(完整版)基础排列组合部分知识总结

计数原理
1.摆列组合
知识导学 ：
1. 分类计数原理：达成一件事，有ｎ类方法，在第
1 类方法中，有 m 1 种不一样的方法，在第 2
类方法中，有 m 2 种不一样的方法， 在第ｎ类方法中，有 m n 种不一样的方法，那么达成这件事共
有 ＝
m 1 ＋ m 2 ＋ ＋ m n 种不一样的方法 .
N
2. 分步计数原理：达成一件事，需要分红ｎ个步骤，做第 1 步，有 m 1 种不一样的方法，做
第
2 步，有
m 2 种不一样的方法， 做第ｎ步，有 m n 种不一样的方法，那么达成这件事共有 ＝
m 1 ×
N
m 2 × × m n 种不一样的方法 .
摆列数公式 ：
A n m
n ( n 1)( n 2)( n 3)
( n m 1)
A n m
n! （这里ｍ、ｎ∈ N * ，且ｍ≤ｎ）
(n m)!
组合数公式：
m
A n m n(n 1)(n 2)( n 3) ( n
m 1)
C n
A m m
n
C n m
n! （这里ｍ、ｎ∈ N *
，且ｍ≤ｎ）
m! (n m)!
组合数的两个性质
C n m C n n m 规定： C n 0 1
C n m 1 C n m
C n m 1
例 l、分类加法计数原理的应用
在全部的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？
剖析：该问题与计数相关，可考虑采纳两个基来源理来计算，达成这件事，只需两位数的个
位、十位确立了，这件事就算达成了，所以可考虑安排十位上的数字状况进行分类．
解法一：按十位数上的数字分别是1， 2， 3， 4，5， 6， 7，8 的状况分红8 类，在每一类中
知足题目条件的两位数分别是8 个， 7 个， 6 个， 5 个， 4 个， 3 个， 2 个， l 个．由分类加法计数原理知，切合题意的两位数的个数共有8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + l＝36 个．
解法二：按个位数字是2， 3， 4， 5， 6，7， 8， 9 分红 8 类，在每一类中知足条件的两位数
分别是 l 个、 2 个、 3 个、 4 个、 5 个、 6 个、 7 个、 8 个，
所以按分类加法计数原理共有l + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 36个．
评论：分类加法计数原理是对波及达成某一件事的不一样方法种数的计数方法，每一类的
各样方法都是互相独立的，每一类中的每一种方法都能够独立达成这件事。

解决该类问题应从简
单分类议论下手，要做到不重不漏，尽量做到一题多解，从不一样角度考虑问题．
例 2、分步乘法计数原理的应用
书架上的一格内有 6 本不一样的书，此刻再放上 3 本不一样的书，但要保持原有书的相对次序不变，那么全部不一样的放法共有多少种？
分析（插空法）：把3本不一样的书放入书架，需保持书架上原有书的相对地点不变．
达成这件事分为三个步骤，每一步各放 1 本．
第一步有m1 = 7 种放法，第二步有m2 = 8 种放法，第三步有m3 = 9 种放法，
由分步乘法计数原理可知，共有N = m 1×m2× m3 = 7×8× 9= 504 种放法．
例 3、两个计数原理的综合应用
有一项活动，需在 3 名老师， 8 名男同学和 5 名女同学中选人参加．
（l）若只需一人参加，有多少种不一样方法？
（2）若需老师、男同学、女同学各一人参加，有多少种不一样选法？
（3）若需一名老师和一名同学有多少种不一样选法？
分析：（ l ）有三类选人的方法： 3 名老师中选一人，有 3 种方法； 8 名男同学中选一人，有8 种方法； 5 名女同学中选一人，有 5 种方法。

由分类加法计数原理，共有3＋ 8＋ 5＝16 种选法．
（ 2）分三步选人：第一步选老师，有 3 种方法；第二步选男同学，有8 种方法；第三步选女同学，有 5 种方法．由分步乘法计数原理，共有3× 8×5 = 120 种选法．
（ 3）可分两类，每一类又分两步．第一类：选一名老师再选一名男同学，有3× 8 = 24 种选法；第二类：选一名老师再选一名女同学，共有3×5＝ 15 种选法．
由分类加法计数原理，共有24＋ 15＝39 种选法．
评论：在用两个计数原理办理详细问题时，第一要分清是“分类”仍是“分步”，其次要清楚
“分类”或“分步”的详细标准．在“分类”时要按照“不重、不漏”的原则，在“分步”时要
正确设计“分步”的程序，注意“步”与“步”之间的连续性．
例 4、摆列的应用问题
六人按以下要求站一横排，分别有多少种不一样的站法？
（l）甲不站两头；（ 2）甲、乙一定相邻；（ 3）甲、乙不相邻；（ 4）甲、乙之间间隔两人；（5）甲、乙站在两头；（ 6）甲不站左端，乙不站右端．
剖析：此题主要考察有限制条件的摆列应用题的解法及分类议论的思想和剖析问题、解决
问题的能力．
分析：
（ l）方法一：要使甲不站在两头，可先让甲在中间 4 个地点上任选 1 个，有种站法，而后其余 5 人在此外 5 个地点上作全摆列有种站法，
依据分步乘法计数原理，共有站法480 （种）
方法二：因为甲不站两头，这两个地点只好从其余 5 个人中选 2 个人站，有种站法，而后中间 4 人有种站法，依据分步乘法计数原理，共有站法480 （种）方法三（清除法）：若对甲没有限制条件共有种站法，甲在两头共有种站法，从总数中减去这两种状况的摆列数，即得所求的站法数，共有480（种）
（ 2）方法一（捆绑法）：先把甲、乙作为一个“整体”，看作一个人，有种站法，再把甲、乙进行全摆列，有种站法，依据分步乘法计数原理，共有240 （种）站法．方法二（插空法）：先把甲、乙之外的 4 个人作全摆列，有种站法，再在 5 个空档中选出一个供甲、乙放入，有种方法，最后让甲、乙全摆列，有种方法，共有
240 （种）
（ 3）方法一（插空法）：因为甲、乙不相邻，中间有隔档，可用“插空法”，第一步先让甲、乙
之外的 4 个人站队，有种；第二步再将甲、乙排在 4 人形成的 5 个空档（含两头）中，有种，故共有站法为= 480 （种） .
方法二（清除法）： 6 个人全摆列有种站法，由（2）知甲、乙相邻有240 种站法，所以不相邻的站法有－720－ 240＝480（种）．
（ 4）方法一（插空法）：先将甲、乙之外的 4 个人作全摆列，有种，而后将甲、乙按条件
插入站队，有种，故共有种站法．
方法二（捆绑法）：先从甲、乙之外的 4 个人中任选 2 人排在甲、乙之间的两个地点上，
有种，而后把甲、乙及中间 2 人看作一个“大”元素与余下 2 人作全摆列有种方法，最后对甲、乙进行摆列，有种方法，故共有144 种站法．
（ 5）第一考虑特别元素，甲、乙先站两头，有种，再让其余 4 人在中间地点作全摆列，有种，依据分步乘法计数原理，共有种站法．
（ 6）方法一（清除法）：甲在左端的站法有种，乙在右端的站法有种，且甲在左端而乙在
右端的站法有种，共有种站法．
方法二：以元素甲分类可分为两类：①甲站右端有种，②甲在中间 4 个地点之一，而乙不在右端有种，故共有=504 种站法．
例 5、组合的应用问题
课外活动小组共13 人，此中男生8 人，女生 5 人，而且男、女生各指定一名队长，现从
中选 5 人主持某种活动，依以下条件各有多少种选法？
（1）只有一名女生；
（2）两队长入选；
（3）起码有一名队长入选；
（4）至多有两名女生入选；
（5）既要有队长，又要有女生入选．
分析：
（l ）一名女生，四名男生．故共有350 （种）
（ 2）将两队长作为一类，其余11 人作为一类，故共有=165 （种）
（3）起码有一名队长含有两类：只有一名队长和两名队长．故共有：
（种）．
或采纳清除法：825 （种）
（ 4）至多有两名女生含有三类：有两名女生、只有一名女生、没有女生．
应选法为：（种）
（ 5）分两类：第一类女队长入选：；第二类女队长不入选：。

应选法共有：（种）。