空间余弦定理公式
空间余弦定理公式
空间余弦定理公式是解决空间三角形问题的重要工具。
它可以用来计算三角形的边长和角度，帮助我们理解和解决实际问题。
空间余弦定理公式可以表示为c² = a² + b² - 2abcosC，其中c是三角形的斜边，a和b是其他两边，C是斜边对应的角度。
这个公式的推导基于平面余弦定理公式，但需要额外考虑第三个维度。
它告诉我们，斜边的平方等于其他两边平方的和减去两倍的两边乘以夹角的余弦。
这个公式的应用非常广泛。
在建筑、工程、航空航天等领域，我们经常需要计算三维空间中的距离和角度。
通过使用空间余弦定理公式，我们可以准确地计算出三角形的边长和角度，从而帮助我们设计和规划。
例如，在建筑设计中，我们可以使用空间余弦定理公式来计算两个建筑物之间的距离。
在航空航天中，我们可以使用它来确定两个飞行器之间的相对位置和距离。
空间余弦定理公式还可以帮助我们解决实际问题。
例如，当我们知道三角形的两边和夹角时，可以使用这个公式来计算第三边的长度。
或者，当我们知道三角形的三个边长时，可以使用这个公式来计算夹角的大小。
空间余弦定理公式是解决空间三角形问题的重要工具。
它可以帮助我们计算三角形的边长和角度，解决实际问题，并在建筑、工程、航空航天等领域发挥重要作用。
向量运算公式大全
向量运算公式大全
向量运算，它是数学中的一门重要学科，许多人也熟知它的基本概念，它是利
用有限的空间中的点的运动来描述物体的状态的一种运算。
向量运算公式大全包括平面向量公式、空间向量公式、余弦定理公式和积分公式等。
如平面向量公式，其概念是在二维空间中描述点的运动，它包括三个有向箭头，分别表示x，y，z方向，它们运算规律就是余弦定理，即a^2+b^2=c^2，它可以用
来求解两个向量之间的角度。
空间向量公式在三维空间中用来求解向量间运动，它们有四个有向箭头表示，
它们分别表示x、y、z、w方向，它们也遵循余弦定理，满足a^2+b^2+c^2=d^2。
余弦定理公式，也叫三角形公式，它是向量运算中使用最多的公式之一，它描
述的是两个向量之间的角度。
即a^2+b^2=c^2，它可以用来计算向量的大小、角度等。
积分公式，积分是求向量函数的积分，它是指把一块特定形状的空间按特定函
数进行划分，再把划分出来的空间求和获得一个函数值的过程。
向量函数可以用多种方法来表示，最常见的是用积分公式来求解。
以上是向量运算公式大全的概要介绍，它们的具体使用，实际上还要求一定的
数学知识，理解能力才能更深入的去了解、使用，只有这样才能获得最优效果。
空间余弦定理公式推导
空间余弦定理公式推导空间余弦定理是三维空间中的一个关于向量的定理，主要用于求取两个向量之间的夹角。
在此次推导中，我们将从向量定义出发，经过矢量积和标量积的推导，最终得到空间余弦定理的公式。
1. 向量定义在三维空间中，向量（也称矢量）通常表示为一个有序三元组，表示为$\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)$。
向量具有加法和数乘运算。
向量的模长表示为$|\vec{a}|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}$，也称为向量的长度。
向量之间有一些重要的定义，如平行、垂直等等。
两个向量平行表示它们的方向相同或相反，即$\vec{a}\parallel\vec{b}$。
两个向量垂直表示它们的内积为0，即$\vec{a}\cdot\vec{b}=0$。
2. 矢量积矢量积（又称向量积或外积）是定义在三维空间两个向量上的一个重要的运算，它的结果是一个新的向量。
假设有两个向量$\vec{a}$和$\vec{b}$，它们的矢量积表示为$\vec{a}\times\vec{b}$。
矢量积的结果满足以下几个性质：（1）反对称性：$\vec{a}\times\vec{b}=-\vec{b}\times\vec{a}$（2）分配律：$\vec{a}\times(\vec{b}+\vec{c})=\vec{a}\times\vec{b}+\vec{a}\t imes\vec{c}$（3）数乘结合律：$(\lambda\vec{a})\times\vec{b}=\lambda(\vec{a}\times\vec{b})=\ vec{a}\times(\lambda\vec{b})$（4）计算公式：$\vec{a}\times\vec{b}=(a_2b_3-a_3b_2,a_3b_1-a_1b_3,a_1b_2-a_2b_1)$其中，$\lambda$表示一个实数。
3. 标量积标量积（又称点积或内积）是定义在两个向量上的一个重要的运算，它的结果是一个标量（实数）。
空间中余弦定理的证明
空间中余弦定理的证明在数学中，余弦定理是三角形中的一个重要定理。
对于任意三角形ABC，余弦定理可以表示为：c = a + b - 2ab * cos C。
其中，a、b、c 分别表示三角形的三条边，C 表示夹在 a 和 b 之间的角度。
证明：我们可以通过向量的几何性质来证明余弦定理。
假设我们有三个向量 A，B，C，它们分别表示三角形 ABC 的三条边。
则向量 C 是从向量 A 到向量 B 的差向量，即 C = B - A。
现在我们来计算向量 C 的长度的平方。
根据向量的长度公式，我们可以得到|C| = C·C，其中 |C| 表示向量 C 的长度，C·C 表示向量 C 的点积。
我们可以将向量 C 表示为 A 和 B 的线性组合，即 C = B - A = -A + B。
因此，C·C = (-A + B) · (-A + B)。
利用向量点积的性质和二次方程的展开公式，我们可以得到C·C = A·A + B·B - 2AB cos C。
其中，A·A 和B·B 分别表示向量 A 和向量 B 的长度的平方，AB 表示向量 A 和向量 B 的点积。
由于向量 A 和向量 B 分别对应三角形的两条边，因此我们可以将 AB 和 cosC 分别表示为三角形的边长和夹角的函数。
即 AB = ab，cosC = (a + b - c) / 2ab。
将 AB 和 cosC 代入上式，我们可以得到C·C = a + b - 2abcosC。
因此，|C| = c = a + b - 2ab cosC，即余弦定理成立。
三个空间角公式
三个空间角公式1.三余弦定理的基础知识三余弦指的是空间中的三个角的余弦值，在上方链接投影法求一面直线夹角中，三个角分别为直线l1与特定平面所成的夹角θ1,直线l2与特定平面所成夹角θ2，两条直线在特定平面上投影的夹角为α，此时两条异面直线的夹角余弦值公式为：cosX=cosαcosθ1cosθ2+sinθ1sinθ2，关于该公式的证明自己查看上述链接即可。
在这个异面直线夹角余弦值的公式中，两条直线异面且不在同一个特定平面内，若其中一条直线不在平面内且另外一条直线在平面内，此时在平面内的那条直线与平面的夹角θ2就是0，所以正弦值也为0，余弦值为1，此时公式为cosX=cosαcosθ1，这就是典型的三余弦定理的公式，一定要知道该公式是怎么来的，图示如下图所示：从公式中知道需要有三条线，这三条线形成三个角，三个角又形成三个面，我们求得就是与这三个角有关的内容，这三条线分别为平面内的一条线，平面外的一条线与该直线在平面内的射影，这么一看是不是和三垂线定理一样，没错，如果把平面内的一条直线与平面外直线的射影垂直，那么利用这个公式就能判定斜线和平面内的直线夹角为90°。
2.三余弦定理在求直线夹角中的应用这个公式更多应用在求异面直线夹角的余弦值当中，在同一个面中直接利用三角函数求更容易，因此三余弦定理在高中立体几何中的应用更多体现在异面直线夹角和所推广开的二面角中，有关三余弦定理在异面直线中的应用可参考链接中的这个典型题目：例1：如下图中正方体中，点M是棱DD1的中点，点O为底面ABCD的中心，点P为棱A1B1上任意一点，求直线OP与直线AM之间所成角的余弦值解析：点P为A1B1上运动，无论点P在哪个位置，OP在左侧面上的投影均为O'A1,此时发现AM和O'A1之间的夹角为90°，所以此时直线OP和AM 所成角的余弦值就等于OP与左侧面夹角的余弦值，考虑到AM就在左侧面上，所以AM与左侧面的夹角为0，正弦值也为0，所以可知异面直线OP和AM之间夹角的余弦值等于0，所以两条直线的夹角为90°。
空间余弦定理
特征：
一般用于多边形棱锥、
棱柱、用空间余弦定理，可将
复杂的空间中证明垂直的过程
简化解三角形；B
注：
用此结论者，需熟练掌握：AE
CD
AC高考使用中点坐标公式实例：03年内第8小题；06年五校自主招生考试大题；06江西文理；05年湖北21题；Cy04年成人高考文科大题。
结论：
(1)y = kx + b与b2x2+ a2y2= a2b2
交于
A、B两点，则中点M（x
0，y
0）满足b2x
0+ a2y
0k =0。
(2)y = kx + b与b2x2
－a2y2= a2b2
交于
A、B两点，a′
则中点M（x
0，y
0）满足b2x
0－a2y
0k = 0。bC1B
1M
原理：
空间两条异面有a, bdd为a, b公垂线段，直线l交91理证明题
（2）球心在球体的内接正四面体的内部；
（3）球
-1改y心在球体的内接正三棱锥的
1D
1加
ACO1CB1Ox1AF
1OF
2x玩向量：
坐标运算、B向
05辽大·Ml
N用射影做题、妙用对称简向量公线。（
95、97文、91小O量·A化运算玩离心率
（00）
01、04内、05内）D
结论：
若ƒ´(x) = 0时，△>0ƒ(x)有极值。
往届高考题解析几何经典大题评论A′θB12
时刻注意特殊角（02内文、04浙江）05天津理
（3）平面和平面所成的角cosn,n
空间余弦定理
直线x = my +a与曲线F（x、y）= 0交A(x1，y1)、
B（x2，y2）两点，则| AB | = | y1– y2| 。
千古绝唱3—“法向量任你选，向量法使你如虎添翼”
结论：（1）点到平面的距离公式：
或
或真懂后直接用
（2）直线和平面所成的角
历史的再现—96，换元法、玩向量：坐标运算
大题改小题
02北春大变
06春文小
法1使用椭圆第二定义；
法2使用焦半径公式
直线与曲线两交点的距离公式
结论：直线y = kx + b与曲线F（x、y）= 0交A(x1，y1)、B（x2，y2）两点，则| AB | = | x1– x2| 。
| x1– x2| = = 。
注：用此结论者，需熟练掌握：
Rt△中 （等积法）；任意△已知三边长，
求面积再用面积公式 得
焦半径公式：1.椭圆
（a > b> 0 )
|PF2| = a–ex
|PF1| = ex + a
2．双曲线
|PF1| =–ex–a，
|PF2| = a–ex
3．抛物线
y² = 2px (p > 0)y² =–2px (p > 0)，
|PF | = + x
高考使用焦半径公式实例：87年理、06年湖南文理
椭圆 ,抛物线 ,
06湖南解题技巧：|F2A| + |F2B| = |AB| = |F1A| + |F1B|
06湖南
中点坐标公式
结论：(1)y = kx + b与b2x2+ a2y2= a2b2交于A、B两点，
三面角余弦定理公式
三面角余弦定理公式
三面角是空间几何中的一种特殊图形，由四个面所围成。
在计算三面角各个面之间的角度时，我们需要用到三面角余弦定理公式。
这个公式的表达式很简单，即：cos(A) = (b^2 + c^2 - a^2 - d^2) / 2bc，其中A表示三面角中A面所对的角度，a、b、c、d 分别表示三面角的四个面的边长。
理解这个公式需要先了解一些基本概念。
在三面角中，我们可以定义四个面的法向量，使得它们成为一个右手系。
这样，我们就可以用向量的夹角来表示三面角的各个面之间的角度。
对于三面角中的任意一个面，我们可以把它看成是由其余三个面所围成的一个三角形和一个三棱锥组成的。
这个三角形的三条边分别是三面角中其余三个面的法向量，而三棱锥的底面则是这个三角形，其顶点则是三面角中的另一个面。
根据余弦定理，我们可以用三角形的边长来计算三角形内角的余弦值。
而三棱锥的底面和顶点处的角度则可以通过向量的点积来计算。
将这些值代入三面角余弦定理公式中，就可以计算出三面角中任意一个面所对的角度了。
三面角余弦定理公式在计算三维空间中的各种几何问题时非常有用。
例如，在计算立体角时，我们需要知道三维空间中某个点所对应的
立体角大小。
这个立体角就可以用多个三面角所对应的角度来计算得到。
在实际的应用中，我们通常会用计算机程序来实现三面角余弦定理公式的计算。
这样可以大大提高计算的精度和效率，同时也方便了我们对各种三维几何问题进行求解。
三面角余弦定理公式是三维几何中非常重要的一种计算方法，它可以帮助我们计算出各种三面角中的角度大小，从而为解决各种三维几何问题提供了有力的工具。
余弦定理公式平方
余弦定理公式平方余弦定理是三角学中的一个重要定理，用于计算三角形的边长和角度。
它是根据三角形中的余弦关系推导出来的，并且可以用于解决各种与三角形相关的问题。
在一个三角形ABC中，假设边长分别为a、b、c，对应的角度分别为A、B、C。
那么根据余弦定理，可以得到以下公式：c² = a² + b² - 2ab cosC这个公式可以用来计算三角形的边长c，当已知两边的长度a和b 以及它们之间的夹角C时，可以通过代入公式计算出第三边的长度c。
同样地，如果已知三个边长a、b、c，想要计算出对应的角度A、B、C，也可以利用余弦定理。
cosC = (a² + b² - c²) / (2ab)根据这个公式，可以计算出角C的余弦值，然后通过反余弦函数（或者查表）求得角度C的值。
余弦定理的应用非常广泛。
例如，在实际生活中，我们经常会遇到需要测量无法直接测量的距离的情况。
这时候，我们可以利用余弦定理来间接测量出这个距离。
比如，我们可以利用三角测量法来测量山顶的高度、测量河流的宽度等。
在工程学中，余弦定理也有着重要的应用。
比如，在建筑设计中，我们需要计算出某个斜坡的倾斜角度，以便合理设计楼梯的坡度。
这时候，可以通过测量斜坡上的两个已知长度的边，然后应用余弦定理来计算出斜坡的倾斜角度。
除了计算边长和角度外，余弦定理还可以用于解决三角形的面积问题。
根据海伦公式，三角形的面积可以通过三边的边长来计算。
而余弦定理可以用于计算出这些边长，从而进一步计算出三角形的面积。
余弦定理还可以推广到高维空间中的三角形。
在高维空间中，三角形不再是平面中的图形，而是由线段组成的多面体。
通过推广余弦定理，我们可以计算出高维空间中三角形的边长和角度。
余弦定理是三角学中非常重要的一个定理，它可以用于计算三角形的边长和角度，解决实际问题中的测量和计算需求。
无论是在实际生活中还是在工程学中，余弦定理都具有广泛的应用。
空间线线所成角的余弦公式
空间线线所成角的余弦公式空间线所成角的余弦公式：1、定义：空间线所成角的余弦公式是指三个空间线构成的任意三角形，用余弦定理可以表达任意角度的大小。
其形式为：cos α = (a² + b² - c²) / 2ab其中，α 为三线构成的任意角的大小，a、b、c 为三线构成三角形的三边长度。
2、推导：以空间线ABC 所成角α 为例，设A 点为原点，BA 为x 轴，AB 为y 轴，C 点在坐标原点外任意一点，则有：(1) BC 的x 坐标和y 坐标分别为：x = c cosα 、y = c sinα(2) 已知BC = c，根据勾股定理，有：a² + b² = c²(3) 用余弦定理可求得：cosα = (a² + b² - c²) / 2ab3、用途：该余弦公式在几何计算中广泛应用，可以利用它计算任意三角形的角的大小或求多边形的面积等。
此外，也可以利用它平行投影，即把一个三维空间的线、面投影线、面到二维空间上，便于分析求解三维空间中坐标变换、投影变换以及旋转变换的问题。
4、实例：例1：计算ABC 所成的ABC 角的度数α ：根据余弦公式可得：cosα = (a² + b² - c²) / 2ab已知：a = 3、b = 4、c = 5则cosα = (3² + 4² - 5²) / 2*3*4= (-1) / 24计算：α = cos⁻¹ (-1/24) = 118.45°例2：ABC 的ABC 角α 为45°，求a、b、c：根据余弦定理：cosα = (a² + b² - c²) / 2ab已知：α = 45°，计算：cosα = (a² + b² - c²) / 2abcos45° = (a² + b² - c²) / 2ab化简：a² + b² = c² + 2ab设a = 3，求b和c，则有：b² = c² + 6b - 9由一次方程求得：b = (-3 ± √13)/2，c = b + 3解得：b = 5，c = 8；或者b = -1，c = 2。
高中数学空间余弦定理
5 空间余弦定理的妙用秒杀知识点如图，在空间四边形ABCD 中，AC BD AC AD ABAC AD AC ABcos cos AC AD CAD AC AB CAB2222AC AD CD AC AD AC AD 2222AC AB CB AC AB AC AB22222AD CB AB CD ,设AC ，BD 所成的夹角为，0,2，则cos cos ,AC BD AC BDAC BD，故2222cos2AD CB AB CD AC BD.此公式可称为空间形式的余弦定理，简称为空间余弦定理.【记忆方法】①看四个字母ABCD ，两边的与中间的AD ，CB 是平方之后为加号，相连的AB ，CD 平方之后为减号，分母与平面余弦定理相似.②也可用另一种形式记忆：求“对角线”AC 与BD 的夹角的余弦等于两组对边平方和的差的绝对值除以两对角线乘积的2倍.【推论】在空间四边形中22222ADCBAB CDAC BD（由上面证明可得出）.秒杀思路分析利用空间余弦定理，关键是构造出空间四边形，并且空间四边形边长及对角线长可求. 为快速求出空间四边形边长，一般把几何体放置在长方体或直棱柱中. 【示例1】（2015年浙江卷理13）如图，三棱锥A BCD 中,3ABACBDCD，2ADBC，点M ，N 分别为AD ，BC 的中点，则异面直线AN ，CM 所成角的余弦值为 .【示例2】（2017年全国卷II 理10）已知直三棱柱111ABCA B C 中，120ABC，2AB ，11BCCC ，则异面直线1AB 与1BC 所成角得余弦值为（）A.【示例3】 如图，在三棱锥D ABC 中，已知2AB ，3AC BD .设AD a ，BCb ，CDc ，则21c ab 的最小值为 .【示例4】（2017年天津卷文17）如图，在四棱锥P ABCD 中，AD 平面PDC ，//AD BC ，PDPB ，1AD ，3BC ，4CD ，2PD .(1)求异面直线AP 与BC 所成角的余弦值.(2)(3)略.方法对比【例1】 （2014年全国大纲卷文4）已知正四面体ABCD 中，E 是AB 的中点，则异面直线CE 与BD 所成角的余弦值为（ ）A.1 C.1【例2】（2017年江苏卷数学II 附加题22）如图，在平行六面体1111ABCD A B C D 中，1AA 平面ABCD ，且2AB AD，13AA ，120BAD.（1）求异面直线1A B 与1AC 所成角的余弦值.（2）略.【例3】（数学奥林匹克高中训练题（224））在四面体ABCD中，15BD AC，AB CD，20 AD BC，则AB与CD所成角的大小为.337秒杀训练【试题1】如图，正方体ABCD A B C D中，E为AB的中点，则异面直线D B与EC所成角的余弦值是（）1A.【试题2】如图，已知正三棱锥P ABC的侧棱与底面的边长相等，M，N分别为PB，PC的中点，则异面直线AM与BN所成角的余弦值为 .【试题3】如图，在三棱锥D ABC 中，DA 平面ABC ，90ACB ，30ABD ，ACBC ，则异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为 .【试题4】 如图,三棱柱111OABO A B 中，平面11OBB O 平面OAB ，160O OB，90AOB ，且12OB OO ，3OA，则异面直线1A B 与1AO 所成角的余弦值为.【试题5】 如图,四边形中ABCD ，2AB BDDA ，2BC CD ，现将ABD 沿BD 折起，当二面角ABD C 处于5,66过程中，则异面直线AB 与CD 所成角的余弦值的取值范围为（ ）A.522,88 B. 252,88 C. 20,8 D. 520,8真题回放【试题1】（2015年陕西预赛）在三棱锥S ABC 中，已知ABAC ，SBSC ，则直线SA 与BC 所成角的大小为 .【试题2】（2014年新课标全国卷II 理11）直三棱柱111ABCA B C 中，90BCA，M ，N 分别是11A B ，11A C 的中点，1BCCACC ，则BM 与AN 所成角的余弦值为（ ）A. 110B.25D.2【试题3】(2016年浙江卷文14）如图，已知平面四边形ABCD ，3AB BC ，1CD，5AD，90ADC，沿直线AC 将ACD 翻折成'ACD ，直线AC 与'BD 所成角的余弦值的最大值为.【试题4】(2015年辽宁预赛）在正方体1111ABCDA B C D 中，点M ，N 分别在线段AB ，1BB 上（不包括线段的端点），且1AM B N ，则1A M 与1C N 所成角的取值范围是.【试题5】(2016年中国数学奥林匹亚克希望联盟夏令营（三））在四面体ABCD 中，ABD 为等边三角形，90BCD ，1BC CD ，3AC ，E ，F 分别为BD ，AC 的中点，则直线AE 与BF 所成角的余弦值为.【试题6】(数学奥林匹亚克高中训练题（223））已知正四棱锥P ABCD 的各棱长均相等，以ABCD 为一个面，在正四棱锥的另一侧作一个正方体ABCDEFGH ，则异面直线PA 与CF 所成角的余弦值为 .5 空间余弦定理的妙用秒杀知识点如图，在空间四边形ABCD 中，AC BD AC AD ABAC AD AC ABcos cos AC AD CAD AC AB CAB2222AC AD CD AC AD AC AD 2222AC AB CB AC AB AC AB22222AD CB AB CD ,设AC ，BD 所成的夹角为，0,2，则cos cos ,AC BD AC BDAC BD ，故2222cos2AD CB AB CD AC BD.此公式可称为空间形式的余弦定理，简称为空间余弦定理.【记忆方法】①看四个字母ABCD ，两边的与中间的AD ，CB 是平方之后为加号，相连的AB ，CD 平方之后为减号，分母与平面余弦定理相似.②也可用另一种形式记忆：求“对角线”AC 与BD 的夹角的余弦等于两组对边平方和的差的绝对值除以两对角线乘积的2倍.【推论】在空间四边形中22222ADCBAB CDAC BD（由上面证明可得出）.秒杀思路分析利用空间余弦定理，关键是构造出空间四边形，并且空间四边形边长及对角线长可求. 为快速求出空间四边形边长，一般把几何体放置在长方体或直棱柱中. 【示例1】（2015年浙江卷理13）如图，三棱锥ABCD 中,3ABACBDCD，2ADBC，点M ，N 分别为AD ，BC 的中点，则异面直线AN ，CM 所成角的余弦值为 .由已知AN ，CM 看成是空间四边形ANCM 的对角线.由已知条件AN BC ，DNBC .易求得22AN，22CM ，7MN，即可应用空间余弦定理速解. 【秒杀方法】 由公式得2222cos2AM NC AC NM AN CM11977822222. 故异面直线AN ，CM 所成角的余弦值为78.【示例2】（2017年全国卷II 理10）已知直三棱柱111ABCA B C 中，120ABC，2AB ，11BCCC ，则异面直线1AB 与1BC 所成角得余弦值为（）A.如图，选取空间四边形11AB C B . 由已知得7AC，则122AC ，12BC ，15AB ，即可利用空间余弦定理速解.【秒杀方法】 22211211810cos ,5225BC AB .故选择C. 【示例3】如图，在三棱锥D ABC 中，已知2AB ，3AC BD .设AD a ，BCb ，CDc ，则21c ab 的最小值为 .本题利用公式推论，即可转化为不等式问题.【秒杀方法】 由推论：222232ADCBAB CDAC BD ，即22246a b c ，则222222cabab，即221c ab .故21c ab 的最小值为2.【示例4】（2017年天津卷文17）如图，在四棱锥P ABCD 中，AD 平面PDC ，//AD BC ，PD PB ，1AD ，3BC ，4CD ，2PD .(1)求异面直线AP 与BC 所成角的余弦值.(2)(3)略.这是一道解答题（1）问，看空间四边形PABC 即可，只需依条件求出各边的长度.由题意可求得5PA，17AC ，25PC ，29PB ，25AB ，3BC .【秒杀方法】 由公式得:2222202029175cos ,52532PC AB PB AC PA BCPA BC. 故异面直线AP 与BC . 但做为解答题在设计具体步骤方面应先给出公式的说明（证明）.其规范过程设计如下：【解题过程】（1）连接BD ，则22435BD.∴22229PB PD BD ，即29PB .易求得5PA ，17AC ，25AB ，25PC.∵AP BC AP BP CP AP BP AP CP 2222222222222AP BP AB AP CP AC AC BP CP AB ∴2222291720205cos ,52532AC BP CP AB AP BCAP BC. 故异面直线AP 与BC. 方法对比【例1】 （2014年全国大纲卷文4）已知正四面体ABCD 中，E 是AB 的中点，则异面直线CE 与BD 所成角的余弦值为（ ）A.1 C.1FEC 就是异面直线∵ABC 为等边三角形，则AB ，易得3，同理3CF ，故CF . ∵OEOF ，∴COEF ，又1124EOEF BD 1，3DE ， 2BCCD.由公式得cos ,CE BD 222212313623223.故选择3263ED FEC CE.故选择【例2】（2017年江苏卷数学II 附加题22）如图，在平行六面体1111ABCD A B C D 中，1AA 平面ABCD ，且2AB AD，13AA ，120BAD.（1）求异面直线1A B 与1AC 所成角的余弦值. （2）略.AD ，于点E .平面ABCD AE ，AA AD .如图，以1,,AE AD AA 为正交基底，建立空间直角坐标系A xyz .2AD，13AA ，120BAD ，0,0,0，3,1,0B ，0,2,0D ，3,0,0E ，0,0,3，13,1,3C ， 13,1,3A B，13,1,3AC ，111111cos ,A B AC A B AC A B AC 3,1,33,1,3177. 7，7AC ，2，17BC ，2AB.由公式得： 221122731,7277A B AC . 故异面直线1A B 与1AC 所成角的余弦值为17.【例3】（数学奥林匹克高中训练题（224））在四面体ABCD 中，15AB CD ，20BD AC ，337AD BC ，则AB 与CD 所成角的大小为.HCGD ，x ，BF y ，BG z .222222225400337x y y zzx 解得91216xyzAB 与CD 所成角等于由余弦定理得夹角为2220203373377,2151525AB CD，AB 与CD 所成角大小为7arccos25. 秒杀训练【试题1】 如图，正方体1111ABCDA B C D 中，E 为AB 的中点，则异面直线1D B 与EC 所成角的余弦值是（ ）A.【解析】设正方体棱长为2.在空间四边形1D EBC 中易得各棱长为：1EB ，2BC ，5EC，123D B ，122D C ，13D E.由空间余弦定理得：221813215cos ,152235D B EC.选择D. 【试题2】如图，已知正三棱锥P ABC 的侧棱与底面的边长相等，M ，N 分别为PB ，PC 的中点，则异面直线AM 与BN 所成角的余弦值为 .【解析】设棱长为2，则3AM BN ,3AN ,1MN .由空间余弦定理得：22213211cos ,6233AM BN. 即AM 与BN 所成角的余弦值为16. 【试题3】如图，在三棱锥D ABC 中，DA 平面ABC ，90ACB ，30ABD ，ACBC ，则异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为 .【解析】设1AC BC ,则2AB ，63DA263BD ，153CD ， ∴2282113033cos ,1015223AB CD. 故异面直线AB 与CD 30. 【试题4】 如图,三棱柱111OABO A B 中，平面11OBB O 平面OAB ，160O OB，90AOB ，且12OB OO ，3OA，则异面直线1A B 与1AO 所成角的余弦值为 .【解析】由题可知：12O B，7AB ，17AO ，17A B，则221137221cos ,7277A B AO ， 故1A B 与1AO 所成角的余弦值为17. 【试题5】 如图,四边形中ABCD ，2AB BDDA ，2BC CD ，现将ABD 沿BD 折起，当二面角A BD C 处于5,66过程中，则异面直线AB 与CD 所成角的余弦值的取值范围为（ ）A.522,88 B. 252,88 C. 20,8 D. 520,8【解析】由空间余弦定理，得： 2222224242cos222242AD BC AC BD AC AC AB CD.如图，取BD 中点O ，二面角A BD C 的平面角即AOC ，且33cos ,22AOC .∵3AO ，1CO .由余弦定理得：2222cos AC AO CO AO CO AOC423cos 1,7AOC ，从而220,5AC ，则有52cos0,8.故选择 D. 真题回放【试题1】（2015年陕西预赛）在三棱锥S ABC 中，已知AB AC ，SB SC ，则直线SA 与BC 所成角的大小为 .【解析】设ABACa ，SBSCb . 则由空间余弦定理得：2222cos ,02a b a b SA BCSA BC，即,2SA BC.故SA 与BC 所成角的大小为2.【试题2】（2014年新课标全国卷II 理11）直三棱柱111ABCA B C 中，90BCA ，M ，N 分别是11A B ，11A C 的中点，1BCCACC ，则BM 与AN 所成角的余弦值为（）A. 110B.25【解析】设12BC CACC ，5AN ，6BM ，1MN ，6AM ，3BN .由空间余弦定理得：22186330cos ,10265BM AN . 故选择C.【试题3】(2016年浙江卷文14）如图，已知平面四边形ABCD ，3AB BC ，1CD，5AD，90ADC，沿直线AC 将ACD 翻折成'ACD ，直线AC 与'BD 所成角的余弦值的最大值为.【解析】由空间余弦定理，得：'2222'''59912cos2266AD CB AB CD AC BD BDBD.易知，当'D 在平面ABC 内时，'BD 最短，从而cos 最大. 6cos 6ACD，223636cos 6263ACB . 因此翻折下来可知点'D 恰好落在线段CB 上时，'BD 最短，长为312，所以cos . 【试题4】(2015年辽宁预赛）在正方体1111ABCD A B C D 中，点M ，N 分别在线段AB ，1BB 上（不包括线段的端点），且1AMB N ，则1A M 与1C N 所成角的取值范围是 .【解析】设棱长为a ，1AM B N t . 则112A C a ，221(0)A Na t t a . 221C Na t ，2212()MC a at ，221A Ma t ，22()MNat .由空间余弦定理得：11cos ,A M C N 222222222()2()2()2()at a a t a at a t 221at a t at t a.∵2a t ta，∴111cos ,2A M C N，即11,32A M C N，故异面直线1A M 与1C N 所成角的取值范围为32，.【试题5】(2016年中国数学奥林匹亚克希望联盟夏令营（三））在四面体ABCD 中，ABD 为等边三角形，90BCD，1BCCD，3AC，E ，F 分别为BD ，AC 的中点，则直线AE 与BF 所成角的余弦值为 .【解析】由已知得1BC DC，90BCD，∴2BD ，∴22BE ，2AB .由3AC知90ABC，∴1322BF AC ，32AF.又FE BD，∴2221 4EF BF BE，即12EF ，62AE.又空间余弦定理得：31122424cos,363222AE BF.故直线AE与BF.【试题6】(数学奥林匹亚克高中训练题（223））已知正四棱锥P ABCD的各棱长均相等，以ABCD 为一个面，在正四棱锥的另一侧作一个正方体ABCD EFGH，则异面直线PA与CF所成角的余弦值为 .【解析】设正四棱锥棱长为1，则易求得222PF ，2FC，2AC ，2AF，1PA PC.由空间余弦定理得：2222122cos,4212PA CF.故异面直线PA与CF所成角的余弦值为224.。