D ．课程“礼”不排在第一周，也不排在最后一周，共有480种排法【正确答案】ACD【分析】根据给定条件利用组合知识可以判断A 正确；不相邻问题利用插空法可以判断B 错误；相邻问题利用捆绑法可以判断C 正确；利用特殊位置法可以判断D 正确.【详解】对于A ，从六门课程中选两门的不同选法有2615C =种，A 正确；对于B ，先排“礼”、“御”、“书”、“数”，再用插空法排“乐”“射”，不同排法共有4245480A A =种，B错误；对于C ，“御”“书”“数”排在相邻的三周，可将“御”“书”“数”视为一个元素，不同排法共有3434A A 144=种，C 正确；对于D ，从中间四周中任取一周排“礼”，再排其它五门体验课程共有554A 480=种，D 正确.故选：ACD.10．已知等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项积为n T ，若1128a =，且78T T =，则下列命题正确的是（）A ．81a=B ．当且仅当8n =时，n T 取得最大值C ．12q =D ．()*121215N ,15n n a a a a a a n n -⋅=⋅∈< 【正确答案】ACD【分析】由等比数列各项积的意义判断A ，根据等比数列的通项公式结合A 求出公比判断C ，等比数列各项积的意义及所给条件判断B ，由等比数列通项公式、等差数列求和公式计算可判断D.【详解】因为78T T =，所以81a=，故A 正确；又181n a a q -=，即71128q =，解得12q =，故C 正确；由12q =知等比数列{}n a 为递减数列，且81a =，故n T 取得最大值为78T T =，故B 错误；因为(1)(15)121722121()n n n n n n nn a a a a qq q q--+++--⋅=== ，2(14)(15)(15)1515121471522212151()n n n n n n n n nn a a a aqq qq q-----+++----⋅==== 所以()*121215N ,15n n a a a a a a n n -⋅=⋅∈< 成立，故D 正确.故选：ACD11．已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点为F ，点()2,1A 在C 上，P 为C 上的一个动点，则（）A ．C 的准线方程为=1x -B ．若()0,3M，则PM 的最小值为C ．若()3,5M ，则PMF △的周长的最小值为11D ．在x 轴上存在点E ，使得PEF ∠为钝角【正确答案】BC【分析】根据题意求出p ，即可求出准线，即可判断A ；设点()00,P x y ，00≥y ，则204x y =，根据两点的距离公式结合二次函数的性质即可判断B ；过点P 作PN 垂直于C 的准线，垂足为N ，连接MN ，再结合图象，即可求得PMF △的周长的最小值，即可判断C ；设(),0E t ，再判断0EF EP ⋅<是否有解即可判断D.【详解】A 选项：因为点()2,1A 在抛物线2:2C x py =上，所以222p =，解得2p =，所以抛物线C 的方程为24x y =，所以C 的准线方程为1y =-，故A 错误；B 选项：设点()00,P x y ，00≥y ，则204x y =，因为()0,3M ，所以()()222220000329188PM x y y y y =+-=-+=-+≥，当且仅当01y =时等号成立，所以minPM=B 正确；C 选项：过点P 作PN 垂直于C 的准线，垂足为N ，连接MN ，则PN PF =，易知()0,1F ，()3,5M ，所以5MF =，所以PMF △的周长为5611MF MP PF MF MP PN MF MN ++=++≥+=+=，当且仅当M ，P ，N 三点共线时等号成立，所以PMF△的周长的最小值为11，故C 正确；D 选项：设(),0E t ，则(),1EF t =- ，()00,EP x t y =-，所以()20000EF EP t x t y t x t y ⋅=--+=-+ ，因为点()00,P x y 在C 上，所以2004xy =，即2004x y =，所以222000042x x EF EP t x t t ⎛⎫⋅=-+=-≥ ⎪⎝⎭，所以cos 0EF EP PEF EF EP⋅∠=≥⋅，故PEF ∠不可能为钝角，故D 错误.故选：BC.12．已知函数()()21e ln 2，xf xg x x ==+分别与直线y a =交于点A ，B ，则下列说法正确的（）A ．AB 的最小值为1ln 212+B ．a ∃∈R ，使得曲线()y f x =在点A 处的切线与曲线()y g x =在点B 处的切线平行C ．函数()()y f x g x =-的最小值小于2D ．若()()()2e 32x f x g x ->-，则e x <【正确答案】AB【分析】对于A ：根据题意整理可得121eln 2a AB a -=-，构建()()122e 1ln 0=a F a a a -->，利用导数求最值分析判断；对于B ：根据导数的几何意义分析可得122e 10a a -⋅-=，利用函数分析判断；对于C ：构建()()()G x f x g x =-，利用导数求其最值分析判断；对于D ：整理可得：()212e e 32ln 2x x x ⎛⎫->-+ ⎪⎝⎭，分类讨论处理即可.【详解】设()()12,,,,0A x a B x a a >，对于A 项：由题意可得()()12122e 1ln 2x f x a g x x a ⎧==⎪⎨=+=⎪⎩，解得11221ln 2e a x a x -⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以12212e 1ln a A x a B x -=-=-，构建()()122e 1ln 0=a F a a a -->，则()122=e1a aF a -'-在()0,∞+上单调递增，且1=02F ⎛⎫' ⎪⎝⎭，当12a >时，102F ⎛⎫'> ⎪⎝⎭；当102a <<时，102F ⎛⎫< ⎪⎭'⎝；则()F a 在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增，在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，所以()111ln2022F a F ⎛⎫≥=+> ⎪⎝⎭，故12211eln 2112ln 2a AB x a x -=-=-≥+，即AB 的最小值为1ln 212+，故A 正确；对于B 项：∵()22e xf x '=，()1g x x'=，可得()ln 11ln 2e 22a a f x f a ⎛⎫''== ⎪⎝=⎭，()122121e e a a g x g --⎛⎫''== ⎪⎝⎭，即函数()2e xf x =在点()1,A x a 处切线的斜率为2a ，函数()1ln 2g x x =+在点()2,B x a 处切线的斜率为121ea -，令1212ea a -=，整理得122e 10a a -⋅-=，故原题意等价于方程122e 10a a -⋅-=有根，构建()122e1a h a a -=⋅-，故原题意等价于()122e1a h a a -=⋅-有零点，因为1122112e 1022h -⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭，则()h a 有零点12，故B 正确；对于C 项：构建()()()21e ln 2xG x f x g x x =-=--，因为()212e xG x x'=-在()0,∞+上单调递增，且()122112e 2e 22e 10122G ⨯⎛⎫'=-=-=-> ⎪⎝⎭，)11242112e 2e 4220144G ⨯⎛⎫'=-=-=< ⎪⎝⎭，则存在011,42x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()020012e 0xG x x '=-=，整理得020001e,ln 22ln 2x x x x =+=-，当()00,x x ∈时，()0G x '<；当()0,x x ∈+∞时，()0G x '>；则()G x 在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞单调递增，所以()()02000011111eln 2ln 2ln 22ln 222222x G x G x x x x ≥=--=++->+-=+-，（由于12x ≠，故等号取不到），又因为1ln202->，则12ln222+->，即函数()()y f x g x =-的最小值大于2，故C 错误；对于D 项，∵()()()2e 32x f x g x ->-，即()212e e 32ln 2xx x ⎛⎫->-+ ⎪⎝⎭整理得：()2e e ln 10xx x -+->，由ln x 可知：0x >，则有：当0e x <<时，则2e 0,ln 10,e 0x x x -<-<>，可得()2e e ln 10xx x -+-<；当e x =时，则2e 0,ln 10,e 0x x x -=-=>，可得()2e e ln 10xx x -+-=；当e x >时，则2e 0,ln 10,e 0x x x ->->>，可得()2e e ln 10xx x -+->；综上所述；若()()()2e 32x f x g x ->-，则e x >，故D 错误.故选：AB.方法定睛：利用导数研究函数极值、最值的方法(1)若求极值，则先求方程f ′(x )＝0的根，再检查f ′(x )在方程根的左右函数值的符号．(2)若探究极值点个数，则探求方程f ′(x )＝0在所给范围内实根的个数．(3)若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程f ′(x )＝0根的大小或存在情况来求解．(4)求函数f (x )在闭区间[a ，b ]的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值f (a )，f (b )与f (x )的各极值进行比较，从而得到函数的最值．三、填空题13．在代数式521x ⎫-⎪⎭的展开式中，常数项为_____________．【正确答案】-5【分析】写出二项式定理的通项，化简后，使得x 的指数幂为0，即可求得k 的值.【详解】521x ⎫⎪⎭的展开式的通项为：()51552215521C C 1rrrr r r r T x xx --+⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令5502r -=，解得1r =，所以()11215C 15T +=-=-，521x ⎫⎪⎭的展开式中的常数项为5-.故-514．曲线2x 1y x 2-=+在点()1,3--处的切线方程为__________．【正确答案】520x y -+=【分析】先验证点在曲线上，再求导，代入切线方程公式即可．【详解】由题，当=1x -时，=3y -，故点在曲线上．求导得：()()()()222221522x x y x x +--==++'，所以1|5x y =-='．故切线方程为520x y -+=．故520x y -+=．15．某班宣传小组有3名男生和2名女生.现从这5名同学中挑选2人参加小剧场演出，在已知抽取到有男生的条件下，2名都是男生概率是______.【正确答案】13【分析】根据已知条件，结合条件概率公式，即可求解.【详解】设事件A 表示“有男生”，事件B 表示“两名都是男生”，则5222C 9()1C 10P A =-=，5223C 3()C 10P AB ==，故()()()31109310P AB P B A P A ===.故答案为.1316．已知函数()ln e xf x x x a =-有两个不同的极值点，则实数a 的取值范围_________．【正确答案】1(0,)e【分析】等价于ln 1e xx a +=有两不等实根，则ln 1()e x x g x +=与y a=有两不同交点，再利用导数求出函数ln 1()e xx g x +=的单调区间即得解.【详解】解：由()ln e x f x x x a =-得()ln 1e x f x x a '=+-，因为函数()ln e x f x x x a =-有两个不同的极值点，所以方程0()ln 1e x f x x a '+-==有两不等实根，即ln 1e xx a +=有两不等实根，令ln 1()e x x g x +=，则ln 1()e xx g x +=与y a=有两不同交点，又21e (ln 1)e 11()(ln 1)e e xxx xx x g x x x-+'==--，令1()ln 1h x x x =--，则211()0h x x x '=--<在(0,)+∞上恒成立，所以1()ln 1h x x x=--在(0,)+∞上单调递减，又(1)1ln110h =--=，所以当(0,1)x ∈时，()0h x >，即11()(ln 1)0e x g x x x'=-->，所以()g x 单调递增；当(1,)x ∈+∞时，()0h x <，即11()(ln 1)0e x g x x x'=--<，所以()g x 单调递减；所以max 1()(1)eg x g ==，又(0,1)x ∈时，1()0e g =，所以当1(0,)e x ∈时，ln 1()0e x x g x +=<；(1,)x ∈+∞时，ln 1()0e xx g x +=>，所以为使ln 1()e xx g x +=与y a=有两不同交点，只需10ea <<．故1(0,)e四、解答题17．某校为增强学生的环保意识，普及环保知识，在全校范围内组织了一次有关环保知识的竞赛.现从参赛的所有学生中，随机抽取200人的成绩（满分为100分）作为样本，得到成绩的频率分布直方图如图所示.(1)求频率分布直方图中a 的值，并估计该校此次环保知识竞赛成绩的第50百分位数；(2)在该样本中，若采用分层抽样的方法，从成绩低于70分的学生中随机抽取6人，查看他们的答题情况，再从这6人中随机抽取2人进行调查分析，求这2人中至少有1人成绩在[)60,70内的概率.【正确答案】(1)0.025a =，第50百分位数为75.6(2)45【分析】（1）根据频率分布直方图频率之和为1计算a ，再根据百分位数计算公式计算第50百分位数；（2）根据分层抽样确定各区间人数，然后利用古典概型概率计算公式计算概率.【详解】（1）由频率分布直方图可得，()0.0060.0120.01820.021101a ++⨯++⨯=，则0.025a =，前3组的频率和为()0.0060.0120.018100.36++⨯=，第4组频率为0.25，所以第50百分位数位于第4组[)70,80内，记第50百分位数为x ，则700.50.36100.25x --=，解得75.6x =，即第50百分位数为75.6；（2）由频率分布直方图可知，成绩在[)[)[)4050,5060,6070,,,内的频率分别为0.06,0.12,0.18，采用分层抽样的方法从样本中抽取的6人，成绩在[)40,50内的有1人，记为A ，成绩在[)50,60内的有2人，记为12B B ､，成绩在[)60,70内的有3人，记为123C C C ､､，则从成绩在[)40,70内的6人随机抽取2人，共有：121231112132122AB AB AC AC AC B C B C B C B C B C ､､､､､､､､､､23B C ､12132312C C C C C C B B ､､､，共有15种，2人中至少有1人成绩在[)60,70内，共有：12311121321222312AC AC AC B C B C B C B C B C B C C C ､､､､､､､､､､13C C ､23C C ，有12种，记事件A =“2人中至少有1人成绩在[)60,70内”，则()124155P A ==.18．如图所示，在ABC 中，,A ∠,B ∠C ∠的对边分别为a ，b ，c ，已知2sin cos sin 0,b A B a B +=1a =，2c =.（1）求b 和sin C ；（2）如图，设D 为AC 边上一点，BD CD =ABD △的面积.【正确答案】(1)b ，7；（1）通过正弦定理边化角，整理化简得到cos B 的值，再利用余弦定理，求出b ，根据正弦定理，求出sin C ；（2）根据正弦定理得到sin 1CBD ∠=，即2CBD π∠=，根据勾股定理得到BD =，根据三角形面积公式，求出ABD △的面积.【详解】（1）因为2sin cos sin 0b A B a B +=，所以在ABC 中，由正弦定理sin sin sin a b cA B C==，得2sin sin cos sin sin 0B A B A B +=，因为sin sin 0A B ≠，所以2cos 10B +=，所以1cos 2B =-，又0B π<<，所以23B π=，由余弦定理得，2222cos b a c ac B =+-1142122⎛⎫=+-⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭7=，所以b ，在ABC 中，由正弦定理sin sin c bC B=，所以sin sin c BC b=22sin 3π=7=；（2）在ABD △中，由正弦定理得，sin sin BD CCD CBD=∠，因为BD CD =sin sin C CBD =∠因为sin 7C =，所以sin 1CBD ∠=，而()0,CBD π∠∈所以2CBD π∠=，由BD CD =,BD=CD ，所以222)1)+=，所以12t =，所以2BD =，因为ABD ABC DBC ∠=∠-∠232ππ=-6π=，所以1sin 2ABD S AB BD ABD =⨯⨯∠112222=⨯⨯⨯4=.本题考查正弦定理边角互化，正弦定理、余弦定理解三角形，属于简单题.19．在数列{}n a 中，已知12a =，()*132N n n a a n +=+∈.(1)证明：数列{}1n a +为等比数列；(2)记13n n n n b a a +=，数列{}n b 的前n 项和为n S ，求使得4992000n S <的整数n 的最大值.【正确答案】(1)证明见解析(2)5【分析】（1）计算()1331111n n n n a a a a +++++==，113a +=，得到等比数列的证明.（2）确定31nn a =-，111123131n nn b +⎛⎫=- ⎪--⎝⎭，根据裂项相消法得到11114231n n S +=-⨯-，代入不等式计算得到答案.【详解】（1）132n n a a +=+，得()1131n n a a ++=+，()1331111n n n n a a a a +++++==，113a +=，故数列{}1n a +是以3为首项，3为公比的等比数列；（2）13nn a +=，故31nn a =-，故()()113111231313131n n n n n n b ++⎛⎫==-⎪----⎝⎭，1223111111111111112313123131231314231n n n n S ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-⨯ ⎪ ⎪ ⎪-------⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，4992000n S <，即111149942312000n +-⨯<-，即131001n +<，67310013<<，故5n ≤，故使得4992000n S <的最大整数为5.20．如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为4的菱形，60,BCD AC ∠= 与BD 交于点O ，平面FBC ⊥平面,,,2ABCD EF AB FB FC EF ==∥.(1)求证：OE ⊥平面ABCD ；(2)若AE FC ⊥，点Q 为AE 的中点，求二面角Q BC A --的余弦值.【正确答案】(1)证明见解析(2)31111.【分析】（1）取BC 中点G ，连接,FG OG ，证明FG ⊥平面,ABCD OE FG ∥，则OE ⊥平面ABCD ；（2）以AC 所在直线为x 轴，BD 所在直线为y 轴，OE 所在直线为z 轴建立空间坐标系，分别求平面QBC 和平面ABC 的法向量，将二面角Q BC A --的余弦值转化为两个法向量夹角余弦值的问题.【详解】（1）证明：如图，取BC 中点G ，连接,FG OG ，因为FB FC =，所以FG BC ⊥，又因为平面FBC ⊥平面ABCD ，平面FBC 平面ABCD BC =，FG ⊂平面FBC ，所以FG ⊥平面,ABCD ,O G 分别为,AC BC 中点，所以1,2OG AB OG AB =∥.因为1EF AB,EF //AB 2=，//,EF OG EF OG∴=所以四边形EFGO 为平行四边形，所以OE FG ∥，所以OE ⊥平面ABCD .（2）如图，以AC 所在直线为x 轴，BD 所在直线为y 轴，OE 所在直线为z 轴建立空间坐标系，设()0,0,,(0)OE c c =>()()(),0,2,0,,2c A B C Q ⎫∴-⎪⎭()),,0,F c CF c CF AE c Q =⋅=∴⎭设平面QBC 的法向量()(),,,2,0,2,v x y z BC BQ ==--=⎭则00v BQ v BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即2020y y z ⎧--=⎪-=，则(1,v =-.设平面ABC 的法向量()0,0,1n =，设二面角Q BC A --的平面角为,θθ为锐角，所以cos 11n v n v θ⋅==.二面角Q BC A --.21．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，四点(())()1234,1,1,,P P P P 中恰有三点在C上.(1)求C 的方程；(2)若圆2243x y +=的切线l 与C 交于点,A B ，证明.OA OB ⊥【正确答案】(1)22142x y +=(2)证明见解析【分析】（1）利用对称性可以判断C 经过3P ，4P 两点，2P 与3P 的纵坐标相同可以判断1P 在C 上，进而求出结果；（2）先讨论切线l 的斜率不存在时，求出OA OB ⊥，再讨论切线l 的斜率存在时，利用相切得到()22341m k =+，进而联立直线与椭圆可以判断OA OB ⊥，从而求出结果.【详解】（1）由34,P P 两点关于y 轴对称，可得C 经过34,P P 两点.2P 与3P 的纵坐标相同，且都位于第一象限，不可能都在C 上，所以2P 不在C 上，则22211,b a b ⎧⎪⎨+=⎪⎩解得2,a b =⎧⎪⎨=⎪⎩故C 的方程为22142x y +=.（2）证明：当切线l的斜率不存在时，得:l x =当:3l x =时，可得,A B ⎝⎭⎝⎭.03333OA OB ⋅=⨯-⨯= ，则OA OB ⊥.当:l x =时，同理可证.当切线l 的斜率存在时，设:l y kx m =+.因为l 与圆2243x y +=相切，所以圆心()0,0到l3=，即()22341m k =+.联立22,1,42y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222214240k x kmx m +++-=.设()()1122,,,A x y B x y ，则2121222424,1212km m x x x x k k -+=-=++.()()()221212121212121OA OB x x y y x x kx m kx m k x x kmx x m ⋅=+=+++=+++()()222222212441212k m k m m k k+-=-+++22243412k m k -+-=+由()22341m k =+，得0OA OB ⋅= ，则OA OB ⊥.综上，若圆2243x y +=的切线l 与C 交于点,A B ，则OA OB ⊥.22．已知函数()22e xa f x x=，0a ≠.(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)若()ln ln x xf x a -≤恒成立，求实数a 的取值范围.【正确答案】(1)见解析.(2)1,2e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【分析】（1）分类讨论0a >，a<0两种情况，由导数得出单调性；（2）将()ln ln x xf x a -≤变形为ln 22e eln xxax x a≥，构造函数()e xu x x =，由其单调性得出2e x x a ≥，进而由导数得出2e xx的最大值，从而得出求实数a 的取值范围.【详解】（1）因为()22e x a f x x =，所以()()222222e 214e 2e xx x a x a x a f x x x --='=.当0a >时，由()0f x ¢>，得12x >，由()0f x '<，得12x <，且0x ≠，故()f x 的单调递增区间为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间为(),0∞-，10,2⎛⎫⎪⎝⎭；当a<0时，由()0f x ¢>，得12x <，且0x ≠，由()0f x '<，得12x >，故()f x 的单调递增区间为(),0∞-，10,2⎛⎫⎪⎝⎭，单调递减区间为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.综上，当0a >时，()f x 的单调递增区间为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间为(),0∞-，10,2⎛⎫⎪⎝⎭；当a<0时，()f x 的单调递增区间为(),0∞-，10,2⎛⎫⎪⎝⎭，单调递减区间为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.（2）易知0x >，0a >.由()ln ln x xf x a -≤，可得2ln ln ln 2e xx x a aa ≥-=，所以22e ln xx x x a a ≥恒成立，即ln 22e e ln x x a x x a≥恒成立.设()e x u x x =，()0x >，则()()1e 0xu x x '=+>，所以()u x 在()0,∞+上单调递增.当0x >时，()0u x >，所以ln22e eln x xax x a≥恒成立等价于2l n xx a ≥恒成立，即2e xxa ≥对()0,x ∈+∞恒成立.设()2e x x v x =，0x >，()212e xxv x -'=.当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0v x '>；当1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0v x '<.所以()v x 在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，所以()max 1122e v x v ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以12e a ≥，即a 的取值范围是1,2e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.关键点睛：解决问题二时，关键在于将()ln ln x xf x a -≤整理成ln22e eln xxaxx a ≥的形式，构造函数()e x u x x =，由其单调性以及()2ln x u x u a ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭得出2e x xa ≥，最后求出()2e x x v x =的最大值，得出a的取值范围.。
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2019年高中数学单元测试试题 概率专题（含答案）学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 一、选择题1．在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为1，2，3，…，18的18名火炬手.若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成3为公差的等差数列的概率为 （A ）511（B ）681（C ）3061（D ）4081(2008山东理) 第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题2．某团队有6人入住宾馆中的6个房间，其中的房号301与302对门，303与304对门，305与306对门，若每人随机地拿了这6个房间中的一把钥匙，则其中的甲、乙两人恰好对门的概率为_______．3．将一颗质地均匀的 正方体骰子先后抛掷两次，记第一次出现的点数为x ，第二次出现的点数为y ，则事件“3≤+y x ”的 概率为 ____4．设a ∈{－1，0，1，3}，b ∈{－2，4}，则以（a ，b ）为坐标的点落在第四象限的概率为 ▲ ．5．已知()为常数a a 100≤≤，在区间[]100，上任取两个实数y x ,，设“a y x ≤+2”的概率为p ，“a y x ≥-2”的概率为q ，若有q p ≤，则实数a 的取值范围 6．一个总体分为A ,B 两层,用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本｡已知B 层中每个个体被抽到的概率都为112,则总体中的个体数为_____. 〖解〗7．用数字1,2,3作为函数c bx ax y ++=2的系数，则该函数有零点的概率为 ▲ ．8． 把一个体积为27cm 3的正方体木块表面涂上红漆，然后锯成体积为1 cm 3的27个小正方体，现从中任取一块，则这一块至少有一面涂有红漆的概率为 ▲ ．26279． 从{-1,1,2}中随机选取一个数记为k,从{-2,1,2}中随机选取一个数记为b,则直线y=kx+b 不 经过第三象限的概率为 ▲ .10．把一颗骰子投掷2次，观察出现的点数，记第一次出现的点数为a ，第二次出现的点数为b ，则方程组3,2 2.ax by x y +=⎧⎨+=⎩只有一个解的概率为 ▲ ．11．对总数为N 的一批零件抽取一个容量为30的样本，若每个零件被抽到的概率为0.25，则N 的值为 ．12．某学校有两个食堂，甲，乙，丙三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则他们在同一个食堂用餐的概率为 ．13．从长度为2、3、5、6的四条线段中任选三条，能构成三角形的概率 为 ▲ .14．在区间（0,1）内任取两个实数，则它们的和大于12而小于32的概率是____________________15．在等腰直角三角形ABC 的斜边AB 上任取一点M ，则AM AC <的概率为 ▲ ．16．已知函数n my x =，其中,m n 是取自集合{1,2,3}的两个不同值，则该函数为偶函数的概率为___▲___．17．在坐标平面内，点()x y ，在x 轴上方的概率是．（其中{}012345x y ∈，，，，，，） 18．在ABC ∆的边AB 上随机取一点P , 记CAP ∆和CBP ∆的面积分别为1S 和2S ，则122S S >的概率是 ．19．从3名男生和n 名女生中，任选3人参加比赛，已知3人中至少有1名女生的概率为3534，则=n 4 ． 20．在ABC ∆的边AB 上随机取一点P , 记CAP ∆和CBP ∆的面积分别为1S 和2S ，则122S S >的概率是 ▲ ．21．已知甲、乙、丙三人将参加某项测试，他们能达标的概率分别是8.0、6.0、5.0，则三人中至少有一人达标的概率是 ▲ ．22．从11,,2,332⎧⎫⎨⎬⎩⎭中随机抽取一个数记为a ，从{}1,1,2,2--中随机抽取一个数记为b ，则函数x y a b =+的图象经过第三象限的概率是 ．三、解答题23．（2013年高考四川卷（文））某算法的程序框图如图所示,其中输入的变量x 在24,,3,2,1 这24个整数中等可能随机产生.(Ⅰ)分别求出按程序框图正确编程运行时输出y 的值为i 的概率(1,2,3)i P i =;(Ⅱ)甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解,各自编写程序重复运行n 次后,统计记录了输出y 的值为(1,2,3)i i =的频数.以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据.当2100n =时,根据表中的数据,分别写出甲、乙所编程序各自输出y 的值为(1,2,3)i i =的频率(用分数表示),并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大. 24．(本小题满分12分)已知正三角形ABC 内接于半径为R 的圆O ．（1）若在线段AB 上任取一点D ，求线段AD 、DB 的长都不小于12R 的概率；（2）若随机地向圆内丢一粒豆子，假设豆子落在圆内任一点是等可能的，求豆子落入正三角形ABC 内的概率．25． (本小题满分15分)甲、乙、丙三个人独立地翻译同一份密码，每人译出此密码的概率依次为0.4，0.35，0.3．设随机变量X 表示译出此密码的人数，求： （1）恰好有2个人译出此密码的概率P （X =2）； （2）此密码被译出的概率(1)P X ≥．26．有三个人,每个人都以相同的概率被分配到四个房间中的每一间.试求 (1)三个人都分配到同一房间的概率; (2)至少有两个人分配到同一房间的概率.27．某高校从参加今年自主招生考试的学生中随机抽取容量为50的学生成绩样本，得频率分布表如下：（1（2）估计成绩不低于240分的学生约占多少；（3）为了选拔出更优秀的学生，高校决定在第三、四、五组中用分层抽样法抽取6名学生进行第二轮考核，分别求第三、四、五各组参加考核人数．28．某市调查高中学生的肥胖状况，随机抽取1000名调查，数据如下：已知从这批学生中随机抽取1名学生，抽到偏瘦男生的概率为0．15．（1）求x的值；（2）若用分层抽样的方法，从这批学生中随机抽取50名，问应在肥胖学生中抽多少名？（3）已知193y≥，193z≥，肥胖学生中男生不少于女生的概率．29．某老师从参加高一年级一次考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）分成六段[)[)[]40,50,50,60,90,100⋅⋅⋅后画出如下部分频率分布直方图，观察图形的信息，回答下列问题：(1）求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图； (2）该老师不小心洒了一个墨水点在直方图的矩形区域内，求恰好落在第四组的小矩形内的概率(不计墨水点大小)； (3）若60分及以上为及格，请你估算从高一年级及格的学生中抽取一名学生分数不低于80分得概率。
南宁市高二下学期数学第一次月考测试卷(II)卷
南宁市高二下学期数学第一次月考测试卷（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）对于独立性检验，下列说法错误的是（）A . 两事件频数相关越小，就越小B . 两事件频数相关越小，就越大C . 时，事件A与事件B无关D . ＞时，有99%的把握说事件A与事件B有关2. （2分）(2018·淮南模拟) 已知（为虚数单位），则复数的虚部为（）A .B . 1C .D . 23. （2分） (2019高二下·蓝田期末) 复数在复平面内对应的点位于（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限4. （2分）已知变量与正相关，且由观测数据算得样本平均数，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（）A .B .C .D .5. （2分）用数学归纳法证明多边形内角和定理时，第一步应验证（）A . n=1成立B . n=2成立C . n=3成立D . n=4成立6. （2分） (2019高二下·宁夏月考) “因为对数函数y=logax是减函数（大前提），而y=log2x是对数函数（小前提），所以y=log2x是减函数（结论）”.上面推理是（）A . 大前提错，导致结论错．B . 小前提错，导致结论错C . 推理形式错，导致结论错．D . 大前提和小前提都错，导致结论错．7. （2分） (2017高二下·邢台期末) 两个变量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们对应的R2=1﹣的值如下，其中拟合效果最好的模型是（）A . 模型1对应的R2=0.48B . 模型3对应的R2=0.15C . 模型2对应的R2=0.96D . 模型4对应的R2=0.308. （2分） (2015高三上·厦门期中) 设a，b为实数，若复数，则a﹣b=（）A . ﹣2B . ﹣1C . 1D . 29. （2分）用三段论推理：“任何实数的平方大于0，因为 a 是实数，所以a2>0 ”，你认为这个推理（）A . 大前提错误B . 小前提错误C . 推理形式错误D . 是正确的10. （2分） (2019高二上·洛阳期中) 在中，角的对边分别为，已知，点是的中点，若，则面积的最大值为（）A .B .C .D .11. （2分）类比结论“平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行”，在空间可得如下结论：①垂直于同一条直线的两条直线平行；②垂直于同一平面的两条直线互相平行；③垂直于同一条直线的两个平面互相平行；④垂直于同一平面的两个平面互相平行．则正确结论的序号是（）A . ②③B . ②④C . ②③④D . ①②③④12. （2分）仔细观察下面○和●的排列规律：○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●○○○○○○●……若依此规律继续下去，得到一系列的○和●，那么在前120个○和●中，●的个数是（）A . 13B . 14C . 15D . 16二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）已知，为虚数单位，若，则 ________．14. （1分）甲、乙、丙、丁4位同学各自对 A ， B两变量做回归分析，分别得到散点图与残差平方和，如下表：甲乙丙丁散点图残差平方和115106124103则________同学的试验结果体现拟合A ， B两变量关系的模型拟合精度最高.15. （1分）某个命题的结论是“实数a，b都不大于2”，如果用反证法证明，正确的反设为________16. （1分） (2018高二下·大连期末) 《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术.得决自诩无所阻，额上坟起终不悟.”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：，，，，则按照以上规律，若具有“穿墙术”，则 ________．三、解答题 (共6题；共65分)17. （5分） (2019高二下·宁夏月考) 用分析法证明：．18. （15分） (2018高二下·张家口期末) 已知复数，是的共轭复数，且为纯虚数，在复平面内所对应的点在第二象限，求 .19. （10分） (2017高一上·舒兰期末) 在如图所示的几何体中，D是AC的中点，EF∥DB．（1）已知AB=BC，AF=CF，求证：AC⊥平面BEF；（2）已知G、H分别是EC和FB的中点，求证：GH∥平面ABC．20. （10分） (2016高二下·河南期中) 为了调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：男女总计需要帮助40m70不需要帮助n270s总计200t500（1）求m，n，s，t的值；（2）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的比例；（3）能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者帮助与性别有关．参考公式：随机变量K2= ，n=a+b+c+d在2×2列联表：y1y2总计x1a b a+bx2c d c+d总计a+c b+d a+b+c+dP（K2≥k0）0.100.050.0250.0100.0050.001k0 2.7063.841 5.0246.6357.87910.82821. （10分） (2016高一下·郑州期末) 某个体服装店经营某种服装，在某周内获纯利y（元）与该周每天销售这种服装件数x之间的一组数据关系如下表x3456789y66697381899091（1）求纯利y与每天销售件数x之间的回归方程；（2）若该周内某天销售服装20件，估计可获纯利多少元？已知： x =280， y =45309， xiyi=3487， = ， = ﹣．22. （15分）某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：①sin213°+cos217°﹣sin13°cos17°；②sin215°+cos215°﹣sin15°cos15°；③sin218°+cos212°﹣sin18°cos12°；④sin2（﹣18°）+cos248°﹣sin（﹣18°）cos48°；⑤sin2（﹣25°）+cos255°﹣sin（﹣25°）cos55°．（1）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；（2）根据（1）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共65分) 17-1、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、20-3、21-1、21-2、22-1、第11 页共11 页。
广西南宁市高二下学期教学质量调研数学试题(解析版)
高二下学期教学质量调研数学试题一、单选题1．已知，，则直线的斜率为（ ） ()3,2A ()4,1B -AB A ．B ．C ．D ．717-177-【答案】B【分析】利用两点的斜率公式求解.【详解】因为，，所以线的斜率为. ()3,2A ()4,1B -AB 211347k -==+故选：B.2．已知空间四边形ABCD 中，，，，点M 在OA 上，且OM ＝2MA ，N 为OA a = OB b =OC c = BC 中点，则（ ）．MN =A ．B ．121232a b c -+ 211322a b c -++C ．D ．111222a b c +- 221332a b c +- 【答案】B【分析】利用空间向量的线性运算即可求出结果．【详解】如图，连接，则，ON ()1223MN ON OM OB OC OA =-=+-= 211322a b c -++故选：B ．3．已知A 为抛物线C :y 2=2px （p >0）上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p =（ ） A ．2 B ．3C ．6D ．9【答案】C【分析】利用抛物线的定义建立方程即可得到答案.【详解】设抛物线的焦点为F ，由抛物线的定义知，即，解得. ||122A pAF x =+=1292p =+6p =故选：C.【点晴】本题主要考查利用抛物线的定义计算焦半径，考查学生转化与化归思想，是一道容易题. 4．已知在等差数列中，，，则（ ） {}n a 4820a a +=712a =4a =A ．12 B ．10 C ．6 D ．4【答案】C【分析】根据给定条件，利用等差数列性质求出公差，即可求解作答.【详解】在等差数列中，，得，公差， {}n a 648220a a a =+=610a =762d a a =-=所以. 46210226a a d =-=-⨯=故选：C5．点到双曲线的一条渐近线的距离为（ ）()3,0221169x y -=A ．B ．C ．D ．95856545【答案】A【分析】首先确定渐近线方程，然后利用点到直线距离公式求得点到一条渐近线的距离即可.【详解】由题意可知，双曲线的渐近线方程为：，即，220169x y -=340x y ±=结合对称性，不妨考虑点到直线的距离：. ()3,0340x y +=95d ==故选：A.6．已知平面向量，满足 ，，且，则与的夹角为（ ） a b ||1a = ||2b = ()a b a +⊥ a bA ．B ．C ．D ．56π6π23π3π【答案】C【分析】由向量垂直得数量积，再由向量的数量积的定义求得夹角．a b ⋅【详解】∵，∴，∴， ()a b a +⊥ 2()0a b a a a b +⋅=+⋅=1a b ⋅=- ∴， 1cos ,2cos ,a b a b a b a b ⋅=-=<>=<> ，∴．1cos ,2a b <>=- ,a b <> 23π=故选：C ．【点睛】本题考查求向量的夹角，考查平面向量数量积的定义，解题关键是掌握向量垂直与数量积的关系．7．如图，正方形的边长为5，取正方形各边的中点，，，，作第2个正方ABCD ABCD E F G H 形，然后再取正方形各边的中点，，，，作第3个正方形，依此方法EFGH EFGH I J K L IJKL一直继续下去.则从正方形开始，连续10个正方形的面积之和等于（ ）ABCDA ．B ．1015012⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦1012512⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦C ．D ．10251122⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦1015012⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦【答案】A【分析】将正方形面积按作法次序排成一列得数列，再确定该数列为等比数列，借助等比数列{}n a 前n 项和公式求解作答.【详解】依题意，将正方形面积按作法次序排成一列得数列，， {}n a 125a =，因此，即数列是等比数列，112n n a a +={}n a 公比， 12q =所以前10个正方形的面积之和. 101010110125[1()](1)1250[1(]11212a q S q --===---故选：A8．已知圆，过直线在第一象限内一动点P 作圆O 的两条切线，切点分别22:2O x y +=:24l x y +=是A ，B ，直线AB 与两坐标轴分别交于M ，N 两点，则面积的最小值为（ ） OMN A A ． B ．1CD ．212【答案】B【解析】根据圆的切线方程可以求出直线AB 的方程，最后利用基本不等式进行求解即可. 【详解】设，则， ()00,P x y ()0000240,0x y x y +=>>设，， ()11 ,A x y ()22,B x y 当时， ，所以切线方程为：11,00x y ≠≠111111OA PA PA PA y xk k k k x y ⋅=-⇒⋅=-⇒=-PA，而，化简为：，显然当或时也适合，所以1111()()x y y x x y -=--22112x y +=112x x y y +=10x =10y =切线方程为，同理，PA 112x x y y +=22:2PB x x y y +=将P 的坐标代入上述直线方程，则有，1010202022x x y y x x y y +=⎧⎨+=⎩于是直线AB 的方程为，002x x y y +=因此，，02,0M x ⎛⎫ ⎪⎝⎭020,N y ⎛⎫⎪⎝⎭的面积为， OMN A 220000001224441222422S x y x y x y =⋅⋅=≥==⋅+⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当，即时取等号.所以面积的最小值为1. 002x y =0012x y =⎧⎨=⎩OMN A 故选：B二、多选题9．下列说法错误的是（ ）A ．直线必过定点2(1)(3)750m x m y m ++-+-=()1,3B ．过点且在两坐标轴上的截距相等的直线l 的方程为 ()2,3A --5x y +=-C ．经过点，倾斜角为的直线方程为()1,1P θ()1tan 1y x θ-=-D ．已知直线和以，为端点的线段相交，则实数k 的取值范围为10kx y k ---=()3,1M -()3,2N 1322k -≤≤【答案】BCD【分析】A 选项由含参直线方程过定点的求法计算即可；B 选项没有考虑直线过原点的情况，故错误；C 选项，由倾斜角与斜率的关系即可判断；D 选项计算出端点值后，由线段MN 与y 轴相交判断斜率的范围应取端点值两侧，故错误.【详解】A 选项，直线方程变形为，令，解得(25)2370x y m x y +-+-+=2502370x y x y +-=⎧⎨-+=⎩，即原直线必过定点，A 正确；1,3x y ==(1,3)B 选项，当直线l 过原点时，也满足在两坐标轴上的截距相等，此时直线l 的方程为，B320x y -=不正确； C 选项，当时，无意义，故C 不正确； π2θ=tan θD 选项，直线经过定点，当直线经过M 时，斜率为，当直线10kx y k ---=(1,1)-1(1)1312k --==---经过N 点时，斜率为，由于线段MN 与y 轴相交，故实数k 的取值范围为或2(1)3312k --==-12k ≤-，D 不正确. 32k ≥故选：BCD.10．在公比为整数的等比数列中，是数列的前项和，若，，q {}n a n S {}n a n 1418a a +=2312a a +=则下列说法正确的是（ ） A ． B ．数列是公差为2的等差数列 2q ={}lg n a C ． D ．数列是等比数列8254S ={}2n S +【答案】AD【解析】利用等比数列通项公式求解，，进而求得，，，从而判断各选项.1a q lg n a n S 2n S +【详解】由等比数列通项公式得， 14223311(1)18()12a a a a a q q a q ⎧+=⎪⎨+=⋅+=⋅+=⎪⎩解得，或，122a q =⎧⎨=⎩11612a q =⎧⎪⎨=⎪⎩又公比为整数，故，，故A 选项正确；q 122a q =⎧⎨=⎩112n nn a q a -=⋅=，故数列是公差为的等差数列，故B 选项错误；lg lg 2lg 2n n a n =={}lg n a lg 2，故，故C 选项错误；11(1)221n n n a q S q +-==--9822510S =-=，故为等比数列，即D 选项正确；122n n S ++={}2n S +故选：AD.11．如图，在正方体中，为的中点，为的中点，下列判断正确的是1111ABCD A B C D -E 1DD F 11C D （ ）A ．平面B ．平面平面1//B F BCE 11ADC B ⊥1A BE C ．异面直线与所成角的余弦值为 D ．若，则1A B CE 131AB =1116A B BE V -=【答案】BD【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，设出正方体的棱长，利用坐标法计算判断ABC ；利用等体积法求出体积判断D 作答.【详解】在正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，令正方体的棱长为1，1111ABCD A B C D -则，，，，，，，1(0,0,1)A (1,0,0)B (1,1,0)C (0,1,0)D 1(0,1,2E 1(1,0,1)B 1(,1,1)2F 对于A ，，设是平面的法向量，111(,1,0),(0,1,0),(1,0,22B F BC CE =-==- (,,)p x y z = BCE 则，令，得，因此，与不垂直， 0102p BC y p CE x z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 1x =(1,0,2)p = 1102p B F ⋅=-≠ p 1B F 所以与平面不平行，A 错误；1B F BCE 对于B ，，设是平面的法向量，111(1,0,1),(0,1,)2A B A E =-=- 111(,,)n x y z = 1A BE 则，令，则，又，， 1111110102A B n x z A E n y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩11y =(2,1,2)n = (0,1,0)AD = 1(1,0,1)AB =设是平面的法向量，则，令，得，222(,,)m x y z = 11ADC B 122200AB m x z AD m y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩21z =(1,0,1)m =- 于是，即，所以平面平面，B 正确； 12120n m ⋅=-⨯+⨯=n m ⊥ 11ADC B ⊥1A BE 对于C ，， 异面直线与所成角的余弦值为：11(1,0,1),(1,0,)2A B CE =-=- 1A B CEC 错误； 111|||cos ,|||||A B CE A B CE A B CE ⋅〈〉== 对于D ，，则有，D 正确.1AB =11111111111113326A B BE E A B B A B B V V S BC --==⋅=⨯⨯⨯⨯=A 故选：BD12的椭圆称为“黄金椭圆”.对于下列说法正确的是（ ） A ．椭圆是黄金椭圆2211612x y +=B ．在中，，，且点在以，为焦点的黄金椭圆上，则的周长为ABC A ()2,0B -()2,0C A B C ABC A 6+C ．过黄金椭圆的右焦点作垂直于长轴的垂线，交椭圆于，两点，()222210x ya b a b +=>>(),0F c A B 则)1AB a =-D ．设，是黄金椭圆的两个焦点，则椭圆上满足的点1F 2F ()2222:10x y C a b a b +=>>C 1290F PF ∠=︒P不存在 【答案】BCD【分析】求出椭圆离心率判断A ；求出焦点的周长判断B ；借助方程组求出弦长判断C ；求ABC A 出与0的关系判断D 作答.2221212||||||PF PF F F +-【详解】对于A ，椭圆的长半轴长，半焦距，离心率，A2211612x y +=4a =2c=12c e a ==错误；对于B ，黄金椭圆半焦距，则长半轴长，因此焦点的周长为2c=1ca e===ABC A B 正确；226a c +=+对于C ，由得，则，C 正22221x c x yab =⎧⎪⎨+=⎪⎩2||b y a =222222(||22)1)b ac AB a a a a a -===-⋅=确；对于D ，黄金椭圆焦距，，当且仅当21)c a =21212||||||||()2PF PF PF PF a +⋅≤=12||||PF PF a==时取等号，则222221212121212||||||(||||)||2||||PF PF F F PF PF F F PF PF +-=+--⋅，)())2222221241222220a a PF PF a a a =--⋅≥-=>即不是直角，因此黄金椭圆上满足的点不存在，D 正确.12F PF ∠C 1290F PF ∠=P 故选：BCD三、填空题13．空间中点关于轴的对称点,点,则,连线的长度为___________. ()3,3,1A x A '()1,1,5B -A 'B【答案】【分析】写出点关于轴的对称点,再利用两点距离公式求解. A x A '【详解】由题意可得,(3,3,1)A '=--=故答案为:.【点睛】本题考查了空间中的点对称以及两点间的距离问题,属于简单题.14．已知点是椭圆上的一点，且位于第一象限内，以点及焦点、为顶点的三角P 22154x y +=P 1F 2F 形的面积等于1，则点的坐标为______. P【答案】 【分析】求出椭圆的焦距，利用给定的面积求出点P 的纵坐标即可作答.【详解】椭圆的焦点，，设点，22154x y +=12(1,0),(1,0)F F -12||2F F =0000(,)(0,0)P x y x y >>依题意，，又，于是，1212001||12PF F S F F y y =⋅==A 2200154x y +=0x =所以点的坐标为. P故答案为： 15．圆与圆的公共弦的长为_________．2240x y +-=2244120x y x y +-+-=【答案】【分析】将两圆方程作差可得出相交弦所在直线的方程，求出圆的圆心到相交弦所在2240x y +-=直线的距离，利用勾股定理可求得相交弦长.【详解】将圆与圆的方程作差可得， 2240x y +-=2244120x y x y +-+-=20x y -+=所以，两圆相交弦所在直线的方程为， 20x y -+=圆的圆心为原点，半径为， 2240x y +-=O 2r =原点到直线的距离为 O 20x y -+=d ==所以，两圆的公共弦长为=故答案为：16．我国的《洛书》中记载着世界上最古老的幻方：将1，2，…，9填入方格内使三行、三列、两条对角线的三个数之和都等于15，如图所示.一般地，将连续的正整数1，2，…，填入个方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数2n n n ⨯的和相等，这个正方形叫做阶幻方.记阶幻方的对角线上数的和为，例如，，n n n N 315N =434N =，……，那么______.565N =n N =【答案】.()212n n +【分析】首先根据题意得到，再利用等差数列求和即可. ()2112n N n n=+++ 【详解】由题知：， ()31129153N =++⋯+=， ()411216343N =+++=…， ()511225653N =+++=………，所以. ()()()222211212112n N n n n n n n n ++==+++=⨯故答案为：()212n n +【点睛】本题主要考查等差数列的求和，熟记公式为解题关键，属于简单题.四、解答题17．如图，已知的顶点为，，，ABC A (2,4)A (0,2)B -(2,3)C -求：（1）AB 边所在直线的方程；（2）AB 边上的高线CH 所在直线的方程.【答案】（1）AB 边所在直线的方程是；（2）.320x y --=370x y +-=【分析】（1）由AB 的坐标可得斜率，由点斜式方程可写出方程，化为一般式即可； （2）由垂直关系可得高线的斜率，由高线过点C ，同（1）可得. 【详解】（1），， (2,4),(0,2)A B - 4(2)320AB k --∴==-由点斜式方程可得， (2)3(0)y x --=-化为一般式可得； 320x y --=（2）由（1）可知，3AB k =故AB 边上的高线CH 所在直线的斜率为，13-又AB 边上的高线CH 所在直线过点， (2,3)C -所以方程为，13(2)3y x -=-+化为一般式可得.370x y +-=【点睛】本题考查直线一般式方程的求解，从点斜式出发是解决问题的关键，属基础题. 18．已知在平行六面体中，，，且1111ABCD A B C D -2AB =13AA =1AD =113DAB BAA DAA π∠=∠=∠=.(1)求的长；1DB (2)求向量与夹角的余弦值.1DB AB【答案】【分析】（1）用空间的一个基底表示向量，再利用空间向量数量积的运算律求解1{,,}AB AD AA1DB 作答.（2）利用（1）中信息，结合空间向量的夹角公式计算作答.【详解】（1）在平行六面体中，为空间的一个基底， 1111ABCD A B C D -1{,,}AB AD AA 因为，，且，2AB =13AA =1AD =113DAB BAA DAA π∠=∠=∠=则，11πππ321cos 1,23cos 3,13cos 3332AB AD AB AA AD AA ⋅=⨯⨯=⋅=⨯⨯=⋅=⨯⨯= ，111DB DA AB BB AB AD AA =++=-+所以1||DB ===（2）由（1）知，，则，11DB AB AD AA =-+ 22112136DB AB AB AB AD AB AA ⋅=-⋅+⋅=-+=又与夹角的余弦值1DB = 1DB AB111cos ,||||DB DB D B AB AB B A ⋅〈〉===19．北京时间2022年4月16日9时56分，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，全国人民都为我国的科技水平感到自豪.某学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验.如图，航天器按顺时针方向运行的轨迹方程为，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛22110025x y +=物线）后返回的轨迹是以轴为对称轴，为顶点的抛物线的一部分（从点到点）.已知y 360,5⎛⎫⎪⎝⎭C B观测点A 的坐标，当航天器与点A 距离为4时，指挥中心向航天器发出变轨指令.()6,0(1)求航天器变轨时点的坐标；C (2)求航天器降落点与观测点A 之间的距离. B 【答案】(1) ()6,4(2)3【分析】（1）设出点，利用的距离和椭圆方程可求出点的坐标； C ,A C C （2）根据抛物线经过的点求出方程，解出降落点的坐标，可得答案. 【详解】（1）设，由题意，，(),C x y 4AC =4=又，联立解得或（舍），当时， ， 22110025x y +=6x =10x =6x =4y =故的坐标为.C ()6,4（2）由题意设抛物线的方程为，2y mx n =-+因为抛物线经过点，，()6,4C 360,5⎛⎫⎪⎝⎭所以，，解得，即；365n =546363m =-+445m =2436455y x =-+令可得或（舍），即； 0y =9x =9x =-()9,0B 所以，||||||3AB OB OA =-=所以航天器降落点与观测点A 之间的距离为3.B 20．数列{an }的前n 项和为Sn ，Sn =2n 2+n ,,数列{b n }满足an =4log 2bn +3, . *n ∈N *n ∈N （1）求an 和bn 的通项公式； （2）求数列{an·bn }的前n 项和Tn .【答案】（1），bn =2n-1, （2）41n a n =-N n +∈(45)25,nn T n n N +=-⋅+∈【详解】试题分析：第一问利用数列的项与和的关系，，先求出当时的关11,2{,1n n n S S n a S n --≥==2n ≥系式，再去验证时是否成立，从而确定出最后的结果，将代入题中所给的式子，化1n =41n a n =-简求得，所以数列是由一个等差数列与一个等比数列对应项积所构成的新数列，利12n n b -={}n n a b ⋅用错位相减法求得其和．试题解析：（1）由Sn=2n 2+n ，可得当时， 2n ≥()()()221221141n n n a S S n n n n n -=-⎡⎤⎣⎦=+--+-=-当时，符合上式，所以1n =13a =41n a n =-由an =4log 2bn ＋3可得=4log 2bn ＋3，解得．41n -1*2,n n b n N -=∈（2）()1412n n n a b n -=-⋅∴ ①1231372112152...(41)2n n T n -=+⋅+⋅+⋅++-⋅②①-②可得∴．*5(45)2,n n T n n N =+-⋅∈【解析】求数列的通项公式，错位相减法求和．【思路点睛】该题考查的是数列的综合问题，在求数列的通项公式时，需要应用数列的项与和{}n a 的关系，在求解的过程中，需要对时对的式子是否成立，求数列的通项公式时需要1n =2n ≥{}n b 对指对式的互化要熟练掌握，第二问，在对数列进行求和时，应用错位相减法求和，而应用错位相减法对数列求和的步骤是比较关键的，需要加强．21．如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面平面，111ABC A B C -11BCC B 11BCC B ⊥11ABB A ，M ，N 分别为，AC 的中点．2AB BC ==11A B(1)求证：平面；MN ∥11BCC B (2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB 与平面BMN 所成角的正弦值．条件①：； AB MN ⊥条件②：．BM MN =注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析【分析】（1）取的中点为，连接，可证平面平面，从而可证平AB K ,MK NK //MKN 11BCC B //MN 面.11BCC B （2）选①②均可证明平面，从而可建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量可1BB ⊥ABC 求线面角的正弦值.【详解】（1）取的中点为，连接， AB K ,MK NK 由三棱柱可得四边形为平行四边形， 111ABC A B C -11ABB A 而，则，11,B M MA BK KA ==1//MK BB 而平面，平面，故平面， MK ⊄11BCC B 1BB ⊂11BCC B //MK 11BCC B 而，则，同理可得平面， ,CN NA BK KA ==//NK BC //NK 11BCC B 而平面，,,NK MK K NK MK =⊂ MKN 故平面平面，而平面，故平面， //MKN 11BCC B MN ⊂MKN //MN 11BCC B （2）因为侧面为正方形，故，11BCC B 1CB BB ⊥而平面，平面平面， CB ⊂11BCC B 11CBB C ⊥11ABB A 平面平面，故平面， 11CBB C ⋂111ABB A BB =CB ⊥11ABB A 因为，故平面， //NK BC NK ⊥11ABB A 因为平面，故，AB ⊂11ABB A NK AB ⊥若选①，则，而，， AB MN ⊥NK AB ⊥NK MN N = 故平面，而平面，故，AB ⊥MNK MK ⊂MNK AB MK ⊥所以，而，，故平面，1AB BB ⊥1CB BB ⊥CB AB B ⋂=1BB ⊥ABC 故可建立如所示的空间直角坐标系，则，()()()()0,0,0,0,2,0,1,1,0,0,1,2B A N M 故， ()()()0,2,0,1,1,0,0,1,2BA BN BM ===设平面的法向量为，BNM (),,n x y z = 则，从而，取，则，0n BN n BM ⎧⋅=⎨⋅=⎩ 020x y y z +=⎧⎨+=⎩1z =-()2,2,1n =-- 设直线与平面所成的角为，则 AB BNM θ.42sin cos ,233n AB θ===⨯ 若选②，因为，故平面，而平面， //NK BC NK ⊥11ABB A KM ⊂MKN 故，而，故， NK KM ⊥11,1B M BK NK ===1B M NK =而，，故， 12B B MK ==MB MN =1BB M MKN ≅A A 所以，故， 190BB M MKN ∠=∠=︒111A B BB ⊥而，，故平面，1CB BB ⊥CB AB B ⋂=1BB ⊥ABC 故可建立如所示的空间直角坐标系，则，()()()()0,0,0,0,2,0,1,1,0,0,1,2B A N M 故， ()()()0,2,0,1,1,0,0,1,2BA BN BM ===设平面的法向量为，BNM (),,n x y z =则，从而，取，则，00n BN n BM ⎧⋅=⎨⋅=⎩ 020x y y z +=⎧⎨+=⎩1z =-()2,2,1n =-- 设直线与平面所成的角为，则AB BNM θ.42sin cos ,233n AB θ===⨯22．已知圆：，圆：，圆与圆、圆外切， A 2229x y ++=（）B 2221x y -+=（）C A B (1)求圆心的轨迹方程C ;E (2)若过点且斜率的直线与交与两点，线段的垂直平分线交轴与点，证明B k E M N 、MN x P MN PB的值是定值.【答案】(1)()221113x y x ∞-=∈+，，(2)证明见解析【分析】（1）根据圆C 与圆A 、圆B 外切，得到<4，再利用双曲线的定义求解；2CA CB -=（2）设直线为，联立，利用弦长公式求得()()()11222y k x M x y N x y =-，，，，()22213y k x y x ⎧=-⎪⎨-=⎪⎩MN，再根据线段MN 的垂直平分线，得到点P 的坐标求解. 【详解】（1）解：因为圆C 与圆A 、圆B 外切， 设C 点坐标，圆C 半径为，x y （，）r 则，， 3CA r =+1CB r =+所以<4，2CA CB -=所以点C 的轨迹是双曲线的一支，又，，，242c c ==，221a a ==，2223b c a =-=所以其轨迹方程为；()221113x y x ∞-=∈+，，（2）设直线为，()()()11222y k x M x y N x y =-，，，，联立，消去y 得：，()22213y k x y x ⎧=-⎪⎨-=⎪⎩()222234430k x k x k -+--=所以， ()2122212243433k x x k k x x k ⎧-+=⎪-⎪⎨-+⎪=⎪-⎩设MN 中点坐标为G ，则， 2222633k k G k k ⎛⎫⎪--⎝⎭，， 22663+==-k k 直线GP 的方程为:， 22261233k k y x k k k ⎛⎫-=-- ⎪--⎝⎭，228003k y P k ⎛⎫= ⎪-⎝⎭当时，，所以， 22823k PB k =--所以=1.2222663823+-=--k MN k PBk k。
2023-2024学年广西南宁高二下开学考数学检测试卷(有解析)
- 1 -2023—2024学年广西南宁高二下开学考数学检测试卷一、单选题1．若，则（ ）()1i 2i z -=2i z -=A ．0B ．1C D ．2【正确答案】C【分析】首先根据复数的除法运算公式， 化解复数，再结合复数的运算和模的公式，即z 可求解.【详解】，()()()2i 1i 2i 1i 1i 1i 1i z +===-+--+则，.2i=1i z ---2i z -==故选：C2．将函数图象上所有的点都向左平移个单位长度后，再将所得函数图象上()cos2f x x=π3所有点的横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，则（ ）()g x ()g x =A ．B ．πcos 6x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭πcos 43x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭C ．D ．2πcos 3x ⎛⎫- ⎪⎝⎭2πcos 3x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭【正确答案】D【分析】根据三角函数图象变换法则求解即可.【详解】将图象上所有的点都向左平移个单位长度后，得到函数()f x π3的图象，2πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭再将所得函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，得.()2πcos 3g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭故选：D3．第1次从盛有纯酒精的容器中倒出，然后用水填满，第2次再从该容器中倒出1L 1L 2，又用水填满；…．若要使容器中的纯酒精不足，则至少要连续进行以上操作1L 21L10（ ）A ．3次B ．4次C ．5次D ．6次【正确答案】B【分析】计算出4次后，容器中的纯酒精小于，得到答案.1L 10【详解】进行1次后，容器中的纯酒精为；进行2次后，容器中的纯酒精为；1L 21L 4进行3次后，容器中的纯酒精为；进行4次后，容器中的纯酒精为．1L 81L 16故连续进行4次后，容器中的纯酒精不足．1L 10故选：B4．已知直线是三条不同的直线，平面是三个不同的平面，下列命题正确的是,,a b c ,,αβγ（ ）A ．若，则,a c b c ⊥⊥a bB ．若，则平面a ,b a αb αC ．若，且，则,a b αα⊂⊂a ,b β βα βD ．若，且，则,βαγα⊥⊥a βγ= a α⊥【正确答案】D【分析】由点线面的位置关系逐一判断即可.【详解】若，则可以是平行，也可以是相交或异面，故A 错误；,a c b c ⊥⊥,a b 若，则平面，或平面，故B 错误；a ,b a αb αb ⊂α要证，实际上还缺少相交这个条件，α β,a b 否则可取相交于，，且，又，所以，但此时,αβl ,a b αα⊂⊂//,//a l b l l β⊂a ,b β β不平行，矛盾，故C 错误；,αβ对于D ，若，且，则存在，使得，,βαγα⊥⊥a βγ= m α⊂m β⊥又因为，所以，a β⊂m a ⊥同理存在，且相交（因为是两个不同的平面），使得，n ⊂α,m n ,βγn γ⊥又因为，所以，a γ⊂n a ⊥- 3 -因为，，，且相交，m a ⊥n a ⊥,m n α⊂,m n 所以，故D 正确.a α⊥故选：D.5．已知等差数列的公差且成等比数列，则（ ）{}n a 0d ≠139,,a a a 2410138a a a a a a ++=++A ．B ．C ．D ．433416151514【正确答案】A【分析】根据题中条件，可得，利用等差数列通项公式化简代入条件即可求解.1a d =【详解】由已知成等比数列，111,2,8a a d a d ++所以，解得2111(2)(8)a d a a d +=+1a d =所以24101111381113927a a a a d a d a da a a a a d a d +++++++=++++++，1131316439123a d d a d d +===+故选：A.6．已知数列满足，若，则（ ）{}n a 111n n a a +=-112a =40a =A ．－1B ．C ．1D ．212【正确答案】B【分析】根据递推公式计算数列的前几项，找到规律从而得到数列的周期.{}n a {}n a 【详解】因为数列满足，{}n a 1111,12n n a a a +==-所以，234112311112,1,1112a a a a a a a ====-===---所以数列是以3为周期的周期数列，{}n a所以．403131112a a a ⨯+===故选：B7．已知直线交抛物线于两点，且的中点为，则直线的l 2:28C x y =-,M N MN ()2,11--l 斜率为（ ）A ．B ．C ．D ．114-11141717-【正确答案】C【分析】根据题意，设，结合“点差法”，即可直线的斜率，得到答案.1122(,),(,)M x y N x y l 【详解】设，代入抛物线，可得，1122(,),(,)M x y N x y 2:28C x y =-2112222828x y x y ⎧=-⎨=-⎩两式相减得，212121()()28()x x x x y y -+=--所以直线的斜率为，l 21212128y y x xk x x -+==--又因为的中点为，可得，MN ()2,11--124x x +=-所以，即直线的斜率为.214128287x x k +-=-=-=l 17故选：C.8．已知函数在区间上单调递减，则实数的最大值为（ ）()e ln x f x a x=-(1,3)a A ．B ．C ．D ．1e13e313e31e【正确答案】C 【分析】依题意，在区间上恒成立，分离参数可得实数a 的最大值.1()e 0x f x a x '=-≤(1,3)【详解】由题意，1()e x f x a x '=-因为函数在区间上单调递减，()e ln x f x a x=-(1,3)所以在区间上恒成立，即，1()e 0x f x a x '=-≤(1,3)1e x a x ≤令，则，()1e xg x x =()()()()221e 1e e xxxx x g x x x -+-+=='又，所以，所以在为减函数，(1,3)x ∈()0g x '<()1e x g x x =(1,3)x ∈所以，()()3133e g x g >=- 5 -所以，即实数a 的最大值是.313e a ≤313e 故选：C二、多选题9．在平面直角坐标系中，已知点，，，则（ ）()0,0O ()1,2OA =()3,1OB =A ．5AB = B ．与的夹角为OA OBπ4C ．在方向上的投影向量的坐标为OA OB 11,3⎛⎫⎪⎝⎭D ．与垂直的单位向量的坐标为或OB⎛⎝【正确答案】BD【分析】求出即可判断A 选项，设与的夹角为，求出即可判断B 选项，ABOA OBθcos θ设与同向的单位向量为，求出，根据在方向上的投影向量的坐标为OB e eOA OB 即可判断C 选项，设与垂直的单位向量为，||cos ,||OA OB OA OA OB e e OB =<⋅⋅⋅>OB (,)m x y = 解即可判断D 选项．22301x y x y +=⎧⎨+=⎩【详解】因为点，，，()0,0O ()1,2OA =()3,1OB =所以，，所以，(1,2)A (3,1)B (2,1)AB =-所以A 选项错误；||AB ==设与的夹角为，所以，OA OBθc os ||||OA OB OA OB θ⋅===⋅ 所以与的夹角为，故B 选项正确；OA OBπ4设与同向的单位向量为，，OB e||OBe OB ==所以在方向上的投影向量的坐标为OA OB，故C选项错误；)|31,(,22|||cos OA OB OA OA OB e e e OB ⋅⋅>=<⋅==因为，设与垂直的单位向量为，()3,1OB =OB (,)m x y =则，解得，22301x y x y +=⎧⎨+=⎩x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以与垂直的单位向量的坐标为或.OB⎛ ⎝故D 选项正确.故选：BD.10．下列结论中正确的是（ ）A ．已知曲线（，不全为0），则曲线C 的周长为22:2||2||C x y x y +=+x y B ．若直线的方程，则直线l 的倾斜角为l 10x ++=2π3C ．若直线与直线垂直，则3260ax y ++=220x a y -+=32a =D ．圆与圆的公切线条数为222:2410O x y x y ++++=22:1M x y +=【正确答案】AD【分析】对于A ，根据对称性，先得第一象限内曲线的长度，由此即可验算；对于B ，直接由斜率验算倾斜角即可；对于C ，由直线垂直的充要条件即可验算；对于D ，先判断两圆的位置关系，由此进一步即可判断.【详解】对于B ，如图所示：当时，曲线，即，0,0x y ≥≥22:22C x y x y +=+()()22112x y -+-=- 7 -的半圆弧，ADB 在曲线（，不全为0）中，分别用替换22:2||2||C x y x y +=+x y ()()(),,,,,x y x y x y ----，方程依然成立，(),x y 这表明了曲线（，不全为0）的图象关于坐标轴以及坐标原点22:2||2||C x y x y +=+x y 对称，所以曲线的周长为，故A 正确；C对于B ，直线的方程为，即l 10x +=y =所以直线的斜率为，则直线的倾斜角为，故B 错误；l k =l 5π6对于C ，若直线与直线垂直，则，解得或3260ax y ++=220x a y -+=2320a a -=32a =，故C 错误；0a =对于D ，圆即的圆心为，半径22:2410O x y x y ++++=()()22:124O x y +++=()1,2O --为，12r =圆的圆心为，半径为，22:1M x y +=()0,0M 21r =所以两圆圆心距为，121213r r OM r r -=<==<+=所以两圆相交，它们的公切线条数为，故D 正确.2故选：AD.11．已知函数，下列说法正确的是（ ）()ln xf x x =A ．的单调递减区间是()f x ()0,e B ．在点处的切线方程是()f x ()()22e ,ef 24e 0x y -+=C ．若方程只有一个解，则ln a x x =e a =D ．设，若对，使得成立，则()2g x x a=+()12R,1,x x ∀∈∃∈+∞()()12g x f x =ea ≥【正确答案】BD【分析】对函数求导，分析其单调性得到其图象，可判断ABC ，对应选项D ，()ln xf x x =设函数的值域为，的值域为G ，由求解判断.()()()1,f x x ∞∈+E ()2g x x a=+G E ⊆【详解】函数，，，()ln x f x x =()()0,11,x ∞∈⋃+()2ln 1ln x f x x -'=令，得或；令，得；()0f x '<01x <<1e x <<()0f x '>e x >可得函数在和上单调递减，在单调递增，其大致图象如图：()f x ()0,1()1,e ()e,∞+对于，由上述分析可得A 错误；A ，由，，得，B 对于()2222ln e 11eln e 4f -='=()22e e 2f =()22e 1e 24y x -=-所以切线为，故B 正确；24e 0x y -+=对于C ，由方程只有一解，由图象可知，或，故C 错误；()ln xf x a x ==e a =a<0对于D ，设函数的值域为，函数的值域为，()()R g x x ∈G ()()()1,f x x ∞∈+E 对于， ，，()2g x x a =+R x ∀∈[),G a ∞=+对于，，，()f x ()1,x ∞∀∈+[)e,E ∞=+若，，使得成立，1x ∀∈R ()21,x ∞∃∈+()()12g x f x =则，故D 正确，,e G E a ⊆∴≥故选：BD.三、填空题12．已知数列满足，则数列的通项公式为 {}n a *1111,2)0(n n n n a a a a a n ++=-+=∈N {}n a ．- 9 -【正确答案】121n n a =-【分析】根据给定的递推公式，利用构造法求出通项即得.【详解】数列中，，，显然，{}n a 11a =1120n n n n a a a a ++-+=0n a ≠则有，即，而，11121n n a a +=⋅+11112(1)n n a a ++=+1112a +=因此数列是以2为首项，2为公比的等比数列，1{1}n a +所以，即．112n n a +=121n na =-故121n na =-13．如图，直三棱柱中，，，，分别是111ABC A B C-90BCA ∠=︒12CA CB CC ===M N ，的中点，则与所成的角的余弦值为.11A B 11A C BM AN 【分析】如图所示，建立空间直角坐标系，利用向量夹角公式即可得出异面直线所成的角．【详解】如图所示，建立空间直角坐标系，可得，(2A 0，，，2，，，1，，，0，0)(0B 0)(1M 2)(1N 2).，0，，，，，∴(1AN =-2)(1BM =1-2)，cos AN ∴<||||AN BM BM AN BM ⋅>=⋅14．已知抛物线C ：，焦点为F ，过点作斜率为k （）的直线l 与抛物24y x =(1,0)P -0k >线C 交于A ，B 两点，连接AF ，BF （），若，则k =．AF BF >2AF BF=【分析】设直线l 的方程，代入抛物线方程，利用韦达定理及抛物线的焦点弦公式，联立即可求得，，由，即可求得k 的值．1x 2x 121x x ⋅=【详解】解：抛物线的焦点，24y x =()1,0F 直线AB 的方程为，．设，()01y k x -=+0k >()11,A x y ()22,B x y 代入抛物线化简可得，24y x =()2222240k x k x k +-+= ，①，②12242x x k ∴+=-121x x ⋅=由抛物线的焦半径公式可知：，，1112p AF x x =+=+2212pBF x x =+=+由，则，③2AF BF=2121x x -=由①②解得： ， ，12413x k =-22813x k =-，整理得： ，解得：，12224811133x x k k ⎛⎫⎛⎫⋅=-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭289k =k =由，则，0k >k =- 11 -．本题考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理及抛物线的焦半径公式，考查计算能力，属于中档题．四、解答题15．在中，角的对边分别是，且．ABC ,,A B C ,,a b c πsin sin()3a C c A =+(1)求角的大小；A (2)若，，是边的中点，求的长．2b =3c =D BC AD 【正确答案】(1)；π3【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，再利用正弦函数性质及诱导公式计算即得.（2）由（1）的结论，借助向量数量积及运算律计算即得.【详解】（1）在中，由正弦定理及，得，ABC πsin sin()3a C c A =+πsin sin sin sin()3A C C A =+而，则，由，知，sin 0C >πsin sin()3A A =+0πA <<π4π033A A <<+<因此，解得，ππ3A A +=-π3A =所以角的大小为.A π3（2）由（1）知，由是边的中点，得，π3A =D BC1()2AD AB AC=+所以||AD ==== 16．已知等差数列的公差不为0，，且满足，，，成等比数列．{}n a *N n ∈56a =3a 4a 6a (1)求的通项公式；{}n a (2)若数列的前n 项和为，记，求数列的前n 项和．{}n a n S 286n n b S n =++{}n b n T【正确答案】(1)24n a n =-(2)23(3)n nT n =+【分析】（1）设等差数列的公差为d ，由题意列出关于首项和d 的方程，解方程组，{}n a 求出首项和公差，即可求得答案；（1）结合（1）求出，可得的表达式，利用裂项相消法求和，即可求得n S 286n n b S n =++答案.【详解】（1）设等差数列的公差为d ，且，{}n a 0d ≠由，，成等比数列，可得，3a 4a 6a 2436a a a =又，所以，56a =()()()1211146325a d a d a d a d +=⎧⎪⎨+=++⎪⎩解得，122d a =⎧⎨=-⎩则；1(1)2(1)224n a a n d n n =+-=-+-⨯=-（2）由（1）得，()12(224)322n n n a a n n S n n +-+-===-则22228656(2)(3)n n b S n n n n n ===++++++，11223n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭所以1111112344523n T n n ⎛⎫=-+-++- ⎪++⎝⎭ ．1122333(3)n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭17．如图所示，在几何体中，平面，点在平面的投影在线段PABCD AD ⊥PAB C PAB 上，，，，平面.PB ()BC PC <6BP=AB AP ==2DC =//CD PAB- 13 -(1)证明：平面平面.PCD ⊥PAD (2)若平面与平面，求线段的长.BCD PCD AD 【正确答案】(1)证明见解析(2)2或3【分析】（1）过点作的垂线，垂足为，连接，由题意及正弦定理可得，C PB E AE AE AP ⊥结合，可证明结论；AD AE ⊥//AE CD （2）由（1）建立如图所示的空间直角坐标系，设，由平面与平面()0AD tt =>BCD PCD 【详解】（1）过点作的垂线，垂足为，连接，由题知平面，C PB E AE CE ⊥PAB 因为平面，所以，AD ⊥PAB //CE DA 又因为平面，所以，//CD PAB //CD EA 所以四边形为矩形，所以.AECD 2AE =因为，，，6BP =AB AP ==cos APE ∠==6APE π∠=由正弦定理易知，，所以，又因为，且，所以3AEP π∠=AE AP ⊥AE AD ⊥AD AP A = AE ⊥平面ADP.因为，所以平面，//CD EA CD ⊥ADP 因为平面PCD ，所以平面平面；CD ⊂PCD ⊥PAD （2）由（1）知，两两垂直，分别以所在的直线为轴建立如,,AE AP AD,,AE AP AD ,,x y z 图所示空间直角坐标系，设，()0AD t t =>易得：，()()()(0,0,2,0,,0,,3,D t C t P B ，所以…()()()2,0,0,0,,DC PD t BD t ===- 设平面的法向量，所以 ，BCD ()111,,m x y z =11112030m DC x m BD x tz ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 令，可得平面的一个法向量，1y t =BCD (0,,m t = 设平面的法向量，所以，PCD ()222,,n x y z =222200n DC x n PD tz ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 令，可得平面的一个法向量，…2y t =PCD (0,,n t = 所以，cos ,m n m n m n ⋅===⋅ 解得，所以.23tt ==或23AD =或18．已知双曲线C ：的右焦点为，且C 的一条渐近线恰好与()222210,0x y a b a b -=>>()2,0F 直线垂直.10x y -+=(1)求C 的方程；(2)直线l ：与C 的右支交于A ，B 两点，点D 在C 上，且轴.求证：直线1x my =+AD x ⊥BD 过点F .【正确答案】(1)222x y -=(2)证明见解析【分析】（1）根据焦点坐标及渐近线的斜率列式求解即可；（2）设点的坐标，联立直线与双曲线方程，韦达定理，根据向量共线坐标运算得三点共线，即证.【详解】（1）由焦点坐标为得，所以，()2,0F 2c =2222a b +=- 15 -又双曲线C ：的一条渐近线恰好与直线垂直，()222210,0x y a b a b -=>>10x y -+=得即，所以，1b a -=-1b a =222a b ==所以双曲线C 的方程为，即.22122x y -=222x y -=（2）由题意可知直线l 的斜率存在且不为0，所以，0m ≠设，，则，由（1）可知，双曲线C 的渐近线为，()11,A x y ()22,B x y ()11,D x y -y x =±又直线l 与双曲线C 的右支交于A ，B 两点，则，即.11m >01m <<联立，消去x 得，2212x my x y =+⎧⎨-=⎩()221210m y my -+-=则，()()2224414210m m m ∆=+-=->，，则，12221m y y m +=--12211y y m =--12122y y my y +=又，所以，，()2,0F ()222,x FB y =- ()112,FD x y =-- 所以，()()()()122112212211x y x y my y my y -+-=-+-()121220my y y y=-+=所以，又，有公共点F ，所以B ，F ，D 三点共线，FB FD ∥ FB FD 所以直线BD 过点F .19．已知函数，曲线在处的切线方程为()2ln(1)b f x ax x x =++-()y f x =()()1,1f --．2ln 23y =-(1)求，的值；a b (2)求的单调区间，并证明在上没有零点．()f x ()f x (),0∞-【正确答案】(1)，2a =1b =(2)单调递增区间为，单调递减区间为，，证明见解析.(),1-∞-()1,0-()0,1【分析】（1）求出导函数，依题意可得，解得即可；(1)2ln 23(1)0f f -=-⎧⎨-='⎩（2）由（1）可得，求出函数的定义域与导函数，即可求出单调区1()22ln(1)f x x x x =++-间，结合函数的单调性说明在上没有零点.()f x (),0∞-【详解】（1）因为，所以，()2ln(1)b f x ax x x =++-22()1b f x a x x -=-+-'由题意知，解得.(1)2ln 22ln 23(1)10f a b f a b -=--+=-⎧⎨-=--='⎩21a b =⎧⎨=⎩（2）由（1）可得定义域为，1()22ln(1)f x x x x =++-()(),00,1-∞⋃又2222122(1)(1)2()21(1)x x x x f x x x x x '----=--=--，322221(1)(221)(1)(1)x x x x x x x x x -+--+-+==--因为，22112212022x x x ⎛⎫-+=-+> ⎪⎝⎭所以当时，当或时，1x <-()0f x '>10x -<<01x <<()0f x '<所以的单调递增区间为，单调递减区间为，；()f x (),1-∞-()1,0-()0,1因为在上单调递增，在上单调递减，()f x (),1-∞-()1,0-时，，(),0x ∴∈-∞()(1)212ln 232ln 20f x f ≤-=--+=-+<在上没有零点．()f x \(,0)-∞。
广西南宁外国语学校2012-2013学年高二数学下学期单元素质测试题 组合
高二（下）数学单元素质测试题——组合（考试时间60分钟，满分100分）班别______某某_______学号_____分数_______一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分. 以下给出的四个备选答案中，只有一个正确） 1. 高二年级林高正、甘永杰、王旭凯、马彦杰、李锟亮五个同学进行乒乓球单循环比赛，则所有比赛场数为（ ） A. 25A B. 25C C. 52 D. 252. 从1，3，5，7，9中任取2个数字，从2，4，6，8中任取2个数字，可以组成没有重复数字的四位数的个数为（ ）A. 240B. 480C. 1440D. 57603. 20112013241302C C C C ++++ 的值为（ ）A. 22013CB. 22014CC. 32013CD. 32014C 4. 甲组有5名男同学，3名女同学，乙组有6名男同学，2名女同学. 若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（ ）A. 150 种B. 180种C.300种D.345种5. 12名同学合影，站成了前排4人后排8人. 现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同的调整方法种数是（ ）A. 2328A CB. 6628A CC. 2628A CD. 2528A C6. 将4名大学生分配到3个乡镇当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有（ ） A. 12种B. 24种 C.36种 D. 72种7. 将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（ ） A.12种 B.10种C.9种D.8种8. 将标号为1,2,3,4,5,6的6X 卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2X ，其中标号为1,2的卡片放入同一信封，则不同的放法共有（ ）A.12种B.18种C.36种D.54种二、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分. 将你认为正确的答案填写在空格上）9.已知152=n C ，则=n ________.10.29242322A A A A ++++ 的值为________.11.从甲、乙等10名同学中挑选4名参加某项公益活动，要求甲、乙中至多有1人参加，则不同的挑选方法有________种.三、解答题( 本大题共3小题，共45分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)12.（本题满分9分）6名男同学和4名女同学，男女组长各1人，选派4人参加学校座谈会，在下列的情形中各有几种选派方法？ （Ⅰ）组长至少有1人参加；（Ⅱ）既要有组长，又要有女同学.13.（本题满分12分）求证：（Ⅰ）111-++=m n mn C mn C ； （Ⅱ）))(1()1(3221011312111nn n n n n n n n n C C C C n C n C C C +++++=++++++++++ .14.（本题满分12分）将学校的10位中层和校级领导分到初高中6个年级做下年级领导，在下列的情形中各有几种选派方法？ （Ⅰ）每个年级至少有一位；（Ⅱ）初三高三两个年级各3位，其余年级各1位.15.（本题满分12分）将6名同学按照以下要求分组：（Ⅰ）分成3个小组，每组至少有1个人，共有几种分法? （Ⅱ）平均分成3个小组，共有几种分法?（Ⅲ）分成1、1、4人3个小组，分别参加唱歌、跳舞、朗诵比赛.共有几种分法?高二（下）数学单元素质测试题——组合(10.3)（参考答案）一、选择题答题卡二、填空题9. 6 ．10. 240 11. 182三、解答题12. 解：（Ⅰ）10名同学选派4人，选派方法有410C 种；男女组长之外8名同学选派4人，选派方法有48C 种.故符合题意的选派方法有1407021048410=-=-C C 种.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，有组长的选派方法有)(48410C C -种；没有女同学的选派方法有35C 种.故符合题意的选派方法有13010140)(3548410=-=--C C C 种.13. 证明：（Ⅰ）,)!1(!)!1()!1(!)!1(1m n m n m n m n C mn -++=-++=+,)!1(!)!1()]!1([)!1(!111m n m n m n m n m n C m n m n -++=---⋅+=+- .111-++=∴m n m n C mn C （Ⅱ）由（Ⅰ）知，.)1(11-++=m n m n C n mC.)1()1()1(3)1(2)1(11231121011n n n n n n n n n n C n C n C n C C n C C n C +=++=+=+=∴+++++，，，， n n n n n n n n n C n C n C n C n C C C )1()1()1()1(321011312111++++++=+++++∴+++++).)(1(210nn n n n C C C C n +++++=14. 解：（Ⅰ）用隔板法，在10位中层和校级领导的9个空格中，插入5块木板分成6个部分，有12659=C 种插法，故每个年级至少有一位的选派方法有126种.（Ⅱ）分到初三年级的选派方法有310C 种，分到高三年级的选派方法有37C 种，剩余4位领导分到4个年级的选派方法有44A 种.故符合题意的选派方法有10080024351204437310=⨯⨯=A C C 种.15. 解：（Ⅰ）用隔板法，在6名同学的5个空格中，插入2块木板分成3个部分，有1025=C 种插法，故每组至少有1个人的分组方法有10种.（Ⅱ）平均分成3个小组的分法有156161533222426=⨯⨯=A C C C 种. （Ⅲ）①分组：有15215622441516=⨯⨯=A C C C 种；②分配：3个小组分别参加唱歌、跳舞、朗诵等3个项目的比赛，分法有633=A 种.故符合题意的分法有90615=⨯种.。
广西南宁外国语学校2012-2013学年高二数学下学期单元素质测试题排列、组合和二项式定理
r
1 项， Tr 1
C
r 8
(2x)
r
C8r 2r x r ，则有
C
r 8
2r
C
r 8
1
2r 1
，即
8！ 2r r ! (8 r )!
8!
2r 1
(r 1)! (9 r )!
(1)
r
r
r1 r1
C8 2 C8 2
8!
2r
8!
2r 1
(2)
r ! (8 r )!
(r 1)! (7 r )!
2
由（ 1）得，
）
A． 10
B
．15
C
． 20
D
． 30
10. （ 09 湖北）从 5 名志愿者中选派 4 人在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要
求星期五有一人参加，星期六有两人参加，星期日有一人参加，则不同的选派方法共有（
）
A.120 种
B.96
种
C.60
种
D.48
种
11. （ 09 全国Ⅰ）甲组有 5 名男同学、 3 名女同学；乙组有 6 名男同学、 2 名女同学，若从甲、乙两
C
2 7
x
6
C
7 7
(
x 21 )]
(1
x)
an xn C77 x22 x22 . 故 n 22.
（Ⅱ） f (x) (1 x x 2 ) 7 (1 x)8 a0 a1 x
a22 x22 ，
f (1) (1 1 12 )7 (1 1)8 a0 a1
a21 a22 ，即 a0 a1
a21 a22 0 .
D ． 12
13. （ 11 全国Ⅰ） (1 x ) 20 的二项展开式中， x 的系数与 x 9 的系数之差为 : ___________.
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高二（下）数学章节素质测试题——第十一章 概率（考试时间120分钟，满分150分）姓名_______评价______一、选择题（每小题5分，共60分. 以下给出的四个备选答案中，只有一个正确）1.（10北京文3）从{1，2，3，4，5}中随机选取一个数为a ，从{1，2，3}中随机选取一个数为b ，则a b 的概率是（ ）A.45 B.35 C.25 D.152.（08福建文5）某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为45，那么播下3粒种子恰有2粒发芽的概率是（ ）Ａ．12125Ｂ．16125 Ｃ．48125 Ｄ．961253.（07江西文6）一袋中装有大小相同，编号分别为12345678，，，，，，，的八个球，从中有放回．．．地每次取一个球，共取2次，则取得两个球的编号和不小于．．．15的概率为（ ） Ａ．132Ｂ．164Ｃ．332Ｄ．3644.（11新课标理4）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（ ）A ．13B ．12 C ．23D ．345.（08全国Ⅱ理6）从20名男同学，10名女同学中任选3名参加体能测试，则选到的3名同学中既有男同学又有女同学的概率为（ ） A ．929 B ．1029 C ．1929 D ．2029 6.（07湖北文7）将5本不同的书全发给4名同学，每名同学至少有一本书的概率是（ ） A ．1564B ．15128C ．24125D ．481257.（09安徽文10）考察正方体6个面的中心，从中任意选3个点连成三角形，再把剩下的3个点也连成三角形，则所得的两个三角形全等的概率等于（ ） A.1B.21 C. 31D. 0 8.（12广东理7）从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其中个位数为0的概率是（ ） A ．49 B ．13 C ．29 D ．199.（11湖北理7）如图，用K 、1A 、2A 三类不同的元件连接成一个系统.当K 正常工作且1A 、2A 至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K 、1A 、2A 正常工作的概率依次为0．9、0．8、0．8，则系统正常工作的概率为（ ）A ．0．960B ．0．864C ．0．720D ．0．57610.（10安徽文10）甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，乙也从该正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，则所得的两条直线相互垂直的概率是（ ） A.318 B.418 C.518 D.61811.（11浙江理9）有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．若将其随机的并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率（ ）A ．15B ．25C ．35D4512.（07江西理10）将一骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次．．成等差数列的概率为（ ） Ａ．19Ｂ．112Ｃ．115Ｄ．118二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上） 13.（10湖北文13）一个病人服用某种新药后被治愈的概率为0.9，则服用这种新药的4个病人中至少3人被治愈的概率为_______（用数字作答）. 14.（08上海文8）在平面直角坐标系中，从五个点：(0,0)A 、(2,0)B 、(1,1)C 、(0,2)D 、(2,2)E 中任取三个，这三点能构成三角形的概率是 （结果用分数表示）．15.（12江苏6）现有10个数，它们能构成一个以1为首项，3 为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是 ．16.（12重庆理15）某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各1节，则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为 （用数字作答）.三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤）17.（本题满分10分，08福建文18）三人独立破译同一份密码.已知三人各自破译出密码的概率分别为51、41、31，且他们是否破译出密码互不影响. （Ⅰ）求恰有二人破译出密码的概率；（Ⅱ）“密码被破译”与“密码未被破译”的概率哪个更大？说明理由.18.（本题满分12分，10四川文17）某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为16，甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料.（Ⅰ）求三位同学都没的中奖的概率；（Ⅱ）求三位同学中至少有两位没有中奖的概率.19.（本小题满分12分，11重庆文17）某市公租房的房源位于A、B、C三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的，求该市的任4位申请人中：（Ⅰ）没有人申请A片区房源的概率；（Ⅱ）每个片区的房源都有人申请的概率.20.（本题满分12分，12山东文18）袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1，2，3；蓝色卡片两张，标号分别为1，2.（Ⅰ）从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率；（Ⅱ）现袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率.21.（本题满分12分,10全国Ⅱ文20）如图，由M到N的电路中有4个元件，分别标为T1，T2，T3，T4，电流能通过T1，T2，T3的概率都是p，电流能通过T4的概率是0.9，电流能否通过各元件相互独立.已知T1，T2，T3中至少有一个能通过电流的概率为0.999.（Ⅰ）求p；（Ⅱ）求电流能在M与N之间通过的概率.22.（本小题满分12分，09全国Ⅰ文20）甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束.假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立.已知前2局中，甲、乙各胜1局.（Ⅰ）求再赛2局结束这次比赛的概率；（Ⅱ）求甲获得这次比赛胜利的概率.人教A版必修3数学章节素质测试题——第三章概率（参考答案）一、选择题：（本大题共12题，每小题5分，共60分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 0.9477 . 14.54. 15.53. 16. 53. 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 解：记“第i 个人破译出密码”为事件(1,2,3)i A i =，依题意有123111(),(),()543P A P A P A ===且A 1，A 2，A 3相互独立.（Ⅰ）设“恰好二人破译出密码”为事件B ，则有：B ＝A 1·A 2·3A +A 1·2A ·A 3+1A ·A 2·A 3且A 1·A 2·3A ，A 1·2A ·A 3，1A ·A 2·A 3 彼此互斥，于是P(B)=P(A 1·A 2·3A )+P （A 1·2A ·A 3）+P （1A ·A 2·A 3）＝314154314351324151⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ ＝203.（Ⅱ）设“密码被破译”为事件C ，“密码未被破译”为事件D ，则有： D ＝1A ·2A ·3A ，且1A ，2A ，3A 互相独立，则有P （D ）＝P （1A ）·P （2A ）·P （3A ）＝324354⨯⨯＝52. 而P （C ）＝1-P （D ）＝53，故P （C ）＞P （D ）. 所以密码被破译的概率比密码未被破译的概率大. 答：（Ⅰ）恰有二人破译出密码的概率为203；（Ⅱ）密码被破译的概率比密码未被破译的概率大.18. 解：（Ⅰ）设甲、乙、丙中奖的事件分别为A 、B 、C ，那么1()()()6P A P B P C ===，35125()()()()()6216P A B C P A P B P C ⋅⋅=== .（Ⅱ）有两个不中奖的概率722561)65(2231=⋅=C P ，所以所求的概率为.27252161257225=+=P 答：（Ⅰ）三位同学都没有中奖的概率是125216；（Ⅱ）三位同学中至少有两位没有中奖的概率为2527.19. （Ⅰ）解法一：所有可能的申请方式有34种，而“没有人申请A 片区房源”的申请方式有24种。
记“没有人申请A 片区房源”为事件A ，则44216().813P A ==解法二：设对每位申请人的申请为一次试验，这是4次独立重复试验. 记“申请A 片区房源”为事件A ，则1().3P A =由独立重复试验中事件A 恰发生k 次的概率计算公式知，没有人申请A 片区房源的概率为004441216(0)()().3381P C ==（Ⅱ）所有可能的申请方式有34种，而“每个片区的房源都有人申请”的申请方式有122413C C C 或3324A C 种.记“每个片区的房源都有人申请”为事件B ，从而有12123342434443644()(()).99333C C C C A P B P B =====或 答：（Ⅰ）没有人申请A 片区房源的概率为8116；（Ⅱ）每个片区的房源都有人申请的概率为94.20. 解：（Ⅰ）设“任取两张，这两张卡片颜色不同且标号之和小于4”为事件A ，则“从以上五张卡片中任取两张”这一试验的所有基本事件总数为1025=C .又设红色卡片的标号为x ，蓝色卡片的标号为y ，则事件A 的所有基本事件（x ，y ）为（1，1）、（1，2）、（2，1），总数3个， 故所求的概率为103)(=A P .（Ⅱ）设“袋中再放入一张绿色卡片后任取两张，这两张卡片颜色不同且标号之和小于4”为事件B ，则“从这六张卡片中任取两张”这一试验的所有基本事件总数为1526=C .事件B 的所有基本事件为：红1蓝1，红1蓝2，红2蓝1，红1绿0，红2绿0，红3绿0，蓝1绿0，蓝2绿0，共有8种情况. 故所求的概率为.158)(=B P 答：（Ⅰ）这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率为103；（Ⅱ）这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率为.15821. 解：记i A 表示事件：电流能通过T ,1,2,3,4,i i =A 表示事件：123T T T ，，中至少有一个能通过电流，B 表示事件：电流能在M 与N 之间通过， （Ⅰ）321321,,,A A A A A A A ⋅⋅=相互独立，3321321)1()()()()()(p A P A P A P A A A P A P -==⋅⋅=，又P()1P(A)=10.9990.001A =--=， 故3(1)0.0010.9p p -==，. （Ⅱ）32143144A A A A A A A A B ⋅⋅⋅+⋅⋅+=，)()(32143144A A A A A A A A P B P ⋅⋅⋅+⋅⋅+=)()()()()()()()(32143144A P A P A P A P A P A P A P A P ⋅⋅⋅+⋅⋅+==0.9+0.1×0.9×0.9+0.1×0.1×0.9×0.9 =0.9891．答：（Ⅰ）p 的值为0.9；（Ⅱ）电流能在M 与N 之间通过的概率为0.9891．22. 解：记“第i 局甲获胜”为事件)5,4,3(=i A i ，“第j 局乙获胜”为事件(3,4,5)j B j =。