三余弦公式的推导及其应用

三余弦公式的推导及其应用——教材研究1.公式的推证及两个重要推论命题：设OB ⊥平面α，B 为垂足，OA 是平面α的斜线，A 为斜足.∠OAB=1θ，l 是平面α内的任一直线，l 与AB 所成的角为2θ，l 与OA 所成的角为θ，如图1. 则：21cos cos cos θθθ= （三余弦公式）.证法1：过斜足A 引l 的平行线AC ，则∠OAC=θ,∠BAC=2θ.再过B 作BC ⊥AC ，连OC ，则易知A C ⊥OC ，由直角三角形中三角函数的定义有： ABACOA AB OA AC ===21cos ,cos ,cos θθθ ∴ 21c o s c o s c o s θθθ=. 证法2：设1||=，则11cos cos ||||θθ== ,∴ 212c o s c o s c o s ||||θθθ== . 又∵ θθcos cos ||||==，∴ 21c o s c o s c o s θθθ⋅=. 由于0＜θ1＜90°. 所以cos θ1≠0，则0cos 0cos 2=⇔=θθ，由此可得： 推论1：0209090=⇔=θθ——此即三垂线及其逆定理.又由于0＜2cos θ＜1 所以θcos ＜cos θ1，从而θ1＜θ，由此可得：推论2：（最小角定理）平面的斜线和它在平面内的射影所成的角，是这条斜线和这个平面内任一直线所成的角中最小的角.2.公式的应用举例§2.1.在几何论证方面的应用：例1.求证:将长方体截取一角后的截面是锐角三角形.证明：如图2，设四面体SABC 是长方体截取一角，则易知： AS ⊥平面BSC ，由三余弦公式知：cos ∠ABC= cos ∠ABS ·cos ∠CBS ，∵ ∠CBS ，∠ABS 都是锐角 ∴ cos ∠ABS, cos ∠CBS 都大于0，从而cos ∠ABC 大于0. 又∵ ∠ABC 是三角形的一内角, ∴ ∠ABC 是锐角.同理可得：∠BAC 、∠BCA 也都是锐角.故 三角形ABC 是锐角三角形.注：此问题的证法很多,上述证法是证明此结论的所有证法中较为简单的一种.想一想①：已知平面βα⊥，直线AB 与α、β所成的角分别为21,θθ，则21θθ+（ ）. A.等于90°， B.小于90°， C.不大于90°， D.不小于90°.θθ 2OA B C l αθ 1 图1ASBC 图2§2.2利用它处理与线面所成角有关的问题：例2.PA 、PB 、PC 是从点P 引出的三条射线，每两条射线的夹角均为60°，则直线PC 与平面PAB 所成角的余弦值为（ ）. A.21 ， B.36 ， C.33 ， D.23.解：如图3，∵ ∠CPB=∠APC=60° ∴ PC 在平面APB 上的射影PD 是∠APB 的角平分线，即∠DPB=30°.由三余弦公式得： cos60°=cos30°·cos ∠DPC 则cos ∠DPC=33.即直线PC 与平面PAB 所成角的余弦值为33.故选C.例3.有一东西方向的河流，离河岸若干米处有一探照灯，照着岸边的某点B ，探照灯在点 B 的正东北方向，照射B 点的光线与地面成60°角，求该光线与岸边所成角的余弦值. 解：如图4，设AD 为探照灯，BC 为河岸，则AD 由已知有：∠ABC=45°，∠ABD=60°. cos ∠DBC=cos45°·cos60°=42.即 灯光与岸边所成角的余弦值是42.想一想②：设正四面体ABCD 的棱长为a ，求点A 到平面BCD 的距离AO 及其体积.【引申】通常情况下θ与θ2是锐角.若θ与θ2同为钝角时，三余弦公式仍成立，且有更广泛的用途.例4.如图5.在直二面角βα——l 的棱l 上有点A,在内各有一条射线AB 、AC ，它们与l 均成45°的角，且AB 在平面α内， AC 在平面β内，求∠BAC 的大小.解：（1）当AB 、AC 是如图所示状态时，∵ 二面角βα——l 是直二面角， ∴ βα⊥. 过B 作BD 垂直l 于D ，由三余弦公式得:cos ∠BAC =cos45°·cos45°=21, ∴ ∠BAC=60°.（2）当AC 是如图所示AC 1状态时，cos ∠BAC =cos45°·cos135°= -21 ∴ ∠BAC=120° 综上知 ∠BAC=60°或120°.例5.已知正方形ABCD 的边长为4，M 、N 分别是边AD 、BC 上的点，MN ∥AB,MN ∩AC=O.现正方形ABCD 沿MN 折成直二面角(如图6), 设AM=BN=x （0＜x ＜4），问.当MN 平行移动时, ∠AOC 是否发生变化?试说明理由. 解：此题的常规方法是：通过计算，将AO 、OC 、P CABD 图3东图4A B CD C 1βαl 图5BN M O C D D C NM O 图6AC 分别用x 表示出来，然后由余弦定理算出cos ∠AOC= -21是常数(计算量较大).从而得出结论.若换个角度来看：则易知：∠NOC=45°, ∠NOA=135°,由三余弦公式有：cos ∠AOC =cos45°·cos135°= -21，可很快可得结论.点评：由以上几例可以看出，在涉及直线与平面所成角的问题时.若能充分利用三余弦公式，可做到思路简单、计算简便，收到事半功倍之效.想一想③：如图7.把正方形ABCD 沿对角线AC 折成直二面角B —AC —D ，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，O 是正方形的中心，求折起后∠EOF 的大小. §2.3.利用它处理与两异面直线所成角有关的问题：例6.如图8所示，在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别在B 1C 1、C 1C 上，且33FC ,31EC 11==,求异面直线A 1B 与EF 所成角的余弦值.解：∵ A 1B 1⊥平面B B 1C 1C ∴ A 1B 与平面B B 1C 1C 所成角为45°. 又∵33FC ,31EC 11==, ∴ ∠EFC 1=30° 即EF 与C 1C所成角为30°, 亦即EF 与B 1B 所成角为30°.设A 1B 与EF 所成角为θ，则由三余弦公式可得：cos θ= cos450·cos30°=46 . ∴ 异面直线A 1B 与EF 所成角的余弦值为46.例7.已知异面直线a 、b 所成的角为θ=60°，点P 为空间任意一点. （1）过P 点与直线a 、b 所成的角均为ϕ=45°的直线有几条？ （2）过P 点与直线a 、b 所成的角均为ϕ=60°的直线有几条？ （3）过P 点与直线a 、b 所成的角均为ϕ=70°的直线有几条？ 解：（1）如图9，过点O 引异面直线a 、b 的平行线OA 、OB ，则问题转换为求过点P 与OA 、OB 所成的角均为45°的直线的条数. ∵ OP 与OA 、OB 成等角45° ∴ OP 在由OA 、OB 确定的 平面α内的射影OD 是∠AOB 的平分线，即∠DOB=30°. 由三余弦公式可得：cos ∠POB = cos45°·cos ∠POD, cos45°= cos30°·cos ∠POD ，30cos 45cos cos =∠⇒POD ＜1， ∴ 这样的直线OP 如图9存在一条，又由对称性在l 的另一侧也存在一条.再考虑到∠AOBD 的补角的情形，由三余弦公式，cos45° = cos60°·cos ∠POD 1,106cos 45cos cos =∠⇒POD ＞1, ∴ 此种情形的直线不存在.综上所述知，满足条件的直线有2条.FB F AE D M O A EDC M O 图7ABCD D 1A 1B 1C 1FE 图8OPADBa bα图9l（2）同（1）的分析，满足条件的直线存在与否就是看等式：0030cos 60cos cos =∠POD ＜1（有2条）,0106cos 60cos cos =∠POD =1（只1条）, 从而知满足条件的直线有3条.（3）∵ 0030cos 70cos cos =∠POD ＜1（有2条）,0106cos 70cos cos =∠POD ＜1（有2条）,∴ 满足条件的直线有4条.点评：一般地，设异面直线a 、b 所成的角为θ，过P 且与a 、b 所成的等角为ϕ.则当：1°2coscos cos ϕ=∠POD “＜1”（2条）；“=1”（1条）；“＞1”（0条）.2°2180coscos cos 01θϕ-=∠POD “＜1”（2条）；“=1”（1条）；“＞1”（0条）.然后将上述1°、2°两种情形合并即可. 想一想④：设异面直线a 、b 所成的角为50°，点P 为空间任意一点,问过P 点与直线a 、b 所成的 角均为45°的直线有几条？变式:(09重庆高考)已知二面角βα—— 的大小为θ1=50°，点P 为空间任意一点,过P且与平面α和平面β所成的角均为ϕ1=25°的直线的条数为( )A 、2,B 、3,C 、4,D 、5. 解:如图10.过点P 分别作平面α、β的垂线PA 、PB.设由垂线PA 、PB 确定的平面与 交于点O ，则易知：AO ⊥ ，BO ⊥ ，即∠AOB 为二面角βα—— 的平面角. ∴∠AOB=50°，则∠APB=130°.又∵过P 的直线与平面α和平面β所成的角均为25°，∴ 问题转化为为过点P 与PA 、PB 均成65°的直线的条数问题了. 由例4（3）我们已知满足条件的直线有3条.故选B.点评：一般地，此类问题可转化为θ=180°-θ1，ϕ=90°-ϕ1时,例4的情形.【练习】1.如图11.在Rt △ABC 中，AB=BC ，E 、F 分别是AC ，AB 的中点，以EF 为棱把它折成直二面角A —EF —BC ， 设∠AEC=α，求cos α.并将此与上述例5及想一想③进行比较.PB AOα β图10A F EBC CAFE图112.已知平面α内有∠xoy=60°，OA 是α的斜线，且OA=10，∠Aox=∠Aoy=45°，则A 到平面α的距离为（ ）.3.在三棱锥D —ABC 中，DA ⊥平面ABC ，∠ACB=90°，∠ABD=30°, AC=BC ，求异面直线AB 与CD 所成的角.【部分问题参考答案】想一想① 解析:如图,过A 、B 分别作棱的垂线AC 、BD∠ABC=1θ，∠BAD=2θ,又设∠ABD=θ，由最小角定理知，≥θ1θ而=+2θθ90°，则 ≤+21θθ90°， 故选C.想一想② 解：∵ 四面体ABCD 是正四面体 ∴ AB 在底面BCD 上的射影是∠CBD 的角平分线，如图，由三余弦公式得：cos60°=cos ∠ABO ·cos30°， ∴ cos ∠ABO=33.于是sin ∠ABO=36 ， ∴ AO=36a.其体积为：32122433631a a a V ABCD =⋅⋅=. 想一想③ 解:过点E 作EM ⊥AC 于M ，∵ 在折叠的过程中，∠EOA=45°, ∠FOA=135°,没有发生变化，由三余弦公式, cos ∠EOF=cos45°·cos135°= -21，∴ ∠EOF=120°. 想一想④ 提示:2条. 【练习】1.提示:120°，此问题与例4等实质上是一致的.2.解：设OA 与平面α所成的角为θ，则由三余弦公式可得:cos 45°= cos30°·cos θ , ∴ cos θ=33sin 36=⇒θ.故 点A 到平面α的距离为：3310.3.解：∵ DA ⊥平面ABC ，∠ACB=90°，∠ABD=30°, AC=BC ，不妨设AC=BC=1. 则可求得AD=315 ,从而 cos ∠ACD=515. 又∵∠BAC=45°,∴ 设AB 与AC 成45°角,设AB 与CD 所成的角为θ,由三余弦公式可得：cos θ= cos ∠ACD ·cos 45°=1030..DAB图12A BC DO图14 D ABC图15。