2013年高考数学 考前冲刺大题精做 专题05 圆锥曲线基础篇(教师版)
【备战2013】高考数学理 考前30天冲刺 专题05 圆锥曲线(上)(教师版)
【名师备考建议】鉴于圆锥问题具有综合性强、区分度高的特点，名师给出以下四点备考建议：1、主观形成圆锥的知识结构；椭圆、双曲线、抛物线，在这三类曲线身上是有很多的基本性质具有相关性，因此，在复习备考的过程中，应当主观的形成对三类圆锥曲线方程以及性质的认识，形成一张深刻记忆的知识列表；同时对基本的题型也要有一定的把握；2、认真研究三年高考的各种题型；由于圆锥曲线的难度系数较高，不易把握，但仍然有理可循；复习备考的过程中，无论是老师还是学生都应当认真研究近三年文理科的出题方向，至于从何研究，可以从近三年的质检卷、名校卷以及高考卷中得到启示，努力理清每一道问题的思路、做法，这样可以有效的培养解题意识；3、熟练掌握部分题型的解题模式；三轮复习中，由于做题的经验得到一定的积累，多多少少对题目的解题方法和手段有了一定的认识，比如，直线与圆锥曲线的问题，大部分是必须联立直线与圆锥曲线的方程进行解题，这是一种模式；再比如，圆锥曲线的探究性问题，可以先采用一些特殊值进行计算，得到结论以后加以证明；这都是必须熟练掌握的解题模式；4、调整对待圆锥曲线的心理状态；由于圆锥曲线问题的综合性较强，并且经常作为倒二题出现，这就要求学生合理的分配自己的时间；如果实在无法求解，无须在此问题上进行逗留，以免失去了做压轴题和检查的时间；对于优等生来说，必须精益求精；对于中等生来说，只需尽其所能；对于差等生来说，一定不必强求.【高考冲刺押题】（a＞b＞0）的离心率错误！未找到引【押题1】如图，已知椭圆错误！未找到引用源。
1用源。
，过点错误！未找到引用源。
和错误！未找到引用源。
的直线与原点的距离为错误！未找到引用源。
.（1）求椭圆的方程；（2）已知定点错误！未找到引用源。
，若直线错误！未找到引用源。
与椭圆交于错误！未找到引用源。
、错误！未找到引用源。
两点．问：是否存在实数错误！未找到引用源。
，使以错误！未找到引用源。
为直径的圆过错误！未找到引用源。
2013年高考数学 考前冲刺大题精做 专题06 圆锥曲线综合篇(教师版)
2013年高考数学 考前冲刺大题精做 专题06 圆锥曲线综合篇（教师版）【2013高考会这样考】1、 在解椭圆中的最值与X 围问题时，要考虑到椭圆的限制条件对自变量取值的影响；2、 与平面向量等知识的结合，综合考查圆锥曲线的相关运算；3、 以直线和圆锥曲线为载体，研究弦长、最值、取值X 围、三角形的面积问题是高考考查的热点.【原味还原高考】【高考还原1：（2012年高考（某某理））】在平面直角坐标系xOy 中,已知双曲线12:221=-y x C .（1）过1C 的左顶点引1C 的一条渐近线的平行线,求该直线与另一条渐近线及x 轴围成 的三角形的面积;（2）设斜率为1的直线l 交1C 于P 、Q 两点,若l 与圆122=+y x 相切,求证:OP⊥OQ; （3）设椭圆14:222=+y x C . 若M 、N 分别是1C 、2C 上的动点,且OM⊥ON,求证:O 到直线MN 的距离是定值.综上,O到直线MN的距离是定值.【名师剖析】试题重点：本题考查双曲线的方程、双曲线的性质、直线与圆的位置关系、直线与圆锥曲【高考还原2：（2012年高考（某某理））】在平面直角坐标系xOy中,F是抛物线2:2(0)C x py p=>的焦点,M是抛物线C上位于第一象限内的任意一点,过,,M F O三点的圆的圆心为Q,点Q到抛物线C的准线的距离为34.（Ⅰ）求抛物线C的方程;（Ⅱ）是否存在点M,使得直线MQ与抛物线C相切于点M?若存在,求出点M的坐标;若不存在,说明理由;（Ⅲ）若点M直线1:4l y kx=+与抛物线C有两个不同的交点,A B,l与圆Q有两个不同的交点,D E,求当122k≤≤时,22AB DE+的最小值.故当21=k 时,216)(min 22=+DE AB . 【名师剖析】由点B 在椭圆上知,1222BF BF +=,∴()11212=22AF PF BF AF BF +.【细品经典例题】【经典例题1】设椭圆()012:222>=+a y ax C 的左、右顶点分别为A 、B ，点P 在椭圆上且异于A 、B 两点，O 为坐标原点. （1）若直线AP 与BP 的斜率之积为21-，求椭圆的离心率； （2）对于由（1）得到的椭圆C ，过点P 的直线l 交x 轴于点()0,1-Q ，交y 轴于点M ，若2MP PQ =，求直线l 的斜率.【名师点拨】（1）可以得到⨯AP k AP k =22a -，可以求得椭圆的离心率；（2）联立直线与椭圆的方程进行求解.【名师解析】（1）由已知()()0,,0,a B a A -,设()()a x y x P ±≠000,. …………1分 则直线AP 的斜率ax y k AP +=00,由①解得02=k ，即0=k ,【经典例题2】已知中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆Ω，它的离心率为12，一个焦点是()1,0-,过直线:4l x =上一点M 引椭圆Ω的两条切线，切点分别是A ，B.（1）求椭圆Ω的方程；（2）若在椭圆Ω：()222210x y a b a b +=>>上的点()00,x y 处的切线方程是00221x x y y a b+=.求证:直线AB 恒过定点C ，并出求定点C 的坐标.（3）是否存在实数λ，使得AC BC AC BC λ+=⋅恒成立？（点C 为直线AB 恒过的定点）若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.【精选名题巧练】【名题巧练1】已知椭圆221:12xC y+=.（Ⅰ）我们知道圆具有性质：若E 为圆O ：222(0)x y r r +=>的弦AB 的中点，则直线AB 的斜率AB k 与直线OE 的斜率OE k 的乘积AB OE k k ⋅为定值。
2013年高考数学考前冲刺大题精做专题08函数与导数基础篇(教师版)
2013年高考数学考前冲刺大题精做专题08 函数与导数基础篇（教师版）【2013高考会这样考】1、熟练的使用导数的几何意义进行解题；2、利用导数解决函数的单调区间、极值、最值，注意定义域优先；3、已知函数的单调性求参数的取值范围，注意合理的使用导数工具；4、不等式的恒成立问题，往往需要转化为函数的最值问题进行求解.【原味还原高考】【高考还原1：（2012年高考（重庆理））】设13()ln1,22f x a x xx=+++其中a R∈,曲线()y f x=在点(1,(1))f处的切线垂直于y轴. （Ⅰ）求a的值;（Ⅱ）求函数()f x的极值.【高考还原2：（2012年高考（北京理））】已知函数2()1f x ax =+(0a >),3()g x x bx =+. （1）若曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点(1,c )处具有公共切线,求,a b 的值;（2）当24a b =时,求函数()()f x g x +的单调区间,并求其在区间(,1]-∞-上的最大值.【高考还原3：（2012年高考（福建理））】已知函数2()()x f x e ax ex a R =+-∈. （Ⅰ）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线平行于x 轴,求函数()f x 的单调区间;（Ⅱ）试确定a 的取值范围,使得曲线()y f x =上存在唯一的点P ,曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P .【名师点拨】（Ⅰ）可以得到“(1)0f '=”，可以求出“0a =”，进而去定单调区间；【来源；】（Ⅱ）构造“000()()()()()g x f x f x x x f x '=---”，进而探究()g x 就只有一个零点的情况.【细品经典例题】 【经典例题1】已知函数()ln 3 (R)f x a x ax a =--∈．（1）若1a =-,求函数)(x f 的单调区间并求()f x 的最小值；（2）若函数)(x f y =的图象在点))2(,2(f 处的切线的倾斜角为︒45，对于任意的∴9337-<<-m ，（3） 猜想：ln 2ln3ln 4ln 1(2,N )234nn n n n *⨯⨯⨯⨯<≥∈证明如下： 由（1）可知当),1(+∞∈x 时)1()(f x f >，即01ln >-+-x x ，于任意R x ∈1，总存在]1,1[2-∈x ，使得)()(12x f x g ≤”等价于“在相应的区间上，【精选名题巧练】【名题巧练1】设函数f(x) =x2 + bx - a·lnx.（Ⅰ）在点（1，f(1)）处的切线与y轴垂直，1是函数f(x)的一个零点，求f(x)的单调区间；（Ⅱ）若对任意b属于[ - 2 ,- 1 ], 及任意x属于（1 ，e ）(e 为自然对数的底数)，使得f(x)<0成立，求实数a 的取值范围。
2013年高考数学试卷圆锥曲线解答题教师版
1．（2013年上海市春季高考数学试卷）已知椭圆C 的两个焦点分别为1(1 0)F -，、2(1 0)F ，,短轴的两个端点分别为12 B B 、 (1)若112F B B ∆为等边三角形,求椭圆C 的方程;(2)若椭圆C 的短轴长为2,过点2F 的直线l 与椭圆C 相交于 P Q 、两点,且11F P FQ ⊥,求直线l 的方程.【答案】[解](1)设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>.根据题意知2221a b a b =⎧⎨-=⎩, 解得243a =,213b = 故椭圆C 的方程为2214133x y +=. (2)容易求得椭圆C 的方程为2212x y +=. 当直线l 的斜率不存在时,其方程为1x =,不符合题意; 当直线的斜率存在时,设直线l 的方程为(1)y k x =-.由22(1)12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得2222(21)42(1)0k x k x k +-+-=. 设1122( ) ( )P x y Q x y ，，，,则2212121111222242(1) (1 ) (1 )2121k k x x x x F P x y FQ x y k k -+===+=+++ ，，，，， 因为11F P FQ ⊥ ,所以110F P FQ ⋅=,即 21212121212(1)(1)()1(1)(1)x x y y x x x x k x x +++=++++-- 2221212(1)(1)()1k x x k x x k =+--+++2271021k k -==+, 解得217k =,即k =故直线l的方程为10x -=或10x -=.2．（2013年高考四川卷（理））已知椭圆C :22221,(0)x y a b a b +=>>的两个焦点分别为12(1,0),(1,0)F F -,且椭圆C 经过点41(,)33P .(Ⅰ)求椭圆C 的离心率;(Ⅱ)设过点(0,2)A 的直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点,点Q 是线段MN 上的点,且222211||||||AQ AM AN =+,求点Q 的轨迹方程.【答案】解:122a PF PF =+==所以,a =又由已知,1c =, 所以椭圆C的离心率2c e a ===()II 由()I 知椭圆C 的方程为2212x y +=.设点Q 的坐标为(x,y).(1)当直线l 与x 轴垂直时,直线l 与椭圆C 交于()()0,1,0,1-两点,此时Q点坐标为0,25⎛- ⎝⎭ (2) 当直线l 与x 轴不垂直时,设直线l 的方程为2y kx =+.因为,M N 在直线l 上,可设点,M N 的坐标分别为1122(,2),(,2)x kx x kx ++,则22222212(1),(1)AM k x AN k x =+=+. 又()222222(1).AQ x y k x =+-=+由222211AQAMAN=+,得()()()22222212211111k x k x k x =++++,即 ()212122222212122211x x x x x x x x x +-=+=①将2y kx =+代入2212x y +=中,得 ()2221860kx kx +++= ②由()()22842160,k k ∆=-⨯+⨯>得232k >. 由②可知12122286,,2121k x x x x k k +=-=++ 代入①中并化简,得2218103x k =- ③ 因为点Q 在直线2y k x =+上,所以2y k x-=,代入③中并化简,得()22102318y x --=.由③及232k >,可知2302x <<,即x ⎛⎫⎛∈ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭.又0,25⎛- ⎝⎭满足()22102318y x --=,故22x ⎛∈- ⎝⎭. 由题意,(),Q x y 在椭圆C 内部,所以11y -≤≤,又由()22102183y x -=+有()2992,54y ⎡⎫-∈⎪⎢⎣⎭且11y -≤≤,则1,22y ⎛∈- ⎝⎦. 所以点Q的轨迹方程是()22102318yx --=,其中,x ⎛∈ ⎝⎭,1,22y ⎛∈- ⎝⎦3．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题）椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的左、右焦点分别是12,F F ,过1F 且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1.(Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点,连接12,PF PF ,设12F PF ∠的角平分线PM 交C 的长轴于点(,0)M m ,求m 的取值范围;(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,过P 点作斜率为k 的直线l ,使得l 与椭圆C 有且只有一个公共点,设直线12,PF PF 的斜率分别为12,k k ,若0k ≠,试证明1211kk kk +为定值,并求出这个定值.【答案】解:(Ⅰ)由于222c a b =-,将x c =-代入椭圆方程22221x y a b +=得2b y a =± 由题意知221b a =,即22a b = 又c e a == 所以2a =,1b = 所以椭圆方程为2214x y +=中204x ≠,将向量坐标代入并化简得:m(23000416)312x x x -=-,因为24x ≠,1200118kk kk +=-=-为定值. 4．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题）如图,在正方形OABC 中,O 为坐标原点,点A 的坐标为(10,0),点C 的坐标为(0,10).分别将线段OA 和AB 十等分,分点分别记为129,,....A A A 和129,,....B B B ,连结i OB ,过i A 做x 轴的垂线与i OB 交于点*(,19)i P i N i ∈≤≤.(1)求证:点*(,19)i P i N i ∈≤≤都在同一条抛物线上,并求该抛物线E 的方程;(2)过点C 做直线与抛物线E 交于不同的两点,M N ,若OCM ∆与OCN ∆的面积比为4:1,求直线的方程.【答案】解:(Ⅰ)依题意,过*(,19)∈≤≤i A i Ni 且与x 轴垂直的直线方程为=x i(10,) i B i ,∴直线i OB 的方程为10=iy x 设i P 坐标为(,)x y ,由10=⎧⎪⎨=⎪⎩x iiy x 得:2110=y x ,即210=x y , ∴*(,19)∈≤≤i P i N i 都在同一条抛物线上,且抛物线E 方程为210=x y(Ⅱ)依题意:直线的斜率存在,设直线的方程为10=+y kx由21010=+⎧⎨=⎩y kx x y得2101000--=x kx 此时2100+4000∆=>k ,直线与抛物线E 恒有两个不同的交点,M N 设:1122(,)(,)M x y N x y ,则121210100+=⎧⎨⋅=-⎩x x kx x4∆∆= OCM OCN S S ∴124=x x又120⋅< x x ,∴124=-x x 分别带入21010=+⎧⎨=⎩y kx x y ,解得32=±k 直线的方程为3+102=±y x ,即32200-+=x y 或3+2200-=x y 5．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题）如图,点)1,0(-P 是椭圆)0(1:22221>>=+b a by a x C 的一个顶点,1C 的长轴是圆4:222=+y x C 的直径.21,l l 是过点P 且互相垂直的两条直线,其中1l 交圆2C 于两点,2l 交椭圆1C 于另一点D (1)求椭圆1C 的方程; (2)求ABD ∆面积取最大值时直线1l 的方程.【答案】解:(Ⅰ)由已知得到1b =,且242a a =∴=,所以椭圆的方程是2214x y +=; (Ⅱ)因为直线12l l ⊥,且都过点(0,1)P -,所以设直线1:110l y kx kx y =-⇒--=,直线21:10l yx x k y k k=--⇒++=,所以圆心(0,到直线1:110l yk x k x y =-⇒--=的距离为d =,所以直线1l 被圆224x y +=所截的弦AB ==;由2222248014x ky k k x x kx x y ++=⎧⎪⇒++=⎨+=⎪⎩,所以28||44D P k x x DP k k +=-∴==++所以222114||||22444313ABDS AB DP k k k ∆⨯==⨯==++++23232==≤=++当2522k k =⇒=⇒=±时等号成立,此时直线1:1l y x =-（第21题图）6．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题）设椭圆2222:11x y E a a +=-的焦点在x 轴上(Ⅰ)若椭圆E 的焦距为1,求椭圆E 的方程;(Ⅱ)设12,F F 分别是椭圆的左、右焦点,P 为椭圆E 上的第一象限内的点,直线2F P 交y 轴与点Q ,并且11F P FQ ⊥,证明:当a 变化时,点p 在某定直线上.【答案】解:(Ⅰ)13858851,12,122222222=+=⇒+-==->x x a c a a c a a ，椭圆方程为： .(Ⅱ) ),(),,),,0(),,(),0,(),0,(2221m c QF y c x F m Q y x P c F c F -=-=-（则设. 由)1,0(),1,0()1,0(012∈∈⇒∈⇒>-y x a a .⎩⎨⎧=++=-⊥=+=0)()(,//).,(),,(112211my c x c ycx c m F F QF F m c F y c x F 由 解得联立⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+-==-=-+=-⇒=+-⇒22222222222222111.))((c a a c y x a y a x c y x y c x c xy x y x y x yx y y x x -=∴∈∈±=⇒=+-++-⇒1)1,0(),1,0(.)1(1121222222222 所以动点P 过定直线01=-+y x .7．（2013年高考新课标1（理））已知圆M :22(1)1x y ++=,圆N :22(1)9x y -+=,动圆P与M 外切并且与圆N 内切,圆心P 的轨迹为曲线 C.(Ⅰ)求C 的方程;(Ⅱ)l 是与圆P ,圆M 都相切的一条直线,l 与曲线C 交于A,B 两点,当圆P 的半径最长时,求|AB|.【答案】由已知得圆M 的圆心为M (-1,0),半径1r =1,圆N 的圆心为N (1,0),半径2r =3.设动圆P 的圆心为P (x ,y ),半径为R.(Ⅰ)∵圆P 与圆M 外切且与圆N 内切,∴|PM|+|PN|=12()()R r r R ++-=12r r +=4, 由椭圆的定义可知,曲线C 是以M,N 为左右焦点,场半轴长为2,(左顶点除外),其方程为221(2)43x y x +=≠-. (Ⅱ)对于曲线C 上任意一点P (x ,y ),由于|PM|-|PN|=22R -≤2,∴R≤2, 当且仅当圆P 的圆心为(2,0)时,R=2.∴当圆P 的半径最长时,其方程为22(2)4x y -+=, 当l 的倾斜角为090时,则l 与y 轴重合,可得|AB|=当l 的倾斜角不为090时,由1r ≠R 知l 不平行x 轴,设l 与x 轴的交点为Q,则||||QP QM =1Rr ,可求得Q(-4,0),∴设l :(4)y k x =+,由l 于圆M1=,解得k =当k=时,将y x =+代入221(2)43x y x +=≠-并整理得27880x x +-=,解得1,2x12||x x -=187.当k时,由图形的对称性可知|AB|=187, 综上,|AB|=187或|AB|=8．（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题）设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ,过点F 且与x.(Ⅰ) 求椭圆的方程; (Ⅱ) 设A , B 分别为椭圆的左右顶点, 过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C , D 两点.若··8AC DB AD CB +=, 求k 的值.9．（2013年高考江西卷（理））如图,椭圆2222+=1(>>0)x y C a b a b：经过点3(1,),2P 离心率1=2e ,直线l 的方程为=4x .(1) 求椭圆C 的方程;(2) AB 是经过右焦点F 的任一弦(不经过点P ),设直线AB 与直线l 相交于点M ,记,,PA PB PM 的斜率分别为123,,.k k k 问:是否存在常数λ,使得123+=.k k k λ?若存在求λ的值;若不存在,说明理由.【答案】解:(1)由3(1,)2P 在椭圆上得,221914a b+= ① 依题设知2a c =,则223b c = ② ②代入①解得2221,4,3c a b ===.故椭圆C 的方程为22143x y +=. (2)方法一:由题意可设AB 的斜率为k ,则直线AB 的方程为(1)y k x =- ③代入椭圆方程223412x y +=并整理,得2222(43)84(3)0k x k x k +-+-=, 设1122(,),(,)A x y B x y ,则有2212122284(3),4343k k x x x x k k -+==++ ④ 在方程③中令4x =得,M 的坐标为(4,3)k .从而121231233331222,,11412y y k k k k k x x ---====----. 注意到,,A F B 共线,则有AF BF k k k ==,即有121211y yk x x ==--. 所以1212121212123331122()1111212y y y y k k x x x x x x --+=+=+-+------ 1212122322()1x x k x x x x +-=-⋅-++ ⑤ ④代入⑤得22122222823432214(3)8214343k k k k k k k k k k -++=-⋅=---+++, 又312k k =-,所以1232k k k +=.故存在常数2λ=符合题意.方法二:设000(,)(1)B x y x ≠,则直线FB 的方程为:00(1)1y y x x =--, 令4x =,求得003(4,)1y M x -, 从而直线PM 的斜率为0030212(1)y x k x -+=-,联立0022(1)1143y y x x x y ⎧=-⎪-⎪⎨⎪+=⎪⎩ ,得0000583(,)2525x y A x x ---,则直线PA 的斜率为:00102252(1)y x k x -+=-,直线PB 的斜率为:020232(1)y k x -=-,所以00000123000225232122(1)2(1)1y x y y x k k k x x x -+--++=+==---,故存在常数2λ=符合题意.10．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷）已知抛物线C 的顶点为原点,其焦点()()0,0F c c >到直线l :20x y --=设P 为直线l 上的点,过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB ,其中,A B 为切点. (Ⅰ) 求抛物线C 的方程;(Ⅱ) 当点()00,P x y 为直线l 上的定点时,求直线AB 的方程; (Ⅲ) 当点P 在直线l 上移动时,求AF BF ⋅的最小值.【答案】(Ⅰ) 依题意,设抛物线C 的方程为24xcy =,2=结合0c >,解得1c =.所以抛物线C 的方程为24x y =.(Ⅱ) 抛物线C 的方程为24x y =,即214y x =,求导得12y x '= 设()11,A x y ,()22,B x y (其中221212,44x x y y ==),则切线,PA PB 的斜率分别为112x ,212x ,所以切线PA 的方程为()1112x y y x x -=-,即211122x x y x y =-+,即11220x x y y --=同理可得切线PB 的方程为22220x x y y --=因为切线,PA PB 均过点()00,P x y ,所以1001220x x y y --=,2002220x x y y --= 所以()()1122,,,x y x y 为方程00220x x y y --=的两组解. 所以直线AB 的方程为00220x x y y --=.(Ⅲ) 由抛物线定义可知11AF y =+,21BF y =+, 所以()()()121212111AF BF y y y y y y ⋅=++=+++联立方程0022204x x y y x y--=⎧⎨=⎩,消去x 整理得()22200020y y x y y +-+=由一元二次方程根与系数的关系可得212002y y x y +=-,2120y y y = 所以()221212000121AF BF y y y y y x y ⋅=+++=+-+又点()00,P x y 在直线l 上,所以002x y =+,所以22220000001921225222y x y y y y ⎛⎫+-+=++=++ ⎪⎝⎭所以当012y =-时, AF BF ⋅取得最小值,且最小值为92.。
2013年高考数学考前冲刺大题精做专题02数列基础篇(教师版)
2013年高考数学 考前冲刺大题精做 专题02 数列基础篇（教师版）【2013高考会这样考】对于数列的基础知识，有如下考法：1、 求数列的通项是高考数列命题的热点，主要以解答题中某一问的形式出现；2、 以数列为载体，考查数列求和的各种技巧与方法，经常出现的是基本公式法、裂项相消法、错位相减法；3、 灵活应用等差数列、等比数列的基本公式和性质对问题进行求解；4、 合理使用n S 与n a 的关系配合进行解题，注意化简的过程的运算.5、 注意递推关系的使用.【高考还原2：（2012年高考（陕西理））】设{}n a 的公比不为1的等比数列，其前n 项和为n S ，且534,,a a a 成等差数列.（1）求数列{}n a 的公比；（2）证明：对任意k N +∈,21,,k k k S S S ++成等差数列.所以,对任意k N +∈,21,,k k k S S S ++成等差数列证法二：对任意k N +∈,12(1)21k k a q S q-=- 212111121(1)(1)(2)111k k k k k k a q a q a q q S S q q q++++++----+=+=--- 2111212(1)(2)2()11k k k k k k a q a q q S S S q q ++++----+=---211[2(1)(2)1k k k a q q q q++=-----21(2)01ka q q q q=+-=-，因此,对任意k N +∈,21,,k k k S S S ++成等差数列.【细品经典例题】【经典例题1】在等差数列{}n a 中，31=a ，其前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的各项均为正数，11=b ，公比为q ，且1222=+S b ， 22b S q =． （1）求n a 与n b ；（2）求12111...nS S S +++的取值范围．式，故应使用裂项法进行求和进行求解.【经典例题2】已知数列{}n a 的各项均为正数，前n 项和为n S ，且*,2)1(N n a a S n n n ∈+=（1）求证数列{}n a 是等差数列；（2）设++==21,21b b T S b n nn …n b +，求n T .【精选名题巧练】 【名题巧练1】在数列{}n a 中，*32111,21()23n n a a a a a n N n=++++=-∈ （Ⅰ）求数列{}n a 的前n 项和n S ；（Ⅱ）若存在*n N ∈，使得(1)n a n n λ≤+成立，求实数λ的最小值.【名题巧练2】某城市2002年有人口200万，该年医疗费用投入10亿元。
2013届高考数学总复习(五年高考三年模拟)圆锥曲线专题
第一部分 五年高考荟萃 2009 年高考题
2009 年高考数学试题分类汇编——圆锥曲线
一、选择题
x2 y 2 2 1. （2009 全国理） 设双曲线 2 2 1（a＞0,b＞0） 的渐近线与抛物线 y=x +1 相切， 则该双曲线的离心率等于( a b
2
2
的面积为 4,则抛物线方程为( A. y 4 x
2 2
). C. y 4 x
2
B. y 8 x
2
D. y 8 x
2
【解析】
抛物线 y ax (a 0) 的焦点 F 坐标为 ( , 0) , 则直线 l 的方程为 y 2( x ) , 它与 y 轴的交点为
x2 y2 1 的渐近线与圆 ( x 3) 2 y 2 r 2 (r 0) 相切，则 r= ( 6 3
C.3 D.6
)
A. 3
B.2
【解析】本题考查双曲线性质及圆的切线知识，由圆心到渐近线的距离等于 r，可求 r= 3 .【答案】A 9. （09） 已知直线 y k ( x 2)(k 0) 与抛物线 C: y 8 x 相交 A、 B 两点， F 为 C 的焦点。 若 FA 2 FB ,则 k=
A. 3 B.2 C. 5
'
)
D. 6
【解析】设切点 P ( x0 , y0 ) ，则切线的斜率为 y
|x x0 2 x0 .由题意有
y0 2 x0 又 y0 x0 2 1 x0
解得: x0 1,
2
b b 2, e 1 ( ) 2 5 . 【答案】C a a
2.（2009 全国卷Ⅰ理）已知椭圆 C :
圆锥曲线考前冲刺讲座
A． +y2＝1
B． + ＝1 C． + ＝1 D． + ＝1
与 C 交于 A ， B 两点，点 M 的坐标为 2 ，0 ．
（1）当 l 与 x 轴垂直时，求直线 AM 的方程； （2）设 O 为坐标原点，证明：∠OMA ∠OMB ．
2019年全国Ⅰ卷真题
1.（2019 课标全国Ⅰ，理 10）已知椭圆 C 的焦点为 F1（﹣1，0），F2（1，0），过 F2 的直线与 C 交 于 A，B 两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则 C 的方程为（ ）
的距离为 4 ，则 n 的取值范围是（
）
（A） (1,3)
（B） (1, 3)
（C） (0,3)
（D）(0, 3)
2（. 2016 课标全国Ⅰ，理 10）以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交C 于 A, B 两点，交C 的准线于 D, E
两点，已知 AB 4 2 , DE 2 5 ，则 C 的焦点到准线的距离为（
).
（A) ( 3 , 3 ) 33
(B) ( 3 , 3 ) (C) ( 2 2 , 2 2 )
66
33
(D) ( 2 3 , 2 3 ) 33
2. (2015 课标全国Ⅰ，理 14)一个圆经过椭圆 x2 y2 1 的三个顶点，且圆心在 x 轴的正 16 4
半轴上，则该圆的标准方程为 3. (2015 课标全国Ⅰ，理 20)在直角坐标系 xOy 中，曲线C : y x2 与直线l : y kx a(a 0)
3．（2017 课标全国Ⅰ，理
20）（12 分）已知椭圆 C
：x2 a2
y2 b2
1
a
b 0
，四点 P1 1，1
高三圆锥曲线复习(基础和大题含答案)
考纲要求（1）圆锥曲线① 了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；② 掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质； ③ 了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质； ④ 了解圆锥曲线的简单应用； ⑤ 理解数形结合的思想。
（2）曲线与方程了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系。
基本知识回顾（1）椭圆① 椭圆的定义设F1，F2是定点（称焦点），P 为动点，则满足|PF1|+|PF2|=2a (其中a 为定值，且2a ＞|F1F2|)的动点P 的轨迹称为椭圆,符号表示：|PF1|+|PF2|=2a （2a ＞| F1F2|)。
② 椭圆的标准方程和几何性质 焦点在x 轴上的椭圆焦点在y 轴上的椭圆标准方程22a x +22by =1（a ＞b ＞0）22a y +22bx =1（a ＞b ＞0）范围x [,][,]a a y b b ∈-∈-[,][,]x b b y a a ∈-∈-图形对称性 对称轴：x 轴、y 轴 对称中心：原点顶点1212(,0),(,0)(,0),(,0)A a A aB b B b --1212(0,),(0,)(0,),(0,)A a A aB b B b --轴 长轴A 1A 2的长为：2a 短轴B 1B 2的长为：2b焦距 F 1F 2=2c离心率e ,(0,1)ce a=∈ a,b,c 关系 222a b c =+例题例1：椭圆22192x y +=的焦点为12,F F ，点P 在椭圆上，若1||4PF =，则2||PF = ；12F PF ∠的大小为 。
变式1：已知12F 、F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点，p 为椭圆C 上的一点，且→→⊥21PF PF 。
若12PF F ∆的面积为9，则b = 。
例2：若点P 到点F (4,0)的距离比它到定直线x +5=0的距离小1，则P 点的轨迹方程是（ ）A ．y 2=16-xB ．y 2=32-xC ．y 2=16xD ．y 2=32x变式2：动圆与定圆A ：(x +2)2+y 2=1外切，且与直线∶x =1相切，则动圆圆心P 的轨迹是（ ）A ．直线B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线变式3：抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，其上的点)3,(-m P 到焦点的距离为5，则抛物线方程为（ ） A ．y x 82=B ．y x 42=C ．y x 42-=D ． y x 82-=变式4：在抛物线y 2=2x 上有一点P ，若 P 到焦点F 与到点A （3，2）的距离之和最小，则点P 的坐标是 。
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…14分
【名题巧练9】已知两定点 ，动点 P满足 ，由点P向 轴作垂线PQ，垂足为Q，点M满足 ，点M的轨迹为C.
（I ）求曲线C的方程；
（II）若线 段AB是曲线C的一 条动弦，且 ，求坐标原点O到动弦AB距离的最大值.
【名题巧练10】设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左 、右焦点分别为F1、F2，线段OF1、OF2的中点分别为B1、B2，且△AB1B2是面积为 的直角三角形．过
2013年高考数学考前冲刺大题精做专题05圆锥曲线基础篇（教师版）
【2013高考会这样考】
1、圆锥曲线的方程求法有两种，一种是定义法；一种是待定系数法；
2、数列的使用离心率的公式以及公式的变式，方便在 计算圆锥曲线的方程中加以应用；
3、联立直线与圆锥曲线的方程多使用根与系数的关系进行解题；此外要看清楚直线是否过定点，定点与圆锥曲线的位置关系；
（1）求椭 圆 的标准方程；
（2）
联立 消y得
∵直线与椭圆相交于不同的两点M、N
∴ 得： ……①
【经典例题2】已知焦点在 轴上的椭圆 过点 ，且离心率为 , 为椭圆 的左顶点.
（1） 求椭圆 的标准方程；
（2 ）已知过点 的直线 与椭圆 交于 ， 两点.
2若直线 垂直于 轴，求 的大小;
②若直线 与 轴不 垂直，是否存在直线 使得 为等腰三角形？如果存在，求出直线 的方程；如果不存在，请说明理由.
Ｂ1作直线l交椭圆于P、Q两点．
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）若 ，求直线l的方程；
（3）设直线l与圆O：x2+y2=8相交于M、N两点，令| MN|的长度为t，若t∈ ，求△B2PQ的面积 的取值范围．
联立方程组： 得 ，由韦达定理知，
【高考还原2：（2012 年高考（陕西理））】已知椭圆 ,椭圆 以 的长轴为短轴,且与 有相同的离心率.
（1）求椭圆 的方程;
（2）设O为坐标原点,点A,B分别在椭圆 和 上, ,求直线 的方程.
【高考还原3：（2012年高考（福建理））】如图,椭圆 的左 焦点为 ,右焦点为 ,离心率 .过 的直线交椭圆于 两点,且 的周长为8.
【名题巧练4】如图，A、B是椭圆 的两个顶点，|AB|= ，直线AB的斜率为 .
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线 平行于AB，与x,y轴分别交于点M、N，与椭圆交于C，D，证明： 与 的面积相等。
因为 ， ，所以线段 的中点坐标也为 ………12分
从而 与 的中点重合，所以 ……………13分
又 // ，所以 与 的高相等，高为 ，
【名师点拨】（I）利用两点间的距 离公式，两边同平方求解；
【名师解析】（I）由题意知 ，设 ；（Ⅱ）①利用导数计
由 消去 ，得 ，显然 ，
所以 ， .
又
（2） 为坐标原点， 是直线 上的一个动点，求 的最小值，并求出此时点 的坐标．
【名题巧练8】已知椭圆 的离心率为 ，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为 .
故 … ……………………14分
【名题巧练6】已知直线 过定点 ，动点 满足 ，动点 的轨迹为 .
（Ⅰ）求 的方 程；
（Ⅱ）直线 与 交于 两点，以 为切点分别作 的切线，两切线交于点 .
①求证： ；
②若直线 与 交于 两点，求四边形 面积的最大值.
【名题出处】2013江西省师大附中、鹰潭一中高中毕业班质量检查
4、熟练的使用弦长公式.
【原味还原高考】
【高考还原1：（2012年高考（浙江理））】如图,椭圆C: (a>b>0)的离心率为 ,其左焦点到点P(2,1)的距离为 .不过原点O的直线l与C相交于A,B两点,且线段AB被直线OP平分.
（Ⅰ）求椭圆C的方程;
（Ⅱ）求 ABP的面积取最大时直线l的方程.
的难度与综合性，此时应当利用导数作为辅助工具进行求解.
试题难点：在判 断“是否 存在直线 使得 为等腰三角形”，应建立在上面结论的基础上，先判断“ 为直角三角形”，再判断是否等腰.
试题注意点：在判断等腰三角形的时候可以利用三线合一的性质构造向量进行判定.
【精选名题巧练】
【名题巧练1】如图，已知椭圆 ： 的离心率 ，短轴右端点为 ， 为线段 的中点.
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
由 解得
（i）证明： ；
（ii）求四边形ABCD的面积S的最大值。
【 名题出处】2013广西省桂林市、百色市、崇左市、北海市、防城港市高三质量检查
【名师点拨】（Ⅰ）可以利用“ ”算得b=c=1，进而求出 椭圆的方程；（Ⅱ）（i）联立直线与椭圆的方程，利用弦长公式进行计算；（ii）可以算
当且仅当 时，四边形 ABCD的面积S取得最大值为
（1）求椭圆 的方程；
（2）是否存在满足 的点 ?若存在，指出这样的点 有几个（不必求出点 的坐标）;若不存在，说明理由.
【名题出处】2013福建省漳州市高中毕业班质量检查
【名师点拨】（1）利用椭圆的定义算出a的值，再计算出椭圆的方程；
∴抛物线 在点 处的切线 的方程为 ，即 .②
同理， .② ……………7分
（ⅱ）当直线 与 轴不垂直时Βιβλιοθήκη 由题意可设直线 的方程为.
故 与 不垂直，矛盾.
所以当直线 与 轴 不垂直时，不存在直线 使得 为等腰三角形.
【名师 剖析】
试题重点：本题体现向量背景下的圆锥曲线问题，知识点综合性强：1、直线的方程；2、椭圆的方程；3、椭圆的参数关系；4、椭圆的离心率；5、根 与系数的关系；6、向量数量积的基本运算；7、等腰三角形的性质.
（Ⅰ）求椭圆 的方程.
（Ⅱ）设动直线 与椭圆 有且只有一个公共点 ,且与直线 相较于点 .试探究:在坐标 平面内是否存在定点 ,使得以 为直径的圆 恒过点 ?若存在,求出点 的坐标;若不存在,说明理由.
【名师点拨】（Ⅰ）利用椭圆的定义以及离心率的公式求出椭圆的方程；（Ⅱ）联立
【细品经典例题】
【经典例题1】已知椭圆 过点 ，且离心率 ．
（Ⅱ） 过点 任作一条直线与椭圆 相交于两点 ，试问在 轴上是否存在定点 ，使得 ，若存在，求出点 的坐标；若不存在，说明理由.
综上在 轴上 存在定点 ，使得 .…………13分
【名题巧练2】已知椭圆 的中心在坐标原点，两个焦点分别为 ， ，点 在椭圆 上，过点 的直 线 与抛 物线 交于 两点，抛物线 在点 处的切线分别为 ，且 与 交于点 .