(完整版)圆锥曲线经典中点弦问题

中点弦问题专题练习一．选择题（共8小题）1．已知椭圆，以及椭圆内一点P（4，2），则以P为中点的弦所在直线的斜率为（）A．B．C．2D．﹣22．已知A（1，2）为椭圆内一点，则以A为中点的椭圆的弦所在的直线方程为（）A．x+2y+4=0 B．x+2y﹣4=0 C．2x+y+4=0 D．2x+y﹣4=03．AB是椭圆（a＞b＞0）的任意一条与x轴不垂直的弦，O是椭圆的中心，e为椭圆的离心率，M为AB的中点，则K AB•K OM的值为（）A．e﹣1 B．1﹣e C．e2﹣1 D．1﹣e24．椭圆4x2+9y2=144内有一点P（3，2）过点P的弦恰好以P为中点，那么这弦所在直线的方程为（）A．3x+2y﹣12=0 B．2x+3y﹣12=0 C．4x+9y﹣144=0 D．9x+4y﹣144=05．若椭圆的弦中点（4，2），则此弦所在直线的斜率是（）A．2B．﹣2 C．D．6．已知椭圆的一条弦所在直线方程是x﹣y+3=0，弦的中点坐标是（﹣2，1），则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．7．直线y=x+1被椭圆x2+2y2=4所截得的弦的中点坐标是（）A．（）B．（﹣，）C．（，﹣）D．（﹣，）8．以椭圆内一点M（1，1）为中点的弦所在的直线方程为（）A．4x﹣3y﹣3=0 B．x﹣4y+3=0 C．4x+y﹣5=0 D．x+4y﹣5=0二．填空题（共9小题）9．过椭圆内一点M（2，0）引椭圆的动弦AB，则弦AB的中点N的轨迹方程是_________．10．已知点（1，1）是椭圆某条弦的中点，则此弦所在的直线方程为：_________．11．椭圆4x2+9y2=144内有一点P（3，2）过点P的弦恰好以P为中点，那么这弦所在直线的斜率为_________，直线方程为_________．12．椭圆4x2+9y2=144内有一点P（3，2）过点P的弦恰好以P为中点，那么这弦所在直线的方程为_________．13．过椭圆=1内一定点（1，0）作弦，则弦中点的轨迹方程为_________．14．设AB是椭圆的不垂直于对称轴的弦，M为AB的中点，O为坐标原点，则k AB•k OM=_________．15．以椭圆内的点M（1，1）为中点的弦所在直线方程为_________．16．在椭圆+=1内以点P（﹣2，1）为中点的弦所在的直线方程为_________．17．直线y=x+2被椭圆x2+2y2=4截得的线段的中点坐标是_________．三．解答题（共13小题）18．求以坐标轴为对称轴，一焦点为且截直线y=3x﹣2所得弦的中点的横坐标为的椭圆方程．19．已知M（4，2）是直线l被椭圆x2+4y2=36所截的弦AB的中点，其直线l的方程．20．已知一直线与椭圆4x2+9y2=36相交于A、B两点，弦AB的中点坐标为M（1，1），求直线AB的方程．21．已知椭圆，求以点P（2，﹣1）为中点的弦AB所在的直线方程．22．已知椭圆与双曲线2x2﹣2y2=1共焦点，且过（）（1）求椭圆的标准方程．（2）求斜率为2的一组平行弦的中点轨迹方程．23．直线l：x﹣2y﹣4=0与椭圆x2+my2=16相交于A、B两点，弦AB的中点为P（2，﹣1）．（1）求m的值；（2）设椭圆的中心为O，求△AOB的面积．24．AB是椭圆中不平行于对称轴的一条弦，M是AB的中点，O是椭圆的中心，求证：k AB•k OM为定值．25．已知椭圆C：+=1和点P（1，2），直线l经过点P并与椭圆C交于A、B两点，求当l的倾斜角变化时，弦中点的轨迹方程．26．已知椭圆．（1）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；（2）过A（2，1）的直线l与椭圆相交，求l被截得的弦的中点轨迹方程；（3）过点P（）且被P点平分的弦所在的直线方程．27．已知椭圆．（1）求过点且被点P平分的弦所在直线的方程；（2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；（3）过点A（2，1）引直线与椭圆交于B、C两点，求截得的弦BC中点的轨迹方程．28．已知某椭圆的焦点是F1（﹣4，0）、F2（4，0），过点F2并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B，且|F1B|+|F2B|=10，椭圆上不同的两点A（x1，y1）、C（x2，y2）满足条件：|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列．（Ⅰ）求该椭圆的方程；（Ⅱ）求弦AC中点的横坐标．29．（2010•永春县一模）过椭圆内一点M（1，1）的弦AB．（1）若点M恰为弦AB的中点，求直线AB的方程；（2）求过点M的弦的中点的轨迹方程．30．已知椭圆C方程为，直线与椭圆C交于A、B两点，点，（1）求弦AB中点M的轨迹方程；（2）设直线PA、PB斜率分别为k1、k2，求证：k1+k2为定值．2014年1月panpan781104的高中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．已知椭圆，以及椭圆内一点P（4，2），则以P为中点的弦所在直线的斜率为（）A．B．C．2D．﹣2考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用中点坐标公式、斜率计算公式、“点差法”即可得出．解答：解：设以点P为中点的弦所在直线与椭圆相交于点A（x1，y1），B（x2，y2），斜率为k．则，，两式相减得，又x1+x2=8，y1+y2=4，，代入得，解得k=．故选A．点评：熟练掌握中点坐标公式、斜率计算公式、“点差法”是解题的关键．2．已知A（1，2）为椭圆内一点，则以A为中点的椭圆的弦所在的直线方程为（）A．x+2y+4=0 B．x+2y﹣4=0 C．2x+y+4=0 D．2x+y﹣4=0考点：直线的一般式方程．专题：计算题．分析：首先根据题意设出直线的方程，再联立直线与椭圆的方程，然后结合题意与跟与系数的关系得到答案．解答：解：设直线的方程为y﹣2=k（x﹣1），联立直线与椭圆的方程代入可得：（4+k2）x2+2k（2﹣k）x+k2﹣4k﹣12=0因为A为椭圆的弦的中点，所以，解得k=﹣2，所以直线的方程为2x+y﹣4=0．故选D．点评：解决此类问题的关键是熟练掌握直线与椭圆的位置关系的判定，以及掌握弦中点与中点弦问题．3．AB是椭圆（a＞b＞0）的任意一条与x轴不垂直的弦，O是椭圆的中心，e为椭圆的离心率，M为AB的中点，则K AB•K OM的值为（）A．e﹣1 B．1﹣e C．e2﹣1 D．1﹣e2考点：椭圆的简单性质．专题：综合题．分析：设出弦AB所在的直线方程，与椭圆方程联立消去y，根据韦达定理求得x1+x2，的表达式，根据直线方程求得y1+y2的表达式，进而根据点M为AB的中点，表示出M的横坐标和纵坐标，求得直线OM的斜率，进而代入k AB•k OM中求得结果．解答：解：设直线为：y=kx+c联立椭圆和直线消去y得b2x2+a2（kx+c）2﹣a2b2=0，即（b2+k2a2）x2+2a2kcx+a2（c2﹣b2）=0所以：x1+x2=﹣所以，M点的横坐标为：M x=（x1+x2）=﹣又：y1=kx1+cy2=kx2+c所以y1+y2=k（x1+x2）+2c=所以，点M的纵坐标M y=（y1+y2）=所以：Kom===﹣所以：k AB•k OM=k×（﹣）=﹣=e2﹣1点评：本题主要考查了椭圆的应用．涉及弦长问题，利用弦长公式及韦达定理求解，涉及弦的中点及中点弦问题，利用差分法较为简便．4．椭圆4x2+9y2=144内有一点P（3，2）过点P的弦恰好以P为中点，那么这弦所在直线的方程为（）A．3x+2y﹣12=0 B．2x+3y﹣12=0 C．4x+9y﹣144=0 D．9x+4y﹣144=0考点：直线与圆锥曲线的关系；直线的一般式方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用平方差法：设弦的端点为A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程，两式作差，利用中点坐标公式及斜率公式可求得直线斜率，再用点斜式即可求得直线方程．解答：解：设弦的端点为A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=6，y1+y2=4，把A、B坐标代入椭圆方程得，，，两式相减得，4（﹣）+9（﹣y22）=0，即4（x1+x2）（x1﹣x2）+9（y1+y2）（y1﹣y2）=0，所以=﹣=﹣=﹣，即k AB=﹣，所以这弦所在直线方程为：y﹣2=﹣（x﹣3），即2x+3y﹣12=0．故选B．点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、直线方程的求解，涉及弦中点问题常运用平方差法，应熟练掌握．5．若椭圆的弦中点（4，2），则此弦所在直线的斜率是（）A．2B．﹣2 C．D．考点：直线与圆锥曲线的关系；直线的斜率．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设此弦所在直线与椭圆相交于点A（x1，y1），B（x2，y2）．利用中点坐标公式和“点差法”即可得出．解答：解：设此弦所在直线与椭圆相交于点A（x1，y1），B（x2，y2）．则，，两式相减得=0．∵，，．代入上式可得，解得k AB=．故选D．点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、中点坐标公式和“点差法”等基础知识与基本技能方法，属于中档题．6．已知椭圆的一条弦所在直线方程是x﹣y+3=0，弦的中点坐标是（﹣2，1），则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题．分析：设出以M为中点的弦的两个端点的坐标，代入椭圆的方程相减，把中点公式代入，可得弦的斜率与a，b 的关系式，从而求得椭圆的离心率．解答：解：显然M（﹣2，1）在椭圆内，设直线与椭圆的交点A（x1，y1），B（x2，y2），则+=1，+=1，相减得：=0，整理得：k=﹣=1，又弦的中点坐标是（﹣2，1），∴，∴，则椭圆的离心率是e===．故选B．点评：本题考查椭圆的标准方程和简单性质，中点公式及斜率公式的应用，以及直线方程，属于基础题．本题解题中直接利用点差法巧妙用上了中点坐标公式与弦的斜率，方法极为巧妙，此方法即为通常所说的点差法，研究弦中点问题时经常采用此方法7．直线y=x+1被椭圆x2+2y2=4所截得的弦的中点坐标是（）A．（）B．（﹣，）C．（，﹣）D．（﹣，）考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：将直线y=x+1代入椭圆x2+2y2=4中，利用韦达定理及中点坐标公式，即可求得结论．解答：解：将直线y=x+1代入椭圆x2+2y2=4中，得x2+2（x+1）2=4∴3x2+4x﹣2=0∴弦的中点横坐标是x==﹣，代入直线方程中，得y=∴弦的中点是（﹣，）故选B．点评：本题考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，属于基础题．8．以椭圆内一点M（1，1）为中点的弦所在的直线方程为（）A．4x﹣3y﹣3=0 B．x﹣4y+3=0 C．4x+y﹣5=0 D．x+4y﹣5=0考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：计算题．分析：设直线方程为y﹣1=k （x﹣1），代入椭圆化简，根据x1+x2==2，求出斜率k的值，即得所求的直线方程．解答：解：由题意可得直线的斜率存在，设直线方程为y﹣1=k （x﹣1），代入椭圆化简可得，（4k2+1）x2+8（k﹣k2）x+4k2﹣8k﹣12．∴由题意可得x1+x2==2，∴k=﹣，故直线方程为y﹣1=﹣（x﹣1），即x+4y﹣5=0，故选D．点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，一元二次方程根与系数的关系，中点公式的应用，求出直线的斜率，是解题的关键．二．填空题（共9小题）9．过椭圆内一点M（2，0）引椭圆的动弦AB，则弦AB的中点N的轨迹方程是．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程．专题：综合题．分析：设出N，A，B的坐标，将A，B的坐标代入椭圆方程，结合N为AB的中点，求出AB的斜率，再利用动弦AB过点M（2，0），弦AB的中点N，求出AB的斜率，从而可得方程，化简即可．解答：解：设N（x，y），A（x1，y1），B（x2，y2），则①，②①﹣②，可得：∴∵动弦AB过点M（2，0），弦AB的中点N，当M、N不重合时，有∴∴∴，（m≠2）当M、N重合时，即M是A、B中点，M（2，0）适合方程，则N的轨迹方程为，故答案为：点评：本题考查直线与椭圆的综合，考查点差法的运用，这是解决弦中点问题，常用的一种方法．10．已知点（1，1）是椭圆某条弦的中点，则此弦所在的直线方程为：x+2y﹣3=0．考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设以A（1，1）为中点椭圆的弦与椭圆交于E（x1，y1），F（x2，y2），A（1，1）为EF中点，x1+x2=2，y1+y2=2，利用点差法能够求出以A（1，1）为中点椭圆的弦所在的直线方程．解答：解：设以A（1，1）为中点椭圆的弦与椭圆交于E（x1，y1），F（x2，y2），∵A（1，1）为EF中点，∴x1+x2=2，y1+y2=2，把E（x1，y1），F（x2，y2）分别代入椭圆，可得，两式相减，可得（x1+x2）（x1﹣x2）+2（y1+y2）（y1﹣y2）=0，∴2（x1﹣x2）+4（y1﹣y2）=0，∴=﹣∴以A（1，1）为中点椭圆的弦所在的直线方程为：y﹣1=﹣（x﹣1），整理，得x+2y﹣3=0．故答案为：x+2y﹣3=0．点评：本题考查以A（1，1）为中点椭圆的弦所在的直线方程的求法，考查点差法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．11．椭圆4x2+9y2=144内有一点P（3，2）过点P的弦恰好以P为中点，那么这弦所在直线的斜率为，直线方程为2x+3y﹣12=0．考点：直线与圆锥曲线的关系；直线的一般式方程．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：平方差法：设弦端点为A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程后作差，利用斜率公式及中点坐标公式可得斜率；根据点斜式可得直线方程．解答：解：设弦端点为A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=6，y1+y2=4，①，=144②，①﹣②得，+9=0，即4（x1+x2）（x1﹣x2）+9（y1+y2）（y1﹣y2）=0，所以==，即，所以弦所在直线方程为：y﹣2=﹣（x﹣3），即2x+3y﹣12=0．故答案为：﹣；2x+3y﹣12=0．点评：本题考查直线与抛物线的位置关系、直线方程的求解，弦中点问题常利用平方差法解决，应熟练掌握．12．椭圆4x2+9y2=144内有一点P（3，2）过点P的弦恰好以P为中点，那么这弦所在直线的方程为2x+3y﹣12=0．考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设以P（3，2）为中点椭圆的弦与椭圆交于E（x1，y1），F（x2，y2），P（3，2）为EF中点，x1+x2=6，y1+y2=4，利用点差法能够求出这弦所在直线的方程．解答：解：设以P（3，2）为中点椭圆的弦与椭圆交于E（x1，y1），F（x2，y2），∵P（3，2）为EF中点，∴x1+x2=6，y1+y2=4，把E（x1，y1），F（x2，y2）分别代入椭圆4x2+9y2=144，得，∴4（x1+x2）（x1﹣x2）+9（y1+y2）（y1﹣y2）=0，∴24（x1﹣x2）+36（y1﹣y2）=0，∴k==﹣，∴以P（3，2）为中点椭圆的弦所在的直线方程为：y﹣2=﹣（x﹣3），整理，得2x+3y﹣12=0．故答案为：2x+3y﹣12=0．点评：本题考查直线方程的求法，解题时要认真审题，注意椭圆的简单性质、点差法、直线方程等知识点的合理运用．13．过椭圆=1内一定点（1，0）作弦，则弦中点的轨迹方程为4x2+9y2﹣4x=0．考点：椭圆的应用；轨迹方程．专题：计算题．分析：设弦两端点坐标为（x1，y1），（x2．y2），诸弦中点坐标为（x，y）．弦所在直线斜率为k，把两端点坐标代入椭圆方程相减，把斜率看的表达式代入后整理即可得到弦中点的轨迹方程．解答：解：设弦两端点坐标为（x1，y1），（x2．y2），诸弦中点坐标为（x，y）．弦所在直线斜率为k 两式相减得；（x1+x2）（x1﹣x2）+（y1+y2）（y1﹣y2）=0即又∵k=，代入上式得2x/9+2y^2/4（x﹣1）=0整理得诸弦中点的轨迹方程：4x2+9y2﹣4x=0故答案为4x2+9y2﹣4x=0点评：本题主要考查了椭圆的应用及求轨迹方程的问题．考查了学生对圆锥曲线知识综合的把握．14．设AB是椭圆的不垂直于对称轴的弦，M为AB的中点，O为坐标原点，则k AB•k OM=．考点：椭圆的应用．专题：计算题．分析：设M（a，b），A（x1，y1），B（x2，y2），易知k OM=，再由点差法可知k AB=﹣，由此可求出k AB•k OM=﹣．解答：解：设M（a，b），A（x1，y1），B（x2，y2），∵M为AB的中点，∴x1+x2=2a，y1+y2=2b，把A、B代入椭圆得，①﹣②得（x1+x2）（x1﹣x2）+2（y1+y2）（y1﹣y2）=0，∴2a（x1﹣x2）+4b（y1﹣y1）=0，∴．∵，∴k AB•k OM=．答案：﹣．点评：本题考查椭圆的性质和应用，解题时要注意点差法的合理运用．15．以椭圆内的点M（1，1）为中点的弦所在直线方程为x+4y﹣5=0．考点：直线与圆锥曲线的关系；直线的一般式方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设点M（1，1）为中点的弦所在直线与椭圆相交于点A（x1，y1），B（x2，y2）．利用“点差法”即可得出直线的斜率，再利用点斜式即可得出．解答：解：设点M（1，1）为中点的弦所在直线与椭圆相交于点A（x1，y1），B（x2，y2）．则，，相减得=0，∵，，．．∴，解得k AB=﹣．故所求的直线方程为，化为x+4y﹣5=0．故答案为x+4y﹣5=0．点评：本题考查了直线与椭圆相交的中点弦问题和“点差法”等基础知识与基本方法，属于中档题．16．在椭圆+=1内以点P（﹣2，1）为中点的弦所在的直线方程为x﹣2y+4=0．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：计算题．分析：设以点P（﹣2，1）为中点的弦所在的直线与椭圆+=1交于A（x1，y1），B（x2，y2），由点P（﹣2，1）是线段AB的中点，知，把A（x1，y1），B（x2，y2）代入椭圆x2+4y2=16，由点差法得到k==，由此能求出以点P（﹣2，1）为中点的弦所在的直线方程．解答：解：设以点P（﹣2，1）为中点的弦所在的直线与椭圆+=1交于A（x1，y1），B（x2，y2），∵点P（﹣2，1）是线段AB的中点，∴，把A（x1，y1），B（x2，y2）代入椭圆x2+4y2=16，得，①﹣②得（x1+x2）（x1﹣x2）+4（y1+y2）（y1﹣y2）=0，∴﹣4（x1﹣x2）+8（y1﹣y2）=0，k==，∴以点P（﹣2，1）为中点的弦所在的直线方程为，整理，得x﹣2y+4=0．故答案为：x﹣2y+4=0．点评：本题主要考查椭圆标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系．考查运算求解能力，推理论证能力．解题时要认真审题，注意点差法的合理运用．17．直线y=x+2被椭圆x2+2y2=4截得的线段的中点坐标是．考点：直线和圆的方程的应用；直线与圆的位置关系．专题：计算题．分析：直线方程与椭圆方程联立，可得交点横坐标，从而可得线段的中点坐标．解答：解：将直线y=x+2代入椭圆x2+2y2=4，消元可得3x2+8x+4=0∴x=﹣2或x=﹣∴中点横坐标是=﹣，代入直线方程可得中点纵坐标为﹣+2=，∴直线y=x+2被椭圆x2+2y2=4截得的线段的中点坐标是故答案为：点评：本题考查中点坐标的求解，解题的关键是直线与椭圆方程联立，求得交点横坐标．三．解答题（共13小题）18．求以坐标轴为对称轴，一焦点为且截直线y=3x﹣2所得弦的中点的横坐标为的椭圆方程．考点：椭圆的标准方程．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：由题意，设椭圆方程为，与直线y=3x﹣2消去y得关于x的一元二次方程．利用根与系数的关系结合中点坐标公式，得x1+x2==1，再由椭圆的c=，得a2﹣b2=50，两式联解得a2=75，b2=25，从而得到所求椭圆的方程．解答：解：∵椭圆一个焦点为，∴椭圆是焦点在y轴的椭圆，设方程为（a＞b＞0）将椭圆方程与直线y=3x﹣2消去y，得（a2+9b2）x2﹣12b2x+4b2﹣a2b2=0设直线y=3x﹣2与椭圆交点为A（x1，y1），B（x2，y2）∴x1+x2==1…①又∵a2﹣b2=（）2=50…②∴①②联解，得a2=75，b2=25因此，所求椭圆的方程为：点评：本题给出焦点在y轴上的一个椭圆，在已知椭圆被直线截得弦的中点横坐标的情况下，求椭圆的方程，着重考查了椭圆的标准方程、简单几何性质和直线与椭圆位置关系等知识，属于中档题．19．已知M（4，2）是直线l被椭圆x2+4y2=36所截的弦AB的中点，其直线l的方程．考点：直线与圆相交的性质．专题：计算题．分析：设直线l的方程为y﹣2=k（x﹣4），代入椭圆的方程化简，由x1+x2==8解得k值，即得直线l的方程．解答：解：由题意得，斜率存在，设为k，则直线l的方程为y﹣2=k（x﹣4），即kx﹣y+2﹣4k=0，代入椭圆的方程化简得：（1+4k2）x2+（16k﹣32k2）x+64k2﹣64k﹣20=0，∴x1+x2==8，解得：k=﹣，则直线l的方程为x+2y﹣8=0．点评：本题考查了直线与圆相交的性质，一元二次方程根与系数的关系，线段的中点公式，得到（1+4k2）x2+（16k ﹣32k2）x+64k2﹣64k﹣20=0，是解题的关键．20．已知一直线与椭圆4x2+9y2=36相交于A、B两点，弦AB的中点坐标为M（1，1），求直线AB的方程．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：综合题．分析：设出直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理及弦AB的中点坐标为M（1，1），求出斜率，即可求得直线AB的方程．解答：解：设通过点M（1，1）的直线方程为y=k（x﹣1）+1，代入椭圆方程，整理得（9k2+4）x2+18k（1﹣k）x+9（1﹣k）2﹣36=0设A、B的横坐标分别为x1、x2，则解之得故AB方程为，即所求的方程为4x+9y﹣13=0．点评：本题考查直线与椭圆的综合，考查弦中点问题，解题的关键是直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理求解．21．已知椭圆，求以点P（2，﹣1）为中点的弦AB所在的直线方程．考点：直线的一般式方程；中点坐标公式；直线与圆锥曲线的关系．专题：计算题．分析：先设出弦所在的直线方程，然后与椭圆方程联立；设两端点的坐标，根据韦达求出x1+x2，进而求得弦所在的直线的斜率，进而利用点斜式求得该直线的方程．解答：解：设弦AB所在的直线方程为y﹣（﹣1）=k（x﹣2），即y=kx﹣2k﹣1．，消去y得x2+4（kx﹣2k﹣1）2﹣16=0，整理得（1+4k2）x2﹣8k（2k+1）x+4（2k+1）2﹣16=0（1）．因为P（2，﹣1）为弦AB中点，．代入方程（1），验证△＞0，合题意．．点评：本题主要考查了椭圆的性质以及直线与椭圆的关系．在解决弦长的中点问题，联立直线方程和椭圆方程，利用韦达定理，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化，达到解决问题的目的．22．已知椭圆与双曲线2x2﹣2y2=1共焦点，且过（）（1）求椭圆的标准方程．（2）求斜率为2的一组平行弦的中点轨迹方程．考点：椭圆的标准方程；轨迹方程．专题：计算题．分析：（1）求出双曲线的焦点，由此设出椭圆方程，把点（，0）代入椭圆方程，求出待定系数即得所求的椭圆方程．（2）设斜率为2的弦所在直线的方程为y=2x+b，弦的中点坐标为（x，y），把y=2x+b 代入椭圆的方程，利用一元二次方程根与系数的关系，求出轨迹方程为y=﹣x，求出直线y=2x+b 和椭圆相切时的b值，即得轨迹方程中自变量x的范围．解答：解：（1）依题意得，将双曲线方程标准化为=1，则c=1．∵椭圆与双曲线共焦点，∴设椭圆方程为=1，∵椭圆过（，0），∴=2，∴椭圆方程为=1．（2）依题意，设斜率为2的弦所在直线的方程为y=2x+b，弦的中点坐标为（x，y），则y=2x+b 且=1得，9x2+8xb+2b2﹣2=0，∴x1+x2=﹣．即x=﹣两式消掉b得y=﹣x．令△=0，64b2﹣36（2b2﹣2）=0，即b=±3，所以斜率为2且与椭圆相切的直线方程为y=2x±3即当x=±时斜率为2的直线与椭圆相切．所以平行弦得中点轨迹方程为：y=﹣x（﹣）．点评：本题考查用待定系数法求椭圆的标准方程，以及简单性质的应用；求点的轨迹方程的方法，求轨迹方程中自变量x的范围，是解题的易错点．23．直线l：x﹣2y﹣4=0与椭圆x2+my2=16相交于A、B两点，弦AB的中点为P（2，﹣1）．（1）求m的值；（2）设椭圆的中心为O，求△AOB的面积．考点：椭圆的应用；中点坐标公式；点到直线的距离公式．专题：计算题；压轴题．分析：（1）先把直线方程与椭圆方程联立消去y，根据韦达定理求得x1+x2的表达式，进而根据其中点的坐标求得m．（2）把（1）中求得椭圆方程与直线方程联立消去y，进而根据韦达定理求得x1x2的值，进而求得出|AB|的距离和坐标原点到直线的距离，进而根据三角形面积公式求得答案．解答：解：（1）：消去y，整理得（+1）x2﹣2mx+4m﹣16=0∴x1+x2==4，则m=4（2）由（1）知，消去y，∴x1x2=0∴|AB|==2坐标原点O到直线x﹣2y﹣4=0的距离为d==∴三角形ABC的面积为×|AB|×d=4点评：本题主要考查了椭圆的应用，直线与椭圆的关系，点到直线的距离公式等，考查了学生综合分析问题和推理的能力．24．AB是椭圆中不平行于对称轴的一条弦，M是AB的中点，O是椭圆的中心，求证：k AB•k OM为定值．考点：椭圆的应用．专题：证明题．分析：设出直线方程，与椭圆方程联立消去y，根据韦达定理求得x1+x2，的表达式，根据直线方程求得y1+y2的表达式，进而根据点M为AB的中点，表示出M的横坐标和纵坐标，求得直线OM的斜率，进而代入k AB•k OM 中求得结果为定值，原式得证．解答：证明：设直线为：y=kx+c联立椭圆和直线消去y得b2x2+a2（kx+c）2﹣a2b2=0，即（b2+k2a2）x2+2a2kcx+a2（c2﹣b2）=0所以：x1+x2=﹣所以，M点的横坐标为：M x=（x1+x2）=﹣又：y1=kx1+cy2=kx2+c所以y1+y2=k（x1+x2）+2c=所以，点M的纵坐标M y=（y1+y2）=所以：Kom===﹣所以：k AB•k OM=k×=点评：本题主要考查了椭圆的应用．涉及弦长问题，利用弦长公式及韦达定理求解，涉及弦的中点及中点弦问题，利用差分法较为简便．25．已知椭圆C：+=1和点P（1，2），直线l经过点P并与椭圆C交于A、B两点，求当l的倾斜角变化时，弦中点的轨迹方程．考点：轨迹方程．专题：综合题．分析：设弦中点为M（x，y），交点为A（x1，y1），B（x2，y2）．当M与P不重合时，A、B、M、P四点共线．故（y2﹣y1）（x﹣1）=（x2﹣x1）（y﹣2）．再由点差法知=﹣，由此可得：9x2+16y2﹣9x﹣32y=0．解答：解：设弦中点为M（x，y），交点为A（x1，y1），B（x2，y2）．当M与P不重合时，A、B、M、P四点共线．∴（y2﹣y1）（x﹣1）=（x2﹣x1）（y﹣2），①由=1，+=1两式相减得+=0．又x1+x2=2x，y1+y2=2y，∴=﹣，②由①②可得：9x2+16y2﹣9x﹣32y=0，③当点M与点P重合时，点M坐标为（1，2）适合方程③，∴弦中点的轨迹方程为：9x2+16y2﹣9x﹣32y=0．点评：本题考查轨迹方程的求法，解题时要注意点差法的合理运用．26．已知椭圆．（1）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；（2）过A（2，1）的直线l与椭圆相交，求l被截得的弦的中点轨迹方程；（3）过点P（）且被P点平分的弦所在的直线方程．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；圆锥曲线的轨迹问题．专题：综合题．分析：（1）设弦的两端点分别为M（x1，y1），N（x2，y2），中点为R（x，y），则，，两式相减得=﹣，由此能求出斜率为2的平行弦的中点轨迹方程．（2）设直线方程为y﹣1=k（x﹣2），设两交点分别为（x3，y3），（x4，y4），则，，两式相减得，故+，令中点坐标为（x，y），则x+2y•=0，由此能求出l被截得的弦的中点轨迹方程．（3）设过点P（）的直线与交于E（x5，y5），F（x6，y6），由P（）是EF的中点，知x5+x6=1，y5+y6=1，把E（x5，y5），F（x6，y6）代入与，得k==﹣，由此能求出过点P（）且被P点平分的弦所在的直线方程．解答：解：（1）设弦的两端点分别为M（x1，y1），N（x2，y2）的中点为R（x，y），则，，两式相减并整理可得，①将代入式①，得所求的轨迹方程为x+4y=0（椭圆内部分）．（2）可设直线方程为y﹣1=k（x﹣2）（k≠0，否则与椭圆相切），设两交点分别为（x3，y3），（x4，y4），则，，两式相减得，显然x3≠x4（两点不重合），故+，令中点坐标为（x，y），则x+2y•=0，又（x，y）在直线上，所以，显然，故x+2y•k=x+2y=0，即所求轨迹方程为x2+2y2﹣2x﹣2y=0（夹在椭圆内的部分）．（3）设过点P（）的直线与交于E（x5，y5），F（x6，y6），∵P（）是EF的中点，∴x5+x6=1，y5+y6=1，把E（x5，y5），F（x6，y6）代入与，得，∴（x5+x6）（x5﹣x6）+2（y5+y6）（y5﹣y6）=0，∴（x5﹣x6）+2（y5﹣y6）=0，∴k==﹣，∴过点P（）且被P点平分的弦所在的直线方程：，即2x+4y﹣3=0．点评：本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，是中档题．解题时要认真审题，注意点差法的合理运用．27．已知椭圆．（1）求过点且被点P平分的弦所在直线的方程；（2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；（3）过点A（2，1）引直线与椭圆交于B、C两点，求截得的弦BC中点的轨迹方程．考点：圆锥曲线的轨迹问题；直线与圆锥曲线的综合问题．专题：综合题．分析：（1）设出两个交点坐标，利用两点在椭圆上，代入椭圆方程，利用点差法，求斜率，再代入直线的点斜式方程即可．（2）同（1）类似，设出这一系列的弦与椭圆的交点坐标，代入椭圆方程，利用点差法，求斜率，再让斜率等于2，化简，即可得斜率为2的平行弦的中点轨迹方程．（3）设出直线BC方程，用参数k表示，，再利用中点坐标公式，消去k，即可得弦BC中点的轨迹方程．解答：解：（1）设过点且被点P平分的弦与椭圆交与A（x1，y1），B（x2，y2）点，则=，=∵A，B在椭圆上，∴①②②﹣①得，=﹣即，弦AB的斜率为﹣∴方程为y﹣=﹣（x﹣）即（2）设斜率为2的平行弦的中点坐标为（x，y），则根据中点弦的斜率公式，有﹣=2（3）当过点A（2，1）引的直线斜率存在时，设方程为y﹣1=k（x﹣2），代入椭圆方程，消y，得（+k2）x2+2（1﹣2k）kx+4k2﹣4k=0∴x1+x2=，y1+y2=，设弦BC中点坐标为（x，y），则x==，y==，∴=﹣2k又∵k=，∴，整理得x2﹣2x+2y2﹣2y=0当过点A（2，1）引的直线斜率不存在时，方程为x=2，与椭圆无交点∴所求弦BC中点的轨迹方程为x2﹣2x+2y2﹣2y=0．点评：本题主要考查了点差法求中点弦的斜率，属于圆锥曲线的常规题．28．已知某椭圆的焦点是F1（﹣4，0）、F2（4，0），过点F2并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B，且|F1B|+|F2B|=10，椭圆上不同的两点A（x1，y1）、C（x2，y2）满足条件：|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列．（Ⅰ）求该椭圆的方程；（Ⅱ）求弦AC中点的横坐标．考点：椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的关系．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）根据椭圆定义结合已知条件，得|F1B|+|F2B|=10=2a可得a=5．由c=4算出b=3，即可得出该椭圆的方程；（2）由点B（4，y B）在椭圆上，利用椭圆方程算出y B=．再根据圆锥曲线统一定义，算出|F2A|、|F2C|关于它们的横坐标x1、x2的式子，由|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列建立关系式算出x1+x2=8，最后利用中点坐标公式，即可算出弦AC中点的横坐标．解答：解：（1）由椭圆定义及条件，可得2a=|F1B|+|F2B|=10，得a=5．又∵c=4，∴b==3．因此可得该椭圆方程为．（2）∵点B（4，y B）在椭圆上，∴将x=4，代入椭圆方程求得y B=，可得|F2B|=|y B|=．∵椭圆右准线方程为x=，即x=，离心率e==．根据圆锥曲线统一定义，得|F2A|=（﹣x1），|F2C|=（﹣x2）．由|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列，得2|F2B|=|F2A|+|F2C|即（﹣x1）+（﹣x2）=2×，由此解得x1+x2=8．设弦AC的中点为P（x0，y0），可得中点横坐标为则x0=（x1+x2）=4．点评：本题给出椭圆满足的条件，求椭圆的方程并依此求AC的中点横坐标，着重考查了椭圆的定义与标准方程、圆锥曲线的统一定义和等差数列的性质等知识，属于中档题．29．（2010•永春县一模）过椭圆内一点M（1，1）的弦AB．（1）若点M恰为弦AB的中点，求直线AB的方程；（2）求过点M的弦的中点的轨迹方程．考点：直线的一般式方程；轨迹方程．专题：转化思想．分析：本题考查的知识点是直线的一般式方程及动点轨迹方程的求法，（1）由于弦AB过点M（1，1），故我们可设出直线AB的点斜式方程，联立直线与圆的方程后，根据韦达定理（根与系数的关系），我们结合点M恰为弦AB的中点，可得到一个关于斜率k的方程，解方程求出k值后，代入整理即可得到直线AB的方程．（2）设AB弦的中点为P，则由A，B，M，P四点共线，易得他们确定直线的斜率相等，由此可构造一个关于x，y的关系式，整理后即可得到过点M的弦的中点的轨迹方程．解答：解：（1）设直线AB的斜率为k，则AB的方程可设为y﹣1=k（x﹣1）．得x2+4（kx+1﹣k）2=16得（1+4k2）x2+8k（1﹣k）x+4（1﹣k2）﹣16=0，．．∴．（2）设弦AB的中点为P（x，y）∵A，B，M，P四点共线，∴k AB=k MP∴．点评：在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件，用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点。