备战2011年中考人教版九年级数学同步习题之27.2相似三角形

27.2相似三角形一、选择题1．（2010山东烟台）如图，△ ABC 中，点D 在线段BC 上，且△ ABC ∽△ DBA ，则下列结论一定正确的是A 、AB 2=BC ·BD B 、AB 2=AC ·BD C 、AB ·AD=BD ·BC D 、AB ·AD=AD ·CD【答案】A2．（2010台湾） 图(一)表示D 、E 、F 、G 四点在△ABC 三边上的位置，其中DG 与EF 交于H 点。

若∠ABC =∠EFC =70︒，∠ACB =60︒，∠DGB =40︒，则下列哪一组三角形相似？(A) △BDG ，△CEF (B) △ABC ，△CEF(C) △ABC ，△BDG (D) △FGH ，△ABC 。

【答案】B3．（2010浙江嘉兴）如图，已知AD 为△ABC 的角平分线，AB DE //交AC 于E ，如果32=EC AE ，那么=ACAB （ ） （A ）31（B ）32 （C ）52 （D ）53 【答案】B 4．（2010年上海）下列命题中，是真命题的为（ ）A .锐角三角形都相似B .直角三角形都相似C .等腰三角形都相似D .等边三角形都相似【答案】D5．（2010北京） 如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 边上，DE ∥BC ，若AD ∶AB =3∶4，AB CDEH 图(一)AE =6，则AC 等于( )A ．3B ．4C ．6D ． 8【答案】D6．（2010云南楚雄）下列说法不正确的是（ ）A ．在选举中，人们通常最关心的数据是众数．B ．掷一枚骰子，3点朝上是不确定事件．C ．数据3，5，4，1，－2的中位数是3．D ．有两边对应成比例且有一个角对应相等的两个三角形相似．【答案】D7．（2010 四川绵阳）如图，梯形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于O ，G 是BD 的中点． 若AD = 3，BC = 9，则GO : BG =（ ）．A ．1 : 2B ．1 : 3C ．2 : 3D ．11 : 20【答案】A8．（2010广西桂林）如图，已知△ADE 与△ABC 的相似比为1：2，则△ADE与△ABC 的面积比为（ ）．A ． 1：2B ． 1：4C ． 2：1D ． 4：1ADE B C【答案】B9．（2010辽宁沈阳）如图，在等边△ABC 中，D 为BC 边上一点，E 为AC 边上一点，且∠ADE=60°，BD=3，CE=2，则△ABC 的边长为A ．9B ．12C ．15D ．18【答案】A10．（2010吉林）如图，在△ABC 中，∠C=900，D 是AC 上一点，DE⊥AB 于点E ，若AC=8，BC=6，DE=3，则AD 的长为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C11．（2010广西百色）下列命题中，是假命题的是（ ）A.全等三角形的对应边相等B.两角和一边分别对应相等的两个三角形全等C.对应角相等的两个三角形全等D.相似三角形的面积比等于相似比的平方【答案】C12．（2010四川宜宾）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠A =30°，CD ⊥AB 于点D ．则△BCD 与△ABC 的周长之比为（ ）A ． 1:2B ． 1:3C ． 1:4D ． 1:5【答案】A13．（2010浙江嘉兴）如图，已知C 是线段AB 上的任意一点（端点除外），分别以AC 、BC为斜边并且在AB 的同一侧作等腰直角△ACD 和△BCE ，连结AE 交CD 于M ，连结BD 交CE 于N ．给出以下三个结论：①AB MN //； ②BCAC MN 111+=； ③AB MN 41≤． D C BA其中正确结论的个数是（ ）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3【答案】D二、填空题1．（2010江苏南通）若△ABC ∽△DEF ， △ABC 与△DEF 的相似比为1∶2，则△ABC 与△DEF 的周长比为 ．【答案】1∶22．（2010年上海）如图2，△ABC 中，点D 在边AB 上，满足∠ACD =∠ABC ，若AC = 2，AD = 1，则DB = __________.【答案】DB=33．（2010山东临沂） 如图，12∠=∠，添加一个条件使得ADE ∆∽ACB ∆ .【答案】∠B=∠D, ∠C=∠E,AD AE AB AC=等 4．（2010陕西西安）如图，在ABC ∆中，D 是AB 边上一点，连接CD ，要使ADC ∆与ABC ∆相似，应添加的条件是 。

（只需写出一个条件即可）A B CDEMN （第13题）图2 21ED C B A【答案】∠ACD=∠B （∠ADC=∠ACB 或ABAC AC AD ） 5．（2010四川内江）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点E 、F 分别在AB 和AC 上，CE 与BF相交于点D ，若AE ＝CF ，D 为BF 的中点，则AE ∶AF 的值为 .【答案】5＋12 6．（2010云南昭通）如果两个相似三角形的一组对应边分别为3cm 和5cm 。

且较小三角形的周长为15cm ，则较大三角形周长为______cm ．【答案】257．（2010重庆市潼南县）△ABC 与△DEF 的相似比为3：4，则△ABC 与△DEF 的周长比为 .【答案】3：48．（2010安徽芜湖）如图，光源P 在横杆AB 的正上方，AB 在灯光下的影子为CD ，AB ∥CD ，AB ＝2m ，CD ＝6m ，点P 到CD 的距离是2.7m ，则AB与CD 间的距离是__________m ．【答案】1.89．（2010甘肃兰州） 如图，上体育课，甲、乙两名同学分别站在C 、D 的位置时，乙的影子恰好在甲的影子里边，已知甲，乙同学相距1米.甲身高1.8米，乙身高1.5米，则甲的影长是米.BC【答案】610．（2010湖南衡阳）如图，已知零件的外径为25mm ，现用一个交叉卡钳（两条尺长AC 和BD 相等，OC=OD ）量零件的内孔直径AB ．若OC ∶OA=1∶2，量得CD ＝10mm ，则零件的厚度x= mm ．【答案】2011．（2010 山东省德州）如图，小明在A 时测得某树的影长为2m ，B 时又测得该树的影长为8m ，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为_____m.【答案】412．（2010 广东珠海）一天，小青在校园内发现：旁边一颗树在阳光下的影子和她本人的影子在同一直线上，树顶的影子和她头顶的影子恰好落在地面的同一点，同时还发现她站立于树影的中点（如图所示）.如果小青的峰高为1.65米，由此可推断出树高是_______米.【答案】3.313．（2010 山东滨州）如图,A 、B 两点被池塘隔开,在AB 外取一点C,连结AC 、BC ，在AC 上取点M ，使AM=3MC ，作MN ∥AB 交BC 于N ，量得MN=38cm,则AB 的长为第11题图 A 时B 时【答案】15214．（2010江西省南昌）如图，一根直立于水平地面的木杆AB 在灯光下形成影子，当木杆绕点A 按逆时针方向旋转直至到达地面时，影子的长度发生变化.设AB 垂直于地面时的影子为AC （假定AC>AB ），影长的最大值为m.最小值为n,那么下列结论：①m>AC;②m ＝AC;③n ＝AB;④影子的长度先增大后减小.其中，正确结论的序号是.（第14题）【答案】①③④15．（2010四川内江）如图，为了测量某棵树的高度，小明用长为2m 的竹竿做测量工具，移动竹竿，使竹竿、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，竹竿与这一点相距6m 、与树相距15m ，则树的高度为 m .【答案】716．（2010 甘肃）在同一时刻，身高1.6米的小强在阳光下的影长为0.8米，一棵大树的影长为4.8米，则这棵树的高度为 米.【答案】9.617．（2010辽宁沈阳）如图，在□ABCD 中，点E 在边BC 上，BE ：EC=1：2，连接AE 交BD 于点F ，则△BFE 的面积与△DFA 的面积之比为 。

【答案】1:918．（2010四川广安）如右图，甲、乙两盏路灯相距20米，一天晚上，当小刚从甲走到距路灯乙底部4米处时，发现自己的身影顶部正好接触到路灯乙的底部，已知小刚的身高为1．6米，那么路灯甲的高为 米．【答案】819．（2010福建南平）如图，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，DE ∥BC ，且AD=13AB ，则△ADE 的周长与△ABC 的周长的比为__________.【答案】: 13三、解答题1．（2010江苏南京）学习《图形的相似》后，我们可以借助探索两个直角三角形全等的条件所获得经验，继续探索两个直角三角形相似的条件。

（1）“对与两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，两个直角三角形全等”。

类似地，你可以等到：“满足 ，或 ，两个直角三角形相似”。

（2）“满足斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等”，类似地你可以得到“满足 的两个直角三角形相似”。

请结合下列所给图形，写出已知，并完成说理过程。

已知：如图， 。

试说明Rt △ABC ∽Rt △A ’B ’C ’.【答案】第19题 AB CD E2．（2010 浙江省温州市）如图，在RtAABC 中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B 作射线BBl ∥AC ．动点D 从点A 出发沿射线AC 方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E 从点C 出发沿射线AC 方向以每秒3个单位的速度运动．过点D 作DH ⊥AB 于H ，过点E 作EF 上AC 交射线BB 1于F ，G 是EF 中点，连结DG ．设点D 运动的时间为t 秒．(1)当t 为何值时，AD=AB ，并求出此时DE 的长度；(2)当△DEG 与△AC B 相似时，求t 的值；(3)以DH 所在直线为对称轴，线段AC 经轴对称变换后的图形为A ′C ′．①当t>53时，连结C ′C ，设四边形ACC ′A ′的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式； ②当线段A ′C ′与射线BB ，有公共点时，求t 的取值范围(写出答案即可)．【答案】3．（2010 四川南充）如图，△ABC 是等边三角形，CE 是外角平分线，点D 在AC 上，连结BD 并延长与CE 交于点E ． （1）求证：△ABD ∽△CED ．（2）若AB ＝6，AD ＝2CD ，求BE 的长．【答案】（1）证明：∵ △ABC 是等边三角形， ∴ ∠BAC ＝∠ACB ＝60°．∠ACF ＝120°． ∵ CE 是外角平分线， ∴ ∠ACE ＝60°． ∴ ∠BAC ＝∠ACE ． 又∵ ∠ADB ＝∠CDE ，∴ △ABD ∽△CED ．（2）解：作BM ⊥AC 于点M ，AC ＝AB ＝6． ∴ AM ＝CM ＝3，BM ＝AB ·sin60°＝∵ AD ＝2CD ，∴ CD ＝2，AD ＝4，MD ＝1． 在Rt △BDM 中，BD由（1）△ABD ∽△CED 得，BD AD ED CD =2=， ∴ EDBE ＝BD ＋ED＝4．（2010 浙江衢州）如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，△ABC 和△DEF的顶点都在方格纸的格点上．(1) 判断△ABC 和△DEF 是否相似，并说明理由；(2) P 1，P 2，P 3，P 4，P 5，D ，F 是△DEF 边上的7个格点，请在这7个格点中选取3个点作为三角形的顶点，使构成的三角形与△ABC 相似(要求写出2个符合条件的三角形，并在图中连结相应线段，不必说明理由)．【答案】解：(1) △ABC 和△DEF 相似．根据勾股定理，得AB =AC =BC =5 ；DE =，DF =EF = ∵AB AC BC DE DF EF === ∴ △ABC ∽△DEF ．(2) 答案不唯一，下面6个三角形中的任意2个均可．△P 2P 5D ，△P 4P 5F ，△P 2P 4D ， △P 4P 5D ，△P 2P 4 P 5，△P 1FD ． 5．（2010 河北）在图15-1至图15-3中，直线MN 与线段AB 相交 于点O ，∠1 = ∠2 = 45°．（1）如图15-1，若AO = OB ，请写出AO 与BD 的数量关系和位置关系； （2）将图15-1中的MN 绕点O 顺时针旋转得到图15-2，其中AO = OB ．求证：AC = BD ，AC ⊥ BD ； （3）将图15-2中的OB 拉长为AO 的k 倍得到图15-3，求ACBD的值．ACBFEDP 1P 2 P 3P 4(第4题)P 5ACBFDP 1P 2 P 3P 4P 5【答案】解：（1）AO = BD ，AO ⊥BD ；（2）证明：如图4，过点B 作BE ∥CA 交DO 于E ，∴∠ACO = ∠BEO ．又∵AO = OB ，∠AOC = ∠BOE ，∴△AOC ≌ △BOE ．∴AC = BE ． 又∵∠1 = 45°， ∴∠ACO = ∠BEO = 135°． ∴∠DEB = 45°．∵∠2 = 45°，∴BE = BD ，∠EBD = 90°．∴AC = BD ．延长AC 交DB 的延长线于F ，如图4．∵BE ∥AC ，∴∠AFD = 90°．∴AC ⊥BD ．（3）如图5，过点B 作BE ∥CA 交DO 于E ，∴∠BEO = ∠ACO ．又∵∠BOE = ∠AOC ，∴△BOE ∽ △AOC ．图15-2AD OBC 21 MN图15-1AD BM N1 2图15-3AD O BC 21MNO 图4A D OB C21 MNEFD 2M E∴AOBOAC BE =． 又∵OB = kAO ，由（2）的方法易得 BE = BD ．∴k ACBD=． 6．（2010 广东珠海）如图，在平行四边形ABCD 中，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ， 连接DE ，F 为线段DE 上一点，且∠AFE ＝∠B. (1) 求证：△ADF ∽△DEC(2) 若AB ＝4,AD ＝33,AE ＝3,求AF 的长.【答案】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴AD ∥BC AB ∥CD∴∠ADF=∠CED ∠B+∠C=180° ∵∠AFE+∠AFD=180 ∠AFE=∠B ∴∠AFD=∠C ∴△ADF ∽△DEC(2)解：∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴AD ∥BC CD=AB=4又∵AE ⊥BC ∴ AE ⊥AD 在Rt △ADE 中，DE=63)33(2222=+=+AE AD∵△ADF ∽△DEC ∴CD AF DE AD = ∴4633AF= AF=32 7．（2010湖北武汉）已知线段OA ⊥OB ，C 为OB 上中点，D 为AO 上一点，连AC 、BD交于P 点．（1）如图1，当OA=OB 且D 为AO 中点时，求PCAP的值； （2）如图2，当OA=OB ，AO AD =41时，求tan ∠BPC ； （3）如图3，当AD ∶AO ∶OB=1∶n ∶n 2时，直接写出tan ∠BPC 的值．【答案】（1）过C 作CE ∥OA 交BD 于E ，证△BCE ∽△BOD 得CE=21OD=21AD ；再证△ECP ∽△DAP 得2==CEADPC AP ； （2）过C 作CE ∥OA 交BD 于E ，设AD=x ，AO=OB=4x ，则OD=3x ，证△BCE ∽△BOD 得CE=21OD=23x ，再证△ECP ∽△DAP 得32==CE AD PE PD ；由勾股定理可知BD=5x ，DE=25x ，则32=-PD DE PD ，可得PD=AD=x ，则∠BPC=∠DPA=∠A ，tan ∠BPC=tan ∠A=21=AO CO ； (3)nn ． 8．（2010 山东滨州）如图，在△ABC 和△ADE 中，∠BAD=∠CAE ，∠ABC=∠ADE ．(1)写出图中两对相似三角形（不得添加辅助线）； (2)请分别说明两对三角形相似的理由．【答案】解： (1) △ABC ∽△ADE, △ABD ∽△ACE(2)①证△ABC ∽△ADE ． ∵∠BAD=∠CAE ，∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC ， 即∠BAC=∠DAE ． 又∵∠ABC=∠ADE ，∴△ABC ∽△ADE ②证△ABD ∽△ACE ． ∵△ABC ∽△ADE ，∴AE ACADAB =又∵∠BAD=∠CAE ，∴△ABD ∽△ACE9．如图，在△ABC 中，D 是BC 边上一点，E 是AC 边上一点．且满足AD ＝AB ，∠ADE ＝∠C ．（1）求证：∠AED =∠ADC ，∠DEC =∠B ； （2）求证：AB 2＝AE •AC ．BDC【答案】 证明：（1）在△ADE 和△ACD 中 ∵∠ADE =∠C ，∠DAE =∠DAE∴∠AED =180°－∠DAE －∠ADE ∠ADC ＝180°－∠DAE －∠C ∴∠AED =∠ADC∵∠AED +∠DEC =180° ∠ADB +∠ADC =180° ∴∠DEC =∠ADB 又∵AB =AD ∴∠ADB =∠B ∴∠DEC =∠B（2）在△ADE 和△ACD 中由（1）知∠ADE ＝∠C ，∠DAE =∠DAE ∴△ADE ∽△ACD∴AD ACAE AD= 即AD 2=AE •AC 又∵AB =AD∴AB 2＝AE •AC 10．（2010江苏南京）学习《图形的相似》后，我们可以借助探索两个直角三角形全等的条件所获得经验，继续探索两个直角三角形相似的条件。