中国科学大学随机过程(孙应飞)复习题及标准答案汇总
随机过程讲义(中科院-孙应飞)
{N (t ), t ≥ 0} 是一随机过程，试考察其样本函数和状态空间。若记 S n 为第 n 个
“顾客”到达的时刻，则 {S n , n = 1,2,L} 为一随机序列，我们自然要关心
{S n , n = 1,2,L} 的情况以及它与随机过程 {N (t ), t ≥ 0} 的关系， 这时要将两个随
2 σX (t ) = D X (t ) = C X (t , t ) = R X (t , t ) − [ µ X (t )]2
例 7：考察上面的例 1， （1）写出 X (t ) 的一维分布列 X (1 / 2), X (1) ； （2） （3） 求该过程的均值函数和相关函数。 写出 X (t ) 的二维分布列 ( X (1 / 2), X (1)) ；
义为：
C X ( s, t ) = ˆ E{[ X ( s ) − µ X ( s )][ X (t ) − µ X (t )]}
（d） （自）相关函数：随机过程 { X (t ); t ∈ T } 的（自）相关函数定义为：
R X ( s, t ) = ˆ E{ X ( s ) X (t )}
（ e） 特征函数：记：
1 2 n 1 2 n
（2） 相容性：对于 m < n ，有：
FX ( x1 , x2 ,L, xm ,+∞,L,+∞; t1 , t 2 ,L, t m , t m+1 ,L, t n ) = FX ( x1 , x2 ,L, xm ; t1 , t 2 ,L, t m )
注 1：随机过程的统计特性完全由它的有限维分布族决定。 注 2：有限维分布族与有限维特征函数族相互唯一确定。 问题：一个随机过程 { X (t ); t ∈ T } 的有限维分布族，是否描述了该过程的全 部概率特性？解决此问题有以下著名的定理，此定理是随机过程理论的基础。 定理： （Kolmogorov 存在性定理） 设分布函数族 { FX ( x1 , x2 ,L, xn ; t1 , t 2 ,L, t n ), t1 , t 2 ,L, t n ∈ T , n ≥ 1 } 满足以 上 提 到 的 对 称 性 和 相 容 性 ， 则 必 存 在 唯 一 的 随 机 过 程 { X (t ); t ∈ T } ， 使
随机过程讲义(中科院-孙应飞)
是常数， A ~ U [ 0, 1] 。试求： （1）画出 X (t ) 的样本函数； （2）确定过程的状态 空间； （3）求 t = 0, π / 4ω , 3π / 4ω , π / ω , π / 2ω 时 X (t k ) 的密度函数。 例 4：质点在直线上的随机游动，令 X n 为质点在 n 时刻时所处的位置，试 考察其样本函数和状态空间。 例 5：考察某“服务站”在 [0, t ] 时间内到达的“顾客”数，记为 N (t ) ，则
{N (t ), t ≥ 0} 是一随机过程，试考察其样本函数和状态空间。若记 S n 为第 n 个
“顾客”到达的时刻，则 {S n , n = 1,2,L} 为一随机序列，我们自然要关心
{S n , n = 1,2,L} 的情况以及它与随机过程 {N (t ), t ≥ 0} 的关系， 这时要将两个随
为随机过程 { X (t ); t ∈ T } 的有限维特征函数族。 数字特征之间的关系：
C X ( s, t ) = ˆ E{[ X ( s ) − µ X ( s )][ X (t ) − µ X (t )]} = E{ X ( s ) X (t )} − µ X ( s ) ⋅ µ X (t ) = R X ( s, t ) − µ X ( s ) ⋅ µ X (t )
µ X (t ) = ˆ m(t ) = E{ X (t )}
（b） 方差函数：随机过程 { X (t ); t ∈ T } 的方差函数定义为： （假设存在）
2 σX (t ) = ˆ D X (t ) = E{[ X (t ) − µ X (t )]2 }
（ c）
（自）协方差函数：随机过程 { X (t ); t ∈ T } 的（自）协方差函数定
(解答)《随机过程》第三章习题
（1）试求随机过程{Z (t); t 0}的均值函数 E{Z (t)}和二阶矩 E{Z 2 (t)} ；
（2）试证明： pn (t)u n exp{(1 2 )t } exp{1ut 2u 1t }。 n
P{X (s) i}
P{N (s) 2(i 1)}
P{N (s) 2(i 1)}P{N (t s) 2( j i)} [(t s)]2( ji) e(ts) ; ( j i, t s)
P{N (s) 2(i 1)}
[2( j i)]!
lim
h0
Pt
2
h 2
S2
t2
h 2 ,t5 h2
h 2
S5
t5
h
2
5 2
t2 (t5
t2 )2 et5
,
0 t2 t5
（2）由于{N (t) 1} {S1 t} ，由泊松过程与指数分布的关系可知，在{S1 t} 条件 下， S1 的分布密度函数为
（3）由于{N (t) 1} {S1 t S2} ，令： 0 t1 t t2 ，取充分小的 h1, h2 0 ，
使得： t1 h1 t1 t t2 h2 t2 ，由
t1 h1 S1 t1, t2 h2 S2 t2 N t1 h1 0, N t1 N t1 h1 1,
3、 设{N1 (t); t 0}和{N 2 (t); t 0} 是相互独立的 Poisson过程,其参数分别为 1 和 2 ．若 N0 (t) N1 (t) N 2 (t) ，问: （1） {N0 (t); t 0} 是否为 Poisson 过程，请说明理由； （2） {N0 (t); t 0} 是否为平稳过程，请说明理由。 解：（1）由于 N 0 (t) 的状态空间为 S {,1, 0,1,} ，因此 N 0 (t) 不是计数过程，更
(解答)《随机过程》第四章习题
第四章 二阶矩过程、平稳过程和随机分析 习题解答1、 设∑=-=Nk k k kn U n X 1)cos(2ασ，其中k σ和k α为正常数，)2,0(~πU U k ，且相互独立，N k ,,2,1 =，试计算},1,0,{ ±=n X n 的均值函数和相关函数，并说明其是否是平稳过程。
解：计算均值函数和相关函数如下0)}{cos(2)cos(2}{)(11=-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-==∑∑==Nk k k k N k k k k n X U n E U n E X E n ασασμ∑∑∑∑∑∑======-=--=--=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=Ni i i N i i i i i i Ni Nj j j i i j i N j j j j N i i i i X m n U m U n E U m U n E U m U n E m n R 12121111)](cos[)}cos(){cos(2)}cos(){cos(2)cos(2)cos(2),(ασαασαασσασασ因此可知，},1,0,{ ±=n X n 是平稳随机过程。
2、 设有随机过程))(cos()(t t A t X πηω+=，其中0>ω为常数，}0),({≥t t η是泊松过程，A 是与)(t η独立的随机变量，且2/1}1{}1{===-=A P A P 。
（1） 试画出此过程的样本函数，并问样本函数是否连续？ （2） 试求此过程的相关函数，并问该过程是否均方连续？ 解：（1）样本函数不连续。
（2）令：012≥>t t ，下面求相关函数：)(221)(212210)(1212211212121211212212122112221122121121212cos cos )]}(cos[)]({cos[21!)]([)]}(cos[)]({cos[)1(21))]}()(()(cos[))]()(()(2)({cos[21))]}()(()(cos[))]()(()({cos[21))}(cos())({cos(}{))}(cos())(cos({)}()({),(t t t t k t t k kX e t t e t t t t e k t t t t t t t t t t t t t t t E t t t t t t t t E t t t t E A E t t t t A E t X t X E t t R ----∞=--⋅=⋅-++=⋅-⋅-++-=-+-+-+++=-+-++++=++⋅=++==∑λλλωωωωλωωηηπωηηππηωηηπωηηπωπηωπηωπηωπηω因为：t t t R ωξ2cos ),(=因此该过程是均方连续的随机过程。
(完整word版)随机过程试题带答案
1．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则X 的特征函数为 。
2．设随机过程X(t)=Acos( t+),-<t<ωΦ∞∞ 其中ω为正常数，A 和Φ是相互独立的随机变量，且A 和Φ服从在区间[]0,1上的均匀分布，则X(t)的数学期望为 。
3．强度为λ的泊松过程的点间间距是相互独立的随机变量，且服从均值为1λ的同一指数分布。
4．设{}n W ,n 1≥是与泊松过程{}X(t),t 0≥对应的一个等待时间序列，则n W 服从 Γ 分布。
5．袋中放有一个白球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取一球，取后放回，对每一个确定的t 对应随机变量⎪⎩⎪⎨⎧=时取得白球如果时取得红球如果t t t e tt X ,,3)(，则 这个随机过程的状态空间 。
6．设马氏链的一步转移概率矩阵ij P=(p )，n 步转移矩阵(n)(n)ij P (p )=，二者之间的关系为 (n)n P P = 。
7．设{}n X ,n 0≥为马氏链，状态空间I ，初始概率i 0p P(X =i)=，绝对概率{}j n p (n)P X j ==，n 步转移概率(n)ij p ，三者之间的关系为(n)j i ij i Ip (n)p p ∈=⋅∑ 。
8．设}),({0≥t t X 是泊松过程，且对于任意012≥>t t 则{(5)6|(3)4}______P X X ===9．更新方程()()()()0tK t H t K t s dF s =+-⎰解的一般形式为 。
10．记()(),0n EX a t M M t μ=≥→∞-→对一切，当时，t +a 。
二、证明题（本大题共4道小题，每题8分，共32分）P(BC A)=P(B A)P(C AB)。
1．为it(e-1)e λ。
2． 1(sin(t+1)-sin t)2ωω。
3． 1λ4． Γ 5． 212t,t,;e,e 33⎧⎫⎨⎬⎩⎭。
6．(n)nP P =。
(解答)《随机过程》第五章习题
T 2 (u)du
0
T 0
2
(v)dv
P
2
1 T T E{ 2 (u) 2 (v)}dudv P 2 T2 0 0
1 T2
T 0
T 0
[
R2
(0)
2
R2
(u
v)]dudv
P
2
2
T2
T 0
T 0
R2
(u
v)dudv
H ( j) 2 1
j
2 2
由维纳－辛嵌定理，有：
S
()
F[R
(
)]
2
2
2
2
由输入输出功率谱的关系，有：
因此，我们有
S ()
H ( j) 2 S ()
( 2
2
2
2 )( 2
2)
2
2
2 2
2
H ( j) 2 Sn ()
N0 2( 2 2 )
由维纳－辛嵌定理，有：
由于
R
( )
F
1[S
()]
N0 4
e
E{(t)} 0 ， D{(t)}
E{(t)(t)} 2[R (0) R (T )]
N0 2
1 eT
ˆ
（1）在 t 0 时输出(0) 大于 y 的概率 P{(0) y}；
（2）求条件概率 P{(0) y (T ) 0}，其中T 0 ；
（3）求条件概率 P{(0) y (T ) 0}，其中T 0 。
随机过程期末试题及答案
随机过程期末试题及答案一、选择题1. 随机过程的定义中，下列哪个是错误的？A. 属于随机现象。
B. 具有随机变量。
C. 具有时间集合。
D. 具有马尔可夫性质。
答案：D2. 下列哪个不是连续时间的随机过程？A. 泊松过程。
B. 布朗运动。
C. 维纳过程。
D. 马尔可夫链。
答案：D3. 关于时间齐次的描述，下列哪个是正确的？A. 随机过程的概率分布不随时间变化。
B. 随机过程的均值不随时间变化。
C. 随机过程的方差不随时间变化。
D. 随机过程的偏度不随时间变化。
答案：A4. 下列哪个是离散时间的随机过程？A. 随机游走。
B. 指数分布过程。
C. 广义强度过程。
D. 随机驱动过程。
答案：A二、填空题1. 马尔可夫链中，状态转移概率与当前状态无关，只与前一个状态有关，这个性质被称为（马尔可夫性质）。
2. 在某一区间内，随机过程的均值是时间的（函数）。
3. 两个随机过程的相互独立性是指它们的（联合概率）等于各自概率的乘积。
4. 利用（随机过程）可以模拟无记忆的随机现象。
三、解答题1. 试述随机过程的定义及其要素。
随机过程是描述随机现象随时间演化的数学模型。
它由两个基本要素组成：时间集合和取值集合。
时间集合是指随机过程所涉及的时间轴，可以是离散的或连续的。
取值集合是指随机过程在每个时间点上可能取到的值的集合，可以是实数集、整数集或其他集合。
2. 什么是时间齐次随机过程？请举例说明。
时间齐次随机过程是指随机过程的概率分布在时间上不变的特性。
即随机过程在任意两个时间点上的特性是相同的。
例如，离散时间的随机游走就是一个时间齐次随机过程。
在随机游走中，每次移动的概率分布不随时间变化，且每次移动的步长独立同分布。
3. 什么是马尔可夫链？它有哪些性质？马尔可夫链是一种离散时间的随机过程，具有马尔可夫性质，即在给定当前状态的情况下，未来的状态只与当前状态有关，与过去的状态无关。
马尔可夫链的性质包括：首先，状态转移概率与当前状态无关，只与前一个状态有关。
第18-20讲随机过程 孙应飞
xy0
xy0
E{XY} 2 xyf (x, y)dxdy xy0
r 1
2
20
0
xyf
(x,
y)dxdy
0
0
xyf
(x,
y)dxdy
令：
则有：
u v
x
1 y
2
E XY
r 1 2
2 1 2 1 r2
5．例子
设 ( X1, X 2 , X 3, X 4 ) 为服从正态分布的随机向量，且 E{X i} 0,i 1,2,3,4 ，
试证明：
E{X1 X 2 X 3 X 4} E{X1 X 2}E{X 3 X 4} E{X1 X 3}E{X 2 X 4} E{X1 X 4}E{X 2 X 3}
过程为高斯过程或正态过程。正态过程是二阶矩过程。
设 t1,t2 ,,tn T ，则由正态过程的定义，有：
f (xt1 , xt2 ,, xtn )
1 (2 )n / 2
B
1/ 2
exp{ 1 (xt 2
t )T B1 (xt
t )}
其中：
T
xt
(xt1 , xt2 ,, xtn )
征值。
（6） n 维正态随机变量 ( X1 , X 2 ,, X n ) 的每一个分量都是正态变量；反
中国科学院大学 2019～2020 第一学期 随机过程讲稿 孙应飞
之，若 X1 , X 2 ,, X n 都是正态随机变量，且相互独立，则 ( X1 , X 2 ,, X n ) 是 n 维正态随机变量。
0
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（1） 设}0),({≥t t X 是一个实的零均值二阶矩过程，其相关函数为t s s t B t X s X E ≤-=),()}()({，且是一个周期为T 的函数，即0),()(≥=+τττB T B ，求方差函数)]()([T t X t X D +-。
解：由定义，有：)(2)0()0()}()({2)0()0()]}()()][()({[2)]([)]([)]()([=-+=+-+=+-+--++=+-T B B B T t X t X E B B T t EX T t X t EX t X E T t X D t X D T t X t X D（2） 试证明：如果}0),({≥t t X 是一独立增量过程，且0)0(=X ，那么它必是一个马尔可夫过程。
证明：我们要证明：n t t t <<<≤∀Λ210，有})()({})(,,)(,)()({11112211----=≤=====≤n n n n n n n x t X x t X P x t X x t X x t X x t X P Λ形式上我们有：})()(,,)(,)({})()(,,)(,)(,)({})(,,)(,)({})(,,)(,)(,)({})(,,)(,)()({1122221111222211112211112211112211--------------========≤=======≤=====≤n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x t X x t X x t X x t X P x t X x t X x t X x t X x t X P x t X x t X x t X P x t X x t X x t X x t X P x t X x t X x t X x t X P ΛΛΛΛΛ因此，我们只要能证明在已知11)(--=n n x t X 条件下，)(n t X 与2,,2,1,)(-=n j t X j Λ相互独立即可。
由独立增量过程的定义可知，当2,,2,1,1-=<<<-n j t t t a n n j Λ时，增量)0()(X t X j -与)()(1--n n t X t X 相互独立，由于在条件11)(--=n n x t X 和0)0(=X 下，即有)(j t X 与1)(--n n x t X 相互独立。
由此可知，在11)(--=n n x t X 条件下，)(n t X 与2,,2,1,)(-=n j t X j Λ相互独立，结果成立。
（3） 设随机过程}0,{≥t W t 为零初值（00=W ）的、有平稳增量和独立增量的过程，且对每个0>t ，),(~2t N W t σμ，问过程}0,{≥t W t 是否为正态过程，为什么？解：任取n t t t <<<≤∀Λ210，则有：n k W W W ki t t t i i k ,,2,1][11Λ=-=∑=-由平稳增量和独立增量性，可知))(,0(~121----i i t t t t N W W i i σ并且独立 因此),,,(1121---n n t t t t t W W W W W Λ是联合正态分布的，由⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1121211110011001n n n t t t t t t t t W W W W W W W W M ΛO ΛΛM 可知是正态过程。
（4） 设}{t B 为为零初值的标准布朗运动过程，问次过程的均方导数过程是否存在？并说明理由。
解：标准布朗运动的相关函数为：},m in{),(2t s t s R B σ=如果标准布朗运动是均方可微的，则),(/t t R B 存在，但是：20/0/),(),(lim ),(0),(),(lim),(σ=∆-∆+==∆-∆+=+→∆-+→∆+tt t R t t t R t t R tt t R t t t R t t R BB t B B B t B故),(/t t R B 不存在，因此标准布朗运动不是均方可微的。
（5） 设t N ，0≥t 是零初值、强度0>λ的泊松过程。
写出过程的转移函数，并问在均方意义下，0,0≥=⎰t ds N Y tst 是否存在，为什么？解：泊松过程的转移率矩阵为：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=O ΛO ΛΛΛΛΛΛλλλλλλλλ00000Q 其相关函数为：st t s t s R N 2},min{),(λλ+=，由于在t ∀，),(t t R N 连续，故均方积分存在。
（6） 在一计算系统中，每一循环具有误差的概率与先前一个循环是否有误差有关，以0表示误差状态，1表示无误差状态，设状态的一步转移矩阵为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=5.05.025.075.011100100p p p p P试说明相应齐次马氏链是遍历的，并求其极限分布（平稳分布）。
解：由遍历性定理可知此链是遍历的，极限分布为)3/1,3/2(。
（7） 设齐次马氏链{}{},4,3,2,1,0,=≥S n X n 一步转移概率矩阵如下： ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=002/12/1002/12/12/12/1002/12/100P（a ）写出切普曼－柯尔莫哥洛夫方程（C －K 方程）； （b ）求n 步转移概率矩阵；（c ）试问此马氏链是平稳序列吗？ 为什么？解：（a ）略（b ）⎩⎨⎧====偶数奇数n P n P P n P n2)( （c ）此链不具遍历性（8） 设0,)1()()(≥-=t X t Y t N ，其中}0);({≥t t N 为强度为0>λ的Poission 过程，随机变量X 与此Poission 过程独立，且有如下分布：0,2/1}0{,4/1}{}{>=====-=a X P a X P a X P问：随机过程0),(≥t t Y 是否为平稳过程？请说明理由。
由于：0)}({=t Y E{}{}{}{}{}{}1222)(220)(12201212)()(2)()(2)()()(22)()(2)()(22122!)]([)1(2})()({)()()1(2)1(2)1(2)1()1(),(121212*********t t e a e a e n t t a n t N t N P n t N t N E a E a E a E X E X E t t R t t n t t n nn t N t N t N t N t N t N t N t N t N t N t N Y -===--==-=--=-=-=-=-⋅=---∞=--∞=---+++∑∑τλλτλλ故)}({t Y 是平稳过程。
（9） 设0,2≥+=t Yt X X t ，其中X 与Y 独立，都服从),0(2σN（a ）此过程是否是正态过程？说明理由。
（b ）求此过程的相关函数，并说明过程是否平稳。
证明：（a ）任取 n t t t N n <<<≤∈Λ210,，则有：⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Y X t t t Yt X Yt X Yt X X X X n n t t t n 212121222212121M M M M 由于X 与Y 独立，且都服从),0(2σN ，因此可得()τY X服从正态分布，由上式可知随机向量 ()τn t t t X X X Λ21服从正态（高斯）分布，所以过程0,2≥+=t Yt X X t 是正态（高斯）过程。
（b ）由：0}{2}{}{=+=Y tE X E X E t221222121222121221214}{4}{}{)(2}{}{4}{)(2}{]}2][2{[}{),(21σσt t Y E t t Y E X E t t X E Y E t t XY E t t X E Y t X Y t X E X X E t t R t t X +=+++=+++=++==由于相关函数不是时间差的函数，因此此过程不是平稳过程。
（10） 设t N ，0≥t 是零初值、强度1=λ的泊松过程。
（a ）求它的概率转移函数}{),,,(i N j N P j i t s p s t ===； （b ）令0,≥-=t t N X t t ，说明⎰=1dt X Y t存在，并求它的二阶矩。
解：（a ）)()!()]([}{),,,(s t i j s t e i j s t i N j N P j i t s p -----====λλ（b ）先求相关函数：)21(},min{)})({(),(2λλλ-++=--=st st s t s N t N E s t R s t X对任意的t ，在),(t t 处),(t t R X 连续，故t X 均方连续，因此均方可积，⎰=10dt X Y t 存在。
{}{}⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰===⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡=101101010102102),(}{dtdss t RdtdsX X E ds X dt X E dt X E Y E Xs t s t t将),(s t R X 代入计算积分即可。
由1=λ，得：},min{)21(},min{)})({(),(2s t st st s t s N t N E s t R s t X =-++=--=λλλ{}{}31},min{),(}{1101101101101010102102=+=====⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ds s dt ds t dt dtds s t dtds s t R dtds X X E ds X dt X E dt X E Y E ttX s t s t t（11） 设一口袋中装有三种颜色（红、黄、白）的小球，其数量分别为3、4、3。
现在不断地随机逐一摸球，有放回，且视摸出球地颜色计分：红、黄、白分别计1、0、-1分。
第一次摸球之前没有积分。
以n Y 表示第n 次取出球后的累计积分，Λ,1,0=n （a ）n Y ，Λ,1,0=n 是否齐次马氏链？说明理由。
（b ）如果不是马氏链，写出它的有穷维分布函数族；如果是，写出它的一步转移概率ij p 和两步转移概率)2(ij p 。
（c ）令}0,0;m in{0>==n Y n n τ，求}5{0=τP 。
解：（a ）是齐次马氏链。
由于目前的积分只与最近一次取球后的积分有关，因此此链具有马氏性且是齐次的。
状态空间为：},2,1,0,1,2,{ΛΛ--=S 。